CC BY
18
Оригинальная статья / Original article УДК 621.311.001.57
DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-4-172-182
ПРОБЛЕМА АДЕКВАТНОГО АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ УЗЛОВ ДВИГАТЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ, УСЛОВИЙ ЕЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ И СРЕДСТВА ЕЕ РЕШЕНИЯ
© В.А. Сулайманова1, А.С. Гусев2, А.В. Киевец3, М.В. Андреев4
Национальный исследовательский Томский политехнический университет, 634050, Российская Федерация, г. Томск, пр. Ленина, 30.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Обусловлена необходимостью повышения полноты и достоверности анализа устойчивости работы синхронных и асинхронных двигателей узлов нагрузки систем электроснабжения и условий ее обеспечения, в значительной мере определяющих эффективность и нередко безопасность функционирования крупных промышленных предприятий. Состоит в разработке методов и средств достоверного всережимного моделирования в реальном времени и на неограниченном интервале непрерывного спектра нормальных и анормальных квазиустано-вившихся и переходных процессов в синхронных и асинхронных двигателях и систем электроснабжения, электроэнергетической системе в целом, обеспечивающего соответствующую реальным условиям адекватность вышеуказанного анализа. МЕТОДЫ. Математическое и физическое моделирование, теория методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений, непрерывное неявное параллельное методически точное интегрирование дифференциальных уравнений, схемотехника на базе интегральной микроэлектроники и микропроцессорной техники, IT-технологии. РЕЗУЛЬТАТЫ. Выявлены и обоснованы причины существования проблемы адекватного анализа устойчивости узлов двигательной нагрузки и условий ее обеспечения, связанные с ограничениями применимости методов численного интегрирования дифференциальных уравнений математических моделей. Для решения проблемы разработана концепция, основанная на применении комплексного подхода, позволяющего получать достаточно полную и достоверную информацию о непрерывном спектре нормальных и анормальных ква-зиустановившихся и переходных процессов, протекающих синхронных и асинхронных двигателей и систем электроснабжения, электроэнергетической системы в целом. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Созданные средства позволяют проводить необходимые для адекватного анализа устойчивости работы синхронных и асинхронных двигателей узлов нагрузки систем электроснабжения и условий ее обеспечения экспериментальные исследования. Ключевые слова: синхронные и асинхронные двигатели, система электроснабжения, устойчивость узлов двигательной нагрузки, математическое моделирование, адекватность, достоверность.
Информация о статье. Дата поступления 13 марта 2018 г.; дата принятия к печати 6 апреля 2018 г.; дата онлайн-размещения 30 апреля 2018 г.
Формат цитирования. Сулайманова В.А., Гусев А.С., Киевец А.В., Андреев М.В. Проблема адекватного анализа устойчивости узлов двигательной нагрузки систем электроснабжения, условий ее обеспечения и средства ее решения // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 4. С. 172-182. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-4-172-182
Сулайманова Венера Алмазовна, аспирант, ассистент отделения электроэнергетики и электротехники Инженерной школы энергетики; e-mail: [email protected]
Venera A. Sulaymanova, Postgraduate, Assistant of the Department of Electric Power Engineering and Electrical Engineering of the Energy Engineering School, e-mail: [email protected]
2Гусев Александр Сергеевич, доктор технических наук, профессор отделения электроэнергетики и электротехники Инженерной школы энергетики; e-mail: [email protected]
Aleksandr S. Gusev, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Electric Power Engineering and Electrical Engineering of the Energy Engineering School, e-mail: [email protected]
3Киевец Антон Владимирович, аспирант, e-mail: [email protected] Anton V. Kievets, Postgraduate, e-mail: [email protected]
4Андреев Михаил Владимирович, кандидат технических наук, доцент отделения электроэнергетики и электротехники Инженерной школы энергетики; e-mail: [email protected]
Mikhail V. Andreev, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Electric Power Engineering and Electrical Engineering of the Energy Engineering School, e-mail: [email protected]
PROBLEM OF ADEQUATE ANALYSIS OF PSS MOTOR LOAD NODE STABILITY, ITS PROVISION CONDITIONS AND SOLUTION TOOLS
V.A. Sulaymanova, A.S. Gusev, A.V. Kievets, M.V. Andreev
National Research Tomsk Polytechnic University, 30, Lenin pr., Tomsk, 634050, Russian Federation
ABSTRACT. PURPOSE. A justification is given to the need to increase the completeness and reliability of the analysis of operation stability of synchronous and induction motors (SM and IM) of power supply system (PSS) load nodes and its provision conditions which to a considerable extent determine the efficiency and often operation safety of large industrial enterprises. The purpose of the paper is to develop the methods and tools for reliable real-time simulation in an unlimited interval of the continuous spectrum of normal and abnormal quasi-steady and transient processes in SM, IM, PSS, and in the electric power system (EPS) as a whole that ensures the adequacy of the above analysis corresponding to real conditions. METHODS. The study uses the following methods of scientific research: mathematical and physical simulation, the theory of discretization methods for ordinary differential equations, methodologically accurate parallel implicit continuous integration of differential equations, circuit technology based on integrated microelectronics and microprocessor technology, and IT technology. RESULTS. The paper has revealed and justified the causes of the problem of adequate analysis of the motor load node stability and its provision conditions related to the applicability conditions of the methods of numerical integration of differential equations of mathematical models. To solve this problem a concept has been developed based on a complex approach that provides sufficiently complete and reliable information about the continuous spectrum of normal and abnormal quasi-steady and transient processes occurring in SM, IM, PSS, and EPS as a whole. CONCLUSION. Developed tools enable experimental researches necessary for the adequate analysis of the operation stability of synchronous and induction motors of PSS load nodes and the conditions for its provision.
Keywords: synchronous and induction motors (SM and IM), power supply system (PSS), stability of motor load nodes, mathematical simulation, adequacy, reliability
Information about the article. Received March 13, 2018; accepted for publication April 6, 2018; available online April 30, 2018.
For citation. Sulaymanova V.A., Gusev A.S., Kievets A.V., Andreev M.V. Problem of adequate analysis of PSS motor load node stability, its provision conditions and solution tools. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 4, pp. 172-182. (In Russian). DOI: 10.21285/1814-3520-2018-4-172-182
Введение
Технологическая, экономическая эффективность и нередко безопасность функционирования большинства промышленных предприятий, особенно нефте-, газо-, химических отраслей, в значительной мере зависят от устойчивой работы двигательной нагрузки, главным образом синхронных и асинхронных двигателей (СД и АД). Наиболее вероятными причинами нарушения устойчивой работы СД и АД служат кратковременные снижения или исчезновения напряжения, связанные в основном с различными короткими замыканиями (КЗ) и действием релейной защиты, автоматики (РЗА), приводящие к их торможениям, успешным или неуспешным самозапускам и отключениям. Поэтому задача достоверного всережимного анализа этих процессов и условий устойчивости работы СД и АД узлов двигательной нагрузки систем электроснабжения (СЭС) является весьма актуальной.
Ввиду недопустимости натурных экспериментов и невозможности из -за сложности полноценного физического моделирования, единственным путем получения достаточно полной и достоверной информации о данных процессах является преимущественно математическое моделирование. Однако необходимая для этого математическая модель двигательной нагрузки и СЭС, электроэнергетической системе (ЭЭС) в целом всегда содержит жесткую нелинейную систему дифференциальных уравнений высокого порядка, которая плохо выражена в условиях применимости методов их численного интегрирования согласно теории методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений и не может быть удовлетворительно решена. Для улучшения обусловленности необходимо снижать жесткость, нелинейность, диффе-
ренциальныи порядок и ограничивать интервал решения, осуществимый только за счет декомпозиции процессов, значительного упрощения математических моделей оборудования, СЭС, ЭЭС в целом и ограничения интервала воспроизведения процессов. В результате этих упрощений и ограничений, а также присущей численному интегрированию неизвестной методической ошибки, возникает проблема полноты и достоверности такого моделирования. Поскольку данную проблематику неизбежно наследуют все современные программно-вычислительные комплексы (ПВК) расчета режимов и процессов в ЭЭС, то в рамках доминирующего в настоящее время сугубо численного подхода эта проблема оказывается неразрешимой. Принципиальной альтернативой является комплексный подход, позволяющий для каждого аспекта сложной проблемы разрабатывать и применять наиболее эффективные методы и средства, обеспечивающие в совокупности успешное решение проблемы в целом.
Теоретическое обоснование причин существования проблемы
Согласно теории методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений, применимость наиболее распространенных методов численного интегрирования, основанных на использовании в качестве аппроксимирующего выражения на шаге интегрирования усеченного ряда Тейлора (обычно в пределах 4-го порядка), ограничена следующими условиями [1-7]:
• решения дифференциальных уравнений должны быть разложимыми в ряд Тейлора в окрестности каждой точки дискретизации:
y (t )=±y^fî (' - )p+Г (' ),
p=0 P!
dpy
где yp (t ) =-t=t , r (t) - остаточный член ряда Тейлора при его усечении до члена сте-
\ п / ^^p I ln п \ /
пени p; t„ =t0 + nh,(n = 0,1,...) - точки дискретизации, t0 - точка начала интервала интегрирования; h - шаг интегрирования; p - степень согласованности;
• решения дифференциального уравнения должны быть ограничены, как минимум, условием нуль-устойчивости, в соответствии с которым корни ç его характеристического полинома
I=0
должны удовлетворять требованиям: для всех корней < 1, корни = 1 должны быть обязательно простыми, где а1 - коэффициенты характеристического полинома, к - порядок метода численного интегрирования;
• методы дискретизации для дифференциальных уравнений должны быть согласованными:
а = шах| у(¿и)-у)| ^ О(кр), при к ^ 0,
где й - локальная ошибка аппроксимации, - численное решение дифференциального
уравнения ~у = I(^,У) в точке , у(^)- действительное решение дифференциального
уравнения — = /(г,у) в точке ^ , О( НрР) - ошибка за счет отбрасывания членов ряда Тей-
лора при его усечении;
• решения дифференциального уравнения должны удовлетворять условию Липшица:
f ( t* Уп )-f ( t, y, )
< L
yn yj
где уп,у - любая пара значений из области решения дифференциального уравнения
йу йг
= /(г,у), а Ь - константа Липшица;
интервал решения разностного уравнения ограничен условием теоремы Далквиста:
|y (tn )-У (tn )|
<
G
1 - ■M
ak
1+
А
a
■ M
d+Д-
\a
k v
— + Kkp k
OkL
где в, М, К - постоянные, определяемые коэффициентами решаемого разностного уравнения, ак, Ьк - коэффициенты, определяемые аппроксимирующим многочленом конкретного метода
численного интегрирования, а = шах| ап\ - ошибка округления, определяемая разрядной сеткой используемого компьютера.
Применительно к решениям систем дифференциальных уравнений, достаточно полно и достоверно описывающих единый непрерывный спектр квазиустановившихся и переходных нормальных и анормальных процессов в оборудовании, в том числе в СД и АД и СЭС, ЭЭС в целом, их разложимость в ряд Тейлора практически недоказуема, а согласно исследованиям, даже многие элементарные функции не разлагаются в ряд Тейлора [7]. В соответствии с условием Липшица, удовлетворительное решение систем дифференциальных уравнений оказывается неопределенным, если их жесткость, определяемая отношением наибольшей постоянной времени Т к наименьшей Т- [8]:
S =
T .
mm
> 10.
Между тем жесткость адекватных математических моделей электрических машин, другого оборудования и СЭС, ЭЭС в целом превышает 103. Теоремой Далквиста часто неприемлемо ограничивается интервал воспроизведения процессов.
Для ориентировочной оценки обусловленности математической модели и ошибки численного решения обычно используются полуэмпирические формулы. Такая всесторонне исследованная и рекомендованная формула приведена в [9]:
п
£ = Х ^ (d + — ),
2=1
где X. - собственные значения матрицы Якоби решаемой системы дифференциальных уравнений, а eXhi является по существу коэффициентами чувствительности к пошаговым ошибкам решения, n - общее количество пошаговых вычислений, определяемое интервалом решения [с], величиной шага h. = At [с] и дифференциальным порядком решаемой системы уравнений N, которое при h0 = const (для упрощения оценки) n = -^ • N.
Если для примера задать почти идеальные условия численного решения математической модели средней ЭЭС: N = 5 •lO3, t^ =20 с, h. =10-5 = const - нереализуемый в современных ПВК шаг интегрирования, X. =0 - нежесткая система, d = 10-10 = const - беспрецедентная малая пошаговая ошибка, а. =0 - бесконечно большая разрядная сетка компьютера, то получим значение ошибки численного решения:
t 20 е = ia.• N• d «—0-• 5-103 •Ю-10 100%-100%.
h n 10-5
Указанные ограничительные условия определяют необходимость применения в ПВК: декомпозиции единого непрерывного спектра процессов на установившиеся и переходные, которые, в свою очередь, подразделяются на электромагнитные и электромеханические, однолинейные расчетные схемы вместо трехфазных, существенные упрощения при расчете переходных процессов математических моделей электрических машин и систем регулирования, особенно электросетевого оборудования в виде алгебраических уравнений, и СЭС, ЭЭС в целом, а также ограничение интервала воспроизведения процессов. Данные упрощения и ограничения в совокупности с неизвестной методической ошибкой являются строгим обоснованием причин неразрешимости рассматриваемой проблемы в рамках существующего методологически одностороннего сугубо численного подхода. Поэтому разработка необходимых для адекватного анализа устойчивости узлов двигательной нагрузки и условий ее обеспечения методов и средств достоверного всережимного моделирования процессов в СД, АД и СЭС, ЭЭС в целом является весьма актуальной.
Концепция адекватного анализа устойчивости узлов двигательной нагрузки и условий ее обеспечения
В соответствии с комплексным подходом и анализом всех аспектов решаемой проблемы разработана концепция достоверного всережимного моделирования в реальном времени и на неограниченном интервале непрерывного спектра нормальных и анормальных квазиустановив-шихся и переходных процессов в СД, АД и СЭС, ЭЭС в целом состоящая из следующих положений:
1. Для обеспечения адекватного анализа устойчивости узлов двигательной нагрузки и условий ее обеспечения синтезируются и применяются всережимные динамические бездекомпозиционные математические модели, достаточно полно и достоверно описывающие весь непрерывный спектр нормальных и анормальных квазиустановившихся и переходных процессов в СД и АД, системах автоматического регулирования (САР), приводимых механизмах (ПМ) и СЭС, ЭЭС в целом.
2. Обеспечение гарантированной точности решения системы дифференциальных уравнений синтезированных математических моделей осуществляется применением способа методически точного непрерывного неявного параллельного интегрирования в реальном времени и на неограниченном интервале дифференциальных уравнений.
3. Для адекватного воспроизведения коммутационных процессов, включая различные КЗ естественного объединения, математически моделируемого оборудования и неограниченного наращивания модели СЭС, ЭЭС, получаемые в результате решения, представленные напряжениями, непрерывные математические переменные входных-выходных токов моделируемого оборудования преобразуются в соответствующие им модельные физические токи и узлы моделируемых трехфазных схем СЭС, ЭЭС, формируются, а также все вышеобозначен-ные коммутации осуществляются на модельном физическом уровне.
4. Дистанционное интерактивное и автоматическое, в том числе функциональное, управление параметрами моделируемого оборудования, а также обеспечение современных эффективных информационно-управляющих свойств и возможностей и предоставление, преобразование информации осуществляется путем использования аналого-цифрового и цифро-аналогового преобразования (АЦП и ЦАП).
5. Указанный в п. 2 способ реализуется путем разработки и использования соответствующих параллельных цифро-аналоговых структур, образующих специализированные гибридные сопроцессоры (ГС) математически моделируемого оборудования, которые в совокупности с реализацией положения п. 3, выполняемого преобразователями напряжение-ток (ПНТ), повторителями напряжения (ПН), цифро-управляемыми продольно-поперечными коммутаторами (ППК) с учетом соответствующих переходных сопротивлений ЯПА, Япв, Япс, Япз, и п. 4, осуществляемого посредством процессора АЦП, функционально-ориентированных периферийных процессоров Ь центрального процессора (ЦП), составляющих микропроцессорный узел (МПУ), образуют универсальные для каждого вида моделируемого оборудования специализированные процессоры (СП).
6. Для реализации системных информационно-управляющих возможностей и взаимодействия с внешними программными средствами разрабатывается и применяется необходимая информационно-управляющая система, состоящая из МПУ СП, Сервера и соответствующего программного обеспечения, объединенных локальной компьютерной сетью (ЛКС).
7. Обеспечение высоких современных информационно-управляющих и метрологических свойств и возможностей достигается применением новейших достижений интегральной микроэлектроники, микропроцессорной техники и 1Т-технологий.
Принципы построения средств реализации концепции адекватного анализа устойчивости узлов двигательной нагрузки и условий ее обеспечения
Разработанные в соответствии с рассмотренной концепцией средства ее реализации для СП электрических машин, другого оборудования и СЭС, ЭЭС в целом, образуют Всережим-ный моделирующий комплекс реального времени электроэнергетических систем (ВМК РВ ЭЭС) [10-12], обеспечивающий достаточно полное и достоверное воспроизведение непрерывного спектра нормальных и анормальных квазиустановившихся и переходных процессов в электрических машинах, другом оборудовании и СЭС, ЭЭС в целом. Основным источником информации при решении проблемы адекватного анализа устойчивости узлов двигательной нагрузки и условий ее обеспечения служат универсальные СП электрических машин, адаптируемые для моделирования различных типов синхронных и асинхронных электрических машин с учетом ПМ, средств регулирования и защиты. Обозначенная структура СП электрической машины представлена на рисунке, где КТУ - коммутатор трехфазных узлов естественного модельного физического объединения всех СП СЭС, ЭЭС5.
5Боровиков Ю.С. Мультипроцессорная моделирующая система реального времени электроэнергетических систем с активно-адаптивными сетями: дис. ... док-ра техн. наук: 05.14.02 / Ю.С. Боровиков; Новосибирская государственная академия водного транспорта. Томск: 2014. 273 с. / Borovikov Yu.S. Multiprocessor real time modeling system of electropower systems with active-adaptive networks: Doctoral Dissertation in technical sciences: 05.14.02 / Yu.S. Bo-rovikov; Novosibirsk State Academy of Water Transport. Tomsk: 2014. 273 p._
Воспроизводимая в СП базовая математическая модель собственно электрических машин, ввиду широкой распространенности в виде системы уравнений в координатах [13], и ее взаимодействие с другим моделируемым оборудованием в трехфазной системе А,В,С, осуществляется путем взаимного преобразования переменных систем ^ А,В,С.
ЛКС ВМК РВ ЭЭС
ЦП
АЦП МПУ
ГС
Uc
Ub
Ua
СП
1a
1b
1c
T □ Rn{ M
ППК
Япз
КТУ ВМК РВ ЭЭС
Структурная схема специализированного процессора моделирования
электрической машины Structural diagram of a specialized processor for modeling an electrical machine
Данная математическая модель СД и АД СП электрических машин содержит следующую систему уравнений:
• уравнение движения ротора:
Tj + Км ° = -Мжх + (¥d'iq -¥q'id ),
где T - постоянная инерции ротора, о - частота вращения ротора, Км - многофункциональный коэффициент учета потерь на трение в подшипниках вала ротора и деформаций на его скручивание, Мжет - для двигателей момент сопротивления приводимого механизма
Ммех=Мст + Мю о", в котором Мст=тст • Кз • cospn - частотно-независимая составляющая
(1 -М )• К • cosm
М , М„ = --——2-— - частотно-зависимая часть М и т - статический мо-
мех ' о n мех ст
с
мент, К3 - коэффициент загрузки, cosm нагрузки, он - номинальная частота вращения, n - показатель степени определяется спецификой конкретных приводимых механизмов, y/d и id,iq - потокосцепления и токи статора;
уравнения напряжения статора
dVd
Л =-ЮУч - ra2d - Ud , dt
d¥i ^
-1 = +®Vd - Га2д - Uq ,
dt
где dw<L,(dwL и cow ,anyd - соответствующие трансформаторная электродвижущая сила
dt dt
(ЭДС) и ЭДС вращения, га - активное сопротивление статорной обмотки, ud,uq - напряжения
статора;
• уравнение контура возбуждения:
йЩ/
— ^ Гг ,
йг
где щ/ и Гу - потокосцепление и активное сопротивление обмотки возбуждения, иг и ^ - напряжение и ток возбуждения;
• уравнения демпферных контуров:
+ r ■ 2 = 0^ + r ■ i = 0 dt rD1 D dt rQ1 iQ1 0,
d^D2 , „ „• _ r\ d^Q2
+ r . i = о Q2 + r ■ i = О
^ ^ ' D2 D2 0, ^ ^ Q2 Q2 0 >
d^D3 , • A d^Q3 , • n
— DB + r ■ i = 0 ----h r ■ i = 0
^ ^ rD3 .dB 0' ^ ^ rQ3 2Q3 0 >
dWQA dt
+ rQ 4 ■ 2Q 4 0
где Щт'Щ<21 'Щв2'Щ<22'Щвз'Щ<зз'Щ<<4 , ГП1 'Г<21 >ГЭ2>г<22'Гвз'Г<4 и гт'г2>1'Э2'г<2'гвз'г23'г24 потокос-
цепления, активные сопротивления и токи соответствующих демпферных контуров;
• уравнение внутренних ЭДС в воздушном зазоре
= х,(к + и + ¡П)'Е. = х (г + ¡п) ,
га аа\ ] а т щ ад д < / '
где х ,х - сопротивления взаимоиндукции в соответствующих осях между контурами ротора и статора;
• уравнение для токов статорных, роторных и демпферных контуров
= — (Ща - Е,а)'гд = —(Щч -Ед) ,
X д X д д
V = — (¥1 -Еи)Лв =— (-Ец),
Ха/ ХаО
где хст,хст/,хстЛ,хсте - реактивные сопротивления рассеяния контуров статора, возбуждения и
соответствующих демпферных контуров;
• уравнения координатных преобразований й,; ^ А,В,С.
(/О = иАт • 0) = ^ • ит • С08С0 + • ит ' 8 0 .
2 2 2
(В( О = иВт • 8(п(0 -~л) = ^ •ит • С05(01 -~л) + -ит ■ -~К) ,
4 4 4
¿С(0 г ист ■ йт(°--к) = ^ ит ■ 008(0 --к) + г; и • 8гП(0-~л) -
2
? 3
ил(t)Um ■ cos(ot) + uB(t)Um ■ cos(cot —л) + uc(t)Um ■ cos(cot —л)
uA(t)•Um • sm(cot) + uB(t)-Um • s/ß(ot — л) + uc(t)-Um • sm(ot — л)
где 1А(г),1в(г),1с(г), иА(г),ив(г),ис(г) - мгновенные значения токов и напряжений,
2 4 2 4 и -со8(а1),и -008(0--л),и -С08(0--л) и и -8т(а1),и -8т(0--л),и -8т(0--л) -
т \ /' т \ 3 т т ^/'т \ 3
ортогональные трехфазные базисы координатных преобразований.
Выходящие за рамки данной статьи результаты экспериментальных исследований, подтверждающие успешное решение проблемы адекватного анализа устойчивости узлов двигательной нагрузки и условий ее обеспечения с помощью рассмотренных средств, а также методика выполнения этого анализа является темой дальнейших публикаций.
Выводы
1. Необходимые для адекватного анализа устойчивости узлов двигательной нагрузки и условий ее обеспечения всережимные динамические бездекомпозиционные математические модели, достаточно полно и достоверно описывающие весь непрерывный спектр нормальных и анормальных квазиустановившихся и переходных процессов в СД и АД, САР, ПМ и СЭС, ЭЭС в целом, и обеспечивающие гарантированную точность средства их решения, нереализуемы в рамках доминирующего в настоящее время одностороннего сугубо численного подхода и используемые для его реализации ПВК в силу рассмотренных и теоретически обоснованных причин, обусловленных ограничительными условиями применимости методов численного интегрирования, не обеспечивают достоверность воспроизведения процессов.
2. Предложенная концепция и разработанные для ее реализации средства, основанные на анализе всех аспектов решаемой проблемы, обеспечивают строго обоснованное успешное
ud =-
решение проблемы адекватного анализа устойчивости узлов двигательной нагрузки и условий ее обеспечения.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках проекта № 14.Y30.18.2379-MK.
The reported study was funded by Ministry of Education and Science of Russian Federation, according to the research project No. 14. Y30.18.2379-MK.
Библиографический список
1. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. 312 с.
2. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. 368 с.
3. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Высш. шк., 2001. 382 с.
4. Buckingham R.A. Numerical Methods. London: Sir Isaak Pitman & Sons, 1957.
5. Hildebrand F.B. Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw - Hill book Company, 1956.
6. Hartree D.R. Numerical Analysis. London: Oxford University Press, 1958.
7. Хеминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1968. 400 с.
8. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208с.
9. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: Высш. шк., 1985. 536 с.
10. Андреев М.В., Боровиков Ю.С., Гусев А.С., Сулайманов А.О., Суворов А.А., Рубан Н.Ю., Уфа Р.А. Концепция и базовая структура всережимного моделирующего комплекса // Газовая промышленность: научно -технический и производственный журнал. 2017. № 5 (752). С. 18-27.
11. Андреев М.В., Боровиков Ю.С., Гусев А.С., Сулайманов А.О., Суворов А.А., Рубан Н.Ю., Уфа Р.А. Практическое применение всережимного моделирующего комплекса электроэнергетических систем // Газовая промышленность: научно-технический и производственный журнал. 2017. № 6 (753). С. 94-104.
12. Ruban, N.Y., Gusev A.S., Sulaymanova V.A. Real-time comprehensive simulation of electric power systems for the task of overvoltages value determination. IOP Conference series: Materials Science and Engineering, (Tomsk, 5 October 2015). Tomsk, Russia, 2015, 93 (1).
13. Kundur P. Power system stability and control. New York: McGraw - Hill, 1994.
References
1. Hall G., Watt JM. Sovremenue chislenue metodi resheniya obiknovenih differencialnih yravnenui [Modern Numerical Methods for Solving Ordinary Differential Equations]. Moscow: Mir Publ., 1979, 312 pp. (In Russian).
2. Babushka I., Vitasek E., Prager M. Chislenue procesi resheniya differencialnih yravnenui [Numerical processes in solving differential equations]. Moscow: Mir Publ., 1969, 368 pp. (In Russian).
3. Verjbitskui V. Chislenue metodi (matamaticheskui analiz I obiknovenue differencialnue yravneniya) [Numerical methods (mathematical analysis and ordinary differential equations)]. Moscow: Higher school Publ., 2001, 382 pp. (In Russian).
4. Buckingham R.A. Numerical Methods. London: Sir Isaak Pitman & Sons, 1957.
5. Hildebrand F.B. Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw - Hill book Company, 1956.
6. Hartree D.R. Numerical Analysis. London: Oxford University Press, 1958.
7. Hamming R. Chislennye metodi [Numerical methods for scientists and engineers]. Moscow: Nauka Publ., 1968, 400 p. (In Russian).
8. Rakitsky, Yu.V., Ustinov, S.M., Chernorutsky, I.G. Chislennye metody resheniya zhestkikh sistem [Numerical methods of solving rigid systems]. Moscow: Nauka Publ., 1979. 208 p. (In Russian).
9. Venikov V.A. Perekhodnye elektromekhanicheskie protsessy v electricheskikh sistemakh [Electromechanical transients in electrical systems]. Moscow, High school Publ., 1985, 536 p. (In Russian).
10. Andreyev M.V., Borovikov Yu.S., Gusev A.S., Sulaymanov A.O., Suvorov, A.A., Ruban, N.Y., Ufa R.A. Concept and basic structure of the hybrid real-time simulator. Gazovaya promyshlennost': nauchno-tekhnicheskiy zhurnal [Gas Industry magazine], 2017, no. 5 (752), pp. 18-27. (in Russian)
11. Andreyev M.V., Borovikov Yu.S., Gusev A.S., Sulaymanov A.O., Suvorov A.A., Ruban N.Y., Ufa R.A. Practical application of the hybrid real-time power system simulator. Gazovaya promyshlennost': nauchno-tekhnicheskiy zhurnal [Gas Industry magazine], 2017, no. 6 (753), pp. 94-104. (in Russian)
12. Ruban, N.Y., Gusev A.S., Sulaymanova V.A. Real-time comprehensive simulation of electric power systems for the task of overvoltages value determination. IOP Conference series: Materials Science and Engineering, (Tomsk, 5 October 2015). Tomsk, Russia, 2015, 93 (1).
13. Kundur P. Power system stability and control. New York: McGraw - Hill, 1994.
Критерии авторства
Сулайманова В.А., Гусев А.С., Киевец А.В., Андреев М.В. имеют на статью равные авторские права. Сулайманова В.А. несет ответственность за плагиат.
Authorship criteria
Sulaymanova V.A., Gusev A.S., Kievets A.V., Andreev M.V. have equal author's rights. Sulaymanova V.A. bears the responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии интересов.
Conflict of interests
конфликта The authors declare that there is no conflict of interests
regarding the publication of this article.
