CC BY
30
УДК 530.1
ПРОБЛЕМА НЕОБРАТИМОСТИ В КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ
О. Д. Чернавская, Д. С. Чернавский
Рассматривается проблема необратимости и роста энтропии в квантовой механике на основе анализа параметрической (структурной) неустойчивости. В классической механике причиной необратимости является глобальная неустойчивость систем типа биллиарда Болъцмана-Синая. В квантовой механике, согласно теореме Вигнера, решения динамически устойчивы. В данной работе показано, что в структурно-неустойчивых квантовых системах энтропия возрастает за счет исчезновения недиагоналъных членов матрицы плотности.
Квантовая механика основана на двух постулатах. Первым постулатом является уравнение Шредингера
дФ
где Н - постоянная Планка и Н - оператор Гамильтона, Ф - волновая функция системы.
Второй постулат представляет собой плотность вероятности обнаружить частицу в заданной точке х:
Ф(х)Ф(х) = р(х); (2)
здесь тильда означает комплексное сопряжение.
Известно, что эти постулаты в рамках современной квантовой механики несовместимы [1]. Дело в том, что при фиксации частицы волновая функция стягивается в точку, то есть плотность вероятности р(х) превращается в ¿-функцию:
| I = р(х) — 6(х). (3)
Этот процесс называется редукцией пакета.
Известно, что редукция пакета не может быть описана в рамках уравнения Шре-дингера (1), даже если в гамильтониан включить всю систему вместе с измерительным прибором ([2]). Эта проблема известна как "парадокс измерения". Суть дела в том, что редукция пакета - процесс, необратимый во времени; энтропия в течение этого процесса возрастает. В то же время уравнение Шредингера является гамильтоновой системой и, следовательно, описывает только обратимые во времени процессы.
При изложении основ квантовой механики обычно говорят, что измерительный прибор - система классическая и квантовой механикой не описывается. Встает вопрос: при каких условиях и почему квантово-механическое описание теряет силу и должно быть заменено классическим. Одним из главных элементов проблемы является вопрос о росте энтропии в гамильтоновых квантово-механических системах.
В классической физике причиной необратимости является глобальная неустончн вость динамических процессов, то есть возникновение динамического хаоса [3, 4, 5]. Аналогичный подход в квантовой механике натолкнулся на трудности. Выяснилось, что замкнутые квантово-механические системы динамически устойчивы. Это значит, что при малом изменении начальных условий девиации со временем не нарастают. Интегральная мера начальных отклонений остается постоянной, и энтропия не уве личивается со временем. Это утверждение известно под названием теоремы Вигнера [!]•
Численные методы исследования хаотизации некоторых квантово-механических си стем [6] не дали определенного ответа, и вопрос остается открытым.
В предлагаемом сообщении проведен анализ параметрической устойчивости квантово-механических систем. Мы покажем, что при определенных условиях квантово-мехническая система становится параметрически неустойчивой, что приводит к возрастанию наблюдаемой энтропии. Систему, удовлетворяющую этим условиям, можно назвать классическим прибором.
Динамическая и параметрическая устойчивость квантово-механических систем. Рассмотрим конечную систему. Оператор Гамильтона обозначим где индекс и
соответствует определенному набору параметров. Далее будем считать, что при изменении индекса и параметры меняются мало, так, что параметры гамильтониана близки друг к другу при всех значениях параметра и (меру близости мы обсудим позже).
Собственные функции Фг-^(х) удовлетворяют уравнению
/у(")фИ(х) = Е\и) Ф,Н(х); (4)
здесь и далее индекс г нумерует состояния в порядке возрастания энергии.
Развитие во времени любого состояния Ф(х,£), не являющегося собственным, описывается уравнением
Ф(х,*) = £ с\и)фИ(х) гдеСИ = У Ф(х,0) ч^х; (5)
1
здесь и далее полагается Н = 1.
Матрица плотности в энергетическом представлении равна произведению ам-
(")
плитуд плотностей вероятности рзастать систему в г-ом состоянии:
= /фМ(х,<)фИ(х)^х = ^С^фИе"'^фИ(х)^х = с\и) (6)
Отсюда
/»&>(*) = е^-^Ч (7)
Диагональные элементы матрицы плотности рц = С,С, представляют собой вероятность застать систему в состоянии с энергией Е{, то есть связаны с энергетическим спектром нестационарного состояния Ф(х, ¿). Последний характеризуется средней энер гией Ё и полушириной (или дисперсией) АЕ.
В структурно-неустойчивых системах энергетический спектр сильно изрезан (при изменении индекса I на единицу величина р"- = С-^С-^ меняется в меру самой себя), но, будучи усреднен по индексу г/, становится плавным. Величины Ё и АЕ, усредненные по г, от индекса V не зависят. В этом представлении энтропия $ равна
<>М = кЗр(р1пр) = к (ьр)и, (8)
м 4 у''■•>'
где к - постоянная Больцмана. Это выражение является обобщением классического представления энтропии
5 = к Щ 1пп>{, (9)
где и;, - априорная вероятность застать систему в г-ом микроскопическом состоянии.
Выражение (8) переходит в (9), если сумма недиагональных членов равна нулю. Поэтому задача сводится к исследованию поведения недиагональных элементов матрицы плотности во времени.
Рассмотрим специальный класс систем, удовлетворяющих следующим условиям:
(1) Энергетический спектр системы достаточно плотен, то есть расстояния между соседними уравнениями малы:
8Е\? = | Е\"] - Е^ | « (10)
величины масштаба е0 = « 1 будем считать малыми.
(2) При изменении параметров энергетические уровни сдвигаются мало, то есть
\ Е\и+Х) - Е\и) \ « Е\и\ (11)
причем величины масштаба ег = | — Е^ \ /« 1 того же порядка, что и б0. Это означает, что в ансамбле похожих, но не тождественных систем, отличающихся параметрами, сами параметры различны лишь в меру ех. Отсюда следует, что и энергетическое воздействие на систему, связанное с изменением параметров, мало в той же мере.
(3) Собственные функции Фг-"' при изменении параметров изменяются сильно, так,
что
| у |-1~1; (12)
при этом и коэффициенты разложения любой функции Ф(х, 0) по собственным функциям 1/-го и (и 4- 1)-го гамильтониана также отличаются сильно:
I с1и) - С)"+1) I ~ I с\и) I. (13)
Отсюда следует, что близкие по значению коэффициенты С\ и си, такие, что
| С\и) - С]м) | « 1,
соответствуют разным значениям энергии, таким, что
| ЕИ - Е^ | ~ Е\"\ Е^К
Системы, удовлетворяющие перечисленным свойствам, будем называть параметрически (или структурно) неустойчивыми. Термин оправдан тем, что при малом (в меру е) и случайном изменении параметров коэффициенты разложения меняются тоже случайно, но сильно.
Примером таких систем может служить спиновое стекло. Оно состоит из п атомов, каждый из которых может находиться в двух состояниях ("спин вверх" и "спин вниз"). Число возможных различных состояний N — 2", таково же число уровней системы. Взаимодействие между атомами снимает вырождение, и образуется зона ширины Д. Далее будем считать, что Д > АЕ, т.е. нестационарная функция Ф(а;,£) может быть разложена по собственным функциям гамильтониана спинового стекла. Расстояние между уровнями в зоне
6Е = £ ~ 60 * 8Е'АЕ = 2~П■ (14)
При п > 1000 величина е0 настолько мала, что ее мы будем считать аналогом бесконечно малой величины в классической физике (т.е. величиной типа "обратный гугол"; гугол - число порядка или больше Ю100). То же можно сказать и о возмущениях масштаба б! > б0.
Обсудим вопрос о динамической устойчивости.
Рассмотрим ансамбль тождественных систем, параметры которых одинаковы. При этом индекс I/ можно опустить. Сравним развитие во времени двух нестационарных функций, которые вначале отличаются слабо, так, что
I \6^(х)\2с13х = б « 1, где<5Ф(х) = Фх(х,0) - Ф2(х,0). (15)
Изменение функций Ф1(;г,£) и Ф2(х,£) во времени описывается выражениями (5), где коэффициенты С"/1' и различны. Из (15) и (5) следует, что разности коэффициентов 8С{ = С,-1' — С,-2' подчиняются условию
£ | «7,- |2 = б, | 8С, |2 ~ ± а б2; | С, | ~ б; (16)
здесь N - эффективное число уровней: N ~ 1/б.
Интегральная мера девиации в момент времени I равна
| | 6Щх) I2 (13Х = I <Рх^6Сг8С, Ф,-(х)Ф,-(х) = £ \8С{ | ~ б; (17)
О" «'
она не зависит от времени и всегда мала.
Таким образом, по интегральным критериям квантово-механические системы динамически устойчивы. Это можно рассматривать как иллюстрацию теоремы Вигнера [1]. Причина устойчивости в том, что фазовое пространство квантово-механических систем разделено на слои, соответствующие энергетическим уровням. При развитии системы во времени эти слои не перемешиваются.
Рассмотрим теперь ансамбль сходных, но не тождественных систем, параметры ко торых отличаются в меру е\ ~ е0 так, что энергетические уровни в них перемешиваются. Сравним, как развиваются во времени изначально одинаковые волновые функции Ф(х,0) в двух системах ( и = 1, 2):
ф(х>(х,*) = ^С^е-'^Ф^О*); Ф(2)(х,0 = £с)2)е"^Ф<2)(х); (18) » ]
их разность, то есть девиация функции в момент времени равна
¿ф(х,г) ЕЕ Ф(1>(х,<)-Ф(2)0М) = £ I С^фГ^х) - С?>ф|2)(х)| е-,£Ч
{
Здесь мы учли, что, согласно свойству (2), собственные значения в системах (1) и (2) различны лишь в меру б (в то время, как коэффициенты С, отличаются сильно). Малым различием собственных энергий мы пренебрегаем.
При г = 0: Ф(1) = Ф(2) = Ф(х,г = 0), и ¿Ф(х,< = 0) = 0. Отсюда
£(сГ>Ф1г)(*) - Мг\х)) = 0, (20)
хотя сами функции и коэффициенты С\"\ согласно условию (3), отличаются сильно. Интегральная мера девиации равна
I с13х | ¿Ф(х,*) |2 =
-С?Ф52)(х)
1 - +С.С. .
Здесь обозначено
Ф]? = I
и учтено, что при I — 0, согласно (20),
Е^С^ + сМ^х)] = 2 = £ С\*С?\х)ф)?. (22)
| гф]
Из (20) и (22) следует, что при I ~ (Д£)_1 каждый член суммы (21) не мал. Компенсация членов в сумме также невозможна, поскольку временной фактор не зависит от индекса V (=1,2), а остальные величины зависят от параметров гамильтониана и меняются при их изменениии, согласно условию (3), достаточно сильно.
Таким образом, интегральная девиация растет со временем и за конечное время (порядка обратной полуширины спектра исходного состояния АЕ) достигает значения порядка единицы. Полуширину спектра АЕ можно считать аналогом числа Ляпунова.
Важно, что здесь, как и в классической физике, характер развития системы во времени, равно как и сам факт неустойчивости, определяются внутренними свойствами системы, а не внешним воздействием.
Наблюдаемые величины в структурно-неустойчивых квантово-механических системах. Обычно под наблюдаемым значением оператора О понимают его среднее по ансамблю
<б> = ! Ф(х,г) б Ф(х,г)Л3х; (23)
при этом не оговаривают, в какой мере системы ансамбля одинаковы. В случае структурно-устойчивых систем этот вопрос и не встает: системы можно считать тождественными. Однако, если системы структурно-неустойчивы, т.е. отвечают условиям (1)-(3). необходимо дополнить эту процедуру усреднением по ансамблю близких по характеристикам, но нетождественных систем (или, что то же, по индексу и). Тогда наблюдаемое значение оператора О следует представить в виде
= (24)
1
такая процедура уже предлагалась и обсуждалась ранее в [7].
Если оператор не зависит от времени явно, его наблюдаемое значение будет зависеть от времени за счет эволюции нестационарной функции Ф(х,£). Тогда
<0> = ЕсРс}"* 6Ю гдеО^ = /^хфИфИ. (25)
«.л
Представим (25) в виде
< д > = ^¿{Е^с^дМ + ¿2сосуду (26)
" » 1 i хф] }
Здесь первый член - сумма диагональных элементов, она не зависит от времени. Второй член - сумма недиагональных элементов, которая содержит зависящий от времени сомножитель ехр(—г(Е{ — Е])1). Рассмотрим оба члена отдельно в случае, когда система структурно-неустойчива.
В первом члене — ЦГ(Е{) - энергетический спектр системы; - величи-
на оператора в состоянии с энергией Е{. Обе величины - сильно изрезанные функции как индекса г/, так и индекса г. Однако после усреднения по V (см. (24)) они становятся гладкими функциями индекса г. Примем, что при усреднении по V эти величины статистически независимы. Роль и смысл этого (как будет показано, важного) положения мы обсудим позже. Тогда
1 = (27)
где | С{ |2 и Оц = (1-/N)¿2v = 0(Е{) - усредненные по и, т.е. уже гладкие,
функции индекса г.
Первый член в (27) можно представить в виде
Сг I2 0{Е) = ¡¿Е \У(Е) О(Е), (28)
где \У(Е) - энергетический спектр системы; 0(Е) - наблюдаемое значение оператора О в состоянии с энергией Е. Этот интеграл представляет собой вклад диагональных членов в наблюдаемую величину, который мы обозначим < 0^ад >; от времени он не зависит.
Аналогично, представим второй член (27) в виде бц е-**'**
= I ¿Е<1 ¿.Е\¥(Е<,Е]) 0(Е{, Е,) (29)
здесь (CiCj) и Oíj - усредненные по v значения недиагональных членов; спектральная функция W(E{,Ej) определяется выражением
ЩЕ^Е,) = [ô{Ei)C{Ei)- | С(Е<) |2} А А. (30)
Этот интеграл представляет вклад недиагональных членов, который мы обозначим < Onon(t) >. Этот вклад имеет следующие свойства:
(i) < 0non(t) > убывает со временем, причем характерное время убывания At ~ (Д£)-1: подынтегральная функция W(Ei, Ej)0(Ei, Ej) - плавная функция энергий Et и Ej, которая велика в интервале AEi ~ AEj ~ АЕ и мала вне его; экспоненциальный фактор при t > (АЕ)~г становится сильно изрезанным.
(ii) < Onon(t) > исчезает при АЕ —> 0 (если АЕ = 0, то исходное состояние является собственным и недиагональные члены отсутствуют).
(iii) В том случае, когда коэффициенты С(Е) имеют полюсной характер, т.е.
* (Ei-È)-tA Е' (31)
< Onon(t) > убывает со временем экспоненциально:
< Onon(t) > = <Onon(í = 0)> e~AEt. (32) Таким образом, полное наблюдаемое значение произвольного оператора Ô равно
< Ô(t) > = < Odiag > + < Onon(t) >, (33)
где последний член убывает со временем. В частном, но распространенном случае (31) наблюдаемое значение оператора представляется в виде
< Ô(t) > = < Odiag > + < Onon{t = 0) > e~AEt. (34)
Эти общие соображения применимы, в частности, и для конкретного оператора энтропии (8):
Ô = S = —k{lnp}ij. Согласно (34), энтропия может быть представлена в виде
S(t) — Sdiag "I" Snon(t),
(35) 27
а. в случае (31):
S(t) = Sdiag + Snon(t = 0)e~AEt. (36)
Поскольку при t — 0 энтропия отсутствует (исходное состояние является чистым), т.е. диагональный и недиагональный вклады гасят друг друга,
Sdiag = — Snon(t = 0), (37)
(36) окончательно принимает вид
S(t) = Sdiag (1 - e~AEt). (38)
Аналогичный результат был получен (для некоторого специального класса систем) в
[7].
Сделаем ряд замечаний.
1. Первый член в (38) представляет собой классическое выражение для энтропии в термодинамически равновесном состоянии:
Sdiag = 52CiCi{ln | CiCi |Ь. t
Он соответствует реальным наблюдениям и используется в реальных расчетах. Второй член соответствует сумме недиагональных членов, причем по знаку он противоположен первому. Таким образом, (38) описывает процесс возрастания наблюдаемой энтропии при развитии исходно чистого состояния.
2. Согласно теореме фон Неймана [2], в квантово-механических системах энтропия не может изменяться со временем. Если исходное состояние чистое, то энтропия системы всегда равна нулю: при любом конкретном наборе параметров (т. е. при заданном значении и) второй член в (35) всегда компенсирует первый. Это значит, что если при вычислении энтропии сперва провести суммирование по индексам г и j, то, согласно теореме фон Неймана, мы должны получить нуль; последующее усреднение по v не должно изменить этого результата. Отсюда следует, что предположение о статистиче ской независимости элементов Cj^Cj^ и 0,-j' в (27) формально некорректно.
Напомним, что в структурно-неустойчивых системах величины и 0\j пред-
ставляют собой весьма нерегулярные функции дискретных индексов. Эти функции случайны, поскольку случайны изменения параметров при сдвиге v на единицу. При
усреднении по и (в предположении о статистической независимости) эти функции не только сглаживаются, но и исчезают дальние корреляции между ними.
Отметим, что можно использовать другой метод сглаживания: разобьем все величины, имеющие индексы г или ], на группы по п членов, причем п выберем большим по сравнению с единицей, но много меньше полного числа членов в сумме:
1 << п « N ~ -.
с
Будем считать, что внутри группы энергии меняются слабо, и проведем усреднение, т.е. представим (27) в виде
1 1+п
- £(<7,С,) бц = (С¡С!) Оп. (39)
п .=/
Здесь I нумерует группы; их число меньше, чем число индексов г, но того же порядка, что гугол. В пределах группы корреляции отсутствуют, поскольку появляются на более высоком порядке (значительно большем, чем гугол).
Процедура такого усреднения приводит к тому же результату, что и (27), т.е. к выражению (38).
3. Эта ситуация аналогична той, которая имеется в классической физике. Там энтропия равна логарифму фазового объема динамической системы П:
5 = *'"(£>
где По - объем элементарной ячейки. Согласно теореме Лиувилля, в динамическом процессе фазовый объем сохраняется. Если начальные условия заданы точно (т.е. в пределах По), энтропия всегда равна нулю. Это равносильно заданию чистого начального состояния в квантовой механике.
Теорема Лиувилля формально сохраняет силу и в глобально неустойчивых (т. е. хаотических) динамических процессах. Однако при этом фазовое пространство, занимаемое динамической системой, сильно и хаотично изрезано. Объем, занимаемый этой рыхлой структурой, существенно больше объема, вычисленного в соответствии с теоремой Лиувилля. По предложению Синая (см. [5]) можно ввести понятие объема внутри всюду выпуклой гиперповерхности, натянутой на рыхлое фазовое пространство, занимаемое хаотической динамической системой ("объем Синая" П5(£)). Можно принять, что фазовое пространство внутри объема заполнено равномерно, то есть плотность распределения регулярна. Тогда энтропия определяется как
Ss = Un(k)
(40)
Энтропия Ss в (40) называется энтропией Синая; она совпадает с наблюдаемой физической энтропией в реальных процессах. Возрастание этой энтропии связано с разбуханием объема Cis и продолжается вплоть до того, как этот объем займет все доступное фазовое пространство. В этом пределе энтропия максимальна, что соответствует термодинамическому равновесию.
В квантовой механике аналогом теоремы Лиувилля является теорема фон Неймана. Нерегулярная зависимость элементов Ôj^Cj"^ и от индексов является аналогом изрезанности лиувиллевского фазового пространства классических глобально неустойчивых динамических систем.
Усреднение по параметрам в предположении статистической независимости сомножителей эквивалентно введению синаевского объема. Эта процедура столь же "некорректна" и столь же "правильна", как и процедура Синая: в обоих случаях речь идет о пренебрежении корреляциями очень высокого порядка (~ 21000).
4. В простейших квантово-механических системах (атомы, простые молекулы и т.д.) разность уровней не мала. При этом малые изменения параметров не ведут к перемешиванию уровней, и свойства (1)-(3) не имеют места - иными словами, они структурно устойчивы. Операция усреднения по v в этом случае не дает никакого эффекта. Энергетический спектр W(E) остается дискретным, и корреляции между элементами ÔJ"'С'.'"' и Ojj' необходимо учитывать. Энтропия в этом случае не растет, что соответствует действительности.
То же относится и к коллективным регулярным системам (например, кристаллам), в которых энергетический спектр плотный, но условия (1)-(3) не выполняются. Однако и в этих случаях часто используют термодинамический подход. При этом считают, что образец помещен в "термостат". О последнем, по умолчанию, предполагают, что он "классический", то есть в нем соблюдены условия, необходимые и достаточные для роста энтропии.
5. В практических приложениях часто используется предположение о том, что недиагональные элементы матрицы плотности исчезают со временем порядка времен: расплывания пакета т (т ~ 1 /Л.Е). Из изложенного выше следует, что такое предпо ложение оправдано лишь при соблюдении условий (1)-(3); их и следует рассматрива! ь как условия применимости термодинамического подхода к квантово-механическим си стемам.
Заключение. Как было показано, физической причиной возрастания энтропии и необратимости процессов во времени как в классических, так и в квантово-механических системах, является структурная неустойчивость этих систем. Однако, для корректного математического описания неустойчивых процессов необходимо дополнить математическую аксиоматику следующим утверждением:
Корреляции высокого порядка между случайными величинами (порядка Ю100, т.е. "гугол", и выше) должны быть признаны пренебрежимо малыми, даже если они возникают в расчетах.
Основанием для этого можно считать следующее:
Во-первых, такие корреляции физически нереализуемы, т.е. их в принципе невозможно ни наблюдать, ни проверить.
Во-вторых, в этом и только в этом случае расчеты ведут к правильным (т.е., наблюдаемым) результатам.
В-третьих, это правило уже давно используется на интуитивном уровне при решении конкретных задач. Исключения из этого правила возможны лишь в случаях, когда такие корреляции возникают в связи с фундаментальными законами (сохранения энергии, импульса, заряда, барионного числа, и т.п.).
Отметим кроме того, что возрастание энтропии - одна из проблем парадокса измерения. Другая проблема заключается в описании редукции пакета, то есть автоло-кализации волновой функции частицы в малой пространственной области. Для этого регистрирующий прибор должен обладать дополнительными свойствами: энергия локализованного состояния должна быть ниже энергии исходного, а процесс автолокализации - сопровождаться выделением продуктов, уносящих избыток энергии: фотонов, фононов и т. п. Для регистрации необходимо, чтобы эти продукты рассеялись в приборе и не возвращались обратно. Именно на этом этапе важен вопрос о возрастании энтропии.
Сам процесс автолокализации требует специального рассмотрения.
Авторы благодарны В. А. Намиоту за весьма полезные обсуждения и И. В. Мелик-Гайказян за стимуляцию работы.
Работа выполнена в рамках гранта РФФИ N 96-02-19572.
ЛИТЕРАТУРА [1] В и г н е р Е. Этюды о симметрии. М., Мир, 1971, с. 318.
[2] Ф о н Нейман В. Математические основы квантовой механики. М., Мир, 1964.
[3] К р ы л о в Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. М., Наука, 1948.
[4] 3 а с л а в с к и й Г. М. Статистическая необратимость в нелинейных системах. Синай Я. Г. Несколько точных результатов об убывании корреляций. М., Наука. 1970, с. 143.
[5] Странные аттракторы. М., Наука, 1981.
[6] 3 а с л а в с к и й Г. М., Ч и р и к о в Б. А., УФН, 105, 1 (1971).
[7] Chernavskaya О. D., Chernavskii D. S. "The problem of enyropy production and stability of motion in Quantum Mechanics", preprint of P.N.Lebedev Insninute N 74, Moscow, 1980.
Поступила в редакцию 25 декабря 1998 г.
