ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЕМКОСТЕЙ ДЛЯ ТРАНСПОРТИРОВКИ СЖИЖЕННОГО ПРИРОДНОГО ГАЗА Текст научной статьи по специальности «Математика»

транспортное машиностроение

УДК 62-408.64

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЕМКОСТЕЙ ДЛЯ ТРАНСПОРТИРОВКИ СЖИЖЕННОГО ПРИРОДНОГО

ГАЗА

DESIGN OF TANKS FOR TRANSPORTATION OF LIQUEFIED

NATURAL GAS

DOI: 10.24412/CL-35807-2025-1-74-86

Екимовская А. А., студентка 2-го курса ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)», Аэрокосмический факультет (Институт № 6), г. Москва

Ekimovskaya A. A., 1st year Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Aerospace Faculty (Institute No. 6), Moscow

Аннотация. Цель работы заключается в определении рациональной формы корпуса, который обладает максимальным объемом при минимальной поверхности — это показатель качества и целевая функция оптимизации. Чем больше выбранный показатель, тем больше полезный объем корпуса и одновременно меньше площадь конструкции. Емкость получается более легкой и теплоизолированной, что важно для криогенной техники. Такой корпус нужен для транспортировки сжиженного природного газа (СПГ), космического аппарата, емкостей для хранения жидких и сыпучих веществ во многих отраслях промышленности и т. д. С позиции вариационного исчисления этому условию удовлетворяет сфера. Но сферическая оболочка имеет большие габариты по ширине и высоте. Задача перешла в область сложных технических систем, потребовала учесть множество ограничений. В морских танкерах для перевозки СПГ часто применяют несколько сферических емкостей, меньших по размеру, чтобы удлинить конструкцию и сократить габариты ширины и высоты. Такой вариант хуже одной большой сферы по выбранному показателю качества, но зато вписывается в габаритные ограничения. В железнодорожном транспорте ситуация аналогичная, но большую сферу заменяют цистерной в виде цилиндра и сферических днищ. В работе показано, что существуют другие рациональные формы емкостей в виде комбинаций сферических сегментов. У таких оболочек отношение объема к площади поверхности, конечно, уступает одной большой сфере, но значительно превышает применяемые конструкции.

Abstract. The objective of the work is to determine the rational shape of the hull, which has the maximum volume with the minimum surface area — this is the quality indicator and the target optimization function. The higher the selected indicator, the greater the useful volume of the hull, and, at the same time, the smaller the area of the structure. The

Введение

Исследовательская тема конструкции емкостей для хранения и транспортировки газомоторного топлива и сжиженного природного газа (СПГ) появилась в процессе изучения космических аппаратов. Оказалось, что космические технологии очень тесно переплетаются с «земными» и «морскими» заботами населения. В космосе необходимо хранить топливо для работы реактивных двигателей, причем условия для хранения экстремальные, почти от криогенных температур до температур кипения компонентов. В земных условиях тоже часто требуется охладить СПГ и поддерживать достаточно низкую температуру в емкости для его хранения. Например, в морском танкере «Гранд Елена» в четырех сферических баках общей емкостью 145 000 куб. м поддерживается температура природного газа —163 °С. Кроме того, и в космосе, и на Земле емкости для хранения СПГ работают под достаточно большим давлением. Например, в железнодорожных цистернах давление СПГ приближается к 2 МПа (20 атм). Но даже если в космическом аппарате нет топлива, то все равно его конструкция во многом напоминает бак или баллон для хранения СПГ. Это объясняется тем, что в обоих случаях, и на Земле, и в космосе, желательно иметь емкость с максимальным объемом и минимальной площадью поверхности. Максимальный объем корпуса позволяет разместить как можно больше аппаратуры. Минимальная площадь поверхности обеспечивает, во-первых, самую легкую конструкцию, во-вторых, минимальный теплообмен с окружающей средой. Оказалось, что малые космические аппараты конструктивно во многом аналогичны емкостям для хранения СПГ.

Создание малых космических аппаратов (КА) привело к проблеме их энергетического обеспечения. Современную аппаратуру вполне реально разместить в небольшом объеме корпуса, но для двигателя и топлива места нет. Традиционный малый КА не предназначен для маневрирования, что сокращает перечень целевых задач. Оказывается, для маневри-

tank is lighter and more heat-insulated, which is important for cryogenic equipment. Such a hull is needed for the transportation of liquefied natural gas (LNG), spacecraft, tanks for storing liquid and bulk substances in many industries, etc. From the standpoint of variations calculus, a sphere satisfies this condition. But a spherical shell has large dimensions in width and height. The problem moved into the area of ??complex technical systems, requiring taking into account many restrictions. In sea tankers for transporting LNG, several spherical tanks are often used, smaller in size, to lengthen the structure and reduce the dimensions of width and height. This option is worse than one large sphere in terms of the selected quality indicator, but fits into the dimensional restrictions. In rail transport, the situation is similar, but the large sphere is replaced by a tank in the form of a cylinder and spherical bottoms. The work shows that there are other rational forms of containers in the form of combinations of spherical segments. In such shells, the ratio of volume to surface area is, of course, inferior to one large sphere, but significantly exceeds the designs used.

Ключевые слова: бак, баллон, масса, объем, теплообмен, критерий, показатель качества, сферический слой, шаровой сегмент.

Key words: tank, cylinder, mass, volume, heat exchange, criterion, quality indicator, spherical layer, spherical segment.

рования можно использовать кинетическую энергию вращения орбитальной системы. При этом химическое топливо не требуется. Для этого КА надо раскрутить, например, под обтекателем ракеты-носителя на старте. Можно выполнять раскрутку на орбите, например, тросовой системы, за счет солнечной энергии в течение длительного времени. Разрыв связи вращающейся системы на орбите сообщает дополнительные импульсы для маневрирования. Однако для такой конструкции сразу появилась техническая задача выбора рациональной формы вращающейся космической системы. Если с баллистической точки зрения модули вращающегося КА можно представить точечными массами, то системное проектирование требует учитывать реальную полезную нагрузку с конкретными габаритами. В работе методами дифференциального исчисления выполнен анализ и синтез рациональных схем корпусов, вращающихся КА, составленных из двух и трех сферических сегментов. Более сложные составные конструкции исследованы методами компьютерного моделирования. В качестве целевой функции выбрано отношение объема конструкции к площади ее поверхности. Чем больше объем, тем больше аппаратуры можно разместить в корпусе. Чем меньше поверхность корпуса, тем легче конструкция. Значит, решающим правилом для выбора критерия оптимизации является максимум целевой функции или ее наибольшее значение. Этот критерий был применен для оптимизации емкостей для СПГ сначала для морских танкеров, затем для железнодорожных цистерн. Аналитическими и численными методами доказано, что применяемые традиционные формы конструкций не всегда рациональны. Показаны скрытые возможности для создания новых транспортировщиков СПГ или модернизации имеющихся образцов техники.

Анализ литературы по хранению и транспортировке газов

Направление исследования и проектирования космической техники привело к необходимости создания оптимальных емкостей, корпусов, оболочек для размещения оборудования. Но такими же методами пользуются конструкторы емкостей для перевозки жидких и сыпучих тел, в том числе сжиженного природного газа. В связи с такой аналогией было решено на некоторое время отвлечься от космической тематики и расширить объектную область изучения при сохранении предметного направления: емкости изучаются на предмет максимального объема при минимальной площади поверхности конструкции. Проектирование емкостей для хранения и транспортировки сжиженного природного газа (СПГ) становится актуальным в связи с проблемами протяженных трубопроводов для перекачки больших объемов топлива. Для небольших потребителей эта проблема тоже имеет важное значение из-за высокого давления и пониженной температуры топлива. Например, в автомобилях с газомоторным топливом обычно применяют специальные баллоны. Температура сжатого газа в них обычная, поэтому для увеличения количества топлива приходится повышать давление, но тогда начинаются ограничения по прочности.

В обычных бытовых баллонах давление не должно превышать 1,6 МПа (16 атм), объем строго регламентирован (5, 12,

27, 50 л), поэтому в небольшом объеме большую массу газовой пропано-бутановой или метановой смеси хранить не получается [1]. Для хранения и транспортировки большого количества сжиженного или обычного газа нужны принципиально новые технические решения. Такие решения уже есть, они относятся к обрасти высокотехнологичной продукции. Для транспортировки СПГ созданы специальные морские танкеры, например, «Гранд Анива», «Гранд Елена» и «Гранд Мерея». Эта серия кораблей взята за прототип для дальнейшего исследования и сравнительного анализа характеристик созданной и перспективной техники. Каждое судно имеет четыре сферические емкости для перевозки 145 000 куб. м топлива [2, 3]. Общий вид газовоза «Гранд Елена» указывает на общую тенденцию — увеличение рабочего объема емкости. Эта характеристика входит в перечень предметной области исследования предлагаемой работы. На морском транспорте есть возможность увеличить объем емкости для газа, хотя тоже существуют определенные ограничения. В частности, длина судна обычно не превышает теоретически 500 м, а практически 300 м, что связано с прочностью корпуса и действию на излом на морских волнах. В цитируемом примере длина морского танкера-газовоза «Гранд Елена» равна 288 м, ширина 49 м, высота борта 26,8 м, осадка 11,37 м. Осадка судна тоже регламентирована, не превышает 12 м, что связано с глубиной фарватера близ морских пристаней. Кроме того, емкости для хранения СПГ при пониженной температуре изготовлены из дорогой нержавеющей стали или сложных слоистых мембранных материалов. На японских танкерах в эту сталь входит до 38 % никеля.

В автомобильном, железнодорожном и воздушном и космическом транспорте ограничения по габаритам намного более жесткие, чем для морских танкеров. По железной дороге нельзя перевозить груз шириной в основном более четырех метров [4]. Цистерны для транспортировки газа стандартизированы, имеют объем до 100 куб. м, для аммиака до 160 куб. м, и форму цилиндра с полусферическими днищами [5].

Еще одним аналогом объекта изучения являются космические аппараты с системами хранения сжатых или сжиженных газов. Ракеты-носители не рассматриваются, потому что кратковременное хранение жидких компонентов топлива не входит в предмет исследования. На космических аппаратах (КА) применяют сферические, цилиндрические с полусферическими днищами и тороидальные баллоны с рабочим давлением до 40 МПа (400 атм). Созданы образцы для рабочего

давления до 80 МПа (800 атм), но ресурс таких конструкций существенно ограничен.

Объект изучения — емкость для сжатого или сжиженного газа.

Предметом исследования в этой работе является форма емкости для хранения и транспортировки сжатого газа, в том силе сжиженного природного газа (СПГ).

Содержательная формулировка задачи

Содержательная формулировка задачи сводится к выбору рациональной формы конструкции с позиции теории сложных технических систем, с учетом нескольких факторов. Для последующего анализа предлагается оценочный расчет емкостей морского танкера типа «Гранд Елена». Это четыре сферические емкости общей вместимостью 145 000 куб. м. Значит, объем одной емкости равен 36250 куб. м. Радиус емкости

Я = 3

3У

= 3

3 • 36 250

4 п

20,5 м.

Площадь четырех сферических блоков равна 51 = 4-4пЯ2 = 16п -20,52 = 21 124 кв. м.

Диаметр, как габарит ширины и высоты, одной емкости приблизительно равен 41 м (ширина танкера 49 м). Габарит длины четырех сферических емкостей составляет 164 м. Отношение объема к площади поверхности для четырех сферических баллонов такое же, как и для одиночного баллона, то есть равно

У=4_±Я3= Я=69м

Я 4 • 4п Я2 3

Для дальнейшего исследования важно знать величину показателя качества конструкции, выбранного как одного из основных — отношение объема к площади поверхности емкости. Чем больше величина этого показателя, тем больше вместимость емкости, но при этом меньше площадь поверхности. Значит, такая конструкция обладает максимальной вместимостью при минимальной поверхности. Минимизация поверхности емкости имеет два назначения. Во-первых, для создания самой легкой конструкции, потому что с уменьшением площади поверхности уменьшается количество и масса листового материала. Во-вторых, для снижения теплообмена с внешней средой, который рассчитать сложно, но который в первом приближении пропорционален площади поверхности теплообменника. Что будет, если емкость такого же объема сделать цилиндрической, снабдив полусферическим днищами?

Плоские днища делать нельзя по правилам сопротивления материалов и теории оболочек. Для проектирования есть возможность выбора двух параметров — длины емкости и ее диаметра. Оптимизировать систему по выбранному критерию отношения объема к площади нет смысла, результат очевиден, получится одна сфера с указанным общим объемом 145 000 куб. м, радиусом

Ь =

_ Г3 _ 108 750 _

г,2

-2

= 82,4 м.

пЯ п ■ 20,5

Габарит длины равен

Ь = Ьс + 2Я = 82,4 + 2-20,5 = 123,4 м,

то есть значительно уменьшился по сравнению с прежними 164 м, на 24,8 %. Площадь поверхнос-

ти цилиндрической емкости с двумя полусферическими днищами равна

^ = 2пЯЬс + 4пЯ2 = 2п -20,4-82,4 + 4п -20,52 = = 10 613,6 + 5281,0 = 15 894,6 кв. м.

Площадь поверхности уменьшилась на 24,8 % по сравнению с 21 124 кв. м для четырех сферических модулей. Выбранный показатель качества равен

, = V = 145 000 = 91 м 1 ^ 1 5 894,6 9,1 м

то есть уменьшился на 16,5 % по сравнению с одной большой сферой, для которой он был максимальным 10,9 м, но возрос на 8,1 % по сравнению с четырьмя сферами, для которых он был 9,1 м. Оказывается, привычная всем форма железнодорожной цистерны выгоднее четырех сфер. К слову сказать, на первых морских танкерах применяли именно такие цистерны. В таблице 1 обобщены характеристики трех рассмотренных вариантов конструкции емкости для перевозки СПГ или другого газомоторного топлива. При этом за базовый вариант была выбрана известная конструкция морского танкера типа «Гранд Елена». Лучший вариант по выбранному показателю качества, конечно, один сферический блок, но тогда в полтора раза возрастают габариты ширины и высоты при значительном в три раза сокращении длины. Уменьшение длины для морского судна до 60 м не существенно, но другие габариты очень важные, особенно высота для остойчивости. Традиционная цилиндрическая форма цистерн занимает промежуточное отношение, тяготея больше к единичной сферической емкости. Именно такими делают железнодорожные цис-

2 _

Я = 3 IV = 3 3 ■ 145 000 » 32,6 м ^4п 4 4п

и значением выбранного показателя качества

4 пЯз

I = V = 3—2 = Я = 10,9 м

л 4пЯ2 3 при площади

4пЯ2 = 4п -32,62 = 13 355 кв. м.

В связи с этим для иллюстративного расчета предлагается сохранить габариты ширины и высоты, то есть прежний радиус 20,5 м. Тогда на два полусферических днища придется объем одного сферического блока 36 250 куб. м, а на цилиндрическую часть останется объем трех таких же сферических блоков, то есть 108 750 куб. м. Вычисляем высоту цилиндрической части емкости

Обобщение характеристик трех вариантов емкостей

Таблица 1

Вариант Объем V, куб. м Площадь 5, кв. м Длина, м Высота, ширина, м Показатель / = К/5, м

Базовый, 4 сферы («Гранд Елена») 0000 145 000 21 124 164 41 6,86

Идеальный, 1 сфера 145 000 13 355 65,2 65,2 10,86

Цилиндр и 2 полусферы 145 000 15 895 123,4 41 9,12

терны, для которых наиболее актуальны габариты ширины и высоты. Содержательная формулировка задачи заключается в поиске других форм емкостей для хранения и транспортировки СПГ и других видов газомоторного топлива, и вообще жидких и сыпучих веществ. Какие еще возможны формы конструкций? Каковы будут характеристики новых конструкций? Можно ли эти конструкции будет применять в космосе? Ответам на эти вопросы посвящена предлагаемая работа. В процессе исследования будут применены два метода. Сначала простейшие конструкции будут изучены аналитически, а полученные результаты проверены компьютерным моделированием. Затем для более сложных конструкций аналитический метод будет реализован в виде программ для решения исследовательских задач.

Аналитическое исследование простейших конструкций

Для выбора оптимальной формы емкости танкера был применен методический аппарат оптимизации формы космического аппарата, в частности, вращающейся космической системы, от которой требуется отделять модули для маневрирования на орбитах. Задача выбора компоновочной схемы вращающегося космического аппарата (КА) появилась из назначения конструкции [7]. В баллистических работах было доказано, что вращающаяся космическая система может совершить орбитальный переход, например, маневр Гомана, только за счет запасенной кинетической энергии вращения [8].

В этой работе баллистические вопросы не рассматриваются, но появилось новое направление, связанное с конструкцией вращающихся космических систем. Простейшая модель стержневого вращающегося КА является очень приближен -ной, не рациональной для практического применения, служит только для иллюстрации возможности орбитального маневрирования разрывом стержня. Вывод КА на орбиту — это очень дорогостоящее мероприятие [9]. Значит, КА должны иметь наименьшую массу при максимальном полезном объеме, то есть рациональную форму конструкции [10]. С позиции дифференциального и вариационного исчисления этому условию удовлетворяет сфера [11]. Но сферическая конструкция не приспособлена для маневрирования разрывом связи [12].

Для поиска рациональных форм вращающихся космических аппаратов сначала потребовалось изучить свойства типовых геометрических фигур, прежде всего, частей сферы. Это нужно для выяснения условий состыковки единичных фрагментов в сложные конструкции. В частнос-

ти, известна рациональная форма сферического аквариума для разведения рыбок, в котором срез сферы выполнен на половине радиуса. Такая открытая конструкция обладает максимальным объемом при минимальной поверхности. Сразу появилась исследовательская задача о других вариантах рациональных компоновок единичных усеченных сферических отсеков, но теперь уже для вращающихся КА. Сначала была изучена расчетная схема конструкции в форме шарового сегмента в качестве элементарной структуры для комбинированной конструкции. Первой задачей стало выяснение вопроса о возможности герметизации отсека плоской круговой крышкой. Математически были записаны формулы для объема и поверхности блока, выведена целевая функция в виде отношения объема к площади, а потом проведено исследование на максимум. Оказалось, что у шарового слоя экстремумы отсутствуют, поэтому надо оперировать наибольшим значением функции на заданном ограничительном отрезке значений возможного среза. Первый простейший способ создания замкнутой конструкции заключается в состыковке двух оптимальных «аквариумов». Срез каждого отсека выполнен на середине радиуса. Такая система может быть закручена вокруг центральной оси, лежащей в плоскости среза. Каждый модуль получит линейные скорости вращения, а система в целом — кинетическую энергию вращения, которая высвобождается после разрыва кольцевой связи между отсеками. Эта конструкция не рациональна, потому что после разъединения получаются два открытых отсека. Аналогично был исследован на экстремальные свойства сферический слой с двумя срезами. Оказалось, что у целевой функции тоже нет экстремумов. Но если один срез закрыть плоской круговой крышкой, то появится локальный максимум. Для максимизации отношения объема к площади отсека с двумя срезами и одной крышкой, то есть сферической части «аквариума» с плоским дном, надо сделать срезы на расстояниях приблизительно 0,255 радиуса, отсчитывая от конца радиуса, от сферы. Две крышки опять приведут к системе без экстремума.

Более интересной оказалась система из трех шаровых слоев. Для максимизации отношения объема к площади поверхности трех отсеков без перегородок надо сделать срезы на расстояниях приблизительно 0,545 радиуса, отсчитывая от конца радиуса, от сферы. Этот результат тоже очень похож на известный открытый сферический «аквариум», но срез должен быть несколько ближе к центру, 0,545 радиуса от сферы против 0,5. Но если ввести перегородки, результат изменится принципиально. Для максимизации отношения

объема к площади трех отсеков с двумя внутренними перегородками надо сделать срезы на расстояниях приблизительно 0,246 радиуса, отсчитывая от конца радиуса, от сферы.

Обозначения и допущения

На рисунке 1 показана расчетная схема и приведены обозначения величин.

Высоту среза шара в шаровом сегменте обозначим h. Будем предполагать, что высота среза меньше радиуса R шара, то есть 0 < h < R. Для исследования функций удобно ввести безразмерную величину x = h/R, которая равна доле среза от радиуса шара в шаровом сегменте. Объем среза Vc в шаровом сегменте определяется по формуле

Vc = nh3IR-1 hl = -) h3(3R - h) =

= n (3Rh3 - h3) = п-R3 f3Rh

3 3 I R3 R /

кр

+ 2Rh - h2) = n(2Rh - h2) = nR2 (^ = nR2(2x - x2) = nR2(-x2 + 2x).

,2\

r2 r2)

rg — радиус основания Sq — площадь основания

Vc — объем среза Sc — площадь среза

r0

So V.

R

шарового сегмента

— площадь шарового слоя

Я — радиус сферы

Рис. 1. Расчетная схема и геометрические величины

Объем шарового сегмента определяется по формуле

1

= (3x2 - x3).

Площадь срезанного шарового слоя без площади плоского среза равна —с = 2пЛА.

Плоское основание среза имеет нулевой объем, то есть = 0.

Площадь основания плоского среза, то есть круга радиусом 70, определяется формулой

-из = п Г0 = п(Л2 - (Л - А)2) = п(Л2 - Л2 +

V! = п(2Л - А)2- 3(2Л - А)) =

= пЛ (х3 - Зх2 + 4).

Площадь шарового слоя без площади плоского среза равна

- = 2пЛ(2Л - А) = 2пЛ2 (- Л) =

= 2пЛ2(2 - х) = 2пЛ2(-х + 2).

Исследование одиночного сферического сегмента

Задача заключается в определении высоты А среза шара, при котором отношение объема шарового сегмента V! к площади ¿1 сферического слоя будет максимальным.

Исследуем на максимум функцию — отношение объема к площади

3

Г ^ (х3 - 3 х2 + 4)

/1(х) = = -3-2- =

¿1 2пЛ2 (-х + 2)

_ Л (х3 - 3 х2 + 4

6 1 -x+2 Производная равна

dfi(x) _ R (3x2 - 6x)(-x + 2) - (-1 )(x3 - 3x2 + 4) _

dx

(-x + 2 )2

= Л - 3 х3 + 6 х2 - 12х + х3 - 3 х2 + 4 = 6 (-х + 2 )2

32

= Л -2х3 + 9 х2 - 12х + 4 6 (-х + 2 )2 .

Требуется решить уравнение -2х3 + 9х2 - 12х + 4 = 0.

Убеждаемся, что корнем неприведенного кубического уравнения является число х = 1/2:

x - 2) (x2 - 4x + 4) = 0; 2(x -1) (x - 2)2 = 0.

Производную тоже можно представить в виде множителей

df1 ( x ) = R dx 6

-2( x

2)( x - 2 )2

(-x + 2 )2

6

h

Компоновочная схема из двух сферических сегментов без перегородки между отсеками

С математической точки зрения процесс решения и полученный результат ничем не отличаются от оптимизации единичного сферического сегмента по критерию «максимальный объем при минимальной площади».

Аналитическое исследование сферы с двумя срезами и одной крышкой

Вид такого отсека остался прежним, но один срез закрыт крышкой. Объем такого отсека остался прежним.

У

2СР1КР

= У2СР =

_ 2пЯ

3

3

(х3 - 3х2 + 2).

Рис. 2. Оптимальная компоновка двух сферических сегментов

Значение х = 2 с физической точки зрение не интересно, так 0 < Н < Я. Это означает, что 0 < х < 1. При переходе слева направо, через точку х = 1/2 производная меняет знак с плюса на минус. Значит, точка х = 1/2 является точкой максимума функции

х3 - 3 х2 + 4

Площадь отсека увеличится на площадь крышки.

^2СР1КР = ^2СР + ^КР = 4пЯ2(1 - х) + + пЯ2(-х2 + 2х) = пЯ2(-х2 - 2х + 4).

Записываем прежнюю целевую функцию — отношение объема к площади. Эту функцию надо максимизировать.

/1(х) = У1 = Я V -х + 2

Это означает, что максимальный объем при минимальной поверхности будет достигнут при срезе шара на половину его радиуса. Это известное правило сферического аквариума: больше всего воды при наименьшей площади будет, если сфера сверху обрезана на половину радиуса. Получен известный результат, который будет часто применяться в процессе поиска рациональных компоновочных схем КА и емкостей.

Исследование двух сегментов без перегородки

Такая конструкция ничем не должна отличаться от предыдущего варианта одиночного шарового сегмента, если оптимизацию выполнять по выбранному ранее критерию «максимальный объем при минимальной площади». На рисунке 2 показана оптимальная компоновочная схема двух сферических сегментов по критерию «максимальный объем при минимальной площади». Это означает, что максимальный объем при минимальной поверхности будет достигнут в конструкции из двух одинаковых шаровых сегментов, каждый из которых срезан на половину радиуса. Это известное правило сферического аквариума: больше всего воды при наименьшей площади будет, если сфера сверху обрезана на половину радиуса.

г (х) = У 2СР1КР = 2пя3 (х3 - 3х2 + 2) /2СР1КР(х) = о- =

У

2СР1КР

-2Я | х3 - 3х2 + 2Л

22 3 п Я2( -х2 - 2 х + 4)

х + 2х - 4 ^

Определяем производную этой функции.

^/2СРКР(х) _ -2Я ё {х3 - 3х2 + 2Л

ёх

3 ёх V х2 + 2х - 4

-2 Ях4 + 4х3 - 18 х2 + 2 0 х - 4

3 2 2 '

(х2 + 2х - 4)

Необходимое условие экстремума

^2 С РКР (х ) = ёх

= 0 приводит к уравнению четвертой степени х4 + 4х3 — 18х2 + 20х — 4 = 0. Это уравнение удобно решить приближенно численными методами. Получаются два комплексных корня и один отрицательный, которые не удовлетворяют смысловым ограничениям. Но четвертый корень х » 0,254991107 принадлежит области ограничений для переменной.

Следовательно, для максимизации отношения объема к площади отсека с двумя срезами и одной крышкой, то есть сферической части аквариума с плоским дном, надо сделать срезы на расстояниях приблизительно 0,255 радиуса, отсчитывая от конца радиуса, от сферы. Этот результат

3

очень похож на известный сферический аквариум, но имеет плоское дно, и срез должен быть несколько ниже, 0,255 радиуса от сферы против 0,25.

Три отсека без перегородок

После изучения рациональности конструкции из двух сферических слоев началось исследование более сложной конфигурации из трех отсеков. При этом центральный отсек должен иметь два среза, а крайние по одному отверстию. Все отверстия-срезы предполагаются одинаковыми, по ним происходит соединение отсеков. Вид такой конструкции показан на рисунке 3.

Сначала изучается конструкция без перегородок между отсеками.

Определяем объем конструкции, применяя известные выражения для отдельных отсеков.

У = 2 У + Уср = 2 ^ (х3 — 3х2 + 4) +

+ 2пЯ (х3 — 3х2 + 2) = (х3 — 3х2 + 3).

Площадь отсека складывается из площадей трех фигур.

¿3 = 25\ + ¿2СР = 2- пЯ2(—х + 2) +

+ 4пЯ2(1 — х) = 4пЯ2(—х + 2 + 1 — х) =

= 4пЯ2(—2х + 3).

Записываем прежнюю целевую функцию — отношение объема к площади. Функцию надо максимизировать.

,, , У3 4пЯ3(х3-3х2 + 3)

/з(х) = -3 = -2- =

¿3 3 • 4пЯ2(-2х + 3)

_ Я |х3 - 3х2 + 3

Определяем производную этой функции.

ё/3 ( х ) = |х3 - 3 х2 + 3^ = ёх 3 ёх V -2х + 3 ;

= -Я 4х3 - 15х2 + 18х - 6 3 (-2 х + 3 )2

/ х)

Необходимое условие экстремума ------3-------- = 0

ах

приводит к уравнению третьей степени 4х3 — — 15х2 + 18х — 6 = 0. Это уравнение удобно решить приближенно численными методами. Получаются два комплексных корня, которые не удовлетворяют смысловым ограничениям. Но третий корень х » 0,544589959 принадлежит области ограничений для переменной. При переходе через него производная меняет знак с плюса на минус, поэтому найденное значение является точкой локального максимума целевой функции.

Следовательно, для максимизации отношения объема к площади трех отсеков без перегородок, надо сделать срезы на расстояниях приблизительно 0,545 радиуса, отсчитывая от конца радиуса, от сферы. Этот результат тоже очень похож на известный сферический аквариум, но срез должен быть несколько ниже, 0,545 радиуса от сферы против 0,5.

Три отсека с перегородками

Вид такой конструкции снаружи прежний, но между отсеками внутри установлены перегородки из такого же материала. Всего две перегородки. Определяем объем конструкции, применяя известные выражения для отдельных отсеков. Объем, как и для трех отсеков без перегородок.

3 V -2х + 3

У = У = 4пЯ' У3ОТ2КР = У3 = —у

3

(х3 — 3х2 + 3).

Площадь отсека складывается из площадей пяти фигур, три отсека и две внутренние крышки.

¿3ОТ2КР = (2^1 + ¿2СР) + 2^КР = ¿3 + 2^КР =

= 2пЯ2(—х2 — 2х + 6).

Записываем прежнюю целевую функцию — отношение объема к площади. Эту функцию надо максимизировать.

/3ОТ2КР(х) = у3 ОТ2КР = ¿3ОТ2КР

2Я | х3 - 3х2 + 3Л

4 п Я3 (х3 - 3 х2 + 3) 3 • 2пЯ2(-х2 - 2х + 6)

Рис. 3. Конструкция из трех отсеков

-х - 2х + 6^

3

Определяем производную этой функции.

df3 ОТ2 КР( x ) = 2R А dx 3 dx

3 2 ^ x - 3 x + 3

-x - 2 x + 6)

2R -x4 - 4x3 + 24 x2 - 30x + 6 3 (-x2 - 2x + 6)

-2 Rx4 + 4x3 - 24x2 + 30x - 6 3 (-x2 - 2 x + 6)

Необходимое

условие

экстремума

а/3ОТ2КР( х ) п

--- = 0 приводит к уравнению четвертой

ах

степени х4 + 4х3 - 24х2 + 30х - 6 = 0. Это уравнение удобно решить приближенно численными методами. Получаются два комплексных корня и один действительный отрицательный, которые не удовлетворяют смысловым ограничениям. Но четвертый корень х » 0,246483887 принадлежит области ограничений для переменной. При переходе через него производная меняет знак с плюса на минус, поэтому найденное значение является точкой локального максимума целевой функции.

Следовательно, для максимизации отношения объема к площади трех отсеков с двумя перегородками надо сделать срезы на расстояниях приблизительно 0,246 радиуса, отсчитывая от конца радиуса, от сферы. Этот результат тоже очень похож на известный сферический аквариум.

Универсальный алгоритм и программа для расчета составной конструкции из сферических сегментов

Аналитическое исследование конструкции корпуса из одного, двух и трех сферических сегментов показало трудоемкость решения задач и необходимость применять компьютерные программы, например, для решения алгебраических уравнений высоких степеней, третьей и четвертой. Но если приходится применять компьютерные вычислительные методы, то есть смысл сразу перейти к прямому решению сформулированной задачи. Казалось бы, такая методика исследования могла быть применена сразу, в том числе для уже изученных простейших составных конструкций из одного, двух, и трех сферических сегментов с различным сочетанием перегородок между отсеками или без таковых. На самом деле применять сразу компьютерные методы проблематично, потому что в программах могут содержаться ошибки. Обязательно нужно получить отладочный вариант для дальнейших расчетов, то есть ве-

рифицировать разработанное программное обеспечение. Теперь, когда аналитически изучено множество вариантов конструкций, полученные результаты можно использовать для верификации новой программы, а потом при совпадении аналитических и численных результатов перейти к изучению новых составных конструкций, но уже не аналитическими методами, а только компьютерным численным моделированием. Таким образом, появилась не только необходимость, но и реальная возможность создания универсального программного обеспечения для исследования составных конструкций корпусов КА или оболочек для емкостей хранения газомоторного топлива, сжиженного природного газа и вообще любых жидких и сыпучих веществ. Задача исследования космических конструкций стала общетехнической.

Для создания универсальной программы изучения составных конструкций необходим формальный алгоритм описания объекта исследования. Этот алгоритм начинается с представления исходных данных, а на выходе получаются объем конструкции, площадь поверхности и выбранный в этой работе показатель качества сложной технической системы — отношение объема к площади поверхности.

Основные допущения остаются прежними — все отсеки в составной конструкции имеют вид сферических сегментов или полных сфер одинакового радиуса, все срезы сфер одинаковые. Такие допущения значительно упрощают состыковку отсеков в составной конструкции и согласуются с требованиями унификации элементов.

Универсальный алгоритм включает следующие действия:

1. Задаем условный радиус, проще всего задать R = 1 отсека в виде сферического сегмента или полной сферы. Такое допущение не уменьшает общности задачи, потому что полученные результаты для объема и площади поверхности составной конструкции в итоге пересчитываются этой же программой для реальных значений по правилам геометрического подобия. В частности, при увеличении радиуса в k раз, по закону геометрического подобия площадь поверхности конструкции возрастет в k2 раз, а объем увеличится в k3 раз.

2. Задаются ограничения на величину относительного среза x = h/R сферы для перехода к сферическому сегменту. Рассматриваются срезы только до большого круга сферы, то есть x е [0; 1]. Значение x = 0 означает, что среза сферы нет, значение x = 1 означает, что сфера превратилась в полусферу. Иногда, в особо оговоренных случаях, предполагается, что x е [0; 2], при этом зна-

чение x = 2 означает исчезновение, срез всей сферы.

3. Задается диапазон и дискретный шаг изменения величины относительного среза x = h/R сферы. На практике вполне реально выбрать дискретный шаг изменения относительного среза Ax = 10-6, то есть одну миллионную долю. Если компьютерная программа будет выполняться долго, то величину шага можно увеличить, потому что заложенная точность априорно является избыточной.

4. Задаются формулы для расчета объемов двух типовых тел. Первое типовое тело — это шар, его

объем вычисляется по формуле Vcg = 4 nR3. Второе типовое тело — это срезанная часть сферы, то есть срезанная «шапочка», ее объем вычисляется

r3

по формуле Vcc = (Зх2 — x3). Этого достаточно, чтобы вычислить объем любой изучаемой части конструкции: без среза, с одним срезом, с двумя срезами и т. д. При этом требуется следить, чтобы срезы сферы не пересекались — сначала это выполняется ручным вычислением, но в перспективе можно перейти к дополнительному программному блоку.

5. Задаются формулы для расчета площадей поверхностей трех, а не двух, как в предыдущем пункте, типовых тел. Первое типовое тело — это сфера, ее площадь поверхности вычисляется по формуле Scf = 4nR2. Второе типовое тело — это срезанная часть сферы, то есть срезанная «шапочка», ее площадь поверхности вычисляется по формуле Scc = 2nR2x. Третье типовое тело — плоская круговая крышка-перегородка, закрывающая срез сферы, ее площадь поверхности вычисляется по формуле Skp = nR2(2x — x2). Объема у плоской крышки-перегородки нет, поэтому в предыдущем пункте она отсутствует. Этого достаточно, чтобы вычислить объем любой изучаемой части конструкции: без среза, с одним срезом, с двумя срезами и т. д. При этом требуется следить, чтобы срезы сферы не пересекались — сначала это выполняется ручным вычислением, но в перспективе можно перейти к дополнительному программному блоку.

6. В программу вводится вручную, в диалоговом или отладочном режиме:

— количество сферических отсеков в составной конструкции, которое определяется конструктивным замыслом или конкретным исследуемым вариантом, причем некоторые или даже все отсеки могут быть кратными, например, двойными, выполненными из двойного листового материала;

— количество срезов сфер, которое не обязательно совпадает с числом сфер, потому что один отсек может иметь несколько срезов;

— количество крышек-перегородок между сферическими сегментами, которое тоже не обязательно равно числу сфер и срезов, может превосходить число срезов, если в конструкции рассматриваются, например, двойные перегородки, или кратные.

7. Записывается формула для расчета объема составной конструкции. Для этого из объема всех kcf сферических отсеков вычитаются объемы всех kcc срезов сфер, то есть V = kc^Vf — kcyV;c. Предполагается, что крышки-перегородки объема не имеют.

8. Записывается формула для расчета площади поверхности составной конструкции. Для этого из площади поверхности всех kf сферических отсеков вычитаются площади поверхностей всех kcc срезов сфер и добавляются площади поверхностей всех kkp крышек-перегородок, то есть

S = kcfScf — kccScc + kkpSkp.

9. Записывается формула для расчета выбранного показателя качества составной конструкции f = V/S.

10. Строится график fx) зависимости показателя качества от величины среза.

11. Для выбора оптимальной или рациональной конструкции выполняется анализ графика на предмет наличия локального максимума и наибольшего значения функции. Напротив, для исключения из рассмотрения не оптимальной или не рациональной конструкции выполняется анализ графика на предмет наличия локального минимума и наименьшего значения функции.

12. Увеличивается масштаб для исследования графика в заданной области изменения переменной, с любой априорно заданной точностью определяется оптимальное или рациональное значение относительного среза сферических блоков в составной конструкции.

Для реализации этого алгоритма была составлена соответствующая программа с помощью пакета Skilab 6.1.1.

Разработанная и проверенная компьютерная программа позволила провести исследования расширенной схемы последовательного соединения четырех оболочек в виде сферических сегментов, как на морском танкере «Гранд Елена» для перевозки сжиженного природного газа. Оказалось, что в шести дополнительных случаях существуют оптимальные схемы конструкции оболочки. Результаты компьютерных расчетов характеристик емкостей объемом 145 000 куб. м приведены в таблице 2.

Таблица 2

Емкости для транспортировки СПГ по морю (V = 145 000 куб. м)

Вариант

Объем V, куб. м

Площадь 5, кв. м

Длина, Ь, м

Высота, ширина, Б = 2Д, м

Показатель / = м

Срез х = А/Д, доля

Базовый, 4 сферы

0000

Идеальный, 1 сфера

Цилиндр и полусферы Две сферы, два среза, нуль крышек Две сферы, ч<

Две сферы, четыре среза, две крышки

Три сферы, четыре среза, одна крышка

Три сферы, четыре среза, две крышки

Четыре сферы, шесть срезов, нуль крышек Четыре сферы, шесть срезов, одна крышка

Четыре сферы, шесть срезов, две крышки

Четыре сферы, шесть срезов, три крышки

Четыре сферы, шесть срезов, четыре крышки

Четыре сферы, шесть срезов, пять крышек

145 000

145 000

145 000 145 000

145 000

145 000 145 000

145 000 145 000 145 000 145 000 145 000 145 000

21 124

13 355

15 895

14 125

15 325

14 758

16 800

18 155

15 292

17 302

18 752

19 819

20 571

145 000

21 029

164

65,2

123,4 82,12

93,13

94,74 105,80

115,49

105,20

117.48

127.49 136,60 145,45

154,51

41

65,2

41 54,74

53,38

49,58 47,28

46,06 46,26 44,02 42,78 41,98 41,46

41,16

6,86

10,86

9,12 10,27

9,46

9,83 8,63

7,99 9,48 8,38 7,73 7,32 7,05

6,90

0,5

0,255

0,545 0,381

0,246 0,575 0,444 0,340 0,249 0,164

0,082

0

0

1

Сравнительный анализ базовых и предлагаемых вариантов емкостей типа «Гранд Елена» для транспортировки СПГ

Сравнительный анализ конструктивных вариантов емкости для перевозки сжиженного природного газа типа морского танкера «Гранд Елена» сразу позволяет выделить случай, наиболее близкий к аналогу. Это емкость из четырех сферических сегментов с тремя перегородками между ними. На рисунке 3 слева показана схема емкости типа «Гранд Елена» для транспортировки морскими путями сжиженного природного газа, справа приведена схема более рациональной емкости.

Сопоставление характеристик двух схем емкостей для транспортировки СПГ позволяет сделать следующие выводы:

1. Объем емкостей одинаков, равен 145 000 куб. м.

2. Выполнено требование четырех автономных герметичных отсеков.

3. Габарит длины уменьшился существенно, на 16,7 %, в аналоге (схема слева) был 164 м, в рациональной схеме (рисунок справа) 136,6 м.

4. Конструкция стала легче на 5,2 % из-за уменьшения площади поверхности с 21 124 до 20 029 кв. м.

5. Выбранный показатель качества (отношение объема к площади поверхности) стал 7,05 м, тогда как в базовом варианте он равен 6,86 м, то есть увеличился на 2,8 %.

6. Несущественным недостатком является увеличение габаритов по ширине и высоте с 41 до 41,98 м, то есть почти на метр, т. е. на 2,4 %.

Таким образом, емкость из четырех сферических сегментов объемом 145 000 куб. м уступает четырем сферическим емкостям такого же объема только по габариту ширины и высоты, больше на 0,98 м, то есть на 2,4 %, тогда как по другим рассмотренным параметрам наблюдается выигрыш от 2,8 до 16,7 %. При этом срезы сфер

оооо

Традиционная схема

осоо

Предлагаемая схема

Рис. 4. Рациональный вариант емкости для СПГ типа «Гранд Елена»

надо выполнить на расстоянии 0,249 радиуса, считая от сферической оболочки.

Выводы

1. Сферическая емкость, безусловно, обладает наибольшим отношением объема к площади поверхности, то есть выбранным показателем качества сложной технической системы, который равен Л/3. Величина этого показателя качества для сферы пропорциональна радиусу, поэтому для хранения и транспортировки СПГ выгодны большие конструкции, но при этом часто нарушаются требования к габаритам по ширине и высоте.

2. Замена одной сферической емкости несколькими малыми только формально сохраняет оптимальную форму емкостей в виде сфер, потому что уменьшается радиус и отношение объема к площади.

4. Переход к цилиндрическим конструкциям сопровождается еще большим уменьшением отношения объема к площади поверхности, хотя такие емкости являются более технологичными.

5. Для максимизации отношения объема к площади поверхности целесообразно перейти к комбинации сферических сегментов, то есть усеченных сферических оболочек. Например, одна оптимальная сферическая емкость объемом 145 000 куб. м, как на морском танкере «Гранд Елена», будет иметь диаметр 65,2 м при показателе качества 10,8. Однако замена одной оболочки на два сферических сегмента того же объема, срезанными на половину радиуса, значительно увеличивают габарит длины до 82, сокращая ширину и высоту до 54,7 м, то есть неприемлемого значения ширины морских танкеров такого типа. Показатель качества при этом уменьшается не существенно, до 10,27.

6. Если сохранить четыре емкости, как на морском танкере типа «Гранд Елена», но выполнить их в виде соединенных четырех сферических сегментов, то длина емкости будет 105,2 м при ширине и высоте 46,6 м и показателе качества 9,48. Габариты вполне приемлемы для морских танкеров такого типа, а показатель качества 9,48 существенно выше, чем для четырех малых сфер 6,86.

7. Если требуется иметь перегородки между четырьмя емкостями, то длина 136,6 м остается приемлемой, как и ширина и высота 42 м для морских танкеров такого типа. Показатель качества 7,32 и в этом случае тоже выше, чем для известной конструкции из четырех малых сфер, 6,86.

Таким образом, комбинация сферических сегментов позволяет увеличить отношение объема к площади поверхности емкости или корпуса и одновременно выполнить требования по ограничению габаритов конструкции.

Список литературы

1. ГОСТ 15860—84. Группа В66. Межгосударственный стандарт. Баллоны стальные сварные для сжиженных углеводородных газов на давление до 1,6 МПа. Технические условия. — М.: ИПК, Издательство стандартов. — Электронный ресурс: https://www.testprom.ru/img_user/gosts/23/020/gost_15860-84.pdf

2. Сжиженный природный газ. Проект «Сахалин-2». — Газпром Сахалин. Новости, 04.11.2009. — Электронный ресурс: https://web.archive.Org/web/20091104030050/http://www.gazprom-sh.nl/ru/lng/technology/shipping/

3. Морские гиганты: 5 самых длинных кораблей в мире. — Планета, 23.08.2018. — Электронный ресурс: https:// inplanet.net/samye-dlinnye-korabli

4. ГОСТ 9238—2013. Межгосударственный стандарт. Габариты железнодорожного подвижного состава и приближения строений. — Межгосударственный совет по стандартизации, метрологии и сертификации (МГС). — Официальное издание. — М.: Стандартинформ, 2014. — 177 с. — Электронный ресурс: https://www.reglament.by/wp-content/ uploads/docs/gost/G0ST-9238-2013.pdf

5. Альбом-справочник цистерн для сжиженных газов. — Санкт-Петербург: Интэкс Логистик. — 40 с. — Электронный ресурс: http://intecs-log.ru/wp-content/uploads/2018/05/Vagony-tsisterny-dlya-szhizhennyh-gazov.pdf

6. Баранов М. В. Сосуды давления для космических аппаратов / Космонавтика, 09.11.2012. — Электронный ресурс: http://journal-niss.ru/journal/archive/04/paper3.pdf

7. Бусленко Н. П. Лекции по теории сложных систем. — М.: Советское радио, 1973. — Электронный ресурс (дата обращения 31.05.2023): https://lib-bkm.ru/13940

8. Екимовская А. А. Прочность и орбитальное маневрирование тросовых космических систем / Сборник: XXV Тупо-левские чтения (школа молодых ученых). Международная молодежная научная конференция, посвященная 60-летию со дня осуществления первого полета человека в космическое пространство и 90-летию Казанского национального исследовательского технического университета им. А. Н. Туполева-КАИ. Материалы конференции. Сборник докладов. В 6 томах. — Казань, 2021. — С. 81—88. — Электронный ресурс: https://www.elibrary.ru/ item.asp?id=48162732

9. Мирер С. А. Механика космического полета. Орбитальное движение: Учебное пособие. Часть 2. — М.: МФТИ (НИУ), 2013.

10. Екимовская А. А. Способ межорбитального маневрирования космического аппарата. Заявка на патент на изобретение RU № 2021126157, приоритет от 06.09.2021 г. — Публ. 06.03.2023. — Бюлл. № 7.

11. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 1. — Изд. 6-е, стереотип. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. — С. 195—216.

12. Екимовская А. А. Применение вращающихся тросовых космических систем для орбитального перехода Гомана / Ред. группа: Алексеев М. Ю., Алексеева О. С., Калабухова Д. А., Киревнина Е. И. Научно-методическое издание. Материалы IV Всероссийской конференции «Умный мир руками детей» (Электронное издание), Троицк-Москва, 29—30 июня 2021 г. — 224 с.: ил. — С. 84—90. — ISBN 978-5-89513-495-5 — Электронный ресурс: https://2021-ito-deti.bytic.ru/; Сборник: https://lk-ito-deti.bytic.ru/uploads/files/Materials2021-childs.pdf7643417726