Проблема сходимости итерационной процедуры в задаче параметрической идентификации систем с турбулентным трением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.962.24+519.246

ПРОБЛЕМА СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ В ЗАДАЧЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМ С ТУРБУЛЕНТНЫМ ТРЕНИЕМ

В. Е. Зотеев, М. А. Романюк, А. А. Егорова

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: zoteev-ve@mail. ru

Рассматривается проблема сходимости итерационной процедуры уточнения коэффициентов 'разностного уравнения в численном методе определения параметров дифференциального оператора для систем с турбулентным трением. Сформулирована и доказана теорема о достаточном условии сходимости итерационной процедуры. При доказательстве теоремы используются свойства сжимающихся отображений и фундаментальных последовательностей. Как следствие, из теоремы получены формулы, описывающие априорную и апостериорную оценки погрешности приближений.

Ключевые слова: системы с турбулентным трением, параметрическая идентификация, разностные уравнения, среднеквадратичное приближение.

Достоверная оценка параметров дифференциального оператора на основе статистической обработки результатов наблюдений на выходе системы является важнейшей проблемой в математическом моделировании. Для дифференциальных операторов, описывающих динамические процессы в нелинейных диссипативных системах с турбулентным трением, эта проблема решается на основе стохастических разностных уравнений [1,2]. При таком подходе задача сводится к среднеквадратичному оцениванию коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели, эффективность которого обеспечивается итерационными процедурами уточнения её коэффициентов [1]. В [2] представлена система стохастических разностных уравнений

—^ sinw^to = - W N Cj(p) Cj(p)t

fw(p)(r + to)

Уо

Уі

ш

(р)

sin

У і +

to

ш(р)т

to sin(w^t0)Ai + Єо]

w(p)(r + t0) Аі + (1 + Аі)єі;

sin

Ук + У к-2 =

= ХоУк-1 - Аі (к- 2) ук-2 - AqP) (к - 1) ук-1 + кук Vk = [1 + (к — 2) Аі] Єк-2 — [1 + — 1) ^і] єк-1 + [1 + кХ\] єкі

(1)

+ w,

к = 2,3,..., N-1,

описывающая результаты наблюдений ук свободных колебаний системы с турбулентным трением. При среднеквадратичном оценивании коэффициентов

Владимир Евгеньевич Зотеев (д.т.н., доцент), профессор, каф. прикладной математики и информатики. Мария Анатольевна Романюк, ассистент, каф. прикладной математики и информатики. Александра Арсеновна Егорова, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.

модели (1) используются две вложенные одна в другую итерационные процедуры, одна из которых служит для устранения смещения в оценках [1],

\ (р) ^ (р) 1 W

а другая предназначена для уточнения оценок Aq и ши > = - arccos р =

= 0,1, 2,... [2]. Эта итерационная процедура описывается следующей рекуррентной формулой [2]:

Х(0р) = (1 + с) А^_1) — cc^(A^f_1)), р = 1,2,3,..., (2)

где <^(Ао) — непрерывно дифференцируемая функциональная зависимость, определяемая последовательным выполнением известных математических операций, связанных с вычислением и устранением смещения оценки вектора

коэффициентов А = (Ao,Ai)T; с —параметр, величина которого выбирается

- (р\

таким образом, чтобы последовательность приближений Aq , р = 0,1,2,..., сходилась при р —> оо к решению уравнения Ао = ip(\o). Анализ и обеспечение сходимости итерационной процедуры (2) уточнения оценок AqP) и ф) является важнейшей задачей при разработке численных методов параметрической идентификации дифференциального оператора для систем с турбулентным трением.

Теорема (достаточное условие сходимости). Пусть функция <р(\о) определена и дифференцируема на отрезке [Aq°\ Aq0'1 +/] € (—2, 2), причём |у/(Ао)| ^ ^ М, tp'(Ао) ф 1 и выполняется одно из следующих неравенств:

О ^ (^(Aq0"1) — Aq0"1 ^ (1 — М) I при 0 < М < 1, (3)

(М> 1,

О ^ sign [1 - </(А0)] [^(Aq0)) - а[,0)] ^ ml при < |^'(А0) - 1| > т, (4)

^0 < т < М.

Тогда числовая последовательность {Aq^I^q, описываемая формулой (2):

AqP^ = (1 + c)AqP ^ ^), будет сходиться независимо от начального

приближения А<0) € (—2, 2) при р —> оо к решению уравнения Ао = <^(Ао) при значениях параметра с, 'равных

с =

—1, если 0 < М < 1;

(М> 1,

-sign [1 - у/(Ао)] д+х, если < ~ 1| ^ т,

0 < т < М.

(5)

Доказательство. Введём следующее обозначение: Ф(Ао) = (1+с)Ао —

— ар(Хо). В этом случае итерационная формула (2) принимает вид

А?)=Ф(А?-1)), р = 1,2,3,....

Покажем, что последовательность {А^}^0 имеет предел, принадлежащий отрезку [Ад°\ Ад0"1 + I] € (—2,2). В соответствии с (5) для 0 < М < 1 имеем

с = —1. При этом из (2) получаем Ф(Ао) = <р(Ао)- Отсюда |Ф'(Ао)| = |у/(Ао)| ^ ^ М < 1. При М > 1 имеем с = —зтрм’ если ^ ^ 1 — m < 1

или с = х+й, если 1 < 1 + m ^ ^(^о) ^ М. В первом случае с учётом формулы (2) имеем Ф(Ао) = о + мТТ^(^о) и, соответственно, Ф;(Ао) = = + (^о)■ Во втором случае, при 1 < 1 + m ^ ^(^о) ^ М, получаем

ф(До) = Ж+ТАо - мТТ^(Ао) и Ф'(Ао) = ж+Т “ W+I<P'(xo)- Отсюда с учётом соотношения 0 < m < М в обоих случаях имеем

1 + М — m , ,

a= max Ф (А0) =—----------------——< 1. (6)

А0е(—2,2) 1 1 1+М

Используя неравенства (3) или (4), покажем, что последовательность {А^}^0 целиком расположена на отрезке [Aq°^ , Aq°^ + р], принадлежащем заданному отрезку [A<0),A<0) +1}:

лоР) G [АГ, А<°> + р] С [А<°>, А^0) + Z], р = 0,1,2,..., где величина р ^ I обеспечивает выполнение равенства

0 ^ ^(Ао0)) — Aq0) = (1 — М) р (7)

при значениях М < 1, или выполнение равенства

0 ^ sign [1 - </(А0)] ^(а[,0)) - а[,0) = тр

при М > 1. Последнее соотношение может быть представлено в виде

0 ^ Lp(Aq0"1) — Ад°')=тр=(1 — ск)(1 + М)р при — М ^ ^(Ао) ^ 1 — т < 1, (8)

0 ^ Aq0"1 — <f(\^)=mp=(l — ск)(1 + М)р при 1 < 1 + т ^ ^(Ао) ^ М. (9)

Очевидно, что функция Ф(Ао) непрерывно дифференцируема на отрезке

[Aq°\ А<0) + р], следовательно, для любых AqP\ Aq9'1 € [Ад°\ Aq°^ + р] она удовлетворяет условию Липшица:

|Ф(АоР)) — Ф(Ао9))| ^ а|АдР) — Aq9)|, а= max |Ф'(А0)| < 1.

[А^0),А<°>+р]

Полагая А^ = Ао и Aq9^ = Aq°\ получаем

Ф(Ао0)) — а|А0 — Aq0)| ^ Ф(А0) ^ Ф(Ао0)) + а|А0 — Aq0)|. (10)

С учётом формул (5)—(9) имеем

ф(40)) = 40) -с ^(ло0)) - ло0) =

( Aq0"1 + (1 — М)р, если М < 1;

{ А(00) + sign2 [1 - <р'(А0)] (1-^+М)р, если М > 1.

Отсюда получаем

Ф(А^) = Ао0"* + (1 - ol)р. (11)

Тогда, используя правую часть неравенства (10), при 0 < a < 1 можно получить

Ф(Ао) ^ Ф(Ао ^) + ск(Ао — Aq ^) = Aq ^ + р — ск(Ад ^ + р — Ао) ^ Aq ^ + р. (12)

Так как 0 ^ Ад1"1 — Ад0"1 = Ф(а[,°'>) — Ад0"1 = (1 — а)р < р, то очевидно выполнение

\(0) / Л (0) . ,(0) . Л1) . ло) .

следующих неравенств: Ад ^ Ад + р и Ад ^ Ад ^ Ад + р.

Методом математической индукции покажем, что неравенство

А^°} < 4Р) < 4°} + Р (13)

выполняется при любом ^9 = 0,1,2,..., то есть последовательность {Ад^}р==д

ограничена сверху и снизу.

Предположим, что неравенство (13) выполняется при р = п — 1. Докажем, что оно будет выполняться и при р = п.

Используя левую часть неравенства (10) при Ао = Ад™ с учётом (11) получаем

Ао") = Ф(Л[Г1}) ^ Ф(Ао°}) - а(Аога_1) - А^0)) ^

^ Ао°} + (1 - а)р ~ а{А^п_1) - а[,0)). (14)

Рассмотрим несколько случаев, соответствующих различным значениям М:

1) пусть 0 < М < 1/2 и Ад0"1 ^ Ад"'-1'1 ^ Ад +р; отсюда 0 ^ Ад"'-1'1 — Ад0"1 ^

^ р; тогда из (14) имеем Ад™'1 ^ Ад0"1 + (1 — а)р — ар = Ад0"1 + (1 — 2ск)р =

= Ад0"1 + (1 — 2М)р ^ Ад°\ так как 1 — 2М ^ 0 при 0 < М < 1/2;

2) пусть 1/2 < М < 1 и Ад0"1 ^ Ад"'-1'1 ^ Ад0"1 + р ^ Ад0"1 + р (или

0 ^ Ад"'-1'1 — Ад0"1 ^ тогда с учётом а = М из (14) получаем

Ао") ^ А<0) + (1 - М)р - М^р = Ад0);

3) пусть 1/2 ^ М < 1 и Ад0-1 + ^р-р ^ Ад"--1-1 ^ Ад0-1 + р (или ^р-р ^

-.(га—1) л (0)_ \

Ао Ад ^ р), тогда имеем

|Л(П) _ Л(п-1)| = |ф(Л(—!)) _ Ф(Адга_2))| < «|Адга_1) - Ад"-2) | <

< |Ф(Адга_2)) - Ф(Адга_3))| < а2\\(™~2) - Адга_3)| < . . . <

^ ап~11 Ад1} — Ад0) |; отсюда для 0 < а < 1 с учётом равенства (11) получаем

1Лога) - Адга_1)| = ага_1|Ф(Ад0)) - А<°>| < а~\ 1 - а)р; (15)

л /г \\(п) \(п~ 1) I ^ 1—М ^ \(п~ 1) \ (0)

тогда при а = М имеем |Ад — Ад | < ^^рр ^ Ад — Ад ; очевидно,

,(«,) л (гг— 1) ^ | л (гг) \ (га— 1) | \ (га) \ (га— 1) ,(га—1) , (0)

ЧТО Ад -Ад ^ -|Ад ~ Ад | ; ОТСЮДа Ад - Ад >-Ад +Ад

„тт„ \(га) \ \(°)

ИЛИ Ад Ад

Рассмотрим теперь случаи, когда М > 1, при этом а = < 1:

пусть ^ т ^ М и Ад0"1 ^ Ад"'-1'1 ^ Ад0"1 + р, отсюда 0 ^ Ад"'-1'1 —

— Ад0"1 ^ р; из (14) следует

\(") ч \(°) , Л 1 , т 1 + М-т (п-1) х(0)ч ^

А0 ^Ад +{1-1 + Т-^)р- 1+м (Ад -Ад)^

^ л(0) . тп 1 + М-тп (0) / 2т л ,(0)

^Л° ТТмр 1Тм~ ~ 0 +\ТТм~1)р>Х° ’

1+ МГ 1 + М г и VI + м

так как — 1^0 при ^ т ^ М;

5) пусть 0 < т < 1-12М, при этом 1+^_тр < р; рассмотрим случай, когда

\(0) ^ \(га— 1) ^ \ (0) I т _л (0) . п ^ -.(га—1)

Ад ^ Ад ^ А^у + 1+м_тР ^ А о + р; отсюда получаем 0 ^ Ад -

- аГ < !+м-тор; из (14)имеем

Х(п)^х(0) Л Ш \ 1+М-Ш / (га-1) (0)\

Ао ^Ад + ^1 — 1 + ~\^М) ГТм V о “Л° Р

^ ,(о) , т 1 + М - т т . (о)

>Л» + ТТШР~ 1 + м 1 + м-шр = л° ;

6) пусть 0 <т < 1+^ ■, при этом 1+^_тр < р; рассмотрим случай, когда

д(°) < \(°) I пг < \(га_1) < \(°) I п то рГТЬ т < \(га_1) _

Л0 ^ Л0 + 1 -\-M-mP ^ Л0 ^ Л0 + Т0 есть 1+М-тР ^ Л0

— Ад0"1 ^ р; в соответствии с (15) имеем Ад™; — Ад™ 1> < а 1{1 — а)р = = (£ - I) Р = - 1 )р= ТГИ^Р, следовательно,

I \(га) _ \ (-га— !) I ^ \ (-га— !) _ \(0).

|Л0 Лд | < Лд Лд ,

(тъ 1 *) (тъ_1 *) (о)

отсюда, аналогично случаю 3, получаем Ад — Ад > —Ад + Ад

„тт„ \(га) \ \(°)

ИЛИ Ад ^ Ад

Таким образом, при выполнении условия Ад” ^ ^ Ад°^ вытекает левая часть неравенства (13) для р = п: Ад"^ ^ Ад°\ то есть последовательность {Ао^}р1о ограничена снизу.

Пусть правая часть неравенства (13) выполняется при р = п — 1: Ад” ^ ^ ^ Ад +р. Тогда с учётом (12) при Ао = Ад"'-1'1 имеем Ад™'1 = Ф(Ад"'_1'>) ^ Ад0"1 + р,

то есть последовательность {АдР^}^0 ограничена сверху.

Отсюда по индукции следует, что все члены бесконечной последовательности удовлетворяют неравенству (13) , то есть А^ € [Ад°\ Ад^+р] С [Ад°\ Ад0^ + 1\, р = 0,1, 2, —

.(га) ^ (га— 1)

Покажем, что рассматриваемая последовательность {АдР^}^0 — фундаментальная. Учитывая полученные выше неравенства

|Л(п) _ л(п-1)! ^ ап-1|Л(1) _ Л(0)|; о < а < 1 и соотношение 0 ^ Лд1"1 — Лд0"1 = (1 — а)р < р ^ I, получаем

/с | ^ к | ^

|Л<ь+»> - л<‘>| « £ |ЛГ> - - -С’1«

п=к-\-1 п=к-\-1

к+р _ р

< (1 - а)р ^ ^ < 0- ~ а)1ак^^~ < 1а^

п=к-\-1

где к и р — любые натуральные числа.

Так как ак —> 0 при к —> оо, последовательность {АдР^}^0 удовлетворяет

(р)

критерию Коши и, следовательно, существует Ит АХ = Ао- Причём, если

р—)>С©

элементы последовательности {АдР^}^о принадлежат отрезку [Ад°\ Ад°^ + I],

то и А0 € [а[,0) , а[,0) + 1}.

Таким образом, числовая последовательность {АдР^}^0, описываемая рекуррентной формулой (2), при выполнении условий теоремы имеет Нт АпР^ =

р—)>С©

= Ао, принадлежащий отрезку [Ад°\ Ад0^ + I].

Так как функция Ф(Ао) = (1 + с) Ао — ср(Ао) по условию теоремы непрерывна на отрезке [Ад°\ А^ +1], можно перейти к пределу при р —> оо, осуществив предельный переход справа под знаком функции Ф(АдР^):

Нт А= Нт Ф (Х^Л = Ит (1 + с) А^ — ср (Ап23'1)

р^-оо £>—)>с© \ ) р^-оо I \ / _

= (1 + с) Нт АдР^ -ср( Нт Х^Л = (1 + с)А0 - ар{Ао).

р^-ос \р—^оо )

Отсюда получаем Ао = Ао + с(Ао — р(Хо)). При с ф 0 имеем, что Ао = р (Ао),

то есть предельное значение Ао € [А^, Ад°^ + I] является корнем уравнения Ао = ^(Ао)^

Пусть Ао € [Ад°\ Ад°^ +1] также является решением уравнения Ао = <^(Ао),

то есть Ао = <^(Ао). Так как функция <р(Хо) непрерывно дифференцируема

на отрезке [Ад°\ Ад°^ + I], она удовлетворяет на [Ад°\ Ад°^ + I] условию Липшица с постоянной М = тах [м;(Ао)1 ф 1. Следовательно, имеет ме-

[х(°\х(00)+1]

сто неравенство |Ао — Ао| = |<^(Ао) — <^(Ао)| ^ М|Ао — Ао|. Отсюда получаем | Ао — Ао |(1 — М) ^ 0. Так как по условию теоремы М ф 1, неравенство выполняется только при Ао = Ао- Единственность решения уравнения Ао = ^(Ао) на отрезке [Ад0"1, Ад0"1 + I] установлена. □

ИЗ

Следствие. Априорная и апостериорная оценки погрешности п-ного приближения описываются соответственно следующими формулами:

|А0 -Л^КрМ™, (16)

|А°-л“',|<Т^м|л“",-л“"1)| (17)

¥,(л(0))-л(0)

при 0<М<1ир= \-м ° ^ ^ или формулами

,(га)| . (- ТП

М > 1,

в1§п[1—^'(Ло)] ^(Лд0))—Л

при { |^'(Л0) - 1| ^ т, и р =------------^1 ^ I.

О <т < М

Доказательство. Действительно, с учётом равенств Ло = Ф(Ло) и ^) и непрерывной дифференцируемости функции Ф(Ао) имеем

|Л0 - Л<га)| = |Ф(Ло) - Ф(Л<га_1))| < а|Л0 - Л^_1)|

(о),

= а|Ф(Л0)-Ф(Л^“2)Жа2|Л0-Л^“2)| ап\Х0 - Л,

Так как Ло € [Лд°\ Лд°^ + р], можно записать, что | Ло — Лд°^| ^ р. Поэтому имеет место неравенство | Ло — Лд"^| ^ апр.

„(Л(0))-Л(0)

Пусть 0 < М < 1 и в соответствии с (7) р = °_м 0 ^ I. Тогда при

а = М < 1 можно получить формулу априорной оценки погрешности (16). (М> 1,

Пусть < |(^'(Ло) — 1| ^ т, ив соответствии с формулами (8) и (9)

[О < т, < М

81^ [1 - у/(Ло)] [^(Ло0)) - А(00)

Р =-----------

< I

т

Для этого случая а = и можно получить формулу априорной оценки

погрешности (18).

Для построения формул апостериорной оценки погрешности п-ного приближения воспользуемся соотношением

Ло - А'”-1’ = Л<Г> - А'”-1’ + Ф(А„) - Ф(А<“-1)), из которого с учётом условия Липшица находим

|А„ - а'”-11! < |А<Г> - А'”-1’! + а|Ао - а'”"11!

ИЛИ

Так как |Ао — Aq^| ^ ск|Ао — Aq™ ^|, можно записать,

можно записать, что

Пусть 0 < М <1. Тогда при а = М < 1 можно получить формулу апостериорной оценки погрешности (17).

чить формулу апостериорной оценки погрешности (19). □

Таким образом, рассмотрено достаточное условие сходимости итерационной процедуры уточнения коэффициентов разностного уравнения, предназначенной для повышения точности вычисления (почти в два раза [2]) параметров дифференциального оператора для систем с турбулентным трением. Следует отметить, и это очевидно, что область применения итерационной процедуры, описываемой формулой вида

в которой <р(х) — непрерывно дифференцируемая на отрезке [а, Ъ] функция и tp'{\o) ^ м, не ограничивается только задачей среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Алгоритм вычислений с использованием этой рекуррентной формулы может применяться в различных по физической природе задачах математического моделирования. Эта формула, обобщая при с = 1 известный метод итераций для значений М < 1, обеспечивает сходимость итерационной процедуры также для значений М > 1 за счёт выбора параметра с в соответствии с выражением (5).

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (проект РНП 2.1.1/14069).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений / ред. В. П. Радченко. М.: Машиностроение-1, 2009. 344 с. [Zoteev V. Е. Parametric identification of dissipative mechanical systems based on difference equations / ed. V. P. Radchenko. Moscow: Mashinostroenie-1, 2009. 344 pp.]

2. Зотеев B.E., Заусаева М. А., Егорова А. А. Параметрическая идентификация дифференциальных операторов для систем с турбулентным трением на основе разностных уравнений// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. №5(21). С. 125-133. [Zoteev V. Е., Zausaeva М. A., Egorova A. A. Parametric identification of the differential operators for the systems with turbulent friction on the base of finite-difference equations // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010. Vol. 5(21). Pp. 125-133].

Для этого случая a = 1н1Умт и можно полу-

Хк = (1 + С) Хк-1 ~ Cip (Xk-l)

Поступила в редакцию 04/IX/2011; в окончательном варианте — 19/IX/2011.

MSC: 65C20; 65P40, 34C15, 37M05

PROBLEM OF ITERATIVE PROCEDURE CONVERGENCE IN PARAMETRIC IDENTIFICATION OF THE SYSTEMS WITH TURBULENT FRICTION

V. E. Zoteev, M. A. Romanyuk, A. A. Egorova

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.

E-mail: [email protected]

The problem of convergence of iterative procedure for clarification of coefficients of the finite-difference equation in numerical technique for determination of the differential operator parameters for the systems with turbulent friction is considered. Theorem, about a sufficient condition of iterative procedure convergence is defined, and, demonstrated. During theorem proving contracting mapping and, fundamental sequence properties are used. As a corolla,ry of the theorem formulas describing prior and, posterior estimate of the approximation error are received.

Key words: systems with turbulent friction, parametric identification, finite-difference equations, mean-square estimation.

Original article submitted 04/IX/2011; revision submitted 19/IX/2011.

Vladimir E. Zoteev (Dr. Sci. (Techn.)), Professor, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science. Maria A. Zausaeva, Assistant, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science. Alexandra A. Egorova, Postgraduate Student, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science.