CC BY
83
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ОБЩЕСТВЕННЫЕ НАУКИ № 24 2011
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PUBLIC SCIENCES № 24 2011
УДК 37
ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КОМПЕТЕНЦИИ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВУЗОВ
© Е. Ю. ЯГОВА Пензенская государственная технологическая академия, кафедра математики e-mail: [email protected]
Ягова Е. Ю. - Профессиональные математические компетенции студентов экономических специальностей вузов // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 24. С. 887-890. - На примере обучения математике рассматривается вопрос формирования профессиональных математических компетенций студентов как аспект его готовности к определённой профессиональной деятельности; выделены основные профессиональные математические компетенции специалиста; рассмотрены типы задач с экономическим содержанием, соответствующие разделам курса высшей математики.
Ключевыеслова:компетентностныйподход;обучениематематике;профессиональныематематическиекомпетен-ции; задачи с экономическим содержанием.
Yagova E. U. - Professional mathematical the competence of students of economic specialities of high schools // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 24. P. 887-890. - The paper studies the problem of development of professional mathematical competence of students as part of its readiness to certain professional work and illustrates it with teaching Maths; the main professional mathematical competences of a specialist are identified; types of problems with the economic maintenance corresponding to sections of a course of higher mathematics are considered.
Key words: competence approach, teaching mathematics, professional mathematical competence, problems with the economic maintenance.
Проблема обеспечения качества математического образования студентов в соответствии с требованиями современных образовательных стандартов, разработанныхспозициикомпетентностногоподхода, обусловлена различным толкованием понятия «обще-образовательнаякомпетенция»,отсутствиемсистемы математических компетенций, а также методических подходов к их формированию.
В основе одного из возможных вариантов решения обозначенной проблемы лежит определение образовательной компетенции как совокупности «взаи-мосвязанныхсмысловыхориентаций, знаний, умений, навыкови опытадеятельностиученика, необходимых, чтобы осуществлять личностно и социально значимую продуктивную деятельность по отношению к объектам реальной действительности» [5, с. 62]. Очевидно, что данная деятельность носит междисциплинарный характер, в то время как традиционно знания, умения, навыки выделялись по отношению к каждой учебной теме [5, с. 62-63].
Поэтому возникает вопрос о возможности соотнесения иерархии математических компетенций с прежней системой знаний, умений, навыков. Изначально ясно: перестройка старой структуры приведет
к переходу на другой уровень ее организации, что позволяет ожидать новое качество образования.
Процесс обучения математике осуществляется более успешно, если включает готовность к профессиональной деятельности как цель и как конечный результат процесса обучения. Этот результат связан с качеством образования, т. е. совокупностью свойств, обуславливающихеёприспособленностькполучению результата заданного уровня в соответствии с поставленными целями. При этом математике отводится роль дисциплины, обеспечивающей опережающую подготовку специалиста, предполагающей формирование рефлексий, творческих способностей и соот-ветствующихфундаментальныхструктурзнаний,обе-спечивающих устойчивость качества. В соответствии с этим, осуществляется образование с помощью математики - формирование у студентов математического мышления, использование методологии и методов количественного анализа, компьютерной техники и технологий мышления в решении профессиональных задач [4].
Математическая подготовка специалиста должна обеспечивать не только наличие знаний, необходимых для решения производственных задач, но и сфор-
мированность реальных отношений к профессиональной деятельности, способность собственного самообразования и развития, умение использовать свои способности в разрешении проблемных ситуаций. Т ак как одной из целей обучения математике, следуя концеп-циимодернизации образования,являетсяформирова-ние профессиональной компетентности, то при отборе содержания необходимо обеспечивать взаимосвязь изучения этой дисциплины с будущей профессией, используя, в частности, междисциплинарные связи.
Формируемую в вузе математическую готовность к профессиональной деятельности можно охарактеризовать тремя уровнями [3]:
- первый уровень готовности - наличие умений осуществлять процесс усвоения знаний путём выделения базовых понятий и их последующего обобщения в связи с необходимостью решения более сложных, чем в средней школе, прикладных задач;
- второй уровень готовности - наличие умений усвоения математических знаний и методов в единстве с методами исследования изучаемых производственных процессов;
- третий уровень готовности - усвоение математических методов не только как средств решения профессиональных задач, но и как средств их анализа и описания, как средств создания единых методик этого анализа.
Для перехода математического аспекта готовности от одного уровня к другому, естественно, необходимо изменение всех компонентов процесса её формирования. Оченьважнымиявляются «начальные условия»: при переходе после средней школы на пер-выйуровеньготовности,необходимодобитьсяосозна-ния студентами прикладного характера математического знания, сформировать умения усваивать знания целостными системами, используя при этом содержательные аспекты довузовского образования: простейшие экономические задачи. Очень важно преодолеть низкую мотивацию студентов к изучению математики, не являющейся дисциплиной специализации.
Образовательная компетенция предполагает усвоение студентами не отдельных друг от друга знаний и умений, а овладение комплексной процедурой; совокупностьюобразовательныхкомпонентов,имею-щих личностно-деятельностный характер. Суть образовательного процесса в условиях компетентностного подхода - создание ситуаций и поддержка действий, которые могут привести к формированию какой-либо компетенции.
Профессиональная математическая компетенция специалистов содержит в себе несколько компонентов и понимается как готовность к адекватному применению математических методов и моделей в профессиональной деятельности с целью эффективного её осуществления. Главными характеристиками компетентности являются знания и опыт в конкретной предметной области.
Основными профессиональными математическими компетенциями специалиста можно считать следующие:
- способность к проявлению математического мышления при решении математических задач. Проявляется во владении математическим языком, в наличии математического и логического мышления;
- способность к использованию математических знаний, умений и навыков в профессиональной деятельности. Проявляется в знании теоретических основ математики, в умении решать математические задачи, в способности применять математические знания для решения профессиональных задач;
- готовность к самосовершенствованию и самореализации за счёт освоения математических знаний. Проявляется в осознании значения математики в профессиональной деятельности, в реализации познавательных потребностей и интеллектуальных возможностей, в достижении необходимого уровня интенсивности в деятельности по передаче информации.
-готовностькреализации содержательногоком-понента в виде профессионально значимых умений и навыков. Проявляется в математическом моделировании, в использовании математико-статистических и экономико-математических методов.
- готовность к использованию компьютерных технологий для реализации содержательного и деятельностного компонентов. Проявляется в способности осуществлять обработку математической информации, использовать специализированные математические и статистические программы.
Наиболее эффективный способ комплексного формирования перечисленных компетенций - активное участие обучающегося в решении профессионально значимых задач, имеющих существенное «математическое наполнение».
В большинстве случаев математику изучают в 1-ГУ семестрах, как правило, без ориентации на специальность. Существует мнение, что поскольку экономические дисциплины в это время ещё только начинают рассматриваться студентами, следовательно, обучение математике должно быть «классическим», а прикладные разделы должны изучаться отдельно на старших курсах в рамках специальных дисциплин. Отметим, что прикладная направленность курса математики необходима. Для студентов важно уже с первых дней учёбы в вузе видеть взаимосвязь изучаемых дисциплин с будущей профессиональной деятельностью. Не случайно, что среди первых вопросов, задаваемых студентамина занятияхпо математике, звучатследую-щие: «А зачем мне нужно это изучать, если я буду экономистом?», «А где это может мне пригодиться в моей профессии?». Ответом на поставленные вопросы может быть систематическое использование в обучении математике экономических понятий, законов, идей, моделей и задач, постоянная иллюстрация математического материала приложениями из экономики, финансов, управления.
В настоящее время большое число будущих эко-номистов,нуждаетсявсерьезнойматематическойпод-готовке.
Введение экономического содержания в круг решаемых в курсе математики задач, рассмотрение
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ ►►►►►
вопросов интеграции экономических и математических знаний в процесс составления, анализа и решения задач, позволит обновить набор задач, решаемых в 1-ГУ семестрах.
Это возможно сделать за счет замены части «безыдейных», устаревших или неинтересных задач на новые задачи, имеющие ярко выраженное экономическое содержание. Поскольку математический аппарат при этом не изменяется (меняется только объект, к которому он прилагается), то на математическую подготовку это не влияет, а экономическая составляющая курса математики становится более содержательной и действенной.
Решение задач экономического содержания в курсе математики не дублирует вузовский курс экономики и является «мостом» к его осознанному изучению. Все понятия рассматриваются с точки зрения математики на примерах, которые могут быть дополнением к ряду тем курса математики в вузе.
Многие разделы высшей математики являются базовыми для анализа, расчетов и прогнозирования показателей в экономике. Кроме того, сами экономические науки при создании моделей используют математические методы.
В разделе «Линейная алгебра» после изучения теории матриц и матричного способа решения систем линейных уравнений можно изложить линейную балансовую модель Леонтьева как приложение (меж-отраслеваябалансоваямодель,модельравновесныхцен, балансовая модель международной торговли и т. д.).
После аналитической геометрии, теории матриц и векторного анализа можно изложить хотя бы графический способ решения задач линейного программирования, транспортную задачу и т. д.
Как приложения дифференциального исчисления функции одной и многих переменных было бы уместнымизложениеэластичностипроизводственных функций. Очень наглядно можно пояснить эластичность на функциях спроса и предложения.
Есть применения интегральных исчислений, дифференциальных уравнений. На их основе описываются и рассчитываются многие экономические законы. Так, например, обратная задача эластичности является дифференциальным уравнением 1 порядка (уравнение с разделяющимися переменными).
Наглядными для функций нескольких переменных являются экономические задачи на экстремумы -максимум прибыли и дохода, минимум издержек и т. д. На примере экономической задачи можно изложить метод Лагранжа (условный экстремум).
Конечно, если указанные разделы и задачи излагать дополнительно, они займут много времени. На наш взгляд смысл в том, чтобы постараться эти приложения приводить как примеры для усвоения учебного материала курса высшей математики. Например, учиться вычислять производные в ходе нахождения эластичности, изложить связь между максимумом выручки и эластичностью. Нахождение минимума затрат размера оптимального заказа является (раздел управления запасами в логистике) примером на экстремум.
Особую роль в экономике играют методы теории вероятностей и математической статистики. Это связано с тем, что любые экономические данные представляют количественные характеристики экономических объектов. Многие факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества, они не всегда доступны внешнему контролю. Если, например, рассмотреть зависимость объема реального частного потребления от располагаемого дохода, то, как правило, значения, рассчитанные по управлению регрессии, довольно близки к фактическим его значениям, что свидетельствует о правильности прогнозирования. Доверительные интервалыв математической статистике можно показать на примерах вычисления контрольных карт количественных или качественных признаков при различных распределениях и т. д. То есть опять само изложение теории вероятностей и математической статистики можно проводить на примерах и фактах экономики. Для этого, по меньшей мере, необходимо получение студентами отчетливого представления о том, что такое математика и математическая модель, в чем заключается математический подход к изучению явлений реального мира, как его можно применять и что они могут дать.
Рассмотрим на конкретном примере методический приём интеграции экономических и математических знаний в процесс анализа и решения задач.
При изучении темы «Дифференциальное исчисление функции многих переменных» вводим понятие экстремума функции двух переменных [2].
Пусть функция z = ^х, у) непрерывна в некоторой области Б. Точка Р0(х0, у0) называется максимумом функции z, если в этой точке функция имеет наибольшее значение по сравнению с точками некоторой ее окрестности:
^Хо,Уо)>^Хо+ Ах,у0+ Ду).
Точка Р0(х0, у0) называется минимумом функции z, если в этой точке функция имеет наименьшее значение по сравнению с точками некоторой ее окрестности: ^Хо,УоМ(х + Дх,у + Ду)
Если в точке р0(х0, у0) функция z = ^х, у) достигает максимума или минимума, то говорят, что функция z = ^х, у) в точке Р0 достигает экстремума, а саму точку называют точкой экстремума.
Далее вводим алгоритм исследования функции двух переменных z = ^х, у) на экстремум:
1. Находим частные производные первого порядка ztx и zty. Приравниваем их к нулю ztx = 0, zty = 0. Решаем полученную систему уравнений. Решения этой системы являются координатами критических точек (точек, в которых возможен экстремум).
2. Находим частные производные второго порядка z“ , z“ и z“ . Вычисляем их значения в каждой
г ^ хх7 ху уу ^
критической точке. В точке Р(х0, у0):
^ = ^ = ^'=гл^|л», 8(хо, уо) = Ас - в2.
Если Б > 0, А > 0, то в точке Р0 функция имеет минимум. Если 3(х0, у0) > 0, А < 0, то в точке Р0 функ-
ция имеет максимум. Если 3( х0, у0) < 0, то экстремума нет. Если 5( х0, у0) = 0 - метод не дает ответа.
3.Вычисляемэкстремальныезначенияфункции.
Учиться вычислять экстремум функции двух переменных можно в ходе нахождения наибольшей прибыли от реализации всех товаров.
В экономике бывает важно определить в каком соотношении следует выпускать различные товары, чтобы получить максимальную прибыль от продажи [1]. Решим одну из задач подобного рода. Пусть х ,х ...х%-количествапразличныхпроизводимыхтоваров.Будем предполагать, товары х. продаются по фиксированным ценам Р. и моментально реализуются. Тогда функция прибыли от реализации товаров является функция от п переменных х1, х2... х , которая вычисляется по формуле:
П = П (х., х,... х )= Р.х. + Р х0 +...+ Р. х..
' 1 2 п' 11 2 2 гг
Спрашивается: какое количество каждого товара нужно производить, чтобы иметь наибольшую прибыль, от реализации всех товаров? Для того чтобы ответить на этот вопрос нужно найти наибольшее значение функции. Одним из естественных условий, при которых ищется экстремум, является следующее: х. > 0 (количество произведённых товаров не может быть отрицательным).
Пусть производится два вида товаров, обозначим их количества х и у. Пусть цены на эти товары Р1=16 и Р2=14, а функция затрат С = х2 + 3ху + у2. Требуется ответить на вопрос: какое количество обоих видов товаров нужно произвести, чтобы иметь наибольшее значение прибыли?
Строим математическую модель реального экономического процесса, где прибыль выражается формулой
П(х, у) = 16х + 14у - (х2 + 3ху + у2).
Требуется найти наибольшее значение П при условиях х > 0, у > 0 (количество произведённых товаров не может быть отрицательным).
Необходимые условия локального экстремума приводят к системе алгебраических уравнений:
ПХ = 16 - 2х - 3у = 0 , пу = 14 - 3х - 2у = 0
решение которой являются значения х = 2, у = 2. Поскольку в стационарной точке П'ХСХ = -2 <0 и ПХХ Пуу -П'Ху = 13 >0, то согласно достаточному условию локального экстремума найденная стационарная точка определяет локальный максимум функции прибыли, причём П(2,4) = 44. Однако
наибольшее значение в первой четверти достигается на его границе. Действительно, при
х=0, у=0 имеем соответственно: П(0, у) = 14y - у 2, П(*,0) = 16* - х2.
Первая функция имеет максимум у = 7, вторая при х = 8.
При этом П(0,7) = 49, П(8,0) = 64.
Интерпретируем результаты с точки зрения экономики: наибольшее значение достигается при х = 8 и у = 0, следовательно, второй товар лучше не производить.
При таком подходе студент сталкивается с триадой «экономика - математика - экономика» и начинает понимать, каким образом экономические задачи переводятся на математический язык, далее решаются методами математики и вычислительной техники, и как затем полученные с помощью математического инструментария результаты вновь истолковываются в экономических терминах. Математика становится «нужной» студенту.
Таким образом, введение экономической составляющей в содержание курса математики является средствомформирования профессиональныхматема-тических компетенций, так как:
- обеспечивает связь теории и практики, т. е. позволяет рассмотреть межпредметные связи и осуществить отбор необходимого содержания;
- предполагает применение основных видов ма-тематическойдеятельности,адекватныхструктурема-тематических компетенций;
- позволяет сочетать научный уровень обучения с доступностью (обращение к наглядности) и познавательным интересом (связь с реальной жизнью через содержательную постановку задач),что обеспечивает мотивацию деятельности учащихся.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахтямов А.Н. Математика для социологов и экономистов. М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.
2. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М: ЮНИТИ, 2004. 471 с.
3. Кондратьев В.В. Проектирование вузовской системы обучения (на примере математики). Казань: КГТУ, 1999. 135 с.
4. Пучков н.П. Математический аппарат как средство обучения экономике // Вестник ТГТУ. 2001. Т. 4. С. 680-687.
5. Хуторский А.В. Ключевые компетенции как компонент личностно-ориентированной парадигмы образования // Народное образование. 2003. № 1. С. 58-64.
