CC BY
11
УДК 514.76
ПРОДОЛЖЕННЫЕ СТРУКТУРЫ НА КОРАСПРЕДЕЛЕНИЯХ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ
С. В. Галаев
Галаев Сергей Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, 410012, Россия, Саратов, Астраханская, 83, [email protected]
В статье вводится понятие АР-многообразия — почти контактного метрического многообразия, локально эквивалентного прямому произведению контактного метрического многообразия и почти эрмитова многообразия. Нормальное АР-многообразие с замкнутой фундаментальной формой является квазисасакиевым. Квазисасакиево АР-многообразие названо в статье специальным квазисасакие-вым многообразием ^Б-многообразием). SQS-многообразие локально эквивалентно произведению сасакиева и кэлерова многообразий. В качестве вспомогательного результата доказывается предложение, утверждающее, что контактное метрическое многообразие с распределением нулевой кривизны является К-контактным метрическим пространством. Кораспределение Б* контактной метрической структуры (М, £ п, д, Б) определяется как подрасслоение кокасательного расслоения Т*М, состоящее из всех 1-форм, обращающихся в нуль на структурном векторе £ На кораспределении Б* задается продолженная почти контактная метрическая структура (Б*, и = дп= п◦ п*, С, Б). Выводятся структурные уравнения, на основе которых доказывается, что продолженная почти контактная метрическая структура задает структуру АР-многообразия тогда и только тогда, когда тензор кривизны Схоутена контактного метрического многообразия М равен нулю. Статью завершает теорема, утверждающая, что продолженная почти контактная метрическая структура является SQS-структурой тогда и только тогда, когда в качестве исходного многообразия выбирается сасакиево многообразие с распределением нулевой кривизны.
Ключевые слова: квазисасакиево многообразие, внутренняя связность, ассоциированная связность, тензор кривизны Схоутена, распределение нулевой кривизны..
001:10.18500/1816-9791-2017-17-2-138-147
ВВЕДЕНИЕ
Пусть М — гладкое многообразие нечетной размерности п = 2т + 1 с заданной на нем контактной метрической структурой (М, п, д, Б). Кораспределение Б* почти контактного метрического многообразия М образовано всеми допустимыми 1-формами: Л е Б* ^ Л(£) = 0 и является нечетномерным аналогом кокасательного расслоения Т*М. Геометрия кокасательного расслоения Т*М с метрикой Саса-ки изучалась в работах [1-3]. Использованные в указанных работах методы получили свое развитие в исследованиях геометрии касательных расслоений ТМ (см., например, [3-9]). Нечетномерным аналогом касательного расслоения является распределение Б почти контактной метрической структуры. В работе [10] с помощью внутренней и N-продолженной связностей на распределении Б была определена почти контактная метрическая структура, названная продолженной почти контактной
метрической структурой. Результаты дальнейших исследований продолженных почти контактных метрических структур и их обобщений отражены в работах [11-16]. Так, в частности, в [12] на распределении D задается геодезическая пульверизация связности над распределением, являющаяся аналогом геодезической пульверизации, заданной на пространстве касательного расслоения ТМ и имеющая ясную физическую интерпретацию: проекции интегральных кривых геодезической пульверизации связности над распределением совпадают с допустимыми геодезическими (траекториями движения механической системы со связями). В настоящей статье понятие продолженной почти контактной метрической структуры рассматривается применительно к кораспределению D*. Основная задача предлагаемой работы сводится к нахождению условий, при которых продолженная почти контактная метрическая структура является структурой AP-многообразия. Предположим, что распределение D почти контактной метрической структуры разлагается в прямую сумму вида D = L © L±, где L^ = K П D — ядро формы ш = dn, распределение L ортогонально распределению L± и инвариантно относительно действия эндоморфизма р. Таким образом, dim L = rk dn = 2p < 2m. Если дополнительно распределение L = L © D± интегрируемо и имеет место равенство dn(x,y) = П(ж,y), x,y е r(L), где r(L) — модуль сечений распределения L, то многообразие M будем называть AP-многообразием. AP-многообразие локально эквивалентно прямому произведению контактного метрического многообразия и почти эрмитова многообразия. Квазисаса-киево AP-многообразие названо в статье специальным квазисасакиевым многообразием (SQS-многообразием). SQS-многообразие локально эквивалентно произведению сасакиева и кэлерова многообразий.
1. ПОЧТИ КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n = 2m + 1, Г(ТМ) — модуль гладких векторных полей на M. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса CПредположим, что на М задана почти контактная метрическая структура (М, n, g, D), где р — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом или допустимой почти комплексной структурой, £ и n — вектор и ковектор, называемые соответственно структурным вектором и контактной формой, g — (псевдо) риманова метрика. При этом выполняются следующие условия:
1) р2 = -i + n 0
2) n(£) = 1;
3) g((x, (У) = g(x, y) - n(X)n(y);
4) dn(£, x) = 0, где x,y е Г(ТМ).
Гладкое распределение D = ker n называется распределением почти контактной структуры.
В качестве следствия условий 1)-4) получаем:
5) ((£) = 0;
6) n ◦ ( = 0;
7) n(X) = g(x,£), x е Г(ТМ).
Если гк ш = 2т, где ш = ^п, вектор у однозначно определяется из условий п(У) = 1, кегш = $рап(У).
Кососимметрический тензор у) = д(ж, ^у) называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство П = ^п- Гладкое распределение Б± = $рап(у), ортогональное распределению Б, называется оснащением распределения Б. Имеет место разложение ТМ = Б © Б^.
Многообразие Сасаки — контактное метрическое пространство, удовлетворяющее дополнительному условию
N + 2^п 0 У = 0,
где Nv(ж, у) = [^ж, ^у] + [ж, у] — ^[^ж, у] — ^[ж, ^у] — тензор Нейенхейса эндоморфизма Выполнение условия N + 2^п 0 У = 0 означает, что пространство Сасаки является нормальным пространством. Символы Г(Е) будем использовать для обозначения модуля сечений распределения Е с ТМ.
Предположим, что гк ^п = 2р, 0 < 2р < 2т. Хорошо известно, что ядро формы ш = ^п является интегрируемым распределением, которое в дальнейшем будем обозначать символом К. Пусть Р : ТМ ^ Б, д : ТМ ^ Б\ Н : ТМ ^ Ь, V : ТМ ^ Ь^ — проекторы, определяемые разложением ТМ = Ь©Ь^©Б^ = Б©Б^, где Ь± = К П Б, а Ь — ортогональное ему распределение в Б.
Имеет место
Предложение 1. Распределение Ь^ интегрируемо.
Доказательство. Пусть ж, у е Г(Ь^). Покажем, что [ж, у] е Г(Ь^). Имеем, 2^п(ж,у) = —п([ж, у]) = 0. Отсюда следует, [ж,у] е Г(Б). Далее, для произвольного £ е Г(ТМ) получаем: 0 = 3^ш(ж, у, У) = — ш([ж, у], у). Таким образом, [ж, у] е Г(Ь^), что и доказывает предложение. □
Многообразие М с почти контактной метрической структурой (М, у, п, д, Б) назовем АР-многообразием, если выполняются следующие три условия.
1. Распределение Ь инвариантно относительно действия эндоморфизма
2. Распределение Ь = Ь © Б^ — интегрируемо.
3. Имеет место равенство
^п(ж,у) = П(ж,у), ж, у е Г(Ь).
Квазисасакиево многообразие, являющееся одновременно АР-многообразием, назовем специальным квазисасакиевым многообразием (БРБ-многообразием).
Используя интегрируемость распределения К, определим на многообразии М адаптированную карту К (жа) (А, В, С = 1,..., 2р; а, в, 7 = 1,...,п = 2т + 1; а, Ь, с = 1,..., 2т; г,^, к = 2р + 1,..., 2т), полагая Ь± = 8рап(д,), дп = у. Мы здесь использовали обозначение = да.
Пусть К(жа) и К'(жа') — адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:
— ) ж — ) жп — жп' + жп (жа')
»ху »ху i »ху у ^ »ху »ху i »ху у ^ »ху »ху i »ху \ »ху у.
Векторные поля Д(дА) = еА = дА — ГАд — ГАдп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение Ь: Ь = 8рап(еА). Таким образом, мы имеем на многообразии М неголономное поле базисов (еа) = (еА, д,,дп) и соответствующее ему поле кобазисов
(^жА, + ГА , + Га^Жа ).
Непосредственно проверяется, что в случае АР-многообразия [еА, ев] = 2^Вадп, дп ГА = дгГА = 0.
Используя интегрируемость распределения Ь, потребуем дополнительно выполнение равенства ГА = 0.
Пример 808-многообразия. Пусть М = Е5 = Е3 х Е2, (да) — стандартный базис арифметического пространства. Определим на М 1-форму п, полагая, что П = ^ж3 + х2^ж1. Очевидно, что п(д3) = 1, п(д2) = п(д4) = п(д5) = п(¿1) = 0, где ¿1 = д1 — ж2д3. Структуру риманова многообразия на М определим, считая базис (е1 ,д2,д3,д4,д5) ортонормированным. И наконец, положим = д2, ^д4 = д5,
^д2 = —¿1, ^д5 = —д4, ^д3 = 0.
2. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ СХОУТЕНА
Тензорное поле £ типа (р, д), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению Л), если £ обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются £ или п. Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид
£ = СХре«10 •••0 ¿аР 0 ^ 0... 0 ^.
Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону:
I а _ ла л Ь' < а'
Ч = Да' ДЬ Ч' ,
где Да' = дха' где Да = дха .
Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные дп£а компонент допустимого тензорного поля являются компонентами допустимого тензорного поля того же типа. Заметим, что обращение в нуль производных дп£а не зависит от выбора адаптированных координат.
Внутренней линейной связностью V [16] на многообразии с почти контактной структурой называется отображение
V : Г(Л) х Г(Л) ^ Г(Л),
удовлетворяющее следующим условиям:
1) .+/2у = /1 ^ + /2 Vy;
2) Vx/у = (ж/)у + /Vгy;
3) Vx(у + = VxУ + Vxz,
где Г(Л) — модуль допустимых векторных полей.
Внутренняя связность определяет дифференцирования допустимых тензорных полей. Так, например, для допустимой почти комплексной структуры выполняется равенство
(Ух<р)у = Ух(<р$ — <^(Уху), ж, у е Г(Б).
Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения УеД = ГОЛ. Из равенства еа = А^еО/, где А^' = §ха, обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:
1 ab _ Aa Ac'1 a'b + Ac' eaAb •
Кручением внутренней связности назовем допустимое тензорное поле
S(x,y) _ Vxy - VjX - PG r(D).
Внутреннюю связность будем называть симметричной, если ее кручение равно нулю. В случае симметричности внутренней связности в адаптированных координатах получаем:
Sab _ ra6 — rba, или ra6 _ r^a.
Допустимое тензорное поле, определяемое равенством
R(X,y)z _ VxVyz - VyVxz - Vp- P[Q[X, y], zz],
где Q _ I - P, названо Вагнером тензором кривизны Схоутена [17,18]. Тензор Схо-утена будем называть тензором кривизны внутренней связности. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид
<с _ 2e[ard]c + 2rfaMeMre]c.
Тензор кривизны внутренней связности возникает в результате альтернирования вторых ковариантных производных:
2V[aVb]VC _ RabeV6 + 4^«VC.
Назовем тензор кривизны внутренней связности тензором кривизны распределения D, а распределение D, в случае обращения в нуль тензора Схоутена, — распределением нулевой кривизны.
Аналогом связности Леви - Чивита является внутренняя симметричная связность V такая, что Vg _ 0, где g — допустимое тензорное поле, определяемое метрическим тензором исходной почти контактной метрической структуры. Назовем связность V внутренней метрической связностью. Известно, что внутренняя симметричная метрическая связность существует и определена единственным образом. Ее коэффициенты задаются равенствами
1
1с _ ^gaf (ebgcf + eCgbf - efgbc).
Предложение 2. Контактное метрическое многообразие размерности с распределением нулевой кривизны является К-контактным пространством.
Доказательство. Пусть V — внутренняя метрическая связность:
%(ж, у) = у) + р(ж, ^у) = 0, ж, у, £ е Г(Б).
Дифференцируя последнее равенство повторно и альтернируя полученный результат, получаем:
2^еа дп#Ьс — ^с^аЬ — 0Ь^^ас =
Учитывая невырожденность формы ш, заключаем, что равенство Яс^ас = 0 влечет равенство дп^Ьс = 0. Что и доказывает предложение. □
1 = 1 ^
Используя равенство Гас = 2^(¿ь+ вс^ — е<#ьс), получаем
Следствие. Пусть М — многообразие, наделенное контактной метрической структурой, тогда обращение в нуль тензора кривизны Схоутена влечет равенство РЬас = 0.
Следующая теорема позволяет сформулировать более сильный результат.
Теорема 1 (см. [14]). Пусть (М, п,^) — контактная метрическая структура, заданная на многообразии М. Тогда обращение в нуль тензора Схоутена эквивалентно существованию такого атласа, состоящего из адаптированных карт, для которого выполняются равенства Гас = 0.
3. ПРОДОЛЖЕННЫЕ ПОЧТИ КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Пусть М — гладкое многообразие нечетной размерности п = 2т +1 с заданной на нем контактной метрической структурой (М, п, Б). Введем на кораспреде-лении Б* структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте К(жа) многообразия М сверхкарту КТ(жа ,ра) на многообразии Б*, где ра — координаты допустимого ковектора в кобазисе
(^жа, п = ^жп + Гп ^жа),
сопряженном базису
(е = д — Гпд д )
Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Поставим каждому допустимому векторному полю ж е Г(Б), ж = жаеа, и каждому допустимому ковекторному полю Л е Г(Б*), Л = Ла^жа, векторные поля ж^ = жава, Л^ = Лада соответственно, где еа = да — Гпдп + рЬГасдс, да = др-.
На тотальном пространстве Б* векторного расслоения (Б*,п,М), где п : Б* ^ М — естественная проекция, таким образом, возникает гладкое распределение Б = Н ф V, где Н = 8рап(£а), V = Ярап(да).
Замечание 1. Иногда мы не делаем различие между распределением и модулем сечений распределения, что не приводит к недоразумениям.
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 2 Определим на пространстве D* метрический тензор G, полагая, что
Gfö, Г) _ G(da, db) _ gab, G(dn, dn) _ 1,
G(ea, db) _ G(ea, dn) _ G(da, dn) _ 0, и допустимую почти комплексную структуру J, таким образом,
JXh _ JAv _ (^A)v, J(U) _ 0.
Имеют место следующие структурные уравнения:
[Га, ГЬ] _ 2^baU + РсRabe^, [Г*, дЬ] _ -^дС, [Га, d„] _ -pbдпГасдС.
Здесь Rf^ _ 2^1^ + 2rfa||e||Г6]с — компоненты тензора Схоутена: R(X,y)z _ VxVyz - VyVxz - Vp- P[Q[X,y],Z].
Проводя необходимые рассуждения, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.
Теорема 2. Система (D*, u _ dn, ß _ n ◦ п*, J, G, D) является почти контактной метрической структурой.
Назовем полученную структуру продолженной (до распределения D*) почти контактной метрической структурой.
Имеет место следующее
Предложение 3. Почти контактная метрическая структура (D*,u _ dn, ß _ n ◦ n*, J, G, D) задает структуру AP-многообразия тогда и только тогда, когда тензор кривизны Схоутена равен нулю.
Доказательство. 1. Распределение H инвариантно относительно действия эндоморфизма J в следствии с определением J: JXh _ - .
2. Как следует из равенств
[£a, Г»] _ 2^baU + РсRabeд6, К, дп] _ -^n^дс,
распределение L _ H © D\ где D^ _ Span(dn), — интегрируемо тогда и только тогда, когда R^e _ 0, dn_ 0. Как следует из предложения 2, второе из последних двух равенств является следствием первого.
3. Справедливость равенства dß(X, y) _ П(ж, Г) следует из того, что исходное многообразие является контактным метрическим пространством. Тем самым, предложение доказано. □
Опираясь на предложение 3 и координатное представление тензора Нейенхейса эндоморфизма J, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.
Теорема 3. Почти контактная метрическая структура (D*, u _ dn, ß _ n ◦ п*, J, G, D) определяет структуру SQS-многообразия тогда и только тогда, когда распределение D является распределением нулевой кривизны сасакиева многообразия.
Библиографический список
1. Salimov A. A., Agca F. On para-Nordenian structures // Ann. Polon. Math. 2010. Vol. 99, № 2. P. 193-200. DOI: 10.4064/ap99-2-6.
2. Salimov A. A., Agca F. Some properties of Sasakian metrics in cotangent bundles // Mediterr. J. Math. 2011. Vol. 8, iss. 2. P. 243-255. DOI: 10.1007/s00009-010-0080-x.
3. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. N. Y. : Marcel Dekker, 1973. 434 p.
4. Aso K. Notes on some properties of the sectional curvature of the tangent bundle // Yokohama Math. J. 1981. Vol. 5. P. 1-5.
5. Gudmundsson S., Kappos E. On the geometry of the tangent bundles // Expo. Math. 2002. Vol. 20, iss. 1. P. 1-41.
6. Kowalski O. Curvature of the induced Riemannian metric on the tangent bundle of Riemannian manifold // J. Reine Angew. Math. 1971. Vol. 250. P. 124-129.
7. Musso E., Tricerri F Riemannian metric on tangent bundles // Ann. Math. Pura. Appl. 1988. Vol. 150, iss. 1. P. 1-19. DOI: 10.1007/BF01761461.
8. Salimov A. A. Tensor operators and their applications. N.Y. : Nova Science Publ., 2013. 692 p.
9. Sasaki S. On the Differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifols // Tohoku Math. J. 1958. Vol. 10, № 3. P. 338-358.
10. Букушева А. В., Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 17-22.
11. Букушева А. В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 3. С. 247-251.
12. Букушева А. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Изв. вузов. Матем. 2013. № 4. С. 10-18.
13. Галаев С. В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сиб. матем. журн. 2016. Т. 57, № 3(337). С. 632-640. DOI: 10.17377/smzh.2016.57.310.
14. Галаев С. В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 3. С. 263-272. DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-3-263-272.
15. Букушева А. В. О геометрии контактных метрических пространств с ^-связностью // Науч. ведомости Белгород. гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. 2015. № 17(214), вып. 40. С. 20-24.
16. Галаев С. В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Изв. вузов. Матем. 2017. № 3. С. 15-23.
17. Вагнер В. В. Геометрия (n — 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып 5. С. 173-255.
18. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 301-327.
Образец для цитирования:
Галаев С. В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 2. С. 138-147. 001: 10.18500/1816-9791-2017-17-2-138-147.
Extended Structures on Codistributions of Contact Metric Manifolds
S. V. Galaev
Sergei V. Galaev, ORCID: 0000-0002-1129-7159, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, Russia, 410012, [email protected]
In the paper, the notion of an AP-manifold is introduced. Such a manifold is an almost contact metric manifold that is locally equivalent to the direct product of a contact metric manifold and an Hermitian manifold. A normal AP-manifold with a closed fundamental form is a quasi-Sasakian manifold. A quasi-Sasakian AP-manifold is called in the paper a special quasi-Sasakian manifold (SQS-manifold). A SQS-manifold is locally equivalent to the product of a Sasakian manifold and a Kahlerian manifold. As a subsidiary result, a proposition is proved stating that a contact metric space with a zero curvature distribution is a K-contact metric space. The codistribution D* of a contact metric structure (M, n, g, D) is defined as the subbundle of the cotangent bundle T* M, consisting of all 1-forms annihilating the structure vector £ On the codistribution D*, the extended almost contact metric structure (D*, U = dn, ^ = n ◦ n*, J, G, D). is defined. Structural equations are introduced. These equations were used to prove the statement that the extended almost contact metric structure defines a structure of an AP-manifold if and only if the Schouten tensor of the contact metric manifold M is equal to zero. Finally we prove the theorem stating that the extended almost contact metric structure is a SQS-structure if and only if the initial manifold is a Sasakian manifold with a zero curvature distribution.
Keywords: quasi-Sasakian manifold, interior connection, associated connection, Schouten curvature tensor, distribution of zero curvature.
References
1. Salimov A. A., Agca F. On para-Nordenian structures. Ann. Polon. Math., 2010, vol. 99, no. 2, pp. 193-200. DOI: 10.4064/ap99-2-6.
2. Salimov A. A, Agca F. Some properties of Sasakian metrics in cotangent bundles. Mediterr. J. Math., 2011, vol. 8, iss. 2, pp. 243-255. DOI: 10.1007/s00009-010-0080-x.
3. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. New York, Marcel Dekker, 1973. 434 p.
4. Aso K. Notes on some properties of the sectional curvature of the tangent bundle. Yokohama Math. J., 1981, vol. 5, pp. 1-5.
5. Gudmundsson S., Kappos E. On the geometry of the tangent bundles. Expo. Math., 2002, vol. 20, iss. 1, pp. 1-41.
6. Kowalski O. Curvature of the induced Riemannian metric on the tangent bundle of Rie-mannian manifold. J. Reine Angew. Math., 1971, vol. 250, pp. 124-129.
7. Musso E., Tricerri F. Riemannian metric on tangent bundles. Ann. Math. Pura. Appl., 1988, vol. 150, iss. 1, pp. 1-19. DOI: 10.1007/BF01761461.
8. Salimov A. A. Tensor operators and their applications. New York, Nova Science Publ., 2013. 692 p.
9. Sasaki S. On the Differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifols. Tohoku Math. J., 1958, vol. 10, no. 3, pp. 338-358.
10. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution with admissible Finslerian metric. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2012, vol. 12, iss. 3, pp. 17-22 (in Russian).
11. Bukusheva A. V. Foliation on distribution with Finslerian metric. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2014, vol. 14, iss. 3, pp. 247-251 (in Russian).
12. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Connections on distributions and geodesic sprays. Russian Math., 2013, vol. 57, iss. 4, pp. 7-13. DOI: 10.3103/S1066369X13040026.
13. Galaev S. V. Geometric interpretation of the Wagner curvature tensor in the case of a manifold with contact metric structure. Sib. Math. J., 2016, vol. 57, no. 3, pp. 498-504. DOI: 10.1134/S0037446616030101.
14. Galaev S. V. Admissible hypercomplex structures on distributions of Sasakian manifolds. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 3, pp. 263-272 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-3-263-272.
15. Bukusheva A. V. The geometry of the contact metric spaces ^-connection. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics & Physics, 2015, no. 17 (214), iss. 40, pp. 20-24 (in Russian).
16. Galaev S. V. N-extended symplectic connections in almost contact metric spaces. Russian Math., 2017, iss. 3, pp. 15-23.
17. Vagner V. V. The geometry of an (n — 1)-dimensional nonholonomic manifold in an n-dimensional space. Trudy Sem. Vektor. Tenzor. Analiza [Proc. of the Seminar on Vector and Tensor Analysis]. Moscow, Moscow Univ. Press, 1941, iss. 5, pp. 173-255 (in Russian).
18. Vagner V. V. Geometric interpretation of the motion of nonholonomic dynamical systems. Trudy Sem. Vektor. Tenzor. Analiza [Proc. of the Seminar on Vector and Tensor Analysis]. Moscow, Moscow Univ. Press, 1941, iss. 5, pp. 301-327 (in Russian).
Cite this article as:
Galaev S. V. Extended Structures on Codistributions of Contact Metric Manifolds. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2017, vol. 17, iss. 2, pp. 138-147 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-2-138-147.
