CC BY
36
Таблица 1
n Б 6 т
Nl 12 26 Бб
Таблица 2
і \ n Б 6 т
2 236 2ЬЬ 278
4 - 283 2118
б - - 2: Ь С
> 0 214Ь 2364 2868
Известно, что для нечётных n оценка Сидельникова точна на классе AB-функций, причём AB-функции существуют при всех нечётных n. Из табл. 2 видно, что оценка, полученная в теореме 2, применима только к значениям нелинейности, далёким от максимальных. Однако доказательство теоремы 2 конструктивно и может оказаться полезным, поскольку описывает метод построения функций с фиксированной нелинейностью.
ЛИТЕРАТУРА
1. Логачев О. А., Сальников А. А., Смышляев С. В., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. 2-е изд. М.: МЦНМО, 2012. 584с.
2. Панкратова И. А. Булевы функции в криптографии: учеб. пособие. Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2014. 88 с.
3. Carlet C. Boolean functions for cryptography and error-correcting codes // Boolean Models and Methods in Mathematics, Computer Science, and Engeneering / eds. P. Hammer, Y. Crama. Cambridge Univ. Press, 2010. Ch. 8. P. 257-397. www.math.univ-paris13.fr/~carlet/
4. Сидельников В. М. О взаимной корреляции последовательностей // Проблемы кибернетики. 1971. Т. 24. С. 15-42.
УДК 510.53
ПРОБЛЕМА ДОСТИЖИМОСТИ В НЕПРЕРЫВНЫХ КУСОЧНО-АФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ ОКРУЖНОСТИ
СТЕПЕНИ 2
А. Н. Курганский
На примере непрерывных кусочно-аффинных отображений окружности в себя степени два, для которых в работе доказывается алгоритмическая разрешимость проблемы достижимости из точки точки, обсуждаются некоторые алгоритмические аспекты моделирования дискретных систем непрерывными в контексте криптографического преобразования информации. Все такие кусочно-аффинные отображения топологически сопряжены с хаотическим отображением E2(x) = 2x (mod 1) : R/Z ^ R/Z. Из доказательства основного результата работы следует, что любое другое непрерывное кусочно-аффинное отображение с рациональными коэффициентами и сопряжённое с Е2 показывает хаотическое поведение для некоторых рациональных чисел, что делает их интересными в задачах криптографического преобразования информации.
Ключевые слова: хаотические системы, криптография, кусочно-аффинные отображения, проблема достижимости.
Непрерывные хаотические динамические системы привлекают к себе внимание со стороны теории алгоритмов и дискретной математики благодаря полезным аналогиям между их наблюдаемыми свойствами и свойствами, предъявляемым к криптографическим преобразователям информации [1]. В ряде публикаций встречаются исследования непрерывных хаотических систем в качестве прототипов для конечно-автоматных криптографических преобразователей информации [2]. В связи с этим, а также в силу принципиального противопоставления языка непрерывной и дискретной (компьютерной) математики является фундаментальной проблема развития интуитивных аналогий между хаотическими и криптографическими системами до уровня математических взаимосвязей. Отсюда возникает интерес к непрерывным системам с дискретным или непрерывным временем как к моделям вычислений. Это в первую очередь связано с вопросом: можно ли с помощью рассматриваемой непрерывной динамической системы моделировать дискретные системы, в частности универсальную машину Тьюринга? Проблема доказательства вычислительной универсальности тесно связана с проблемой достижимости. Обратим внимание на следующий важный момент при изучении хаотических систем в контексте моделирования с их помощью универсальных вычислений. В [3] приведено следующее замечание: поскольку реальную хаотическую систему физически невозможно установить с бесконечной точностью в заданное состояние, в частности в рациональную точку, то для таких систем идея брать в качестве основы для определения или доказательства вычислительной универсальности проблему достижимости из точки точки (“point-to-point reachability”) имеет недостатки в силу чувствительности системы к начальным условиям, из-за которой любые возмущения могут разрушить вычисления. Однако в проблеме моделирования хаотическими системами универсальных вычислений в контексте криптографических задач речь идёт не о реальном физическом моделировании, а о компьютерном моделировании математических нелинейных моделей, и бесконечная точность начальных условий в виде рациональных чисел вполне имеет смысл. В качестве примера можно привести системы, аналогичные кусочно-аффинным, в которых вместе с аффинными отображениями используются функции 3Х, V#, x2, x3. Для таких кусочно-элементарных отображений было выделено [4] подмножество рациональных точек, орбиты которых остаются рациональными, благодаря чему доказана их вычислительная универсальность.
Будем рассматривать непрерывные кусочно-аффинные отображения f : S1 ^ S1 степени 2 окружности S1 = R/Z. Все такие отображения топологически сопряжены с y = E2(x) = 2x (mod 1) и являются частными случаями кусочно-аффинных отображений с двумя интервалами. Для них доказывается алгоритмическая разрешимость проблемы достижимости, и, следовательно, такие системы не являются вычислительно универсальными. Утверждение практически тривиальное, но тем не менее важное по следующим причинам. Во-первых, проблема достижимости в кусочно-аффинных отображениях с двумя интервалами в общем случае является открытой проблемой [5]. Во-вторых, отображение Е2 является классическим примером хаотической системы, в которой для почти всех точек x £ S1 их орбиты демонстрируют хаотическое поведение. Однако ни одна точка из этих «почти всех» не представима на компьютере, поскольку они являются иррациональными числами, и наоборот, для всех известных в программировании типов данных система Е2 ведёт себя регулярно. Математическая теорема о хаотичности системы Е2 с точки зрения дискретной (компьютерной) ма-
тематики является бессодержательной. И даже если под числом понимать алгоритм, потенциально его порождающий, то теорема о хаотичности Е2 должна принять вид, раскрывающий тот факт, что сложность поведения системы заключается или скрыта не в самом отображении, а в сложности начальной точки х. Вместе с тем, как следует из доказательства ниже, любое другое топологически сопряжённое с Е2 кусочноаффинное отображение с рациональными коэффициентами показывает хаотическое поведение не только орбит иррациональных чисел, но и некоторого подмножества рациональных чисел. Рациональные числа представимы на компьютере, поэтому такие отображения уже интересны в контексте криптографического преобразования информации.
Пусть X = Ж/Ъ П Q, / : X ^ X — непрерывное кусочно-аффинное отображение
степени 2, т. е. такое, что X = X1 U X2, X1
n / m \
o,m
n
и
X
2=
m n
n
, f (x) = — x при
m
х Є Хь / (х) = —П— (х — — ) при х Є Х2, —, п Є N. Обозначим через О (ж) = п — т V п /
= {/п (х) : п Є М} орбиту точки х. Проблема достижимости из точки точки звучит так: существует ли алгоритм, определяющий по произвольным точкам х0,х1 Є X принадлежность хі Є О(х0).
Теорема 1. Проблема достижимости в непрерывных кусочно-аффинных отображениях / окружности в себя степени 2 алгоритмически разрешима.
Доказательство. Числа —, п, п — — взаимно простые. Через |х|р обозначим
p-адическую норму x. Если простое s Є P не делит m и n — m, то
Если p Є P делит m, а q Є P делит n - m, то
n
—x m
> |x|p,
n
—x m
f (x)|s ^ max{|x|s, 0}. = |x |q. Пусть |x |p >
m m
> n и | x| q > p n , тогда q
n
nm
-(x — m)
—n
> | x| q,
n
m
(x )
n m n
|x|p и, следова-
тельно, |/г+1 (ж)|р + |/г+1(ж)|д > |/г(ж)|р + |/г(ж)|д, т.е. для проверки у € О(ж) достаточно вычислить начальный отрезок орбиты длины I, такой, что |/г(ж)|р + |/г(ж)|д > |у|р + |у|д.
не выполняется. Если |/г(ж)|р ^ |у|р,
Пусть условие I |x|p >
m
n
и | x| q >
m
n
|/*(x)|q ^ |y|q для всех i, то последовательность O(x) зацикленная, причём с вычислимого места, поскольку существует лишь конечное множество чисел 0 ^ x ^ 1, таких, что |x|s ^ max {0, |y|r : r G P}, s G P. ■
Следствие 1. Если |x|p >
m
n
її m
и |x|q > — , то O(x) не зацикливается и рацио-n
нальное x ведет себя в / как некоторое действительное число в E2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Птицын Н. В. Приложение теории детерминированного хаоса в криптографии. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 80с.
2. Savchenko A. Ya., Kovalev A.M., Kozlovskii V. A., and ScherbakV.F. Inverse dynamical systems in secure communication and its discrete analogs for information transfer // Proc. NDES. 2003. P. 112-116.
3. Delvenne J.-C. What is a universal computing machine? // Appl. Math. Comput. 2009. V. 215. No. 4. P. 1368-1374.
4. Kurganskyy O., Potapov I., and Sancho-Caparrini F. Reachability problems in low-dimensional iterative maps // Int. J. Found. Comput. Sci. 2008. No. 19(4). P. 935-951.
5. AsarinE., Mysore V., PnueliA., and Schneider G. Low dimensional hybrid systems — decidable, undecidable, don’t know // Inform. Comput. 2012. V. 211. P. 138-159.
q
q
p
p
q
