CC BY
59
УДК 161.25
А. В. Горюнов
ПРОБЛЕМА КОСВЕННОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
В ЛОГИКЕ И ТАК НАЗЫВАЕМОЕ ИНТУИЦИОНИСТСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ГЕЙТИНГА 1930 г.*
В статье затрагивается проблема косвенного доказательства и способов его презентации в различных формальных системах. Предлагается относительно новое понимание логического отрицания как последовательно конструктивного процесса и противоречия как сложного конструктивного объекта. В результате выясняется, что в различных исчислениях с отрицаниями может быть «сконструировано» неодинаковое количество «противоположностей» по отношению к некоему исходному А. Предлагается деление логических систем по данному критерию на бинарные, тернарные и т.д. Отсюда делается вывод, что формулы, презентирующие косвенное доказательство, могут и должны варьироваться от исчисления к исчислению в зависимости от уровня контрадикторности и способов представления противоречия в данном исчислении. На этой основе удается доказать, что в исчислении высказывания А. Гейтинга 1930 г. присутствуют общезначимые формулы, презентирующие доказательство от противного и, следовательно, данное исчисление, вопреки общепринятому мнению, не является интуиционистским (по сути).
Постановка проблемы
В данной работе мы намерены доказать, что, вопреки общепринятому мнению, в исчислении высказываний А. Гейтинга 1930 г. есть общезначимые формулы, презентирующие косвенное доказательство, и, следовательно, оно не является подлинно интуиционистским.
Интуиционистским исчисление может быть по происхождению и по сути. Интуиционистским по происхождению являются исчисления, созданные интуиционистами. Последнее не вызывает сомнений, т.к. исчисление 1930 г. было создано А. Гейтингом - одним из основателей интуиционизма. Однако интуиционистским по сути является только то исчисление, которое соответствует определенным базовым характеристикам интуиционизма. Важнейшими из них являются два.
Во-первых, исчисление не должно содержать закона исключения лишнего. Правда, сам А. Гейтинг говорил только о законе исключения третьего, которого в его исчислении действительно нет. Мы намерены показать, что исчисление, презентирующее себя как интуиционистское, не должно содержать также законов исключения четвертого, пятого и т.д. При этом наличие закона исключения четвертого в указанном исчислении уже давно не является секретом [1, с. 377]. Однако связь между законом исключения лишнего (в данном случае - четвертого) и наличием в системе законов косвенного доказательства в научной литературе почему-то до сих пор не показана.
Во-вторых, интуиционистское исчисление не должно содержать законов косвенного доказательства. Утверждение отсутствия таких законов в системе Гейтинга 1930 г. основано на общепринятом заблуждении, будто бы косвенное доказательство (точнее - доказательство от противного) должно всегда презен-
* Исследование поддерживается грантом РГНФ (07-03-21304 а/В). 76
тироваться формулой {□ а ^(Ьа □ b))^ а, т.е. формулой доказательства от
противного классического исчисления высказываний. Эта формула и в самом деле не является общезначимой в формальной системе А. Гейтинга. Однако мы намерены показать, что формулы, презентирующие косвенное доказательство могут и должны варьироваться от одной формальной системы к другой, что связано с особенностями отрицания, принятого в том или ином исчислении.
Таким образом, мы попытаемся доказать, что логика высказываний А. Гейтинга 1930 г. не является интуиционистской по сути. Для достижения заявленной цели нам предстоит последовательно решить следующие задачи. Во-первых, дать относительно новую интерпретацию логического отрицания и логического противоречия. Во-вторых, дать общую характеристику логики А. Гейтинга 1930 г. с точки зрения вновь предложенной концепции. В-третьих, переопределить (расширить) понятие косвенного доказательства и определить формулы, презентирующие косвенное доказательство в системе А. Гейтинга 1930 г. В-четвертых, охарактеризовать основные параметры, которыми должно обладать подлинно интуиционистское (и конструктивистское) исчисление (для случая четких экстенсиональных логик с отрицанием).
Логическое противоречие как конструктивный объект
Здесь мы намерены представить противоречие как конструктивный объект. В этом пункте, как это не покажется парадоксальным, мы будем отталкиваться от взглядов самого А. Гейтинга. Именно ему принадлежит идея разграничения фактического и математического отрицания (которое мы, в дальнейшем, будем называть логическим отрицанием). Фактическое отрицание говорит о несуществовании объекта или, точнее, о невыполнении мыслительного действия по его построению. Однако «невыполнение» не является конструктивным процессом. Поэтому фактическое отрицание не должно использоваться в математике и логике. С математическим отрицанием (мы будем называть его логическим) дело обстоит иначе. Утверждение говорит об осуществлении какого-либо конструктивного процесса. Так, утверждение о существовании объекта А выражается в форме: «Я выполнил в уме построение А». Логическое отрицание соответствующего утверждения имеет вид: «Я выполнил в уме такое построение В, которое приводит к противоречию предположение, что можно довести до конца построение А» [2, с. 28]. Понятие же противоречия, по мнению ученого, является «первоначальным» и «интуитивно ясным». Его нельзя свести к более простым понятиям. Противоречие «всегда легко распознать», поскольку можно свести к форме 1 = 2 [2, с. 123].
Данная идея Гейтинга очень продуктивна. Но для раскрытия ее потенциала в эту идею необходимо внести некоторые коррективы.
Во-первых, понятие логического отрицания необходимо уточнить таким образом, чтобы оно вообще не содержало бы в себе ничего «отрицательного», т.е. стало бы понятием последовательно конструктивной мыслительной процедуры. Мы примем следующие определения. Утверждение А означает: «Я выполнил мысленное построение, в результате которого был сконструирован объект А». Отрицание А будет означать: «Я выполнил на основе общепринятого метода преобразование А, результатом которого является некий объект Х, причем такой, что Х отлично от А {A#X) ». Под «общепринятым методом» здесь понимается алгоритм процедуры отрицания. Следова-
тельно, отрицание не «запрещает» конструктивный процесс А, а, напротив, «утверждает» конструктивный процесс, который преобразует исходное А в альтернативный по отношению к А объект. Отличие отрицания от первого конструктивного процесса состоит в том, что на момент его осуществления мы уже должны иметь некий исходный объект А, в то время как первый конструктивный процесс порождает А из «ничего». Отсюда видно, что отрицание А представляет собой процедуру (операцию), которая «порождает» противоположности по отношению к А.
Что же касается проблемы существования, которая относится к сфере компетенции фактического отрицания, то для ее представления в формальной системе должны существовать иные логические средства. Например, ее можно решать посредством приписывания переменным значений истинности.
Во-вторых, введем понятие «контрадикторная конструкция». Контрадикторная конструкция - это совокупность противоположностей (альтернативных вариантов), которые могут быть выделены в данной логической системе, а также отношения между ними. Контрадикторная конструкция не обязательно должна быть бинарной (двучленной). Ее «членность» зависит от характера используемого в данной системе отрицания. Симметричные отрицания (отрицание классической логики, отрицание Лукасевича и т.д.) позволяют «породить» лишь один альтернативный вариант по отношению к исходной переменной. Поэтому в таких системах (классической ЛВ и ЛВ Лукасевича 1920 г.) мы имеем бинарную контрадикторную конструкцию. Но в логических системах, использующих несимметричные отрицания, можно выделить две и более противоположностей по отношению к исходной переменной. Отсюда, в таких системах могут быть сконструированы трехчленные (тернарные), четырехчленные (тетрарные) и подобные контрадикторные конструкции (а в ряде случаев -соответствующие противоречия). Например, в знаменитой логике Гейтинга 1930 г. контрадикторная конструкция включает в себя три противоположности: « а », « У а » и « Ш а ». В не менее знаменитой системе Поста при т = 3 контрадикторная конструкция состоит из шести, а при т = 4 - из восьми альтернативных вариантов.
Далее следует сказать об отношениях между противоположностями. Для этого противоположности следует представить как множества. Они могут находиться в отношениях несовместимости, пересечения и равнообъемно-сти. В последнем случае одна из тождественных противоположностей должна быть объявлена «избыточной». Определить характер отношений между противоположностями можно путем сравнения их таблиц истинности. Если две противоположности не имеют одинаковых значений истинности ни в одной строке, то они являются несовместимыми. Если две противоположности имеют совпадение значений хотя бы в одной строке таблицы истинности и имеют несовпадение значений хотя бы в одной строке, то они находятся в отношениях пересечения, или частичной совместимости. Если же у двух противоположностей совпадают значения во всех строках, то они тождественны. Контрадикторная конструкция классической ЛВ содержит две несовместимые, а ЛВ Лу-касевича - две пересекающиеся противоположности. Логика Гейтинга позволяет выделить три противоположности, из которых две (« а » и «У а ») несовместимы, а две (« а » и «Ш а ») частично совместимы. Противоположности « У а » и « УУ а » также являются несовместимыми [1, с. 374-379].
В-третьих, понятие противоречия не является «первоначальным» и «интуитивно ясным». Оно вторично по отношению к операции отрицания и конструируется на основе установления связи между исходной переменной и всеми ее (построенными посредством отрицания) противоположностями. Противоречие - это определенное отношение между противоположностями данной контрадикторной конструкции, а именно отношение несовместимости. Не всегда противоположности, составляющие данную контрадикторную конструкцию, находятся именно в таких отношениях. Поэтому не всякая контрадикторная конструкция (т.е. контрадикторная конструкция не любой логической системы) является противоречивой (содержит в себе противоречие). Так, отрицание классической логики позволяет сконструировать такую (и при этом единственную) противоположность по отношению к А, что конъюнкция А и ~А является противоречием, на что указывает невыполнимость формулы « а а У а » в классической логике. В то же время отрицание Лукасевича не позволяет сконструировать противоречия. Хотя А и ~А в системе Лукасе-вича различны, но они не являются полностью несовместимыми, а формула « а а У а » не является невыполнимой. Вместе с тем некоторые контрадикторные конструкции могут содержать в себе несколько противоречий и даже, более того, несколько противоречий различного уровня контрадикторности. Так, логика Гейтинга, как будет показано ниже, содержит одновременно и бинарное, и тернарное противоречие.
Все сказанное заставляет пересмотреть определение понятия противоречивости (непротиворечивости) логической системы. Обычно противоречивыми называют системы, где одновременно доказуемы формулы В и □ В [3, с. 58-59]. Однако, как мы видим, это не всегда так - здесь следует принимать во внимание уровень контрадикторности и характер контрадикторной конструкции данной логической системы. В некоторых системах одновременное выведение (доказательство) двух противоположностей еще не является признаком внутреннего противоречия - для этого требуется одновременное доказательство трех, четырех и т.д. противоположностей.
По итогам сказанного мы можем построить классификацию четких экстенсиональных логик с отрицанием.
По уровню контрадикторности логики могут быть разделены на би-контрадикторные (бинарные), триаконтрадикторные (тернарные), тетракон-традикторные (тетрарные), пентаконтрадикторные (пентрарные) и т.д., в зависимости от числа противоположностей, которые позволяет выделить данная система. Чисто умозрительно можно предполагать и возможность бесконечноконтрадикторных логик.
По характеру контрадикторной конструкции логики могут быть разделены на строгие, нестрогие и полунестрогие. Строгими мы называем логические системы, контрадикторные конструкции которых содержат только несовместимые противоположности, т.е. здесь нет пересекающихся противоположностей. Таковой, например, является классическая ЛВ. Нестрогими будем называть логические системы, в которых каждая из противоположностей пересекается со всеми другими противоположностями, т.е. нет ни одной пары несовместимых противоположностей, и, следовательно, противоречие как таковое не представимо. Для случая бинарных логик нестрогой является логика Лукасевича 1920 г. Полунестрогими яв-
ляются логические системы, в контрадикторных конструкциях которых есть хотя бы одна пара несовместимых противоположностей и хотя бы одна пара пересекающихся противоположностей. Таковы тернарная логика Гей-тинга 1930 г., а также система Поста (при т > 2).
Отрицание и противоречие в логике А. Гейтинга 1930 г.
Однако вернемся к интуиционистской системе А. Гейтинга. Начать ее анализ следует с рассмотрения операции отрицания и порождаемой ею контрадикторной конструкции.
Отрицание Гейтинга можно задать тремя равенствами, учитывая, что система Гейтинга является трехзначной (для простоты восприятия мы введем следующие числовые обозначения: «1» - истина, «0» - неопределенность, «-1» - ложь):
1) N (1) = -1;
2) N(0) = -1;
3) N(-1) = 1.
Для большей наглядности представим отрицание Гейтинга также матричным способом (таблица 1).
Таблица1
Отрицание в логике А. Гейтинга 1930 г.
а и а ии а
1 -1 1
0 -1 1
-1 1 -1
Рассмотрим более внимательно контрадикторную конструкцию логики Гейтинга. Как очевидно, перед нами тернарная контрадикторная конструкция. Следовательно, логика Гейтинга является триаконтрадикторной (т.е. позволяет выделить три противоположности). В системе Гейтинга представимо тернарное противоречие, поскольку конъюнкция всех трех противоположностей «а а и а а Ш а » является невыполнимым выражением. Здесь действует закон недопустимости тернарного противоречия:
□ (а а □ а а □□ а). (1.1)
В этой системе представимо и бинарное противоречие, причем двумя способами: а а и а , и а а Ш а. Эти формулы невыполнимы в системе Гейтинга. Их отрицание дает два варианта закона недопустимости бинарного противоречия:
□ (а а □ а), (1.2)
□ (□ а а □□ а). (1.3)
А вот формула « а а Ш а » выполнима в системе Гейтинга, и ее отрицание (как «одинарное», так и «двойное») не является законом логики.
Такое «поведение» противоположностей связано со следующим. Если представить названные противоположности как множества, то мы увидим, что « а » и « и а », а также « и а » и « ШШ а » между собой не пересекаются. Это и означает, что названные противоположности являются несовместимыми. Об этом мы узнаем из того факта, что ни в одной строке таблицы истинности для них нет совпадающих (одинаковых) значений. Вместе с тем противоположности «а » и «Ш а » пересекаются, о чем свидетельствует совпадение значений в двух строках из трех таблицы истинности. При необходимости мы можем представить также отношения между противоположностями при помощи кругов Эйлера (рис. 1).
Рис. 1 Контрадикторная конструкция логики А. Гейтинга 1930 г.
Отсюда становится понятным, почему «а » и «ШШ а » не образуют противоречия. Поскольку эти противоположности «пересекаются», то один и тот же элемент может одновременно принадлежать обоим названным множествам.
Из специфики контрадикторной конструкции логики Гейтинга вытекают также и особенности функционирования в этом исчислении различных вариантов закона исключения лишнего. В логике Гейтинга мы сталкиваемся со следующими закономерностями. Во-первых, здесь действует закон исключения четвертого, выражаемый дизъюнкцией всех трех противоположностей:
а V и а V Ш а . (1.4)
Однако, во вторых, в логике Гейтинга действует закон исключения третьего для противоположностей « и а » и « и и а »:
и а V Ш а. (1.5)
Вероятно, это следует понимать в том смысле, что в составе универсального класса значений, образуемого всеми тремя противоположностями системы Гейтинга, « и а » и « ии а » относительно самостоятельный и замкнутый подкласс значений, внутри которого третий вариант, в самом деле, отсутствует («исключен»). Названные противоположности принимают лишь два значения - «истина» и «ложь», причем принимают их во взаимообратном порядке. Этим они почти полностью повторяют контрадикторную конструкцию классической логики. Вероятно, этим и объясняется возможность того «погружения» синтаксиса классической логики в синтаксис логики Гейтинга, о котором часто пишут в логической литературе.
Впрочем, можно пойти и несколько иным путем, а именно принять ограничительный постулат: противоречие, закон запрещения противоречия и закон исключения лишнего могут выражаться только теми формулами, которые содержат хотя бы одну переменную без отрицания. Если считать этот принцип справедливым, то можно констатировать:
1) в системе Гейтинга могут быть выражены два противоречия - тернарное « а л и а л Ш а » и бинарное « а л и а »;
2) соответственно, здесь действует закон недопустимости тернарного противоречия (1.1) и закон недопустимости бинарного противоречия (1.2), но не более того;
3) здесь действует закон исключения четвертого (1.4), но нет никакого закона исключения третьего.
Однако для нас важно, что и при первой, «расширительной», и при второй, «ограничительной», интерпретации логики Гейтинга мы одинаково успешно можем доказать, что в этой системе действуют и не могут не действовать методы косвенного доказательства.
Завершая предварительный анализ исчисления 1930 г., мы приведем табличные значения основных связок логики А. Гейтинга 1930 г. - конъюнкции, дизъюнкции и импликации (таблица 2).
Таблица 2
Основные связки логики А. Гейтинга 1930 г.
а ь а ^ Ь а л Ь а V Ь
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 -1 -1 -1 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 0
0 -1 -1 -1 0
-1 1 1 -1 1
-1 0 1 -1 0
-1 -1 1 -1 -1
Как видно из таблицы 2, конъюнкция и дизъюнкция определяются А. Гейтингом традиционным образом - как минимум и максимум значений переменных, соответственно, а из таблицы импликации Гейтинга вычленяется таблица материальной импликации классической логики высказываний.
Законы косвенного доказательства в логике А. Гейтинга 1930 г.
Косвенным доказательством, напомним, называют доказательство тезиса «А», осуществляемое не через прямое подтверждение его истинности, а через обоснование ложности других, альтернативных по отношению к данному, высказываний. Выделяют, по меньшей мере, две формы косвенного доказательства: доказательство от противного и доказательство через исключение альтернативных вариантов. Нас будет интересовать, главным образом, первая из них.
Доказательство от противного - это вид косвенного доказательства, в рамках которого истинность « а » доказывается через демонстрацию ложно-
сти противоречащих по отношению к нему высказываний. При этом ложность последних обосновывается посредством демонстрации того, что предположение истинности такого высказывания ведет к логическому противоречию. В основе этой процедуры лежит простое правило: если из высказывания выводится противоречие, то это высказывание является ложным.
Тезис о том, что в системе А. Гейтинга не действует доказательство от противного, обычно основывается на утверждении, что формула «{□ а ^ (Ь а □ Ь)) а », которая презентирует доказательство от противного в классической логике, в логике Гейтинга не является общезначимой. Это второе утверждение, безусловно, справедливо (таблица 3).
Таблица 3
Проверка на общезначимость формулы «(□ а — ( а □ Ь )) — а »
а Ь и а □ Ь Ь а □ Ь □ а — (Ь а □ Ь) (□ а —— (Ь а □ Ь)) — а
1 1 -1 1 1
1 0 -1 1 1
1 -1 1 1 1
0 1 -1 1 0
0 0 -1 1 0
0 -1 1 1 0
-1 1 1 -1 1
-1 0 1 -1 1
-1 -1 1 1 1
Как видим, указанная формула является «никогда не ложной». В этом смысле ее даже можно назвать «правдоподобной». Но все же она не является общезначимой в системе Гейтинга, и это не вызывает сомнений.
Казалось бы, отсутствие доказательства от противного в системе Гейтинга можно считать доказанным. Но не все так просто. На конфигурацию формул, презентирующих доказательство от противного в той или иной логической системе, утверждаем мы, влияют два фактора:
1) способ представления противоречия в данной логической системе, т.к. ложность противоположного высказывания доказывается посредством демонстрации того, что из него «выводится» противоречие;
2) количество противоположностей, которое содержит контрадикторная конструкция данной логической системы.
Начнем с первой характеристики. Уже в этом пункте логика Гейтинга отличается от классического исчисления высказываний. Как уже было сказано, логика Гейтинга допускает большую вариативность в представлении противоречия: здесь может быть выделено тернарное противоречие « а а и а а Ш а », а также два бинарных противоречия « а а и а » и «У а а Ш а». Исходя из этого, выведение из какого-либо высказывания противоречия здесь имеет не один, как в классической логике, а три возможных варианта. Наряду с привычной для нас формулой доказательства от противного, приведенной выше, мы можем записать еще две:
«(□ а — ( а □ Ь а □□ Ь )) — а », «(□ а — (□ Ь а □□ Ь)) — а ». Впрочем, сказан-
ное ничего не меняет в семантическом статусе данных формул. Каждый желающий может самостоятельно убедиться, что две вновь представленные формулы не являются общезначимыми в системе Гейтинга. Однако уже сейчас мы наблюдаем большую вариативность логики Гейтинга по сравнению с классической логикой в интересующем нас аспекте.
Но для наших рассуждений решающее значение имеет второй аспект, связанный с количеством противоположностей, которые могут быть выделены в рамках данной формальной системы. Отрицание классической логики позволяет выделить две противоположности «А» и «не-А», которыми и исчерпывается весь спектр альтернативных вариантов. Поэтому совершенно неудивительно и, напротив, весьма логично, что, обосновав ложность одного из них (например, «не-А»), мы, по закону исключения третьего, можем утверждать истинность другого (в данном случае - «А»). В логике Гейтинга ситуация принципиально иная. Здесь мы можем выделить три противоположности - «А», «не-А» и «не-не-А». Поэтому совершенно неудивительно и вполне логично, что в системе Гейтинга, обосновав ложность одного из альтернативных вариантов, мы не можем однозначно утверждать истинность другого, т.к. у нас остались нерассмотренными две противоположности, а не одна. Все, что мы можем утверждать в данном случае, - это истинность, по крайней мере, одного из двух оставшихся вариантов, или истинность их дизъюнкции. На справедливость последнего указывает общезначимость в системе Гейтинга формул:
(□ а — (Ь а □ Ь ) —(а V □□ а), (2.1а)
(□ а —— (Ь а □ Ь а □□ Ь ) —(а V □□ а), (2.1б)
(□ а — (□ Ь а □□ Ь ) —(а V □□ а). (2.1в)
Здесь мы ограничимся доказательством формулы (2.1а), поскольку распределение значений во всех трех приведенных выше формулах абсолютно идентично (таблица 4).
Таблица 4
Доказательство формулы «(□ а — (Ь а □ Ь ) — (а V □□ а)»
а и а ии а Ь □ Ь Ь а □ Ь □ а — (Ь а □ Ь ) а V ии а (П а — (Ь а и Ь )) — — (а V ПП а)
1 1 1 -1 1 1 1
1 1 0 -1 1 1 1
1 1 -1 1 1 1 1
0 1 1 -1 1 1 1
0 1 0 -1 1 1 1
0 1 -1 1 1 1 1
-1 1 1 -1 1
-1 1 0 -1 1
-1 1 -1 1 1
Однако нам могут справедливо возразить, что, говоря о доказательстве от противного, принято иметь в виду ситуацию, когда обоснована истинность одного и только одного высказывания. Но достичь этого теперь уже не сложно. Для этого достаточно, чтобы была доказана ложность двух противоположностей из трех (посредством демонстрации того, что из этих противоположностей «выводится» противоречие). Затем, по закону исключения четвертого, мы можем заключить, что оставшаяся третья противоположность будет необходимо истинной. Если наша гипотеза верна, то в системе Гейтинга будут общезначимыми следующие формулы:
[(□ a — (b а □ b )) а (□□ a — (b а □ b ) — a , (2.2а)
[(□ a — (b а □ b а □□ b )) а (□□ a — (b а □ b а □□ b))] —a, (2.2б)
[(□ a — (□ b а □□ b )) а (□□ a — (□ b а □□ b ))] — a. (2.2в)
Докажем, например, формулу (2.2б) табличным способом, а оставите -ся две формулу предоставим проверить на общезначимость всем желающим самостоятельно (таблица 5).
Итак, мы можем констатировать, что формулы (2.2а)-(2.2в), презен-тирующие косвенное доказательство в системе Гейтинга, являются общезначимыми. По аналогии строится и так называемое косвенное опровержение (по методу сведения к абсурду). Впрочем, при новом истолковании отрицания и противоречия формальные различия между косвенным доказательством и косвенным опровержением сглаживаются. Так, чтобы доказать истинность «не-А», мы должны продемонстрировать, что предположение об истинности «А» и предположение об истинности «не-не-А» ведут к противоречию. Аналогично, для доказательства истинности «не-не-А» необходимо «свести к абсурду» две альтернативные противоположности - «А» и «не-А». С учетом трех вариантов презентации противоречия в системе Гей-тинга мы также можем использовать следующие формулы:
[( — ( а □ b )) а (□□ a — ( а □ b ) — □ a , (3.1а)
|^a — (b а □ b а □□ b )) а (□□ a — (b а □ b а □□ b) — □a , (3.1б)
[(a — (□ b а □□ b )(□□ a — (□ b а □□ b ))] — □ a, (3.1в)
[(a — (b а □ b )) а (□ a — (b а □ b ) — □□ a , (3.2а)
|^a — (b а □ b а □□ b )) а (□ a — (b а □ b а □□ b))] — □□ a , (3.2б)
[(a — (□ b а □□ b )) а (□ a — (□ b а □□ b ))] — □□ a. (3.2в)
Каждый желающий может самостоятельно убедиться в том, что данные формулы в логике А. Гейтинга 1930 г. общезначимы.
Как возможно интуиционистское исчисление высказываний?
В результате предпринятых изысканий мы можем сделать однозначный вывод: в системе Гейтинга присутствуют формулы, презентирующие косвенное доказательство, и, следовательно, данная логическая система, вопреки общепринятому мнению, не является интуиционистской. Но здесь возникает вопрос: может ли вообще существовать четкое экстенсиональное исчисление с отрицанием, в котором бы действительно отсутствовало косвенное доказательство (доказательство от противного)?
Оказывается, может. Здесь есть два, впрочем неравноценных, варианта.
Во-первых, формулы, презентирующие косвенное доказательство, не могут присутствовать в логиках с нестрогими контрадикторными конструкциями. Это такие контрадикторные конструкции, где каждая противоположность пересекается со всеми другими противоположностями, которые могут быть «сконструированы» в данной логической системе и в которых, следовательно, не может быть представлено противоречие.
Примером такого исчисления для случая бинарных логик является трехзначная система Лукасевича 1921 г. В этой системе формула « □ (а — (Ь а □ Ь )) — а » не является общезначимой. То же касается и формулы
«(а —— (Ь а □ Ь)) — □ а », презентирующей косвенное опровержение. Вместе с
тем других вариантов презентации данных логических действий в логике Лукасевича нет и быть не может, поскольку отрицание Лукасевича позволяет выделить лишь две противоположности - исходное «А» и производное от него «не-А».
Но даже в этом и подобных ему случаях следует говорить не столько об отсутствии косвенного доказательства, сколько об отсутствии в таких системах логических средств для его выражения. Все дело в том, что в таких логических системах противоречие как таковое не может быть выражено (оно в них как бы не существует), поскольку конъюнкция всех противоположностей (для логики Лукасевича - двух) не является невыполнимым выражением (конечно же, при традиционном расчете значений конъюнкции). Это же, в свою очередь, обусловлено тем, что противоположности таких систем являются взаимно пересекающимися множествами, т.е. каждое из них «пересекается» с каждым другим.
Поэтому подлинно интуиционистскими будут логические системы второго варианта.
Итак, во-вторых, косвенное доказательство невозможно в логических системах с бесконечным числом противоположностей. В самом деле, если представить себе исчисление, контрадикторная конструкция которого включает в себя конечное, пусть даже и очень большое, число противоположностей, скажем, равное 1000, то даже в этом случае мы можем осуществить косвенное доказательство «за конечное число шагов». Для этого необходимо «свести к противоречию» 999 из них, чем и будет доказана истинность оставшейся 1000-й противоположности. Для построения же исчисления с «бесконечной» контрадикторной конструкцией, со своей стороны, необходимо выполнение двух условий.
Во-первых, необходимо задать так называемое несимметричное отрицание, скажем, первое отрицание системы Поста. Его специфика заключается
в том, что количество противоположностей, которое может «породить» такое отрицание, возрастает пропорционально «значности» логической системы. Так, при двузначности системы оно порождает две противоположности (и в такой системе ничем не отличается от симметричного отрицания), при трех-значности - три, при четырехзначности - четыре и т.д. Однако одного этого условия недостаточно, поскольку при любом конечном количестве значений истинности в данной логической системе несимметричное отрицание «породит» конечное же число противоположностей.
Поэтому, во-вторых, наша предполагаемая логическая система должна быть бесконечнозначной. Тогда асимметричное отрицание «произведет на свет» бесконечное количество противоположностей.
Лишь в системе с бесконечным количеством противоположностей косвенное доказательство становится по-настоящему невозможным. Причины этого очевидны. Сколько бы противоположностей мы не «свели к абсурду», тем самым доказав их ложность, у нас всегда останутся нерассмотренными больше, чем один альтернативный вариант. В этом случае мы не сможем осуществить косвенное доказательство за «конечное число шагов».
Впрочем, осуществимость исчисления с указанными характеристиками остается проблематичной. К настоящему времени уже построена не одна бесконечнозначная система. Но все эти логики, насколько нам известно, используют симметричное отрицание, т.е. являются бинарными.
Заключение
Теперь мы должны выяснить, как соотносится новое представление о косвенном доказательстве с основаниями интуиционизма (и, строго говоря, конструктивизма). Аргументация интуиционистов против использования косвенного доказательства в познании общеизвестна. Они считают, что данная процедура не может работать на бесконечных множествах, поскольку мы не можем перебрать один за другим каждый элемент такого множества и решить вопрос, принадлежит ли каждому из них некоторое свойство А. Следуя традиционным для того времени (неопозитивистским) эпистемологическим взглядам, интуиционисты настаивают на подкреплении результатов косвенного доказательства результатами полной индукции. Последняя рассматривается ими как своего рода «фактическое» подтверждение результатов косвенного доказательства. А поскольку полная индукция на бесконечных множествах действительно невозможна, то интуитивисты отбрасывают и косвенное доказательство как способ рассуждений.
Однако опровергнуть эту аргументацию не сложно. В самом деле, процесс полного и исчерпывающего познания бесконечных множеств действительно представляется невозможным. Возможным, однако, является постепенное, все более и более глубокое познание этих множеств как процесс, не имеющий шансов завершиться, хотя все более и более приближающийся к своему воображаемому «итогу». Но в этом случае целесообразно требовать от познающего не полной индукции, а, напротив, неполной индукции, дополненной принципом фальсификационизма в духе К. Поппера. В этом случае мы будем считать, что множество Ь обладает свойством А, если все изученные на сегодняшний день элементы этого множества обладают этим свойством, и, вместе с тем, не обнаружено ни одного фальсифицирующего примера, когда бы элемент этого множества не обладал этим свойством. Эта
процедура вполне способна заменить полную индукцию в функции «фактического» подтверждения результатов косвенного доказательства. Само же косвенное доказательство является возможным при изучении бесконечных множеств ввиду конечного набора возможных альтернативных вариантов. Ведь, строго говоря, косвенное доказательство должно применяться к каждому конкретному элементу этого множества, а не ко всему множеству в целом. В классической логике их всего два: множество Ь может обладать свойством А или обладать свойством не-А. Если второе не верно, то остается один вариант. Как показано выше, при любом другом конечном наборе альтернатив косвенное доказательство также является осуществимым.
Список литературы
1. Гетманова, А. Д. Логика : учебник для вузов / А. Д. Гетманова. - 12-е изд., стер. - М., 2007.
2. Гейтинг, А. Интуиционизм / А. Гейтинг. - М., 1965.
3. Клини, С. К. Математическая логика / С. К. Клини ; пер. с англ. - М., 1973.
