CC BY
87
Прогноз развития трещин в полномасштабных конструкциях на основе анализа показателя b и статистики Юла
А. Карпинтери, Дж. Лачидонья, С. Пуцци
Туринский политехнический университет, Турин, 10129, Италия
Понимание и предсказание процессов повреждения и разрушения неоднородных материалов, таких как горные породы, бетон, керамические материалы и другие композиты, представляет собой исключительно сложную научную задачу, ключевую для множества приложений и для долгосрочного прогноза целостности конструкций. Такие сложные явления, протекающие на макро- и мезоуровнях, можно контролировать с помощью методов акустической эмиссии, выявляющих общие особенности развития повреждений и разрушения. В частности, обширные исследования повреждения и разрушения бетонов показали, что рост трещин и накопление повреждений можно описывать с помощью простого эмпирического параметра—показателя b уравнения Гутенберга-Рихтера, изменяющегося в строгом соответствии со стадиями роста трещины. В данной работе предложены две трактовки изменения показателя b при накоплении повреждений, основанные на пространственном распространении трещин в материале. Первая, называемая автомодельным подходом, основана на фрактальной геометрии и статистической характеристике трещин в объеме материала с использованием двух степенных распределений: для пространственного распределения центров масс трещин и для распределения длин трещин. Вторая трактовка основана на процессе Юла, первоначально предложенного для объяснения степенного распределения по размерам биологических таксонов. Обе модельные идеализации охватывают переход от условия критичности b = 1.5 к условию неотвратимого разрушения b = 1.0 на основе локализации повреждений.
В качестве примера рассмотрен метод, используемый авторами для определения состояния материалов и характера трещин в конструкциях Сиракузского кафедрального собора, построенного в 17 веке на основе конструкций древнегреческого Храма Афины (5 век до нашей эры). В частности, акустическая эмиссия использовалась для оценки возникновения критических условий в обследуемом пилоне, представляющем собой часть вертикальных несущих конструкций. С помощью нескольких тестов на основе акустической эмиссии, выполненных на извлеченных из пилона образцах различных размеров, определены тренды изменения показателя b. Эти результаты сравнивали с данными акустической эмиссии для всего обследуемого пилона. Обнаружено, что показатель b можно использовать в качестве надежного индикатора целостности структуры как для лабораторных образцов, так и для in situ измерений.
Ключевые слова: статистика Юла, разрушение материала, анализ показателя b, целостность конструкций, контроль методом акустической эмиссии
Prediction of cracking evolution in full scale structures by the b-value analysis
and Yule statistics
A. Carpinteri, G. Lacidogna, and S. Puzzi
Department of Structural Engineering and Geotechnics, Politecnico di Torino, Torino, 10129, Italy
Understanding and predicting the process of material fracture and failure in heterogeneous materials such as rocks, concrete, ceramics and other composites is an extremely challenging scientific problem, central to a large number of applications and crucial in predicting the long-term structural integrity of structures. The complex phenomena occurring at the micro- and mesoscale can be monitored by using acoustic emission techniques, that reveal some universal features in the damage evolution and fracture. In particular, extensive research work and studies on concrete fracture and failure have shown that fracture growth and damage evolution can be characterized through a single synthetic parameter, namely the b-value of the Gutenberg-Richter law, which changes systematically with the different stages of fracture growth. In this paper, we propose two different interpretations for the variation of the b-value during the evolution of damage, focussed on the spatial development of cracks in the material. The first one, called the self-similarity approach, is based on fractal geometry and the statistical characterization of the cracks inside a material by means of two power-law distributions: one for the spatial arrangement of crack barycentres, and the second for the crack length distribution. The second interpretation is based on the Yule process, originally proposed to explain the power-law size distribution of biological taxa. Both modelling idealizations capture the transition from the condition of criticality, in which b = 1.5, to that of imminent failure, characterized by b = 1.0, in terms of damage localisation.
As a case study we present the method used by the authors to determine the conditions of the materials and the crack patterns in the structures of the Syracuse Cathedral, built in the 17th century on the structures of the ancient Greek “Temple of Athena” (5th century b.C). In particular, the acoustic emission technique was used to evaluate the onset of critical conditions in a monitored pillar, which is part of the vertical load-bearing structures. The b-value trends are shown by several acoustic emission tests carried out on specimens of different dimensions extracted from the pillar. In addition, these results are compared to the acoustic emission data obtained from the in situ monitored pillar; it is shown that the b-value can be used both in the laboratory specimens and in the in situ measurements as a reliable indicator of the structural integrity.
Keywords: Yule statistics, material failure, b-value analysis, structural integrity, acoustic emission monitoring
© Карпинтери А., Лачидонья Дж., Пуцци С., 2008
1. Введение
Поврежденность и разрушение в гетерогенных материалах, таких как горные породы и бетон, представляет собой сложный процесс, охватывающий широкий спектр масштабов по времени и по длине, от микромасштаба до масштаба целой конструкции. Этот процесс обусловлен зарождением, ростом, слиянием микротрещин и дефектов, в конечном итоге приводящих к полному повреждению. Поврежденность и разрушение материала можно в целом считать нелинейными процессами в неравновесных условиях [1, 2], которые происходят одновременно на различных масштабах по времени и по длине в сложном взаимодействии. Различные аспекты развития и роста повреждений, особенно когда процесс обусловлен неоднородностями и нарушениями порядка, все еще остаются невыясненными [3]. Однако найдены некоторые универсальные особенности накопления повреждений и разрушения. Среди них можно упомянуть фрактальные характеристики поверхностей разрушения [4] и самоаффинную топологию с показателем шероховатости [5, 6], которые рассматриваются как универсальные. Исследование процессов микроразрушения с помощью метода акустической эмиссии выявило степенные распределения и критические явления [7-12], характеризуемые прерыванием потока событий акустической эмиссии, фрактальным распределением местоположения событий акустической эмиссии и сложным пространственно-временным взаимодействием [13]. Кроме этих особенностей, процесс повреждения и разрушения также характеризуется структуро-образованием, спонтанной самоорганизацией, кооперативными эффектами, иерархичностью структуры и масштабных эффектов, т.е. всеми типичными признаками сложных систем [14].
Таким образом, моделирование поврежденности и разрушения материала требует использования понятий, применяемых для описания сложных и многомасштабных систем, таких как фракталы и мультифракталы [15], ренормгрупповая теория [16], перколяция, самооргани-зованная критичность [17]. Модели поврежденности и разрушения материала можно классифицировать на основе понятий и теорий, которые они используют, как это сделано в работе [18], где выделены: 1) теория фазового перехода и статистическая физика, 2) бифуркации, устойчивость и самоорганизация и 3) перколяция и фракталы.
Большинство имеющихся моделей относятся к первому классу и нацелены на воспроизведение процессов образования структуры при деформации и разрушении [19]. Простые модели, такие как модель со случайно распределенными плавкими вставками и модель «волокно - пучок - сеть», в которых основным механизмом является перераспределение напряжений, вызванное повреждением отдельных элементов, достаточно хоро-
шо воспроизводят характерные структуры, наблюдаемые в реальных системах [20]. Другие модели основаны на подобии повреждаемости материала и сейсмической активности земной коры [21], а металлические образцы используются для моделирования сейсмических процессов, предваряющих землетрясение. По мнению авторов этой работы, известные модели и соотношения механики повреждений и разрушения могли бы быть использованы для предсказания землетрясений.
Среди моделей, свидетельствующих о самоорганизации при деформации и разрушении материалов, хотелось бы отметить работы В.Е. Панина [22, 23] по фрагментации и разрушению материалов. В этой иерархической модели на основе мезомеханики предложен критерий разрушения: разрушение неизбежно, когда деформация происходит на всех масштабных уровнях — мик-ро, мезо и макро. В модели [24] катастрофический отказ в результате слияния множества микротрещин интерпретируется как моментальное состояние самооргани-зованных критических явлений.
В числе других, фрактальный подход также показал свою высокую эффективность. Как «геометрия природы» [25] фракталы не только представляют собой мощный инструмент для количественного описания неровных поверхностей разрушения, но также дают возможность установить связь между микромеханическим повреждением и макромеханическим поведением. Отметим работы Д. Крайциновича, А. Ринальди [26] и А. Ринальди с соавторами [27], в которых обнаруживается связь между случайным образом распределенными повреждениями в неоднородном материале и макропараметром системы, а фрактальная размерность используется в определяющих соотношениях и законах подобия. В работе [28] исследовано формирование фрактальных структур на мезоуровне при многоуровневом подходе к описанию разрушения. А. Карпинтери [15, 16] рассмотрел фундаментальную проблему влияния масштабных эффектов на прочность и ударную вязкость материала, которые выявляются на фрактальных картинах как результат локализации повреждений при разрушении.
Недавно А. Карпинтери с соавторами [29-31] установлена связь между фрактальной размерностью центров масс трещин в трещиноватом материале, показателем у степенного распределения трещин по длине и показателем Ь. В этой статье мы кратко обобщим предложенное в [29-31] объяснение изменения показателя Ь в ходе накопления повреждений с учетом пространственного распространения трещин в материале и будем называть это обобщение автомодельным подходом. Также будет рассмотрена вторая трактовка изменения показателя Ь, основанная на хорошо известном процессе Юла [32]. Обе модельные идеализации способны описать переход к условию близкого отказа, характеризуемого Ь =
= 1.0, на основе локализации повреждений. В разделе 2 дано очень краткое введение в основы акустико-эмиссионной статистики. Раздел 3 посвящен автомодельной интерпретации изменения показателя b при повреждении материала [29-31]. Описание поврежденности и разрушения на основе процесса Юла представлено в разделе 4. В разделе 5 представлены результаты in situ экспериментов методом акустической эмиссии, проведенных в Сиракузском кафедральном соборе; результаты интерпретируются на основе представленных статистических теорий. Будет показано, что анализ показателя b с использованием статистических моделей развития микротрещин дает широкие возможности для оценки структурной целостности не только лабораторных образцов, но и реальных конструкций.
2. Акустико-эмиссионная статистика
По аналогии с сейсмическими событиями в методе акустической эмиссии магнитуда может определяться следующим образом [33, 34]:
m = Logl0 Amax + f (r) (1)
где Amax — амплитуда сигнала в мкВ; f(r) — поправочный коэффициент, посредством которого амплитуда сигнала преобразовывается в убывающую функцию расстояния r между источником сигнала и датчиком акустической эмиссии. В сейсмологии эмпирический закон Гутенберга-Рихтера [35]
Log10 N(> m) = a - bm или N(> m) = 10 a bm (2)
выражает соотношение между магнитудой и общим числом землетрясений в любом выбранном регионе в любой период времени и является одним из наиболее широко используемых статистических уравнений для описания масштабных свойств сейсмичности. В уравнении (2) N есть общее число землетрясений с магнитудой > m в данной области в определенный период времени; а и b — положительные константы, изменяющиеся от региона к региону и в разные периоды времени.
Уравнение (2) можно переписать так, чтобы учесть связь между магнитудой m и размером L дефекта, связанного с событиями акустической эмиссии. Согласно данным, полученным в сейсмологии [33], можно принять соотношение m ~ 2Log10L. При подстановке в уравнение (2) получим:
Logio(N > L) ~ L°gioL~2b. (3)
Уравнение (2) успешно используется в акустической эмиссии для исследования законов подобия в распределении амплитуд волн акустической эмиссии.
Этот подход подтверждает подобие явлений повреждения конструкций и сейсмической активности в заданном регионе земли и расширяет применимость закона Гутенберга-Рихтера до проектирования зданий и сооружений. Согласно (2) показатель b систематически изменяется в различные моменты времени в процессе по-
вреждения и поэтому может быть использован для оценки модальности развития повреждений.
3. Автомодельный подход
В этом разделе будет предложено объяснение изменения показателя Ь в процессе развития повреждений и разрушения на основе развития в материале совокупности микротрещин. По существу, процесс разрушения материала состоит из нескольких стадий [36]: зарождение и формирование микротрещин, слияние микротрещин и образование первичных трещин, автокатали-тическое распространение трещин, которое может прекратиться либо привести к разрушению тела [37]. Рост трещин происходит следующим образом [38]: под действием нагрузки формируются микротрещины, со временем микротрещина соединяется с трещиной, и это приводит к росту трещины. Очевидно, что основные механизмы — накопление микротрещин, формирование трещины и взаимодействие между ними — существенно отличаются на различных стадиях процесса разрушения. Если в нагруженном теле не существует больших трещин, микротрещины формируются случайным образом по всему телу и, по большей части, они независимы. Когда их плотность превышает определенный уровень, они сливаются и формируют первичную трещину. Чем выше плотность трещин, тем больше вероятность их слияния и формирования первичной трещины. Если материал уже содержит трещину (например сформированную по описанному выше механизму), зарождение микротрещин в пространстве не носит случайного характера, они зарождаются преимущественно в окрестности вершины за счет концентрации напряжений в этой области. Согласно результатам работы [39] в предкритическом состоянии микротрещины локализуются на некоторой поверхности, которая впоследствии будет являться местом окончательного разрушения. В смысле изменения фрактальной размерности это приблизительно соответствует двумерной поверхности разрушения, сформировавшейся в трехмерном теле.
Распределение микротрещин в материале с неупорядоченной структурой можно статистически описать, определив функцию плотности вероятности р'( Ь, 3, ф), где Ь, ф и 3 — соответственно размер микротрещины, долгота и широта ее ориентации [29-31, 40, 41]. Для простоты будем полагать пространственное распределение трещин однородным во всей фрактальной области размерностью 2 < В < 3, где положение трещин определяется их центрами масс. Более того, в предположении, что распределение трещин изотропно, т.е. р (Ь, 3, ф) = р (Ь), плотность вероятности будет иметь вид [40, 41]: р (Ь,3, ф) = р(Ь)/4п, где р(Ь) — плотность вероятности распределения микротрещин по размерам при условии, что все трещины ориентированы одинаково.
Интерес представляет распределение р(Ь) для максимального размера трещин в теле Ьтах, пропорциональное линейному размеру самого тела s, Ьтах ^ 8. Условие 8=1 соответствует случаю совершенного самоподобия, тогда как вообще 8 может отличаться от 1, обуславливая только самоаффинность. Допуская подобную гипотезу, можно показать [29-31 ], что функция плотности вероятности должна быть степенной:
р(Ь) =
(4)
по меньшей мере, для дефектов, имеющих размер больше Ь0. В выражении (4) с0 есть константа пропорциональности, а показатель у определяется как
= _о У = ~8 .
(5)
Число дефектов, размером превышающих Ь, согласно обобщенной функции (4) равно [40, 41]:
N(> Ь) Ь~
(6)
Обобщенная функция (6) формально идентична обобщенной функции Гутенберга-Рихтера в уравнении (3). Поэтому, если мы рассмотрим теперь дефекты как источники акустической эмиссии, мы можем приравнять обобщенные функции (3) и (6) и получить [9]:
У = 2Ь. (7)
Подстановкой (7) в уравнение (5) получаем следующее выражение для Ь:
и ° Ь =—, 28,
(8)
которое устанавливает связь между показателем Ь и полным статистическим описанием распределения микротрещин по размерам с учетом как размера, так и положения трещин. Очевидно, что и В, и 8 могут измениться в процессе повреждения и разрушения материала. Что касается величины 8, то, как показано в работах [29, 30], она должна быть меньше единицы, так как для 8 > 1 на достаточно больших масштабах наибольшая трещина была бы больше размеров самого тела, что подразумевает полное разрушение тела. Этот парадокс устанавливает верхнее ограничение на величину 8, а именно 8 = 1, которое может быть достигнуто только в пределе конечного разрушения. Относительно В можно сказать, что, как правило, В = 3 на ранних стадиях процесса разрушения, пока нет больших макротрещин, а зарождение микротрещин происходит равномерно по всему объему материала. При достижении стадии критического отказа микротрещины локализуются на некоторой поверхности [29-31], а фрактальная размерность меняется скачком до В = 2 [39]. Таким образом, на ранних стадиях разрушения материала можно предположить В = 3 и 8 < 1, что приводит к Ь > 1.5. С другой стороны, перед окончательным разрушением В = 2 и 8 = 1, что дает Ь = 1.0.
Из литературных данных по испытаниям с помощью метода акустической эмиссии хорошо известно, что показатель Ь уменьшается при приближении тела к отказу [7-9], подтверждая стремление Ь к критической величине Ьсг = 1.0 в момент распространения итоговой трещины. Рассмотренный автомодельный подход предлагает простое объяснение такому тренду величины Ь через развитие совокупности микротрещин в материале. Условие Ь = 1.0, по-видимому, является нижним пределом, достигаемым при локализации повреждений вдоль сквозной поверхности разрушения. Условие 8 =1 означает, что максимальный дефект соразмерен характерному размеру тела. Оба условия выполняются при полном разрушении [29-31].
До сих пор не было сделано никаких допущений относительно показателя у, который, в принципе, может иметь любую величину больше 1. В действительности, величины у меньшие 2 недопустимы, поскольку Ь обычно не падает меньше 1.0 (см. (7)). Тем не менее, для достаточно малых тел распределение дефектов по размерам в диапазоне 1 < у < 2 имеет физический смысл, поскольку неравенство Ьтах < s все еще может выполняться, даже если 8 > 1. Фактически, невыполнение предельного условия 8 = 1 подразумевает, что у может быть меньше 2 в соответствии с уравнением (5). Через показатель Ь условие 1 < у < 2 можно записать как 1/2 < Ь < 1. Экспериментальные результаты подтверждают, что величина показателя Ь варьирует в диапазоне между 1/2 и 1.0 [7-9], что можно объяснить, используя степенные распределения дефектов по размерам [29-31, 40, 41]. Следует отметить, что такой диапазон изменения Ь также наблюдался в тектонических исследованиях [42, 43]. Объяснение таких значений показателя Ь через распределение дефектов по размерам приводит к закритичес-кому режиму, определяющему поведение тел в особых условиях. По-видимому, фрагментация конструкции воспроизводит, в сильно уменьшенном масштабе, схему, предложенную в теории тектоники плит, согласно которой поверхность Земли разбита на большие плиты, движущиеся относительно друг друга [42, 43].
4. Модель на основе процесса Юла
Процесс Юла был впервые предложен в 1925 г. [32] для объяснения степенного распределения размеров биологических таксонов. Виллисом и Юлом было замечено [44], что распределение числа видов в родах, семействах и других таксономических группах, по-видимому, является степенным. С тех пор процесс Юла был успешно адаптирован и обобщен для объяснения степенного распределения во многих других системах, например для размера городов [45], количества ссылок на публикации [46, 47], размера компаний [48], ссылок на интернет-страницы [49, 50] и распространения заболеваний, передающихся половым путем [51].
у
Рассмотрим два уровня таксономического деления, а именно род и вид. Модель Юла фокусируется на размере родов, т.е. на числе видов в каждом роде. Виды добавляются в роды посредством видообразования, т.е. делением одного вида на два. Если предположить, что видообразование происходит с некоторой стохастически постоянной скоростью, то отсюда следует, что род, состоящий из к видов, будет пополняться новыми видами со скоростью, пропорциональной его размеру к, поскольку каждый вид имеет одинаковую вероятность деления пополам. Таким образом, вероятность появления нового вида в роде пропорциональна числу видов, которые в нем уже есть. В работе [45] процесс типа «богатый становится еще богаче» назван принципом Гибрата. Он также получил название принципа накопленного преимущества [46], предпочтительной принадлежности [49, 50], или эффекта Матфея [52]. Юл также предположил, что иногда новые образовавшиеся виды настолько отличаются от других в их роде, что их нужно рассматривать как основу создания нового рода. В его модели это также происходит с постоянной скоростью, скажем, один раз на каждые т случаев образования нового вида, поэтому число родов неуклонно увеличивается. Анализируя эту простую стохастическую модель, Г. Саймон [45] обнаружил, что предельное распределение для размера рода имеет особую форму, которую он назвал распределением Юла. Это распределение можно рассматривать как обобщение степенного закона для отдельного случая.
В этом разделе процесс Юла будет применен к процессу разрушения. С этой целью будем считать, что процесс разрушения является квантованным, т.е. трещина зарождается и распространяется только до определенного размера, связанного с минимальным приращением трещины и с минимальным событием акустической эмиссии. Теперь нас интересует распределение трещин по размерам, возникшее в ходе зарождения и распространения трещин, связанных с элементарными событиями акустической эмиссии. Таким образом, трещина выступает в качестве рода, в то время как наименьшее событие акустической эмиссии играет роль вида. Каждый раз при возникновении акустической эмиссии это событие может привести либо к созданию новой элементарной трещины, либо к распространению существующей трещины на некоторую фиксированную величину (квант разрушения). Первое событие эквивалентно возникновению нового рода в исходной модели Юла, последнее соответствует обычному видообразованию внутри рода. Таким образом, размер родов (число видов) в исходной модели Юла здесь заменяется размером трещин (числом происходящих одновременно элементарных событий акустической эмиссии, которые приводят к появлению трещины).
Обозначим течение времени в модели индексом времени t и предположим, что на каждом временном шаге
п новых событий акустической эмиссии генерируют новые трещины, увеличивая тем самым число трещин на п, а т других событий увеличивают размер имеющихся трещин пропорционально их размеру (либо числу происходящих одновременно событий акустической эмиссии, генерирующих их). Стоит отметить, что гипотеза о сохранении предпочтительной принадлежности для совокупности растущих трещин проверена физически: каким бы ни был тип разрушения, именно распределение напряжений определяет следующую стадию процесса разрушения. Перераспределение напряжений при наличии трещины создает условия для роста самой трещины. Естественно, реальность более сложна, и детальное физическое описание образования трещин в неоднородном материале должно учитывать механизмы, действующие на всех масштабах времени и длины. Мы не претендуем на то, что такая простая модель окажется реалистичным описанием сложного взаимодействия трещин в структурно-неоднородном материале. Мы только указываем на то, что гипотеза предпочтительной принадлежности может быть полезна для более полного понимания того, что происходит при таком сложном явлении, как взаимодействие совокупности трещин.
Обозначим через рк 1 долю трещин, возникших при к событиях акустической эмиссии за время t, тогда как общее число трещин в конструкции равно п^ Таким образом, число таких трещин равно Рк ^. Теперь рассчитаем вероятность того, что следующий квант разрушения, соответствующий событию акустической эмиссии, будет добавлен к некоторой (скажем, г-й) трещине размером к (т.е. трещине, образованной к событиями акустической эмиссии). Эта вероятность пропорциональна кг-, при нормировке получим к^2 к. Сумма 2к представляет собой общее число событий акус-
I
тической эмиссии до того момента, когда число трещин будет равно (т + п^ для данного случая. Кроме того, за период с момента времени t до следующего момента ^+ 1) добавляется т новых квантов разрушения, поэтому вероятность того, что трещина г получит новый квант разрушения в этом временном интервале, равна тк^/((т + п)). Общее число трещин размером к, которые получат приращение за этот период времени, достигает
( + V—* + — ^
(т + п)ґ т + п
На каждом шаге по времени число трещин размером к уменьшается на это число, за счет увеличения их размера на единицу они становятся трещинами размера к + 1. С другой стороны, в течение этого же интервала число трещин размером к увеличивается, поскольку часть трещин размером к - 1 увеличивает размер на единицу. В результате, определяющее уравнение для нового числа трещин pk г+іп(ґ +1) размером к можно записать как
Pk ,t+1n(t + !) =
= Pktnt+-
mn
m + n
[(k -1)Pk-1,t -kPk,t]
которое справедливо для всех к за исключением 1. В последнем случае уравнение (10) заменяется следующим соотношением:
mn
Pl,t+in(t + 1) = Pi tnt + n -------pl t,
m + n
(11)
поскольку по определению именно п новых трещин возникает на каждом новом шаге по времени. Теперь рассмотрим распределение трещин по размерам в приближении больших времен, t ^ М. Предположим, что вне зависимости от t распределение стремится к некоторой фиксированной величине:
Рк =lim Рк 1. (12)
Тогда получим рекурсивное решение для
Pk =■
к -1
k +1 + nlm Итерируя, получим:
Pk-1-
(13)
Pk =
(k - 1)(k - 2)...1
-P1-
(k +1 +1/ m) (k +1/ m) ...(3 + n/m)
Величину P1 можно рассчитать из уравнения (11): m + n
(14)
P1 % +
2m + n
Подставляя (15) в выражение (14), имеем:
Pk =
= (1 + n/m)-
(k - 1)(k - 2)...1
(15)
(16)
(k +1 + n/m) (k + n/m) ...(2 + n/ m)
Это выражение можно упростить, принимая во внимание рекурсионное свойство гамма-функции,
Г( x) = ( x - 1)Г( x -1),
и учитывая, что Г(1) = 1:
„ , . r(k)Г(2 + n/m)
Pk = (1 + n/m) Г(/+; + ) =
1 (k + 2 + n/m)
= (1 + n/m)B(k, 2 + n/m), (17)
где B(a, b) — бета-функция, B(a, b) = Г(а)Г(Ъ)/Г(а + b), Г(а) — обычная гамма-функция. Полученное распределение в точности воспроизводит распределение Юла [45]. Бета-функция имеет интересное свойство: для больших значений какого-либо из ее аргументов она подчиняется степенному закону. Например, для большого a и заданного b B(a, b) ~ a~ъ. В нашем случае можно сразу видеть, что Pk имеет однохвостный вид с экспонентой:
n
в = 2 + —.
(18)
Отношение п/т можно рассматривать как отношение энергии образования новых трещин к энергии распространения имеющихся трещин. Оценим влияние этого параметра на показатель Ь. Из уравнения (4) мож-
но предположить, что функция плотности вероятности для размеров трещин имеет следующую кумулятивную
(10) форму:
P(L) « L
-2b-1
(19)
С другой стороны, показатель этого распределения, предложенный в интерпретации процесса Юла, определяется уравнением (18). В результате получим:
2Ь +1 = 2 + —, (20)
т
разрешая относительно Ь, имеем:
Ь = ^^1 + -—^. (21)
2 I т I
Если значение — т уменьшается, показатель Ь также уменьшается. Это означает, что более локализованному процессу повреждения (где большая часть энергии затрачивается на распространение, а не на образование трещин) соответствует более низкое значение Ь, и наоборот, обширному распространению повреждений (большая часть энергии израсходована на формирование новых трещин) отвечает большее значение Ь. Таким образом, изменение показателя Ь в ходе эксперимента можно рассматривать как увеличение локализации повреждений, как в предыдущей модели. В частности, условие Ь = 1.0 соответствует отношению т/п = 1.0, при котором одинаковое количество энергии затрачивается на генерацию новых микротрещин и распространение имеющихся. Можно видеть, что уравнение (21) предсказывает более низкий предел для Ь, равный 1/2. Это не противоречит экспериментальным данным, поскольку, как правило, показатель Ь стремится к единице, когда окончательное разрушение неизбежно, но в экспериментах получены более низкие значения показателя [8].
В итоге будем считать, что предложенная формула (21) объясняет наблюдаемый на практике верхний предел показателя Ь в испытаниях методом акустической эмиссии. Как правило, даже на самых ранних стадиях процесса трещинообразования величина Ь не превышает 2.5. Согласно полученной формуле эта величина соответствовала бы отношению т/п = 0.25 для ранней стадии процесса накопления повреждений: большая часть энергии (приблизительно 80 %) расходуется на формирование новых трещин, распространение уже существующих микротрещин требует незначительных затрат энергии.
5. Исследование на конкретном примере: Сиракузский кафедральный собор
5.1. Описание Сиракузского кафедрального собора
Греческий Храм Афины V в. до н.э. в Сиракузах (Сицилия) в 17 веке был перестроен в католическую церковь, которая позднее стала Кафедральным собором города. В течение веков здание многократно перестраивали. В облике собора легко различимы несколько сти-
470 г. до н.э. VI век н.э. XI век н.э. XVII век н.э.
Рис. 1. Сиракузский кафедральный собор (а) и его перепланировки (б)
Настоящее время
лей и конструкционных особенностей разных эпох: древнегреческие колонны на внешних стенах и глухая стена византийской эпохи между ними, фасад в стиле барокко, апсида и часовни. К тому же, Сиракузы находятся в сейсмически опасном регионе, и Кафедральный собор несколько раз был поврежден, затем восстанавливался или частично перестраивался [53]. На рис. 1 представлен фасад Кафедрального собора, выполненный в стиле барокко.
Пилоны Собора представляют особый интерес, поскольку они высечены из каменной кладки стен внутренней части греческого храма. На пилонах видны участки, подвергавшиеся ремонту и замене, и трещины. Многие трещины направлены вертикально в результате действия сжимающих напряжений. Во время землетрясений также возникают напряжения сжатия при изгибе.
Чтобы оценить степень поврежденности, были детально обследованы несущие конструкции и измерена глубина повреждений с использованием метода неразрушающего контроля. Кроме того, в течение почти двух лет осуществлялся мониторинг развития трещин для выявления тренда в распространении некоторых трещин в пилонах с номерами 18, 19, 29 и 30, где позднее предполагалось оценить поврежденность с помощью метода акустической эмиссии (рис. 2).
5.2. Исследуемая конструкция
Контроль состояния одного из пилонов Кафедрального собора осуществляли с помощью метода акустической эмиссии. Греческий храм имел 14 колонн вдоль боковых стен и 6 на передней. Некоторые из них, принадлежавшие перистилю и стилобату, легко определить и сейчас. На плане Кафедрального собора (рис. 2, а) все пилоны и колонны внутри здания отмечены номерами.
Дорические колонны отмечены номерами 1-8; 22, 23; 33-40, остальные номера принадлежат пилонам, высеченным из внутренних стен храма, сложенных из известняка. Длительный мониторинг распространения трещин позволил определить, что в наиболее критическом состоянии находятся пилоны 18, 19, 29 и 30, расположенные в одном из концов центрального нефа (отмечены окружностью на рис. 2, а). Эти пилоны сильно повреждены, имеют дополнительные слои штукатурки и заметные трещины, которые в некоторых случаях, по-видимому, перерезают каменные блоки кладки. Аксонометрическая проекция пилона 19, выбранного для проведения испытаний с помощью метода акустической эмиссии, приведена на рис. 2, в.
Считается, что этот пилон (за исключением некоторых работ по упрочнению конструкции, выполненных при реставрации в 1926 г.) сложен из известняковых блоков, возможно еще тех, что использованы при строительстве Храма Афины в 5 веке до н.э. Исследования показали, что наличие участков с кирпичной кладкой и их более низкая жесткость вероятно являются причиной развития повреждений в каменных блоках.
5.3. Оборудование для контроля методом акустической эмиссии и особенности его применения in situ
Мониторинг конструкции с помощью метода акустической эмиссии позволяет определить наличие и развитие трещин, вызванных действием напряжений. Образование трещин сопровождается испусканием упругих волн, распространяющихся в объеме материала. Эти волны можно зарегистрировать с помощью пьезоэлектрических датчиков, установленных на поверхности элементов конструкции. Сигнал анализируется измерительной системой, подсчитывающей события акустической
Рис. 2. План Сиракузского кафедрального собора (а) с выделенными пилонами 19, 20, 30 и 31. Расположение датчиков акустической эмиссии на пилоне 19: общий вид (б), аксонометрическая проекция (в)
эмиссии, при которых напряжение превышает некую пороговую величину. Для исследования вертикальных несущих конструкций Сиракузского кафедрального собора авторы адаптировали самое современное оборудование — шесть устройств и8АМ®, работу которых можно синхронизировать для многоканальной обработки данных. Наиболее существенные параметры (частоты в диапазоне 50-800 кГц, время прибытия и амплитуда волны, длительность сигналов, число событий и колебаний) записывались в память устройства и8АМ и затем использовались для компьютерной многоканальной обработки данных. С помощью такой методики определяли положение микротрещин и состояние в исследуемом образце [9, 54]. На всех сторонах пилона 19 видны системы трещин. Датчики акустической эмиссии были установлены в средней части пилона (схему распо-
ложения см. на рис. 2, б, в). Датчики приклеивали силиконовой смолой к двум граням пилона. Кремнийорга-нические смолы хорошо проводят ультразвук, и затухание сигнала в слое между образцом и датчиком минимально.
5.4. Результаты мониторинга
Мониторинг был начат в 11:00 19 сентября 2006 г. и закончен в 12:20 21 января 2007 г. Собранные данные были проанализированы, чтобы понять, как развиваются повреждения и определить положения источников акустической эмиссии в пилоне.
Сигнал акустической эмиссии, полученный датчиками, обрабатывается анализатором, который подсчитывает число колебаний, превысивших пороговое напряжение. Это позволяет построить интегральные кривые
Время проведения мониторинга, дни
Рис. 3. Дифференциальное (а) и интегральное (б) число колебаний акустической эмиссии в течение мониторинга состояния пилона 19. На графике отмечены дата и магнитуды наиболее крупных сейсмических событий вблизи г. Сиракузы в этот период времени. Данные о землетрясениях взяты с веб-сайта www.ct.ingv.it/Sismologia/GridSism.asp, Seismic Data Analysis Group of Catania (Grnppo di Analisi Dati Sismici - INGV-CT)
для всего периода измерений. Этот метод, называемый методом прямого подсчета (Ring-Down Counting), широко используется для диагностики дефектов (рис. 3). В грубом приближении подсчитанное число N, т.е. число колебаний на единицу времени, (дифференциальная функция) можно сравнить с величиной энергии, высвобождаемой за время проведения мониторинга. Можно предположить, что относительные суммы (интегральная функция) возрастают пропорционально расширению зоны поврежденности. Это допущение применимо только при медленном накоплении повреждений [34, 5557]. На рис. 3 для пилона 19 построены дифференциальная и интегральная кривые для числа сигналов, регистрируемых в течение дня, для всего периода наблюдений. При мониторинге в качестве пороговой величины напряжений выбрана неизменная величина 100 мкВ. По опыту авторов именно такая величина наиболее значима при использовании акустической эмиссии для исследования повреждений в неметаллических материалах, таких как бетон и каменная кладка [54, 58, 59].
Из кривых видно, что в пилоне действительно развиваются повреждения. Необходимо отметить, что за период наблюдения несколько сильных сейсмических событий зарегистрировано в радиусе 50 км от г. Сиракузы. На рис. 3 можно видеть резкое возрастание величины колебаний в определенные периоды. Эти всплески совпадают со скачками на интегральной кривой и выявляют интересную корреляцию между определяемыми экспериментально событиями акустической эмиссии и сейсмическими событиями. По-видимому, число событий акустической эмиссии в периоды сейсмической не-
активности возрастает практически линейно. Поэтому можно предположить, что разрывы интегральной функции соответствуют критическим моментам, в которые происходит высвобождение максимального количества энергии за счет эволюции повреждений в конструкции.
5.5. Статистическое распределение событий акустической эмиссии: анализ на основе показателя Ь
Античный камень, используемый в конструкциях Храма Афины, представляет собой известняк, добытый в районе Племмирио, к югу от Сиракуз, где археологами обнаружены каменоломни греческого периода. При последней реставрации некоторые поврежденные каменные блоки были заменены новыми блоками из того же камня. Часть одного из удаленных блоков была использована для определения в лаборатории механических свойств материала, после того как он прослужил 2 400 лет в несущих конструкциях Кафедрального собора. Из каменного блока было вырезано несколько цилиндрических образцов диаметром 30, 60 и 120 мм при степени сплюснутости X = 1 (рис. 4). Для экспериментов использовали по три образца диаметром 30 мм ^1а -с) и 60 мм ^2а-с) и два образца диаметром 120 мм (Б3а ь). С использованием метода акустической эмиссии были выполнены тесты на сжатие при постоянной скорости нагружения 4 • 10-4 мм/с.
В табл. 1 приведены данные об объеме, средних значениях пиковой нагрузки и числе событий акустической эмиссии Жтах до пиковой нагрузки. Для всех образцов выполнен анализ изменения показателя Ь при сжатии.
Таблица 1
Средние величины по данным тестов на сжатие
Образцы Вес, г Диаметр, мм Объем, см3 Максимальная нагрузка, кН Давление, МПа Nmax до достижения au
S1a -с 40 30 21.195 7.12 10.0 -500
S2a-C 235 60 169.56 24.60 8.7 -2400
S3a-b 730 120 1356.48 96.59 8.5 -10200
Р/Рт
0.0
Р/Ргг 1.0
P/Pm
0.0
Рис. 5. Тренд изменения показателя Ь для образцов 81а, 82а, 83а . Максимальная нагрузка 7.12 (а), 24.6 (б ), 96.59 кН (в)
Показатель Ь описывает наклон регрессионной линии на «логлинейной» диаграмме распределения амплитуды сигналов акустической эмиссии [8, 30, 31, 60].
Характерные тренды изменения показателя Ь при испытаниях на сжатие для образцов всех трех типов показаны на рис. 5. Показатели Ь рассчитаны методом скользящих окон для 100 последовательных событий акустической эмиссии. Другими словами, показатель Ь в экспериментах рассчитывался только с учетом текущих значений, отбрасывая предыдущие. В этом методе, уже адаптированном в других работах для анализа по-врежденности элементов бетонных конструкций и горных пород [8, 60], время испытаний образцов S1a, S2a и S3a подразделялось на 5, 24 и 102 интервала (500, 2400 и 10200 событий) соответственно.
На рис. 5 конечная величина показателя Ь для образцов S1a и S3a меньше 1.0. Уравнение (6) позволяет проследить изменение размеров совокупности трещин при трещинообразовании и развитии повреждений и дает возможность для трактовки экспериментально наблюдаемых изменений показателя Ь, который можно выразить, как показано выше, как Б/ 2 [29, 30].
Из рис. 5 также видно, что акустическая эмиссия, возникающая на ранних стадиях нагружения, предполагает большую величину показателя Ь (>1.5) за счет схлопывания существующих в горных породах микротрещин [60], что приводит к нескольким событиям акустической эмиссии с низкой амплитудой. Ограничив себя рассмотрением интервала 1.0 < Ь < 1.5, что влечет 2 < < D < 3, можно видеть, что на следующих стадиях нагружения, когда ведущим механизмом является образование трещин, трещины равномерно распределены по всему объему образцов (Ь = 1.5, D = 3). Затем происходит слияние микротрещин во все более и более крупные трещины, в результате величина показателя Ь становится меньше 1.5. Непосредственно перед окончательным разрушением процесс накопления повреждений локализуется у трещин вблизи поверхности окончательного разрушения. Можно видеть, что для всех образцов в интервале 0.8 < ¿/¿тах < 1.0 происходит резкое уменьшение значения Ь. На этой стадии распространение и слияние трещин являются ведущим механизмом развития разрушения и происходит сильная локализация [6163]. Если число трещин пропорционально размеру ис-
LogN
Рис. 6. Зависимость распределения амплитуд сигналов акустической эмиссии от интенсивности достигнутой нагрузки для образца S2a (а). В аналогичном тесте для образцов 81а, 82а и 83а показатель Ь стремится к 1.0 (б), когда отношение а/аf превысит 80 %
b
2.0
0.0 \----,-,----,-.----,-,---.-,----,-,------.-
0 20 40 60 80 100 120
Время проведения мониторинга, дни
Рис. 7. Тренд изменения показателя Ь, рассчитанный на основе данных мониторинга состояния пилона 19
следуемого элемента, показатель Ь достигает значения 1.0 и фрактальная размерность повреждения D равна
2. Тот факт, что на последних стадиях нагружения значение Ь может упасть ниже 1.0 (образцы 81а, 83а) означает возрастание поврежденности при преимущественном распространении существующих трещин, а не образовании новых (см. уравнение (21)). Кроме того, падение величины Ь ниже 1.0 можно объяснить фрагментацией образца на части и влиянием трения между ними [30, 31]. Эти явления, по-видимому, воспроизводят в сильно уменьшенном масштабе схему, предложенную в теории тектоники плит, когда поверхность земли разбивается на большие плиты, движущиеся относительно друг друга [42, 43].
Для образцов среднего размера (тип 82) распределения амплитуды сигналов акустической эмиссии (рис. 6, а) меняются с ростом интенсивности нагружения в ходе эксперимента. Результаты получены на основе расчета показателя Ь для всех данных акустической эмиссии, полученных при различной степени нагружения. Аналогичные результаты получены и для образцов типа 81 и 83. Таким образом, показатель Ь можно рассматривать не только как индикатор слияния трещин на поверхностях разрушения, но и как хороший индикатор уровня достигнутой нагрузки. На рис. 6, б видно, что для всех образцов показатель Ь стремится к 1.0, когда величина отношения а/аf превысит 80 %.
Изменение величины показателя Ь, рассчитанное на основе данных, полученных при мониторинге состояния пилона 19, показано на рис. 7. Осциллирующий характер изменения величины показателя Ь подтверждает тот факт, что процесс повреждения пилона происходит в метастабильных условиях и может в любое время перейти в критический режим. Фактически, в период мониторинга величина показателя Ь варьировала в интервале между 1.5 и 1.0. Согласно трактовке показателя Ь на основе статистики Юла (уравнение (21)) механизм развития микротрещин в объеме исследуемого материала менялся от преимущественного образования новых трещин при Ь = 1.5 до преобладающего роста уже существующих в материале трещин при Ь = 1.0. С позиций автомодельного подхода это соответствует образованию новых микротрещин в объеме материала ^ = 3) или
близости к формированию поверхности окончательного разрушения (D = 2).
Рассматривая соотношение показателя b и напряжений на рис. 6, б и сравнивая их с величинами на рис. 7, можно найти диапазон значений b, при котором напряжение превысит 80 % предела прочности. В течение мониторинга состояния пилона 19 в районе Сиракуз произошло несколько землетрясений. Из сравнения рис. 3 и 7 можно видеть, что каждое сейсмическое событие сопровождалось ростом степени поврежденнос-ти, что следует из уменьшения величины показателя b, которая приблизилась к 1.0. Естественно предположить, что такие условия нагружения могут вызывать появление сжимающих напряжений изгиба в исследуемом пилоне при достижении уровня напряжений, близкого к напряжениям разрушения. Таким образом, показатель b можно рассматривать в качестве индикатора уровня напряжений, достигнутого в исследуемых конструкциях.
6. Заключение
В работе предложено два различных объяснения изменения показателя b в процессе разрушения. Предложенные модели описывают изменение этого параметра при приближении к состоянию неизбежного разрушения, характеризуемого величиной b = 1.0, на основе анализа локализации повреждений и слияния трещин. В экспериментах, выполненных на реальной конструкции, с помощью метода акустической эмиссии исследована эволюция повреждений в пилоне из известняковых блоков, представляющем собой часть вертикальной несущей конструкции Сиракузского кафедрального собора. Мониторинг состояния конструкций осуществлен с использованием оборудования USAM® лаборатории механики разрушения факультета проектирования зданий и сооружений Туринского политехнического университета. Это оборудование позволяет получать большое количество данных в ходе мониторинга и затем проводить полный анализ сигналов акустической эмиссии, чтобы определить изменение показателя b для всего периода исследований. Часть одного из замененных при реставрации каменных блоков пилона была использована для определения в лаборатории механических свойств и статистического распределения данных акустической эмиссии в материале, который 2400 лет являлся частью несущей конструкции Кафедрального собора в г. Сиракузы.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Программы Леонардо да Винчи Европейского Союза, проект ILTOF. Авторы благодарят профессора L. Binda (Po-litecniko di Milano), архитектора A. Muti и архитектора L. Regalbuto (Soprintendenza of Syracuse) и доктора A. Manuello (Politecnico di Torino).
Литература
1. Fineberg J., Marder M. Instability in dynamic fracture // Phys. Reports. - 1991. - V. 313. - P. 1-108.
2. Curran D.R., Seaman L., Shockey D.A. Dynamic failure of solids // Phys. Reports. - 1987. - V. 147. - P. 253-388.
3. Barenblatt G.I. Micromechanics of Fracture // Theoretical and Applied
Mechanics: Proceedings of the 18th ICTAM, Haifa, Israel, 1992 / Ed. by S.R. Bodner, J. Singer, A. Solan. - Amsterdam: Elsevier, 1992. -P. 25-52.
4. Mandelbrot B.B., Passoja D.E., Paullay A.J. Fractal character of fracture surfaces of metals // Nature. - 1984. - V. 308. - P. 721-722.
5. Cahn R. Fractal dimension and fracture // Nature. - 1989. - V. 338. -P. 201-202.
6. Bouchaud E., Lapasset G., Planés J. Fractal dimension of fractured surfaces: A universal value // Europhysics Letters. - 1990. - V. 13. -P. 73-79.
7. Sammonds P.R., Meredith P.G., Murrel S.A.F., Main I.G. Modelling the Damage Evolution in Rock Containing Porefluid by Acoustic Emission // Proceedings of Eurock’94. - Rotterdam, The Netherlands: Bal-kema, 1994.
8. Colombo S., Main I.G., Forde M.C. Assessing damage of reinforced concrete beam using “b-value” analysis of acoustic emission signals // J. Mat. Civil Eng. ASCE. - 2003. - V. 15. - P. 280-286.
9. CarpinteriA., Lacidogna G., Niccolini G. Critical behaviour in concrete
structures and damage localization by Acoustic Emission // Key Eng. Mat. - 2006. - V. 312. - P. 305-310.
10. Rundle J.B., Turcotte D.L., Shcherbakov R., Klein W., Sammis C. Statistical physics approach to understanding the multiscale dynamics of earthquake fault systems // Rev. Geophys. - 2003. - V. 41. - P. 1-
30.
11. Sethna J.P., Dahmen K.A., Myers C.R. Crackling noise // Nature. -2001. - V. 410. - P. 242-250.
12. Garcimartin A., Guarino A., Bellon L., Ciliberto S. Statistical properties of fracture precursors // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 79. - P. 32023205.
13. Lu C., Mai Y-W., Shen Y-G. Optimum information in cracking noise // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 72. - P. 027101-1.
14. Carpinteri A., Puzzi S. Fracture mechanics and complexity sciences. Part I. Order emerging from complex systems: Fractals and renormalization group // Strength, Fract. Compl. - 2006. - V. 4. - P. 189-200.
15. Carpinteri A. Fractal nature ofmaterial microstructure and size effects on apparent mechanical properties // Mech. Mat. - 1994. - V. 18. -P. 89-101.
16. Carpinteri A. Scaling laws and renormalization groups for strength and toughness of disordered materials // Int. J. Solids Struct. - 1994. -V. 31. - P. 291-302.
17. Caldarelli G., Di Tolla F.D., Petri A. Self-organization and annealed disorder in a fracturing process // Phys. Rev. Lett. - 1996. - V. 77. -P. 2503-2506.
18. Mishnaevsky L. (Jr) Methods of the theory of complex systems in modelling of fracture: A brief review // Eng. Frac. Mech. - 1997. -V. 56. - P. 47-56.
19. Meakin P Models for material failure and deformation // Nature. -1991. - V. 252. - P. 226-234.
20. Statistical Models for the Fracture of Disordered Media / Ed. by H.J. Herrmann, S. Roux. - Amsterdam: North-Holland, 1990. - 353 p.
21. Petersen T.V., Botvina L.R. Modeling of seismic activity by acoustic emission testing of metals // Geophys. Res. Abstr. - 2004. - V. 6. -P. 07454.
22. Панин B.E. Физические основы мезомеханики среды со структурой // Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 4. -С. 5-18.
23. Panin V.E. Overview on mesomechanics of plastic deformation and fracture of solids // Theor. Appl. Frac. Mech. - 1998. - V. 30. - P. 111.
24. Lu C., Mai Y-W., Bai Y. Fractals and scaling in fracture induced by microcrack coalescence // Phil. Mag. Lett. - 2005. - V. 85. - P. 6775.
25. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.
26. Krajcinovic D., Rinaldi A. Statistical damage mechanics. 1. Theory // J. Appl. Mech. - 2005. - V. 72. - P. 76-85.
27. Rinaldi A., Mastilovic S., Krajcinovic D. Statistical damage mechanics. 2. Constitutive relations // J. Theor. Appl. Mech. - 2006. - V. 44. -P. 585-602.
28. Panin V, Elsukova T., Angelova G., Kuznetsov P. Mechanism of formation of fractal mesostructure at the surface of polycrystals upon cyclic loading // Phys. Met. Metallogr. - 2002. - V. 94. - P. 402^12.
29. Carpinteri A., Lacidogna G., Puzzi S. From criticality to final collapse: Evolution of the “¿-value” from 1.5 to 1.0 // Chaos, Solitons and Fractals (in print).
30. Carpinteri A., Lacidogna G., Niccolini G., Puzzi S. Critical defect size distributions in concrete structures detected by the acoustic emission technique // Meccanica, doi:10.1007/s11012-007-9101-7 (in print).
31. Carpinteri A., Lacidogna G., Niccolini G., Puzzi S. Morphological fractal dimension versus power-law exponent in the scaling of damaged media // Int. J. Damage Mech. (in print).
32. Yule G.U. A mathematical theory of evolution based on the conclusions of Dr. J.C. Willis // Phil. Trans. Royal Soc. London B. - 1925. -V. 213. - P. 21-87.
33. Kanamori H., Anderson D.L. Theoretical basis of some empirical relations in seismology // Bull. Seimol. Soc. Amer. - 1975. - V. 65. -P. 1073-1096.
34. Pollock A.A. Acoustic emission. 2. Acoustic emission amplitudes // Non-Destructive Testing. - 1973. - V. 6. - P. 264-269.
35. Richter C.F. Elementary Seismology. - San Francisco - London: W.H. Freeman, 1958.
36. Mishnaevski L. Determination for the time-to-fracture of solids // Int. J. Fract. - 1996 - V. 79. - P. 341-350.
37. Финкель В.М. Физические основы торможения разрушения. - М.: Металлургия, 1977. - 270 с.
38. Shioya T., Koga Y, Fujimoto K., Ishida R. Micromechanism of dynamic crack propagation in brittle materials // J. de Physique. Colloque C3. - 1988. - V. 9. - P. 253-260.
39. Lu C., Mai Y-W, Xie H. A sudden drop of fractal dimension: a likely precursor of catastrophic failure in disordered media // Phil. Mag. Lett. - 2005. - V. 85. - P. 33^0.
40. Carpinteri A. Mechanical Damage and Crack Growth in Concrete: Plastic Collapse to Brittle Fracture. - Dordrecht, Martinus Nijhoff Publishers, 1986 - 234 p.
41. Carpinteri A. Decrease of apparent tensile and bending strength with specimen size: two different explanations based on fracture mechanics // Int. J. Solids Struct. - 1989. - V. 25. - P. 407-429.
42. Turcotte D.L. Fractals and Chaos in Geology and Geophysics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1997. - 398 p.
43. Schorlemmer D., Wiemer S., Wyss M. Variations in earthquake-size distribution across different stress regimes // Nature. - 2005. - V. 348. -P. 539-542.
44. Willis J. C., Yule G. U. Some statistics of evolution and geographical distribution in plants and animals, and their significance // Nature. -1922. - V. 109. - P. 177-179.
45. Simon H.A. On a class of skew distribution functions // Biometrika. -1955. - V. 42. - P. 425^40.
46. De S. Price D.J. A general theory of bibliometric and other cumulative advantage processes // J. Amer. Soc. Information Science. - 1976. -V. 27. - P. 292-306.
47. Krapivsky PL., RednerS., LeyvrazF. Connectivity of growing random networks // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 85. - P. 4629-4632.
48. Costantini D., Donadio S., Garibaldi U., Viarengo P. Herding and clustering: Ewens vs. Simon-Yule models // Physica A. - 2005. -V. 355. - P. 224-231.
49. Barabasi A-L., Albert R. Emergence of scaling in random networks // Science. - 1999. - V. 286. - P. 509-512.
50. Dorogovtsev S.N., Mendes J.F.F., Samukhin A.N. Structure of growing networks with preferential linking // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 85. -P. 4633-4636.
51. Jones J.H., HandcockM.S. An assessment of preferential attachment as a mechanism for human sexual network formation // Proc. Royal Soc. B. - 2003. - V. 270. - P. 1123-1128.
52. Merton R.K. The Matthew effect in science // Science. - 1968. -V. 159. - P. 56-63.
53. Binda L., Cantini L, Condoleo P, Saisi A., Zanzi L. Investigation on the Pillars of the Syracuse Cathedral in Sicily // Proceedings of the 3-Day Int. Conf. Structural Faults & Repair / Ed. by M.C. Forde. - Edinburgh: Engineering Technics Press, 2006. - CD-ROM. - P. 1-12.
54. Carpinteri A., Lacidogna G., Manuello A. Damage mechanisms interpreted by acoustic emission signal analysis // Key Eng. Mat. -2007. - V. 347. - P. 577-582.
55. Brindley B.J., Holt J., Palmer I. G. Acoustic emission. 3. The use of ring-down counting // Non-Destructive Testing. - 1973. - V. 6. -P. 299-306.
56. Swindlehurst W. Acoustic emission. 1. Introduction // Non-Destructive Testing. - 1973. - V. 6. - P. 152-158.
57. Carpinteri A., Lacidogna G., Pugno N. Structural damage diagnosis and life-time assessment by acoustic emission monitoring // Eng. Fract. Mech. - 2007. - V. 74. - P. 273-289.
58. Carpinteri A., Lacidogna G. Structural monitoring and integrity assessment of medieval towers // J. Struct. Eng. ASCE. - 2006. -V. 132.- P. 1681-1690.
59. Carpinteri A., Lacidogna G., Paggi M. Acoustic emission monitoring and numerical modelling of FRP delamination in RC beams with non-rectangular cross-section // Mat. Struct. RILEM. - 2006. - V. 40. -P. 553-566.
60. Rao M.V.M.S., Prasanna Lakshmi K.J. Analysis of b-value and improved b-value of acoustic emissions accompanying rock fracture // Current Science. - 2005. - V. 89. - P. 1577-1582.
61. Harris D. O., Tetelman A.S., Darwish F.A. Detection of fiber cracking by acoustic emission // Quoted in R.G. Liptai, D.O. Harris, C.A. Tatro, Acoustic Emission, STP505. - Philadelphia: Amer. Soc. Testing Mat., 1972.
62. Morel S., Schmittbuhl J., Bouchaud E., Valentin G. Scaling of crack surfaces and implications for fracture mechanics // Phys. Rev. Lett. -2000. - V. 85. - P. 1678-1681.
63. Weiss J. Self-affinity offracture surfaces and implications on a possible size effect on fracture energy // Int. J. Fract. - 2001. - V. 109. - P. 365381.
Поступила в редакцию 25.04.2008 г.
CeedenuH 06 aemopax
Alberto Carpinteri, Professor, Dept. of Structural Engineering and Geotechnics, Politecnico di Torino, Italy, [email protected] Giuseppe Lacidogna, Dr. Arch., Ph.D., Aggregate Professor of Structural Engineering, Dept. of Structural Engineering and Geotechnics, Politecnico di Torino, Italy, [email protected]
Simone Puzzi, Ing. Ph.D., Post-Doctoral Research Associate, Dept. of Structural Engineering and Geotechnics, Politecnico di Torino, Italy, [email protected]
