CC BY
127
УДК 519.24+681.5
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ КОТИРОВОК ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ
Е.В. Истигечева, А.А. Мицель
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники E-mail: [email protected]
Рассматривается модель стохастической волатильности. Параметры модели оцениваются методом последовательного анализа. Осуществляется моделирование котировок финансового инструмента на примере европейской валюты.
Введение
В настоящее время одним из самых актуальных направлений прикладной математики является построение математических моделей, адекватно описывающих эволюцию таких финансовых инструментов как акции, облигации, опционы, котировки валют и т. д. В связи с этим становится необходимым изучение свойств, вычисление параметров и определение вида распределения некоторого стохастического процесса, лежащего в основе рыночных флуктуаций.
Известно, что у эмпирической функции плотности распределения, построенной на основе исторических данных, существует ненулевой эксцесс и асимметрия. Кроме того, присутствует вытянутость функции плотности в s-окрестности точки математического ожидания, а так же наблюдаются так называемые «толстые хвосты», когда вероятность значительных изменений ценовых приращений выше, чем для нормального распределения.
Для изучения распределений таких случайных процессов и прогнозирования будущего уровня их волатильности (изменчивости) было предложено большое количество моделей. Наиболее изученной является модель Блэка-Шоулса для опционов. Данная модель позволяет построить распределение приращений временного ряда, которое уже будет иметь более толстые хвосты по сравнению с нормальным распределением и, как следствие, дает возможность рассчитать волатильность более точно. Тем не менее, хвосты остаются достаточно «тонкими» по сравнению с распределениями данных реальных финансовых рынков, что недопустимо.
В связи с вышесказанным в настоящее время получили развитие другие подходы. Наиболее интересными из них являются методы с использованием фрактального броуновского движения, когда временной ряд представляется в виде фрактала (и, как следствие, становится известен закон построения с регулируемыми величинами начальных и центральных моментов); алгоритмы подгонки функции распределения под распределение значений временного ряда, а так же процесс прогнозирования волатильности с помощью негауссовских моделей типа ARCH (модели с авторегрессионной условной неоднородностью) [1-4], позволяющих проводить анализ кореллированных и высокочастотных данных.
В данной работе рассматривается модель стохастической волатильности (Stochastic Volatility -SV) первого порядка SV(1). Для оценивания параметров этой модели в литературе предлагаются метод максимального правдоподобия и обобщенный метод моментов [см., например, 1]. В работе [5] приводится достаточно подробное описание и сравнение этих двух методов применительно к SV-моделям. В данной работе предлагается построить оценки неизвестных параметров методом последовательного анализа. Преимущество данного метода состоит в том, что оценки параметров можно получить с априорно заданной точностью.
Постановка задачи
Пусть
Sn = S0eH"
- значение цены акций или обменного курса валют в момент времени n, тогда
-
Hn = ln -f.
В классе рассматриваемых моделей величина нормированных цен Hn определяется как
Hn = У + ••• + У,
где
=1п I £}
Модель стохастической волатильности определяется как [1]:
у =и е ,
■у п п п >
где уп - последовательность наблюдений, еп - стандартная гауссовская последовательность, о„ - стохастическая волатильность. Предполагается, что
о2п = ехр( Ип), Ип =а +акп _1 +УИ.
Здесь у„ - стандартная гауссовская последовательность, которая предполагается независимой от еп.
Тогда, процесс Н„ будет стационарным при условии |а1|<1, причем
E(K)=-^Ч D(hn)=: ^
1-а1'
1-<
Известия Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. № 7
Очевидно, что
-г +<Ю
Е е1
2 г г
ёх = ^= Г XVх /2ё (х2 /2) = <2% 0
\[п
I (х2 / 2)
3'^-х2/2ё(х2 /2) ^^ = 3,
4
Еу2 = Еа2 Ее2 = Ест2,
п п п >
Еу4 = Ест4 Ее4 = 3Ест4.
п п п
к =
Тогда коэффициент эксцесса имеет вид:
Еу4 „ „Г Ести4 - (Еа 4)
(Еу2„)2
— 3 = 3
(Еа2)2
Ба 2 = 3—ТТ> 0.
(Еа2)2
Положительность величины ^ свидетельствует о том, что плотность распределения величин уп в окрестности среднего значения вытянута вверх сильнее и имеет более тяжелые хвосты, чем соответствующее нормальное распределение.
Очевидно, что
1п у 2 = И + 1п е 2,
п п п >
Известно, что [2]:
Е( 1СЕ е 4) = -1,27; Б(1омеи2)=4,93.
где О— - это обратная матрица к (которая по предположению существует). Оценка Юла-Уокера используется здесь вместо оценки, полученной методом наименьших квадратов, так как она является асимптотически несмещенной в предположении, что шум г/п^О в наблюдениях (1). Процедура последовательного оценивания в данном случае проводится в два этапа.
Этап 1.
Выберем такую неубывающую последовательность ск, что ск>1 и Ишск=+<», при этом
V 1
к >1 6 к
По мере наблюдения процесса {г„|, последовательно находятся марковские моменты тк= т(ск) по формуле [4]:
т
т(И) = шДт > 2 : XIК-2||2 > И > 0}.
4=2
Здесь || || - евклидова норма для векторов и матриц, т. е. Ц^МгБВт. Для каждого тк, к>1 модифицированная оценка Юла-Уокера определяется как:
т(И)-1
(4)
в(г(И)) = (у X К-2 • т, +и(И) • К
т (И )- 2 ^т (И ^
Общие положения
Рассмотрим возможность построения оценки методом последовательного анализа [6, 7]. Модель SV может быть приведена к системе линейных уравнений без потери информации:
24 = ХП +П , (1)
(2)
где
Х4 = 10ёИ4 , 24 = 10МУ4 -в, П= 10ёе4 - Р.
Если шумы у„ еп являются гауссовскими, т. е. у„,е~ЛГ(0,1), то в=—1,27.
Возвращаясь к (1), (2), имеем:
2 4 =а0 +а1 24-1 +%4 , (3)
где
Е4 = П "«1^4-1 4-
Это уравнение может быть переписано в виде: 2 = I•в+Е ,
4 4-1 ^4 >
где
14 = (1,74 )т, в= [а0, а,]т.
Гарантированная оценка в для строится на основе оценки Юла-Уокера, заданной следующими формулами:
N
вМ = X 14-224 ,
=2
N
GN = X 1 4-2 ^-Р
т(И)-1
От(И) = [ X 1 -2 • 1т-1 + ¡(И) • (И )- 2 • К(И )-1]>
=2
где ¡л(к) - корректирующий множитель, единственным образом определяющийся уравнением:
т^-1и „2 || |,2 X 114-2 || + МИ) •)\1т(И У2\\ = И
=2
Этап 2.
Для того чтобы закончить процедуру, введем параметр И>0, характеризующий точность оценивания, и определяющий последовательный план (ЩИ),в'(И)), который состоит из длительности ЩИ) и оценки в'(И):
N (Н) =т(Са) +1,
в'(Н) = (±Ь, 1 ^ьв.
V ]= / ]=1
Здесь а - количество оценок типа (4), вошедших во взвешенное среднее:
а=а(Н) = М |к > 1: XЬj > Н где Ь:=Ь(е) определяется следующим образом:
Ь(И) = -
и-2 о:!,
т( И)
0,
алОИ > о, ЛЛОИ = 0.
В работе [6] было показано, что для любого И>0 последовательный план И(И),в'(И) обладает следующими свойствами:
=2
ИСТОРИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ПРОГНОЗНЫЕ ДАННЫЕ
01.06.2004 01.09.2004 01.12.2004 01.03.2005 01.06.2005 01.09.2005 01.12.2005 01.03.2006
Рисунок. Сравнение исторических и модельных значений котировок курса евро (дневные цены закрытия) за период с 1 июня 2004 г. по 21 апреля 2006 г.
1. N(H)<x с вероятностью почти наверное;
2. supE||е*(H)-е||2 < H, р = 2(аV+ 2а£ —.
H k >1 ck
Анализ эмпирических данных
Применим метод стохастической волатильно-сти для моделирования временного ряда yn котировок европейской валюты, рисунок.
Отметим, что y„=ln(^„)-ln(^„-1), «=1,2,3..., обладают следующими параметрами: среднее -1,41Ы0-4, дисперсия - 4,32.10-5, коэффициент асимметрии - 0,092, куртозис (эксцесс) - 1,747.
Параметры модели для данного временного ряда: а0=0,000561 и ^=0,998712; похожие результаты для котировок японской йены были получены в работе [1].
После моделирования прогнозных данных с использованием модели стохастической волатильности была рассчитана относительная погрешность 8„ между исходными данными и полученным прогнозом:
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шепард Н. Статистические аспекты моделей типа ARCH и стохастическая волатильность // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1996. - Т. 3. - Вып. 6. - С. 764- 826.
2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. - Т. 1. - Факты. Т. 2. - Модели. - М.: Фазис, 1998. - 512 с.
3. Engle R.F Bayesian Analysis of Stochastic Volatility Models // Journal of Business and Economic Statistics. - 1994. - V. 12. - № 4. - P. 395-397.
4. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1995. - Т. 2. - Вып. 4. - С. 527-555.
5И = - sis;1.
величина S« не превосходила 2,5 %.
Анализ рисунка дает основание сделать вывод о том, что модель стохастической волатильности удовлетворительно описывает исходные данные и позволяет моделировать их значения с небольшой погрешностью.
Выводы
Получены оценки параметров в модели стохастической волатильности методом последовательного анализа на основе оценки Юла-Уокера. Важными свойствами этой оценки является то, что она строится с априорно заданной среднеквадратиче-ской точностью и процедура построения оценки сходится при любых начальных значениях параметров модели. Кроме того, SV-модель использована для имитационного моделирования котировок курса евро. Показана высокая эффективность модели стохастической волатильности.
5. Jacquier E., Polson N.G., Rossi P.E. Bayesian analysis of stochastic volatility models (with discussion) // Journal of Business and Economic Statistics. - 1994. - V. 12. - № 4. - P. 371-417.
6. Konev V.V. Guaranteed estimation of parameters in stochastic volatility models // 26th International congress of actuaries: Proceeding. - 1998. - V. 7. - P. 121-135.
7. Истигечева Е.В. Гарантированное оценивание параметров стохастической волатильности // Научная сессия ТУСУР - 2006: Матер. докладов Всеросс. научно-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск, 2006. - Т. 5. - С. 219-221.
