Продольные волны в нелинейной осесимметричной цилиндрической оболочке Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/18-68 Ссылка для цитирования этой статьи:

Иванов С.В., Могилевич Л.И., Попова Е.В. Продольные волны в нелинейной осесимметричной цилиндрической оболочке // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2018. №2_

УДК 539.3

ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ

Иванов С.В.1, Могилевич Л.И.2 Попова Е.В.3

1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет

им. Н.Г. Чернышевского, [email protected] 2Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

mo gilevich@sgu. ru

3Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, [email protected]

LONGITUDINAL WAVES IN A NONLINEAR AXISYMMETRIC

CYLINDRICAL SHELL

Ivanov S.V.1, Mogilevich L.I.2, Popova E.V.3

1Saratov State University, evilgraywolf@gmail .com

2Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, mo [email protected] 3Saratov State University, [email protected]

Аннотация. Проблема распространения волн в газовой динамике и теории упругих оболочек изучается при помощи линеризованных уравнений. При этом скорость распространения возмущений считается постоянной и равной скорости распространения звука в невозмущенной среде. Однако, ряд явлений, несмотря на малые значения зависимых переменных, целиком определяются зависимостью скорости распространения возмущений от величины зависимых переменных и исследуется на базе нелинейных уравнений. Эти исследования проводятся с помощью методов возмущений. В настоящей работе развивается метод возмущений в упругой цилиндрической оболочке. Метод двухмасштабных разложений приводит к модифицированному уравнению Кортевега - де Вриза, имеющему точные решения.

Ключевые слова: нелинейные волны, упругие цилиндрические оболочки.

Abstract. The problem of waves propagation in gas dynamics and elastic shells theory is studied by means of linearized equations. The disturbances propagation velocity is considered to be constant and equaling sound propagation velocity in an undisturbed media. However, a number of

cases in spite of small values of dependent variables are defined by disturbances propagation velocity dependence on dependent variables values and are studied on the basis of non-linear equations. These investigations are carried out by means of perturbation methods. The present article deals with further developing of perturbation method for deformation non-linear waves in an elastic cylinder shell. The method of two-scale expansions leads to the modified Korteweg - de Vries equation having exact solutions.

Keywords: non-linear waves, elastic cylinder shell.

Деформационная теория пластичности А. А. Илюшина [1,2] связывает компоненты тензора напряжений ах, а@ с компонентами тензора деформаций ех, е0 и квадратом интенсивности деформаций еи [3,4].

E

=

m 2

u

s

Y (s + MS©)1 + m S 1 -^o V E

4

E

в

1 -Д>

(s®+Mosx

i - m 2

1+mm su

j

(i)

- 4 (

3

Sx + S© SxS®,

Здесь Е - модуль Юнга; т - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие; ¿и0 - коэффициент Пуассона материала оболочки.

Рассматривается осесимметричный случай цилиндрической оболочки толщиной И0 и упругими перемещениями - продольным и и прогибом Ж, направленным к центру кривизны. Связь компонент деформаций с упругими перемещениями записывается в виде [5]

Ж

Ж (2)

dU 1 (dW^2

Sx -

+ —

dx 2

dx

d 2W

- z-

dx2

Se --

R

Здесь х - продольная координата вдоль срединной поверхности; 2 - нормальная

координата в оболочке

-Jo < z <'-^0-

2

2

Квадрат интенсивности деформаций

записывается в виде

sí -

4

dU 1 ídW^2

+

dx 2

dx

d 2W

- z-

dx2

+

W2 W

2 + R

R

dU 1 ídW^2

+

dx 2

dx

d 2W

-z

dx2

(3)

или

S - 4 .

z

dU 1 ídW^2

+ — dx 2

dx

+

W2

v R j

+ ■

dW

dR

dU 1 ídW^2

■ + — dx 2

dx

2

dU 1

+ — dx 2

dW' dx

+ ■

W_ R

d2W 2 + z

dx

2

f d W

v dx2 j

(4)

Усилия в срединной поверхности оболочки и момент определим по формулам:

2

<

>

3

2

2

2

>

2 2 2 = , Я&= , Мх = \vxzdz

При этом

т 2

1 + - 8

т-т и

Е

dz = И0( 1 + <

4 т

з Е

Ио

2

ди 1 (дЖ ^ 2 2 ( Ж ^

-- ь — + -

дх 2 у дх у У Л у

+

(5)

+

Ж Л

ди 1 (дЖ +

дх 2

дх

2

+

И2 (д2жЛ

12

У дх2 у

z

1~т 2 1 + 82

Е

Л 7 / - 4 т

dz = И +---^

3 Е

Ио2 <-- 2 (ди 1 (дЖ ^ 2 Ж д 2Ж

+ — +— - > дх 2

12 дх У 2 у дх у у Л

(6)

z

1 - т 2

1 + — 82

Т-г и

Е

^=Щ1 + 4 т

12 \ 3 Е

ди 1 (дЖл2 +

дх 2

дх

+

Ж 2

у Л у

Ж +--

Л

ди 1 +

дх 2

(дЖ ^ у дх у

2

+

+ 3^-20

и 2^Л

дЖ удх у

Подставляя (6) в (5) находим

ЕК /ди 1 (дЖл2

*х = , 2

1 - Мо \ дх 2 + (1 -Мо)

ди 1 + —

дх

'дЖ^ 2

Ж _ 4 т

- м — +--

0 Л 3 Е

дх 2

дх

Мо

Ж

у л у

+ ■

И2 (д2ЖЛ

ди 1 (дЖЛ2

■ + — дх 2

дх

+

12

У дх2 у

Ж + 11 -Мо)

ди 1 (дЖЛ 2Л

ди 1 (дЖЛ 2

У

■ + — дх 2

дх

■ + —

дх 2 + (1 -Мо )

у

у

дх у

Ж

Л

Ж2

У Л у

/г

/г

/г

о

о

о

к

к

о

о

2

2

к

о

2

2

н

о

2

2

>

к

о

2

к

о

2

к

о

2

2

<

к

о

2

2

>

3

<

3

>

N

©

ЕИо

1 -М

Мо

ди 1 (дЖл

2

дх 2

V

дх

_ 4 т

+--

3 Е

Мо

о \

ди 1 (дЖл ^ +

дх 2

дх

2

+

Ж

V я у

+

ди 1 (дЖл \

2

V

дх 2

V

дх

Ж

я

Ж

я +

Ж — +

я

о \

ди 1 (дЖл ^ +

дх 2

дх

+

И2 12

3М

? л

ди 1 (дЖл

+

дх 2

дх

Мх = -

ЕИ3

о д2ж/_ 4т

12(1 — Мо) дх7 +

3 Е

V ' у

ди 1 (дЖл 2

V дх у

2

+ — дх 2

дх

+

+

+

2(1 -

21 ди 1 М )дХ + 2

'дж^2

дх

Ж — +

я

(1

'Ж

я

2

+ 3^ 20

и2 (д 2жл

дх2

(1 -Мо )

Ж

я

(7)

Уравнения динамики для оболочек такие же как и в физически линейной

теории

дЫ„

дх

М

д2и д 2 М„

о дТ2

дх2

■ + ■

дх

дЖ дх

N

+1N© =М

я

д 2Ж о дТ2

(8)

Здесь t - время; ро - плотность материала оболочки; подставляя (8) в (7) находим уравнения динамики в перемещениях

ЕИо +1 (дЖ'

1 - Мо дх \ дх 2 V дх ,

п2

1 ( дЖЛ + —

2

2

V

дх

у

Ж

я

+

(1 -Мо)

Ж _ 4 т

Мо — + — о я 3 Е

ди 1 (дЖЛ + —

ди 1 (дЖЛ + —

2

д х 2

дх

+

(1 -Мо |

ди

дх

+

2

д х 2

дх

(Ж ]

V я у

2

Мо

Ж3

V я у

+

к 12

'д Ж

V дх2 у

3

9 Л

ди 1 (дЖЛ ^ + —

д х 2

дх

+

+

(1 -Мо )

Ж'

я

М

д 2и

о дТ2

2

-X

>

3

■ч

2

>

3

2

-X

2

вн1

д2 /д2Ж

12(1 -ао2) дх2\ дх2

Л- \ т 1 +--

3 Е

п \

ди 1 (д^ ^ + —

дх 2

дх

+

Ыл * ди 1 (дWл

+ 2(1 -Ао)-+ -

2

дх 2

V

дх

W — +

Я

+

(1 -

Ао,

'Г

Я

2

+ 3^ 20

и и^л

д ^

2

дх

2

_ 4 т

+--^

3 Е

ди 1 ( дWл + -

V ^ у

3

+

ЕК д дW

1 - Ао дх \ дх

ди 1 (д^2

+ —

дх 2

дх

W _

- АО — + 0Я

2

дх 2

V

дх

у

л 41 ди 1 (дWл

+ (1 -АО)-+ -

2

дх 2

V

дх

у

2

W — +

Я

+

(1 -Ао)

ди 1 ( дWл

-+ —

дх 2

А0

^3 V Я у

+ ■

12

V дх

д V

и и^л

2

дх

2

у

V Я у

Гди 1 (д^2Л + —

дх 2

дх

+

(1 -Ао )

Я

+

+

Еио 1 1 -Ао2 Я / ди 1 2 W 4 т (ди 1 2 W с

Ао -+ — -- +-- Ао -+ — --

дх 2 V дх у Я 3 Е дх V 2 V дх у у Я Л

ди

дх

(9)

+

+ — 2

1 (д^2Л

дх

+

^2 '

V Я у

+

ди 1

--+ —

дх 2

-(1 -Ао )

Я

V

д 2W

^ дх у

К

Я

+

12

V дх2 у

3Ас

9 Л

ди 1 (д^ ^ + —

дх 2

дх

Асимптотические оценки, проводимые в безразмерных переменных, характеризуют рассматриваемые задачи. Для волновых задач оболочку считаем бесконечной. Для продольных волн в оболочке вводятся безразмерные переменные и параметры. Принимаем за характерную длину I - длину волны, а ит, - характерные значения упругих перемещений

* х * Ог

W = м>тиъ, и = ити1, х = —, г = -о г

(10)

Е

0 \Р(1 - Ао) оболочке.

Положим

Г I

- скорость распространения продольных упругих волн в

2

3

<

2

3

2

2

Ио = е << 1, ^ = О(е)

я /2

и™ я те И

(11)

И

= О(1), ^^ = о(1), ^ = О (1),

/ И

Е

/

И2 я! = ез

я2 /2

'о 1 "о

где е- малый параметр задачи. В этих переменных уравнения (9) принимают вид

4рЛ1А(^ ^ +1 я -' м

2 Г Л 2

I Л А)

т

1 я 2

/ дх \ / дх 2 /

т3

2

V я у

^дм3Л

дх

Мо

Vдл у

я

4 т

щ +---•

3 Е

т

/ дх

^ди

2 /2

V я у

3

дх

Vдл у

+

(1 -Мо)

Ит ди^ 1 я

1я

2

2 /2

2

V я у

дх

Vдл у

1я

22

2 /2

Со2Ро

V я у

( ди

у

2

я

и.

/ дх 2 /

3

2

'м. У (ди л2

vдx * у

V я у

я

Мо

т

V я у

3 и2 я2 м,

и3

22 д щ

12 /4 я

^х^ у

г/.

3

/ дх

/ дх

дх

Ио к1 1 д

72 ^1*2

Vдx у

2

+

(1 -Мо )

у

Мт

я

и-.

2 2 СоРоК „ д и1.

/

2

т дТ *2

(12)

я Мт д2щ3

/ 12 /2 дх 2 \ / я дх

г

*2

л _ 4 т 1 +--

3 Е

3

ит ди1 1 я2 (м. ^2(ди л2Л

+

/ дх* 2 /2

я

V я у

дх

Vдx у

+

+

2(1 -Мо)

ит дщ 1 я2 (м. ^2(ди л2Л

+

V

/ дх * 2 /

2

т

V я у

дх*

я

и3 +

(1 -Мо )

2

т

я

+

V я У

+ 3 Ио2 я

2 о4 V

2о /4

V я 2 уv

д «3 *2

дх

+

1 я 2

2 /2 + (1

2

я

V я у

ди!Л

vдx у

Мо

2 1 д ямт ди3

+Со Ро Ио / д7\ 71т дг

_ 4 т

/ дх *

+

я

щ +---

3 3 Е

ит дщ 1 я2 (м. ^2(ди л2

+ ■

/ дх* 2 /2

я

V я У

дх

Vдx у

+

-Мо)

Ит ди^ 1 я

2 /

/ дх 2 /'

я

V я у

^ дщ

vдx* у

я

щ

щт 1 я

22

/ дх 2 /'

V я у

2

дщ vдx у

+

я

щ

Мо

,3 , Ио2 я2

я

щ3 +

12 /1

т

V я у

22 д2щ

^х*2 у

щт дщ1 + 1 я

2

/ дх 2 /2

V я у

дщЛ

vдx у

2

+

2

>

2

<

>

3

2

<

*

2

3

(1 -Ао )

+ 1

_ 4 т

+--

3 Е

w„

Я

щ

,2 . 1

+ О2РоК~\ Ао

ит ди1 + 1 Я

2

/ дх 2 /2

V Я у

ди

vдx у

w„

Я

и3 +

Ао

ига дщ 1 Я2 (^ ^2(ди л2Л

+

+

1 Я2 (^ V(ди л

2 /2

V Я у

/ дх 2 /

2

+

2

Я

V Я у

дх

у

Я

и

'ит ди!

/ дх

+

3

дх

2 2 2 ' w л

Vдx у

у

V Я у

и32 +

ит ди1 + 1 Я

т

+

2 2 2 2 л0 Я wm д и

12 /4 Я2

*2

Роио 02 ^ ^ •

дх

д2и

3Ао

ит ди1 + 1 Я

/ дх' 2 /2 ди

Я

2 ди 2

V Я у

дх

у

w.

Я

и

+

т

/ дх 2 /2

Я

22

V Я у

дх

Vдx у

-(1 -Ао)

Я

и

Введем независимые переменные в виде

^ * * *

£ = х - ог , т = £

где с - безразмерная неизвестная скорость волны; т - быстрое время. В этих переменных, оставляя в уравнениях (12) члены порядка £ и £ и отбрасывая члены с более высокими степенями, получим уравнения [6]

А/иж ди1_

Ао

w„,

д£ \ / ' 0 Я

ит ди1 ^

_ 4 т

щ +---

3 3 Е

/

+

+

(1 -Ао )и

и

ит ди1 ,

+ и

/ Я 3V / Я

3

(14)

Ао

V Я у

и

и

„2 д2и1

д£2

Ао

ит ди1 т4 т |„ ит ди1 ^

----+--

/ Я 3 3 Е

Ао

/ д£ Я

- 2ео

и

д 2и1 д£дт

ит_ ди_ /

+

V Я у

и3 +

, ит ди1

+ и

/ Я

3

Я 2

/2 Я

2 д2и3

- 2ео

д 2 и

д£2 д£дт

Зависимые переменные представим в виде асимптотического разложения и1 = и10 + £и11 + •••, и3 = и30 + £и31 + ••• (15)

Подставляя (15) в (14) и оставляя члены порядка е получим систему уравнений

<

*

2

*

2

3

*

3

/

2

2

д дщ

1о

Мо

и я

и

2 д2 и

3о

С

1о

д4

(16)

Мо

ди

1о

д4 итя

^ И3О = о

Из этой системы получаем

м /

UmЯU30 =Мо д^

дUl0, С2 = 1 - М

(17)

Следовательно ыю - остается произвольной функцией, а безразмерная

1

скорость волны с = (1 - мо )2 и следовательно скорость волны равна скорости волны в стержне. Здесь

Е_ Ро

4 =

х -

Е

—г

Ро у

так как оболочка имеет бесконечную длину.

В следующем приближении е2 получим систему уравнений

А/дин.,, Мт/

Мо

итя

щ31 +

4 т

Мо

мт/

т

V итя у

и

3о

= -2с

3 Ее д 2 и

^ди1оЛ

д4

+

(1 -Мо )

ди1о Мт/

д4 итя

и

3о

ди

1о

д4

итя

и

3о

(18)

1^с2 д2щ11 .

д4дт

Мо

ди11 Мт/

д4 итя М/ ди

и31 +

4 т (и„Л

3 Ее

V / у

Мо

д4

ди

2

1о

д4

Мт/

итя

и

3о

ди

2 /

1о

д4

+

мт/

т

V итя у

и32о +

по

итя д^

и

3о

1 я2 , д2и

■т~_С 2

3о

е /2 итя дГ

Подставим соотношение (17) в уравнения (18) и получим систему

2 д2ии Мт/ ди31

Мо^т-Мо т 31

4 т

д4

итя д4 3 Ее

^ I (1 -Мо2)1 +Мо + М>(

ди

1о

д4

д 2 и

1о

д42

- - Мо

2 д2и

(19)

1о

д^дт

дии Мт/

ММ-11--— и

д^ итя

31

1 я2

е /2

(1 -Мо2 )

Мо

д4

Умножим обе части второго уравнения на мо и продифференцируем по 4. Оно примет вид

з

з

з

2

2

2

Мо

2 д 2ип

д?

Мо

I ди

31

итЯ д? £ I

1 К ^ 2\

Мо I1 -МО)

2 \д4и

1о

д?

(20)

Левые части уравнения (19) и уравнения (20) совпали. Вычтем, почленно, из уравнения (20) первое уравнение системы (19) и получим разрешающее уравнение

-Мо2

2 дЧо т4 т

д?дт Е£

\ 1(1 -Мо2 Х1

+ Мо + Мо

ди

1о

д?

д 2 и

1о

д?

+

2

1 2(Л 2\

+ ~ ~12 Мо (1 -Мо )

д 4и

1о

о

£ 12'ох ^ д? Разделим обе части полученного уравнения на 2^1 - Мо и получим

д 2и1о _ „ т (и ^

д?дт 1 Я2

+ 2-

Е£

1 -Мо2 (1

+ Мо +Мо

ди

1о

V 1 У

д?

д и

1о

д?

+

+

Мо

2^/1 - Мо д4 и £ 12 ' и 2 д?

1о

о

Полученное уравнение есть модифицированное уравнение Кортевега - де

ди

Вриза (МКдВ) для ——. Если, учитывая (11), положить

д?

ИI Я2

™т = И , ит =~ , = £

то

т

Е£

ит V I У

2

т И

2

т £ = 0(1)

Е У '

и уравнение становится таким

дЧо т д?дт Ф - Мо2 2(1 + Мо +,

Полагая ди1о д?

получим дф

Е£ Я 2 « ди

2

22

по

д?

У

д2и1о 2 2дД -Мо дАи + Мо " 1

1о

2

д?

о

ф, ? = С^, Т = С2?

о

дц дц3

где

С1 =

1 1 + Мо +Мо

3

Мо

С2 =

V1 -Мо2 (1 + Мо +Мо2, 3

С

2

2

2

3

2

1

2

При верхнем знаке (мягкая нелинейность) решение имеет вид кинка-антикинка

(р = ±кгкк + 2к2 г). Фазовая скорость отрицательная

— = -2к2. к

Скорость волны при этом (мягкая нелинейность) дозвуковая

У Л

\

Е

Ро

1 -е

6к2

га!

+ Мо + Мо

При нижнем знаке (жесткая нелинейность, конструкционный материал) решение в виде солитона

± к

( = ^—тг

сИ к (у - к 2 г)

фазовая скорость положительная — = к2.

Скорость волны (жесткая нелинейность) сверхзвуковая

2

Е

Ро

1+е

3к2

га?

+ Мо + Мо

1

Волновое число к - произвольная величина, Л = — длина волны.

к

Асимптотический анализ показал, что для продольных волн, учитывая в методе двухмасштабных разложений два члена разложения, можно считать, что

квадрат интенсивности деформаций е2 можно рассматривать на срединной поверхности оболочки при 2=0. Тогда

2 I

! - т 2

1 + ^ ещ

Е

л 11,-4 т а2 = И 1 +---\

3 Е

ди 1 (дЖЛ 2

■ + —

дх 2

дх

+

+

Ж

V я у

+

Ж

я

ди 1 (дЖЛ + —

2

дх 2

дх

2

ч - т 2

1 + ~Б еЕ

ск = о

)

2

И

о

2

2

>

И

о

2

И

о

hi 2

Z

i - m 2

E

dz = h3i+4 m ^ 12 \ 3 E

dU 1 idW^2

+ — dx 2

v

dx

+

+

v R j

+

w_

R

dU 1 (dWл

--+ —

dx 2

dx

При этом формулы (7) и уравнение (9) упрощаются, сохраняя основные свойства для продольных волн [6].

В случае изгибных волн в оболочке вводятся безразмерные переменные

* x

W = WmU3 > U = UmU1 > X =T ' *

l

coho l2

и получается h

2

R l2

£,

R 2

£

w„

h

1 (dWЛ

Это позволяет сохранить — -

1 Л

2 V dx

о (1), u-4 w h2

наряду с

= O(1)

dU dx

но при этом

даламберова сила инерции в продольном направлении становится пренебрежимо малой по сравнению с остальными членами уравнения и ее можно отбросить.

Физически нелинейные проблемы рассмотрены в [7].

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014а.

Литература

1. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды.-М.: Изд-во МГУ, 1990. -310 с.

2. Овчаров А. А., Брылев И. С. Математическая модель деформирования нелинейно упругих подкрепленных конических оболочек при динамическом нагружении // Современные проблемы науки и образования - 2014. - №3 URL: http://www. science-education. ru/ru/article/viewid= 13235

3. Каудерер К. Нелинейная механика.- М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 778 с.

4. Фельдштейн В. А. Упруго пластические деформации цилиндрической оболочки при продольном ударе // Волны в неупругих средах, Кишинев, 1970, С. 199-204.

5. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек: учеб. пособие для бакалавриата и магистратуры - 2-е изд. стер. -М.:Издательство Юрайт, 2018. - 439 с.

2

h

o

2

2

2

>

t

2

6. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. -Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1999. - 132 с.

7. Землянухин А. И. Бочкарев А. В. Могилевич Л. И. Уединенные продольно-изгибные волны в цилиндрической оболочке, взаимодействующие с нелинейно-упругой средой // Вестник Московского государственного университета им. Н. Э. Баумана. Серия: Естественные науки. 2018. №1(76). С. 47-60.