CC BY
28проблемное обучение как фактор оптимизации математической подготовки в высшей школе
Поладова Валентина Викторовна
Кандидат педагогических наук, Московский инновационный университет (г. Москва), e-mail:, [email protected]
DOI: 10.24411/2072-5833-2020-10005
Аннотация: Введение. Нормативно-правовые акты государственной политики РФ в области образовательных услуг регламентируют подготовку высококвалифицированных специалистов в различных профессиональных областях жизнедеятельности человека с хорошей базовой математической подготовкой. Одним из вариантов решения означенной проблемы является использование проблемной технологии на занятиях по математике в условиях высшей школы.
Материалы и методы. С целью решения поставленной задачи автором статьи определено понятие проблемной технологии, разработаны классификация характеристик и организационная модель исследуемой технологии. Проведен эксперимент, подтверждающий взаимосвязь проблемной технологии с творческо-исследовательским потенциалом и уровнем математической подготовки студентов.
Результаты исследования. Теоретическое исследование и практическая апробация использования проблемной технологии подтвердили факт позитивного влияния проблемной задачи на занятиях по математике в условиях высшей школы.
Обсуждения и заключения. Проблемная технология как одно из приоритетных направлений современной педагогики высшей школы является мощным стимулятором познавательной деятельности студентов на уроках математики.
Ключевые слова: проблемная технология, студенты, высшая школа, проблемная ситуация/задача, позитивное влияние.
PROBLEM-BASED LEARNING AS A FACTOR OF OPTIMIZATION OF MATHEMATICAL TRAINING IN HIGH SCHOOL
Poladova Valentina Viktorovna
Candidate of Pedagogical Sciences, Moscow Innovative University (Moscow) e-mail: [email protected]
DOI: 10.24411/2072-5833-2020-10005
Annotation: Introduction. Legal acts of the state policy of the Russian Federation in the field of educational services regulate the training of highly qualified specialists in various professional areas of human activity with a good basic mathematical training. One of the ways to solve this problem is to use the problem technology in mathematics classes in high school.
Materials and methods. In order to solve this problem, the author defined the concept of problem technology, developed a classification of characteristics and an organizational model of the technology under study. An experiment was conducted that confirms the relationship of problem technology with creative research potential and the level of mathematical training of students
Research result. Theoretical research and practical testing of the use of problem technology confirmed the positive impact of the problem in mathematics classes in high school.
Discussions and conclusions. Problem technology as one of the priority areas of modern higher school pedagogy is a powerful stimulant of students ' cognitive activity in mathematics lessons.
Key words: aging technology, students, graduate school, problematic situation/ task, a positive influence.
«Великая цель образования - не только знания, но и прежде всего действия» Н.И. Мирон [34]
Национальная доктрина образования Российской Федерации регламентирует «... подготовку высокообразованных людей и высококвалифицированных специалистов, способных к профессиональному росту и профессиональной мобильности в условиях информатизации общества и развития новых наукоемких технологий ...» [22]. Это предполагает формирование и развитие двух взаимодополняющих образовательных направлений высшей школы: обучение основам творческо-исследовательской деятельности, с одной стороны, и высококачественную математическую подготовку выпускников вуза, с другой. Одним из оптимальных решений практической реализации этой задачи в условиях высшей школы является, по мнению автора статьи, проблемное обучение. Как точно выразил эту мысль основоположник этого течения в педагогике американский психолог Д. Дьюи: «Только сражаясь с конкретной проблемой, отыскивая собственный выход из сложившейся ситуации, ученик действительно думает». К настоящему времени проблемная технология является базовым компонентом современной педагогики и ее содержательно-понятийный аппарат хорошо изучен.
«Проблемное обучение - организованный педагогом способ активного взаимодействия субъекта с проблемно-представленным содержанием обучения, в ходе которого он приобщается к объективным противоречиям научного знания и способам их решения. Учится мыслить, творчески усваивать знания. Проблемное обучение - способ организации деятельности учащихся, который основан на получении информации путем решения теоретических и практических проблем в создающихся в силу этого проблемных ситуациях» [3].
«Проблемное обучение - это организация педагогического процесса, при котором студенты систематически включаются педагогом в поиск решения новых для них проблем. Структура процесса проблемного обучения представляет собой систему связанных между собой и усложняющихся проблемных ситуаций» [31].
«Под проблемным обучением понимается такая организация учебных занятий, которая предполагает создание под руководством учителя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению, в результате чего и происходит творческое овладение профессиональными знаниями, навыками, умениями и развитие мыслительных способностей» [26].
«Проблемное обучение - это тип развивающего обучения, в котором сочетаются систематическая самостоятельная поисковая деятельность студентов с усвоением ими готовых выводов науки» [24].
«Проблемное обучение - это современный уровень развития дидактики и
передовой педагогической практики. Проблемным называется обучение потому, что организация учебного процесса базируется на принципе проблемности, а систематическое решение учебных проблем - характерный признак этого обучения
[19].
«Проблемная ситуация - это познавательная задача, которая характеризуется противоречием между имеющимися знаниями, умениями, отношениями и предъявляемым требованием» [3].
«Проблемная ситуация - состояние интеллектуального затруднения, которое требует поиска новых знаний и новых способов их получения» [31].
«Проблемная задача - это задача творческого характера, требующая от обучающихся большой инициативности в суждениях, поиска не испытанных ранее путей решения. Она является средством создания проблемной ситуации. В отличие от обычной задачи она представляет собой не просто описание какой-либо ситуации, состоящее из характеристики данных, составляющих условие задачи и указание на неизвестное, которое должно быть раскрыто на основании этих условий» [3].
Ведущими теоретиками проблемной технологии являются ряд наших выдающихся соотечественников. Так, Лернер И.Я. отмечает, что «учащийся под руководством учителя принимает участие в решении новых для него познавательных и практических проблем в определенной системе, соответствующим образовательно-воспитательным целям школы» [16]. Совместно со Скаткиным М.К. он проводил классификацию методов проблемной технологии [18, 27]. Бабанский Ю.А. и Кудрявцев Т.В. понимают под проблемным обучением выдвижение перед учениками комплекса дидактических проблем, их решение и овладение школьниками обобщенных знаний и принципов проблемных задач [1, 14]. Оконь В. определяет данную педагогическую технологию как «совокупность таких действий, как организация проблемных ситуаций, формулирование проблем, оказание ученикам необходимой помощи в решении проблем, проверка этих решений и, наконец, руководство процессом систематизации и закрепления приобретенных знаний» [20]. Махмутов М.И. представляет проблемную технологию как «тип развивающего обучения, в котором сочетаются систематическая самостоятельная поисковая деятельность учащихся с усвоением ими готовых выводов науки, а система методов построена с учетом целеполагания и принципа проблемности; процесс взаимодействия преподавания и учения ориентирован на формирование самостоятельной познавательности учащихся, устойчивости мотивов учения и мыслительных (включая и творческие) способностей в ходе усвоения ими научных понятий и способов деятельности, детерминированного системой проблемных ситуаций» [17]. Им также классифицированы организационные этапы проблемного обучения [17]. Вилькеев Д.В. отмечает характер научного познания рассматриваемой технологии [4]. Следует также отметить наработки Позднякова О.Г., Черненковой И.И., Жигаловой И.А., Харламовой Т.И. и др. авторов в области изучения проблемных технологий [8, 21, 29, 28]. Безусловно, в контексте темы статьи нас интересует аспект приложения проблемного обучения применительно
к математическим дисциплинам. Здесь хотелось бы отметить следующие педагогические разработки. Демченко Н.А. представляет базовые компоненты проблемной технологии в качестве « ...проблемной ситуации и проблемно-поисковой задачи...». Она также исследует уровни и основные блоки реализации проблемной технологии на занятии со студентами и приводит ряд практических заданий реализации проблемных ситуаций на уроках математики [5, 6]. Зимина О.В. изучает различные типы проблемных ситуаций и приводит примеры таких педагогических элементов в курсе высшей математике. Особое внимание она уделяет проблемно-ориентированному обучению типа «студент+компьютер» [10]. Мотивационное побуждение к изучению математике на уроках в условии школьного учебного процесса исследует Кубышкина Е.А. « ...чем старше дети, тем к математике интерес значительно ослабевает. Отсюда вытекает проблема важности развития мотивов на каждом уроке» [13]. Приходько Е.Б. отмечает важность проблемной технологии применительно к математике: «Общество заинтересовано в людях высокого профессионального уровня и деловых качеств, способных принимать нестандартные решения, умеющие творчески мыслить .... Это подтверждает разработанная Концепция развития математического образования ...», являющаяся основным документом построения преподавания математики в школах и вузах [23]. Ланина Е.В. акцентирует внимание на привязку проблемной технологии к будущему профессиональному полю деятельности выпускников вуза [15]. Также данному направлению исследования посвящены труды Крупича В.И., Кочнева В.П., Емельяновой С.Г., Жунисбековой Ж.А. и др. авторов [7, 9, 11, 12].
Анализ научно-педагогических трудов позволил нам сформулировать понятие «проблемная технология» применительно к математической подготовке бакалавров и магистров в условиях высшей школы. В соответствии с мнением академика А.Н. Колмогорова о том, что математические знания могут принести пользу в том случае, «если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам как можно было бы прийти к ним самостоятельно» [2], мы определяем проблемное обучение как педагогический организованный процесс самостоятельной деятельности студентов творческо-исследовательского характера в условиях вуза с целью решения какой-либо учебной математической задачи. Безусловно, разновидностей практической реализации проблемных технологий можно сформулировать много. Нами разработана классификация характеристик проблемных технологий в зависимости от разных условий ее реализации (Схема 1).
Остановимся на каждой характеристике отдельно:
По характеру реализации проблемной технологии: сравнительные, параллельные, последовательные, комбинированные.
Сравнительный характер проблемной технологии предполагает решение одной задачи несколькими студентами/группами/коллективами. А затем результаты нескольких решений оцениваются, и выбирается лучшее, или обобщается оптимальное решение из нескольких. Последовательный характер предполагает разбиение проблемной ситуации/задачи на отдельные задания, которые выполняются разными лицами/группами/коллективами друг за другом поэтапно, пока не будет получен окончательный результат. В случае параллельного характера проблемная ситуация/задача разбивается на отдельные, не связанные между собой части, которые выполняются также разными лицами/группами/ коллективами. А затем сообща всеми участниками определяется результат. Комбинированный - предполагает сочетание нескольких характеров реализации в одной проблемной ситуации/задаче.
Пример 1: Проблемная ситуация/задача - подобрать оптимальную словесную интерпретацию (аллегорический прием, наглядную схему, графический рисунок, практический пример и т.д.) математическому понятию «Выборочная дисперсия» курса «Теория вероятностей и математическая статистика», максимальным образом отображающую смысловое значение выборочной дисперсии.
Реализация технологии: здесь задание можно дать нескольким студентам, которые будут работать одновременно, а затем по итогу выбрать лучший результат - сравнительный характер проблемной технологии.
Пример 2: Проблемная ситуация/задача - подготовить математическую информацию для построения графика функции
х +1
У =
х - 1
по курсу «Математический анализ» с грамотным обоснованием полученного решения.
Реализация технологии: преподавателем назначаются три студента -
- 1-ый студент: определить О^), периодичность, четность, участки знакопостоянства и корни функции;
- 2-ой студент: осуществить поиск участков возрастания и убывания функции, локальные экстремумы;
- 3 студент: найти участки выпуклостей вверх и вниз и точки перегибов.
Дальше информация суммируется и по ее результату становится возможным
построение графика функции - параллельный характер проблемной технологии.
Пример 3: Проблемная ситуация/задача - подготовить презентацию «Метод Крамера для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными» для школьного математического кружка (9 класс), отличающуюся сжатым, компактным, по максимуму наглядным и доступным доказательством метода Крамера, рассчитанным на школьный уровень.
Реализация технологии: организуется 3-группы студентов -
- 1-ая группа: ищет математическую информацию по доказательству метода Крамера по различным библиографическим источникам: электронные ресурсы, интернет-ресурсы, учебники, методические пособия, математическая литература в библиотечных фондах;
- 2 -ая группа: анализирует материал и останавливает свой выбор на оптимальном варианте;
- 3-я группа: готовит доказательство метода Крамера в презентации с рядом наглядных практических примеров - последовательный характер проблемной технологии.
Пример 4: Проблемная ситуация/задача - решить экономическую задачу разными типами графического метода (метод перебора вершин, градиентный метод, метод линий уровня) по курсу «Исследование операций» с целью самостоятельного изучения графического метода.
Реализация технологии: назначаются 4-е группы студентов -
- 1-ая группа строит математическую модель данной задачи;
- далее 2-ая, 3-я, 4-ая группы одновременно решают их тремя разными методами (каждая группа применяет один метод).
Полученные результаты сравниваются на предмет правильности решения - комбинированный метод проблемной технологии.
По сложности: элементарные, средней, или повышенной сложности. Зависит от структуры самой проблемной ситуации/задачи.
По времени исполнения: в течение практического занятия/недели/месяца /нескольких месяцев. Определяется сложностью ситуации/задачи и зависит от уровня подготовки студентов/группы/коллектива.
По количеству студентов: индивидуальные - выполняет один студент; групповые - несколько студентов; коллективные - вся учебная группа или несколько групп.
По количеству дисциплин, включенных в разработку: в пределах одной/двух/ нескольких дисциплин, когда в ситуации/задаче предполагается наличие знаний из смежных дисциплин, например, химии и математики, или физики, информатики и математики и т.д.
Пример 5: Проблемная ситуация/задача - с целью наглядности применения дифференциальных уравнений в различных областях человеческой практики решить самостоятельно задачу на составление и решение дифференциального уравнения «Через 18 часов после начала опыта численность бактерий в популяции возросла в три раза. Во сколько раз увеличится количество бактерий через трое суток?» (метод решения - закон Мальтуса [25]). Здесь задание решается на стыке двух дисциплин «Математики» и «Экологии».
Реализация технологии: назначается один студент/группа/коллектив.
По виду способа достижения цели: поисковые, доказательные, алгоритмические, обобщающие.
Поисковая проблемная технология предполагает сбор и поиск нужной информации, доказательная - ставит целью разработки строгой доказательной математической базы, алгоритмическая - требует выработки оптимальной последовательности действий конкретной ситуации/задачи, обобщающая -формулирование общего правила из разрозненных информационных фактов.
Педагогическое сопровождение: под непосредственным контролем преподавателя/руководителя или самостоятельные решения студентов. Возможен вариант постоянного контроля проблемной ситуации/задачи со стороны преподавателя/руководителя ввиду повышенного уровня сложности ситуации/ задачи, требующего более глубоких знаний по математике. Самостоятельные проблемные ситуации/задачи оформляются силами самих студентов.
Многолетняя педагогическая практика в качестве преподавателя математических дисциплин позволила автору статьи создать примерную организационную модель реализации проблемной технологии в виде отдельных этапов применительно к высшей школе (Схема 2).
Безусловно, представленная модель может варьировать в зависимости от вида проблемной ситуации/задачи.
В ходе практической работы со студентами можно привести следующие наглядные примеры реализации проблемной технологии.
Пример 6: Проблемная ситуация/задача: после изучения алгоритма определения экстремумов функции поставить задачу - найти примеры практических ситуаций из жизни человека, требующих применения данного алгоритма.
Студенты предоставили следующие варианты:
1. Мой отец изготовляет на продажу цинковые ведра цилиндрической формы объема V и попросил меня определить параметры ведра h (высота) и г(радиус основания), чтобы расход материала на изготовление ведра был минимальным?
V
Ответ: h=r= 3 _ 1 б
2. На даче мне пришлось огородить с трех сторон прямоугольный участок земли, примыкавший четвертой стороной к дому. Я располагал 200 м железной сетки. Мне надо было определить размеры площадки, чтобы ее площадь была наибольшей?
Ответ: а=50м; Ь=100 м.
Пример 7: Проблемная ситуация/задача: после изучения понятия матрицы с целью целесообразности применения этого понятия как сжатой упаковки огромных потоков информации поставить задачу - привести практические примеры применения матриц из реальной жизни.
Студенты привели следующие образцы, выполненные ими в виде таблиц, имеющих матричное содержание:
Ркпре^елеик-? part£Jteü по к,- лсли м -рдк.-,*: («FL
¿tarc 1 ИпжЗ ÜlKil "У ч* t
1 1 '■'ГЕ'-Г- ■ ■ 0 а И 0
ПС^И 1 1 Э>Ю,1СГМ U : 6
1 ш« 1 19 1 X
а L i ■■
Пример 8: Проблемная ситуация/задача: перед изучением темы «Линейные пространства» с целью наглядности вводимого понятия поставить задачу - найти общие свойства у следующих математических структур: вектора, действительные числа, квадратные матрицы.
Можно произвести классификацию представленных примеров 6, 7, 8 по характеристикам проблемных ситуаций (Таблица 1).
Таблица 1
Характеристики проблемной технологии
Рассмотренные задачи По характеру реализации По сложности По времени исполнения По к-ству студентов По к-ству дисциплин По виду способа достижения цели Педагогическое сопровождение
Пример 6 Сравн. Эл. Неделя Инд. 1 Поиск. Сам.
Пример 7 Сравн. Эл. Урок Инд. 1 Поиск. Сам.
Пример 8 Сравн. Ср. Неделя Колл. 1 Обобщ. Сам.
При реализации проблемной технологии в педагогической практике меня интересовал вопрос о взаимосвязи двух показателей: желанием анализировать проблемные ситуации/задачи студентами и уровнем математической подготовки, а также наличия творческо-исследовательского потенциала как свойства личности студента. Для этого был проведен педагогический эксперимент: группа студентов, в которой автор статьи проводил занятия по математическому курсу, была условно
поделена на две части по принципу - степень участия в решении проблемных ситуаций/задач. Получилось две подгруппы студентов по 10-ть чел. в каждой: с низкой и высокой долей участия в реализации проблемной технологии. С этой целью для оценки каждой подгруппы был разработан комплекс педагогических критериев: доля студентов, имеющих высокий балл (выше 70) по ЕГЭ по предмету «Математика»; доля студентов, аттестованных по читаемому мною математическому курсу на «5» и «4»; наличие у студента хобби творческого характера: разработка любительских компьютерных программ, участие в кружках технического направления, занятие художественным рисованием, участие в театральных кружках, пение и т.д.; желание заниматься научно-исследовательской деятельностью; средним количеством выходов студентов к доске в процессе практических занятий. Данные эксперимента представлены в Таблице 2.
Как мы видим, студенты, имеющие хорошую математическую подготовку и определенный творческо-исследовательский потенциал боле склонны к аналитической деятельности по разрешению проблемных ситуаций/задач.
Таблица 2
Подгруппы студентов Система педагогических критериев
Доля студентов, имеющих высокий балл по ЕГЭ Доля студентов, аттестованных на «5» и «4» Наличие у студента хобби творческого характера Желание заниматься научно-исследовательской деятельно стью Среднее количество выходов студентов к доске
Подгруппа с высокой долей участия 40% 30% 5 3 6
Подгруппа с низкой долей участия 10% 20% 1 1 2
Личная практика автора статьи по применению проблемной технологии выявила ряд позитивных особенностей этого направления педагогики. Мы сформулировали их в виде ряда следующих положений:
- Циклический характер проблемной технологии: одна проблема может породить другую, затем следующую и т.д. Например, после получения результата проблемной ситуации/задачи может возникнуть мысль: а нельзя ли упростить полученный алгоритм, т.е. свести его к минимальной формульной записи, а это уже другая проблема; возможен следующий шаг - подберите практические задачи, соответствующие полученному результату и т.д.
- Учитывая мнение Ланиной Е.В. [15], желательно формулировать задачи, отражающие прикладной характер будущей профессиональной сферы бакалавров и магистров в соответствии со словами Аристиппа «Детей надо учить тому, что
пригодится им, когда они вырастут» [32].
- Желание заниматься проблемными ситуациями/задачами выказывают студенты, имеющие хорошо развитый творческий потенциал, склонные к научно-исследовательской деятельности, в частности, и в области математических наук.
- Практическая реализация проблемной технологии напрямую связаны с информационно-коммуникативными средствами: поиск нужной информации в компьютере; выполнение громоздких вычислительных процедур в программе Excel; краткое сжатое оформление результатов работы в PowerPoint с целью представления их учебной аудитории; фиксирование своих результатов на студенческих авторских сайтах с целью продолжения научно-исследовательской деятельности по выбранной тематике и поиске авторов, работающих в той же самой области и т.д.
- Проблемная технология обладает стимулирующим воздействием: студенты, довольные своими результатами, выражают желание разрабатывать новые проблемные ситуации/задачи, а также более углубленно изучать математический аппарат. Саади сказал по этому поводу так: «Ученик, который учится без желания, - это птица без крыльев» [35].
- Проблемная технология имеет позитивную сторону и для преподавателя: осмысливая результаты студентов, открываешь для себя что-то интересное в плане профессиональных наработок: более простое и изящное доказательство, новую математическую информацию, неординарные практические примеры из разных областей знаний, сжатые компактные определения и формулировки, удачные аллегорические образы математических процедур и т.д.
- Многоцелевой аспект проблемной технологии, позволяющий реализовывать большое количество педагогических задач в процессе обучения. По этому поводу очень точно выразилась Мельникова Е.Л.: «Технология проблемного диалога: для учителя - ключ к успеху и творчеству, для ученика - интересный и понятный урок, для образования - реализация развивающего обучения, для всех и каждого -технология «открытия» знаний учениками» [30]. Вот почему проблемное обучение в настоящий момент является одним из самых приоритетных направлений обучения математике в условиях высшей школы. Главная ее идея - «Не от знания к проблеме, а от проблемы к знанию» [33].
ЛИТЕРАТУРА
1. Бабанский, Ю.К. Проблемное обучение как средство повышения эффективности учения школьников. - Ростов-на-Дону,1970. 300 с.
2. Бесплатная интернет-библиотека: интернет-материалы, http://docx.Hb-i. m/29fizika/310580-1-matematicheskie-svedeшya-mogut-primenyatsya-umelo-polzoy-tolko-tom-sluchae-esli-oni-usvoeni-tvorcheski-tak-chto.php.
3.Википедия,
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D 1%80%Б0%ВЕ%Б0%В 1%Б0%В-
B%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D00/oBE0/oD00/oB10/oD10/o83 %D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.
4. Вилькеев, Д.В. Познавательная деятельность учащихся при проблемном характере обучения основам наук в школе. - Казань, 1967. 117 с.
5. Демченкова, Н.А. Подготовка будущего учителя к проблемному обучению математики // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. Серия: Педагогика, психология. 2014. № 1. С.66-69.
6. Демченкова, Н.А., Емельянова С.Г. проблемное обучение высшей математике в вузе // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. Серия: Педагогика, психология. Серия: Педагогика, психология. 2018. №3(34). С. 7-13.
7. Емельянова, С.Г. Технология проблемного обучения высшей математике бакалавров университета // Математика: фундаментальные и прикладные исследования и вопросы образования: сборник материалов Международной научно-практической конференции. - Рязань: РГУ имени С.А. Есенина, 2016. С. 381-386.
8. Жигалова, И.А., Мартынова, И.И. Актуальность формирования профессиональных компетенций студентов, будущих специалистов муниципального управления, средствами проблемного обучения // Вестник Челябинского государственного педагогического университета. 2013. № 1. С. 70-78.
9. Жунисбекова, Ж.А. Использование методов проблемного обучения на уроках математики в начальной школе // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. - 2016. - № 2-1. С. 71-75.
https://applied-research.ru/m/artide/view?id=8429.
10. Зимина, О.В. Проблемное обучение высшей математике в технических вузах // Математика в высшем образовании. 2006. №4. С. 55-78.
11. Крупич, В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей, 1995. 210 с.
12. Кочнев, В.П., Новоселов С.А. Развитие творческих способностей учащихся в процессе математического моделирования проблемных ситуаций естественно-научного содержания // Педагогическое образование в России. 2011. № 3. С. 139-146.
13. Кубышкина, Е.А. Проблемное обучение как средство мотивации учащихся на уроках математики. Статья / Сайт Мультиурок. Серия: Математика.
https://multiurok.ru/files/problemnoe-obuchenie-na-urokakh-matematiki.html.
14. Кудрявцев, Т.В. Проблемное обучение: истоки, сущность, перспективы / В. Т. Кудрявцев. - М.: Знание, 1991. 79 с.
15. Ланина, Л.В. Проблемное обучение математике студентов медицинских специальностей. Статья / Сайт DOCPLAYER.
https://docplayer.ru/46276085-Problemnoe-obuchenie-matematike-studen-tov-medicinskih-specialnostey-lanina-l-v.html.
16. Лернер, И. Я. Вопросы проблемного обучения на Всесоюзных «Педагогических чтениях» // Советская педагогика. 1968. № 7. С. 45-56.
17. Махмутов, М.И. Проблемное обучение. Основные вопросы теории. М.: Педагогика, 1975. 368 с.
18. Научная школа М. Н. Скаткина, И. Я. Лернера, Н. М. Шахмаева «Дидактика общего образования».
http://www.instrao.ru/index.php/nauchnaya-deyatelnost/nauchnyeshkoly/ item/2115-nauchnaya-shkola-m-n-skatkina-i-ya-lernera-n-m-shahmaeva.
19. Омарова, А.А. Современная технология проблемного обучения / Современные наукоемкие технологии. - 2011. - № 1 - С. 73-75.
https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=26632.
20. Оконь В. Основы проблемного обучения / Пер. с польск. - М.: «Просвещение», 1968. - 208 с.
21. Поздняков, О.Г. Реализация проблемного обучения в образовательном процессе высших учебных заведений // Мир образования - образование в мире. 2014. № 2. С. 270-273.
22. Постановление Правительства Российской Федерации от 4 октября 2000 г. N 751 г. Москва "О национальной доктрине образования в Российской Федерации"
https://rg.ru/2000/10/11/doktrina-dok.html.
23. Приходько Е. Б. Применение технологии проблемного обучения на уроках математики [Текст] // Педагогика сегодня: проблемы и решения: материалы III Междунар. науч. конф. (г. Казань, март 2018 г.). — Казань: Молодой ученый, 2018. С. 27-31.
https://moluch.ru/conf/ped/archive/276/13828/.
24. Рослякова, Л. М. Проблемное обучение как образовательная технология [Текст] // Актуальные вопросы современной педагогики: материалы VI Междунар. науч. конф. (г. Уфа, март 2015 г.). — Уфа: Лето, 2015. — С. 206-210.
https://moluch.ru/conf/ped/archive/148/7499/.
25. Романов М.Ф., Федоров М.П. Математические модели в экологии. - СПб.: «Иван Федоров», 2003. С. 24-25 с.
26. Селевко, Г. К. Современные образовательные технологии [Текст]: Учебное пособие / Г. К. Селевко - М.: Народное образование, 1998. 256 с.
27. Скаткин, М.Н. Проблемы современной дидактики. М.: Педагогика, 1980.
96 с.
28. Харламова, Т.И. Противоречия современных образовательных технологий и проблемное обучение // Известия Московского государственного технического университета МАМИ. 2012. Т. 3. № 2. С. 309-316.
29. Черненкова, И.И. Проблемная лекция как способ реализации компетентностного подхода в процессе психолого-педагогической подготовки бакалавра аграрного ВУЗа // Вестник Брянской государственной сельскохозяйственной академии. 2014. № 6. С. 16-17.
30. Шкутова, В.В. Использование технологии проблемного диалога в начальной школе. Статья / Сайт Социальная сеть работников образования nsportal.ru, https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/obshchepedagogicheskie-tekh-nologii/2018/01/10/ ispolzovanie-tehnologii-problemnogo.
31. https://studopedia.ru/19_2020_tehnologiya-problemnogo-obucheniya.html.
32. http://citaty.su/biografiya-izrecheniya-i-citaty-aristippa.
33. http://na-pushkinskoj.vrn.ru/?page_id=3372.
34. https://www.kritika24.ru/page.php?id=46333.
35. https://ru.citaty.net/tsitaty/479028-saadi-uchenik-kotoryi-uchitsia-bez-zhela-niia-eto-ptitsa-bez/.
REFERENCES
1. Babanskij, Ju.K. Problemnoe obuchenie kak sredstvo povyshenija jeffektivnosti uchenija shkol'nikov [Problem-based learning as a means of improving the effectiveness of teaching students]. - Rostov-na-Donu,1970. 300 s.
2. Besplatnaja internet-biblioteka: internet-materialy, http://docx.lib-i. ru/29fizika/310580-1-matematicheskie-svedeniya-mogut-primenyatsya-umelo-polzoy-tolko-tom-sluchae-esli-oni-usvoeni-tvorcheski-tak-chto.php.
3. Vikipedija, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0% B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B 1%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.
4. Vil'keev, D.V. Poznavatel'naja dejatel'nost' uchashhihsja pri problemnom haraktere obuchenija osnovam nauk v shkole [Cognitive activity of students with the problematic nature of teaching the basics of science in school]. - Kazan', 1967. 117 s.
5. Demchenkova, N.A. Podgotovka budushhego uchitelja k problemnomu obu-cheniju matematiki [Training future teachers to the problem of learning mathematics] // Vektor nauki Tol'jattinskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Pedagogika, psihologija. 2014. № 1. S.66-69.
6. Demchenkova, N.A., Emel'janova S.G. Problemnoe obuchenie vysshej matem-atike v vuze [Problem-based teaching of higher mathematics at a University] // Vektor nauki Tol'jattinskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Pedagogika, psihologija. Serija: Pedagogika, psihologija. 2018. №3(34). S. 7-13.
7. Emel'janova, S.G. Tehnologija problemnogo obuchenija vysshej matematike bakalavrov universiteta [Technology of problem-based teaching of higher mathematics for University bachelors] // Matematika: fundamental'nye i prikladnye issledovanija i voprosy obrazovanija: sbornik materialov Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. - Rjazan': RGU imeni S.A. Esenina, 2016. S. 381-386.
8. Zhigalova, I.A., Martynova, I.I. Aktual'nost' formirovanija professional'nyh kompetencij studentov, budushhih specialistov municipal'nogo upravlenija, sredstvami problemnogo obuchenija [Relevance of formation of professional competences of students, future specialists of municipal management, by means of problem training] // Vestnik Cheljabinskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. 2013. № 1. S. 70-78.
9. Zhunisbekova, Zh.A. Ispol'zovanie metodov problemnogo obuchenija na urokah matematiki v nachal'noj shkole [Using problem-based learning methods in elementary school math lessons] // Mezhdunarodnyj zhurnal prikladnyh i fundamen-
tal'nyh issledovanij. - 2016. - № 2-1. S. 71-75. https://applied-research.ru/ru/article/ view?id=8429.
10. Zimina, O.V. Problemnoe obuchenie vysshej matematike v tehnicheskih vuzah [Problematic teaching of higher mathematics in technical universities // Mathematics in higher education] // Matematika v vysshem obrazovanii. 2006. №4. S. 55-78.
11. Krupich, V.I. Teoreticheskie osnovy obuchenija resheniju shkol'nyh matem-aticheskih zadach [Theoretical foundations of learning to solve school math problems]. M.: Prometej, 1995. 210 s.
12. Kochnev, V.P., Novoselov S.A. Razvitie tvorcheskih sposobnostej uchashhihsja v processe matematicheskogo modelirovanija problemnyh situacij estestvenno-nauch-nogo soderzhanija [Development of creative abilities of students in the process of mathematical modeling of problem situations of natural-scientific content] // Pedagog-icheskoe obrazovanie v Rossii. 2011. № 3. S. 139-146.
13. Kubyshkina, E.A. Problemnoe obuchenie kak sredstvo motivacii uchashhihsja na urokah matematiki [Problemnoe obuchenie kak sredstvo motivacii uchashhihsja na urokah matematiki]. Stat'ja / Sajt Mul'tiurok. Serija: Matematika. https://multiurok.ru/ files/problemnoe-obuchenie-na-urokakh-matematiki.html.
14. Kudrjavcev, T.V. Problemnoe obuchenie: istoki, sushhnost', perspektivy [Problem-based learning: sources, essence, prospects] / V. T. Kudrjavcev. - M.: Znanie, 1991. 79 s.
15. Lanina, L.V. Problemnoe obuchenie matematike studentov medicinskih special'nostej [Problem-based math training for medical students]. Stat'ja / Sajt DOCPLAYER. https://docplayer.ru/46276085-Problemnoe-obuchenie-matematike-stu-dentov-medicinskih-specialnostey-lanina-l-v.html.
16. Lerner, I. Ja. Voprosy problemnogo obuchenija na Vsesojuznyh «Pedagog-icheskih chtenijah» [Issues of problem-based learning at the all-Union "Pedagogical readings»] // Sovetskaja pedagogika. 1968. № 7. S. 45-56.
17. Mahmutov, M.I. Problemnoe obuchenie. Osnovnye voprosy teorii [Problem-based learning. Main questions of the theory]. M.: Pedagogika, 1975. 368 s.
18. Nauchnaja shkola M. N. Skatkina, I. Ja. Lernera, N. M. Shahmaeva «Didak-tika obshhego obrazovanija». http://www.instrao.ru/index.php/nauchnaya-deyatelnost/ nauchnyeshkoly/item/2115-nauchnaya-shkola-m-n-skatkina-i-ya-lernera-n-m-shah-maeva.
19. Omarova, A.A. Sovremennaja tehnologija problemnogo obuchenija [Modern technology of problem learning / Modern science-intensive technologies] / Sovremen-nye naukoemkie tehnologii. - 2011. - № 1 - S. 73-75. https://top-technologies.ru/ru/ article/view?id=26632.
20. Okon' V. Osnovy problemnogo obuchenija [Foundations of problem-based learning] / Per. s pol'sk. - M.: «Prosveshhenie», 1968. - 208 s.
21. Pozdnjakov, O.G. Realizacija problemnogo obuchenija v obrazovatel'nom processe vysshih uchebnyh zavedenij [Implementation of problem learning in the educational process of higher education institutions] // Mir obrazovanija - obrazovanie v mire. 2014. № 2. S. 270-273.
22. Postanovlenie Pravitel'stva Rossijskoj Federacii ot 4 oktjabrja 2000 g. N 751 g. Moskva "O nacional'noj doktrine obrazovanija v Rossijskoj Federacii". https:// rg.ru/2000/10/11/doktrina-dok.html.
23. Prihod'ko E. B. Primenenie tehnologii problemnogo obuchenija na urokah matematiki [Application of technology of problem training at lessons of mathematics] [Tekst] // Pedagogika segodnja: problemy i reshenija: materialy III Mezhdunar. nauch. konf. (g. Kazan', mart 2018 g.). — Kazan': Molodoj uchenyj, 2018. S. 27-31. https:// moluch.ru/conf/ped/archive/276/13828/.
24. Rosljakova, L. M. Problemnoe obuchenie kak obrazovatel'naja tehnologija [Problem-based learning as an educational technology] [Tekst] // Aktual'nye voprosy sovremennoj pedagogiki: materialy VI Mezhdunar. nauch. konf. (g. Ufa, mart 2015 g.). - Ufa: Leto, 2015. - S. 206-210. https://moluch.ru/conf/ped/archive/148/7499/.
25. Romanov M.F., Fedorov M.P. Matematicheskie modeli v jekologii [Mathematical models in ecology]. - SPb.: «Ivan Fedorov», 2003. C. 24-25 s.
26. Selevko, G. K. Sovremennye obrazovatel'nye tehnologii [Modern educational technologies] [Tekst]: Uchebnoe posobie / G. K. Selevko - M.: Narodnoe obrazovanie, 1998. 256 s.
27. Skatkin, M.N. Problemy sovremennoj didaktiki [Problems of modern didactics]. M.: Pedagogika, 1980. 96 s.
28. Harlamova, T.I. Protivorechija sovremennyh obrazovatel'nyh tehnologij i problemnoe obuchenie [The contradictions of modern educational technologies and problem-based learning] // Izvestija Moskovskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta MAMI. 2012. T. 3. № 2. S. 309-316.
29. Chernenkova, I.I. Problemnaja lekcija kak sposob realizacii kompetentnost-nogo podhoda v processe psihologo-pedagogicheskoj podgotovki bakalavra agrarnogo VUZa [Problem lecture as a way to implement the competence approach in the process of psychological and pedagogical training of bachelor of agrarian University] // Vestnik Brjanskoj gosudarstvennoj sel'skohozjajstvennoj akademii. 2014. № 6. S. 16-17.
30. Shkutova, V.V. Ispol'zovanie tehnologii problemnogo dialoga v nachal'noj shkole [The use of technology problematic dialogue in elementary school]. Stat'ja / Sajt Social'naja set' rabotnikov obrazovanija nsportal.ru, https://nsportal.ru/nachal-naya-shkola/obshchepedagogicheskie-tekhnologii/2018/01/10/ ispolzovanie-teh-nologii-problemnogo.
31. https://studopedia.ru/19_2020_tehnologiya-problemnogo-obucheniya.html.
32. http://citaty.su/biografiya-izrecheniya-i-citaty-aristippa.
33. http://na-pushkinskoj.vrn.ru/?page_id=3372.
34. https://www.kritika24.ru/page.php?id=46333.
35. https://ru.citaty.net/tsitaty/479028-saadi-uchenik-kotoryi-uchitsia-bez-zhela-niia-eto-ptitsa-bez/.
