Пробелы прогнозирования некоторых макроэкономических показателей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНСТИТУТ экономики ПЕРЕХОДНОГО ПЕРИОДА

Научные труды № 46Р

ПРОБЛЕМЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Москва 2002

Институт экономики переходного периода

В работе проведен сравнительный анализ качества различных методов прогнозирования временных рядов в применении к рядам, отражающим динамику развития основных макроэкономических показателей, характеризующих состояние экономики России. В применяемых в работе подходах выделены две составляющие - традиционное эконометрическое моделирование и моделирование с использованием структур случайных векторов.

Авторский коллектив: Р.М. Энтов, В.П. Носко, АД. Юдин,

П.А. Кадочников, С.С. Пономаренко

Редактор: Н. Главацкая Корректор: С. Хорошкина Компьютерный дизайн: В. Юдичев

Настоящее издание подготовлено по материалам исследовательского проекта Института экономики переходного периода, выполненного в рамках гранта, предоставленного Агентством международного развития США.

ISBN 5-93255-093-7

Лицензия на издательскую деятельность Серия ИД № 02079 от 19 июня 2000 г.

125993, Москва, Газетный пер., 5. Тел. (095) 229-6413, FAX (095) 203-8816 E-MAIL - root @iet.ru, WEB Site - http://www.iet.ru © Институт экономики переходного периода 2002

Содержание

Предисловие.........................................7

Часть I. Прогнозирование временных рядов традиционными эконометрическими

методами и их модификациями........................9

Глава 1. Постановка проблемы

и инструментарий исследования.......................9

1.1.0бщие соображения.............................9

1.2. Постановка задачи.............................12

1.3. Результаты некоторых предыдущих исследований ....................................15

1.3.1. Сравнение линейных и нелинейных

моделей. Комбинирование прогнозов..............15

1.3.2. Сравнение одномерных и многомерных неадаптивных и адаптивных моделей..............20

1.3.3. Сравнение Т8- и Б8-моделей................22

1.3.4. Моделирование и оценка стабильности соотношений между макроэкономическими показателями..............29

Глава 2. Исследование сравнительного качества прогнозов некоторых макроэкономических рядов РФ, получаемых по фиксированным и рекурсивным Т8- и Б8-моделям...................................35

2.1. Денежные ряды ...............................35

2.1.1. М0......................................35

2.1.2. М1......................................44

2.1.3. М2......................................54

2.2. Экспорт......................................63

2.3. Налоговые доходы федерального бюджета.........67

2.4. Безработица ..................................77

2.5. Индекс интенсивности промышленного производства .....................................80

2.6. Индекс интенсивности производства

цветных металлов .................................84

2.7. Предпочтительность модели на временном интервале оценивания и качество прогнозов ...........93

2.8. Сравнение прогнозов, полученных по выбранным моделям,

с «наивными» прогнозами..........................96

Глава 3. Влияние на сравнительное качество последовательностей прогнозов длины интервала, на котором это сравнение производится..............103

3.1. Денежные ряды ..............................103

3.1.1. М0.....................................103

3.1.2. М1.....................................108

3.1.3. М2.....................................115

3.2. Экспорт.....................................119

3.3. Налоговые доходы федерального бюджета........121

Общий вывод....................................126

Глава 4. Источники ошибок прогнозов и некоторые методы их коррекции...............................127

4.1. Источники ошибок прогнозов ..................127

4.2. Календарный эффект..........................130

4.3. Коррекция прогнозов методами «Ьаск-оп-^аск»

и «back-on-average»...............................131

4.3.1. М0.....................................131

4.3.2. М1 .....................................136

4.3.3. М2 .....................................145

4.3.4. Налоговые доходы федерального

бюджета .....................................148

4.3.5. Экспорт.................................153

4.3.6. Индекс интенсивности производства

цветных металлов .............................157

4.3.7. Индекс интенсивности промышленного производства .................................164

4.3.8. Безработица.............................168

Глава 5. Моделирование и прогноз налоговых поступлений в консолидированный

и федеральный бюджеты РФ........................171

5.1. Поступления подоходного налога ...............172

5.2. Поступления налога на прибыль................176

5.3. Поступления налога на прибыль

(в федеральный бюджет РФ).......................179

5.4. Поступления налога на добавленную

стоимость.......................................182

5.5. Суммарные налоговые поступления.............186

5.6. Суммарные налоговые поступления

(в федеральный бюджет РФ).......................189

5.7. Сравнение результатов многошаговых прогнозов эконометрических моделей

и модели оценки поступлений

(Revenue Estimating Model) ........................192

5.7.1. Поступления подоходного налога...........193

5.7.2. Поступления налога на прибыль............194

5.7.3. Поступления налога на прибыль

(в федеральный бюджет РФ) ....................195

5.7.4. Поступления налога на добавленную стоимость....................................196

5.7.5. Суммарные налоговые поступления.........197

5.7.6 Суммарные налоговые поступления

(в федеральный бюджет РФ) ....................198

5.8. Основные результаты и выводы.................199

ЧАСТЬ II. Структуры случайных векторов...........201

Глава 6. Прогнозирование с использованием

структур случайных векторов.......................201

6.1. Предварительные замечания....................201

6.1.1. Непосредственные связи между

элементами статистической системы.............201

6.1.2. Структуры случайных векторов ............203

6.1.3. Существенная размерность

и информативные структуры....................205

6.1.4. Прогнозирование с использованием

структур случайных векторов ...................207

6.2. Постановка проблемы и алгоритмы .............208

6.2.1. Постановка проблемы.....................208

6.2.2. Алгоритмы моделирования

и прогнозирования ............................213

6.3. Результаты расчетов...........................221

6.3.1. Инфляция...............................221

6.3.2. Денежные агрегаты.......................227

6.3.3. Динамика внешнеторговых характеристик . . .245

6.3.4. Безработица.............................257

6.3.5. Доходы федерального бюджета.............263

6.3.6. Валовой внутренний продукт ..............276

Заключение. Некоторые выводы

из полученных результатов .........................287

Приложения.......................................303

Приложение 1. Макросы.........................304

П1.1. Построение трехмерных информаций .......304

П1.2. Построение прогнозов ....................310

Приложение 2. Исходные данные .................312

П2.1. Инфляция...............................312

П2.2. Денежные агрегаты (М0, М1, М2) ..........312

П2.3. Экспорт и импорт ........................314

П2.4. Безработица.............................315

П2.5. Доходы федерального бюджета.............316

П2.6. Валовой внутренний продукт ..............318

П2.7. Индекс интенсивности промышленного

производства .................................318

П2.8. Индекс интенсивности производства

цветных металлов (SA).........................319

П2.9. Индекс интенсивности производства

цветных металлов (NSA) .......................320

Литература........................................321

Предисловие

Настоящая работа посвящена анализу временных рядов некоторых макроэкономических показателей, характеризующих экономическую ситуацию в Российской Федерации.

Разнообразные содержательные задачи экономического анализа требуют использования статистических данных, характеризующих исследуемые экономические процессы и развернутых во времени в форме временных рядов. При этом нередко одни и те же временные ряды используются для решения разных содержательных проблем. Одной из важных задач макроэкономической политики, включая исследование динамики фундаментальных переменных, является построение моделей, позволяющих осуществлять прогнозирование макроэкономических показателей на будущие периоды.

Целью настоящего исследования является сравнительный анализ качества различных методов прогнозирования временных рядов в применении к рядам, отражающим динамику развития основных макроэкономических показателей, характеризующих состояние экономики России. В используемых в работе подходах можно выделить две составляющие - традиционное эко-нометрическое моделирование и моделирование с использованием структур случайных векторов. Для того чтобы разграничить эти подходы и получаемые результаты, работа разделена на две части.

Первая часть состоит из 5 глав и посвящена сравнительному исследованию качества традиционных эконометрических методов прогнозирования временных рядов и некоторых их модификаций.

В первой главе излагается общая постановка проблемы и инструментарий исследования, применяемый в первой части работы.

Вторая глава посвящена предварительному исследованию сравнительного качества последовательности одношаговых прогнозов для некоторых рядов макроэкономических показателей РФ.

В третьей главе исследуется устойчивость выводов сравнительного анализа качества прогнозов по альтернативным моделям при расширении интервала, на котором производится сравнение качества прогнозов.

В четвертой главе обсуждаются источники ошибок прогнозов и некоторые методы их коррекции. Анализируются последствия коррекции прогнозов в применении к некоторым из рассматриваемых макроэкономических рядов.

В пятой главе в качестве примера практического применения моделей

7

прогнозирования производится сравнение различных моделей для прогноза поступлений отдельных налогов и суммарных налоговых поступлений в консолидированный и федеральный бюджеты РФ.

Во второй части исследования рассматривается альтернативный подход к построению прогнозов временных рядов, основанный на использовании структур случайных векторов. Этот подход, в отличие от традиционного эконометрического подхода, используемого в первой части, не предполагает каких-либо гипотез о функциональном виде случайной составляющей временного ряда. Данная часть работы состоит из основных определений, постановки задачи, описания алгоритмов построения прогнозов, а также включает результаты расчетов.

В заключении к работе приводятся краткое описание полученных результатов исследования, сравнение различных методов прогнозирования и основные выводы.

В приложениях приведены макросы (программы) построения моделей и прогнозов на основе структур случайных векторов, а также исходные данные для расчетов.

8

Часть I. Прогнозирование временных рядов традиционными эконометрическими методами и их модификациями

Глава 1. Постановка проблемы и инструментарий исследования

1.1. Общие соображения

Проблема точности макроэкономических прогнозов всегда привлекала и привлекает к себе большое внимание. При этом возникает целый ряд вопросов, на которые совсем не просто ответить. После получения данных о том, что же в действительности произошло за период действия прогноза, заявленного ранее, естественно возникает желание (1) измерить ошибки прогнозов, (2) объяснить их и (3) научиться уменьшать эти ошибки в будущем.

Макроэкономическое прогнозирование является важным инструментом для проведения и мониторинга экономической политики. Достаточно точная оценка экономического роста, инфляции, безработицы, доходов бюджета и других макроэкономических показателей в будущие периоды позволяет своевременно принимать те или иные меры, осуществлять более эффективное регулирование экономики. Построение относительно точных прогнозов может быть периодическим или случайным, при этом прогресс в прогнозировании предполагает наличие некоторых не меняющихся зависимостей, которые можно надлежащим образом идентифицировать и использовать.

Экономические прогнозы обычно охватывают короткие периоды времени. Длинные последовательности точных прогнозов можно встретить чрезвычайно редко. Более того, мало кто из прогнозистов оставляет свои модели и методы неизменными в течение долгого периода времени, поскольку они ищут улучшения и пытаются адаптировать прогнозы к новым тенденциям в экономике. Поэтому данные о предшествующих результатах конкретного прогнозиста часто являются весьма ненадежной базой для выводов о том, как он будет действовать в будущем.

9

Еще более рискованно пытаться ранжировать прогнозистов по тому, сколь хорошо они предсказали изменение в частном коротком периоде, скажем, за год или за несколько лет. В каждом таком случае некоторые прогнозисты окажутся лучше других просто в силу случая или других причин. Говорить о таком превосходстве можно только при устойчивой разнице в результатах прогнозов во времени.

Сравнение многопериодных прогнозов с точки зрения статистических выводов осложняется коррелированностью таких прогнозов, а значит и их ошибок, по крайней мере, в двух отношениях: (а) внутри каждой последовательности прогнозов с заданным базовым периодом, (б) между следующими друг за другом последовательностями многопериодных прогнозов, которые частично относятся к одному и тому же периоду прогнозирования. Каждый многопериодный прогноз зависит от предыдущих прогнозов, являясь до некоторой степени их ревизией. Получающаяся в итоге сложная корреляционная структура препятствует сравнительному оцениванию качества прогнозов, затрудняя интерпретацию полученных мер точности прогнозов (среднее, смещение и т.п.).

Успешность прогнозирования в весьма высокой степени зависит от стабильности общей экономической ситуации. В этой связи можно отметить очень большие ошибки документированных прогнозов ВНП в США, сделанных непосредственно после Второй мировой войны. Так (см. [2агпо'ш17 (1978)]), одна весьма уважаемая группа частных прогнозистов прогнозировала на 1947 г. 6%-ное убывание ВНП, в то время как в действительности имел место рост ВНП примерно на 11%. Та же группа затем предсказала на 1948 г. незначительное уменьшение ВНП, хотя в действительности он опять показал столь же бурный рост. И такое положение было общим в те годы: прогнозы опирались на данные и соотношения, имевшиеся в 30-е гг., и ложные аналогии с периодом, непосредственно следовавшим за Первой мировой войной. Напротив, начиная с 1953 г., прогнозы ВНП становятся более точными. Следует также отметить, что в большинстве случаев завышенные прогнозы соответствовали годам экономического спада, а заниженные прогнозы - годам, когда ВНП существенно возрастал. К сожалению, «обучение на прошлых ошибках» дает здесь не очень много, т.к. ошибки прогнозов на коротком временном интервале либо имеют малую автокоррелированность, либо вовсе не коррелированы (при прогнозах на один шаг вперед).

Средняя точность прогнозов обычно убывает с увеличением горизонта прогнозирования. Так, ВНП прогнозируется на один квартал вперед лучше, чем на два квартала, на два квартала вперед лучше, чем на три квартала, и

10

т.д., но эта разница постепенно сглаживается с удалением в будущее. В определенном смысле можно говорить о правиле «длиннее прогнозы - больше ошибки». Каждая из потенциальных составляющих прогноза - экстраполяция временных рядов и связей между ними, внешняя информация, а также мнения экспертов - подвержена ухудшению при удлинении горизонта прогнозирования.

Весьма большие ошибки прогнозов характерны для поворотных точек экономических циклов. Можно сказать, что наличие небольшого количества ошибок этого типа является необходимой платой за то, чтобы избежать большого числа существенных ошибок в промежутках между поворотными точками путем применения процедур оптимального оценивания, таких, как метод наименьших квадратов. Разумеется, было бы желательным каким-то образом предугадывать поворотные точки, чтобы уменьшить ошибки прогнозов.

Качество прогнозов зависит и от того, рассматриваются ли прогнозы для номинальных величин или прогнозы для реальных величин. Так, в том же исследовании [Zarnowitz (1978)] указывалось на существенно лучшее качество прогнозов для номинального, а не реального ВНП, что объяснялось значительно большей вариабельностью темпов роста ВНП в долларах в постоянных ценах.

Методы автопрогноза, основанные на анализе временных рядов, экстраполируют имеющийся в наличии ряд только на основании информации, содержащейся в нем самом. Такого рода прогноз может оказаться эффективным лишь в кратко- и, максимум, в среднесрочной перспективе. Серьезный подход к решению задач долгосрочного прогнозирования требует использования комплексных подходов, и в первую очередь привлечения различных (в том числе статистических) технологий сбора и анализа экспертных оценок. Как бы то ни было, как отмечалось в работе [Klein (1984)], среди прочих субъектов науки экономика отличается высоким отношением «шум/сигнал», и это ее внутреннее свойство, так что «следует учиться жить в такой ситуации, делая по возможности все, чтобы улучшать точечные прогнозы и указывать границы возможных ошибок».

Точность прогнозов зависит как от объективных условий, таких как природа прогнозируемой переменной и длина горизонта прогнозирования, так и от атрибутов самого прогнозиста, таких как теория (идеология), которой он следует (кейнсианский или монетаристский подход и т.п.), и методика, посредством которой эта теория используется для построения количественного прогноза. (Исследование совместного влияния последних факторов проводилось в работе [Batchelor, Dua (1990)].)

11

Исследования, проведенные еще в работах [McNees (1979)] и [McNees, Ries (1983)] на базе основных макроэкономических рядов США, ясно показали, что (a) точность прогноза оказывается наилучшей для медленно меняющихся переменных и является наихудшей для быстро меняющихся переменных (цены активов); (б) точность краткосрочных прогнозов выше, чем точность долгосрочных прогнозов.

Эффективный подход к решению задач кратко- и среднесрочного автопрогноза это прогнозирование, основанное на использовании «подогнанных» (идентифицированных) моделей типа ARIMA( p, к, q), включая, в качестве частных случаев, и модели AR-, MA- и ARMA. (См., например, работы [Айвазян, Мхитарян (1998)] и Приложение П2 в работе [Эконометричес-кий анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей (2001)].

Хотя публикуемые прогнозы достаточно часто превосходят по качеству прогнозы, сделанные по одномерным моделям ARIMA, последние дают хорошие стандарты, на которые следует ориентироваться при построении прогноза, учитывающего и дополнительную информацию.

В решении прикладных задач кратко- и среднесрочного автопрогноза весьма широко распространены так называемые адаптивные методы, позволяющие по мере поступления новых данных обновлять ранее сделанные прогнозы с минимальной задержкой и с помощью относительно несложных математических процедур.

1.2. Постановка задачи

При анализе временных рядов основное внимание уделяется описанию или моделированию их структуры. Построенная модель часто используется для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких альтернативных моделей.

В работе [Эконометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей (2001)] детально рассматривался вопрос об отнесении конкретных макроэкономических рядов к классу рядов, стационарных относительно детерминированного тренда (или просто стационарных) - TS (trend stationary) ряды, или к классу рядов, имеющих стохастический тренд (возможно, наряду с детерминированным трендом) и приводящихся к стационарному (или стационарному относительно детерминиро-

12

ванного тренда) ряду только путем однократного или k-кратного1 дифференцирования ряда - DS (difference stationary) ряды.

Принципиальное различие между этими двумя классами рядов выфа-жается в том, что в случае TS-ряда выгаитание из ряда соответствующего детерминированного тренда приводит к стационарному ряду, тогда как в случае DS-ряда выгаитание детерминированной составляющей ряда оставляет ряд нестационарным из-за наличия у него стохастического тренда.

Траектории TS- и DS-рядов отличаются друг от друга кардинальным образом. TS-ряды имеют линию тренда в качестве некоторой «центральной линии», которой следует траектория ряда, находясь то выше, то ниже этой линии, с достаточно частой сменой положений выше-ниже. DS-ряды помимо детерминированного тренда (если таковой имеется) имеют еще и так называемый стохастический тренд, из-за присутствия которого траектория DS-ряда весьма долго пребывает по одну сторону от линии детерминированного тренда (выше или ниже соответствующей прямой), удаляясь от нее на значительные расстояния, так что по существу в этом случае линия детерминированного тренда перестает играть роль «центральной» линии, вокруг которой колеблется траектория процесса.

В TS-рядах влияние предыщущих шоковых воздействий затухает с течением времени, а в DS-рядах такое затухание отсутствует и каждый отдельный шок влияет с одинаковой силой на все последующие значения ряда. Поэтому наличие стохастического тренда может потребовать проведения определенной экономической политики для возвращения макроэкономической переменной к ее долговременной перспективе, тогда как при отсутствии стохастического тренда возвращение к долгосрочному значению осуществляется благодаря внутренним свойствам макроэкономических процессов и самой переменной, - в этом случае макроэкономическая переменная «скользит» вдоль линии тренда как направляющей, пересекая ее достаточно часто и не уклоняясь от этой линии сколько-нибудь далеко.

DS- и TS-модели одних и тех же временных рядов могут приводить к совершенно различным прогнозам (см., например, [Diebold и Senhadji (1996)]). Поэтому решение о том, какую из этих моделей использовать, чрезвычайно важно для прикладных прогнозистов. Вместо того чтобы употреблять одну из этих моделей по умолчанию, можно использовать критерий единичного корня как диагностический инструмент для выбора решения. Фактически, одной из ранних мотиваций построения критериев единично-

1 Мы не затрагиваем здесь вопрос о возможной дробной интегрированности рядов.

13

го корня было именно оказание помощи в определении того, использовать ли прогностические модели в разностях или в уровнях в конкретных приложениях (см., например, [Dickey, Bell, Miller (1986)]).

Значительная часть публикаций, касающихся проблемы единичного корня, была сфокусирована на неспособности критериев единичного корня отличать при конечных выборках нулевую гипотезу о наличии единичного корня от близких стационарных альтернатив (см., например, [Christiano, Eichenbaum (1990)], [Rudebusch (1993)]). Однако низкая мощность не обязательно является проблемой для прогнозирования. Например, долгое время утверждалось, что если корень процесса близок к единице, но все же меньше единицы, то точность прогнозов можно улучшить, используя модель в разностях, а не в уровнях [Box, Jenkins (1976)]. В конечном счете, интерес для прогнозирования представляет скорее не вопрос о том, выбирают ли критерии единичного корня «истинную» модель, а вопрос о том, выбирают ли эти критерии модели, которые дают более качественные прогнозы.

Сравнительные достоинства таких стратегий, как «всегда дифференцировать», «никогда не дифференцировать» или «иногда дифференцировать, следуя результатам предварительного теста на единичный корень», в общем случае зависят от степени инерционности (последействия, «persistence») истинного процесса, горизонта прогнозирования, размера выборки и свойств теста. Одной из основных целей работы является исследование того, до какой степени выбор TS- или DS-модели влияет на качество прогноза некоторых российских макроэкономических рядов.

Ошибки прогнозов возникают вследствие целого ряда факторов. Как показывают исследования, приведенные в работах [Clements, Hendry (1998b)] и [Clements, Hendry (2000)], наиболее драматическое ухудшение качества прогнозов наблюдается при изменении параметров процесса порождения данных, особенно при изменении детерминированных составляющих этого процесса. В связи с этим еще одной целью работы является исследование возможностей некоторых методов коррекции прогнозов, направленных на улучшение качества прогнозов в условиях нестабильности процесса порождения данных.

14

1.3. Результаты некоторых предыдущих исследований

1.3.1. Сравнение линейных и нелинейных моделей. Комбинирование прогнозов

В статье [Stock, Watson (1996)] обсуждались пять вопросов, относящихся к прогнозированию макроэкономических рядов.

1. Могут ли нелинейные модели временных рядов давать в реальном времени прогнозы, лучшие по сравнению с линейными моделями?

2. Можно ли улучшить прогнозы на полгода или год вперед, используя предварительные данные об инерционности временных рядов для выбора модели прогнозирования?

3. Могут ли комбинации прогнозов превосходить по точности прогнозы, основанные на каком-то одном методе, для целого спектра временных рядов, и если да, то в каком отношении эти комбинации должны взвешивать наилучшие на данный момент методы прогнозирования?

4. Есть ли выгода от использования этих сложных методов по сравнению с простыми авторегрессионными прогнозами, достаточная для того, чтобы оправдать их использование даже прогнозистом, не склонным к риску?

Для ответа на эти вопросы в работе проводится соответствующий эксперимент. В этом эксперименте производится сравнение различных прогнозов на одномесячном, шестимесячном и двенадцатимесячном горизонтах для 215 экономических временных рядов США. Эксперимент симулирует применение этих методов в реальном времени, т.е. все прогнозы (включая оценки всех параметров, все правила выбора модели, все предварительные тесты и т.п.) базируются исключительно на наблюдениях до даты построения прогноза, включая эту дату. Оценки параметров, статистики для выбора модели, предварительные тесты и веса в комбинации прогнозов обновляются для всех моделей ежемесячно, и эти обновленные статистики используются для построения прогнозов на будущие месяцы.

Рассматриваются прогнозы, получаемые 49 методами прогнозирования. Они называются именно методами, а не моделями, поскольку многие из этих прогнозов базируются не на единственной оцененной модели, а на результатах выбора одной из нескольких моделей в результате предвари-

15

тельного тестирования или применения критериев выбора модели. Индивидуальные модели, используемые этими методами прогнозирования, называются здесь примитивными (первичными) моделями, и таких моделей всего 121. Например, одним из методов прогнозирования является авторегрессия в уровнях с постоянной составляющей и выбором максимального порядка запаздывания (порядка модели авторегрессии) на основе информационного критерия Акаике (AIC), с порядком, изменяющимся от 0 до 12; в терминологии настоящей работы этот метод прогнозирования комбинирует информацию от 13 примитивных моделей. Примитивные модели подразделяются на четыре класса: авторегрессии (AR), экспоненциальное сглаживание (EX), искусственные нейронные сети (ANN) и логистические гладкие переходные авторегрессии (LSTAR). В качестве дополнительной «опорной метки» рассматривается также прогноз «отсутствие изменений».

Обсуждаются также различные процедуры комбинирования информации от этих 49 методов прогнозирования (процедуры объединения прогнозов). В работах [Bates, Granger (1969)], [Granger, Newbold (1977)], [Granger, Ramanathan (1984)] было показано, что усреднение прогнозов по различным моделям может улучшить качество прогноза, когда все модели являются только аппроксимациями. Процедуры объединения, рассматриваемые в статье, различаются весом, приписываемым модели с наилучшим на данный момент качеством, включая равные веса для всех прогнозов, взвешивание прогнозов в обратной пропорции к текущей среднеквадратической ошибке (MSE), использование медианных прогнозов и приписывание веса только методу, на настоящий момент имеющему наименьшую симулированную в реальном времени MSE; последняя процедура состоит в симулировании выбора в реальном времени модели на основе наименьших квадратов предсказаний (PLS).

[Markidakis et al. (1982)] исследовали качество одномерных методов на многих рядах, в том числе и экономических, и сделали вывод об успешности во многих случаях экспоненциального сглаживания. [Meese, Geveke (1984)] сравнивали различные линейные модели, используя 150 макроэкономических рядов, и нашли, что обычно хорошо работают AR модели с длиной запаздываний, определяемой на основании AIC. Они обнаружили также, что линейные комбинации прогнозов улучшают качество прогнозов несущественно. [Weigland, Gershenfeld (1994)] сравнивали линейные модели с большим количеством нелинейных моделей. Хотя они обнаружили нелинейную динамику в некоторых неэкономических временных рядах, нели-

16

нейные прогностические модели оказались относительно плохими для экономических рядов, которые они рассматривали (обменные курсы). [Swanson, White (1995, 1997)] сравнивали многомерные ANN модели с линейными векторными авторегрессиями и нашли, что векторные авторегрессии обыгано имеют меньшие MSE, чем ANN модели в симулированном реальном времени. В сравнении с указанными работами, работа [Stock J.H., Watson M.W. (1996)] отличается использованием большого количества макроэкономических временных рядов и нелинейных моделей, анализом методов с тестированием на единичный корень и интенсивным исследованием процедур объединения прогнозов.

Все модели в данном эксперименте имеют вид:

yt+h=fi(Zt; 6ih)+uit+h?

где yt - ряд, для которого строится прогноз, h - горизонт прогнозирования, i - индекс модели прогнозирования (i=1,...,121), 9ih - вектор неизвестных параметров, uit - ошибка, а Zt - вектор предикторных переменных. Обыгано Zt=(yp...,yt_p, Ayp...,,Ayt_p,1,t) где p - максимальное запаздывание. Типичным является использование индивидуальной прогностической моделью только некоторого подмножества элементов Z.

Все прогнозы выполняются полностью рекурсивным способом, т.е. прогнозы значения yt+h используют информацию для моментов 1,2,.. .,t. Для прогнозирования yt+h оценка вектора параметров 0ih производится по наблюдениям y1, y2,..., yt. Во всех моделях вектор параметров оценивается путем минимизации суммы квадратов остатков прогноза на h шагов вперед.

Заметим, что обыгано каждый метод прогнозирования в применении к конкретному ряду имеет различные значения параметров при различных горизонтах, т.е. прогноз на h шагов вперед не выгаисляется как итерация на h периодов вперед прогностической модели для одношагового прогноза. (Прогноз на h шагов вперед и ошибка прогноза равны, соответственно, yt+h/t,ih =f( Z; в**), et+h/t,ih yt+h~ yt+h/t,ih)

Этот подход имеет и преимущества, и недостатки. Если модель для одношагового прогноза правильна, то оценивание ее на однопериодном горизонте с последующей итерацией вперед более эффективно, чем непосредственное оценивание прогностической модели на h шагов вперед. Вместе с тем, имея в виду неправильность спецификации моделей, прямое оценивание модели для прогноза на h шагов вперед дает возможность уменьшения влияния неправильной спецификации на этом горизонте. Обсуждению вопроса о том, в каких ситуациях второй подход дает лучшие результаты, пос-

17

вящена работа [Clements, Hendry (1996)]. С практической точки зрения, предсказание непосредственно по модели, рассчитываемой на h шагов вперед, требует значительных затрат машинного времени для оценивания параметров, но зато существенно упрощает вычисление многошаговых прогнозов по нелинейным моделям.

Для получения основных результатов все прогнозы в работе [Stock, Watson (1996)] автоматически «подстригаются», так что если прогнозируемое изменение превосходит по абсолютной величине все ранее наблюдавшиеся изменения для данного ряда, то применяется прогноз «без изменений». Такая коррекция применяется для симуляции вовлеченности в прогнозирование человеческого фактора, отсутствующего в проводимом компьютеризованном эксперименте. Поскольку прогнозы в этом эксперименте выполняются автоматически, некоторые модели могут давать (и фактически дают) экстремальные маловероятные прогнозы. Возможные источники таких экстремальных прогнозов включают оценки параметров, соответствующие локальным, а не глобальным максимумам в нелинейных моделях, скачкообразное изменение параметров, ошибки, возникающие из-за необоснованного включения в модели детерминированных трендов. В действительно реальном времени такие «невероятные» прогнозы были бы замечены и скорректированы вмешательством человека. Соответственно, используемый алгоритм «выстригания» можно понимать как некоторое практическое правило, которое прогнозист может использовать в реальном времени для обнаружения такой проблемы и принятия соответствующего решения. Хотя основное внимание уделяется подстриженным прогнозам, для сравнения представлены также некоторые результаты для «неподстриженных» прогнозов.

Стартовый и прогнозный периоды. Для каждого ряда имеется три отдельных периода: стартовый, на котором производятся начальные оценки модели; промежуточный, на котором производятся прогнозы по 121 примитивным моделям 49 прогностическими методами, но без использования объединения прогнозов, и период симулированного прогноза в реальном времени, на котором получаются рекурсивные прогнозы всеми моделями, всеми методами и процедурами объединения. Пусть T0 дата первого наблюдения, используемого в этом исследовании. Тогда стартовый период оценивания длится с T0 до T1, где Tj =T0+120 (месяцев). Промежуточный период - с T1 до T2-1, где T2=T1+24 (месяцев). Прогнозный период - с T2 до T3, где T3 -дата последнего наблюдения (12.1996) минус горизонт прогноза h.

18

Все результаты, касающиеся качества прогнозов, приводимые в таблицах, соответствуют периоду прогнозирования в симулированном реальном времени (от T2 до T3 включительно). Для большинства рядов датой начала наблюдений является 01.1959; в этом случае T0=01.1959, T1=01.1970, T2=01.1972, T3=12.1996 - h.

Прогностические модели и методы

Авторегрессионные (AR) модели. Результаты приводятся для 18 различных авторегрессионных методов прогнозирования. Они отличаются глубиной запаздываний (3 варианта), тем, включаются ли в модель только постоянная или постоянная и временной тренд (2 варианта), а также степенью инерционности (3 варианта).

В отношении глубины запаздываний берутся три альтернативных варианта: фиксированная глубина, равная 4; глубина, определяемая BIC (0< p<12); глубина, определяемая AIC (0<p<12).

В отношении инерционности временных рядов также берутся три альтернативных варианта. В первом авторегрессия специфицируется в уровнях, т.е. производится прогнозyt+h по значениямyp...,yt-p+1, без всяких ограничений на коэффициенты. Во второй накладывается условие единичного корня, зависимой переменной являетсяyt+h-yt, а предикторамиyp...,yt-p+1. В третьей используется рекурсивный претест на единичный корень, по результатам которого производится выбор между спецификациями в уровнях или в разностях. Для проверки гипотезы о наличии единичного корня существует большое количество критериев. В работе Stock (1996) методом Монте-Карло исследовались авторегрессионные прогнозы с предварительным тестированием на единичный корень. Stock сравнил несколько различных претестовых методов с различными уровнями значимости и нашел, что наилучшее качество прогнозов при различных значениях авторегрессионного корня давало использование DF-GLS критерия [Elliot, Rothenberg, Stock (1996)] с малым уровнем значимости. Соответственно, в работе Stock, Watson используется претестовая статистика DF-GLS^ для различения моделей с константой, но без тренда, и претестовая статистика DF-GLST - для различения моделей с включением линейного тренда.

Всего оценивалось 52 примитивных модели (2 спецификации детерминированных составляющих, 13 выборов глубины запаздываний, модели в уровнях или в разностях). Основанные на этих моделях 18 методов прогнозирования включают рекурсивный выбор модели, использующий информационный критерий, и/или рекурсивные претесты на единичный корень.

19

Основные выводы:

1. Хотя для некоторых рядов нелинейные прогнозы оказались лучше линейных, большинство нелинейных методов прогнозирования и все методы, основанные на нейронных сетях, приводят к прогнозам, имеющим худшее качество, чем прогнозы, получаемые линейными методами.

2. Улучшению прогнозов для всех рассмотренных горизонтов прогнозирования способствует предварительное тестирование ряда на наличие единичного корня.

3. Комбинирование прогнозов, получаемых различными методами, служит защитой от слишком больших ошибок прогнозов и может быть рекомендовано для использования в практике прогнозирования.

4. Если прогнозист предполагает использовать какой-то один

метод прогнозирования, то в этом случае следует рекомендовать использование модели авторегрессии с предварительным тестированием на наличие единичного корня и выбором порядка авторегрессии на основании имеющихся статистических данных.

1.3.2. Сравнение одномерных и многомерных неадаптивных и адаптивных моделей

Исследование на эту тему было проведено в работе [Stock, Watson (1996)], в которой сравнивались результаты прогнозирования большого количества различных экономических рядов с использованием одномерных и двумерных (векторных) моделей авторегрессии, динамических моделей с авторегрессионно распределенными разностями и адаптивных вариантов этих моделей, в которых коэффициенты изменяются с течением времени.

Для прогнозирования были использованы четыре группы моделей по четыре модели в каждой группе.

Одномерная авторегрессия.

AR( p) - оценивание параметров по методу наименьших квадратов, выбор порядка модели по BIC - байесовскому информационному критерию Шварца, прогнозирование по фиксированной оцененной модели.

RRA1 - оценивание параметров посредством скользящей регрессии по 120 наблюдениям, выбор порядка модели по сколь-

20

зящему BIC, прогнозирование по переоцениваемым моделям.

RRA2 - оценивание параметров посредством скользящей регрессии по 240 наблюдениям, выбор порядка модели по скользящему BIC, прогнозирование по переоцениваемым моделям.

RLSA - оценивание параметров посредством рекурсивной регрессии, выбор порядка модели по рекурсивному BIC, прогнозирование по переоцениваемым моделям.

Динамическая модель ADL( p,p) с изменяющимися параметрами, следующими модели случайного блуждания et = ви1+п, с независимыми и одинаково распределенными nt, ковариационные матрицы которых различаются для различных моделей коэффициентом пропорциональности Я.

ATVP1 - оценивание параметров по методу TVP (Time varied parameters) с Я = 0.0025, выбор порядка модели по минимуму суммы квадратов ошибок прогнозов на один шаг.

ATVP2 - оценивание параметров по методу TVP с Я =0.0075, выбор порядка модели по минимуму суммы квадратов ошибок прогнозов на один шаг.

ATVP3 - оценивание параметров по методу TVP с Я =0.015, выбор порядка модели по минимуму суммы квадратов ошибок прогнозов на один шаг.

ATVP4 - оценивание параметров по методу TVP с Я и p, выбираемыми рекурсивно по минимуму суммы квадратов ошибок прогнозов на один шаг.

Векторная (двумерная) авторегрессия.

VAR - оценивание параметров по методу наименьших квадратов, выбор порядка модели по BIC - байесовскому информационному критерию Шварца, прогнозирование по фиксированной оцененной модели.

RRA1 - оценивание параметров посредством скользящей регрессии по 120 наблюдениям, выбор порядка модели по скользящему BIC, прогнозирование по переоцениваемым моделям.

RRA2 - оценивание параметров посредством скользящей регрессии по 240 наблюдениям, выбор порядка модели по скользящему BIC, прогнозирование по переоцениваемым моделям.

RLSA - оценивание параметров посредством рекурсивной регрессии, выбор порядка модели по рекурсивному BIC, прогнозирование по переоцениваемым моделям.

21

Динамическая модель ADL( p,p).

VTVP1 - аналог VAR.

VTVP2 - аналог RRA1.

VTVP3 - аналог RRA2.

VTVP4 - аналог RLSV.

Величина параметра Я представляет в рамках TVP модели меру нестабильности в соответствующих соотношениях.

Исходный период для оценивания модели (in-sample) - [01.1959-12.1978]. Период, на котором сравнивались прогнозы на один шаг вперед - [01.1979-12.1993].

Адаптивные модели часто давали более точные прогнозы, чем фиксированные модели (оцененные по исходному периоду), что говорит о структурной нестабильности.

Всего было рассмотрено 5700 пар рядов, и для каждого из указанных выше 16 методов были найдены проценты случаев, когда этот метод оказывался лучшим по отношению к другим методам. Результаты оказались неоднозначными.

После этого для каждого ряда были отобраны пары с 10 наименьшими значениями BIC, построенными по исходному периоду. При этом оказалось, что для разных рядов лучшими оказывались разные методы, причем для многих рядов одномерные прогнозы были лучше VAR и ADL прогнозов.

При сравнении прогнозов по всем парам среди одномерных лучшей оказалась модель ATVP1, а среди двумерных - VTVP1. При этом ATVP1 обычно превосходила двумерные модели, но это, возможно, объясняется тем, что пары формировались без какого бы то ни было обоснования.

1.3.3. Сравнение TS- и DS-моделей

В работе [Franses, Kleibergen (1996)] проведено сравнение TS- и DS-прогнозов для 14 макроэкономических рядов, рассматривавшихся в известной работе [Nelson, Plosser (1982)], продленных до 1988 г. Для каждого из этих рядов подбирались авторегрессионные TS- и DS-модели одинакового порядка. Эти модели оценивались для трех периодов: до 1976 г., до 1970 г. и до 1952 г. На основании оцененных моделей строились прогнозы на один и на несколько шагов вперед, соответственно, для периодов 1977-1988, 1971-1988 и 1953-1988 гг., что давало, соответственно, 12, 18 и 36 пар ошибок прогнозов.

Далее для каждой из моделей вычислялись MSEP (средний квадрат ошибок предсказания), MAE (средняя абсолютная ошибка прогноза) и разности между значениями этих показателей для TS- и DS-моделей. Для про-

22

верки статистической значимости этих разностей в случае одношаговых прогнозов использовались непараметрические статистические критерии: критерий знаков и критерий Уилкоксона. При этом, несмотря на малое количество прогнозов, использовалась нормальная аппроксимация статистик этих критериев.

Основной вывод: там, где различия между точечными прогнозами оказались статистически значимыми, Д,У-прогнозы работали лучше.

Помимо указанного исследования в статье [Franses, Kleibergen (1996)] строились также одношаговые прогнозы по рекурсивным регрессиям. Точнее говоря, сначала для каждого ряда оценивалась модель по данным до 1952 г. включительно, по оцененной модели строился прогноз на 1953 г. Затем модель переоценивалась по данным, включающим уже и 1953 г., и по новой оцененной модели строился прогноз на 1954 г. и т.д. Такой подход допускает непостоянство коэффициентов модели авторегрессии, описывающей ряд. При таком подходе для 5 из 14 рядов ДУ-модель работала значимо лучше, для 7 из 14 рядов различие в результатах прогнозирования было статистически незначимым, и только лишь для одного ряда (Consumer Prices) значимо лучшей оказалась ГУ-модель.

Обсуждая полученные результаты, авторы отмечают, что изменение в параметре тренда ГУ-процесса в послевыборочный (out-of-sample) период может приводить к тому, что ошибки прогнозов по «правильной» ГУ-модели будут больше, чем ошибки прогнозов по «неправильной» ДУ-модели. ДУ-процесс способен быстрее адаптироваться к изменениям структурного параметра, по крайней мере на одношаговых прогнозах.

Если изменений структуры нет и ряд порождается ГУ-моделью, то тогда, по мнению Franses, Kleibergen, прогнозы по ГУ-модели должны быть лучше прогнозов по неправильной ДУ-модели, по крайней мере теоретически.

Между тем в работе [Campbell, Perron (1991)] моделировались стационарные ряды, близкие к интегрированным, затем производился подбор ГУ-и ДУ-моделей по смоделированным данным, и по этим моделям строились прогнозы поведения рядов на один и 20 шагов вперед. Альтернативные модели сравнивались по величине среднеквадратической ошибки прогноза. Полученные результаты говорили о том, что стационарные ряды, близкие к интегрированным, лучше прогнозировать, считая их интегрированными, т.е. пренебрегая результатами соответствующих тестов.

В работе [Clements, Hendry (2000)] предпринято исследование качества прогнозов по ДУ- и ГУ-моделям в зависимости от того, соответствует ли используемая для прогнозирования статистическая модель (SM) истинному

23

процессу порождения данных (DGP - data generating process). Эта задача достаточно сложна, и поэтому авторы ограничились только простейшими моделями DS- и TS-рядов.

Первоначально в работе в качестве представителя DS рядов используется процесс случайного блуждания со сносом yryt-i+V+£p где et~NID(0,а£2) иy0=0, а в качестве представителя TS-рядов используется процесс yt=q>+yt+up где ut ~ NID( 0,ou2).

Исследуется поведение дисперсий ошибок прогнозов, сделанных в момент T на h периодов вперед, в четырех ситуациях: DGP - DS-ряд; SM - DS-ряд; DGP - DS-ряд; SM - TS-ряд; DGP - TS-ряд; SM - TS-ряд; DGP - TS-ряд; SM - DS-ряд. Соответствующие дисперсии обозначаются как VDS /DS, VTS /DS, VTS /TS и VDS/TS соответственно.

При этом отдельно разбираются случаи, когда неопределенность, проистекающая от оценивания параметров статистической модели, игнорируется, и случаи, когда такая неопределенность учитывается. В случаях, когда такая неопределенность учитывается, оценки параметра /л статистической DS-модели зависят от значения yT, которое, в свою очередь, является случайной величиной. Производя усреднение по всем возможным значениям yT (вычисляя соответствующие математические ожидания), авторы получают явные выражения для ожидаемых значений отношений дисперсий прогнозов, строящихся по альтернативным статистическим моделям при фиксированном DGP, т.е. для Eds[ Vts/ds^Vds/dsJ и Ets[ Vds/ts / Vts/ts].

Полученные явные выражения для последних характеристик зависят от T и h довольно запутанным образом, что затрудняет их интерпретацию при конечных значениях T и h. Поэтому авторы исследуют асимптотическое поведение указанных характеристик при неограниченном увеличении h и конечных или также неограниченно возрастающих значениях T. Поскольку практически приходится иметь дело все же с умеренными значениями T и малыми значениями h, для нас больший интерес представляют приведенные в работе результаты статистического моделирования (методом Монте-Карло).

Результаты статистического моделирования указывают на то, что для умеренных значений T (не превосходящих 200) и коротких горизонтов прог-

24

нозирования (на несколько периодов вперед) значения ETS[ VDS/TS / VTS/TS] близки к 2. Что касается значений EDS[ VTS/DS / VDS/DS], то при коротких горизонтах прогнозирования наблюдается их линейное возрастание с увеличением T, что приводит, например, при h = 1 и T = 200 к значению Eds[ Vts/ds / VDS/DS] порядка 28. Это означает фактически, что если истинный DGP нам не известен, то при коротких горизонтах прогнозирования в определенном смысле «безопаснее» использовать для прогнозирования оцененную DS-модель.

Последний вывод, впрочем, относится к простейшим моделям TS- и DS-рядов, указанным выше. Для проверки устойчивости полученнык результатов авторы предпринимают далее статистическое моделирование, использующее несколько более сложные TS- и DS-модели процесса порождения данных.

В качестве TS DGP используется процесс

yt=q>+yt+ut, где ut=put_1+al, at ~NID( 0,Оа2), 0<р<1.

В этом случае та же, что и раньше, статистическая DS-модель может более успешно аппроксимировать TS DGP при значениях р, близких к 1.

В качестве DS DGP берется процесс

у,=у-!+Ц+£„ где £,=ЬГуЬ,_ь bt~NID(0,оь ), 0<щ<1.

В этом случае статистическая TS-модель может более успешно аппроксимировать DS DGP при значениях щ близких к 1 (напомним, что при щ=1 мы получаем процесс yt, стационарный относительно тренда).

Статистическое моделирование с указанными (более общими) TS- и DS- моделями DGP приводит к следующим результатам.

При р = 0.9 статистическая DS-модель является хорошей аппроксимацией для TSDGP, особенно для малых значений T и h. Более того, для T<50 однопараметрическая статистическая DS-модель дает более точные прогнозы, чем трехпараметрическая статистическая TS-модель (соответствующая TS DGP). Этот результат находится в соответствии с указанными выше результатами работы [Campbell, Perron (1991)].

При щ=0.9 и T<100 статистическая TS-модель дает более точные прогнозы, чем статистическая DS-модель (соответствующая DS DGP), при любых h.

Таким образом, изменение DGP в направлении «другой» модели (DS или TS) может приводить при небольших значениях T к тому, что прогнозы по статистической модели, соответствующей DGP (т.е. по «своей» модели), оказываются менее точными. Это особенно важно для практических ситуаций, в которых различение между TS- и DS-моделями бывает довольно затруднительным.

25

В работе [Diebold, Kilian (2000)] проводится систематическое исследование того, до какой степени предварительное тестирование на наличие единичного корня влияет на качество прогноза при различных степенях инерционности процесса, различных горизонтах прогнозирования и различных объемах выборок. Внимание концентрируется на случае одномерного процесса авторегрессии с трендом и высокой инерционностью, особенно интересном для экономики и финансов. Поскольку о точных аналитических результатах при конечных выборках в этом случае не может быть и речи, приходится действовать, используя метод статистического моделирования Монте-Карло.

При планировании эксперимента, как всегда, возникают проблемы. С одной стороны, хотелось бы исследовать достаточно широкий спектр процессов порождения данных (DGP), так чтобы результаты пролили свет на поведение альтернативных методов в широком спектре встречающихся на практике ситуаций. С другой стороны, исследуемые DGP должны быть достаточно простыми, чтобы обеспечить реализацию Монте-Карло анализа и интерпретируемость полученных результатов.

Использование DGP в виде процесса авторегрессии первого порядка с различными степенями инерционности, соответствующими различным значениям параметра авторегрессии, представляет привлекательный компромисс. Если, однако, целью анализа служит получение рекомендаций для практической работы, то для этой цели необходимо включение в модель и временного тренда.

Поэтому в работе исследуется AR(1) процесс с трендом, имеющий вид (yt-a-bt)=p(yt_1-a-b(t-l))+et, где et ~ iidN(0,o2), t =1, ...,T. Этот процесс можно записать также в виде: yt=ki+k2t+pyt-i+£t, где

k1=a(1-p)+pb, k2=b(1-p).

Часто бывает удобнее представить этот процесс в компонентной форме как сумму линейного тренда и процесса AR(1):

yt=Tt+xP где

Tt=a+bt, xt=Pxt-i+£t

При p=1 рассматриваемый процесс является случайным блужданием

26

со сносом Ь; при р <1 имеем ковариационно стационарные АЯ( 1) отклонения от линейного тренда с угловым коэффициентом Ь.

В работе процесс параметризуется в соответствии с квартальными данными о послевоенном реальном ВНП в США, полагая а =7, Ь = 0.0065 и а = 0.0099. Рассматриваются значения ре{0.5, 0.9, 0.97, 0.99, 1} и Те{25, 30:10:80; 100:20:180; 200:40:1000}, включающие подходящие степени инерционности и объемы выборок для годовых, квартальных, месячных, недельных и дневных данных.

Сравниваются три модели прогнозов: АК( 1) в уровнях с линейным детерминированным трендом (Ь - для «уровней»), случайное блуждание со сносом (Б - для «разностей») и модель, предлагаемая претестами Дикки-Фуллера, использующими 5%-ные критические значения для конечных выборок (Р - для «претестовых» моделей). Для всех моделей оценивание производится методом ОЬБ. Общей задачей является предсказание уровней рядов на горизонтах И от 1 до 100 периодов вперед. В качестве характеристики прогноза каждой модели берется безусловная среднеквадратическая ошибка прогноза (РЫБЕ), вычисляемая по 20000 реализаций алгоритма Монте-Карло. Для каждого значения р вычисляются отношения РМ8Е(Б)/РМ8Е(Ь), РМ8Е(Б)/РМ8Е(Р) и РМ8Е(Р)/РМ8Е(Ь) для всех комбинаций значений И и Т.

Результаты

Б&Ь (разности или уровни)

В этой связке полученные результаты указывают на предпочтительность дифференцирования в случаях, когда размер выборки небольшой или умеренный, а процесс имеет высокую инерционность, и на предпочтительность модели в уровнях в случае малоинерционных процессов или при больших выборках в случае высокоинерционного процесса.

Б&Р

В этой связке отношение РМ8Е( Б)/РМ8Е( Р) либо близко к единице, либо превосходит единицу, так что использование претеста предпочтительнее, чем безоглядное дифференцирование. Это означает, что при построении моделей с целью прогнозирования не рекомендуется следовать стратегии Бокса-Дженкинса непременного дифференцирования ряда для достижения стационарности.

Р&Ь

В этой связке отношение РМ8Е( Р)/РМ8Е( Ь) не везде меньше единицы, однако преимущество претестового подхода проявляется на большей части пространства эксперимента. Это также ставит под сомнение опирающуюся на асимптотические результаты стратегию непременного построения прогнозирующих моделей в уровнях.

27

Некоторые практические советы

При широком диапазоне объемов выборок и горизонтов прогноза достаточно трудно сформулировать вполне надежные рекомендации по выбору одного из трех методов, рассмотренных выше, тем более что параметры БвР, выбранные в соответствии с квартальными данными о величине ВНП в США, вовсе не обязаны повторяться в других рядах. В этой связи в работе было проведено дополнительное моделирование, основанное на других рядах, имеющих характерные частоты наблюдений. Ниже приведена таблица параметров БвР для рядов с различной частотой наблюдений и указано, на основании какого ряда выбраны эти параметры.

Частота а Ь а Базовый ряд

Год -6.0674 0.0173 0.0500 ВНП на душу населения США

Квартал 7.3707 0.0065 0.0099 Реальный ВНП США

Месяц 3.3653 0.0024 0.0105 Индекс промышленного производства США

День 5.1126 0.0004 0.0095 Индекс Доу-Джонса

Поскольку предварительное тестирование явно лучше, чем обязательное дифференцирование, упор делается на сравнении метода предварительного тестирования (метод Р) и метода обязательного использования модели в уровнях (метод Ь).

Для годовых данных (для 7=40-160 и й=1-100) предварительное тестирование недвусмысленно улучшает точность прогноза для всех горизонтов прогнозирования и объемов выборок, если корень БвР равен или больше 0.97. Для р = 0.9 предварительное тестирование улучшает точность прогноза для объемов выборки, не превышающих 70, но дает меньшую точность по сравнению с методом Ь при большем количестве наблюдений. Для р = 0.5 оба метода дают близкие результаты. Фактически, отсюда вытекает рекомендация использовать предварительное тестирование при наличии не более 70 годовых данных, а для большего количества наблюдений - при очень высокой инерционности ряда.

Для квартальных данных (7=80-200 и А=1-16) метод Р предпочтительнее для всех горизонтов прогноза и объемов выборки, если корень процесса имеет значение 0.97 или выше. Для р = 0.9 метод Ь равномерно предпочтительнее. Для р = 0.5 оба метода дают близкие результаты. Отсюда вытекает рекомендация использовать предварительное тестирование для процессов с корнями 0.97 и выше и метод Ь при меньших значениях корней.

Для месячных данных (7=240-480 и А=1-48) метод Р предпочтительнее для всех горизонтов прогноза и объемов выборки, если корень процесса ра-

28

вен 1 или 0.99. Для р = 0.97 и р = 0.9 метод L по крайней мере столь же точен, как и P. Для р = 0.5 оба метода дают близкие результаты. Соответственно, для месячных данных предварительное тестирование имеет смысл только для процессов с корнями, равными 0.99 или выше. Во всех других случаях метод L предпочтительнее.

Для дневнык данных (7=360-720 и h=1-90) предварительное тестирование предпочтительнее только для р =1. Для р =0.99 предварительное тестирование предпочтительнее, если объем выборки не превосходит 600 дней (при всех горизонтах). При более длинных выборках метод L предпочтительнее на протяженных горизонтах прогнозирования и сравним с методом P на коротких горизонтах. Для р = 0.97 метод L равномерно лучше. Для р = 0.9 метод L несколько лучше при T<500, за исключением очень коротких горизонтов. При возрастании объема выборки это различие исчезает. Для р = 0.5 оба метода дают близкие результаты. Таким образом, для дневных данных предварительное тестирование имеет смысл, только если ряд в высшей степени инерционен, а именно, значения корней 0.99 и выше. В противном случае следует предпочесть метод L.

Указанные рекомендации могут показаться порочным кругом, поскольку они предполагают знание корня DGP. На практике точечные OZS-оценки корней макроэкономических рядов обыгчно превышают 0.97 для годовых данных, 0.99 для квартальных данных и значительно превышают 0.99 для дневных данных. Более того, наличие смещения OZS-оценок при малых выборках если и приводит, то только к недооценке истинных значений корней. Отсюда можно сделать вывод, что фактически предварительное тестирование рекомендуется при проведении реального прогнозирования макроэкономических рядов, имеющих трендовое поведение.

1.3.4. Моделирование и оценка стабильности соотношений между макроэкономическими показателями

Различным вопросам прогнозирования основных макроэкономических показателей посвящены и другие статьи Stock и Watson. Так, например, в работе [Stock, Watson, (1994)] авторы оценивают авторегрессионные и векторные авторегрессионные зависимости между макроэкономическими переменными (76 макроэкономических показателей США послевоенного периода, месячные данные), а также проверяют, насколько стабильны эти соотношения во времени. Кроме того, в работе проверяется, как возможное наличие нестабильности в связях между переменными отражается на возможности прогнозирования макроэкономических переменных, в том числе и с

29

учетом адаптивных моделей с изменяющимися во времени параметрами (TVP-модели). Для проверки на стабильность используются тесты Ниблома (см., [Nyblom (1989)]), CUSUM-тесты и тест Куандта на наличие излома (см. [Quandt (1960)]).

Во второй части работы [Stock, Watson (1994)] авторы проверяют, могут ли современные, часто используемые адаптивные эконометрические модели уловить эту нестабильность. Проверка осуществляется на основе сравнения прогнозов по различным моделям, в числе которых как неадаптивные модели (обычные OZS-модели), так и слабоадаптивные модели (рекурсивные модели, модели со сдвигом интервала оценок, TVP-модели со слабо меняющимися параметрами) и сильноадаптивные модели (TVP-модели с сильно меняющимися параметрами).

Полученные в работе результаты указывают на наиболее вероятную не стабильность уравнений для индекса промышленного производства, доходов населения, занятости, цен и процентных ставок. При этом при моделировании и прогнозировании худшими оказались модели с фиксированными параметрами, в то время как слабоадаптивные модели показали достаточно хорошие результаты. В частности, рекурсивная модель оказывается лучшей или близка к лучшей почти во всех случаях, векторные авторегрессионные модели лучше авторегрессионных моделей для одной переменной примерно в трети (38%) случаев. Исследование сильноадаптивных моделей показало, что такие модели, как TVP-модели с сильно меняющимися параметрами, оказались в большинстве случаев хуже рекурсивных моделей. В этом смысле такие модели плохо учитывают нестабильность соотношений между макроэкономическими переменными.

В работе [Stock, Watson, (1998a)] авторы исследуют эмпирические зависимости между бизнес-циклом (динамикой агрегированного выпуска) и различными макроэкономическими показателями, такими, как производство, цены, процентные ставки, производительность, занятость по секторам, доходы населения, инвестиции, потребление и др. Проверка таких зависимостей осуществляется через сравнение циклических компонент агрегированного выпуска (основного бизнес-цикла) и указанных переменных. Особое внимание уделяется тому, опережает или отстает циклическая компонента рассматриваемых показателей от основного цикла. В случае, когда она опережает цикл, это означает, что можно прогнозировать динамику агрегированного выпуска на основе данного показателя, и наоборот, если циклическая компонента показателя повторяет динамику бизнес-цикла с лагом, то эту информацию можно использовать для прогнозирования рассматрива-

30

емого показателя. Для выделения бизнес-циклов была использована стандартная методика, применяемая National Bureau of Economic Research (NBER); исследование проводилось на квартальных данных.

Полученные результаты говорят о том, что производство и использование ресурсов, в том числе и трудовых ресурсов (занятость), в различных отраслях меняется практически одновременно и сонаправленно с общим бизнес-циклом. Исключение составляют финансовый и государственный секторы, корреляция которых с бизнес-циклом существенно ниже по сравнению, например, со строительством или промышленностью. Кроме того, отмечается, что добывающие секторы также подвержены циклической динамике, которая, однако, не связана с бизнес-циклами, а определяется другими причинами (мировыми ценами на ресурсы, открытием и закрытием шахт и месторождений и др.). Потребление, сбережения, запасы и импорт изменяются в соответствии с бизнес-циклом; при этом инвестиции в оборудование, здания и сооружения несколько отстают от основного цикла. В отличие от импорта, экспорт не так значительно колеблется вместе с бизнес-циклом; это приводит к тому, что торговый баланс изменяется в противофазе с циклом.

В этой же работе авторы проверяют классические зависимости между макроэкономическими показателями - кривую Филлипса (зависимость между инфляцией и безработицей), спрос на деньги в долгосрочном периоде, соотношения сбалансированного роста (стационарность отношений макроэкономических показателей) и спрэды между долгосрочными и краткосрочными процентными ставками (нестационарность ставок и стационарность спрэдов). Проведенный эконометрический анализ этих соотношений указывает на то, что большинство из таких зависимостей действительно имеет место в долгосрочном периоде, хотя надо быть достаточно осторожным в отношении стационарности рассматриваемых рядов и стабильности оцениваемых коэффициентов.

Достаточно интересной и полезной для моделирования и прогнозирования является работа [Stock, Watson, (1998b)], в которой авторы используют для прогнозирования конструирование агрегированных индексов макроэкономических показателей. В случае, когда количество объясняющих переменных превышает количество наблюдений прогнозируемого временного ряда, в работе предлагается строить специальные диффузионные индексы, которые затем можно использовать для оценки и прогнозирования. Здесь необходимо отметить, что одной из основных проблем, с которой сталкиваются авторы при расчете подобных вероятностных индексов, является со-

31

держательная интерпретация оцененных зависимостей и полученных в индексах коэффициентов - весов макроэкономических переменных.

В работе [Stock, Watson (1999)] авторы анализируют возможность прогнозирования инфляции на основе кривой Филлипса. Кривую Филлипса в общем смысле можно интерпретировать как зависимость инфляции от показателей экономической активности. В работе рассматриваются различные показатели; при этом дополнительное внимание уделяется тому, какие из этих показателей лучше подходят для прогнозирования инфляции. Кроме этого, проводится сравнение прогнозов инфляции, полученных с использованием показателей экономической активности, с прогнозами инфляции на основе других макроэкономических показателей. Оценки проводились на месячных данных США 1959-1997 гг.

Тестирование коэффициентов модели, описывающей кривую Филлипса или обобщенную кривую Филлипса, на стабильность (тесты Куандта) показало, что коэффициенты не являются стабильными (статистически значимый результат), однако при дальнейших оценках авторы не учитывают эту нестабильность по двум основным причинам. Во-первых, как показано в работе, эта нестабильность невелика. Во-вторых, применение методов с более высокой степенью адаптации не улучшает, а иногда и существенно ухудшает качество прогнозирования, что согласуется с результатами предыдущих работ. Оценка прогностической способности различных показателей экономической активности показала, что по сравнению с безработицей лучшие свойства имеют показатели загрузки мощностей и объемы продаж. При этом добавление прочих макроэкономических факторов не дает улучшения прогнозов.

Дополнительно в работе исследуется вопрос о том, как влияет на полученные результаты предпосылка о том, что ряд инфляции является интегрированным рядом первого порядка. Приведенные в работе оценки указывают на то, что с точки зрения прогнозирования предпочтительнее использовать модели, предполагающие, что инфляция - это процесс 1(1).

В работе [Stock, Watson (2001)] авторы исследуют качество прогнозов агрегированного выпуска и инфляции с использованием показателей финансового рынка. В работе рассматриваются прогностические свойства таких показателей, как процентные ставки и спрэды между ними, цены и доходность акций, обменные курсы и др. Моделирование и прогнозирование осуществлялось на основе авторегрессионных моделей с добавлением объясняющих переменных и их лаговых значений; при этом отдельное внимание уделялось проверке стабильности прогнозов. Оценки производились на квартальных данных по семи странам OECD за 1959-1999 гг.

32

Полученные оценки показывают, что финансовые показатели плохо подходят для прогнозирования агрегированного выпуска; относительно лучше для этих целей подходит спрэд между краткосрочными и долгосрочными процентными ставками. При этом в работе отмечается, что наилучший с точки зрения прогнозирования показатель может быть различным для разных стран. При прогнозировании инфляции оказалось, что ни один из финансовых показателей не позволяет прогнозировать инфляцию на длительные горизонты (1-2 года) вперед, что, по-видимому, связано с тем, что большинство зависимостей являются нестабильными.

Работа [Staiger, Stock, Watson (2001)] посвящена выяснению причин того, что в конце 1990-х гг. в США наблюдались одновременно невысокая безработица, низкая инфляция и стабильно растущая реальная заработная плата, что противоречило оценкам кривой Филлипса, полученным ранее. В частности, в работе проверялась гипотеза о наличии сдвига или изменения наклона кривой Филлипса. Кроме того, отдельной задачей работы была оценка значения безработицы, не ускоряющего инфляцию (non-accelerating inflation rate of unemployment, NAIRU).

Полученные результаты указывают на то, что классическая зависимость между инфляцией и безработицей в виде кривой Филлипса сохраняется (отрицательная зависимость не изменила знак), однако происходит ее сдвиг к осям инфляция-безработица. Среди причин такого сдвига отмечаются изменения в ценообразовании фирм, изменение NAIRU и др. Достаточно точных оценок значения NAIRU в рамках проведенных оценок получить не удалось, вследствие того, что оцененные доверительные интервалы достаточно широки и включают, в том числе, и фактически наблюдаемые значения безработицы.

33

Глава 2. Исследование сравнительного качества прогнозов некоторых макроэкономических рядов РФ, получаемых по фиксированным и рекурсивным ТЭ- и йЭ-моделям

Для исследования использовались ежемесячные данные Госкомстата РФ, Центрального банка РФ, Министерства финансов РФ и Центра экономической конъюнктуры по макроэкономическим показателям Российской Федерации (денежные агрегаты М0, М1, М2, экспорт, налоговые доходы федерального и консолидированного бюджетов РФ, поступления отдельных налогов, индексы промышленного производства) за период 1994-2001 гг. При этом моделирование в большинстве случаев осуществлялось на более коротком интервале, чтобы иметь возможность анализировать ошибки прогнозирования вперед на различные периоды. Полные таблицы исходных данных приведены в Приложении 2.

2.1. Денежные ряды

2.1.1. М0

При исследовании этого ряда, а также рядов М1 и М2 мы будем рассматривать месячные данные за период с 06.1995 по 02.2001, используя результаты, полученные в отношении этих трех рядов на временном интервале с 06.1995 по 07.2000 в работе [Эконометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей (2001)].

На временном интервале 06.1995-02.2001 ряд М0 (в номинальных значениях) имеет вид:

35

При использовании критериев Перрона на наличие у этого ряда единичного корня с эндогенным выбором даты излома в упомянутой работе были получены следующие результаты (относящиеся к периоду с 06.1995 по 07.2000).

Для модели, допускающей сдвиг траектории и изменение наклона тренда в форме инновационного выброса (10), в качестве даты излома указан 01.1999.

Для модели, допускающей только изменение наклона тренда (без сдвига траектории) в форме аддитивного выброса (АО), в качестве даты излома также указан 01.1999.

В обоих случаях гипотеза единичного корня не отвергается, что, в согласии с результатами применения других критериев, приводит к выводу о том, что поведение траектории ряда М0 за период с 06.1995 по 07.2000 соответствует поведению ВБ-ряда (т.е. поведению интегрированного ряда, приведение которого к стационарному виду требует дифференцирования).

Содержательные соображения указывают на то, что излом этого и других временных рядов может приходиться на вторую половину 1998 г. (финансовый кризис и сразу после него), а также на начало 1999 г. (оживление экономической активности и начало экономического роста). В этом смысле полученные результаты согласуются с содержательными аргументами в пользу выбора даты излома.

Для сравнения прогнозов, получаемых по моделям 75- и ВБ-рядов, построим для периода 06.1995-07.2000 подходящие модели обоих типов -ВБ и 75.

Б8-модели

Сначала построим ВБ-модели с инновационным и аддитивным выбросами (дата излома 01.1999). Оцененные модели имеют следующий вид.

Б8-модель с инновационным выбросом

Dependent Variable: D(X)

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 7957.736 3094.706 2.571403 0.0150

DTB -18161.51 11183.91 -1.623897 0.1142

DU 14680.75 5592.419 2.625115 0.0132

D( X( -1)) 0.035399 0.159275 0.222248 0.8255

D( X( -2)) -0.105155 0.156321 -0.672687 0.5060

D( X( -3)) -0.056082 0.155705 -0.360181 0.7211

D( X( -4)) -0.262292 0.162524 -1.613874 0.1164

D( X( -5)) -0.274312 0.169334 -1.619945 0.1151

D( X( -6)) -0.104990 0.174786 -0.600679 0.5523

D( X( -7)) -0.030949 0.187136 -0.165381 0.8697

D( X( -8)) -0.264658 0.218019 -1.213925 0.2337

36

Продолжение таблицы

Dependent Variable: D(X)

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D( X( -9)) -0.660972 0.207564 -3.184427 0.0032

D( X( -10)) -0.190682 0.231654 -0.823134 0.4165

D( X( -11)) -0.486314 0.232308 -2.093403 0.0443

D( X( -12)) 0.625239 0.242277 2.580681 0.0147

D( X( -13)) -0.722586 0.263874 -2.738378 0.0100

R-squared 0.639036 Mean dependent var 4816.396

Adjusted R-squared 0.469835 S.D. dependentvar 12589.30

S.E. of regression 9166.580 Akaike info criterion 21.34572

Sum squared resid 2.69E+09 Schwarz criterion 21.96945

Log likelihood -496.2972 F-statistic 3.776772

Durbin-Watson stat 2.141405 Prob( F-statistic) 0.000779

DS-модель с аддитивным выбросом

Dependent Variable: D(X)

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 2323.949 434.9662 5.342828 0.0000

DU 5718.042 1026.329 5.571356 0.0000

AR( 1) -0.052317 0.153159 -0.341585 0.7348

AR( 2) -0.194266 0.150285 -1.292652 0.2051

AR( 3) -0.104782 0.146957 -0.713011 0.4809

AR( 4) -0.281084 0.150118 -1.872425 0.0700

AR( 5) -0.262538 0.139072 -1.887782 0.0679

AR( 6) -0.046242 0.142080 -0.325462 0.7469

AR( 7) 0.018807 0.159481 0.117925 0.9068

AR( 8) -0.193991 0.190853 -1.016441 0.3168

AR( 9) -0.623240 0.186508 -3.341627 0.0021

AR( 10) -0.206942 0.209388 -0.988317 0.3302

AR( 11) -0.475055 0.209853 -2.263750 0.0303

AR( 12) 0.539607 0.225409 2.393907 0.0225

AR( 13) -0.737280 0.235544 -3.130117 0.0036

R-squared 0.648283 Mean dependent var 4816.396

Adjusted R-squared 0.499070 S.D. dependentvar 12589.30

S.E. of regression 8910.253 Akaike info criterion 21.27810

Sum squared resid 2.62E+09 Schwarz criterion 21.86285

Log likelihood -495.6744 F-statistic 4.344682

Durbin-Watson stat 2.058355 Prob( F-statistic) 0.000255

37

Если зафиксировать обе модели и производить по ним прогнозы на один шаг вперед, то получаются следующие результаты:

Инновационный выброс: Аддитивный выброс:

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

|| и i i хг_пх|

Ошибки прогнозов: Инновационный выброс:

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

_ц]

00:08 00:09 00 10 00:11 00:12 01 01 01:02 || 1x1 I хр_пх|

Аддитивный выброс:

и

п

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

|[ц|ре1-та_т^ 11-1 0е|_та_т8]

Характеристики прогнозов по подобранным Б8-моделям:

40000

30000

20000

0

0

ЭЭ (инновац.) ЭЭ (адди-тивн.)

Коо1 Меап Squared Еггог 23660.00 20762.60

Меап АЬзоШе Еггог 21726.06 19084.87

Меап АЬ8о1Ше РегсеП Еггог 5.966785 5.247909

По всем трем характеристикам здесь предпочтительнее оказывается модель с аддитивным выбросом.

38

Т8-модели

Т8-модель, допускающая сдвиг траектории и изменение наклона тренда в форме инновационного выброса с датой излома 01.1999

Dependent Variable: X

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 83889.10 30383.71 2.760990 0.0097

DU -11404.73 9892.396 -1.152878 0.2581

T 3349.482 1335.656 2.507742 0.0178

DT 6891.047 2317.117 2.973975 0.0058

X( -1) 0.750891 0.167935 4.471320 0.0001

X( -2) -0.184634 0.185574 -0.994934 0.3277

X( -3) 0.011089 0.166217 0.066714 0.9473

X( -4) -0.286183 0.169492 -1.688473 0.1017

X( -5) -0.134868 0.169320 -0.796525 0.4320

X( -6) 0.131024 0.168245 0.778771 0.4422

X( -7) 0.059066 0.172426 0.342559 0.7343

X( -8) -0.378450 0.255431 -1.481612 0.1489

X( -9) -0.535159 0.263414 -2.031628 0.0511

X( -10) 0.282439 0.272772 1.035438 0.3087

X( -11) -0.388248 0.278077 -1.396188 0.1729

X( -12) 0.930807 0.284523 3.271462 0.0027

X( -13) -1.291862 0.329794 -3.917180 0.0005

X( -14) 0.459354 0.259166 1.772429 0.0865

R-squared 0.989083 Mean dependent var 169119.2

Adjusted R-squared 0.982896 S.D. dependent var 63099.49

S.E. of regression 8252.271 Akaike info criterion 21.15436

Sum squared resid 2.04E+09 Schwarz criterion 21.85606

Log likelihood -489.7047 F-statistic 159.8771

Durbin-Watson stat 2.000861 Prob( F-statistic) 0.000000

Т8-модель, допускающая изменение наклона тренда в форме аддитивного выброса с датой излома 01.1999

Dependent Variable: X

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 62114.74 2395.813 25.92637 0.0000

T 2238.796 86.16029 25.98408 0.0000

DT 6047.931 392.9049 15.39286 0.0000

AR( 1) 0.564688 0.148698 3.797544 0.0006

AR( 2) -0.021091 0.165916 -0.127117 0.8996

AR( 3) -0.030859 0.164054 -0.188101 0.8519

AR( 4) -0.177696 0.163864 -1.084412 0.2860

AR( 5) -0.185941 0.152462 -1.219589 0.2313

AR( 6) 0.089144 0.163710 0.544524 0.5897

AR( 7) 0.033957 0.171104 0.198459 0.8439

AR( 8) -0.157527 0.239983 -0.656410 0.5161

AR( 9) -0.564313 0.258719 -2.181178 0.0364

39

Продолжение таблицы

Dependent Variable: X

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

AR( 9) -0.564313 0.258719 -2.181178 0.0364

AR( 10) 0.205723 0.274590 0.749201 0.4590

AR( 11) -0.361187 0.276525 -1.306165 0.2005

AR( 12) 0.818430 0.284241 2.879354 0.0069

AR( 13) -0.790364 0.225473 -3.505352 0.0013

R-squared 0.987803 Mean dependent var 167766.8

Adjusted R-squared 0.982259 S.D. dependentvar 63152.37

S.E. of regression 8411.560 Akaike info criterion 21.17035

Sum squared resid 2.33E+09 Schwarz criterion 21.78809

Log likelihood -502.6736 F-statistic 178.1749

Durbin-Watson stat 1.716294 Prob( F-statistic) 0.000000

Если зафиксировать обе модели и производить по ним последовательные прогнозы на один шаг вперед, то получаются следующие результаты: Инновационный выброс: Аддитивный выброс:

00 : 08 00 : 09 00 : 10 00 : 11 00 : 12 01: 01 01: 02 00 08 00 09 00 10 00 11 00 12 01 01 01 02

¡□х ец^н^ |[—Ix ццх^их]

Соответственно, ошибки прогнозов имеют вид: Инновационный выброс: Аддитивный выброс:

30000 20000 10000 0

60000

40000-

20000-

0

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 11 i delta_ts |

11 i delta_ts i

40

Характеристики прогнозов по подобранным Т8-моделям:

Т8 (инновац.) Т8 (аддитивн.)

Коо1 Меап Squared Еггог 35901.47 18035.41

Меап АЬзоШе Еггог 33681.18 16031.46

Меап АЬзоШе РегсеП Еггог 9.064165 4.371771

Прогноз по второй модели оказывается предпочтительнее по всем трем показателям.

Сведем полученные результаты в одну таблицу.

Э8 иннов. Т8 иннов. Э8 аддитив. Т8 аддитив.

КМ8Е 23660.00 35901.47 20762.60 18035.41

МАЕ 21726.06 33681.18 19084.87 16031.46

МАРЕ 5.966785 9.064165 5.247909 4.371771

Из таблицы следует, что хотя обе БУ-модели лучше ГУ-модели с инновационным выбросом, наилучшей оказалась ГУ-модель с аддитивным выбросом.

Приведем теперь результаты, получаемые при использовании рекурсивных моделей. Сравнение будем производить для моделей с аддитивным выбросом, поскольку и среди ГУ-моделей, и среди БУ-моделей такая модель превосходит модель с инновационным выбросом по всем трем показателям.

Прогнозы:

по рекурсивной ГУ-модели по рекурсивной БУ-модели

00 08 00 09 00 : 10 00 11 00 12 01 01 01 02 [г ix i | xf_recursive|

63 64 65 66 67 68 69 [тл xi ixf_recur_ds|

41

Ошибки прогнозов: по рекурсивной Т^-модели

30000

2000010000. 0

п Пп

—1

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 || i реьта_рб |

по рекурсивной D»S,-модели

40000 30000 -20000 10000 -0

65 66 67 || i реьта_рб |

Характеристики точности прогнозов по рекурсивным моделям с аддитивным выбросом:

63

64

68

69

Рекурсивная ЭЭ Рекурсивная ТЭ

Коо! Меап Squared Еггог 18103.33 16733.83

Меап АЬзоШе Еггог 13663.46 13698.90

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.737642 3.747511

Сведем результаты в отношении ряда МО, полученные по моделям с аддитивным выбросом, в одну таблицу.

ЭЭ ре-курс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 18103.33 16733.83 20762.60 18035.41

Меап АЬзоШе Еггог 13663.46 13698.90 19084.87 16031.46

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.737642 3.747511 5.247909 4.371771

Среди фиксированных моделей с аддитивным выбросом лучшей по всем трем характеристикам точности прогнозов оказывается Г£-модель. Среди рекурсивных моделей ни одна из двух не является более предпочтительной. При этом и среди Г£-моделей, и среди DS-моделей рекурсивные модели оказались лучше фиксированных. Инновационный выброс

Прогнозы (по оси абсцисс номера наблюдений):

по рекурсивной Г£-модели по рекурсивной DS-модели

63 64 65 66 67 68 69 |Г~1Х i—|ХР_РЕСиР_Т8|

63 64 65 66 67 68 69 [ГП Х|—| ХЯ_РЕСЦР_Р8|

42

Ошибки прогнозов: по рекурсивной ТУ-модели

по рекурсивной БУ-модели

40000 30000 20000 10000 0

11 i ре|-та_т8 |

п 0е|_та_08

Характеристики точности прогнозов по рекурсивным моделям с инновационным выбросом:

40000

20000 -

0

63

64

65

66

67

68

69

63

64

65

66

67

68

69

Рекурсивная ЭЭ Рекурсивная ТЭ

Коо! Меап Squared Еггог 23070.19 24831.23

Меап АЬзоШе Еггог 21966.45 23946.98

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 6.002693 6.570231

Сведем результаты в отношении ряда М0, полученные по моделям с инновационным выбросом, в одну таблицу.

ЭЭ ре-курс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 23070.19 24831.23 23660.00 35901.47

Меап АЬзоШе Еггог 21966.45 23946.98 21726.06 33681.18

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 6.002693 6.570231 5.966785 9.064165

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей с инновационным выбросом лучшими по всем трем характеристикам точности прогнозов оказываются БУ-модели. Среди ТУ-моделей рекурсивная модель оказалась лучше фиксированной. Рекурсивные ТУ и БУ-модели дают близкие результаты. Наилучшей является рекурсивная ТУ-модель.

Подведем итоги исследования прогнозов на один шаг вперед для ряда М0. Среди фиксированных моделей в зависимости от типа выброса (инновационный или аддитивный) лучшей оказывается либо ТУ, либо БУ-модель. В целом рекурсивные модели дают лучшие прогнозы по сравнению с фиксированными моделями. При этом среди рекурсивных моделей ни одна из двух (ТУ или БУ) не является предпочтительной.

43

2.1.2. М1

За период 06.1995-02.2001 ряд М1 (в номинальных значениях) имеет

вид:

— X

При использовании критериев Перрона на наличие у этого ряда единичного корня с эндогенным выбором даты излома в упомянутой работе были получены следующие результаты (относящиеся к периоду с 06.1995 по 07.2000).

Для модели, допускающей сдвиг траектории и изменение наклона тренда в форме инновационного выброса (10), в качестве даты излома указан 07.1999.

Для модели, допускающей только изменение наклона тренда (без сдвига траектории) в форме аддитивного выброса (АО), в качестве даты излома указан 02.1999.

В обоих случаях гипотеза единичного корня не отвергается, что, в согласии с результатами применения других критериев, приводит к решению о том, что поведение траектории ряда М1 на временном интервале с 06.1995 по 07.2000 соответствует поведению DS-ряда (т.е. поведению интегрированного ряда, приведение которого к стационарному ряду требует дифференцирования). Тем не менее, имея в виду задачу сравнения прогнозов, получаемых по моделям ТБ- и DS-рядов, мы построим для периода 06.1995-07.2000 подходящие модели обоих типов - DS и ТБ.

Здесь и далее среди альтернативных вариантов модели одного типа (ТБ

44

или DS) мы будем отбирать модель авторегрессии, порядок которой определяется по наименьшему значению SIC информационного критерия Шварца (байесовского информационного критерия), проходящую стандартные диагностические тесты.

DS-модели

Сначала построим авторегрессионные DS-модели с инновационным выбросом (дата излома 07.1999) и с аддитивным выбросом (дата излома 02.1999), имеющие порядок 12.

Оцененная DS-модель с инновационным выбросом (дата излома 07.1999)

Dependent Variable: D(X)

Method: Least Squares

Date: 11/12/01 Time: 13:33

Sample( adjusted): 1996:07 2000:07

Included observations: 49 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 6538.025 5679.194 1.151224 0.2577

DTB 6763.981 15653.45 0.432108 0.6684

DU 15474.11 12173.59 1.271121 0.2123

D( X( -1)) -0.111283 0.169099 -0.658094 0.5149

D( X( -2)) 0.201149 0.162859 1.235112 0.2253

D( X( -3)) 0.086458 0.165345 0.522895 0.6044

D( X( -4)) 0.030484 0.158346 0.192518 0.8485

D( X( -5)) 0.091538 0.153038 0.598140 0.5537

D( X( -6)) 0.224769 0.151432 1.484287 0.1469

D( X( -7)) 0.123352 0.162645 0.758411 0.4534

D( X( -8)) -0.254336 0.183272 -1.387754 0.1742

D( X( -9)) -0.409614 0.186994 -2.190522 0.0354

D( X( -10)) -0.264368 0.208246 -1.269497 0.2129

D( X( -11)) -0.328840 0.234154 -1.404377 0.1693

D( X( -12)) 0.507417 0.227016 2.235154 0.0321

R-squared 0.608055 Mean dependent var 10454.73

Adjusted R-squared 0.446666 S.D. dependent var 17387.54

S.E. of regression 12933.97 Akaike info criterion 22.01989

Sum squared resid 5.69E+09 Schwarz criterion 22.59902

Log likelihood -524.4872 F-statistic 3.767632

Durbin-Watson stat 1.832913 Prob( F-statistic) 0.000779

45

DS-модель с аддитивным выбросом (дата излома 02.1999)

Dependent Variable: D(X)

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 4728.177 627.0684 7.540129 0.0000

DU 14890.38 1450.730 10.26406 0.0000

AR( 1) -0.345214 0.169657 -2.034775 0.0495

AR( 2) -0.079099 0.172553 -0.458402 0.6495

AR( 3) -0.129310 0.162248 -0.796990 0.4308

AR( 4) -0.137688 0.146297 -0.941151 0.3531

AR( 5) -0.067956 0.141762 -0.479370 0.6347

AR( 6) 0.041004 0.138808 0.295399 0.7694

AR( 7) -0.044951 0.144788 -0.310458 0.7581

AR( 8) -0.322453 0.148128 -2.176852 0.0363

AR( 9) -0.524660 0.160095 -3.277180 0.0024

AR( 10) -0.426078 0.184944 -2.303825 0.0273

AR( 11) -0.487277 0.195992 -2.486209 0.0178

AR( 12) 0.296755 0.196791 1.507967 0.1405

R-squared 0.667957 Mean dependent var 10454.73

Adjusted R-squared 0.544627 S.D. dependentvar 17387.54

S.E. of regression 11733.35 Akaike info criterion 21.81321

Sum squared resid 4.82E+09 Schwarz criterion 22.35373

Log likelihood -520.4237 F-statistic 5.416000

Durbin-Watson stat 1.837172 Prob( F-statistic) 0.000032

(Мы оставляем АЯ(12) в модели, несмотря на статистическую незначимость соответствующего коэффициента, поскольку при удалении этой переменной отвергается гипотеза некоррелированности ошибок.)

Если зафиксировать обе модели и производить прогнозы на один шаг вперед по этим двум моделям, то получаются следующие результаты:

Инновационный выброс:

Аддитивный выброс:

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01 01 01 02 || 1x1 ixfdsfixI

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 ii ix i i xf ds fix i

46

Ошибки прогнозов: Инновационный выброс:

60000.

40000200000

пП

и — и

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 || I DELTA_DS|

Аддитивный выброс:

80000 60000 40000 20000 0

и

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 11 i delta_d.s~|

Характеристики прогнозов по подобранным DS-моделям:

DS инновац. DS аддитивн.

Root Mean Squared Error 32677.59 30788.31

Mean Absolute Error 27062.91 25004.23

Mean Absolute Percent Error 3.374370 3.119278

Прогноз по второй модели оказывается предпочтительнее по всем трем показателям. Т8-модели

Т8-модель, допускающая сдвиг траектории и изменение наклона тренда в форме инновационного выброса с датой излома 07.1999

Dependent Variable: X

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 92605.11 38919.92 2.379376 0.0235

DU -8972.727 12764.01 -0.702971 0.4872

T 7352.346 2947.812 2.494170 0.0180

DT 17196.43 6372.049 2.698729 0.0110

X( -1) 0.588699 0.170328 3.456275 0.0016

X( -2) 0.147850 0.176315 0.838555 0.4079

X( -3) -0.116411 0.172833 -0.673549 0.5054

X( -4) -0.098169 0.175323 -0.559930 0.5794

X( -5) -0.030936 0.174361 -0.177426 0.8603

X( -6) 0.096587 0.164697 0.586453 0.5617

X( -7) -0.044053 0.172331 -0.255630 0.7999

X( -8) -0.299828 0.194321 -1.542947 0.1327

X( -9) -0.338117 0.197411 -1.712761 0.0964

X( -10) -0.078094 0.202998 -0.384705 0.7030

X( -11) -0.219526 0.205182 -1.069909 0.2927

X( -12) 0.546394 0.213084 2.564221 0.0152

X( -13) -0.578163 0.231096 -2.501836 0.0177

R-squared 0.995492 Mean dependent var 333059.7

Adjusted R-squared 0.993238 S.D. dependent var 138024.7

S.E. of regression 11350.15 Akaike info criterion 21.77964

Sum squared resid 4.12E+09 Schwarz criterion 22.43599

Log likelihood -516.6012 F-statistic 441.6414

Durbin-Watson stat 1.958880 Prob( F-statistic) 0.000000

47

Т8-модель, допускающая изменение наклона тренда в форме аддитивного выброса с датой излома 02.1999

Dependent Variable: X

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 105239.9 2647.314 39.75347 0.0000

T 4823.404 92.89645 51.92238 0.0000

DT 14422.74 453.3884 31.81102 0.0000

AR( 1) 0.456479 0.161153 2.832571 0.0078

AR( 2) 0.064584 0.162178 0.398228 0.6930

AR( 3) -0.160353 0.159935 -1.002611 0.3233

AR( 4) -0.150698 0.161762 -0.931602 0.3583

AR( 5) -0.058754 0.159910 -0.367422 0.7157

AR( 6) 0.058838 0.152973 0.384630 0.7030

AR( 7) -0.072117 0.156758 -0.460052 0.6485

AR( 8) -0.305773 0.173733 -1.760015 0.0877

AR( 9) -0.324015 0.179801 -1.802079 0.0807

AR( 10) -0.055112 0.183765 -0.299905 0.7661

AR( 11) -0.201223 0.183716 -1.095297 0.2813

AR( 12) 0.544210 0.187449 2.903237 0.0065

AR( 13) -0.537698 0.187655 -2.865350 0.0072

R-squared 0.996113 Mean dependent var 333059.7

Adjusted R-squared 0.994346 S.D. dependentvar 138024.7

S.E. of regression 10378.13 Akaike info criterion 21.59054

Sum squared resid 3.55E+09 Schwarz criterion 22.20827

Log likelihood -512.9682 F-statistic 563.8116

Если зафиксировать обе модели и производить последовательные прогнозы на один шаг вперед по этим двум моделям, то получаются следующие результаты:

Инновационный выброс: Аддитивный выброс:

00 08 00 09 00 10 00 11 00 12 01 01 01 02 il 1x1 ixf fix i

00 08 00 09 00 10 00 11 00 12 01 01 01 02 11 i x i i xf_fix|

48

Соответственно, ошибки прогнозов имеют вид Инновационный выброс: Аддитивный выброс:

8000060000 40000 20000 0

-20000

11 i 0е|-та_т8 |

i i 0е|-та_т8

Характеристики прогнозов по подобранным ГУ-моделям:

80000

60000

40000

20000

0

Т8 инновац. Т8 аддитивн.

Коо1 Меап Squared Еггог 36093.53 40981.79

Меап АЬзоШе Еггог 27502.40 32088.90

Меап АЬзоШе РегсеП Еггог 3.388481 3.958528

Прогноз по первой модели оказывается предпочтительнее по всем трем показателям.

Сведем полученные результаты в одну таблицу.

Э8 иннов. Т8 иннов. Э8 аддитив. Т8 аддитив.

КМ8Е 32677.59 36093.53 30788.31 40981.79

МАЕ 27062.91 27502.40 25004.23 32088.90

МАРЕ 3.374370 3.388481 3.119278 3.958528

Обе БУ-модели лучше ГУ-моделей по всем трем характеристикам.

Приведем теперь результаты, получаемые при использовании рекурсивных моделей, использующих одни и те же переменные, но коэффициенты которых переоцениваются при поступлении новых наблюдений (т.е. количество запаздываний не изменяется, так же как не изменяются и даты изломов).

Для рекурсивных моделей на графиках по оси абсцисс откладываются номера последовательных наблюдений, начиная с 06.1995 (так что 63-е наблюдение соответствует 08.2000, а 69-е соответствует 02.2001).

49

Рекурсивные модели с инновационным выбросом

Прогнозы:

по рекурсивной 75-модели по рекурсивной Д^-модели

63 64 65 66 67 68 69 || 1x1 |хр_ресцр_т8|

Ошибки прогнозов: по рекурсивной 75-модели

63 64 65 66 67 68 69

i 1x1 1хр ресцр рв

по рекурсивной Д^-модели

80000 60000 40000 20000 0

63 64 65 66 67 68 69 11 i ре|_тд_т8 |

60000 40000200000

п

— —

63 64 65 66 67 68 69 11 i ре|_тд_р8 |

Характеристики точности прогнозов по рекурсивным моделям с инновационным выбросом:

Рекурсивная Рекурсивная Т8

Коо1 Меап Squared Еггог 36796.05 36710.86

Меап АЬзоШе Еггог 30477.43 31124.61

Меап АЬзоШе РегсеП Еггог 3.793081 3.874630

50

Сведем полученные результаты в отношении ряда М1 для моделей с инновационным выбросом в одну таблицу.

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо1 Меап Squared Еггог 36796.05 36710.86 32677.59 36093.53

Меап АЬзоШе Еггог 30477.43 31124.61 27062.91 27502.40

Меап АЬзоШе РегсеП Еггог 3.793081 3.874630 3.374370 3.388481

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей с инновационным выбросом лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются Д^-модели (ИМ8Б для рекурсивной 75-модели меньше, но незначительно). При этом и среди 75-моделей, и среди Д^-моделей фиксированные модели оказались лучше рекурсивных. Наилучшей является фиксированная Д^-модель.

Рекурсивные модели с аддитивным выбросом

Прогнозы:

по рекурсивной 75-модели по рекурсивной Д^-модели

1

| 1x1 i хр_ресир_тб |

Ошибки прогнозов: по рекурсивной 75-модели

80000 60000 40000 20000 0

"пП п

и —

63 64 65 66 67 68 69 11 i ре|-та_т8 |

63 64 65 66 67 68 69 11 ix i i хр_кесик_рв|

по рекурсивной Д^-модели

60000

40000 -20000 -0

ПП гп

и и

63 64 65 66 67 68 69 11 i ре|_та_рэ1

63

64

65

66

67

68

69

51

Характеристики точности прогнозов по рекурсивным моделям с аддитивным выбросом:

Э8 рекурс. Т8 рекурс.

Коо! Меап Squared Еггог 33750.29 35153.12

Меап АЬзоШе Еггог 28915.77 20926.71

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.604901 3.621122

Сведем полученные результаты в отношении ряда М1 для моделей с аддитивным выбросом в одну таблицу.

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 33750.29 35153.12 30788.31 40981.79

Меап АЬзоШе Еггог 28915.77 29026.71 25004.23 32088.90

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.604901 3.621122 3.119278 3.958528

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей с аддитивным выбросом лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются БУ-модели. При этом среди ГУ-моделей лучшей оказалась рекурсивная модель, а среди БУ-моделей лучшей оказалась фиксированная модель. Наилучшей является фиксированная БУ-модель.

Подведем итоги исследования прогнозов на один шаг вперед для ряда М1. И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей для каждого из двух типов выбросов (инновационный или аддитивный) лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются БУ-моде-ли. При этом рекурсивные модели не обязательно дают лучшие прогнозы по сравнению с фиксированными моделями. Для обоих типов выбросов наилучшей оказалась фиксированная БУ-модель.

Приведем теперь результаты комбинированных прогнозов, получаемых следующими способами:

(а) на каждом шаге построения рекурсивных прогнозов в качестве прогнозного берется среднее арифметическое всех четырех рассмотренных выше рекурсивных прогнозов;

(б) на каждом шаге построения рекурсивных прогнозов в качестве прогнозного берется прогноз по модели, давшей наилучший прогноз значения ряда на предыдущем шаге.

52

Прогнозы:

80000

60000 -40000 -20000 -0

63 64 65 66 67 68 69 [гйх | | хр_ресцр_ауе |

Ошибки прогнозов:

63 64 65 66 67 68 11 i ре|_та_ауе|

63 64 65 66 67 68

□ x □ хр_сомро8еэ

1 1

и

60000 40000 -20000 -0

□ ое|_та_сомро8ео

Модели, давшие наилучшие прогнозы на 1, 2,..., 7 шагах, соответствен-

но:

ВБ_Ю, ВБ_Ю, ТБЛО, ВБ_Ю, ВБ_Ю, ТБ_Ю, ТБ_Ю. Напомним значения характеристик прогнозов по каждой из четырех рекурсивных моделей:

Э8_1О Т8_Ю Э8_АО Т8_АО

КМ8Е 36796.05 36710.86 33750.29 35153.12

МАЕ 30477.43 31124.61 28915.77 29026.71

МАРЕ 3.793081 3.874630 3.604901 3.621122

Хотя модель ВБ_ЛО ни на одном из семи шагов не дала наилучшего прогноза, она, тем не менее, оказалась лучшей среди рассмотренных рекурсивных моделей по совокупности прогнозов.

69

63

64

65

66

67

68 69

69

53

Характеристики прогнозов при применении стратегий (а) и (Ь):

Способ (а) Способ (Ь)

(усреднение) (комбинирование)

КМ8Е 34966.44 36260.71

МАЕ 29789.99 29975.76

МАРЕ 3.711062 3.761013

Выбор модели, которая была наилучшей на предыдущем шаге, приводит к несколько худшим значениям трех характеристик полученной последовательности прогнозов по сравнению с простым усреднением альтернативных вариантов прогнозов. В то же время простое усреднение прогнозов служит лишь защитой от следования только одной модели, которая может в результате дать наихудшую последовательность прогнозов.

2.1.3. М2

За период 06.1995-02.2001 ряд М2 (номинальный показатель) имеет

вид:

1996 1997 1998 1999 2000 -М2

При использовании критериев Перрона на наличие у этого ряда единичного корня с эндогенным выбором даты излома в работе [Эконометри-ческий анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей (2001)] были получены следующие результаты (относящиеся к периоду с 06.1995 по 07.2000).

54

Для модели, допускающей сдвиг траектории и изменение наклона тренда в форме инновационного выброса (10), в качестве даты излома указан 10.1999.

Для модели, допускающей только изменение наклона тренда (без сдвига траектории) в форме аддитивного выброса (АО), в качестве даты излома указан 05.1997.

В обоих случаях гипотеза единичного корня не отвергается, что, в согласии с результатами применения других критериев, приводит к решению о том, что поведение траектории ряда М2 на временном интервале с 06.1995 по 07.2000 соответствует поведению ДБ-ряда. Имея в виду задачу сравнения прогнозов, получаемых по моделям ТБ и ДБ-рядов, построим для периода 06.1995-07.2000 подходящие модели обоих типов - ДБ и ТБ.

Б8-модели

Сначала построим ДБ-модели с инновационным выбросом (дата излома 10.1999) и аддитивным выбросом (дата излома 05.1997). Оцененные модели имеют следующий вид.

DS-модель с инновационным выбросом

Dependent Variable: D(X)

Method: Least Squares

Sample: 1995:06 2000:07

Included observations: 62

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 3426.696 3623.040 0.945807 0.3491

DTB -5425.164 14786.03 -0.366911 0.7153

DU 12888.66 8529.525 1.511064 0.1375

D( X( -1)) 0.004036 0.137087 0.029442 0.9766

D( X( -2)) 0.335098 0.134238 2.496290 0.0161

D( X( -3)) 0.198757 0.142002 1.399685 0.1682

D( X( -4)) -0.000546 0.135054 -0.004044 0.9968

D( X( -5)) 0.036323 0.136403 0.266290 0.7912

D( X( -6)) 0.273612 0.135045 2.026077 0.0485

D( X( -7)) 0.138695 0.160186 0.865839 0.3910

D( X( -8)) -0.164941 0.158634 -1.039758 0.3038

D( X( -9)) -0.426693 0.159670 -2.672350 0.0103

D( X( -10)) -0.058623 0.170621 -0.343588 0.7327

D( X( -11)) -0.145693 0.198169 -0.735195 0.4659

D( X( -12)) 0.472155 0.187386 2.519684 0.0152

R-squared 0.625164 Mean dependent var 12790.32

Adjusted R-squared 0.513510 S.D. dependent var 16295.92

S.E. of regression 11366.21 Akaike info criterion 21.72156

Sum squared resid 6.07E+09 Schwarz criterion 22.23619

Log likelihood -658.3684 F-statistic 5.599148

Durbin-Watson stat 1.672096 Prob( F-statistic) 0.000004

55

DS-модель с аддитивным выбросом

Dependent Variable: D(X)

Method: Least Squares

Date: 11/22/01 Time: 10:29

Sample: 1995:06 2000:07

Included observations: 62

Convergence achieved after 32 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 2621.661 9620.741 0.272501 0.7864

DU -4952.548 6111.386 -0.810381 0.4217

AR( 1) 0.080314 0.124527 0.644955 0.5220

AR( 2) 0.380210 0.127038 2.992891 0.0044

AR( 3) 0.233580 0.138363 1.688176 0.0979

AR( 4) 0.002231 0.134620 0.016570 0.9868

AR( 5) 0.017391 0.134480 0.129320 0.8976

AR( 6) 0.262875 0.134403 1.955865 0.0563

AR( 7) 0.170206 0.150058 1.134270 0.2623

AR( 8) -0.104926 0.156309 -0.671272 0.5053

AR( 9) -0.380568 0.157295 -2.419456 0.0194

AR( 10) -0.014140 0.162464 -0.087036 0.9310

AR( 11) -0.032809 0.155304 -0.211259 0.8336

AR( 12) 0.643909 0.154721 4.161736 0.0001

R-squared 0.612218 Mean dependent var 12790.32

Adjusted R-squared 0.507194 S.D. dependent var 16295.92

S.E. of regression 11439.76 Akaike info criterion 21.72326

Sum squared resid 6.28E+09 Schwarz criterion 22.20358

Log likelihood -659.4209 F-statistic 5.829308

Durbin-Watson stat 1.708116 Prob( F-statistic) 0.000003

Если зафиксировать обе модели и производить прогнозы на один шаг вперед по этим двум моделям, то получаются следующие результаты: Инновационный выброс: Аддитивный выброс:

а

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 |ox oxf_fix|

№

О

00 : 08 00 09 00 10 00 11 00 12 01 01 01 02 || ixi ixf_fix|

56

Ошибки прогнозов: Инновационный выброс:

60000 40000 -20000 -0

-20000 --40000 --60000 --80000 -

и

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 || i delta_ds i

Аддитивный выброс:

60000 40000 20000 0

-20000 -40000 -60000 -80000

и

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

11 i delta_dS~|

Характеристики прогнозов по подобранным DS-моделям:

DS (инновац.) DS (аддитивн.)

Root Mean Squared Error 40870.17 41472.50

Mean Absolute Error 30168.47 30513.84

Mean Absolute Percent Error 2.814443 2.847573

По всем трем показателям качества обе модели достаточно близки, хотя формально лучшей оказывается модель с инновационным выбросом. Т8-модели

Т8-модель, допускающая сдвиг траектории и изменение наклона тренда в форме инновационного выброса с датой излома 10.1999

Dependent Variable: X

Method: Least Squares

Sample: 1995:06 2000:07

Included observations: 62

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 36749.89 12099.40 3.037332 0.0040

DU -4474.596 10582.46 -0.422831 0.6744

T 2886.380 835.1606 3.456077 0.0012

DT 8782.086 2681.435 3.275144 0.0020

X( -1) 0.846253 0.130008 6.509236 0.0000

X( -2) 0.282462 0.165456 1.707175 0.0947

X( -3) -0.088658 0.171157 -0.517993 0.6070

X( -4) -0.233731 0.170416 -1.371532 0.1770

X( -5) 0.000646 0.172620 0.003745 0.9970

X( -6) 0.279709 0.168430 1.660687 0.1037

X( -7) -0.013597 0.186172 -0.073037 0.9421

X( -8) -0.277851 0.201141 -1.381378 0.1740

X( -9) -0.347935 0.205507 -1.693054 0.0974

X( -10) 0.290939 0.203619 1.428843 0.1600

X( -11) -0.020465 0.224270 -0.091253 0.9277

X( -12) 0.567617 0.207125 2.740453 0.0088

X( -13) -0.680590 0.179540 -3.790734 0.0004

R-squared 0.997889 Mean dependent var 408717.7

Adjusted R-squared 0.997139 S.D. dependent var 189898.8

S.E. of regression 10157.86 Akaike info criterion 21.51780

Sum squared resid 4.64E+09 Schwarz criterion 22.10104

Log likelihood -650.0518 F-statistic 1329.635

Durbin-Watson stat 1.686412 Prob( F-statistic) 0.000000

57

Т8-модель, допускающая изменение наклона тренда в форме аддитивного выброса с датой излома 05.1997

Dependent Variable: X

Method: Least Squares

Date: 11/22/01 Time: 11:24

Sample( adjusted): 1996:07 2000:07

Included observations: 49 after adjusting endpoints

Convergence achieved after 26 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 216543.9 97470.58 2.221633 0.0333

T 665.5531 6387.900 0.104190 0.9176

DT 14928.06 9393.632 1.589168 0.1216

AR( 1) 0.981452 0.152779 6.424014 0.0000

AR( 2) 0.376224 0.210744 1.785219 0.0834

AR( 3) -0.187398 0.222473 -0.842339 0.4057

AR( 4) -0.321529 0.220437 -1.458599 0.1541

AR( 5) 0.007520 0.222916 0.033733 0.9733

AR( 6) 0.290384 0.218354 1.329876 0.1927

AR( 7) 0.004910 0.228411 0.021497 0.9830

AR( 8) -0.362048 0.255537 -1.416814 0.1659

AR( 9) -0.337684 0.256431 -1.316861 0.1970

AR( 10) 0.415446 0.253427 1.639316 0.1106

AR( 11) 0.101306 0.265421 0.381679 0.7051

AR( 12) 0.592220 0.257105 2.303415 0.0277

AR( 13) -0.691692 0.190090 -3.638771 0.0009

R-squared 0.996845 Mean dependent var 461334.7

Adjusted R-squared 0.995410 S.D. dependentvar 178906.8

S.E. of regression 12120.45 Akaike info criterion 21.90092

Sum squared resid 4.85E+09 Schwarz criterion 22.51866

Log likelihood -520.5727 F-statistic 695.0137

Durbin-Watson stat 1.651115 Prob( F-statistic) 0.000000

Если зафиксировать обе модели и производить последовательные прогнозы на один шаг вперед по этим двум моделям, то получаются следующие результаты:

Инновационный выброс: Аддитивный выброс:

r 1 щ

щцх □xf_flx ipx □xf_ftx|

58

Соответственно, ошибки прогнозов имеют вид: Инновационный выброс: Аддитивный выброс:

40000 20000 0

-20000 . -40000 --60000 --80000 -

и

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

80000-, 6000040000200000

и

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

|[щре|.та_тз| |[=|ре1.та_т8|

Характеристики прогнозов по подобранным Т8-моделям:

Т8 (инновац.) Т8 (аддитивн.)

Коо1 Меап Squared Еггог 43134.08 36993.30

Меап АЬзоШе Еггог 33700.94 29946.52

Меап АЬзоШе РегсеП Еггог 3.154151 2.796299

Прогноз по второй модели оказывается предпочтительнее по всем трем показателям.

Сведем полученные результаты в одну таблицу.

Э8 иннов. Т8 иннов. Э8 аддитив. Т8 аддитив.

КМ8Е 40870.17 43134.08 41472.50 36993.30

МАЕ 30168.47 33700.94 30513.84 29946.52

МАРЕ 2.814443 3.154151 2.847573 2.796299

Здесь ДБ-модель оказалась лучшей только среди моделей с инновационным выбросом. Наилучшей, как и в случае ряда М0, оказалась 7Б-модель с аддитивным выбросом.

Приведем теперь результаты, получаемые при использовании рекурсивных моделей (использующих те же переменные, те же количества запаздываний и даты изломов, что и в соответствующих фиксированных моделях).

59

Рекурсивные модели с инновационным выбросом

Прогнозы:

по рекурсивной ТУ-модели по рекурсивной ВУ-модели

63 64 65 66 67 68 69 || ix i |хр_ресцр8_т8|

Ошибки прогнозов: по рекурсивной ТУ-модели

63 64 65 66 67 68 69 || ix i i хр_ресцр8_08|

по рекурсивной ВУ-модели

80000

60000 -40000 -20000 -0

60000

40000 -20000 -0

65 66 67 11 | ре1.та т8 i

11 i ре|-та_р81

Характеристики точности прогнозов по рекурсивным моделям с инновационным выбросом:

Рекурсивная Э8 Рекурсивная Т8

Коо1 Меап 8quared Еггог 43295.36 42186.68

Меап АЬ8о1Ше Еггог 33643.49 32129.98

Меап АЬзоШе РегсеП Еггог 3.123998 2.982067

Рекурсивная ТУ-модель оказалась несколько лучше рекурсивной ВБ-модели.

63

64

68

69

63

64

65

66

67

68

69

60

Сведем полученные результаты в отношении ряда М2 для моделей с инновационным выбросом в одну таблицу.

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо1 Меап Squared Еггог 43295.36 42186.68 40870.17 43134.08

Меап АЬ8о1Ше Еггог 33643.49 32129.98 30168.47 33700.94

Меап АЬ8о1Ше РегсеП Еггог 3.123998 2.982067 2.814443 3.154151

Рекурсивная ДБ-модель дает лучшие прогнозы по сравнению с фиксированной ДБ-моделью, тогда как прогнозы по рекурсивной ГБ-модели несколько хуже, чем по фиксированной ДБ-модели. Лучшей в классе моделей с инновационным выбросом оказалась фиксированная ДБ-модель.

Рекурсивные модели с аддитивным выбросом

Прогнозы:

по рекурсивной ГБ-модели по рекурсивной ДБ-модели

63 64 65 66 67 68 69 || 1x1 i хр_кес1ж_т8|

Ошибки прогнозов: по рекурсивной ГБ-модели

63 64 65 66

63 64 65 66 67 68 69 || 1x1 i хр_ресцр_08|

по рекурсивной ДБ-модели

60000 40000200000

□ 0е|_тд_т8

63 64 65 66 67 68 69 || i ре1.та э81

80000

40000

0

67

68 69

61

Характеристики точности прогнозов по рекурсивным моделям с аддитивным выбросом:

Рекурсивная Т8 Рекурсивная Э8

Коо! Меап Squared Еггог 43020.02 42689.06

Меап АЬзоШе Еггог 35293.53 33642.68

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.284899 3.125200

Рекурсивная ВУ-модель имеет несколько лучшие характеристики прогнозов.

Сведем полученные результаты в отношении ряда М2 для моделей с аддитивным выбросом в одну таблицу.

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 42689.06 43020.02 41472.50 36993.30

Меап АЬзоШе Еггог 33642.68 35293.53 30513.84 29946.52

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.125200 3.284899 2.847573 2.796299

Рекурсивные модели дают худшие прогнозы по сравнению с фиксированными моделями и в классе ВУ-моделей, и в классе ТУ-моделей. Лучшей в классе моделей с аддитивным выбросом оказалась фиксированная ВУ-мо-дель.

Подведем итоги исследования прогнозов на один шаг вперед для ряда М2. В целом рекурсивные модели дают худшие прогнозы по сравнению с фиксированными моделями. Лучшей и в классе моделей с аддитивным выбросом, и в классе моделей с инновационным выбросом оказалась фиксированная ВУ-модель.

Проведенное эконометрическое моделирование и оценка различных методов прогнозирования денежных агрегатов М0, М1 и М2 показали, что для М1 и М2 наилучшей является фиксированная ВУ-модель, так что прогнозирование наиболее точно осуществляется для приростов денежных агрегатов без переоценки моделей. Содержательно это означает, что в то время как данные указывают на наличие стохастического тренда в динамике денежных агрегатов, приросты агрегатов вполне прогнозируемы. Это соответствует тому, что в относительно стабильных условиях Центральный банк придерживается стабильных ориентиров в проведении денежно-кредитной политики (как в отношении денежной базы, так и в отношении мультипликатора).

Полученный результат о том, что для прогнозирования временного ряда М0 предпочтительнее использовать рекурсивные модели, указывает на

62

то, что этот ряд подвержен более динамичным изменениям. Одно из объяснений этого может заключаться в том, что предложение наличных денег в отсутствие эффективных инструментов для стерилизации может зависеть от предложения валюты на валютном рынке, а значит, Центральный банк не может жестко контролировать МО.

2.2. Экспорт

В работе [Эконометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей (2001)] по результатам анализа данных за период с 01.1994 по 04.2000 этот ряд был отнесен к классу ГУ-рядов и квалифицирован как стационарный ряд с ненулевым средним. Мы рассмотрим поведение прогнозов для этого ряда на расширенном интервале до 12.2000. На этом интервале график ряда имеет вид:

| — export]

Оцененные авторегрессионные модели поведения этого ряда на временном интервале 01.1994-04.2000 Т8-модель

Dependent Variable: X

Method: Least Squares

Sample( adjusted): 1995:02 2000:04

Included observations: 63 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 2.239644 1.010418 2.216552 0.0313

X( -1) 0.651056 0.118845 5.478195 0.0000

X( -2) 0.015391 0.117147 0.131382 0.8960

X( -3) 0.146575 0.117572 1.246683 0.2184

X( -4) -0.000202 0.121629 -0.001661 0.9987

X( -5) 0.022581 0.133819 0.168740 0.8667

X( -6) -0.085018 0.133635 -0.636194 0.5276

63

Продолжение таблицы

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

X( -7) 0.024961 0.134457 0.185642 0.8535

X( -8) 0.028611 0.133500 0.214313 0.8312

X( -9) -0.108398 0.132628 -0.817312 0.4177

X(-10) -0.081318 0.133100 -0.610959 0.5441

X( -11) -0.106808 0.131358 -0.813111 0.4201

X( -12) 0.780794 0.135034 5.782197 0.0000

X( -13) -0.610254 0.130020 -4.693549 0.0000

R-squared 0.662984 Mean dependent var 6.982540

Adjusted R-squared 0.573572 S.D. dependentvar 1.018148

S.E. ofregression 0.664866 Akaike info criterion 2.214667

Sum squared resid 21.66028 Schwarz criterion 2.690919

Log likelihood -55.76201 F-statistic 7.414900

Durbin-Watson stat 2.096796 Prob( F-statistic) 0.000000

DS-MO^e^b

Dependent Variable: D(X)

Method: Least Squares

Sample( adjusted): 1995:02 2000:04

Included observations: 63 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D( X( -1)) -0.277817 0.117524 -2.363925 0.0219

D( X( -2)) -0.229351 0.121724 -1.884185 0.0652

D( X( -3)) -0.055384 0.126158 -0.439003 0.6625

D( X( -4)) -0.052706 0.126601 -0.416318 0.6789

D( X( -5)) -0.016802 0.135283 -0.124196 0.9016

D( X( -6)) -0.090949 0.139185 -0.653441 0.5164

D( X( -7)) -0.048823 0.146741 -0.332715 0.7407

D( X( -8)) 0.007220 0.146710 0.049216 0.9609

D( X( -9)) -0.069587 0.142771 -0.487403 0.6281

D( X( -10)) -0.120175 0.139854 -0.859290 0.3942

D( X( -11)) -0.190877 0.134192 -1.422409 0.1610

D( X( -12)) 0.627777 0.132611 4.733969 0.0000

R-squared 0.597714 Mean dependent var 0.038095

Adjusted R-squared 0.510947 S.D. dependent var 0.978549

S.E. of regression 0.684322 Akaike info criterion 2.248867

Sum squared resid 23.88313 Schwarz criterion 2.657083

Log likelihood -58.83931 Durbin-Watson stat 2.040815

64

Прогнозы по приведенным оцененным моделям:

ГУ-модель ДУ-модель

00:05 00:06 00:07 00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 |Шх ЦЦхр!

Ошибки прогнозов: ГУ-модель

00:05 00:06 00:07 00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 || ix i № рб i

ДУ-модель

1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0

□ об1_тд

□ обид

12

7

Характеристики прогнозов по подобранным моделям:

ТЭ

Коо1 Меап Squared Еггог 0.774216 0.883284

Меап АЬзоШе Еггог 0.636348 0.769132

Меап АЬ8о1Ше РегсеП Еггог 6.889349 8.383397

По всем трем показателям лучшее качество прогнозов дает ДУ-модель.

65

Рассмотрим теперь результаты прогнозирования по рекурсивным ТБ- и ДБ-моделям.

Прогнозы по оцененным моделям:

ТБ-модель ДБ-модель

11т- 12-1

77 78 79 80 81 82 83 84 [Г~1Х I IXF RECURS TS I

77 78 79 80 81 82 83 84 [Г~|Х I IXF RECURS DS I

Ошибки прогнозов: ГБ-модель

ДБ-модель

77 78 79 80 81 82 83 84

77 78 79 80 81 82 83 84

I I DELTA TS

□ DELTA_DS

Характеристики прогнозов по рекурсивным моделям:

DS рекурс. TS рекурс.

Root Mean Squared Error 0.731282 0.818717

Mean Absolute Error 0.599139 0.725064

Mean Absolute Percent Error 6.513077 7.905067

Сведем полученные результаты в отношении ряда EXPORT в одну таб-

лицу.

10

9

8

7

6

66

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Иоо( Меап Squared Еггог 0.731282 0.818717 0.774216 0.883284

Меап АЬ^о1и1е Еггог 0.599139 0.725064 0.636348 0.769132

Меап АЬ^о1и1е Регсеп Еггог 6.513077 7.905067 6.889349 8.383397

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей лучшими оказываются ДУ-модели. И среди ДУ-моделей, и среди ГУ-моделей лучшими оказываются рекурсивные модели. Наилучшей является рекурсивная ДУ-модель.

Экспорт Российской Федерации более чем на 50% состоит из экспорта минерального сырья, черных и цветных металлов, цены на которые в значительной степени волатильны и определяются на мировых рынках ресурсов. Эти цены, в частности цены на нефть, являются нестационарными, что в значительной степени определяет наличие стохастического тренда во временном ряде экспорта. Дополнительной особенностью является то, что прогнозирование экспорта в приростах на рассматриваемом временном интервале лучше осуществляется на основе рекурсивных моделей. Это обстоятельство может быть частично объяснено изменением структуры экспорта, что привносит дополнительные инновационные выбросы в рассматриваемый временной ряд.

2.3. Налоговые доходы федерального бюджета

В работе [Эконометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей (2001)] этот ряд рассматривался на временном интервале с 01.1996 по 05.2000 и был классифицирован в этом периоде как ДУ-ряд.

На интервале 01.1996-12.2000 график ряда имеет вид:

1996 1997 1998 1999 2000

|-ЫДЮСйОКИ |

67

При использовании критериев Перрона на наличие у этого ряда единичного корня с эндогенным выбором даты излома в упомянутой работе были получены следующие результаты (относящиеся к периоду с 01.1996 по 05.2000).

Для модели, допускающей сдвиг траектории и изменение наклона тренда в форме инновационного выброса (10), в качестве даты излома указан 04.1999.

Для модели, допускающей только изменение наклона тренда (без сдвига траектории) в форме аддитивного выброса (АО), в качестве даты излома указан 02.1999.

В обоих случаях гипотеза единичного корня не отвергается, что, в согласии с результатами применения других критериев, приводит к решению о том, что поведение траектории ряда на временном интервале с 01.1996 по 05.2000 соответствует поведению ДБ-ряда. Тем не менее, имея в виду задачу сравнения прогнозов, получаемых по моделям ТБ- и ДБ-рядов, мы построим для периода 01.1996-05.2000 подходящие модели обоих типов - ДБ и ТБ.

Б8-модели

Сначала построим авторегрессионные ДБ-модели с инновационным выбросом (дата излома 04.1999) и с аддитивным выбросом (дата излома 02.1999), имеющие порядок 11.

Оцененная DS-модель с инновационным выбросом (дата излома 04.1999)

Dependent Variable: D(X)

Method: Least Squares

Sample( adjusted): 1997:02 2000:05

Included observations: 40 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 1059.300 1049.066 1.009756 0.3223

DTB -13770.96 6072.221 -2.267862 0.0322

DU 8327.450 4843.548 1.719287 0.0979

D( X( -1)) -0.325442 0.174342 -1.866695 0.0737

D( X( -2)) -0.242826 0.179405 -1.353504 0.1880

D( X( -3)) -0.171433 0.182824 -0.937694 0.3574

D( X( -4)) -0.049076 0.184115 -0.266554 0.7920

D( X( -5)) 0.080119 0.186491 0.429614 0.6712

D( X( -6)) -0.024464 0.206353 -0.118556 0.9066

D( X( -7)) -0.024099 0.223645 -0.107754 0.9151

D( X( -8)) -0.144790 0.230824 -0.627276 0.5362

D( X( -9)) -0.356881 0.222879 -1.601234 0.1219

D( X( -10)) -0.341746 0.213861 -1.597985 0.1226

68

Продолжение таблицы

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D( X( -11)) -0.365560 0.193194 -1.892197 0.0701

D( X( -12)) 0.392994 0.175103 2.244358 0.0339

R-squared 0.774788 Mean dependent var 1916.750

Adjusted R-squared 0.648670 S.D. dependent var 8880.354

S.E. of regression 5263.664 Akaike info criterion 20.25504

Sum squared resid 6.93E+08 Schwarz criterion 20.88837

Log likelihood -390.1008 F-statistic 6.143329

Durbin-Watson stat 1.920896 Prob( F-statistic) 0.000045

DS-модель с аддитивным выбросом (дата излома 02.1999)

_Dependent Variable: D(X)_

_Method: Least Squares_

_Sample(adjusted): 1996:05 2000:05_

_Included observations: 49 after adjusting endpoints_

Convergence achieved after 5 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 238.1837 130.7869 1.821159 0.0769

DU 3592.132 333.1648 10.78185 0.0000

AR( 1) -0.832716 0.117557 -7.083500 0.0000

AR( 2) -0.748377 0.145532 -5.142359 0.0000

AR( 3) -0.649621 0.165592 -3.923010 0.0004

AR( 4) -0.534694 0.179638 -2.976508 0.0052

AR( 5) -0.391297 0.183270 -2.135081 0.0396

AR( 6) -0.411871 0.181896 -2.264319 0.0297

AR( 7) -0.428597 0.183203 -2.339463 0.0250

AR( 8) -0.473734 0.178118 -2.659665 0.0116

AR( 9) -0.612492 0.166437 -3.680034 0.0008

AR( 10) -0.708869 0.149669 -4.736254 0.0000

AR( 11) -0.760419 0.124098 -6.127559 0.0000

R-squared 0.717094 Mean dependent var 1510.449

Adjusted R-squared 0.622792 S.D. dependent var 9668.323

S.E. of regression 5938.021 Akaike info criterion 20.43845

Sum squared resid 1.27E+09 Schwarz criterion 20.94036

Log likelihood -487.7420 F-statistic 7.604223

Durbin-Watson stat 2.069674 Prob( F-statistic) 0.000001

69

Если зафиксировать обе модели и производить прогнозы на один шаг вперед по этим двум моделям, то получаются следующие результаты: Инновационный выброс: Аддитивный выброс:

90000 -80000. 70000

00 06 00 07 00 08 00 09 00 10 00 11 00 12 | □ X □ ХР_Р8 |

Ошибки прогнозов: Инновационный выброс:

15000

1000050000

-5000 -

90000 80000 70000

00 06 00 07 00 08 00 09 00 10 00 11 00 12 [□X ЦЦХ^РБ]

Аддитивный выброс:

|| I РЕ1_ТА_Р8| 11 I РЕ_ТА_Р8 |

Характеристики прогнозов по подобранным ДБ-моделям:

инновац. аддитивн.

Коо1 Меап Squared Еггог 8459.231 9646.584

Меап АЬ8о1Ше Еггог 6809.506 8902.694

Меап АЬзоШе РегсеП Еггог 7.994012 10.90060

5000

0

70

TS-модели

TS-модель, допускающая сдвиг траектории и изменение наклона тренда в форме инновационного выброса с датой излома 04.1999

Dependent Variable: X Method: Least Squares Sample(adjusted): 1997:02 2000:05

Included observations: 40 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 8260.345 22877.30 0.361072 0.7213

DU 622.4802 5714.737 0.108925 0.9142

T 209.5077 161.5124 1.297162 0.2074

DT 2632.884 3030.193 0.868883 0.3939

X( -1) 0.385968 0.223207 1.729190 0.0972

X( -2) 0.021530 0.152492 0.141189 0.8890

X( -3) 0.035270 0.151872 0.232233 0.8184

X( -4) 0.090503 0.149418 0.605705 0.5506

X( -5) 0.056159 0.144855 0.387691 0.7018

X( -6) -0.083065 0.160478 -0.517610 0.6097

X( -7) -0.014157 0.163874 -0.086389 0.9319

X( -8) -0.122748 0.169391 -0.724642 0.4760

X( -9) -0.242626 0.160772 -1.509125 0.1449

X(-10) -0.082384 0.157644 -0.522597 0.6063

X( -11) -0.107512 0.156546 -0.686775 0.4991

X( -12) 0.680388 0.155324 4.380446 0.0002

X( -13) -0.241768 0.217570 -1.111220 0.2780

R-squared 0.961063 Mean dependent var 33456.95

Adjusted R-squared 0.933976 S.D. dependent var 20596.03

S.E. of regression 5292.182 Akaike info criterion 20.28246

Sum squared resid 6.44E+08 Schwarz criterion 21.00024

Log likelihood -388.6493 F-statistic 35.48084

Durbin-Watson stat 1.979157 Prob(F-statistic) 0.000000

71

TS-модель, допускающая изменение наклона тренда в форме аддитивного выброса с датой излома 02.1999

Dependent Variable: X

Method: Least Squares

Sample(adjusted): 1997:01 2000:05

Included observations: 41 after adjusting endpoints

Convergence achieved after 10 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 17176.29 2378.173 7.222474 0.0000

DU 2887.408 3785.067 0.762842 0.4527

T 141.7255 95.47941 1.484357 0.1502

DT 3519.175 309.2493 11.37973 0.0000

AR( 1) -0.068358 0.170221 -0.401584 0.6914

AR( 2) -0.092527 0.166782 -0.554775 0.5840

AR( 3) -0.095203 0.163811 -0.581172 0.5663

AR( 4) -0.025976 0.156108 -0.166395 0.8692

AR( 5) 0.014917 0.142789 0.104468 0.9176

AR( 6) -0.142908 0.143724 -0.994324 0.3296

AR( 7) -0.096370 0.142394 -0.676786 0.5048

AR( 8) -0.158724 0.137935 -1.150716 0.2607

AR( 9) -0.287779 0.139024 -2.069993 0.0489

AR( 10) -0.199420 0.154979 -1.286753 0.2100

AR( 11) -0.197585 0.157000 -1.258504 0.2198

AR( 12) 0.559493 0.165522 3.380172 0.0024

R-squared 0.964628 Mean dependent var 32920.44

Adjusted R-squared 0.943405 S.D. dependentvar 20625.06

S.E. of regression 4906.662 Akaike info criterion 20.12037

Sum squared resid 6.02E+08 Schwarz criterion 20.78908

Log likelihood -396.4675 F-statistic 45.45134

Durbin-Watson stat 1.437416 Prob(F-statistic) 0.000000

Если зафиксировать обе модели и производить последовательные прогнозы на один шаг вперед по этим двум моделям, то получаются следующие результаты:

Инновационный выброс: Аддитивный выброс:

00 06 00 :07 00 :08 00 :09 00:10 00: 11 00 12 11 1X1 I XF_TS |

00 06 00 07 00 08 00 09 00 10 00 11 00 12 | □ X □ XF_TS |

90000

90000

80000

80000

70000

70000

72

Соответственно, ошибки прогнозов имеют вид: Инновационный выброс: Аддитивный выброс:

-4000 -6000 -8000

00:06 00:07 00:08 00:09 00:10 00:11 00:12

00:06 00:07 00:08 00:09 00:10 00:11 00:12

| □ РЕ[_ТА_ТБ | | □ РЕ1_ТА_Тз|

Характеристики прогнозов по подобранным ГУ-моделям:

0

Т8 инновац. Т8 аддитивн.

Коо1 Меап Squared Еггог 12180.72 12989.34

Меап АЬзоШе Еггог 11051.46 12358.84

Меап АЬзоШе РегсеП Еггог 13.68804 14.98790

Сведем полученные результаты в одну таблицу.

Э8 иннов. Т8 иннов. Э8 аддитив. Т8 аддитив.

КМ8Е 8459.231 12180.72 9646.584 12989.34

МАЕ 6809.506 11051.46 8902.694 12358.84

МАРЕ 7.994012 13.68804 10.90060 14.98790

Приведем теперь результаты, получаемые при использовании рекурсивных моделей, использующих одни и те же переменные, но коэффициенты которых переоцениваются при поступлении новых наблюдений (т.е. количество запаздываний не изменяется, так же как не изменяются и даты изломов).

Для рекурсивных моделей на графиках по оси абсцисс откладываются номера последовательных наблюдений, начиная с 01.1996 (так что 53-е наблюдение соответствует 05.2000, а 60-е соответствует 12.2000).

73

Рекурсивные модели с инновационным выбросом

Прогнозы:

по рекурсивной ГУ-модели по рекурсивной ДУ-модели

□ X □ Х1=_ИЕС1Кв_Тв

Ошибки прогнозов: по рекурсивной ГУ-модели

15000 1000050000

-5000 -

54 55 56 57 58 59 60 11 I РЕ1_ТА Тв I

54 55 56 57 58 59 60

□ X □ ХР_ИЕС1Кв_Рв

по рекурсивной ДУ-модели

15000 1000050000

-5000-

54 55 56 57 58 59 60 11 I РЕ1_ТА Рв I

Характеристики точности прогнозов по рекурсивным моделям с инновационным выбросом:

Рекурсивная Э8 Рекурсивная Т8

Коо! Меап Squared Еггог 8656.144 9105.602

Меап АЬзоШе Еггог 7019.826 7385.307

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 8.095278 8.557180

Сведем полученные результаты в отношении ряда налоговых доходов федерального бюджета для моделей с инновационным выбросом в одну таблицу.

70000

70000

54

55

56

57

58 59

60

74

DS ре-курс. TS ре-курс. DS фикс. TS фикс.

Root Mean Squared Error 8656.144 9105.602 8459.231 12180.72

Mean Absolute Error 7019.826 7385.307 6809.506 11051.46

Mean Absolute Percent Error 8.095278 8.557180 7.994012 13.68804

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей с инновационным выбросом лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются ДБ-модели. Среди ДБ-моделей фиксированные модели оказались лучше рекурсивных. Однако среди ГБ-моделей рекурсивные модели обеспечивают значительное улучшение качества прогнозов. Наилучшей является фиксированная ДБ-модель.

Рекурсивные модели с аддитивным выбросом

Прогнозы:

по рекурсивной ГБ-модели по рекурсивной ДБ-модели

54 55 56 57 58 59

11 1X1 I XF RECUR TS |

Ошибки прогнозов: по рекурсивной ГБ-модели

10000 50000

-5000 -

54 55 56 57 58 59 60 11 I DELTA TSI

54 55 56 57 58 59 60 || IX | I Х^Еа-^_РБ |

по рекурсивной ДБ-модели

10000 5000 0

-5000

54 55 56 57 58 59 60 || I DELTA DSI

90000

80000

70000

70000

60

75

Характеристики точности прогнозов по рекурсивным моделям с аддитивным выбросом:

рекурс. Т8 рекурс.

Коо1 Меап Squared Еггог 9044.562 9495.680

Меап АЬзоШе Еггог 8003.194 8416.063

Меап АЬзоШе Регсеп Еггог 9.648978 10.166833

Сведем полученные результаты в отношении ряда налоговых доходов федерального бюджета для моделей с аддитивным выбросом в одну табли-

цу.

Б8 рекурс. Т8 рекурс. Б8 фикс. Т8 фикс.

Иоо( Меап Squared Еггог 9044.562 9495.680 9646.584 12989.34

Меап АЬво^е Еггог 8003.194 8416.063 8902.694 12358.84

Меап АЬво^е Регсеп Еггог 9.648978 10.166833 10.90060 14.98790

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей с аддитивным выбросом лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются ДБ-модели. При этом и среди ГБ-моделей, и среди ДБ-моделей лучшими оказались рекурсивные модели. Наилучшей является рекурсивная ДБ-модель.

Подведем итоги исследования прогнозов на один шаг вперед для налоговых доходов федерального бюджета. И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей для каждого из двух типов выбросов (инновационный или аддитивный) лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются ДБ-модели. При этом рекурсивные модели не обязательно дают лучшие прогнозы по сравнению с фиксированными моделями. Наилучшей для инновационного выброса оказалась фиксированная ДБ-модель, а наилучшей для аддитивного выброса оказалась рекурсивная ДБ-модель.

При прогнозировании налоговых доходов федерального бюджета также оказалось, что данный временной ряд лучше прогнозировать в приростах. Как видно из динамики, ряд имеет значительную сезонную составляющую со значительными отклонениями в отдельные годы. Возможно поэтому рекурсивные модели не всегда лучше фиксированных, даже несмотря на налоговую реформу, проводимую в последние годы, которая не могла не сказаться на величине и динамике налоговых поступлений в федеральный бюджет РФ. Более подробно исследование качества прогнозирования налоговых доходов и поступлений отдельных налогов приведено в главе 5.

76

2.4. Безработица

Для анализа временного ряда безработицы будем использовать период с 01.1994 по 04.1998, на котором этот ряд в работе [Эконометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей (2001)] был определен как стационарный относительно линейного тренда. График ряда на этом интервале имеет вид:

-UNJOB

В качестве базового возьмем здесь период с 01.1994 по 09.1997, так что прогнозы будем производить, как и для предыдущих рядов, на последующие семь месяцев.

Построение ГУ-модели дает следующие результаты:

Dependent Variable: UNJOB

Sample(adjusted): 1994:02 1997:09

Included observations: 44 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 2.374932 0.537120 4.421607 0.0001

T 0.029559 0.007321 4.037459 0.0002

UNJOB( -1) 0.539134 0.108762 4.957033 0.0000

R-squared 0.989811 Mean dependent var 6.572727

Adjusted R-squared 0.989314 S.D. dependent var 0.848080

S.E. of regression 0.087670 Akaike info criterion -1.964718

Sum squared resid 0.315130 Schwarz criterion -1.843069

Log likelihood 46.22381 F-statistic 1991.396

Durbin-Watson stat 1.808843 Prob( F-statistic) 0.000000

77

(Здесь модель с включением в правую часть только запаздывания на один шаг уже проходит все стандартные тесты.) При построении ДБ-модели получаем:

Dependent Variable: D( UNJOB)

Sample(adjusted): 1994:02 1997:09

Included observations: 44 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.075000 0.015635 4.796958 0.0000

R-squared 0.000000 Mean dependent var 0.075000

Adjusted R-squared 0.000000 S.D. dependent var 0.103710

S.E. of regression 0.103710 Akaike info criterion -1.671967

Sum squared resid 0.462500 Schwarz criterion -1.631417

Log likelihood 37.78327 Durbin-Watson stat 1.989189

(Эта модель также проходит все стандартные тесты.) Фиксируя эти две модели, получаем следующие результаты последовательного прогнозирования значений ряда на один шаг вперед.

ГБ-модель ДБ-модель

8.6.

8.58.48.38.28.1-

8.0.

97 10 97 11 97 12 98 01 98 02 98 03 98 04 [ТП UNJOB I I FOREC_TS_FlX

Ошибки прогнозов: ТБ-модель

97: 10 97: 11 97: 12 98:01 98:02 98:03 98:04 11 I DELTA_TS_FIX|

97 10 97 11 97 12 98 01 98 02 98 03 98 04 [ГП UNJOB I I FOREC_DS_FlX

ДБ-модель

97:10 97:11 97:12 98:01 98:02 98:03 98:04

11 I DELTA_DS_FlX

78

Характеристики прогнозов:

8.58.48.38.28.18.046 47 48 49 50 51 52

|| и I I ХР_КЕСЦКЗ_ТЗ

Ошибки прогнозов: ГУ-модель

0.150.100.050.00-0.05-0.10-

8.58.48.38.28.18.046 47 48 49 50 51 52

|| и I I ХР_КЕСЦКЗ_ТЗ

ДУ-модель

0.150.100.050.00-0.05-0.10-

Т8 Э8

Коо1 Меап Squared Еггог 0.068207 0.070076

Меап АЬ8о1Ше Еггог 0.060048 0.060714

Меап АЬзоШе РегсеП Еггог 0.724306 0.734373

Значения указанных трех характеристик для ТУ и ДУ-моделей достаточно близки. Некоторое преимущество имеет ГУ-модель.

Приведем теперь результаты прогнозирования по рекурсивным ТУ- и ДУ-моделям.

ГУ-модель

ДУ-модель

ТТЛ"

46 47 48 49 50 51 52 11 I РЕ1_ТА_ТЗ|

46 47 48 49 50 51

□ РЕ_ТА_РЗ

52

79

Характеристики одношаговых прогнозов по рекурсивным моделям:

Э8 рекурс. Т8 рекурс.

Коо! Меап Squared Еггог 0.070806 0.067143

Меап АЬзоШе Еггог 0.061088 0.060246

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 0.738836 0.727211

Для рекурсивных ГБ- и ДБ-моделей характеристики прогнозов опять достаточно близки, преимущество также имеет ГБ-модель.

Сведем полученные результаты в отношении ряда иШОВ в одну таблицу.

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 0.070806 0.067143 0.070076 0.068207

Меап АЬзоШе Еггог 0.061088 0.060246 0.060714 0.060048

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 0.738836 0.727211 0.734373 0.724306

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей несколько лучшими оказываются ГБ-модели. В целом все четыре модели имеют очень близкие показатели качества прогнозов. Как видно из графика динамики безработицы, этот показатель имеет достаточно стабильную динамику без резких колебаний с выраженным повышающимся трендом. Статистика по безработице в Российской Федерации очень слабо отражает занятость трудовых ресурсов, и это объясняется тем, что довольно большое количество работников формально числятся на предприятиях, работая неполную неделю или неполный рабочий день (некоторые предприятия формально функционируют, практически не работая, и т.п.). В целом официальная статистика по безработице является достаточно инертным, легко прогнозируемым показателем, что и объясняет полученные при анализе результаты.

2.5. Индекс интенсивности промышленного производства

Следуя работе [Эконометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей (2001)], возьмем для рассмотрения докризисный период с 01.1994 по 08.1998, на котором ряд индекса интенсивности промышленного производства (сезонно сглаженный) был классифицирован как ДБ-ряд.

80

График ряда на данном интервале имеет вид:

-INTPROM

Оцененная ГУ-модель авторегрессии относительно линейного тренда имеет вид:

Dependent Variable: X

Sample: 1994:01 1998:01

Included observations: 49

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.420358 0.248287 1.693031 0.0984

T -0.000355 0.001167 -0.304595 0.7623

X( -1) 3.767049 0.140808 26.75316 0.0000

X( -2) -6.570359 0.570864 -11.50950 0.0000

X( -3) 6.635075 1.172242 5.660157 0.0000

X( -4) -3.519549 1.589186 -2.214687 0.0327

X( -5) -0.182805 1.533573 -0.119202 0.9057

X( -6) 1.851247 1.054838 1.755005 0.0871

X( -7) -1.373388 0.478584 -2.869689 0.0066

X( -8) 0.382818 0.108436 3.530373 0.0011

R-squared 0.999758 Mean dependent var 43.86466

Adjusted R-squared 0.999702 S.D. dependentvar 2.682861

S.E. of regression 0.046324 Akaike info criterion -3.126391

Sum squared resid 0.083692 Schwarz criterion -2.740305

Log likelihood 86.59658 F-statistic 17884.22

Durbin-Watson stat 1.874209 Prob( F-statistic) 0.000000

(Порядок модели определяется как и ранее).

81

Оцененная ДБ-модель имеет вид:

Dependent Variable: D(X)

Method: Least Squares

Sample: 1994:01 1998:01

Included observations: 49

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.014830 0.008756 -1.693669 0.0979

D( X( -1)) 2.878065 0.142754 20.16106 0.0000

D( X( -2)) -4.038304 0.454983 -8.875715 0.0000

D( X( -3)) 3.221708 0.782165 4.118961 0.0002

D( X( -4)) -1.089103 0.900020 -1.210088 0.2332

D( X( -5)) -0.535873 0.723454 -0.740715 0.4631

D( X( -6)) 0.817822 0.390195 2.095930 0.0423

D( X( -7)) -0.327252 0.111240 -2.941861 0.0053

R-squared 0.992350 Mean dependent var -0.220853

Adjusted R-squared 0.991044 S.D. dependent var 0.522865

S.E. of regression 0.049481 Akaike info criterion -3.026186

Sum squared resid 0.100382 Schwarz criterion -2.717317

Log likelihood 82.14155 F-statistic 759.8284

Durbin-Watson stat 1.787437 Prob(F-statistic) 0.000000

Фиксируя эти две модели, получаем одношаговые прогнозы: ТБ-модель ДБ-модель

98:02 98:03 98:04 98:05 98:06 98:07 98:08 || XI IXF_TS_FIX|

Ошибки прогнозов: ТБ-модель

В:02 98:03 98:04 98:05 98:06 98:07 98:08 11 I DELTA_TS_FIX|

8:02 98:03 98:04 98:05 98:06 98:07 98:08 Р IX IXF_DS_FIX|

ДБ-модель

98:02 98:03 98:04 98:05 98:06 98:07 98:0 11 I DELTA_DS_FlX

42

42

41

41

40

40

39

39

38

38

37

37

82

Характеристики прогнозов:

ТЭ

Коо! Меап Squared Еггог 0.050764 0.048401

Меап АЬвоШе Еггог 0.039615 0.039698

Меап АЬвоШе Регсеп! Еггог 0.098420 0.100229

Характеристики прогнозов по фиксированным моделям очень близки. Приведем теперь результаты прогнозирования по рекурсивным ТУ- и ДУ-моделям.

ТУ-модель

98 99 100 101 102 103 104 [| 1x1 |хр_ресцрз_тз|

Ошибки прогнозов:

ТУ-модель

0.06 0.040.020.00 -0.02-0.04-0.06-0.08-0.10

98 99 100 101 102 103 104

ДУ-модель

98 99 100 101 102 103 104 [ГНх i хр_ресирз_эз |

ДУ-модель

98 99 100 101 102 103 104

11 I РЕ_ТА_ГЗ || I РЕ_ТА_0З|

Характеристики одношаговых прогнозов по рекурсивным моделям:

42

42

41-

41

40-

40

39-

39

38-

38

37

37

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс.

Коо! Меап Squared Еггог 0.049396 0.048034

Меап АЬзо1и!е Еггог 0.039283 0.039433

Меап АЬзо1и!е Регсеп! Еггог 0.099288 0.098643

Результаты оказываются весьма близкими.

83

Сведем полученные результаты в отношении ряда интенсивности промышленного производства в одну таблицу.

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 0.049396 0.048034 0.048401 0.050764

Меап АЬ8о1Ше Еггог 0.039283 0.039433 0.039698 0.039615

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 0.099288 0.098643 0.100229 0.098420

Ни одна из моделей не имеет определенного преимущества перед другими. Это согласуется с тем, что в краткосрочной перспективе (сглаженный) индекс промышленного производства имеет достаточно предсказуемую динамику и не содержит сезонных колебаний, которые можно было бы легко учитывать в эконометрических моделях временных рядов.

2.6. Индекс интенсивности производства цветных металлов

Индекс интенсивности производства цветных металлов был выбран в качестве примера для анализа индекса отраслевого промышленного производства. На всем временном интервале регистрации этого индекса графики поведения самого индекса и его сезонно скорректированного варианта имеют следующий вид:

84

110

60 -(_,_,_,_,_,_,_,_,_,_,_

90 91 £29394959397£е90СО(^

-2УЕЛМЕГ_£А ]

Здесь мы выделим для рассмотрения период с 01.1994 до 02.2001. При этом мы избегаем проблем с идентификацией момента излома ряда и вместо этого проанализируем как сам ряд, так и его сезонно скорректированный вариант. Как и при исследовании предыдущих рядов, будем получать одно-шаговые прогнозы на один шаг вперед для семи будущих моментов времени. Поэтому первоначально построим авторегрессионные модели на временном интервале с 01.1994 до 07.2000.

Нескорректированный ряд

-^ЕТМЕТ ЫБА

85

Оценивание модели с детерминированным линейным трендом дает следующий результат:

_Dependent Variable: X NSA_

_Method: Least Squares_

_Sample: 1994:01 2000:07_

Included observations: 79

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 36.56804 15.62891 2.339770 0.0224

@TREND( 1993:12) 0.161451 0.067919 2.377117 0.0204

X NSA( -1) 0.425699 0.117298 3.629225 0.0006

X NSA( -2) 0.003631 0.119202 0.030463 0.9758

X NSA( -3) 0.140500 0.115874 1.212525 0.2298

X NSA( -4) 0.021980 0.116278 0.189029 0.8507

X NSA( -5) 0.045544 0.115937 0.392835 0.6957

X NSA( -6) -0.164483 0.117617 -1.398463 0.1668

X NSA( -7) 0.238075 0.116501 2.043543 0.0451

X NSA( -8) -0.097152 0.113795 -0.853743 0.3964

X NSA( -9) -0.059488 0.110920 -0.536313 0.5936

X NSA( -10) -0.019746 0.110063 -0.179406 0.8582

X NSA( -11) -0.105656 0.106267 -0.994247 0.3238

X NSA( -12) 0.370108 0.107821 3.432623 0.0011

X NSA( -13) -0.317331 0.107602 -2.949130 0.0044

R-squared 0.911626 Mean dependent var 83.17016

Adjusted R-squared 0.892295 S.D. dependent var 8.083686

S.E. of regression 2.652942 Akaike info criterion 4.958398

Sum squared resid 450.4385 Schwarz criterion 5.408293

Log likelihood -180.8567 F-statistic 47.15707

Durbin-Watson stat 2.053387 Prob(F-statistic) 0.000000

При оценивании модели в разностях получаем:

Dependent Variable: D(X NSA)

Sample: 1994:01 2000:07

Included observations: 79

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.970883 0.408373 2.377441 0.0203

X NSA DIF(-1) -0.508794 0.116762 -4.357545 0.0000

X NSA DIF( -2) -0.445117 0.130860 -3.401483 0.0011

X NSA DIF( -3) -0.241818 0.136280 -1.774416 0.0806

X NSA DIF( -4) -0.177286 0.136449 -1.299288 0.1984

X NSA DIF( -5) -0.095401 0.134297 -0.710377 0.4800

X NSA DIF( -6) -0.249181 0.132493 -1.880719 0.0644

X NSA DIF( -7) 0.031485 0.133050 0.236637 0.8137

X NSA DIF( -8) -0.062970 0.128450 -0.490228 0.6256

X NSA DIF( -9) -0.095828 0.125037 -0.766397 0.4462

X NSA DIF( -10) -0.098018 0.122619 -0.799373 0.4269

X NSA DIF( -11) -0.166679 0.116017 -1.436675 0.1555

X NSA DIF( -12) 0.259810 0.103544 2.509188 0.0146

R-squared 0.607039 Mean dependent var 0.352056

Adjusted R-squared 0.535592 S.D. dependent var 3.999653

S.E. of regression 2.725664 Akaike info criterion 4.992622

Sum squared resid 490.3302 Schwarz criterion 5.382531

Log likelihood -184.2086 F-statistic 8.496303

Durbin-Watson stat 1.999610 Prob(F-statistic) 0.000000

86

Фиксируя эти две модели, получаем одношаговые прогнозы:

ТУ-модель

102.

1009896949290-

00 08 00 09 00 10 00 11 00 12 01 01 01 02 |Г I Х_Ы8А I I Х_Ы8АР_нХ

Ошибки прогнозов: ТУ-модель

00:08 00:09 00: 10 00: 11 00: 12 01:01 01:02

11 I 0Е[_ТА_Т8_Р1Х|

Характеристики прогнозов:

ДУ-модель

104.

1021009896949290-

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 [ГП Х_Ы8А I I Х_Ы8АР_08_Р|Х

ДУ-модель

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

□ 0Е[_ТА_08_Р1Х

ТЭ

Коо! Меап Squared Еггог 2.709401 2.850249

Меап Abso1ute Еггог 2.169326 2.082808

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 2.241112 2.171102

Характеристики прогнозов по фиксированным моделям очень близки.

4

2

2

0

0

87

Приведем теперь результаты прогнозирования по рекурсивным ТУ- и ДУ-моделям.

ТУ-модель

102.

1009896949290-

128 129 130 131 132 133 134 Г и I I ХР_КЕСЦК8_ТЗ

Ошибки прогнозов: ТУ-модель

128 129 130 131 132 133 134

10210098 96 94 92 90

ДУ-модель

I

128 129 130 131 132 133 134 [Г~1Х I I ХР_КЕСЦК8_оЗ

ДУ-модель

128 129 130 131 132 133 134 || I РЕ[_ТА 0З|

|| I 0Е[_ТА_Т8|

Характеристики одношаговых прогнозов по рекурсивным моделям:

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс.

Коо! Меап Squared Еггог 2.883328 2.835979

Меап АЬ8о1Ше Еггог 2.091729 2.187653

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 2.181366 2.269576

88

Сведем полученные результаты в отношении ряда 2УБТМБТ_М8Л в одну таблицу.

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 2.883328 2.835979 2.850249 2.709401

Меап АЬ8о1Ше Еггог 2.091729 2.187653 2.082808 2.169326

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 2.181366 2.269576 2.171102 2.241112

И среди ТБ-, и среди ДБ-моделей лучшие характеристики имеют прогнозы по фиксированным моделям. Прогноз по фиксированной ТБ-модели несколько лучше прогноза по фиксированной ДБ-модели с точки зрения ЯМ8Б, но несколько хуже последнего с точки зрения двух других характеристик. В целом все четыре прогноза имеют весьма близкие характеристики.

Сезонно скорректированный ряд

X БД

89

Оценивание модели с детерминированным линейным трендом дает следующий результат:

Dependent Variable: X SA

Sample: 1994:01 2000:07

Included observations: 79

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 1.889047 0.548959 3.441145 0.0010

@TREND( 1993:12) 0.008485 0.002484 3.415543 0.0011

X SA( -1) 3.631262 0.096718 37.54472 0.0000

X SA( -2) -6.360191 0.332250 -19.14280 0.0000

X SA( -3) 6.989368 0.547534 12.76517 0.0000

X SA( -4) -5.121163 0.541297 -9.460907 0.0000

X SA( -5) 2.396030 0.320370 7.478938 0.0000

X SA( -6) -0.562043 0.090761 -6.192587 0.0000

R-squared 0.999833 Mean dependent var 83.16323

Adjusted R-squared 0.999817 S.D. dependentvar 7.582406

S.E. of regression 0.102643 Akaike info criterion -1.619359

Sum squared resid 0.748025 Schwarz criterion -1.379414

Log likelihood 71.96466 F-statistic 60796.79

Durbin-Watson stat 1.901030 Prob(F-statistic) 0.000000

При оценивании модели в разностях получаем:

Dependent Variable: D( X SA)

Sample: 1994:01 2000:07

Included observations: 79

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.031516 0.016425 1.918845 0.0589

X SA DIF( -1) 2.714390 0.099284 27.33957 0.0000

X SA DIF( -2) -3.824217 0.252220 -15.16224 0.0000

X SA DIF( -3) 3.322160 0.330006 10.06696 0.0000

X SA DIF( -4) -1.812055 0.245999 -7.366110 0.0000

X SA DIF( -5) 0.513092 0.093295 5.499652 0.0000

R-squared 0.971546 Mean dependent var 0.331900

Adjusted R-squared 0.969598 S.D. dependent var 0.626785

S.E. of regression 0.109288 Akaike info criterion -1.516751

Sum squared resid 0.871901 Schwarz criterion -1.336793

Log likelihood 65.91168 F-statistic 498.5175

Durbin-Watson stat 1.791566 Prob (F-statistic) 0.000000

90

Фиксируя эти две модели, получаем одношаговые прогнозы:

ТБ-модель

ДБ-модель

Ошибки прогнозов: ТБ-модель

ДБ-модель

11 I РЕ_ТД_ТЗ_Р1Х|

Характеристики прогнозов:

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 | □ РЕ_ТД_РБ_Р|Х

Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 0.084411 0.126271

Меап АЬ8о1Ше Еггог 0.063081 0.099413

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 0.063052 0.099430

Здесь ДБ-модель оказалась лучшей по всем трем показателям. Отметим крайне малые по сравнению с моделью без сезонной коррекции значения МАРЕ, что, конечно, объясняется гладкостью траекторий сезонно скорректированного ряда и самой методикой построения сезонно скорректированного ряда, принимающей во внимание будущие значения «сырого» ряда.

91

Приведем теперь результаты прогнозирования по рекурсивным ТУ- и ДУ-моделям.

100.5 100.0 99.5 99.0 98.5 98.0 97.5

ТУ-модель

128 129 130 131 132 133 ГТЛХ I I ХР КЕСЦК8 Т8|

ДУ-модель

128 129 130 131 132 133 134 ГТПХ I I ХР КЕСЦК8 08|

Ошибки прогнозов: ТУ-модель

ДУ-модель

128 129 130 131 132 133 134

□ 0Е[_ТА_Т8

128 129 130 131 132 133 134 11 I РЕ[_ТА 08|

Характеристики одношаговых прогнозов по рекурсивным моделям:

134

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс.

Коо! Меап Squared Еггог 0.090938 0.105791

Меап АЬ8о1Ше Еггог 0.066958 0.080089

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 0.066982 0.080246

92

Сведем полученные результаты в отношении ряда 2УБТМЕТ_8Л в одну таблицу.

Э8 ре-курс. Т8 ре-курс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 0.090938 0.105791 0.084411 0.126271

Меап АЬ8о1Ше Еггог 0.066958 0.080089 0.063081 0.099413

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 0.066982 0.080246 0.063052 0.099430

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей лучшими являются ДБ-модели. Среди этих двух ДБ-моделей несколько лучшей оказалась фиксированная модель, хотя различие между характеристиками прогнозов очень мало.

2.7. Предпочтительность модели на временном интервале оценивания и качество прогнозов

Сделаем несколько замечаний относительно связи между предпочтительностью модели на временном интервале оценивания и качеством последовательности одношаговых прогнозов за пределами этого периода.

Замечание 1

При сравнении ТБ- и ДБ-моделей мы, как и авторы работ, которые были упомянуты в главе 1, не занимались уточнением спецификации этих моделей в направлении исключения из них переменных со статистически не значимыми коэффициентами. И это имеет некоторую аргументацию. Поскольку мы анализируем качество прогнозов на один шаг вперед, полная модель, обладая наименьшей остаточной суммой квадратов по сравнению с редуцированными моделями, полученными на ее основе, имеет наилучшие показатели качества одношаговых прогнозов в пределах периода, на котором эта модель оценивалась, по крайней мере, в отношении ЯМЕЕ.

Вместе с тем указанное преимущество полной модели никак не гарантирует того, что полная модель обязательно даст лучшее качество одноша-говых прогнозов при выходе за пределы интервала, на котором модель оценивалась. Покажем это на примере.

При анализе одношаговых прогнозов для ряда М1 по ДБ-модели с аддитивным выбросом, датированным 02.1999, мы получили для использованной там фиксированной ДБ-модели следующие показатели качества одношаговых прогнозов, соответствующих периоду с 08.2000 по 02.2001.

КМБЕ=30788.31, МАЕ=25004.23, МАРЕ=3.119278.

93

В то же время, если исключить из этой модели составляющие AR( 2),... ,AR( 7), то показатели качества получаемой при этом редуцированной модели равны, соответственно,

RMSE=30337.52, MAE=24768.65, MAPE=3.090592.

Таким образом, показатели качества редуцированной модели оказываются лучшими по сравнению с аналогичными показателями для полной модели.

Замечание 2

Указанная в предыдущем замечании редуцированная модель одновременно оказывается лучше полной модели и по информационному критерию Шварца: для нее значение этого критерия равно SIC=21.923, тогда как для полной модели SIC=22.354. Однако на основании этого все же нельзя делать выводы об обязательной предпочтительности для прогнозирования моделей с меньшими значениями SIC.

Если из той же полной модели исключить только составляющую AR( 7), то получим следующие показатели качества прогнозов на один шаг вперед по таким образом редуцированной модели:

RMSE=30897.48, MAE=25365.34, MAPE=3.168368.

Все три показателя у редуцированной модели хуже, чем у полной, хотя для редуцированной модели значение SIC=22.277 меньше, чем для полной модели (22.354).

В качестве варианта ДУ-модели для ряда М1, содержащего в качестве объясняющих совершенно другие переменные, рассмотрим оцененную модель.

Dependent Variable: D( X)

Method: Least Squares

Sample(adjusted): 1995:07 2000:07

Included observations: 61 after adjusting endpoints

Convergence achieved after 5 iterations

Backcast: 1994:10 1995:06

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 4048.204 1086.735 3.725107 0.0005

@SEAS( 12) 26585.19 4198.554 6.331988 0.0000

@SEAS( 1) -21519.15 4231.340 -5.085658 0.0000

T3 1037.048 130.7445 7.931870 0.0000

MA( 9) -0.417871 0.124729 -3.350225 0.0015

R-squared 0.713867 Mean dependent var 9607.820

Adjusted R-squared 0.693429 S.D. dependent var 15969.54

S.E. of regression 8842.148 Akaike info criterion 21.09086

Sum squared resid 4.38E+09 Schwarz criterion 21.26388

Log likelihood -638.2712 F-statistic 34.92834

Durbin-Watson stat 2.070271 Prob (F-statistic) 0.000000

94

Здесь @SEAS(1), @SEAS(12) - сезонные DUMMY, а T3 - переменная, равная 0 на временном интервале до 07.1998 включительно и равная t-42, начиная с 08.1998 (43-е наблюдение).

Сравним приведенные результаты для этой модели с результатами, полученными при оценивании фиксированной ДБ-модели для М1 с аддитивным выбросом, рассмотренной в разделе 2.1.1, а именно:

R-squared 0.667957 Mean dependent var 10454.73

Adjusted R-squared 0.544627 S.D. dependentvar 17387.54

S.E. of regression 11733.35 Akaike info criterion 21.81321

Sum squared resid 4.82E+09 Schwarz criterion 22.35373

Log likelihood -520.4237 F-statistic 5.416000

Durbin-Watson stat 1.837172 Prob(F-statistic) 0.000032

Оцененная альтернативная модель имеет лучшие показатели (R2, AIC, SIC). Сравним характеристики качества последовательности одношаговых прогнозов на временном интервале 08.2000-02.2001, получаемые по этим двум моделям.

DS альтернат. DS аддитивн.

Root Mean Squared Error 37314.6 30788.31

Mean Absolute Error 26437.34 25004.23

Mean Absolute Percent Error 3.270095 3.119278

Альтернативная модель дает худшие прогнозы по всем трем характеристикам.

Замечание 3

Из предыдущих двух замечаний следует, что ни выбор по информационному критерию Шварца, ни выбор по коэффициенту детерминации Я2 не гарантируют того, что в рамках ДБ- или 7Б"-моделей выбранная по этим критериям из нескольких вариантов модель обязательно даст лучшие результаты прогнозов за пределами интервала, по которому эти модели оценивались.

С этой точки зрения выбор для сравнения качества прогнозов именно «полных» ТБ- и ДБ-моделей оправдан лишь с точки зрения определенности выбора модели.

95

2.8. Сравнение прогнозов, полученных по выбранным моделям, с «наивными» прогнозами

В разделах 2.1-2.6 мы провели сравнение прогнозов для соответствующих временных рядов по фиксированным и рекурсивным моделям в уровнях и в разностях.

При этом для наилучших среди рассмотренных по каждому ряду альтернативных вариантов были получены следующие средние процентные ошибки (МАРЕ):

Ряд MAPE

M1 3.119

M0 3.748

M2 2.814

Экспорт 7.363

Безработица 0.724

Индекс интенсивности промышленного производства 0.098

Индекс интенсивности производства цветных металлов (NSA) 2.171

Индекс интенсивности производства цветных металлов (SA) 0.063

Если формально упорядочить список этих рядов по величине МАРЕ, то наихудший прогноз получен для ряда «Экспорт», а наилучший - для ряда «Индекс интенсивности производства цветных металлов (8А)».

Вспомним, однако, общий характер поведения данных рядов на рассмотренных временных интервалах:

-M1

96

1SS6 1SS? 1SSB 1SSS 2000

-M2

97

-EXPORT

-UNJOB

98

-X БД

Все эти ряды, за исключением ряда «Экспорт», имеют на рассмотренных временных интервалах выраженный линейный тренд. Поэтому представляется естественным сравнить результаты прогнозирования по выбранным выше моделям, для которых приведены соответствующие значения МАРЕ, с результатами «наивных» прогнозов, строящихся по линейному тренду, выделенному из данных на временном периоде оценивания или на части этого периода (если за весь период оценивания происходит заметное изменение наклона тренда - см. денежные ряды).

Для рядов с изломом детерминированного тренда используем для выделения линейного тренда интервалы времени, следующие за моментом излома, указанным процедурой Перрона в модели с аддитивным выбросом.

Приведем результаты выделения линейного тренда по каждому из перечисленных рядов, получаемые экстраполяцией по моделям линейного тренда прогнозы и характеристики соответствующих последовательностей одношаговых прогнозов.

100

Ряд Период оценивания Период прогнозирования MAPE

M1 03.1993-07.2000 08.2000-02.2001 7.770

M0 03.1993-07.2000 08.2000-02.2001 8.550

M2 03.1993-07.2000 08.2000-02.2001 5.912

Экспорт 01.1994-04.2000 05.2000-12.2000 20.166

Безработица 01.1994-09.1997 10.1997-04.1998 0.704

Интпром 01.1994-01.1998 02.1998-08.1998 2.471

Цветмет (NSA) 01.1994-07.2000 08.2000-02.2001 3.364

Цветмет (SA) 01.1994-07.2000 08.2000-02.2001 2.694

Для удобства значения МАРЕ для каждого ряда, полученные по модели линейного тренда и по ранее подобранной модели, сведем в одну табли-

цу.

Ряд MAPE MAPE

Selected model Linear model

M1 3.119 7.770

M0 3.748 8.550

M2 2.814 5.912

Экспорт 7.363 20.166

Безработица 0.724 0.704

Индекс интенсивности Промышленного производства 0.098 2.471

Индекс интенсивности

Производства цветных 2.171 3.364

Металлов (NSA)

Индекс интенсивности

Производства цветных 0.063 2.694

Металлов (SA)

Из этой таблицы видно, что для денежных рядов средняя процентная ошибка прогноза по ранее подобранной модели в два с лишним раза меньше ошибки прогноза по оцененному линейному тренду. Для экспорта первая ошибка меньше в 2,7 раза, а по индексу производства цветных металлов (NSA) - примерно в 1,5 раза.

Для сезонно скорректированных рядов - индекса интенсивности промышленного производства и индекса интенсивности производства цветных металлов - наблюдается наиболее существенное снижение ошибки прогнозов по сравнению с прогнозом по линейному тренду: в 25,2 и 42,8 раза соответственно.

Наконец, для ряда, описывающего динамику безработицы, прогноз по оцененному линейному тренду оказался даже лучше, чем по подобранной ранее ГУ-модели:

101

Хг2.375+ 0.0296Ч+0.539*Х-_1.

И это несмотря на то, что на временном интервале оценивания для последней модели К2а^= 0.989, А1С= -1.96 и Б1С= -1.84, тогда как для оцененной модели линейного тренда К.2а^= 0.981, А1С= -1.31 и Б1С= -1.23, т.е. на временном интервале оценивания модель линейного тренда хуже по всем показателям. Это еще раз подтверждает положение, которое было сформулировано ранее в замечании 3 раздела 2.7.

102

Глава 3. Влияние на сравнительное качество последовательностей прогнозов длины интервала, на котором это сравнение производится

Данная глава по своей структуре в значительной степени повторяет предыдущую; существенным отличием является то, что те же самые методы, которые были использованы для прогнозирования выше, применяются для проверки качества прогнозирования на более длительный интервал (12-15 месяцев). Это необходимо для того, чтобы понять, сохраняются ли отмеченные выше тенденции (в отношении сравнительного качества прогнозов по альтернативным моделям) при расширении интервала, для которого строится последовательность одношаговых прогнозов.

3.1. Денежные ряды

3.1.1. М0

В качестве расширенного интервала берется интервал 08.2000-11.2001.

Модели с аддитивным выбросом:

прогнозы за период 08.2000-02.2001 (7 точек):

ЭЭ ре-курс. ТЭ ре-курс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 18103.33 16733.83 20762.60 18035.41

Меап АЬзоШе Еггог 13663.46 13698.90 19084.87 16031.46

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.737642 3.747511 5.247909 4.371771

прогнозы за период 08.2000-11.2001 (16 точек):

ЭЭ ре-курс. ТЭ ре-курс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 17422.22 21420.81 24404.03 54664.95

Меап АЬзоШе Еггог 13679.97 18606.90 21787.85 44497.54

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.309110 4.320607 5.128878 9.520612

Обращает на себя внимание существенное ухудшение качества прогнозов по фиксированной 7Б-модели при незначительном ухудшении (и даже улучшении - по МАРЕ) качества прогнозов по фиксированной ДБ-модели.

103

Графически это выражается следующим образом. Для фиксированной ГУ-модели:

0ДП1

00 10 01 01 01 04 01: 07 01: 10

¡□X □хя]

Для фиксированной ДУ-модели:

00 10 01 01 01 04 01 07 01 10 11 I РЕ1-ТА Тв I

00 10 01 01 01 04 01 07 01 10

□ X охя

I I 0Е|_ТА_08

Что касается рекурсивных моделей, то для ГУ-моделей качество прогнозов ухудшается по всем трем характеристикам, а для ДУ-моделей оно даже улучшается по МАРЕ. Рекурсивная ГУ-модель:

64 66 68 70 72 74 76 78 || X I ХР_РЕСЦР_Т81

64 66 68 70 72 74 76 78 11 I РЕ1-ТА_Т81

80000

40000 -

0

60000

0

60000

0

104

Рекурсивная АХ-модель:

64 66 68 70 72 74 76 78 |~Г I XI I ХР_РЕСУР_03 |

40000 30000 20000 10000 0

64 66 68 70 72 74 76 78 11 i ре1_та_рз]

Инновационный выброс:

прогнозы за период 08.2000-02.2001 (7 точек):

ЭЭ ре-курс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 23070.19 24831.23 23660.00 35901.47

Меап АЬзоШе Еггог 21966.45 23946.98 21726.06 33681.18

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 6.002693 6.570231 5.966785 9.064165

прогнозы за период 08.2000-11.2001 (16 точек):

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 19346.11 20645.95 27501.13 90596.73

Меап АЬзоШе Еггог 16948.18 17302.25 24844.06 78204.61

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 4.204860 4.362469 5.861262 16.96909

Здесь также наблюдается существенное ухудшение качества прогнозов по фиксированной 7Х-модели при незначительном ухудшении (и даже улучшении - по МАРЕ) качества прогнозов по фиксированной АХ-модели. Графически это выражается следующим образом.

Для фиксированной ТХ-модели:

00 1 0 01 01 01 04 01 07 [ IXI IХР

00:10 01:01 01:04 01:07 01:10 11 I РЕ1ТА_ТЗ |

105

0

Для фиксированной ДУ-модели:

00 10 01 01 01 04 01:07 01:10

|ох охя!

i i реьта э8

Что касается рекурсивных моделей, то и для ГУ-, и для ДУ-моделей все три характеристики качества прогнозов улучшаются. Несколько лучшее качество остается у прогнозов, построенных по рекурсивной ДУ-модели. Рекурсивная ГУ-модель:

64 66 68 70 72 74 76 78 11 1X1 I ХЯ_КЕСиК_Т8|

Рекурсивная ДУ-модель:

64 66 68 70 72 74 76 78 11 I РЕ1-ТА_Т8

64 66 68 70 72 74 76 78 [ГЙ X | | ХЯ_КЕСиК_й8 |

64 66 68 70 72 74 76 78 || I РЕ1-ТА_Р81

60000

40000 -

20000 -

0

40000

0

40000

0

106

Сведем вместе результаты, полученные для расширенного интервала прогнозирования.

Аддитивный выброс:

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 17422.22 21420.81 24404.03 54664.95

Меап АЬзоШе Еггог 13679.97 18606.90 21787.85 44497.54

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.309110 4.320607 5.128878 9.520612

Инновационный выброс:

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 19346.11 20645.95 27501.13 90596.73

Меап АЬ8о1Ше Еггог 16948.18 17302.25 24844.06 78204.61

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 4.204860 4.362469 5.861262 16.96909

Подведем итоги исследования прогнозов на один шаг вперед для ряда

М0.

Интервал прогнозирования 08.2000-02.2001.

Среди фиксированных моделей с аддитивным выбросом лучшей по всем трем характеристикам точности прогнозов оказывается ТХ-модель. Среди рекурсивных моделей ни одна из двух не является более предпочтительной. При этом и среди ТХ-моделей, и среди АХ-моделей рекурсивные модели оказались лучше фиксированных.

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей с инновационным выбросом лучшими по всем трем характеристикам точности прогнозов оказываются АХ-модели. Среди ТХ-моделей рекурсивная модель оказалась лучше фиксированной. Рекурсивные ТХ- и АХ-модели дают близкие результаты.

Интервал прогнозирования 08.2000-11.2001.

И среди фиксированных и среди рекурсивных моделей для каждого из двух типов выбросов (инновационный или аддитивный) лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются АХ-модели, причем для фиксированных моделей такое преимущество троекратное. Рекурсивные модели не дают определенного преимущества в классе АХ-моделей; однако они обеспечивают значительно лучшее качество прогнозов в классе ТХ-моделей. Для обоих типов выбросов наилучшей оказалась рекурсивная АХ-модель.

107

3.1.2. М1

В качестве расширенного интервала берется интервал 08.2000-11.2001.

Модели с аддитивным выбросом:

прогнозы за период 08.2000-02.2001 (7 точек):

рекурс. Т8 рекурс. фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 33750.29 35153.12 30788.31 40981.79

Меап АЬзоШе Еггог 28915.77 29026.71 25004.23 32088.90

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.604901 3.621122 3.119278 3.958528

прогнозы за период 08.2000-11.2001 (16 точек):

DS рекурс. TS рекурс. DS фикс. TS фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 37646.23 41033.29 35359.73 108578.5

Меап АЬзоШе Еггог 30672.38 33871.66 30334.93 90923.73

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.440899 3.775183 3.362247 9.368012

Обращает на себя внимание существенное ухудшение качества прогнозов по фиксированной ГУ-модели при весьма незначительном ухудшении качества прогнозов по фиксированной ДУ-модели. Графически это выражается следующим образом.

Для фиксированной ГУ-модели:

00:09 00:11 01:01 01:03 01:05 01:07 01:09 01:11

108

50000

0-

I I DELTA_TS

Для фиксированной DS-модели:

00:09 00:11 01:01 01:03 01:05 01:07 01:09 01:11

□ X DXF

1 I 01:04

1 I 1 01:10

109

80000

60000 -40000 -20000 -0

п

II

ч-1-1-1—

00:09 00:11

01:01

н-1-1-1-1-1-1-1-1-г"

01:03 01:05 01:07 01:09 01:11

I | ОЕЬТА__С8

Среди рекурсивных моделей по МАРЕ несколько улучшаются результаты для ДУ-модели и несколько ухудшаются результаты по ГУ-модели. Для ГУ-модели:

64 66 68 70 72 74 76 78 I ия_РЕСиР_Т8|

64 66 68 70 72 74 76 78 || I РЕ1_ТА_Тв |

Для ДУ-модели:

80000 60000 40000 20000 0

-20000 -40000 -60000

64 66 68 70 72 74 76 78 [ТП^ I I XF_RECUR_DS|

64 66 68 70 72 74 76 78 11 I РЕ1_ТА_Рв |

80000

40000

-40000

110

Инновационный выброс:

прогнозы за период 08.2000-02.2001 (7 точек):

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 36796.05 36710.86 32677.59 36093.53

Меап АЬ8о1Ше Еггог 30477.43 31124.61 27062.91 27502.40

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 3.793081 3.874630 3.374370 3.388481

прогнозы за период 08.2000-11.2001 (16 точек):

ЭЭ рекурс ТЭ рекурс ЭЭ фикс ТЭ фикс

Коо! Меап Squared Еггог 38323.81 41215.39 33651.74 106400.4

Меап АЬ8о1Ше Еггог 28954.54 33153.51 27219.82 87877.65

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 3.279413 3.721022 3.052948 9.018130

Как и в случае моделей с аддитивным выбросом, наблюдается существенное ухудшение качества прогнозов по фиксированной ТХ-модели, тогда как с точки зрения МАРЕ прогнозы по фиксированной АХ-модели даже улучшаются. Графически это выражается следующим образом.

Для фиксированной ТХ-модели:

00:09 00:11 01:01 01:03 01:05 01:07 01:09 01:11

□ X \ZZ\XF

111

30000 -

-50000

И

И

П

1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г-

00:10 0101 01Ш 0107 01:10

^ СЕНАЛВ

Для фиксированной ДУ-модели:

0

Щ=

ш

00:09 00:11 01

0)1 01:03 01

:05 01:

07 01:

09 01:11

□ X цг^

112

80000. 60000. 40000 20000 0

II

п

п п

п

1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1—г

00:09 00:11 01:01 01:03 01:05 01:07 01:09 01:11

I | 0Е1_ТА_08

Что касается рекурсивных моделей, то и для ТХ-, и для АХ-моделей значений МАРЕ уменьшается.

Для рекурсивной ТХ-модели:

64 66 68 70 72 74 76 78 [ТП XI ХР_РЕСУР8_Т8

64 66 68 70 72 74 76 78 11 | РЕЬТА_Т8 |

Для рекурсивной АХ-модели:

64 66 68 70 72 74 76 78 [ТП XI I XF_RECURS_DS|

пД

64 66 68 70 72 74 76 78 11 I РЕЬТА_Р8 |

80000

40000

80000

40000

113

Сведем вместе результаты, полученные для расширенного интервала прогнозирования.

Аддитивный выброс:

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 37646.23 41033.29 35359.73 108578.5

Меап АЬ8о1Ше Еггог 30672.38 33871.66 30334.93 90923.73

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 3.440899 3.775183 3.362247 9.368012

Инновационный выброс:

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 38323.81 41215.39 33651.74 106400.4

Меап АЬ8о1Ше Еггог 28954.54 33153.51 27219.82 87877.65

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 3.279413 3.721022 3.052948 9.018130

Подведем итоги исследования прогнозов на один шаг вперед для ряда

М1.

Интервал прогнозирования 08.2000-02.2001.

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей для каждого из двух типов выбросов (инновационный или аддитивный) лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются АХ-модели. При этом рекурсивные модели не обязательно дают лучшие прогнозы по сравнению с фиксированными моделями. Для обоих типов выбросов наилучшей оказалась фиксированная АХ-модель.

Интервал прогнозирования 08.2000-11.2001.

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей для каждого из двух типов выбросов (инновационный или аддитивный) лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются АХ-модели, причем для фиксированных моделей такое преимущество троекратное. Рекурсивные модели не дают определенного преимущества в классе АХ-моделей; однако они обеспечивают значительно лучшее качество прогнозов в классе ТХ-моделей. Для обоих типов выбросов наилучшей оказалась фиксированная АХ-модель.

114

3.1.3. М2

В качестве расширенного интервала опять берется интервал 08.2000-11.2001.

Модели с аддитивным выбросом: прогнозы за период 08.2000-02.2001 (7 точек):

Э8 ре-курс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 42689.06 43020.02 41472.50 36993.30

Меап АЬ8о1Ше Еггог 33642.68 35293.53 30513.84 29946.52

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.125200 3.284899 2.847573 2.796299

прогнозы за период 08.2000-11.2001 (16 точек):

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап 8quared Еггог 39133.66 41913.71 37951.93 41623.77

Меап АЬзоШе Еггог 28768.55 31083.92 31062.16 32920.79

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 2.457265 2.656437 2.598554 2.762772

В отличие от ситуации с прогнозированием рядов М1 и М0 здесь качество прогнозов по фиксированной ТО-модели даже улучшается (по МАРЕ), как и качество (по МАРЕ) прогнозов по фиксированной А£-модели. Графически это выражается следующим образом.

Для фиксированной ТО-модели:

Для фиксированной А^-модели:

00: 09 00 11 01 01 01 03 01 05 01 07 01 09 01 1

|[Щх ППхЩ

80000 60000 40000 20000 0

60000 . 40000 . 20000 0

-20000 . -40000 . -60000 -80000

ШП

0: 09 00: 1 1 01: 01 01: 03 01: 05 01: 07 01: 09 0 || I йЕ1-ТА_Т8 |

■ЛИ

00:10 01:01 01:04 01:07 01:10 11 I РЕ1_ТА_Р8 |

115

Что касается рекурсивных моделей, то и для ТХ-, и для АХ-моделей происходит улучшение прогнозов по всем трем характеристикам. Для ТХ-модели:

64 66 68 70 72 74 76 78 [ТП^ I |XF_RECUR_TS|

п п П

и - и иии и

64 66 68 70 72 74 76 78 11 | РЕЬТА_Т8 |

Для АХ-модели:

50000

0

64 66 68 70 72 74 76 78 [ТП^ I IXF_RECUR_DS|

64 66 68 70 72 74 76 78 11 |РЕЬТА_Р8|

Инновационный выброс:

прогнозы за период 08.2000-02.2001 (7 точек):

50000

0

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 43295.36 42186.68 40870.17 43134.08

Меап АЬ8о1Ше Еггог 33643.49 32129.98 30168.47 33700.94

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 3.123998 2.982067 2.814443 3.154151

прогнозы за период 08.2000-11.2001 (16 точек):

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 39331.72 43931.79 36671.29 36353.01

Меап Abso1ute Еггог 28245.74 35045.52 29290.59 30451.56

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 2.428232 2.925264 2.465415 2.561185

116

Здесь наблюдается улучшение качества прогнозов (по всем трем характеристикам) и по фиксированной 75-модели, и по фиксированной ДХ-моде-ли. Графически это выражается следующим образом. Для фиксированной ТХ"-модели:

рх [ц|хр|

Для фиксированной ДХ-модели:

40000 20000 -0

-20000 . -40000 --60000 --80000 .

09 00 11 01 01 01 03 01 05 01 07 01:09 01:11

ш

тп

00:10 01:01 01:04 01:07 01:10

о эе_та_т8

60000 40000 20000 0

-20000 -40000 -60000 -80000

ла

00:10 01:01 01:04 01:07 01:10

□ x охр

□ эе_та_08

Сведем вместе результаты, полученные для расширенного интервала прогнозирования.

Аддитивный выброс:

ЭЭ ре-курс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо1 Меап Squared Еггог 39133.66 41913.71 37951.93 41623.77

Меап АЬзоШе Еггог 28768.55 31083.92 31062.16 32920.79

Меап АЬ8о1Ше РегсеП Еггог 2.457265 2.656437 2.598554 2.762772

117

Инновационный выброс:

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 39331.72 43931.79 36671.29 36353.01

Меап АЬзоШе Еггог 28245.74 35045.52 29290.59 30451.56

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 2.428232 2.925264 2.465415 2.561185

Подведем итоги исследования прогнозов на один шаг вперед для ряда

М2.

Интервал прогнозирования 08.2000-02.2001.

Инновационный выброс:

Среди фиксированных моделей лучшей является АУ-модель, а среди рекурсивных моделей - ГУ-модель. Среди ГУ-моделей лучше рекурсивная, а среди АУ-моделей - фиксированная. Лучшей по всем трем показателям является фиксированная АУ-модель.

Аддитивный выброс:

Среди фиксированных моделей лучшей является ГУ-модель, а среди рекурсивных моделей - АУ-модель. И среди ГУ-, и среди АУ-моделей лучшими являются фиксированные модели. Лучшей по всем трем показателям является фиксированная ГУ-модель.

Интервал прогнозирования 08.2000-11.2001.

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей для каждого из двух типов выбросов (инновационный или аддитивный) несколько лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются БУ-мо-дели; однако преимущество это незначительное. Рекурсивные модели имеют некоторое преимущество в классе АУ-моделей; однако в классе ГУ-моделей этого не наблюдается. Для обоих типов выбросов наилучшей по двум последним показателям оказалась рекурсивная АУ-модель.

118

3.2. Экспорт

В качестве расширенного интервала берется интервал 05.2000-08.2001. Фиксированные модели

Прогнозы по приведенным в главе 2 оцененным моделям: ГУ-модель АУ-модель

00:05 00:07 00:09 00:11 01:01 01:03 01:05 01:07

00:05 00:07 00:09 00:11 01:01 01:03 01:05 01:07

|| IX I |ХР_Т8|

Ошибки прогнозов: ГУ-модель

I IX I I ХР Р8

АУ-модель

1.00.50.0

-0.5-1.0-1.5

-Ях-П—, П П

00:05 00:07 00:09 00:11 01:01 01:03 01:05 01:07

|ИГ1РЕ[_ТА_Т8| 11 I РЕ[_ТА_Р8|

Характеристики прогнозов по подобранным фиксированным моделям (расширенный интервал):

Э8 Т8

Коо! Меап Squared Еггог 0.734464 0.869509

Меап Abso1ute Еггог 0.622717 0.753316

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 6.989588 8.393028

119

На расширенном интервале ДХ-модель также оказывается предпочтительнее по всем трем показателям. Рекурсивные модели Прогнозы по рекурсивным моделям:

ТХ"-модель ДХ-модель

78 80 82 84 86 88 90 92

□ x □ хр_ре0ир8_т8

78 80 82 84 86 88 90 92 [гй x i хр ре0цр8 э8

Ошибки прогнозов: ТХ"-модель

1.5 1.00.50.0 -0.5-1.0-1.5

78 80 82 84 86 88 90 92 || ЮЕ_ТА_Т8|

1.5 1.00.50.0 -0.5-1.0-1.5

ДХ-модель

пмПп П П

и У и

78 80 82 84 86 88 90 92 | □ 0Е_ТА_08|

Характеристики прогнозов по подобранным рекурсивным моделям (расширенный интервал):

12

7

ТЭ

Коо1 Меап Squared Еггог 0.710022 0.770122

Меап АЬ8о1Ше Еггог 0.594670 0.673983

Меап АЬзоШе Регсеп Еггог 6.693006 7.542889

120

На расширенном интервале АУ-модель также оказывается предпочти-

тельнее по всем трем показателям.

Сведем полученные результаты вместе.

Прогнозы на временном интервале 05.2000-12.2000 (8 точек):

Э8 ре-курс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 0.815693 0.901445 0.774216 0.883284

Меап АЬ8о1Ше Еггог 0.676787 0.794594 0.636348 0.769132

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 7.362792 8.649441 6.889349 8.383397

прогнозы на временном интервале 05.2000-08.2001 (16 точек):

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 0.710022 0.770122 0.734464 0.869509

Меап АЬ8о1Ше Еггог 0.594670 0.673983 0.622717 0.753316

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 6.693006 7.542889 6.989588 8.393028

При переходе к расширенному интервалу характеристики прогнозов по рекурсивным моделям улучшаются, а характеристики прогнозов по фиксированным моделям практически не изменяются.

3.3. Налоговые доходы федерального бюджета

В качестве расширенного интервала берется интервал 06.2000-09.2001.

Модели с аддитивным выбросом:

прогнозы за период 06.2000-12.2000 (7 точек):

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 9044.562 9495.680 9646.584 12989.34

Меап АЬ8о1Ше Еггог 8003.194 8416.063 8902.694 12358.84

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 9.648978 10.166833 10.90060 14.98790

прогнозы за период 06.2000-09.2001 (16 точек):

Э8 рекурс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 6676.117 6983.570 8038.587 16075.68

Меап АЬ8о1Ше Еггог 5097.416 5367.743 7134.696 15428.55

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 5.740951 6.044299 7.761660 15.44266

Имеет место ухудшение качества прогнозов по фиксированной ГУ-модели при улучшении качества прогнозов по фиксированной АУ-модели. Графически это выражается следующим образом.

121

Для фиксированной ТХ-модели:

90000 -80000 -70000

00 07 00 10 01 01 01:04 01:07 11 и I I ХРТ8 |

Для фиксированной ДХ-модели:

00:07 00:09 00:11 01:01 01:03 01:05 01:07 01:09 11 I ЭЕ_ТА_Т8|

00 07 00 10 01 01 01 04 01 07 |ОХ □ХР_Э8|

I I ЭЕ_ТА Э8

Для обеих рекурсивных моделей (ТХ и ББ) качество прогнозов существенно улучшается. Для ТХ-модели:

90000 -80000 -

70000

10000 50000

-5000 -

54 56 58 60 62 64 66 68 11 I Х | | ХР_КЕ0ЦК_Т8 |

54 56 58 60 62 64 66 68 11 I йЕ_ТА_Т8|

0

80000

60000 -

5000

0

122

Для .ОУ-модели:

90000 -80000 -70000

54 56 58

62 64 66 68

10000 5000 0

-5000

54 56 58 60 62 64 66 68

i i delta ds

11 i x i i xf recur ds |

Инновационный выброс:

прогнозы на временном интервале 06.2000-12.2000 (7 точек):

60

DS рекурс. TS рекурс. DS фикс. TS фикс.

Root Mean Squared Error 8656.144 9105.602 8459.231 12180.72

Mean Absolute Error 7019.826 7385.307 6809.506 11051.46

Mean Absolute Percent Error 8.095278 8.557180 7.994012 13.68804

прогнозы на временном интервале 06.2000-09.2001 (16 точек):

DS рекурс. TS рекурс. DS фикс. TS фикс.

Root Mean Squared Error 6554.468 6656.385 6620.289 15255.10

Mean Absolute Error 5033.279 4708.978 5168.779 14245.22

Mean Absolute Percent Error 5.365670 5.147208 5.485214 14.29462

Как и в случае моделей с аддитивным выбросом, наблюдается ухудшение качества прогнозов по фиксированной ГУ-модели, тогда как прогнозы по фиксированной .ОУ-модели улучшаются. Графически это выражается следующим образом.

Для фиксированной ГУ-модели:

0:07 00:10 01:01 01:04 01:0 [Т~| XI I XF TSI

00:07 00:09 00:1 1 01:01 01:03 01:05 01:07 01:09 11 IDELTA_TS|

123

80000

60000

Для фиксированной ДХ-модели:

1 01 01:04 01:07

i и i 1хр т8

□ 0е_та_т8

Что касается рекурсивных_моделей, то и для ДХ-, и для ТХ-моделей качество прогнозов заметно улучшается. Для рекурсивной ТХ-модели:

90000 -80000 -

70000

54 56 58 60 62 64 66 68 11 I Х I ХР_КЕ0ЦК8_Т8 |

Для рекурсивной ДХ-модели:

90000 80000 -

70000

54 56 58 60 62 64 66 68 [| I Х | | ХР_КЕСЦК8_Р8 |

15000 1000050000

-5000 -

54 56 58 60 62 64 66 68 11 I йЕ_ТА_Т8|

15000 1000050000

-5000 -

54 56 58 60 62 64 66 68 11 I 0Е_ТА_й81

0

80000

60000

124

Сведем вместе результаты, полученные для расширенного интервала прогнозирования.

Аддитивный выброс:

рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 6676.117 6983.570 8038.587 16075.68

Меап АЬзоШе Еггог 5097.416 5367.743 7134.696 15428.55

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 5.740951 6.044299 7.761660 15.44266

Инновационный выброс:

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 6554.468 6656.385 6620.289 15255.10

Меап АЬзоШе Еггог 5033.279 4708.978 5168.779 14245.22

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 5.365670 5.147208 5.485214 14.29462

Подведем итоги исследования прогнозов на один шаг вперед для налоговых доходов федерального бюджета.

Интервал прогнозирования 06.2000-12.2000.

И среди фиксированных, и среди рекурсивных моделей для каждого из двух типов выбросов (инновационный или аддитивный) лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются ДУ-модели. При этом рекурсивные модели не обязательно дают лучшие прогнозы по сравнению с фиксированными моделями. Для обоих типов выбросов наилучшей оказалась фиксированная ДУ-модель.

Интервал прогнозирования 06.2000-09.2001.

Среди фиксированных моделей для каждого из двух типов выбросов (инновационный или аддитивный) лучшими по указанным характеристикам точности прогнозов оказываются ДУ-модели, причем такое преимущество более чем двукратное. Среди рекурсивных моделей в случае инновационного выброса некоторое преимущество имеет ГУ-модель, а в случае аддитивного выброса - ДУ-модель.

Рекурсивные модели имеют преимущество и в классе ДУ-моделей и в классе ГУ-моделей; при этом они обеспечивают более чем двукратное улучшение качества прогнозов в классе ГУ-моделей. Для аддитивного выброса наилучшей оказалась рекурсивная ДУ-модель, а для инновационного выброса чуть предпочтительнее выглядит рекурсивная ГУ-модель.

125

Общий вывод

При расчете характеристик качества прогнозов по 7 (или 8 для временного ряда экспорта) последовательным прогнозам рекурсивные модели оказались лучшими только в 41,7% случаев, а при расчете характеристик качества прогнозов по 16 последовательным прогнозам рекурсивные модели оказались лучшими в 90,9% случаев. Лучшее качество прогнозирования рекурсивных моделей на более длительный период можно объяснить тем, что они дополнительно учитывают инновации и возможные изменения в структуре временного ряда и используют эту информацию для прогнозирования. Наличие такого рода изменений и структурных сдвигов может быть обусловлено многими причинами, главными среди которых являются трансформационные сдвиги в переходной экономике РФ, научно-технический и технологический прогресс, экзогенное влияние внешнеэкономических факторов и различных шоков и др.

126

Глава 4. Источники ошибок прогнозов и некоторые методы их коррекции

В главе 1 уже указывалось на то, что экономические прогнозы, получаемые стандартными эконометрическими методами, часто оказываются довольно неточными, и это достаточно хорошо иллюстрируется результатами анализа нескольких российских макроэкономических рядов, проведенного в главах 2 и 3.

Анализ ошибок макроэкономических прогнозов и выявление их причин является достаточно сложной задачей, детальный подход к решению которой часто позволяет усовершенствовать методику прогнозирования и понять характеристики происходящих процессов. Этому вопросу посвящено довольно много работ различных авторов. В этой связи укажем, например, на анализ прогнозов по моделям для экономики Великобритании, проведенный в работах [WallisK.F., M.J.Andrews, D.N.F.Bell, P.G.Fisher, J.D.Whitley (1984)], [WallisK.F., M.J.Andrews, P.G.Fisher, J.Longbottom, J.D.Whitley (1986)], [WallisK.F. (1989)], [WallisK.F., J.D.Whitley (1991)], и на подобный анализ индустрии прогнозов в США, проведенный в работах [KleinL.R. (1991)] и [KleinL.R., E.Burmeister [eßfc] (1976)]. Детальному рассмотрению причин ошибок прогнозирования экономических временных рядов и теоретическому обоснованию некоторых эмпирических процедур, часто приводящих на практике к улучшению прогнозов, посвящены две недавно изданные книги [Clements M.P., D.F.Hendry (1998b)], [Clements M.P., D.F.Hendry (2001)].

4.1. Источники ошибок прогнозов

В исторической перспективе, первоначально в центре внимания эконо-метристов были вопросы спецификации и оценивания моделей. Ожидалось, что «хорошие» модели, хорошо оцененные и хорошо протестированные, дают и хорошие прогнозы, тогда как «плохие» модели (например, не проходящие диагностические тесты) будут давать плохие прогнозы. Однако в действительности это оказалось не так: степень конгруэнтности или неконгруэнтности модели (т.е. степень соответствия модели реальным данным, по которым она построена) не является ни необходимым, ни достаточным условием успеха или неудачи прогноза, обращенного в будущее. Более того, прогнозы ряда по одному только его прошлому могут оказываться лучшими

127

по сравнению с прогнозами, построенными на основании структурных моделей.

При анализе прогностических процедур следует различать понятия «предсказуемости» временного ряда и «прогнозируемости» ряда.

Значения ряда Xt не предсказуемы, если знание его значений до момента T-1 включительно ничего не прибавляет к знанию о распределении вероятностей значения XT. Предсказуемость (непредсказуемость) - это свойство самого ряда, точнее, это свойство стохастического процесса, порождающего ряд, относительно информационного множества QT-1, включающего прошлые значения этого ряда.

Понятие прогнозируемости ряда более сложное: оно может быть связано с некоторой мерой потерь, и тогда прогнозируемость понимается как получение меньших потерь при использовании соответствующей процедуры прогнозирования по сравнению, скажем, с прогнозом по историческому среднему значений ряда.

Предсказуемость необходима, но не достаточна для прогнозируемости: например, может быть просто не известной форма зависимости условного среднего для Xt относительно QT-1.

Вместе с тем успех прогнозирования зависит от:

• наличия регулярностей в поведении ряда;

• информативности этих регулярностей относительно будущего;

• методов, использующих эти регулярности;

• исключения нерегулярностей, сводящих на нет пользу от наличия регулярностей.

Можно говорить о несостоятельности прогноза как такового, если качество прогнозов значительно ухудшается при переходе от периода, на котором модель оценивается, к будущим значениям ряда, и можно говорить о том, что прогноз плох по сравнению с некоторыми стандартными или конкурирующими моделями.

Можно также по-разному говорить о точности прогнозов. Можно понимать под точностью определенность прогноза (точный прогноз имеет малую неопределенность), но можно понимать под точностью прогноза и то, что он оказывается близким «в среднем» к истинным значениям.

Заметим, что, используя для прогнозирования стохастические модели, мы просто по этой причине практически никогда не можем абсолютно точно предсказать будущие значения ряда, даже если нам известна истинная модель порождения данных (процесс порождения данных, data generating

128

process - DGP), так что ошибка предсказания в таких моделях существует всегда, и эти ошибки накапливаются в процессе динамического прогнозирования на несколько периодов времени вперед. К этим ошибкам, проистекающим из самой природы процесса порождения данных, добавляются также ошибки, связанные с незнанием процесса порождения данных и, как следствие, вынужденным использованием для целей прогнозирования статистической модели (statistical model - SM), которая строится на основании той или иной экономической теории, более ранних аналогичных исследований и характера имеющихся в распоряжении статистических данных и, как правило, не совпадает с (истинным) процессом порождения данных.

Используемая статистическая модель может быть неправильно специфицирована в отношении входящих в нее переменных и в отношении динамических связей между переменными. Но даже если статистическая модель специфицирована правильно с этой точки зрения, так, что по форме она совпадает с процессом порождения данных, неопределенность в процесс прогнозирования вносит необходимость статистического оценивания коэффициентов модели по имеющимся статистическим данным: оцененные коэффициенты не совпадают с истинными.

Еще одним источником ошибок прогнозов является неправильное измерение значений, непосредственно используемых при прогнозировании. Так, последние (наиболее свежие) значения макроэкономических переменных часто впоследствии подвергаются пересмотру (ревизии), что легко заметить, сравнивая исторические данные о значениях макроэкономических рядов, опубликованные в одном и том же издании в различные годы.

Clements и Hendry (в цитировавшихся выше работах) анализируют относительное влияние на качество прогнозов каждого из перечисленных возможных источников ошибок прогнозов и приходят к выводу о том, что наиболее драматическое ухудшение качества прогнозов связано со скачкообразным изменением параметров DGP при переходе от периода, на котором модель подбирается и оценивается, к периоду, для которого прогноз собственно и составляется. Разумеется, при этом имеется в виду, что построенная статистическая модель не учитывает (не предполагает) такого изменения DGP.

129

4.2. Календарный эффект

Для переменных интервального типа некоторую роль в возникновении ошибок прогноза может играть неучет календарного фактора. Рассмотрим в этой связи влияние календарного фактора, учитывающего количество дней в месяце, на характеристики прогнозов денежных рядов.

Для учета календарного фактора дополним правые части использованных ранее фиксированных моделей с аддитивным выбросом переменной, значения которой равны количеству дней в месяце (31, 30, 28 или 29).

Для ряда МО:

08.2000-02.2001 08.2000-11.2001

Без учета С учетом Без учета С учетом

ЮМ8Е 20762.60 19773.54 24404.03 23987.22

МАЕ 19084.87 17246.75 21787.85 21443.12

МАРЕ 5.247909 4.757094 5.128878 5.00533

Хотя переменная, отражающая календарный эффект, имеет статистически незначимый коэффициент (Р-значение=0.2248), ее учет привел к некоторому, но не очень существенному улучшению характеристик прогнозов, вычисляемых и для короткого и для расширенного интервала.

Для ряда М1:

08.2000-02.2001 08.2000-11.2001

Без учета С учетом Без учета С учетом

КМЭЕ 30788.31 30803.10 35259.73 35139.85

МАЕ 25004.23 25015.30 30334.93 30190.61

МАРЕ 3.119278 3.119104 3.362247 3.347867

Здесь коэффициент при календарной переменной также статистически незначим, но с существенно большим Р-значением (0.8588). При учете этой переменной характеристики прогнозов практически не изменяются.

Для ряда М2:

08.2000-02.2001 08.2000-11.2001

Без учета С учетом Без учета С учетом

КМЭЕ 41472.50 41062.65 37951.93 38869.82

МАЕ 30513.84 30165.17 31062.16 31184.74

МАРЕ 2.847573 2.806430 2.598554 2.619281

Коэффициент при календарной переменной статистически незначим с Р-значением 0.83788. При учете этой переменной характеристики прогнозов незначительно улучшаются на коротком периоде и незначительно ухудшаются на расширенном периоде.

130

4.3. Коррекция прогнозов методами «back-on-track» и «back-on-average»

В этом разделе мы исследуем возможность улучшения качества прогнозов путем коррекции получаемых на каждом шаге прогнозов с использованием описываемого ниже (в 4.3.2) метода «back-on-track» и его модификации - метода «back-on-average».

4.3.1. M0

Здесь мы ограничимся только моделями с аддитивным выбросом. Прогнозы на временном интервале 08.2000-11.2001 (16 точек):

DS ре-курс. TS рекурс. DS фикс. TS фикс.

Root Mean Squared Error 17422.22 21420.81 24404.03 54664.95

Mean Absolute Error 13679.97 18606.90 21787.85 44497.54

Mean Absolute Percent Error 3.309110 4.320607 5.128878 9.520612

Наихудшие результаты дает прогнозирование по фиксированной ТБ-модели, приводящее к систематическому смещению прогнозов. Для фиксированной ГБ-модели: Наблюдения и прогнозы:

- 1 1 i-i 1 г-. i-i Г1 1 1-1 1 ГП ■ -i -i -i pi -i -i

001 0 01 1 01 0 34 01 0 J7 01 1 0

I |х I IXF

131

Ошибки прогнозов:

зшз

-апю

0.Щ

т-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г

0010 0101 01£34 0107 01:10

I | сапАтз

Смещение, хотя и не столь значительное, имеют и прогнозы по фиксированной ДУ-модели:

Для фиксированной ДУ-модели: Наблюдения и прогнозы:

Л

Л

0010

0101

01М

0107

01:10

ЦХ □

132

Ошибки прогнозов 60СГО

40000 -

20СГО -

0-

Проанализируем, что дает коррекция прогнозов по этим моделям методами «Ъаск-оп-йаск» и «Ьаск-оп-ауе». Т8-модель «Баск-оп-ауе»: Ошибки прогнозов

80000 -60000 -40000 -20000 -0-20000 --40000 -ШПЗ -

I | СНХ/^В^СНА/

п 1—1 1—1 1—1 1—1 1—1 р. —

— и и

т-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г

СЕЮ 0011 0101 (31 0105 С3107 010Э 0111

I I СН-ТАСБ

— _Плл_Г1 _ Я . 1—1 р.

64 63 68 70 72 74 76 78

133

Характеристики прогнозов:

Васк-оп-ауе

Коо! Меап Squared Еггог 38846.15

Меап АЬ8о1Ше Еггог 32756.52

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 7.247948

Скорректированные прогнозы улучшаются по сравнению с фиксированной ГУ-моделью, но оказываются хуже прогнозов по рекурсивной ГУ-модели. «Васк-оп-^аск»:

Ошибки скорректированных прогнозов

60000 -

40000 -20000 -0-

г-. - п

— ^ и -

64 66 68 70 72 74 76 78 11 I ОЕ1ТА_ВАСК_ОМ_ТР |

Характеристики скорректированных прогнозов

Васк-оп4гаск

Коо! Меап Squared Еггог 26312.80

Меап АЬзоШе Еггог 20334.04

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 4.829495

Скорректированные прогнозы улучшаются по сравнению с фиксированной ГУ-моделью, лучше прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-ауе», но хуже прогнозов, полученных по рекурсивной ГУ-модели. Б8-модель «Васк-оп-ауе»:

Ошибки скорректированных прогнозов

оЛ

а

_а

иг

ев ТО 72 74

11 | с^т/^Е»'ск_а1_АУ |

134

0

Характеристики скорректированных прогнозов

Back-on-ave

Root Mean Squared Error 24368.25

Mean Absolute Error 20210.75

Mean Absolute Percent Error 4.904167

Характеристики скорректированных прогнозов несколько лучше, чем у прогнозов по фиксированной ДБ-модели, но хуже, чем у прогнозов по рекурсивной ДБ-модели. «Васк-оп-^аск»:

Ошибки скорректированных прогнозов

60000

40000 20000

и

п

ПиипПп

—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—

64 65 68 70 72 74 76 78

| | | СЕиА_ЕУ!СКСЫ_1Н

Характеристики скорректированных прогнозов

Back-on-track

Root Mean Squared Error 30762.63

Mean Absolute Error 25194.41

Mean Absolute Percent Error 6.142304

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-1гаск», хуже прогнозов, полученных по фиксированной и рекурсивной ДБ-моделям, а также прогнозов, скорректированных методом «Ъаск-оп-ауе».

о

135

4.3.2. M1

Модель в уровнях (ГУ-модель) с аддитивным выбросом Напомним полученные в главе 2 результаты прогнозирования по оцененной фиксированной ГУ-модели:

Наблюдения и прогнозы Ошибки прогнозов

00 08 00 09 00 10 00 11 00 12 01 01 01 02

00 08 00 09 00 10 00 11 00 12 01 01 01 02

□ X OXF_FIX

□ DELTA_TS

График ошибок прогноза указывает на явную смещенность прогнозов, полученных по использованной модели: прогнозные значения систематически недооценивают истинных значений ряда. В связи с этим проанализируем, что дало бы использование в процессе прогнозирования по указанной модели методики «back-on-track», исследовавшейся в работах [Clements Р., D.F.Hendry (1998a)] и [Clements Р., D.F.Hendry (1998b)]. Методика «back-on-track» состоит в коррекции каждого очередного одношагового прогноза, построенного по фиксированной модели, прибавлением нему наблюдаемой ошибки предыдущего прогноза, построенного по той же модели.

Следуя этой методике, получаем следующие результаты.

Ошибки скорректированных прогнозов:

60000 40000 20000 0

00 : 08 00 : 09 00 : 10 00 : 11 00 : 12 01: 01 01: 02

|| i delta_ts_back]

136

0

Характеристики прогнозов

Фиксир. модель Васк-оп4гаск

Root Меап Squared Еггог 40981.79 42890.17

Меап Absolute Еггог 32088.90 38012.71

Меап Absolute РегсеП Еггог 3.958528 4.750199

Систематическое смещение прогнозов устранено, однако все три характеристики в таблице ухудшились.

Рассмотрим теперь гипотетическую ситуацию, когда нам в силу каких-то причин известно, что при переходе к интервалу прогнозирования произойдет скачкообразное повышение уровня ряда на 32088.9 (это есть среднее значение delta_ts на временном интервале прогнозирования). При наличии такой информации для прогнозирования следует использовать модифицированную фиксированную модель с постоянной составляющей, увеличенной на 32088.9. Ошибки прогнозов по модифицированной модели таковы: 60000

40000 -20000 -0-

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 11 i ре1_та тб i

Здесь так же, как и при применении метода «Ъаск-оп-1таск», систематическое смещение одношаговых прогнозов устраняется, однако на этот раз это происходит без существенного возрастания вариабельности, что отражается на характеристиках точности прогнозов:

С однократной коррекцией константы в фиксированной модели

Root Меап Squared Еггог 25491.36

Меап Absolute Еггог 19057.50

Меап Absolute РегсеП Еггог 2.356272

Все три характеристики весьма заметно улучшились. Таким образом, однократная коррекция константы в фиксированной модели дала значительно лучшие прогнозы по сравнению с исходной фик-

137

сированной моделью и по сравнению с методикой последовательной коррекции этой константы методом «Ьаск-оп-1гаск». Проблема, однако, в том, что информация о предстоящем сдвиге уровня ряда на прогнозируемом периоде может быть недоступной, даже если этот сдвиг в действительности планируется. Но и при наличии такой информации нельзя ожидать гарантированного осуществления планируемого сдвига, так что и в этом случае значения, приведенные в последней таблице, являются лишь ориентирами потенциально возможного улучшения характеристик прогноза посредством однократной коррекции константы в фиксированной модели.

Модификация метода «Ьаск-оп4гаск» - метод «Ьаск-оп-ауе» Здесь мы рассмотрим возможную модификацию метода «Ьаск-оп-1гаск» отличающуюся от последнего тем, что к каждому очередному одно-шаговому прогнозу, построенному по фиксированной модели, прибавляется среднее арифметическое наблюдаемых ошибок предыдущих одношаговых прогнозов, построенных по той же модели. Мы называем эту модификацию методом «back-on-average» или, для краткости, «Ъаск-оп-ауе».

Следуя методике «Ьаск-оп^е», получаем следующие результаты. Наблюдаемые значения (X), прогнозы по фиксированной ТУ-модели (ХБ) и прогнозы, получаемые коррекцией по методу «Ьаск-оп^е» (ВАСК_01Ч_АУЕ):

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

11-1 Х|-1 XF BACK_ON_AVE |

Ошибки скорректированных прогнозов

80000 -

60000 -40000 -20000 -0-

11 I DELTA_BACK_ON_AV|

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

138

Характеристики скорректированных прогнозов

Баск-оп-ауе

Коо! Меап Squared Еггог 30187.74

Меап АЬзоШе Еггог 24423.78

Меап АЬзоШе Регсеп Еггог 3.046623

Применение процедуры «Ъаск-оп-ауе» для коррекции прогнозов по фиксированной модели устранило систематическое смещение прогнозов и привело к значительному улучшению точностных характеристик прогнозов. Последние хотя и не достигают минимальных значений, соответствующих модифицированной фиксированной модели с увеличенной (на 32088.9) постоянной составляющей, но существенно приближаются к этим минимальным значениям. Более того, характеристики прогнозов, полученные с применением метода «Ъаск-оп-ауе», оказались лучше характеристик прогнозов, полученных по всем другим вариантам моделей с аддитивным выбросом, что видно из уже приводившейся ранее таблицы.

ЭЭ ре-курс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 33750.29 35153.12 30788.31 40981.79

Меап АЬзоШе Еггог 28915.77 29026.71 25004.23 32088.90

Меап АЬзоШе Регсеп Еггог 3.604901 3.621122 3.119278 3.958528

Обратимся теперь к расширенному интервалу 08.2000-11.2001, использованному в главе 3.

Напомним полученные там результаты последовательного одношаго-вого прогнозирования значений ряда М1 для этого интервала (модели с аддитивным выбросом).

ЭЭ рекурс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 37646.23 41033.29 35359.73 108578.5

Меап АЬзоШе Еггог 30672.38 33871.66 30334.93 90923.73

Меап АЬзоШе Регсеп Еггог 3.440899 3.775183 3.362247 9.368012

Качество прогнозов резко отличается в худшую сторону для фиксированной ^-модели.

Фактически данная таблица уже указывает на два возможных метода предупреждения получения столь неудовлетворительных результатов: использование для прогнозирования рекурсивных моделей и моделей в разностях. Проверим возможности двух других методов, уже использованных в данном разделе: «Ъаск-оп^гаск» и «back-on-average» («Ъаск-оп-ауе»).

139

«Back-on- ave»:

] X I I XF BACK_ON_AVE

50000 -0-50000 -

Характеристики скорректированной последовательности прогнозов на расширенном интервале:

Back-on-ave

Root Mean Squared Error 62716.33

Mean Absolute Error 53497.27

Mean Absolute Percent Error 5.608093

00:

iT

00:11 01

Г

01

01

iT

01:07 01

01:11

П П r-i n ■—I I—. р. I—. i—i i—i

U ш

00:10 010и 01:04 01:07 01:10 '

140

На расширенном интервале характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ъаск-оп-ауе», по-прежнему значительно лучше характеристик прогнозов по фиксированной ГБ-модели. Однако на этот раз они заметно хуже прогнозов, получаемых по рекурсивным ДБ-моделям и по обеим ДБ-моделям.

Последнее объясняется поведением ошибок прогнозов по фиксированной ГБ-модели на расширенном интервале: на второй половине расширенного интервала эти ошибки весьма высоки, тогда как на первой половине этого интервала они относительно малы. Соответственно, среднеарифметические значения ошибок, используемые для коррекции, оказываются слишком малыми для того, чтобы компенсировать их возрастание на второй половине интервала.

п!1 П

'00:10 '

01101 010)4 ' I | | РЕ1-ТА ТВ

107

1:10

В этой ситуации представляется вероятным более успешное применение метода «Ъаск-оп-1гаск» с коррекцией только на предыдущую ошибку прогноза. Применение этого метода приводит здесь к следующим результатам.

пп 1-1 1-1 П пППп

и и

00 09 00 11 01 01 01 03 01 05 01 07 01 09 01 11 11 1x1 i васк_оы_траск_тб |

00 : 09 00 : 11 01: 01 01: 03 01: 05 01: 07 01: 09 01: 11 11 i ре_та_тб_васк |

141

0

60000

0

Баск-оп4гаск

Коо! Меап Squared Еггог 35886.93

Меап АЬ8о1Ше Еггог 31706.01

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.628869

Характеристики последовательности прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-^аск», лучше характеристик прогнозов, полученных по рекурсивной ТУ-модели, но все же несколько хуже характеристик, получаемых по обеим .ОУ-моделям.

Модель в разностях (08-модель) с аддитивным выбросом Ошибки прогнозов Фиксированная модель: 800006000040000200000-

Васк-оп4гаск:

80000

40000

0

-40000 -80000

Характеристики прогнозов

Фиксир. модель Баск-оп4гаск

Коо! Меап Squared Еггог 30788.31 47972.41

Меап АЬ8о1Ше Еггог 25004.23 40060.90

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.119278 5.004921

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 11 | delta рбi

□ delta_back_on_tr

63

64 65

66

67

68 69

142

Здесь, в отличие от 7Б"-модели, выраженное систематическое смещение прогнозов по фиксированной модели отсутствует. Характеристики последовательности скорректированных (методом «Ъаск-оп-1таск») прогнозов оказываются хуже характеристик нескорректированных прогнозов. Результаты применения метода «Ъаск-оп-ауе»: Ошибки прогнозов

60000 -

4000020000- _

0 - —I—и—Ц—,—,—г—I—Ц—^—

63 64 65 66 67 68 69 11 i ре[_та_васк_ом_ау|

Характеристики прогнозов

Баск-оп-ауе

Коо1 Меап Squared Еггог 33987.66

Меап АЬвоШе Еггог 28623.01

Меап АЬвоШе Регсеп Еггог 3.583805

Характеристики последовательности прогнозов, скорректированных методом «Ъаск-оп-ауе», оказались лучше характеристик прогнозов, полученных по рекурсивной ДБ-модели, но хуже характеристик, получаемых по фиксированной ДБ-модели, что видно из приводившейся выше таблицы.

Обратимся теперь к расширенному интервалу 08.2000-11.2001.

Ошибки прогнозов по фиксированной Б8-модели 80000 -60000 -40000 -20000 -0-

пП п - г-. пппПп

и ш и

'00:09 '00:11 '01:01 '01:6з '01:05 '01:67 '01:09 '01:11

| I I СЕ[_ТА_С8 |

143

Ошибки прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-1гаск» 80000 -

40000 -0-40000 --80000 -

64 66 68 70 72 74 76 78

Характеристики прогнозов

Фиксир. модель Баск-оп4гаск

Коо! Меап Squared Еггог 35359.73 38409.81

Меап АЬзоШе Еггог 30334.93 31134.30

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.362247 3.597017

Характеристики прогнозов в результате коррекции ухудшились. «Васк-оп-ауе»:

Ошибки скорректированных прогнозов

асосо -

-сосо -2шэ -0-

I | | СЕЦ7\_ЕЗ°ОССМА/

144

Пп П гп П

1— 1—1 и

т-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г

Пп г-. П^пПп

ш — и [

Т-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г

Иа56В7072 74 7Б78

Характеристики скорректированной последовательности прогнозов на расширенном интервале:

Back-on-ave

Root Mean Squared Error 33164.02

Mean Absolute Error 26333.67

Mean Absolute Percent Error 3.008401

Коррекция методом «Ъаск-оп-ауе» привела к наилучшей последовательности одношаговых прогнозов.

4.3.3. М2

И здесь мы ограничимся только моделями с аддитивным выбросом. Прогнозы на временном интервале 08.2000-11.2001 (16 точек):

DS ре-курс. TS рекурс. DS фикс. TS фикс.

Root Mean Squared Error 39133.66 41913.71 37951.93 41623.77

Mean Absolute Error 28768.55 31083.92 31062.16 32920.79

Mean Absolute Percent Error 2.457265 2.656437 2.598554 2.762772

Ошибки прогнозов по фиксированной ГБ-модели

8ГГТП _ 60ГГГ> _

4ГОГО —

2ГГГП _

О-

по фиксированной DS-модели

бГГГО _ 4ГГС0 _ 2ГГГ0 _

О -

-РТГТШ _

-4ЮЮ _ -GCCCD _

■ЯТГШ _

п —

и — U u Ljy

oocb oq-ii oí ch en efe oí efe en cb en ce 'en n'i

11 i салулБ |

ПП

и uuu L -i

coib ' "en ch ' 'en ck ' 'oí ct 1 'oí rib

11 i салАСБ

145

Систематическое смещение отсутствует и у прогнозов по ДУ-моделям, и у прогнозов по ТУ-моделям.

Проанализируем, что при этом дает коррекция прогнозов методами «Ъаск-опЧгаск» и «Ьаск-оп-ауе». ^-модель: «Васк-оп-ауе»:

Ошибки скорректированных прогнозов

ахсо -

40000 _

0 _

-4СССО --8СССО -

Характеристики скорректированных прогнозов

Баск-оп-ауе

Коо! Меап Squared Еггог 41913.43

Меап АЬ8о1Ше Еггог 35127.43

Меап Abso1ute Регсеп! Еггог 2.960978

Характеристики скорректированных прогнозов хуже характеристик прогнозов по фиксированной и по рекурсивной ТУ-моделям. «Васк-оп-^аск»:

Ошибки скорректированных прогнозов

50000 -0-

-еоооо -

I I I СЕЬТТ^ЕУС^СЫТН

_ П пп

1— - ш ии у

емввбвтотгт^тБтв

| | | СЕЦГМЗДСкачА/

п г п ПП

6466687072 74 7678

146

Характеристики скорректированных прогнозов

Баск-оп4гаск

Коо! Меап Squared Еггог 52884.03

Меап АЬ8о1Ше Еггог 40505.50

Меап Abso1ute Регсеп! Еггог 3.506794

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-1гаск», хуже характеристик всех остальных прогнозов, полученных в классе ТУ-моделей. Л^-модель «Васк-оп-ауе»:

Ошибки скорректированных прогнозов

80000 -

40000 -0-

64 66 68 70 72 74 76 73 11 I С^ТА_ЕА0^04_АУ |

Характеристики скорректированных прогнозов

Баск-оп-ауе

Коо! Меап Squared Еггог 44569.30

Меап АЬ8о1Ше Еггог 38767.36

Меап Abso1ute Регсеп! Еггог 3.261524

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-ауе», хуже характеристик прогнозов, полученных по фиксированной и рекурсивной ДУ-моделям. «Васк-оп-^аск»:

Ошибки скорректированных прогнозов

0.

11 | сщ"А_Е^кат

П п пп

и и ии иу

п пП п .и . дП ..

и и

6*05 68 70 72 74 7Б7В

147

Характеристики скорректированных прогнозов

Васк-оп4гаск

Коо! Меап Squared Еггог 55119.29

Меап АЬзоШе Еггог 45006.80

Меап АЬзоШе Регсеп! Еггог 3.856839

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-1гаск», хуже характеристик всех остальных прогнозов, полученных в классе ДБ-моделей.

4.3.4. Налоговые доходы федерального бюджета

Ограничимся моделями с аддитивным выбросом. Прогнозы на временном интервале 06.2000-09.2001 (16 точек):

Э8 ре-курс. Т8 рекурс. Э8 фикс. Т8 фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 6676.117 6983.570 8038.587 16075.68

Меап АЬзоШе Еггог 5097.416 5367.743 7134.696 15428.55

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 5.740951 6.044299 7.761660 15.44266

Наихудшие результаты дает прогнозирование по фиксированной ТБ-модели (заметим, что сам ряд на временном интервале оценивания фиксированной модели был классифицирован как ДБ-ряд), приводящее к систематическому смещению прогнозов - переоцениванию истинных значений ряда:

ахоо -

60000 I I | II | I I | 11 | 11 | I I | I I | II | I I | I I | II | 11 | 11 | II | II

£йЭЗ£В6062Е»еб68

| X Х= |

148

'ооЙ7 оо(!е 'осий 'си^п 'сийз сз1]с!б 'оНТ

Впрочем, смещение, хотя и не столь значительное, имеют и прогнозы по фиксированной ДУ-модели:

00:07 00 :09 00 :11 01:01 01:03 01:05 01:07 01:09

|| i ре|-тд_031

Проанализируем, что дает коррекция прогнозов по этим моделям методами «Ъаск-оп-йаск» и «Ьаск-оп-ауе». Т8-модель: «Васк-оп-ауе»:

Наблюдения и скорректированные прогнозы

90000 80000 -70000

54 55 ЕВ 80 62 64 65 I I I X I I ВДСКОЧА^ I

149

0

5000

0

Ошибки скорректированных прогнозов

10000

5000 -

0

-3300 -

Характеристики скорректированных прогнозов

Back-on-ave

Root Mean Squared Error 5437.116

Mean Absolute Error 4485.736

Mean Absolute Percent Error 4.504539

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-ауе», лучше характеристик прогнозов, полученных по фиксированной и рекурсивной ДБ-моделям. «Баск-оп-^аск»:

Наблюдения и скорректированные прогнозы

90000 -80000 -70000 _

| | Х| | ЕА^СИ^СЫтеаСК

I 1 П

1—1 и - J и

» ' 53 ' 5В ' 60 ' ёз2 ' ёй ' ёв ' ёв

I I I СЕЗЛТМЕУОСаМ/У

150

Ошибки скорректированных прогнозов 10000

5000

-5000

- п ППП гп

- —

54

56

58

60

62

64

66

68

| | | □Е[_ТА_ВАСК_ОМ_ТК |

Характеристики скорректированных прогнозов

Баск-оп4гаск

Коо1 Меап Squared Еггог 5887.558

Меап АЬ8о1Ше Еггог 4543.872

Меап АЬзоШе Регсеп Еггог 4.853807

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-1гаск», лучше характеристик прогнозов, полученных по фиксированной и рекурсивной ТУ-моделям, но несколько хуже характеристик прогнозов, скорректированных методом «Ъаск-оп-ауе». Б8-модель «Баск-оп-ауе»: Наблюдения и прогнозы

ВЕСКОМ А/Е

151

0

X

Ошибки скорректированных прогнозов

19300 -10000 -9X0 -О--9ЮЭ -

»93 98 60 62 64 63 68 П=—I СЕЗЛТМЕУОССМ^У'/ |

Характеристики скорректированных прогнозов

пп„п П пПп

1— - и и ^

Back-on-ave

Root Mean Squared Error 5750.589

Mean Absolute Error 4359.457

Mean Absolute Percent Error 4.591145

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-ауе», лучше характеристик прогнозов, полученных по фиксированной и рекурсивной ДУ-моделям. «Баск-оп-^аск»: Наблюдения и прогнозы

80000 -

54

53

58

60

62

£54

05

68

ВДСК СЫ ТГ^СК

X

152

Ошибки скорректированных прогнозов

15000 -10000 -5000 -0-5000 -

С^ТАЕУСК_ОМ_7Н

1 1 ппп п^

1— — и

т-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г

54 56 58 60 62 64 66 68

Характеристики скорректированных прогнозов

Васк-оп4гаск

Root Меап Squared Еггог 6419.555

Меап Absolute Еггог 5136.422

Меап Absolute РегсеП Еггог 5.476168

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-1гаск», лучше характеристик прогнозов, полученных по фиксированной и рекурсивной ДБ-моделям, но несколько хуже характеристик прогнозов, скорректированных методом «Ъаск-оп-ауе».

4.3.5. Экспорт

Напомним результаты прогнозирования на расширенном интервале 05.2000-08.2001 (16 точек):

DS ре-курс. TS рекурс. DS фикс. TS фикс.

Root Меап Squared Еггог 0.710022 0.770122 0.734464 0.869509

Меап Absolute Еггог 0.594670 0.673983 0.622717 0.753316

Меап Absolute Percent Еггог 6.693006 7.542889 6.989588 8.393028

153

Ошибки прогнозов по фиксированным моделям:

ГБ-модель ДБ-модель

п Ппп п 1-1

и у г и

05 СЮ -0.5

п Пп

и у

] ИЫГХТЗ

| I I ИЩТХЕб |

Выраженного систематического смещения прогнозов по обеим фиксированным моделям не наблюдается. Тем не менее попробуем произвести коррекцию этих прогнозов в режимах «Ъаск-опЧгаск» и «Ъаск-оп-ауе». ^-модель «Баск-оп-^аск»: Ошибки прогнозов

-1 -

1—1 п п —

и

78

■л-1—

80

82

Ш

88

60

£2

| I I СЕЦГ^ЕУ'СКачПН Характеристики прогнозов

2

1

0

Васк-оп4гаск

Коо! Меап Squared Еггог 1.162296

Меап АЬ8о1Ше Еггог 1.047766

Меап АЬзоШе Регсеп Еггог 11.79271

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-1гаск», значительно хуже характеристик прогнозов, полученных по фиксированной и рекурсивной ГБ-моделям.

154

«Баск-оп-ауе»: Ошибки прогнозов

1.5 -

1.0 -

0.5 -

ОО -

-0.5 -

-1 О -

-1 .5 -

Характеристики прогнозов

Back-on-ave

Root Меап Squared Еггог 0.810727

Меап Absolute Еггог 0.698312

Меап Absolute РегсеП Еггог 7.863206

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-ауе», несколько хуже характеристик прогнозов, полученных по фиксированной и рекурсивной ГУ-моделям, и значительно лучше характеристик прогнозов, скорректированных методом «Ъаск-опЧгаск». ОЗ'-модель «Баск-оп-^аск»: Ошибки прогнозов

21 -О--1 -

-2 --3 -

П=П7\ЕУОССГчГТН

П 1—1 п 1—1 1—1 п

— — и — -

78 ' 83 ' £Е ' М ' 83 ' 88 ' 90 ' ЕЕ

тТАВДСКСИД'/

1—1 П гп П п 1—1

уи иш —

ТВ ' 83 ' £Е ' М ' 83 ' 88 ' 90 ' ЕЕ

155

Характеристики прогнозов

Back-on-track

Root Mean Squared Error 1.189322

Mean Absolute Error 1.080290

Mean Absolute Percent Error 12.165979

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-1гаск», значительно хуже характеристик прогнозов, полученных по фиксированной и рекурсивной ДУ-моделям. «Баск-оп-ауе»: Ошибки прогнозов

1.5 -

10 -

0.5 -

0.0 -

-0.5 -

-1 О -

-1.5 -

-20 -

Характеристики прогнозов

Back-on-ave

Root Mean Squared Error 0.870558

Mean Absolute Error 0.732049

Mean Absolute Percent Error 8.266621

Характеристики прогнозов, скорректированных методом «Ьаск-оп-ауе», хуже характеристик прогнозов, полученных по фиксированной и рекурсивной ДУ-моделям, но значительно лучше характеристик прогнозов, скорректированных методом «Ъаск-опЧгаск».

П п 1 П п

— - ши - — и

78 ' 83 ' £Е ' М ' 83 ' 88 ' Ё5 ' ЁЕ

| I_I СНЛАВЦ[1Кач[.А./

156

4.3.6. Индекс интенсивности производства цветных металлов

Сезонно скорректированный ряд

Вспомним итоги прогнозирования для этого ряда по подобранной фиксированной ГБ-модели:

Наблюдения и прогнозы

Ошибки прогнозов

00:08 00 09 00 10 00 11 00 12 01 01 01

i 1x^1 ix saf ts fix

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 | ю delta_ts_fix|

Характеристики прогнозов

Т8

Коо! Меап Squared Еггог 0.126271

Меап АЬзоШе Еггог 0.099413

Меап АЬзоШе Регсеп Еггог 0.099430

График ошибок прогноза указывает на явную смещенность прогнозов, полученных по использованной модели: прогнозные значения систематически недооценивают истинных значений ряда. В связи с этим проанализируем, что дало бы использование в процессе прогнозирования по указанной модели методики «Ъаск-оп-йаск».

Следуя этой методике, получаем следующие результаты: Наблюдения и прогнозы Ошибки прогнозов

101.0 -

100.5100.0- —I

99.599.098.598.0- ^__^

97.5-Ц__Ц__и__Ц__Ц__и____

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01

[ТП X_SA I I BACK_ON_TRACK_TS|

0.10- -

0.050.00---1—- I- I--и--

-0.05-0.10- _

-015-'-1-1-1-1-1-1-Г"

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

11 IDELTA_BACK_TS_SA |

157

Характеристики прогнозов

Баек-оп4гаек

Яоо! Меап 8диа^ Еггог 0.074136

Меап ЛЬзоМе Еггог 0.066350

Меап ЛЬзо^е Регееп! Еггог 0.066537

Качество прогноза с использованием методики «Ъаск-оп-1гаск» значительно улучшилось. По КМЕЕ прогноз оказался даже лучше не только прогноза по фиксированной ГБ-модели, но и остальных трех прогнозов (по фиксированной ББ-модели, по рекурсивной ГБ-модели и по рекурсивной ББ-модели).

«Баск-оп-ауе»:

Наблюдения и прогнозы Ошибки прогнозов

128 129 130 131 132 133 134

0.20.

0.150.100.050.00.

□ X □ ВДСК_СИ_ДУЕ

128 129 130 131 132 133 134 |ГП DELTA BACK СИ дУ

Характеристики прогнозов

Баек-оп-ауе

Коо! Меап Squaгed Еггог 0.089205

Меап АЬзоШе Еггог 0.072079

Меап ЛЬ8о1Ше Регееп! Еггог 0.072144

Качество скорректированных прогнозов лучше, чем у прогнозов по фиксированной и рекурсивной ГБ-моделям, но несколько хуже, чем у прогнозов, скорректированных методом «Ъаск-опЧгаск».

Применим те же две методики коррекции прогноза к фиксированной ББ-модели.

158

Ранее мы получили следующее: Наблюдения и прогнозы

101.0100.5100.099.599.098.598.097.5-

Ошибки прогнозов

0.200.150.100.050.00-0.05-0.10-

00:08 00 09 00 10 00 11 00 12 01 01 01 02 [гпx sa | ix saf ds fix|

11 i delta_ds_flx

Характеристики прогнозов

DS

Root Mean Squared Error 0.084411

Mean Absolute Error 0.063081

Mean Absolute Percent Error 0.063052

При использовании методики «Ьаск-оп-1гаск» получаем следующие результаты:

Наблюдения и прогнозы Ошибки прогнозов

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

I IX SA I IBACK ON TRACK DS

□□ DELTA_BACK_DS_SA

Back-on-track

Root Mean Squared Error 0.069753

Mean Absolute Error 0.061431

Mean Absolute Percent Error 0.061579

Качество прогнозов улучшилось, но незначительно.

159

«Баск-оп-ауе»: Наблюдения и прогнозы

Ошибки прогнозов

101.0, 100.5100.099.599.098.5-

128 129 130 131 132 133 134

11 и i i васк_ои_ауе| Характеристики прогнозов

0.200.150.100.050.00-0.05-0.1011 i deltд_bдck_сn_дv|

128 129 130 131 132 133 134

Баек-оп-ауе

Коо! Меап Squared Еггог 0.084417

Меап ЛЬ8о1Ше Еггог 0.099174

Меап АЬзоШе Регееп! Еггог 0.069202

Характеристики скорректированных прогнозов лучше, чем у прогнозов, полученных по рекурсивной ББ-модели, но несколько хуже, чем у прогнозов, полученных по фиксированной ББ-модели, и у прогнозов, скорректированных методом «Ъаск-оп-1гаск».

Нескорректированный ряд

Итоги прогнозирования для этого ряда по оцененной фиксированной ГБ-модели:

Наблюдения и прогнозы Ошибки прогнозов

102.

10098969492-

90.

00 08 00 09 00 10 00 11 00 12 01 01 01 02 [□□ Х_И8Д Ю Х_ИБАР_нХ

□ 0е1_тд_т8_р1х

160

Характеристики прогнозов

TS

Root Mean Squared Error 2.709401

Mean Absolute Error 2.169326

Mean Absolute Percent Error 2.241112

Следуя методике «Ъаск-оп-1гаск», получаем следующие результаты:

Наблюдения и прогнозы

Ошибки прогнозов

104 10210098969492 90

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 | □ X_NSA □ BACK_0N_TRACK_TS

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02

□ DELTA_BACK_TS_NS

Характеристики прогнозов

TS

Root Mean Squared Error 3.252290

Mean Absolute Error 2.302860

Mean Absolute Percent Error 2.405861

В этом случае методика «Ъаск-опЧгаск» не дала улучшения прогнозов, и это связано с существенным ухудшением прогноза на февраль 2001 г.

Вместе с тем, если сравнивать альтернативные прогнозы, не включая в рассмотрение прогноз на этот месяц, то тогда получаем следующие результаты:

Т8-фикс. «Васк-оп4гаск»

Root Mean Squared Error 1.973102 1.832792

Mean Absolute Error 1.648535 1.463207

Mean Absolute Percent Error 1.654562 1.475603

На этом периоде методика «Ъаск-опЧгаск» улучшает прогнозы.

161

«Баск-оп-ауе»: Ошибки прогнозов

420-2-4-6-8-

Характеристики скорректированных прогнозов

128 129 130 131 132 133 134 [Г~| DELTД_BДCK_СN_ДV|

Баек-оп-ауе

Коо! Меап Squaгed Еггог 2.980953

Меап ЛЬво1и!е Еггог 2.059774

Меап ЛЬво1и!е Регееп! Еггог 2.154163

Методика «Ьаск-оп-ауе» несколько улучшает прогнозы по фиксированной и рекурсивной ГБ-моделям.

Рассмотрим теперь итоги прогнозирования ряда по подобранной фиксированной ББ-модели:

Наблюдения и прогнозы Ошибки прогнозов

104 1021009896949290

00 08 00 09 00 10 00 11 00 12 01 01 01 02 [□□ Х_И8Д Ю X_N8ДF_D8_FlX

□ deltд_d8_fix

2-

0

162

Характеристики прогнозов

Коо! Меап Squared Еггог 2.850249

Меап Лbso1ute Еггог 2.082808

Меап ЛЬ8о1Ше Регееп! Еггог 2.171102

Результаты применения корректирующих процедур. «Баск-оп-1таск»:

104 1021009896949290

Наблюдения и прогнозы

Ошибки прогнозов

128 129 130 131 132 133 134

|~г~1 х i i вдск_си_трдск Характеристики прогнозов

128 129 130 131 132 133 134 [Г~| DELTД ВДСК СИ ТР I

Баек-оп4гаек

Коо! Меап Squared Еггог 3.352380

Меап Лbso1ute Еггог 2.603443

Меап ЛЬ8о1Ше Регееп! Еггог 2.708143

Применение методики «Ъаск-опЧгаск» привело к ухудшению характеристик прогнозов. «Баск-оп-ауе»:

Наблюдения и прогнозы

10210098 969492-

128 129 130 131 132 133 134

[г~| х I I ВАСК_ОИ_АУЕ

Ошибки прогнозов

128 129 130 131 132 133 134 [г~| DELTД_BДCK_СN_ДV|

163

104

90

Характеристики скорректированных прогнозов

Баск-оп-ауе

Коо1 Меап Squared Еггог 3.141902

Меап АЬ8о1Ше Еггог 2.349225

Меап АЬзоШе Регсеп Еггог 2.446948

Применение методики «Ъаск-оп-ауе» также привело к ухудшению характеристик прогнозов, хотя и не столь значительному, как при применении методики «Ъаск-оп-^аск».

4.3.7. Индекс интенсивности промышленного производства

Ранее мы рассмотрели прогнозы для этого (сезонно скорректированного) ряда по фиксированным ТБ- и ДУ-моделям, оцененным на временном интервале с 01.1994 по 01.1998.

Прогнозы по фиксированной ТУ-модели: Наблюдения и прогнозы Ошибки прогнозов

42

41 -

40-

39-

38-

37 и__и__и__и__и__и__и__

98:02 98:03 98:04 98:05 98:06 98:07 98:08

|| IX I IXF_TS_FIX|

Характеристики прогнозов

0.00-0.02-0.04-0.06-0.08-0.10-

□ delta_ts_fix

Т8

Коо1 Меап Squared Еггог 0.050764

Меап АЬ8о1Ше Еггог 0.039615

Меап АЬзоШе Регсеп Еггог 0.098420

При использовании методики «Ьаск-оп-1гаск» получаем следующие результаты:

164

Наблюдения и прогнозы

8:02 98:03 98:04 98:05

11 I XI I ВДСК_СИ_ТРДСК_Т8 |

Характеристики прогнозов

Ошибки прогнозов

ю delta_ts_back

42

41 -

40-

39-

38-

37

ТЭ

Коо! Меап Squared Еггог 0.054357

Меап ЛЬвоМе Еггог 0.045757

Меап ЛЬвоМе Регееп! Еггог 0.114544

Прогнозы в целом ухудшились: систематическое смещение прогнозов устраняется за счет их большей вариабельности, что, в конечном счете, привело к ухудшению характеристик прогнозов.

При использовании методики «Ьаск-оп-ауе» результаты таковы:

Наблюдения и прогнозы Ошибки прогнозов

98 99 100 101 102 103 104 11 и I IВДСК_СИ_ДУЕ|

Характеристики прогнозов

98 99 100 101 102 103 104 [г~| delta_back_on_av|

42

41-

40-

39-

38-

37

Баек-оп-ауе

Коо! Меап Squaгed Еггог 0.046849

Меап ЛЬвоШе Еггог 0.038710

Меап ЛЬвоМе Регееп! Еггог 0.097472

165

Характеристики прогнозов по фиксированной ТУ-модели практически не изменяются при коррекции прогнозов методом «Ъаск-оп-ауе». Прогнозы по фиксированной Б8-модели:

Наблюдения и прогнозы Ошибки прогнозов

i 1x1 № ds fix

02 98:03 98:04 98:05 98:06 98:07 [□ delta_ds_flx

Характеристики прогнозов

Коо! Меап Squared Еггог 0.048401

Меап АЬзоШе Еггог 0.039698

Меап АЬ8о1Ше Регсеп! Еггог 0.100229

При использовании методики «Ъаск-оп-1гаск» получаем следующие результаты:

Наблюдения и прогнозы Ошибки прогнозов

3:02 98:03 98:04 98:05 98:06 98:07

□ X □ BACK_ON_TRACK_DS

11 i delta_ds_back|

42

41

40

39

38

37

42

41-

40-

39-

38-

37

166

Характеристики прогнозов

Баек-оп4гаек

Коо! Меап Squared Еггог 0.055997

Меап ЛЬ8о1Ше Еггог 0.047726

Меап ЛЬ8о1Ше Регееп! Еггог 0.119700

И в этом случае уменьшение смещения прогнозов, достигнутое ценой возрастания их вариабельности, в конечном счете, привело к ухудшению характеристик прогнозов.

При использовании методики «Ьаск-оп-ауе» результаты таковы: Наблюдения и прогнозы Ошибки прогнозов

98 99 100 101 102 103 104

11 I XI IВДСК_СИ_ДУЕ|

Характеристики прогнозов

98 99 100 101 102 103 104 [г~| delta_back_on_av|

Баек-оп-ауе

Коо! Меап Squared Еггог 0.055864

Меап ЛЬ8о1Ше Еггог 0.045015

Меап ЛЬ8о1Ше Регееп! Еггог 0.114184

Уменьшение смещения прогнозов достигается ценой возрастания их вариабельности, что в конечном счете привело к ухудшению характеристик прогнозов.

42

37

167

4.3.8. Безработица

В главе 1 были получены следующие результаты для прогнозов по оцененным фиксированным ТБ- и ДУ-моделям (оценивание на временном интервале 01.1994-09.1997, одношаговые прогнозы на временном интервале 10.1997-04.1998).

Наблюдения и прогнозы

ТУ-модель ДУ-модель

97 10 97 11 97 12 98 01 98 02 98 03 98 04 [Т~| ЦЩРВ I I FOREC_TS_FlX

Ошибки прогнозов ТУ-модель

97 10 97 11 97 12 98 01 98 02 98 03 98 04 [тп ЦЩРВ I I FOREC_DS_FlX

ДУ-модель

97: 10 97 :11 97 :12 98: 01 98: 02 98 :03 98 :04

11-1 DELTA_TS_FIX| 11 I DELTA_DS_FIX|

Характеристики прогнозов по фиксированным и рекурсивным моделям

ЭЭ ре-курс. ТЭ рекурс. ЭЭ фикс. ТЭ фикс.

Коо! Меап Squared Еггог 0.070806 0.067143 0.070076 0.068207

Меап АЬ8о1Ше Еггог 0.061088 0.060246 0.060714 0.060048

Меап Abso1ute Регсеп! Еггог 0.738836 0.727211 0.734373 0.724306

168

Скорректированные прогнозы: ТЭ-модель:

«Баск-оп-1таск»

0.20,-

0.150.100.05- -

-0.05-0.10-1_,_,_,_,_,_,_,_

46 47 48 49 50 51 52

11 i delta_back_on_tr|

«Баск-оп-ауе»

0.150.100.050.00-0.05-0.1011 i delta_back_on_av|

46 47 48 49 50 51 52

Баек-оп4гаек Баек-оп-ауе

Коо! Меап Squaгed Еггог 0.083033 0.073324

Меап ЛЬ8о1Ше Еггог 0.067588 0.068324

Меап ЛЬ8о1Ше Регееп! Еггог 0.816525 0.827066

БЭ-модель:

«Баск-оп-1таск»

46 47 48 49 50 51 52 гтп deltд вдск сn тр|

«Баск-оп-ауе»

46 47 48 49 50 51 52 гтп deltд вдск сn д^

Баек-оп4гаек Баек-оп-ауе

Коо! Меап Squared Еггог 0.083033 0.733244

Меап ЛЬ8о1Ше Еггог 0.067588 0.068324

Меап Лbso1ute Регееп! Еггог 0.816525 0.827066

169

Для ряда данных о безработице обе корректирующие процедуры приводят фактически к одним и тем же характеристикам, которые оказались хуже, чем для прогнозов и по фиксированным, и по рекурсивным моделям.

170

Глава 5. Моделирование и прогноз налоговых поступлений в консолидированный и федеральный бюджеты РФ

Целью данной главы является выбор наиболее подходящих моделей и методов для регулярного построения краткосрочных прогнозов поступлений основных налогов в консолидированный и федеральный бюджеты РФ. В этой главе будут рассмотрены эконометрические модели, основанные на авторегрессионных процессах и процессах скользящего среднего (ARIMA), а также модель оценки поступлений (Revenue Estimating Model, REM)2. Для каждого из исследуемых временных рядов построены два типа эконометри-ческих моделей - модели для процессов с детерминированным трендом (ГУ-модели) и модели для процессов со стохастическим трендом (DS-модели); при этом даже при ложной классификации, мы будем рассматривать обе модели, и нас будет интересовать разница в качестве прогнозов рассматриваемых TS и DS-моделей. Для исследования выбраны шесть временных рядов: суммарные налоговые поступления и поступления налога на прибыль в консолидированный и федеральный бюджеты, поступления НДС в консолидированный бюджет и поступления подоходного налога в консолидированный бюджет. В конце главы представлены результаты сравнения многошаговых прогнозов эконометрических моделей с соответствующими прогнозами, которые получены в модели оценки поступлений.

Общие замечания:

• При расчетах используются ежемесячные данные по налоговым поступлениям (источник - Министерство финансов РФ) в постоянных ценах декабря 1993 г. В качестве дефлятора использовался индекс потребительских цен по данным Госкомстата РФ, как наиболее корректный и достоверный регулярно рассчитываемый ценовой индекс.

2 Модель оценки поступлений была предложена в качестве примера для сравнения результатов прогнозирования при помощи простой модели - калькулятора для расчета прогноза с использованием простых корректировок предыдущих значений налоговых поступлений и эконометрических ARIMA-моделей. Авторы выражают благодарность профессору Р. Конраду (Public Finance Group, Duke Center for International Development) за предоставление каркаса данной модели и полезные замечания и комментарии при подготовке прогнозов.

171

• Для проверки существования единичного корня и наличия тренда во временных рядах использовался ADF-тест и процедура Dolado, Jentínson^ и Sosvilla-Rivero. Исследование на автокорреляцию остатков проводилось на основе Q-статисти-ки и теста множителей Лагранжа (LM-тест). Выбор наилучшей модели осуществляется на основании информационных критериев Akaikie (AIC) и Schwarz'a (BIC).

При построении одношаговых прогнозов применялись три метода:

1. На каждый последующий месяц прогноз рассчитывается с помощью уравнения регрессии вновь оцененного по фактическим данным за все предшествующие месяцы (ниже - метод 1).

2. Прогноз с добавлением фактических данных без переоценки коэффициентов модели (ниже - метод 2).

3. Прогноз на каждый последующий месяц равен сумме прогноза по второму методу и ошибки прогноза в предыдущем периоде (ниже - метод 3).

5.1. Поступления подоходного налога

Поступления подоходного налога в рассматриваемый период характеризуются значительными колебаниями; при этом в некотором смысле в отдельные периоды 1995-1998 и 1998-2002 гг. поступления характеризуются относительно стабильной динамикой с повторяющейся сезонностью (см. рис. 5.1.1). Поскольку одной из главных целей работы является построение прогнозов на будущие периоды, для моделирования был выбран последний интервал времени с относительно стабильной динамикой: с октября 1998 г. по март 2002 г.

При проверке с помощью ADF-теста, добавляя при этом от 1 до 3 лагов

согласно правилу T1/3 ( T - количество наблюдений), гипотеза о наличии единичного корня в рассматриваемом временном ряде на данном интервале отвергается. При этом проверки указывают на то, что данный ряд является стационарным относительно тренда. Для того, чтобы учесть регулярные пики в декабре (выплата вознаграждений и премий по результатам года), июле (выплата отпускных) и снижение поступлений в январе (новогодние каникулы, невысокие поступления после декабря в условиях относительно высокой инфляции), были использованы фиктивные переменные, равные единице в соответствующие месяцы и нулю - в остальные месяцы года (DUM12, DUM07, DUM01).

172

Используемые для расчетов переменные:

INC - реальные поступления подоходного налога.

T - линейный тренд.

DUM12 - фиктивная переменная, равная единице в декабре и нулю во все остальные месяцы.

DUM01 - фиктивная переменная, равная единице в январе и нулю во все остальные месяцы.

DUM07 - фиктивная переменная, равная единице в июле и нулю во все остальные месяцы.

Поступления подоходного налога в консолидированный бюджет РФ (в иенах декабря 1993 г.млрд. руб.)

Рис. 5. 1.1

Таблица 5.1.1

TS-модель поступлений по подоходному налогу (1998.10-2002.03)

Dependent Variable: INC

Method: Least Squares

Sample: 1998:10 2002:03

Included observations: 42

Convergence achieved after 98 iterations

Backcast: 1997:07 1998:09

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.368642 0.028271 -13.03962 0.0000

@TREND 0.008539 0.000266 32.12224 0.0000

DUM12 0.382276 0.015178 25.18601 0.0000

DUM01 -0.177080 0.016995 -10.41934 0.0000

DUM07 0.157104 0.018094 8.682851 0.0000

AR( 1) -0.734847 0.112648 -6.523371 0.0000

AR( 3) 0.477936 0.085368 5.598534 0.0000

MA( 3) -0.181721 0.081469 -2.230549 0.0326

SMA( 12) 0.885662 0.000118 7481.354 0.0000

R-squared 0.985717 Mean dependent var 0.532409

Adjusted R-squared 0.982254 S.D. dependent var 0.147497

S.E. of regression 0.019649 Akaike info criterion -4.834204

Sum squared resid 0.012740 Schwarz criterion -4.461846

Log likelihood 110.5183 F-statistic 284.6740

Durbin-Watson stat 1.906247 Prob(F-statistic) 0.000000

173

На основании значений выборочной автокорреляционной и частной автокорреляционной функций, а также критерия Шварца, в уравнение были добавлены авторегрессионные члены первого и третьего порядков и члены скользящего среднего с лагами в три и двенадцать периодов. Результаты ЬМ-теста для первых 16 лагов не выявляют автокорреляции остатков.

0,600 ■ 0,400 ■ 0,200 ■ 0,000

Фактические и спрогнозированные значения поступлений по подоходному налогу в консолидированный бюджет РФ (в ценах декабря 1993 г. млрд руб., млрд.руб.).

фев 02

мар 02

Рис. 5.1.2. ТБ-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

Как уже упоминалось выше, мы будем оценивать для временных рядов и ТБ, и ББ-модели, и обращать внимание на качество прогнозов вне зависимости от результатов теста на единичный корень. Ниже приведены результаты оценок и прогнозирования поступлений подоходного налога по ББ-модели.

Таблица 5.1.2

Б8-модель поступлений подоходного налога (1998.10-2002.03)

Dependent Variable: D( INC)

Method: Least Squares

Sample( adjusted): 1998:10 2002:03

Included observations: 42 after adjusting endpoints

Convergence achieved after 22 iterations

Backcast: 1998:06 1998:09

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.011317 0.004652 2.432575 0.0204

DUM01 -0.340414 0.027533 -12.36391 0.0000

DUM12 0.275983 0.024858 11.10259 0.0000

DUM07 0.069992 0.021531 3.250717 0.0026

D( INC( -1)) -0.349235 0.039997 -8.731509 0.0000

D( INC( -2)) -0.236336 0.038229 -6.182137 0.0000

D( INC( -8)) 0.107250 0.033499 3.201599 0.0030

MA( 4) -0.931761 0.046427 -20.06926 0.0000

R-squared 0.977238 Mean dependent var 0.008588

Adjusted R-squared 0.972552 S.D. dependent var 0.167083

S.E. of regression 0.027681 Akaike info criterion -4.166466

Sum squared resid 0.026053 Schwarz criterion -3.835481

Log likelihood 95.49579 F-statistic 208.5321

Durbin-Watson stat 2.285610 Prob(F-statistic) 0.000000

1,200

1,000

0,800

сен 01

окт 01

дек 01

янв 02

174

По результатам тестов для устранения коррелированное™ остатков в уравнение был добавлен член скользящего среднего четвертого порядка.

Фактические и спрогнозированные значения поступлений по подоходному налогу в консолидированный бюджет РФ(в ценах декабря 1993 г., млрд.руб.).

□ фактические значения □ метод 1 □ метод 2 □ метод 3

гп 1- 1- гп

-

сен 01 окт 01 ноя 01 дек 01 янв 02 фев 02 мар 02

Рис. 5.1.3. ДУ-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

Судя по диаграммам и таблице, представленной ниже, качество прогноза зависит в основном от типа модели (ТУ или ДУ), а не от выбранного метода. Можно отметить, что ТУ-модели, в целом, дают более качественный одношаговый прогноз для поступлений по подоходному налогу. Наименьшая относительная ошибка отклонения получается при использовании первого метода, т.е. метода с переоценкой коэффициентов регрессии при добавлении новых данных.

Таблица 5.1.3

Характеристики одношаговых прогнозов налоговых поступлений по подоходному налогу (в консолидированный бюджет) Т8- и БЭ-моделей

Метод 1 Метод 2 Метод 3

ТЭ БЭ ТЭ БЭ ТЭ БЭ

Среднее квадратичное отклонение 0.018 0.030 0.020 0.033 0.019 0.053

Среднее абсолютное отклонение 0.013 0.026 0.014 0.029 0.014 0.050

Среднее абсолютное отклонение в % 2.004% 4.016% 2.260% 4.511% 2.227% 7.910%

175

5.2. Поступления налога на прибыль

Для моделирования налога на прибыль был выбран период с января 1999 г. до марта 2002 г. Динамика поступлений приведена на рис. 5.2.1.

Поступления налога на прибыль в консолидированный бюджет (в ценах декабря 1993 г, млрд руб)

Рис. 5.2.1.

Проверка гипотезы о наличии единичного корня указывает на то, что временной ряд поступлений налога на прибыль является нестационарным в уровнях и стационарным в первых разностях. Однако, как и для подоходного налога, для налога на прибыль мы оценивали и ТБ, и ББ-модель, чтобы сравнить качество прогнозов рассматриваемыми тремя методами по обеим моделям. Моделирование поступлений налога на прибыль в уровнях (ТБ-модель) дает следующие результаты:

Используемые для расчетов переменные:

РКЕ - реальные поступления налога на прибыль в консолидированный бюджет.

Т - тренд.

Анализ остатков показывает, что тренд нельзя исключить из уравнения даже несмотря на то, что коэффициент оказывается незначимым. Для учета сезонности в уравнение был добавлен авторегрессионый член ЛЩ12). Результаты ЬМ-теста указывают на отсутствие автокорреляции остатков.

176

Таблица 5.2.1

TS-модель

Dependent Variable: PRF

Method: Least Squares

Sample: 1999:01 2002:03

Included observations: 39

Convergence not achieved after 100 iterations

Backcast: 1997:10 1998:12

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 6.664341 4.472225 1.490162 0.1457

T -0.039065 0.029266 -1.334835 0.1911

AR( 12) 0.646295 0.131007 4.933304 0.0000

MA( 2) -0.004078 0.108964 -0.037428 0.9704

MA( 3) 0.140874 0.104210 1.351820 0.1856

SMA( 12) 0.885771 1.97E-05 44974.73 0.0000

R-squared 0.857029 Mean dependent var 1.073164

Adjusted R-squared 0.835367 S.D. dependent var 0.429261

S.E. of regression 0.174173 Akaike info criterion -0.516902

Sum squared resid 1.001091 Schwarz criterion -0.260969

Log likelihood 16.07958 F-statistic 39.56319

Durbin-Watson stat 1.600468 Prob(F-statistic) 0.000000

1,800 1,600 1,400 1,200 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000

Фактические и спрогнозированные значения поступлений налога на прибыль в консолидированный бюджет РФ(в ценах декабря 1993 г., млрд.руб.).

□ Факт.знач.

□ метод 1

□ метод 2

Н метод 3

дек 01

фев 02

мар 02

Рис. 5.2.2. ГУ-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

В соответствующей модели со стохастическим трендом мы также учитываем сезонность добавлением авторегрессионых членов и членов скользящего среднего двенадцатого порядка (как показали предварительные результаты, это позволяет существенно улучшить прогнозы, несмотря на то, что значительно сокращает количество степеней свободы в регрессии).

окт 01

ноя 01

янв 02

177

Таблица 5.2.2

DS-модель

Dependent Variable: D( PRF)

Method: Least Squares

Sample: 1999:01 2002:03

Included observations: 39

Convergence achieved after 99 iterations

Backcast: 1997:11 1998:12

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.011705 0.041977 0.278847 0.7821

D( PRF( -12)) 0.754360 0.125916 5.990986 0.0000

D( PRF( -1)) -0.364116 0.111278 -3.272130 0.0025

MA( 2) -0.197575 0.100874 -1.958638 0.0584

SMA( 12) 0.885650 0.000230 3848.928 0.0000

R-squared 0.858105 Mean dependent var 0.003020

Adjusted R-squared 0.841411 S.D. dependent var 0.461479

S.E. of regression 0.183776 Akaike info criterion -0.430991

Sum squared resid 1.148301 Schwarz criterion -0.217713

Log likelihood 13.40432 F-statistic 51.40325

Durbin-Watson stat 2.095453 Prob(F-statistic) 0.000000

ля устранения автокорреляции остатков был также добавлен

Фактические и спрогнозированные значения поступлений налога на прибыль в консолидированный бюджет РФ(в ценах декабря 1993 г., млрд.руб.).

1,400 1,200 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000

дек 01

фев 02

мар 02

Рис. 5.2.3. DS-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

В случае налога на прибыль, так же как для подоходного налога, наименьшее относительное отклонение одношаговых прогнозов от фактических значений получается при использовании первого метода. В качестве прогнозов ТБ - и .ОБ-моделей для поступлений налога на прибыль существенной разницы не наблюдается.

1,800

1,600

окт 01

ноя 01

янв 02

178

Таблица 5.2.3

Характеристики одношаговых прогнозов поступлений налога на прибыль (в консолидированный бюджет) ТЭ- и БЭ-моделей

Метод 1 Метод 2 Метод 3

ТЭ БЭ ТЭ БЭ ТЭ БЭ

Среднее квадратичное отклонение 0.101 0.093 0.112 0.098 0.114 0.158

Среднее абсолютное отклонение 0.080 0.069 0.087 0.069 0.085 0.111

Среднее абсолютное отклонение в % 7.736% 7.354% 8.361% 7.413% 9.134% 13.067%

5.3. Поступления налога на прибыль (в федеральный бюджет РФ)

Предварительные оценки показали, что удовлетворительную модель для временного ряда поступлений налога на прибыль в федеральный бюджет РФ удается построить только на сокращенном интервале с декабря 1999 г. до марта 2002 г.

Результаты ЛОР-теста указывают на то, что на рассматриваемом интервале процесс классифицируется как ТУ. На основании критерия Шварца и значений выборочной автокорреляционной и частной автокорреляционной функций, в уравнение с детерминированным трендом были добавлены члены ЛЯ(1) и ЛЯ(2).

Используемые для расчетов переменные:

179

FPRF - реальные поступления налога на прибыль в федеральный бюд-

жет.

Таблица 5.3.1

TS-модель

Dependent Variable: FPRF

Method: Least Squares

Sample: 1999:12 2002:03

Included observations: 28

Convergence achieved after 37 iterations

Backcast: 1998:12 1999:11

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.542277 0.028108 19.29241 0.0000

AR( 2) -0.470293 0.180270 -2.608827 0.0154

AR( 1) 0.363175 0.180367 2.013534 0.0554

MA( 12) 0.885815 0.000130 6806.169 0.0000

R-squared 0.723397 Mean dependent var 0.510739

Adjusted R-squared 0.688822 S.D. dependentvar 0.175689

S.E. of regression 0.098005 Akaike info criterion -1.676026

Sum squared resid 0.230521 Schwarz criterion -1.485711

Log likelihood 27.46437 F-statistic 20.92233

Durbin-Watson stat 1.730642 Prob(F-statistic) 0.000001

Тест множителей Лагранжа не выявил коррелированности остатков уравнения регрессии.

Ниже на рисунке приведены результаты прогнозирования поступлений налога на прибыль в федеральный бюджет на основе построенной модели тремя методами (с переоценкой модели при добавлении новых данных, без переоценки и с учетом ошибки предыдущего периода).

Фактические и спрогнозированные значения поступлений налога на прибыль в федеральный бюджет РФ(в ценах декабря 1993 г., млрд.руб.).

0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 -0,200 0,100 -0,000

дек 01

фев 02

мар 02

Рис. 5.3.2. TS-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

окт 01

ноя 01

янв 02

180

Аналогичным образом, не учитывая результаты ЛОБ-теста, для сравнения прогнозов построим ДУ-модель, предполагая, что ряд поступлений имеет стохастический тренд. Результаты оценки соответствующей модели приведены ниже. В модели со стохастическим трендом автокорреляция остатков также не наблюдается.

Таблица 5.3.2

DS-модель

Dependent Variable: D( FPRF)

Method: Least Squares

Sample: 1998:12 2002:03

Included observations: 40

Convergence achieved after 6 iterations

Backcast: 1997:12 1998:11

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.004927 0.026075 0.188952 0.8512

D( FPRF( -2)) -0.455761 0.121944 -3.737456 0.0007

D( FPRF( -1)) -0.247316 0.120996 -2.043994 0.0485

D( FPRF( -10)) -0.426217 0.122114 -3.490320 0.0013

MA( 12) 0.871342 0.046472 18.74966 0.0000

R-squared 0.792363 Mean dependent var 0.003313

Adjusted R-squared 0.768633 S.D. dependentvar 0.185712

S.E. of regression 0.089329 Akaike info criterion -1.876520

Sum squared resid 0.279286 Schwarz criterion -1.665410

Log likelihood 42.53040 F-statistic 33.39083

Durbin-Watson stat 2.094007 Prob(F-statistic) 0.000000

Фактические и спрогнозированные значения поступлений налога на прибыль в федеральный бюджет бюджет РФ(в ценах декабря 1993 г., млрд.руб.).

I I ----.--------------ГТМ^ТПЛ 1 ГПМ^ТПЛ 9 ИМ^ТПЛ Я

сен 01 окт 01 ноя 01 дек 01 янв 02 фев 02 мар 02

Рис. 5.3.3. DS-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

181

Среднее относительное отклонение спрогнозированных значений от фактических достаточно велико. Для моделей с детерминированным трендом (75) оно достигает 20% при использовании первых двух методов прогнозирования и около 16% для третьего. Это можно объяснить тем, что при ограниченном количестве данных и нестабильной динамике поступлений третий метод позволяет компенсировать структурные изменения за счет коррекции текущих прогнозов на величину отклонения предыдущих. Но в случае стохастического тренда (05-модель) это не так, более точный прогноз дают первый и второй методы. В целом можно отметить, что Д5-моде-ли, в данном случае, имеют относительно более качественные прогнозы.

Таблица 5.3.3

Характеристики одношаговых прогнозов поступлений налога на прибыль (в федеральный бюджет) TS- и DS-моделей

Метод 1 Метод 2 Метод 3

TS DS TS DS TS DS

Среднее квадратичное 0.095 0.073 0.096 0.076 0.081 0.090

отклонение

Среднее абсолютное 0.074 0.060 0.074 0.064 0.059 0.066

отклонение

Среднее абсолютное 20.600% 14.567% 20.602% 15.373% 16.028% 20.105%

отклонение в %

5.4. Поступления налога на добавленную стоимость

На выбранном интервале исследования (с декабря 1998 г. до января 2002 г.) данные поступлений налога на добавленную стоимость характеризуются относительно стабильной динамикой. Для корректировки пика поступлений в декабре 2001 г., обусловленного сокращением недоимки на сумму около 23 млрд руб., в уравнение добавлена соответствующая фиктивная переменная. Динамика поступлений НДС приведена на рис. 5.4.1.

Используемые для расчетов переменные:

VAT - реальные поступления НДС (в консолидированный бюджет РФ).

DUM1201 - фиктивная переменная, равная единице в декабре 2001 г. и нулю во все остальные месяцы.

На основании результатов ADF-теста (с включением первых четырех лагов), мы отвергаем гипотезу о наличии единичного корня. Для учета сезонности в уравнение были добавлены авторегрессионый член и член скользящего среднего двенадцатого порядка. В результате моделирования поступлений НДС как стационарного ряда были получены следующие результаты -табл. 5.4.1 :

182

Поступления НДС в консолидированный бюджет РФ (в ценах декабря 1993 года млрд.руб.)

янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв 92 92 93 93 94 94 95 95 96 96 97 97 98 98 99 99 00 00 01 01 02

7

4

3

2

0

Рис. 5.4.1

Таблица 5.4.1

TS-модель

Dependent Variable: VAT_

Method: Least Squares_

Sample: 1998:12 2002:01_

Included observations: 38

Convergence achieved after 11 iterations Backcast: 1997:10 1998:11

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 1.512976 0.060432 25.03621 0.0000

DUM1201 1.054938 0.118482 8.903755 0.0000

AR( 12) 0.280280 0.070583 3.970939 0.0004

MA( 2) 0.162753 0.052755 3.085045 0.0041

SMA( 12) 0.846364 0.040215 21.04593 0.0000

R-squared 0.916580 Mean dependent var 1.331455

Adjusted R-squared 0.906469 S.D. dependent var 0.349917

S.E. of regression 0.107015 Akaike info criterion -1.509620

Sum squared resid 0.377921 Schwarz criterion -1.294148

Log likelihood 33.68278 F-statistic 90.64726

Durbin-Watson stat 2.665606 Prob(F-statistic) 0.000000

Соответственно, результаты прогнозирования по ГУ-модели с использованием трех рассматриваемых в данной главе методов дают следующие значения:

183

1,8 1,6 1,4 1,2 1

0,8 f-0,6 0,4 40,2 0

Фактические и спрогнозированные значения поступлений НДС в консолидированный бюджет РФ(в ценах декабря 1993 г., млрд.руб.). □ Факт.знач. пметод 1 пметод 2 нметод 3

Рис. 5.4.2. TS-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

Аналогичным образом, для сравнения качества прогнозов по ББ- и ТБ-моделям, несмотря на результаты теста на стационарность, проведем также оценивание, предполагая, что поступления НДС имеют стохастический тренд. В соответствующей модели со стохастическим трендом, для учета сезонности также был добавлен авторегрессионый член с лагом в двенадцать месяцев. В результате моделирования были получены следующие оценки:

Таблица 5.4.2

Л£-модель

Dependent Variable: D( VAT)

Method: Least Squares

Sample: 1998:12 2002:01

Included observations: 38

Convergence achieved after 11 iterations

Backcast: 1997:09 1998:11

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.007055 0.048276 -0.146148 0.8848

D( VAT( -1)) -0.767654 0.131004 -5.859796 0.0000

D( VAT( -12)) 0.446102 0.108687 4.104456 0.0003

DUM1201 1.019370 0.172790 5.899465 0.0000

MA( 1) -0.073347 0.071738 -1.022434 0.3145

MA( 3) 0.113705 0.056322 2.018840 0.0522

SMA( 12) 0.880468 0.035290 24.94964 0.0000

R-squared 0.891457 Mean dependent var 0.012365

Adjusted R-squared 0.870448 S.D. dependent var 0.397558

S.E. of regression 0.143094 Akaike info criterion -0.885803

Sum squared resid 0.634756 Schwarz criterion -0.584142

Log likelihood 23.83025 F-statistic 42.43339

Durbin-Watson stat 2.462904 Prob(F-statistic) 0.000000

май 01

июн 01

июл 01

авг 01

окт 01

ноя 01

184

Несмотря на то, что коэффициент при МЛ(1) является незначимым, мы оставляем его в уравнении, так как в случае его исключения остатки оказываются автокоррелированными. Результаты прогнозирования по ДУ-модели приведены на рис. 5.4.3.

1,8 1,6 1,4 1,2 1

0,8 -I-0,6

0,4 40,2 0

Фактические и спрогнозированные значения поступлений НДС в консолидированный бюджет РФ(в ценах декабря 1993 г., млрд.руб.). □ Факт.знач. шметод 1 вметод 2 нметод 3

Рис. 5.4.3. ДУ-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

Так же, как и в случае подоходного налога, при относительно стабильной динамике поступлений наблюдаются небольшие отклонения спрогнозированных значений от фактических. Качество прогноза ГУ-моделей невысоко, но превосходит соответствующие прогнозы ДУ-моделей для всех методов прогнозирования. Как и в предыдущих рассмотренных случаях, наиболее точные прогнозы дают первые два метода.

Таблица 5.4.3

Характеристики одношаговых прогнозов поступлений НДС (в консолидированный бюджет) для ТБ- и ББ-моделей

Метод 1 Метод 2 Метод 3

ТБ ББ ТБ ББ ТБ ББ

Среднее квадратичное отклонение 0.097 0.113 0.094 0.126 0.141 0.184

Среднее абсолютное отклонение 0.078 0.081 0.076 0.107 0.108 0.151

Среднее абсолютное отклонение в % 5.204% 5.454% 5.046% 7.233% 7.191% 9.954%

май 01

июн 01

июл 01

авг 01

окт 01

ноя 01

185

5.5. Суммарные налоговые поступления

В качестве базового периода для моделирования суммарных налоговых поступлений в консолидированный бюджет РФ был выбран период с декабря 1998 г. по январь 2002 г. Динамика поступлений приведена на рис. 5.5.1.

Согласно результатам ЛОР-теста мы отвергаем гипотезу о наличии единичного корня, однако, как и ранее, будем оценивать обе модели (ТУ и ББ) для сравнения качества прогнозов. Результаты оценок ТУ-модели приведены ниже. Для того, чтобы учесть наличие сезонности, в уравнение был добавлен авторегрессионый член двенадцатого порядка. Результаты ЬМ-теста для построенной модели для первых шестнадцати лагов не выявили автокорреляции остатков.

Суммарные налоговые поступления в консолидированный бюджет РФ (в ценах декабря 1993 года, млрд.руб.)

16 -14 -12 -10 - 2

Т

Л

Ы ,

♦ г . г

1 * » Л ЛА 7

Ait

янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв июл янв 92 92 93 93 94 94 95 95 96 96 97 97 98 98 99 99 00 00 01 01 02

Рис. 5.5.1

Используемые для расчетов переменные:

TAX - реальные суммарные налоговые поступления в консолидированный бюджет РФ.

Таблица 5.5.1

TS-модель

Dependent Variable: TAX

Method : Least Squares

Sample: 1998:12 2002:01

Included observations: 38

Convergence achieved after 47 iterations

Backcast: 1998:02 1998:11

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 8.352150 0.923057 9.048361 0.0000

AR( 1) 0.669244 0.051148 13.08443 0.0000

SAR( 12) 0.728283 0.048402 15.04649 0.0000

186

Таблица 5.5.1. (продолжение)

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

MA( 10) -0.903911 0.000153 -5907.261 0.0000

R-squared 0.923898 Mean dependent var 4.839853

Adjusted R-squared 0.917183 S.D. dependentvar 1.280565

S.E. of regression 0.368520 Akaike info criterion 0.940658

Sum squared resid 4.617439 Schwarz criterion 1.113035

Log likelihood -13.87249 F-statistic 137.5895

Durbin-Watson stat 2.231670 Prob(F-statistic) 0.000000

Прогнозирование суммарных налоговых поступлений по построенной модели с использованием трех рассматриваемых методов дает следующие результаты:

8,000 7,000 6,000 5,000 -I-4,000 3,000 2,000 1,000 0,000

Фактические и спрогнозированные суммарные налоговые поступления в консолидированный бюджет РФ(в ценах декабря 1993 г., млрд.руб.). "| □ фактические значения □ метод 1 □ метод 2 □ метод 3

дек 01

Рис. 5.5.2. 75-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

Оценки и построение прогнозов по Д5-модели дают следующие результаты:

Таблица 5.5.2

.0£-модель

Dependent Variable: D( TAX)

Method: Least Squares

Sample: 1998:12 2002:01

Included observations: 38

Convergence achieved after 40 iterations

Backcast: 1997:12 1998:11

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

0.048226

0.118756

0.406092

0.6873

D( TAX( -2))

-0.271057

0.119323

-2.271633

0.0298

июл 01

авг 01

сен 01

окт 01

ноя 01

янв 02

187

Таблица 5.5.2 (продолжение)

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D( TAX( -12)) 0.589665 0.096749 6.094792 0.0000

D( TAX( -1)) -0.187112 0.097694 -1.915290 0.0642

MA( 12) 0.885703 0.000101 8776.951 0.0000

R-squared 0.914548 Mean dependent var 0.034381

Adjusted R-squared 0.904190 S.D. dependent var 1.197624

S.E. of regression 0.370703 Akaike info criterion 0.975249

Sum squared resid 4.534889 Schwarz criterion 1.190721

Log likelihood -13.52974 F-statistic 88.29506

Durbin-Watson stat 2.382760 Prob(F-statistic) 0.000000

Фактические и спрогнозированные суммарные налоговые поступления в консолидированный бюджет РФ(в ценах декабря 1993 г., млрд.руб.).

□ фактические значения □ метод 1 □ метод 2 □ метод 3 г~

—

—

- —

июл 01 авг 01 сен 01 окт 01 ноя 01 дек 01 янв 02

Рис. 5.5.3. ВБ-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

Использование намеренно ложной спецификации для моделирования временного ряда суммарных налоговых поступлений, в данном случае как процессов типа ВБ, не улучшает качество прогнозирования для всех рассмотренных методов. Как и для большинства рассмотренных выше временных рядов, наиболее точные одношаговые прогнозы суммарных налоговых поступлений дают первые два метода.

Таблица 5.5.3

Характеристики одношаговых прогнозов суммарных налоговых поступлений (в консолидированный бюджет) для TS- и .0£-моделей

Метод 1 Метод 2 Метод 3

TS DS TS DS TS DS

Среднее квадратичное 0.301 0.343 0.288 0.351 0.386 0.499

отклонение

Среднее абсолютное 0.270 0.301 0.276 0.305 0.345 0.406

отклонение

Среднее абсолютное 5.014% 5.318% 4.881% 5.440% 6.167% 7.210%

отклонение в %

188

5.6. Суммарные налоговые поступления (в федеральный бюджет РФ)

На основе анализа динамики суммарных налоговых поступлений в федеральный бюджет в качестве базового периода для моделирования был выбран период с декабря 1998 г. по январь 2002 г. Динамика поступлений приведена на рис. 5.6.1.

На рассматриваемом интервале согласно ADF-тесту мы отвергаем гипотезу о наличии единичного корня. Как показывают результаты оценок, временной ряд налоговых поступлений в федеральный бюджет является стационарным относительно тренда. Как и ранее, для моделирования будем использовать и TS-, и .DS-спецификацию, сравнивая качество прогнозов.

Результаты оценки TS-модели приведены ниже. Для учета регулярных пиков поступлений, приходящихся на декабрь каждого года, в уравнение была добавлена соответствующая фиктивная переменная. Результаты LM-теста не выявляют автокорреляции остатков в построенной модели.

Суммарные налоговые поступления в федеральный бюджет РФ (в ценах декабря 1993 года, млрд.руб.)

98 98 98 98 99 99 99 99 00 00 00 00 01 01 01 01 02 02

Рис. 5.6.1

Используемые для расчетов переменные:

РТАХ - реальные суммарные налоговые поступления в федеральный бюджет РФ. Т - тренд.

БПМ12 - фиктивная переменная, равная единице в декабре и нулю во все остальные месяцы.

189

Таблица 5.6.1

TS-модель

Dependent Variable: FTAX

Method: Least Squares

Sample: 1998:12 2002:01

Included observations: 38

Convergence achieved after 41 iterations

Backcast: 1997:11 1998:11

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -3.765316 0.822514 -4.577812 0.0001

T 0.062886 0.008164 7.703082 0.0000

DUM12 1.011838 0.056569 17.88694 0.0000

MA( 1) 0.961698 0.040999 23.45688 0.0000

SMA( 12) 0.467951 0.131552 3.557158 0.0012

R-squared 0.926175 Mean dependent var 2.672254

Adjusted R-squared 0.917227 S.D. dependentvar 0.906002

S.E. of regression 0.260660 Akaike info criterion 0.270881

Sum squared resid 2.242143 Schwarz criterion 0.486353

Log likelihood -0.146738 F-statistic 103.5009

Durbin-Watson stat 1.579306 Prob( F-statistic) 0.000000

Оценки прогнозов суммарных налоговых поступлений в федеральный бюджет РФ по построенной модели дают следующие результаты:

Фактические и спрогнозированные суммарные налоговые поступления федеральный бюджет РФ(в ценах декабря 1993 г., млрд.руб.). в

6 □ фактические значения □ метод ' □ метод 2 U метод 3

— -

— — — — — —

3 2 —

июл 01 авг 01 сен 01 окт 01 ноя 01 дек 01 янв 02

Рис. 5.6.2. 75-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

Оценки D^-модели дают следующие результаты (добавлены члены, учитывающие сезонность):

190

Таблица 5.6.2

DS-модель

Dependent Variable: D( FTAX)

Method: Least Squares

Sample( adjusted): 1999:02 2002:01

Included observations: 36 after adjusting endpoints

Convergence achieved after 9 iterations

Backcast: 1998:02 1999:01

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.024307 0.051838 -0.468895 0.6422

D( FTAX( -12)) 1.032298 0.129821 7.951703 0.0000

MA( 12) -0.816168 0.059737 -13.66272 0.0000

R-squared 0.715528 Mean dependent var 0.050093

Adjusted R-squared 0.698287 S.D. dependentvar 0.515622

S.E. of regression 0.283223 Akaike info criterion 0.394489

Sum squared resid 2.647099 Schwarz criterion 0.526449

Log likelihood -4.100807 F-statistic 41.50216

Durbin-Watson stat 1.889166 Prob(F-statistic) 0.000000

На основании результатов ЬМ-теста для первых шестнадцати лагов мы отвергаем гипотезу о наличии автокорреляции остатков.

Оценки прогнозов по ОБ-модели дают следующие результаты:

Фактические и спрогнозированные суммарные налоговые поступления в федеральный бюджет РФ(в ценах декабря 1993 г., млрд. руб.).

6 ифамические значения имеюд 1 имеюд 2 имеюд 3

гп

3 2 1

июп 01 авг 01 сен 01 окт 01 ноя 01 дек 01 янв 02

Рис. 5.6.3. ОБ-модель, фактические данные и одношаговые прогнозы

В данном случае, несмотря на определение исследуемого временного ряда как процесса со стационарным трендом, относительно более качест-

191

венные прогнозы для первых двух методов дают ДБ-модели. Для 75-моде-ли третий метод дает более точные одношаговые прогнозы, чем в случае стохастического тренда.

Таблица 5.6.3

Характеристики одношаговых прогнозов суммарных налоговых поступлений (в федеральный бюджет) для TS- и DS-моделей

Метод 1 Метод 2 Метод 3

TS DS TS DS TS DS

Среднее квадратичное 0.426 0.428 0.425 0.429 0.427 0.600

отклонение

Среднее абсолютное 0.289 0.254 0.315 0.246 0.267 0.323

отклонение

Среднее абсолютное 8.526% 7.183% 9.315% 7.013% 7.852% 9.559%

отклонение в %

5.7. Сравнение результатов многошаговых прогнозов эконометрических моделей и модели оценки поступлений (Revenue Estimating Model)

Для оценки качества многошаговых прогнозов произведем их расчет на основании построенных эконометрических моделей, при этом прогнозы на несколько шагов вперед рассчитываются с использованием спрогнозированных значений для прогноза на следующий период без переоценки коэффициентов уравнения.

Для оценки качества и сравнения результатов многошаговых прогнозов, полученных при помощи эконометрических методов, был также рассчитан многошаговый прогноз по модели оценки поступлений.

Модель оценки поступлений (Revenue Estimating Model, REM) - это модель-калькулятор для прогнозирования налоговых поступлений на основе информации о налоговых поступлениях за предыдущие месяцы. Расчет прогнозных значений в REM-модели проводится в постоянных ценах и основывается на значениях поступлений за соответствующий период базового года с учетом изменения возможных изменений ставок и базы налогов (если какие-либо изменения произошли, они учитываются простой корректировкой на соответствующий множитель). Кроме того, в модели осуществляется дополнительная корректировка прогнозных значений на относительное изменение поступлений текущего года по сравнению с предыду-

192

щим годом, причем, чем ближе к концу текущего года мы прогнозируем поступления, тем в большей степени (пропорционально больше значение весового коэффициента) прогноз опирается на информации о поступлениях текущего года по сравнению с поступлениями того же месяца прошлого года.

Для определения прогностических способностей рассматриваемых моделей также проведено сопоставление абсолютных и относительных отклонений многошаговых прогнозов АЯГМА и ЛЕМ-моделей от фактических данных.

5.7.1. Поступления подоходного налога

На рис. 5.7.1 приведены результаты прогнозирования (многошаговый прогноз) поступлений подоходного налога в консолидированный бюджет РФ на последние 9 месяцев 2001 г.

Налоговые поступления по подоходному налогу в консолидированный бюджет РФ. апр.01 май.01 июн.01 июл.01 авг.01 сен.01 окт.01 ноя.01 дек.01

Фактические значения, прогноз TS, DS и REM моделей (млрд.руб.).

11 фактические данные []TS модель □ DS модель □ REM модель п

-

- - 1_ Р п гп

- -

Рис. 5.7.1. Ретропрогноз TS-, DS- и REM- моделей на девять месяцев 2001 г.

Таблица 5.7.1

Характеристики многошаговых прогнозов поступлений подоходного налога для TS-, DS- и REM- моделей

TS DS REM

Среднее квадратичное отклонение 1.468 1.552 1.976

Среднее абсолютное отклонение 1.239 1.325 1.684

Среднее абсолютное отклонение в % 5.696% 5.577% 7.447%

193

Для подоходного налога прогнозы, полученные с помощью экономет-рическнх моделей, по своим качественным характеристикам близки между собой (несколько лучше DS-модель) и лучше модели оценки поступлений

REM.

5.7.2. Поступления налога на прибыль

На рис. 5.7.2 приведены результаты расчета прогнозных значений поступлений налога на прибыль в консолидированный бюджет РФ в последние 9 месяцев 2001 г. с использованием рассматриваемых TS-, DS- и REM- моделей.

80.00 70.00 60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00

Поступления налога на прибыль в консолидированный бюджет РФ. Фактические значения, прогноз TS, DS и REM моделей (млрд.руб.).

апр.01

Рис. 5.7.2. Ретропрогноз TS-, DS- и REM- моделей на девять месяцев 2001 г.

Таблица 5.7.2

Характеристики многошаговых прогнозов поступлений налога на прибыль (в консолидированный бюджет РФ) для TS-, DS- и REM-моделей

TS DS REM

Среднее квадратичное 11.390 12.342 10.257

отклонение

Среднее абсолютное 9.146 10.546 6.716

отклонение

Среднее абсолютное 21.103% 24.339% 15.862%

отклонение в %

194

Для поступлений налога на прибыль многошаговые прогнозы 75- и моделей так же, как и рассмотренные выше одношаговые прогнозы, имеют достаточно большое отклонение от фактических данных. Из представленных моделей относительно наилучшими характеристиками прогнозов обладает ЛЕМ-модель.

5.7.3. Поступления налога на прибыль (в федеральный бюджет РФ)

На рис. 5.7.3 приведены результаты расчета прогнозных значений поступлений налога на прибыль в федеральный бюджет РФ в последние 9 месяцев 2001 г. с использованием рассматриваемых 75-, и ЛЕМ-моделей.

□ фактические данные DTS модель DDS модель nREM модель

Поступления налога на прибыль в федеральный бюджет РФ. Фактические значения, прогноз TS, DS и REM моделей (млрд.руб.).

40 35 30 25 20 15 10 5 0

апр.01 май.01 июн.01 июл.01 авг.01 сен.01 окт.01 ноя.01 дек.01

Рис. 5.7.3. Ретропрогноз TS-, DS- и REM- моделей на девять месяцев 2001 г.

Таблица 5.7.3

Характеристики многошаговых прогнозов поступлений налога на прибыль (в федеральный бюджет РФ) для TS-, DS- и REM-моделей

TS DS REM

Среднее квадратичное 4.380 6.285 4.771

отклонение

Среднее абсолютное 3.937 5.268 3.896

отклонение

Среднее абсолютное 18.894% 27.052% 21.087%

отклонение в %

195

Результаты многошагового прогнозирования поступлений налога на прибыль в федеральный бюджет РФ показывают, что, как и для поступлений в консолидированный бюджет, все представленные модели обладают достаточно большими отклонениями спрогнозированных значений. Однако в данном случае относительно более точный прогноз дает ТБ-модель.

5.7.4. Поступления налога на добавленную стоимость

Ниже приведены результаты расчета прогнозных значений поступлений налога на добавленную стоимость в консолидированный бюджет РФ с использованием рассматриваемых ТБ-, ББ- и ЛЕМ-моделей.

70.00 60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00

Налоговые поступления НДС в консолидированный бюджет РФ.

Фактические значения, прогноз TS, DS и REM моделей (млрд.руб.)

□ фактические данные DTS модель DDS модель DREM модель

апр.01 май.01 июн.01 июл.01 авг.01 сен.01 окт.01 ноя.01

Рис. 5.7.4. Ретропрогноз TS-, DS- и REM-моделей на восемь месяцев 2001 г.

Таблица 5.7.4

Характеристики многошаговых прогнозов поступлений НДС (в консолидированный бюджет РФ) для TS-, DS- и REM-моделей

TS DS REM

Среднее квадратичное 5.292 9.923 6.743

отклонение

Среднее абсолютное 4.053 7.712 5.645

отклонение

Среднее абсолютное 7.932% 14.484% 11.063%

отклонение в %

196

В отличие от поступлений других налогов, для НДС многошаговое прогнозирование осуществлялось на временной интервал без декабря 2001 г. Это связано с тем, что резкий выброс поступлений в этот месяц, обусловленный значительным сокращением недоимки, приводит к значительной ошибке прогноза. По этой причине, а также чтобы значительная ошибка прогнозов в декабре 2001 г. не искажала сравнения моделей по остальным прогнозам, для ретропрогноза использовались 8 месяцев 2001 г.

Сравнение прогнозов показывает, что для поступлений налога на добавленную стоимость качество прогнозов TS-модели лучше остальных.

5.7.5. Суммарные налоговые поступления

На рис. 5.7.5 приведены результаты расчета прогнозных значений суммарных налоговых поступлений в консолидированный бюджет РФ в последние 9 месяцев 2001 г. с использованием рассматриваемых TS-, DS- и REM- моделей.

Суммарные налоговые поступления в консолидированный бюджет РФ. Фактические значения, прогноз TS, DS и REM моделей (млрд.руб.).

300.000 250.000 200.000 150.000 100.000 50.000 0.000

апр.01 май.01 июн.01 июл.01 авг.01 сен.01 окт.01 ноя.01 дек.01

□ фактические данные □ TS модель □ DS модель □ REM модель

- п п п -

- - - -

Рис. 5.7.5. Ретропрогноз ТБ-, ВБ- и ЯЕМ-моделей на девять месяцев 2001 г.

Таблица 5.7.5

Характеристики многошаговых прогнозов суммарных налоговых поступлений (в консолидированный бюджет) для ТБ-, Б8- и ЯЕМ-моделей

TS DS REM

Среднее квадратичное отклонение 27.752 20.927 16.632

Среднее абсолютное отклонение 23.184 18.017 12.912

Среднее абсолютное отклонение в % 12.243% 8.508% 6.623%

197

Как следует из сводных результатов многошагового прогнозирования, для суммарных налоговых поступлений в консолидированный бюджет REM-мо-дель дает существенно более качественный прогноз, чем эконометрические модели.

5.7.6 Суммарные налоговые поступления (в федеральный бюджет РФ)

На рис. 5.7.6 приведены результаты расчета прогнозных значений суммарных налоговых поступлений в федеральный бюджет РФ в последние 9 месяцев 2001 г. с использованием рассматриваемых TS-, DS- и REM-моде-лей.

Суммарные налоговые поступления в федеральный бюджет РФ. Фактические значения, прогноз TS, DS и REM моделей (млрд.руб.).

□ фактические данные DTS модель □ DS модель □ REM модель

апр.01 май.01 июн.01 июл.01 авг.01 сен.01 окт.01 ноя.01 дек.01

Рис. 5.7.6. Ретропрогноз ТБ-, ББ- и ЕЕЫ-моделей на девять месяцев 2001 г.

Таблица 5.7.6

Характеристики многошаговых прогнозов суммарных налоговых поступлений (в федеральный бюджет РФ) для ТБ-, ББ- и КЕМ-моделей

TS DS REM

Среднее квадратичное 12.513 21.198 29.258

отклонение

Среднее абсолютное 11.242 18.445 28.439

отклонение

Среднее абсолютное 9.080% 14.736% 22.074%

отклонение в %

200

150

100 --

50

0

198

Для суммарных налоговых поступлений в федеральный бюджет прогноз эконометрической модели с детерминированным трендом обладает наименьшим средним относительным отклонением 9%. При этом, в отличие от поступлений в консолидированный бюджет РФ, REM-модель обладает наихудшими характеристиками прогноза среди рассматриваемых моделей.

5.8. Основные результаты и выводы

• Для временных рядов налоговых поступлений с относительно стабильной динамикой (таких, как: поступления подоходного налога, НДС и суммарные налоговые поступления в консолидированный бюджет) наиболее качественными характеристиками одношаговых прогнозов обладают TS-модели.

• Для временных рядов поступлений налога на прибыль и суммарных налоговых поступлений в федеральный бюджет более точными оказываются одношаговые прогнозы DS-моделей.

• Использование намеренно «ложной» классификации процесса по результатам теста на стационарность, в целом, не улучшает качество одношаговых прогнозов.

• Для временных рядов с относительно стабильной динамикой поступлений (поступления подоходного налога, НДС и суммарные налоговые поступления в консолидированный бюджет) качество одношаговых прогнозов, полученных с помощью рекурсивного метода (первый метод), существенно лучше третьего метода (корректирующего прогноз на ошибку предыдущего прогноза) и незначительно превосходит второй метод (не требующий переоценки коэффициентов уравнения).

• Для временных рядов поступлений подоходного налога, НДС и суммарных налоговых поступлений в федеральный бюджет наиболее предпочтительными моделями при многошаговом прогнозировании являются TS-модели. Среднее относительное отклонение спрогнозированных значений от фактических для них не превышает 10%.

• Для поступлений налога на прибыль относительное расхождение многошаговых прогнозов с фактическими данными, для всех рассматриваемых моделей, составляет около 20%.

• Для суммарных налоговых поступлений в консолидированный бюджет REM- модель дает лучший прогноз (средняя относительная ошибка составляет около 6%), чем эконометрические

199

модели (значения 14% и 8% для TS- и DS-моделей соответственно).

• Ошибки многошаговых прогнозов, полученных на основании REM- модели, являются более стабильным, и в целом равны средним ошибкам эконометрических моделей.

200

ЧАСТЬ II. Структуры случайных векторов

Глава 6. Прогнозирование с использованием структур случайных векторов

Во второй части работы рассматривается подход к построению прогнозов временных рядов, основанный на использовании структур случайных векторов. Данный подход, в отличие от традиционного эконометрического подхода, используемого в первой части, не предполагает каких-либо гипотез о конкретном функциональном виде случайной составляющей временного ряда, при этом расчет прогноза производится на основе имеющейся фактической информации о совместном распределении рассматриваемых случайных величин.

Кратко формулируются основные положения теории структур случайных векторов. Ставится задача прогнозирования временных рядов с использованием их лаговой структуры как структуры соответствующих случайных векторов и излагаются алгоритмы построения трендовых и вероятностных моделей и построения прогнозов с их использованием. Представлены результаты расчетов по десяти временным рядам: инфляция, денежные агрегаты МО, М1, М2, экспорт, импорт, безработица, налоговые доходы федерального бюджета, доходы федерального бюджета и ВВП. В Заключении приводятся краткие выводы и излагаются пути совершенствования предложенных моделей. В Приложениях приведены макросы (программы) построения моделей и прогнозов на их основе, а также исходные данные для расчетов.

6.1. Предварительные замечания

6.1.1. Непосредственные связи между элементами статистической системы

Для изучения закономерностей механизма, определяющего состояние и поведение многих сложных систем, обычно имеются лишь результаты наблюдений за реализациями состояния и поведения системы. В связи с этим часто бывает целесообразно моделировать изучаемую систему некоторым

201

случайным вектором, предполагая, что наблюдаемые значения характеристик системы являются его реализациями.

Полное и в то же время достаточно сжатое описание статистической системы (системы, моделируемой случайным вектором) полностью определяется совместной функцией распределения вероятностей компонент индуцируемой ею случайной многомерной величины. Априорные гипотезы, выделяющие класс статистических систем, могут отражать как содержательные свойства систем, входящих в этот класс, так и формальные особенности случайных векторов, моделирующих системы класса.

Количественному исследованию сложной системы обычно предшествует качественный содержательный анализ, позволяющий сформулировать некоторую априорную гипотезу о специфике изучаемой системы. Первым этапом такого анализа является этап идентификации системы. В хорошо идентифицированной системе не должно быть элементов, не зависящих друг от друга, хотя бы через посредство других элементов системы. В противном случае система может быть разбита на независимые подсистемы, которые исследуются по отдельности. В то же время, если все элементы системы взаимосвязаны, то система оказывается недоидентифицирована. В связи с этим возникает важная проблема определения непосредственных и опосредованных связей между элементами системы.

Естественно считать, что элементы сложной системы взаимосвязаны, если изменение состояния одного элемента с необходимостью влечет за собой изменение состояния другого. Однако этому качественному представлению о взаимосвязи можно поставить в соответствие множество различных формальных определений.

На практике часто в качестве характеристики связи между элементами статистической системы используют корреляционную матрицу соответствующего случайного вектора. Наличие или отсутствие корреляции между переменными интерпретируется как наличие или отсутствие связи между ними. На самом деле коррелированность компонент случайного вектора может означать лишь то, что соответствующие элементы статистической системы связаны одновременно с одним или несколькими другими ее элементами.

Если каждому элементу системы поставить в соответствие вершину помеченного графа, ребра которого отвечают наличию непосредственных связей между элементами, отвечающими вершинам, инцидентным этим ребрам, то получится очень наглядное представление непосредственных связей в системе. Этот граф называется графом непосредственных связей или структурой изучаемой системы.

202

Пусть, например, рассматривается система X = {х1, х2, х3, х4, х5}, состоящая из пяти элементов. Пусть эта система имеет структуру Г, изображенную на рис. 6.1.1. В этом случае переменная х1 непосредственно связана с переменными х2, х3, х4; х2 с переменными х1, х4; х3 с переменными х1, х4; х4 с переменными х1, х2, х3, х5; х5 с переменной х4. Таким образом, если интерес представляет только поведение второго и пятого элементов системы в зависимости от остальных, то можно вместо одной 5-мерной системы {х1, х2, х3, х4, х5} рассмотреть две подсистемы {х1, х2, х3, х4} и {х4, х5} меньшей размерности.

Рис. 6.1.1. Структура системы X = {х1, х2, х3, х4, х5}

6.1.2. Структуры случайных векторов

Структура статистической системы (случайного вектора, моделирующего статистическую систему) - достаточно широкое понятие. Отличаясь высокой наглядностью, структуры очень полезны при качественном анализе сложных статистических систем3. Выделяя для каждого элемента системы группу элементов, непосредственно с ним связанных, структуры позволяют существенно упростить и количественный анализ, снижая размерность рассматриваемой в каждый момент системы. В связи с этим возникает актуальная задача - задача построения структуры по статистической информации (обычно весьма ограниченной) о системе. К сожалению, в общем случае

3 См.: Гаврилец Ю.Н. Социально-экономическое планирование (системы и модели). М.: Экономика, 1974.

203

построение структуры статистической системы представляет собой весьма трудоемкую работу (вычислительная сложность данной задачи - башня экспонент).

Не будем приводить строгого формального определения структуры случайного вектора, а приведем лишь критерий для проверки того, что заданный граф является структурой данного случайного вектора. Обозначим через Г( /) множество вершин графа Г, смежных с вершиной / (т.е. множество вершин, соединенных ребром с вершиной /). Справедливо следующее утверждение4.

Теорема. Помеченный граф Г является структурой п-мерной случайной величины ^ с совместным распределением вероятностей р( х) = р( х1,... ,хп) тогда и только тогда, когда для любых подмножеств А и

В множества индексов I = {1,..., п} таких, что Г(А)с В с I \ А , выполняется соотношение

индексами из множества А и не входящих в него; хА - подвектор вектора х с индексами из А.

В рассмотренном выше примере (рис. 6.1.1) Г( 1) = {2, 3, 4}; Г( 2) = {1, 4}; Г( 3) = {1, 4}; Г( 4) = {1, 2, 3, 5}; Г( 5) = {4}; а, например, Г( 1, 2) = {2, 3, 4} {1, 4} \ {1, 2} = {3, 4}.

Для практических расчетов и оценок взаимосвязей между элементами статистических систем использование многомерных распределений вероятностей не конструктивно. В связи с этим целесообразно ввести эквивалентное определение структуры случайного вектора в терминах теории инфор-мации5. Понятия «энтропия» и «количество информации» представляют собой естественные меры неопределенности и зависимости компонент многомерной случайной величины.

Энтропия дискретной случайной величины ^ (т.е. случайной величины, принимающей не более, чем счетное число значений), принимаю-

4 Юдин А.Д. Структуры наборов псевдонезависимых случайных величин // Модели и методы исследования социально-экономических процессов. М.: ЦЭМИ АН СССР,

5 См., например: Яглом A.M., Яглом И.М. Вероятность и информация. М.: Наука,

1976.

1973.

204

щей значения х е X с вероятностями р(х), равна

Н (й)=-^ р(х)1о§ 2 Р(х)

хеХ

Количество информации о случайной величине &л , содержащееся в случайном векторе &в , определяется как

I (Ал ,& )= Н (Ал)+ Н (Ав)-Н £л ,&).

При этом энтропия и количество информации измеряются в битах. В силу свойств количества информации, приведенную теорему можно сформулировать в более конструктивном виде.

Теорема. Помеченный граф Г является структурой п-мерной случайной величины А с совместным распределением вероятностей р( х) = р( х1,.,хп) тогда и только тогда, когда для любых подмножеств Л и В

множества индексов I = {1,..., п} таких, что Г(л)с В с I \Л , выполняется соотношение

I(Ал \л )= I(Ал Ав )= I Ал Аг(л)),

где Г<л)= иГ«\ л.

гел

Знание структуры случайного вектора, индуцированного изучаемой системой, позволяет существенно упростить ее качественный анализ. В частности, по известной структуре можно построить рекурсивную систе-му6, что дает возможность упростить также и количественный анализ исследуемой системы. Однако, как уже указывалось, построение структур случайных векторов в общем случае является весьма трудоемкой задачей.

6.1.3. Существенная размерность и информативные структуры

При известной структуре случайного вектора, можно построить большое количество различных рекурсивных систем, определяемых перестановкой индексов компонент исследуемой системы. Для любой перестановки

6 Рекурсивная система-система, в которой переменные можно упорядочить таким образом, чтобы переменная с большим индексом зависела только от переменных с меньшими индексами.

205

а }и

-1г-1 множества индексов I = {1,..., п} справедливо

Р(Х) = ПП р |хд(а ) )

где д(а )-г(а )П"а,---,а-1}.

При этом возникают две задачи:

• определение перестановки индексов, при которой размерность сомножителей композиции, задающей совместное распределение вероятностей случайного вектора, минимальна;

• оценка соответствующих частных распределений вероятностей.

Существенной размерностью п-мерного случайного вектора с совместным распределением вероятностей р( х) называется минимальное число к,

для которого существует такая перестановка индексов {а }"=1, что соответствующая декомпозиция распределения вероятностей р(х) имеет размерность сомножителей не выше к.

В силу того, что в практических исследованиях обычно имеется весьма ограниченный статистический материал, с достаточной степенью достоверности можно строить совместные распределения вероятностей лишь очень невысокой размерности. Таким образом, становится актуальной проблема восстановления по имеющимся данным совместного распределения вероятностей случайного вектора невысокой существенной размерности наилучшим образом (в некотором заранее заданном смысле) отражающем имеющуюся информацию.

Ниже в качестве характеристики непосредственных связей статистических систем будут рассматриваться информативные структуры этих систем. Грубо говоря7, информативные структуры к-го порядка это структуры случайных векторов к-существенной размерности, ближайших в смысле минимума различающей информации к модели исследуемой статистической системы. Другими словами, информативная структура к-го порядка п-мерного случайного вектора это структура другого п-мерного случайного вектора, совместное распределение вероятностей которого удовлетворяет следующим свойствам. Оно является, во-первых, композицией к-мерных

7 Подробнее о существенной размерности случайных векторов см.: Юдин А.Д. О выделении существенных связей в многомерной случайной величине // Модели социально-экономических процессов и социальное планирование. М.: Наука, 1979.

206

частных распределений вероятностей исходного случайного вектора, и, во-вторых, ближайшим в смысле минимума различающей информации к неизвестному распределению вероятностей случайного вектора, моделирующего изучаемую статистическую систему. Соответствующее распределение вероятностей называется информативной аппроксимацией к-го порядка истинного распределения вероятностей. Все к-мерные маргинальные распределения предполагаются известными или же их можно построить по имеющемуся статистическому материалу с достаточной степенью достоверности и надежности8.

6.1.4. Прогнозирование с использованием структур случайных векторов

Обычно при качественном анализе сложной системы всю рассматриваемую систему показателей можно разбить на две принципиально различные группы показателей: зависимые переменные, поведение которых необходимо исследовать, и факторные показатели, определяющих в значительной мере поведение первой группы показателей. В свою очередь, факторные показатели также подразделяются на две подгруппы: управляемые переменные, на которые возможно непосредственное управленческое воздействие, и наблюдаемые характеристики среды, непосредственно воздействовать на которые нельзя.

Знание структуры системы (информативной структуры) позволяет построить рекурсивную систему с известным распределением вероятностей:

= у (хд(,-))г = I.-.n, где А(,) - множество индексов, определяемых для каждого показателя выявленными информативными связями. В качестве функций У (хА(i)), в соответствии с которыми осуществляется прогноз, можно взять обычные линейные регрессии или, что, вообще говоря, должно приводить к лучшему результату, условные математические ожидания по полученным при построении информативных структур частным распределениям вероятностей. Линейные регрессии дают наилучший результат в случае, когда индуцируе-

8 Понятие информативной структуры было введено в работе: Юдин А.Д. Об информативных структурах многомерных случайных величин // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1977, № 6. Подробнее см., например,: Юдин Д.Б., Юдин А.Д. Математики измеряют сложность. М.: Знание, 1985 (сер. «Число и мысль» Вып. 8).

207

мый рассматриваемой системой случайный вектор является нормально распределенным9.

При использовании второго подхода для построения прогноза фактически применяется исходное определение регрессии как условного математического ожидания. В этом случае функции прогноза выглядят следующим образом:

~ = Я ((/), Хк(/) )- X Х/Р{/ = Х/ |ХД(/) = ХД(/) } = ^ ■ ■ - n,

Х1

где множество - множество возможных значений /-го показателя системы, = х^Хд(/) = Хд(/)}-условное распределение вероятностей того,

что /-й показатель примет значение равное х при том, что хд(,-) = хд(,-). Поскольку ниже мы рассматриваем только информативные структуры третьего порядка, то все множества Д(/) содержат по два элемента: Д(/) = {К ¡), к( I)}.

6.2. Постановка проблемы и алгоритмы

6.2.1. Постановка проблемы 6.2.1.1. Трендовый прогноз

Будем рассматривать произвольный временной ряд х1 (в общем случае векторный, размерности п) как реализацию суммы двух процессов: детерминированного тренда, отражающего внутренние закономерности исследуемого процесса, и стохастического тренда некоторого случайного процесса, отражающего случайные отклонения от детерминированного тренда, а также неучтенные в детерминированном тренде факторы. Другими словами, будем считать, что

х1= Я0 + I Суп у-г., Уt-v.■■), где /- детерминированная функция (в общем случае вектор-функция), зависящая от времени; у( = х1 - Я 0 - отклонение значения временного ряда в момент времени t от тренда; | - случайная функция (в общем случае случайная вектор-функция), зависящая от предыстории отклонений временного ряда от тренда.

9 См.: Заруцкий В.И. О выделении некоторых графов связей для нормальных векторов большой размерности // Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. М.: Наука, 1980.

208

Для построения функции прогноза значения ряда в момент времени / + 1 по известным значениям ряда х, хи1,..., х-т... достаточно знать функцию тренда У 1) и условное распределение вероятностейр(У++1 = у \ ур уи1,..., уит ...).В этом случае наилучший прогноз представляет собой сумму значения тренда в момент времени / + 1 и условного математического ожидания реализации случайной величины при известных значениях х, хи1,..., х,-т,..., т.е.

= +1)+ | УР(У,+1 = уУ, > Уг-l,■■■, У,

уеУ

Таким образом, если известна структура случайного вектора А, то оптимальный прогноз величины х+1 задается выражением

~,,,+1 = у( +1)+ |УР(У,,+1 = yУг(t,i))dУ,, = п ,

УеУ,

где Г - структура случайного вектора & (Напомним, что структурой случайного вектора называется граф, ребра которого отвечают наличию непосредственных связей между соответствующими компонентами случайного вектора. Таким образом, множество Г(,, ,) - множество переменных с соответствующими лагами, от которых непосредственно зависит переменная х,.

В настоящей работе мы рассматриваем только скалярные временные ряды. Поэтому

4+1 + 1г(())= у ( +1)+ | хР(х,+1 = х|хг());х (6.2.1)

хеХ

Следовательно, для построения функции прогнозирования указанного вида необходимо произвести следующие действия:

1. Определить функциональный вид тренда.

2. Построить тренд.

3. Построить ряд отклонений от тренда.

4. Построить структуру (информативную структуру) лаговых показателей отклонений от тренда.

5. Построить условное распределение вероятностей отклонений от тренда в зависимости от выявленных лаговых отклонений.

Прогноз, построенный с использованием предлагаемого здесь подхода, основанного на выявлении структуры случайных отклонений от детерминированного тренда временного ряда, будем называть для краткости трендо-вым прогнозом.

209

6.2.1.2. Вероятностный прогноз

Рассмотрим еще один подход к построению прогноза, также основанный на выявлении структуры случайного вектора. Однако в этом случае предполагается, что в исходном временном ряде х, отсутствует детерминированная составляющая (детерминированный тренд). Для краткости будем называть прогноз, построенный на основе этого подхода, вероятностным прогнозом.

Таким образом, в данном случае будем рассматривать произвольный временной ряд х, (в общем случае векторный) как реализацию стохастического тренда некоторого случайного процесса, отражающего случайные отклонения от некоторого среднего значения. Другими словами, будем считать, что

хt = 1 (хи1, х^2, ■■■, х^т> ■■■), где | случайная функция (в общем случае случайная вектор функция), зависящая от предыстории.

В рассматриваемом случае для построения функции прогноза значения ряда в момент времени t+1 по известным значениям ряда х, хи1,:., х... достаточно знать условное распределение вероятностейр(хп1 = х | х, хи1,„., х,_Т...). Наилучший прогноз представляет собой в этой ситуации условное математическое ожидание реализации случайной величины £ при известных значениях х, х,_1,:., х,_Т:., т.е.

Ь+1 = | хр(ь+1 = х|х, х,х ^

хеХ

Однако достаточно часто ряд х, имеет ярко выраженную тенденцию. В таких ситуациях данные следует детрендировать. Будем для этого переходить к темповым характеристикам ряда10. Введем новый ряд:

у, = ,, = 1,..., Т -1.

х,

Будем считать значения ряда у, реализациями случайного вектора Таким образом, если известна структура случайного вектора £ , то оптимальный прогноз величины у,+1 задается выражением

+1 = |УР(У1,,+1 = у|уд(у))dУ,' =п ,

уе¥1

где Д структура случайного вектора £. Таким образом, прогноз х,+1 определяется соотношением

10 Такой способ детрендирования эквивалентен детрендированию ряда логарифмов. 210

xt Jyp^ut+i = у\Уа(tj))^'1 = r

х, , +1 — хI

У^г,

Поскольку мы рассматриваем только скалярные временные ряды, то

+1 — +1 А(())— х, |УР(У,+1 — у|УД(,))*У. (6 2 2)

Следовательно, для построения функции прогнозирования указанного вида необходимо произвести следующие действия:

1. Рассчитать темповые характеристики (если нужно) ряда.

2. Построить структуру (информативную структуру) лаговых показателей темповых характеристик ряда.

3. Построить условное распределение вероятностей темповых характеристик ряда в зависимости от выявленных лаговых характеристик.

6.2.1.3. Использование прогнозирующих функций

Полученная в результате проведенных действий функция прогнозирования ф (,\ Г(,)) вида (6.2.1) или у, А(,)) (6.2.2) и является прогнозирующей функцией исходного временного ряда х,. Для проверки построенной функции прогнозирования производится имитация исходного временного ряда в соответствии с соотношением

$ = ф( + i|r(t ))t = T_T _i

i ф)

ф _) xt+i

xt+l "jx^ + ia(t))' где T - длина ряда xt, использованного для построения функции прогнозирования, а т - максимальный лаг, входящий в множества Г и A. Качество имитации будем оценивать величиной средней относительной ошибки, точнее, величиной средней абсолютной процентной ошибки (MAPE - Mean Absolute Percent Error):

s= ioo у \xt _ф

T _т + i Xt

После проверки качества имитации строятся одношаговые прогнозы развития временного ряда xt: три с использованием функции ф (t\r(t)) и два с использованием функции у (t\A (t)). Качество прогнозов оценивается, так же как и качество имитации, величиной средней относительной ошибки (MAPE)

211

Ь = 100 XX |х, - х, I

Т ,=1 х,

Здесь ^6 - горизонт прогнозирования. Рассмотрим пять методов прогнозирования.

1. Трендовый прогноз без обучения. В этом случае и функция трендаЯ(,), и условное распределение вероятностей р(у,+1 =

У I Уг(,У случайного вектора | строятся на основе отклонений

от тренда исходного временного ряда {у, . После этого с использованием полученных функций строится последовательность одношаговых прогнозов значений временного ряда

{6+, }Т11 , зависящих от истинных значений {^+, |Т=01 .

2. Трендовый прогноз с обучением без коррекции тренда. Этот случай отличается от предыдущего тем, что на каждом шаге построения последовательности одношаговых прогнозов пе-ресчитывается условное распределение вероятностей р( у,+1 = у I ущ) случайного вектора | с использованием всех значений ряда отклонений от тренда до момента прогнозирования,

т.е. {Ут Ц=1 .

3. Трендовый прогноз с обучением и коррекцией тренда. В этой ситуации на каждом шаге прогнозирования уточняется не только условное распределение вероятностей, но и функция тренда. Другими словами, данный метод прогнозирования аналогичен «рекуррентному прогнозу», рассмотренному в первой части.

4. Вероятностный прогноз без обучения. В этом случае условное распределение вероятностей р(у,+1 = у | уД() случайного вектора £ строится на основе темповых характеристик {у, }Т=11

исходного временного ряда {х, . После этого с использованием полученных функций строится последовательность од-

г тТ

ношаговых прогнозов значений временного ряда {6+, =1 за-

212

висящих от истинных значений {хт

5. Вероятностный прогноз с обучением. Этот случай отличается от предыдущего тем, что на каждом шаге построения прогноза пересчитывается условное распределение вероятностей р( у++1 = у \ у А)) случайного вектора £ с использованием всех значений ряда до момента прогнозирования, т.е.

6.2.2. Алгоритмы моделирования и прогнозирования 6.2.2.1. Построение тренда

Здесь можно рассмотреть два подхода. Первый основан на качественном анализе исходного динамического ряда.

Сначала промежуток времени, на котором задан анализируемый временной ряд, разбивается на интервалы относительно схожего поведения. В данном случае в значительной мере используются результаты работы «Эко-нометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей» (М.: ИЭПП, 2001).

В результате такого анализа определяется функциональный вид тренда анализируемого временного ряда, т.е. определяется функция тренда/(а) с точностью до некоторого векторного параметра а. В данной работе в большинстве случаев используется кусочно-линейный тренд с изломом, приходящимся на вторую половину (август-сентябрь) 1998 г. На каждом из выделенных временных интервалов решается отвечающая соответствующему функциональному виду тренда система нормальных линейных уравнений, которая и определяет неизвестные параметры функции тренда. Для практической реализации нахождения параметров функции тренда используется

построение регрессии по данным {х, 1 на/((.1,..., 1)). Это позволяет получить не только значения векторного параметра а, но и статистические характеристики как значений параметров, так и самой функции тренда.

Второй подход основан на рассмотрении функции тренда временного ряда в виде некоторого полинома, т.е. приближенного разложения функции тренда в степенной ряд. Задав некоторый порядок полинома р, можно построить регрессию данных {х, 1 на значения 1, ^ Р,..., Л После удаления

213

статистически незначимых регрессоров получаем полиномиальную функцию тренда.

В данной работе использован только первый подход к построению функции тренда.

6.2.2.2. Выявление лаговой структуры

Для случайных величин | и Z строится условная информативная структура третьего порядка. Другими словами, определяются два лаговых показателя, знание значений которых в совокупности несет наибольшее количество информации о значении исследуемой переменной в текущий момент времени. Поскольку в настоящей работе рассматриваются только одномерные временные ряды, то задача построения информативных структур существенно упрощается.

В этом случае достаточно получить количество информации о значении показателя в момент времени t, содержащееся в любой паре лаговых показателей. После этого выбирается пара, отвечающая максимальному значению количества информации. Лаги, задаваемые этой парой, являются наиболее информативными с точки зрения определения значения анализируемого показателя в момент времени t. По определению отношение полученного количества информации к энтропии исследуемого показателя (коэффициент информативности) определяет долю неопределенности этого показателя, снижаемую за счет знания значений соответствующих лаговых показателей.

Рассмотрим схему практической реализации выявления пары наиболее информативных лагов. Соответствующий макрос (Информации3()) приведен в Приложении П1.1.

По определению количество информации Щ (п2, П3)) о случайной величине п, содержащееся в паре случайных величин п2 и п3, равно: I( rii, (П2, П3)) = H( n) + H( n2, П3) - H( tfj, n2, ПД где H(n) - энтропия случайной величины п с совместным распределением вероятностей p( x) = P{ п = x},

определяемая как H(п)_ p(x)log2 p(x). Количество информации и энт-

xeX

ропия измеряются в битах.

На первом этапе выявления информативных лагов задается максимально возможное запаздывание (величина tau). В данной работе рассматриваются лаги не превышающие одного года, т.е. для месячных данных tau = 12, а для квартальных tau = 4. Таким образом, рассматриваются 13 - и 5-мерные случайные векторы, для которых определяется наиболее информативная зависимость первой компоненты от пары остальных.

214

На следующем этапе производится нормировка исходных данных (id( 1),..., id( nn), nn - длина ряда по которому строится модель) так, чтобы они изменялись в диапазоне от 0 до 1:

id(i) — min id(j) idn(i) =-1~J ~nn-

max id( j) — min id( j)

1< j<nn 1< j<nn

Кроме того, на этом шаге задается уровень табуляции данных (ерз). Дело в том, что чем ниже уровень табуляции, тем более точным получается результат, однако, в силу ограниченности данных, одновременно снижается надежность получаемого результата. Поэтому уровень табуляции выбирается таким образом, чтобы в каждую градацию попадало в среднем 4-5 значений ряда, т.е.

4 5

-< ерз <- •

пп пп

На третьем этапе рассчитываются приближенные значения вероятностей (частоты) того, что соответствующие случайные величины принимают значения из каждой из градаций. Для этого определяются центры градаций каждого из табулированных распределений вероятностей

/ (к — 1)х ерз ~Л -Л Г

( —-2-, к = 1,..., п1 , где п1 = I- , г = 1,2,3 - минимальное

целое число не меньшее —) и рассчитываются расстояния в одно- двух-

ерз

и трехмерном пространствах от данных за каждую единицу времени до соответствующих центров. После этого подсчитывается количество попавших в каждую градацию элементов для анализируемого показателя Ыа(к), к = 1,..., п1, всех пар лаговых показателей к), г = 1,..., 11,] = г +1,..., 12, к = 1,..., п2 и троек, включающих анализируемый показатель и всевозможные пары лаговых показателей к), г = 1,., 11, ] = г +1,., 12, к = 1,., п3, как

ер.з

точек с расстоянием от соответствующего центра не превышающем Энтропии показателей определяются как

hl = ^ N о (к )log 2 N о (к )— log 2 nn

h2(i, j) = £Ny (к)log 2 Ntj (к)— log 2 nn, i = 1,...,11, j = i +1,...,12,

к=1

h3(0,i, j)= £Noj (к)log2 Noj (к)— log2 nn,i = 1,...,11, j = i +1,...,12

к=1

215

Количества информации рассчитываются по формуле: Д ,, ,- ¡,,-у) = М + Н2{1,у) - Л3(0,¡,у), I = 1,..., 11,у = / + 1,..., 12.

Максимальное из полученных Д,, , - ¡, , - у) и определяет лаговую структуру модели прогнозирования. Таким образом, если (¡0, ]а) = а^шах{Д,, , - ¡, , - у) | I = 1,., 11, у = I + 1,., 12}, то значения исследуемого показателя с лагами (¡0, у0) несут в совокупности наибольшую информацию о его значении в момент времени ,., т.е. лаговая структура будет иметь вид

6.2.2.3. Построение условного математического ожидания

Основой моделей прогнозирования (6.2.1) (и (6.2.2) являются условные распределения вероятностей того, что случайная величина В (или £) принимает некоторое значение в момент времени , при известных ее значениях в моменты времени — и —], где запаздывания I и у определены так, как это указано в 2.2.2. Опишем алгоритм построения соответствующих условных распределений вероятностей. В Приложении П1.2 приведен макрос (Прог-ноз3()), реализующий этот алгоритм.

На первом этапе, так же как и для выявления наиболее информативных лагов, производится нормировка исходных данных так, чтобы они изменялись в диапазоне от 0 до 1:

¡Ы(I) — ¡Ы(у) 1^п(1) =-~ у ""-

шах ¡Ы(у) — ¡Ы(у)

1 < у < "" 1 < у < ""

где ¡Ы(1),..., ¡Ы(""), "" - длина ряда по которому строится модель. На этом же шаге задается уровень табуляции данных (eps) и задаются лаги, определенные ранее в результате работы программы Информации3(), от значений которых строится условное распределение вероятностей.

216

На следующем этапе для заданных значений лаговых переменных 2Ы = 2(1) и 2—- = 2(2) определяется набор значений прогнозируемой переменной 2г = 2(0), таких что расстояние в трехмерном пространстве от тройки значений {2, 2Ы, г—} до {2(0), 2(1), 2(2)} не превосходит eps, т.е.

Го{ , 2, , 2, - у } {2 (0), 2 (1), 2 (2)}= ^2, - 2 (0)) +(2, - 2 + 2 - у - 2® ) < ерз

Если таких наборов N то условное математическое ожидание значения 2,+1 при заданных 2и+1 = 2(1) и 2,_у+1 = 2(2) определяется как N X 2 С°5 .

6.2.2.4. Построение прогноза

Реализуем два метода имитации и пять методов прогнозирования следующим образом.

1. Трендовая имитация. Служит для проверки качества трендовой модели прогнозирования за период 13,., Т при месячных данных или 5,. Т - при квартальных, где Т - длина ряда х,, использованного для построения функции прогнозирования. Полученная функция прогнозирования р(,\Г(,)) вида (6.2.1) используется в данном случае следующим образом.

Строится ряд Х }Т=т (т= 5 или 13 в зависимости от того, квартальные или месячные данные рассматриваются):

N

х = р,г( ))= ДО+Х х(к }р{ = х(к ^х-, х-у} )={, Л, = т,..., Т

к=1

Здесь N - количество градаций, полученное при табулировании случайной величины В Качество имитации оценивается величиной средней относительной ошибки (МАРЕ):

100 т\х -£|

3 =

Т — т +

—

1 , =т

Реализуется трендовая имитация использованием макроса Прог-ноз3() с параметрами: 1аи1 = ¡, 1аи2 = у, 1 = Т, й = т, Ш = Т, ерз = 0,005.

2. Трендовый прогноз без обучения. Служит для проверки качества трендовой модели прогнозирования за период Т + Т + Т\ где Т - длина ряда х,, использованного для построения функции прогнозирования, а Т'— горизонт прогнозирования. Функция прогнозирования (\Г(,)) используется в данном случае следующим образом. Строится ряд : {Х, }=+?+!

217

N г -1

£, = у(\Г(())= /(()+ —Х(к= X(к)х,_1,х,—] }г(()= {у}г = Т + 1,...,Т + Т'

к=1

Здесь N - количество градаций, полученное при табулировании случайной величины А- Качество прогноза также оценивается величиной средней абсолютной процентной ошибки (МАРЕ)

8 = 100 \х, — Хг|

Т г=т хг

Реализуется трендовый прогноз без обучения использованием макроса Прогноз3() с параметрами: 1аи1 = г, 1аи2 = у, 1 = Т, й = т, Ш = Т + Т, ерз = 0,005.

3. Трендовый прогноз с обучением без коррекции тренда. Служит также для проверки качества трендовой модели прогнозирования за период Т + Т + Т\ где Т - длина ряда хг, использованного для построения функции прогнозирования, а Т горизонт прогнозирования. Функция прогнозирования (р(г\Г(г)) используется в данном случае следующим образом. Строится

{х У+Т' :

с^г М=Т+1 :

ряд

N

X

N Г Т

X, = ((г(())= f ()+fx(k= X(k)x,-, x,_j }г()= { j}t = T + 1,...,T + T'

Здесь N - количество градаций, полученное при табулировании случайной величины А- Однако в отличие от предыдущего случая в данном случае на каждом шаге уточняется условное распределение вероятностей

p{Xt = х(k)|xt-i, xt-j Качество прогноза оценивается величиной средней абсолютной процентной ошибки (MAPE)

5 = 100 - Xt|

= T' " xt

t =T t

Реализуется трендовый прогноз с обучением без коррекции тренда 7-кратным использованием макроса Прогноз3(). При k-м (k = 1,..., T) применении макроса применяются параметры: taul = i, tau2 = j, t = T + k - 1, tt = т, ttt = T + k, eps = 0,005.

4. Трендовый прогноз с обучением и коррекцией тренда. Служит также для проверки качества трендовой модели прогнозирования на временном интервале Т + Т + Т\ где T - длина ряда х,, использованного для

построения функции прогнозирования, а T - горизонт прогнозирования. Функция прогнозирования (p(t\r(t)) используется в данном случае следую-

218

Т+Т'

Г,=т+1

Т

щим образом. Строится ряд х, ,=

N Г Т

Х, = р, Г( ))= / ()+Х х(к }ръ = х(к ) Х,-, х, - у )= {, у} , = Т + 1,...,Т + Т'

N

)+ X ^ Ур <Х, = х^|х,-, х, - у # ( )= { ,/'}, = Т + 1

к=1

Здесь N - количество градаций, полученное при табулировании случайной величины В Однако в отличие от предыдущего случая в данном случае на каждом шаге уточняется не только условное распределение вероятностей

,{, = Х (к)| х х }

р\, = х |х,-, х,-у J, но и функция тренда/,). Качество прогноза оценивается величиной средней абсолютной процентной ошибки (МАРЕ)

3 = 100у |х, -Х

Т ,=т х,

Реализуется трендовый прогноз с обучением и коррекцией тренда Т-кратным использованием макроса Прогноз3(). Перед к-м (к = 1,..., Т) при-

Г Y+к-1

менением макроса производится пересчет тренда по ряду х, , =1 , после чего к макросу применяются параметры: 1аи1 = /, 1аи2 = у, 1 = Т + к - 1, И = т, 1й = Т+ к, ерБ = 0,005.

5. Вероятностная имитация. Служит для проверки качества вероятностной модели прогнозирования на временном интервале 13 + Т при месячных данных или 5 + Т - при квартальных, где Т - длина ряда х,, использованного для построения функции прогнозирования. Полученная функция прогнозирования у(,\А(ф вида (6.2.2) используется в данном случае следующим образом. Строится ряд

{х

, -I,=Т (т = 5 или 13 в зависимости от того, квартальные или месячные данные рассматриваются):.

N

Х = А(,))= х,-X.у(к>р{, = у(ку-,у,-у }а(,)= {,у}, = .

, Т

Здесь N - количество градаций, полученное при табулировании случайной величины Качество имитации оценивается величиной средней относительной ошибки (МАРЕ):

3= 100 X |х, -х,|

Т-т +1 у х, Реализуется вероятностная имитация использованием макроса Прог-ноз3() с параметрами: 1аи1 = 1аи2 = у, 1 = Т, й = Т Ш = Т, ер8 = 0,005.

к=1

219

6. Вероятностный прогноз без обучения. Служит для проверки качества вероятностной модели прогнозирования на временном интервале Т + Т + Т\ где T - длина ряда х, использованного для построения функции прогнозирования, а T - горизонт прогнозирования. Функция прогнозирования y(t\A(t)) используется в данном

{ПТ+T'

xt }t=Т+1 :

X = w(A(())= x,-1 f y(kViv = y(k)yt-i,yt-j }a(()={, j}t = т,...,Т

k=1

Здесь N - количество градаций, полученное при табулировании случайной величины Z Качество прогноза оценивается величиной средней абсолютной процентной ошибки (MAPE)

s = 100 v |x, -

= T' v x

* t =T t

Реализуется вероятностный прогноз без обучения с использованием макроса Прогноз3() с параметрами: tau1 = i, tau2 = j, t = T, tt = т, ttt = T + Т', eps = 0,005.

7. Вероятностный прогноз с обучением. Служит также для проверки качества вероятностной модели прогнозирования на временном интервале Т + Т + Т', где T - длина ряда х,, использованного для построения функции

прогнозирования, а T - горизонт прогнозирования. Функция прогнозирования y(t\A(t)) используется в данном случае следующим образом. Строится

Г ~IT+T'

ряд ix }=t+1 :

N

xt = v(t\A(t))= xt-1 f y(k)p{ = y(k)yt-i,yt-j }A(t)= j}t = т,...,T

k=1

Здесь N - количество градаций, полученное при табулировании случайной величины Z Однако в отличие от предыдущего случая, в данном случае на каждом шаге уточняется условное распределение вероятностей

р{ = y(k)|yt-i, yt-¡ } Качество прогноза оценивается величиной средней абсолютной процентной ошибки (MAPE)

s = 100 v x, - £t |

Реализуется вероятностный прогноз с обучением Т'-кратным использованием макроса ПрогнозЗ (). При k-м (k = 1,., T) применении макроса используются параметры: tau1 = i, tau2 = j, t = T + k -1, tt = , ttt = T+ k, eps = 0,005-

220

6.3. Результаты расчетов

6.3.1. Инфляция

В качестве исходных данных для построения трендовой модели прогнозирования инфляции используются месячные данные за период 01.1991 -08.2000. Данные за период 09.2000 - 12.2001 используются для проверки построенных в разделе моделей прогнозирования. График этих данных приведен на рис. 6.3.1.

Темпы инфляции

1

J ) ч/ Л

; С^ а4 ^ , ^ ^ ^ , ^ ^ ^ , ^ ^ & J & ф & ^ & & J & & , & ^ ^ , ^ ^ ^ , ^ ^ ^ ' сР ^ ' сР ^ ^ & ^ & ^ ' ^ & ^ сР ^ ' сР ^ сР-

—Темпы инфляции |

Рис. 6.3.1. Исходные данные

В соответствии с проведенным ранее исследованием ряда инфляции11 разобьем весь интервал наблюдений на 3 подинтервала: 0 — .—99— - 12.1991; 01.1992 - 08.1998; 09.1998 - 08.2000. Для каждого из этих интервалов построим детерминированный логарифмический тренд. Получаем

/ ()=

/1(,) = 68,767 - 28,8261п,, , = 1, ...,12; /2 ()= 119,028 - 27,8541п,, , = 13,...,92; /3 ()= 293,892 - 62,3111п,, , = 93,...,116.

250

225

200

75

50

25

11 Здесь и далее при выборе функционального вида тренда мы ориентируемся на проведенное ранее исследование «Эконометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей». М.: ИЭПП, 2001.

221

Характеристики построенных трендов приведены в табл. 6.3.1.

Рассмотрим временной ряд {у} = {х,- /( Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: {у, уи1,..., у-12}. Получаем зависимость показателя у, от лага в 1 и 5 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,872. Это означает, что значения инфляции 1 и 5 месяцев назад определяют сегодняшнюю инфляцию на 87,2%. Таким образом, модель прогнозирования инфляции имеет вид

~ = /з(урЦу,-^ у,-5).

уеГ

Таблица 6.3.1

Тренд я Нормированный я2 Б-статистика ^статистика со ^статистика с1

ш 0,527 0,175 2,695 1,908 —1,542

/2(0 0,528 0,269 30,132 6,052 -5,489

ш 0,550 0,270 9,520 3,131 —3,085

На рис.6.3.2 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации близки между собой. Средняя относительная ошибка имитации (МАРЕ) за период 01.1992 - 08.2000 составляет 0,40%12.

Л \Л 4

П

V 1 \

■ 1 ^Л-^дуЧ

•Темпы инфляции ■ ■ ■ Ими

Рис. 6.3.2. Имитация

40

30

20

15

12 В связи с тем, что значение инфляции может равняться 0, для расчета относительной ошибки прогноза используется не темп прироста, а темп роста.

222

Для проверки качества прогнозирования использованы данные за период 09.2000 - 12.2001. Построено три последовательности одношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р(у\ у{-1, уи5), построенное на первоначальных исходных данных) и две с обучением (в обоих случаях на каждом шаге условное распределение вероятностей р( у\ у{-1, у-5) уточняется за счет добавления новой точки, но в одном используется один и тот же тренд, а во втором тренд корректируется на каждом шаге). В табл. 6.3.2 и на рис. 6.3.3 приведены результаты одно-шагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. При этом для случая прогноза с обучением и коррекцией тренда коэффициенты функции / меняются от шага к шагу. Соответствующие коэффициенты приведены в табл. 6.3.3. Средняя ошибка прогноза без обучения составляет 6,21%, а с обучением - 1,00% без коррекции тренда и 0,76% - с коррекцией.

Инфляция

Темпы инфляции " " - Прогноз без обучения

— -Прогноз с обучением (без коррекции тренда) — " Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

Рис. 6.3.3. Прогноз

223

Таблица 6.3.2

Трендовый прогноз инфляции

Дата Я" С Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

я результат ошибка результат ошибка результат ошибка

сен.00 1,3 0,20 1,08 0,20 1,08 0,20 1,08

окт.00 2,1 0,35 1,72 0,22 1,84 0,45 1,62

ноя.00 1,5 2,00 0,49 2,00 0,49 1,55 0,05

дек.00 1,6 1,43 0,17 1,34 0,26 0,80 0,78

янв.01 2,8 1,07 1,68 0,95 1,80 0,80 1,95

фев.01 2,3 0,57 1,69 1,10 1,18 1,20 1,07

мар.01 1,9 4,66 2,71 4,66 2,71 1,51 0,38

апр.01 1,8 4,16 2,31 1,40 0,40 1,36 0,43

май.01 1,8 3,66 1,82 1,10 0,69 1,51 0,28

Июн.01 1,6 19,48 17,60 1,30 0,29 2,04 0,43

Июл.01 0,5 18,98 18,39 1,11 0,60 1,66 1,15

авг.01 0,0 2,18 2,18 0,31 0,31 0,31 0,31

сен.01 0,6 1,69 1,09 -0,27 0,87 -0,41 1,00

окт.01 1,1 17,53 16,25 -0,95 2,03 0,70 0,39

ноя.01 1,4 17,05 15,44 0,62 0,77 1,01 0,39

дек.01 1,6 16,58 14,74 0,93 0,66 0,79 0,79

Средняя ошибка прогноза 6,21 1,00 0,76

Таблица 6.3.3

С0 С1 С0 С1 С0 С1 С0 С1

117 293,892 —62,311 121 227,708 -47,963 125 177,273 —37,058 129 152,812 -31,781

118 276,099 —58,450 122 211,052 -44,359 126 168,425 —35,148 130 148,167 —30,781

119 256,748 —54,254 123 197,754 —41,483 127 160,763 —33,495 131 142,712 -29,607

120 241,722 —50,998 124 186,909 —39,139 128 156,183 —32,508 132 137,006 —28,380

Рассмотрим теперь вероятностную модель прогнозирования. В этом случае будем считать сами исходные данные реализациями некоторой случайной величины. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: показатель инфляции и лаговые значения до 12 месяцев, т.е. для системы {х, х(_1,..., х,_12}. Получаем зависимость показателя инфляции от лага в 1 и 12 месяцев с коэффициентом ин-

224

формативное™, равным 0,832. Это означает, что значения инфляции 1 и 12 месяцев назад определяют еегодняшнюю инфляцию на 83,2%. Таким образом, модель прогнозирования инфляции в данном случае имеет вид

~ = X хР(хК-1, х^12 ).

На рис. 6.3.4 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации и в этом случае близки между собой. Средняя относительная ошибка имитации (МАРЕ) за период 01.1992— 08.2000 составляет 0,94% (против 0,40% в предыдущем случае).

Инфляция

--

у у 1 1\

Л

1 \ /.' \

. / Ч . и ■

ъ ф ф # # # # <р <р <р <Р <$> <$> <$> <$> $ $ $ <$> <£<£<£<£><£><£><£><$><£><£> С^' Х^' ч^' С?4' Х^' ч^' С^' Х^' ч^' С?4' Х^' ч^' С?4' Х^' С^' Х^' ч^' С^' ч^' С^' Х^' С^'

—Данные - - - Имитация

Рис. 6.3.4. Имитация

Для проверки качества прогнозирования, как и выше, использованы данные за период 09.2000 - 12.2001. Построены две последовательности од-ношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностейр(х\ х{1, хи12), построенное на первоначальных исходных данных) и с обучением (на каждом шаге условное распределение вероятностей Р( х^ уточняется за счет добавления новой точки). В табл. 6ЗА и

на рис. 6.3.5 приведены результаты одно шагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 0,45%, а с обучением - 0,41%. Таким образом, в данном случае прогнозные свойства модели оказались выше.

225

Инфляция

| Данные ■ ■ ■ Прогноз без обучения ^ "Прогноз с обучением |

Рис. 6.3.5. Прогноз

Таблица 6.3.4

Вероятностный прогноз инфляции

Дата ИПЦ Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат Ошибка

сен.00 1,3 0,94 0,36 0,94 0,36

окт.00 2,1 0,99 1,09 1,01 1,07

ноя.00 1,5 1,58 0,07 1,59 0,09

дек.00 1,6 1,13 0,46 1,22 0,38

янв.01 2,8 1,27 1,49 1,35 1,41

фев.01 2,3 2,18 0,12 2,07 0,23

мар.01 1,9 1,97 0,07 1,91 0,01

апр.01 1,8 1,63 0,17 1,68 0,12

май.01 1,8 1,29 0,50 1,49 0,31

июн.01 1,6 1,44 0,16 1,58 0,02

июл.01 0,5 1,19 0,69 1,42 0,91

авг.01 0,0 0,77 0,77 0,93 0,93

сен.01 0,6 0,48 0,12 0,51 0,09

окт.01 1,1 0,99 0,11 1,07 0,03

ноя.01 1,4 0,94 0,46 1,11 0,28

дек.01 1,6 1,04 0,55 1,23 0,37

Средняя ошибка прогноза 0,45 0,41

226

6.3.2. Денежные агрегаты

6.3.2.1. Денежный агрегат МО

В качестве исходных данных для построения модели прогнозирования денежного агрегата МО используются месячные данные за период 12.1990 07.2000. Данные за период 08.2000 - 11.2001 используются для проверки построенных в разделе моделей прогнозирования. График этих данных приведен на рис. 6.3.6.

Денежный агрегат М 0

МО - - - - Темп прироста

Рис. 6.3.6. Исходные данные

В соответствии с проведенным ранее исследованием ряда МО на временном интервале 06.1995 - 07.2000 данный ряд является О^-рядом. В то же время визуальный анализ графика ряда позволяет предположить изменение характера его поведения начиная со второй половины 1998 г. Разобьем весь интервал наблюдений на 2 подинтервала: 12.1990 - 08.1998 и 09.1998 -07.2000. Для каждого из этих интервалов построим детерминированный линейный тренд. Получаем

()_Г /(О = -33648,821 +1777,917,, , = 1,...,92;

( [/2 ()_ -498483,752 + 6869,279,, , _ 93,...,116.

227

Характеристики построенных трендов приведены в табл. 6.3.5.

Таблица 6.3.5

Тренд Я Нормированный Я2 Б-статистика ^статистика со ^статистика с1

ш 0,948 0,898 803,356 -10,018 28,344

/2« 0,949 0,896 198,324 -9,758 14,083

Рассмотрим временной ряд {у} = {х,—/(,)}. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: {у, Уы' ■■ > Уг-12}. Получаем зависимость показателяу, от лага в 2 и 12 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,875. Это означает, что значения МО 2 и 12 месяцев назад определяют сегодняшнее значение МО на 87,5%. Таким образом, модель прогнозирования инфляции имеет вид

_ /2 ()+ X УР(У\У,-2 > У,-12 ).

уеГ

На рис. 6.3.7. приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации полностью совпадают между собой.

Денежный агрегат МО

Рис. 6.3.7. Имитация Для проверки качества прогнозирования использованы данные за период 09.2000 - 11.2001. Построены три последовательности одношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р(у,\ у,_2, уц_12), построенное на первоначальных исходных данных) и два

228

с обучением (в обоих случаях на каждом шаге условное распределение вероятностей р(у\ уи2, у—2 уточняется за счет добавления новой точки, но в одном используется один и тот же тренд, а во втором тренд корректируется на каждом шаге). В табл. 6.3.6. и на рис. 6.3.8. приведены результаты одно-шагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. При этом для случая прогноза с обучением и коррекцией тренда коэффициенты функции /2 меняются от шага к шагу. Соответствующие коэффициенты приведены в табл. 6.3.7. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 23,99%, а с обучением 4,18% без коррекции тренда и 5,14% с коррекцией.

Денежный агрегат МО

■Экспорт ■ ■ ~ "Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции трендэ) ■ "Прогноз с обучением (с коррекцией трендэ)

Рис. 6.3.8. Прогноз

Таблица 6.3.6

Трендовый прогноз МО

Дата М0 Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

результат ошиб ка результат ошибка результат ошибка

авг 00 341627 277192,1 18,86 277192,1 18,86 277192,1 18,86

сен 00 350935 283049,8 19,34 347484,4 0,98 347820,8 0,89

окт 00 349669 288907,5 17,38 356793,0 2,04 357432,8 2,22

ноя 00 358351 294765,2 17,74 362650,7 1,20 364353,5 1,67

дек 00 419262 363325,4 13,34 365057,4 12,93 310995,4 25,82

янв 01 380127 306480,5 19,37 374366,0 1,52 372863,4 1,91

фев 01 387959 312338,2 19,49 375924,3 3,10 380543,5 1,91

229

Таблица 6.3.6 (продолжение)

Дата М0 Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

результат ошиб ка результат ошибка результат ошибка

мар 01 399395 318195,9 20,33 378957,1 5,12 388418,4 2,75

апр 01 435350 324053,6 25,56 442692,3 1,69 402716,0 7,50

май 01 438312 329911,3 24,73 441207,2 0,66 443203,0 1,12

июн 01 474692 335769,0 29,27 444169,2 6,43 446336,0 5,97

июл 01 490598 341626,6 30,37 480549,4 2,05 482953,8 1,56

авг 01 507107 347484,3 31,48 486407,1 4,08 491682,2 3,04

сен 01 530972 353342,0 33,45 512964,8 3,39 515831,7 2,85

окт 01 531481 359199,7 32,42 536829,4 1,01 539938,6 1,59

ноя 01 527287 365057,4 30,77 537338,9 1,91 540645,2 2,53

Средняя ошибка прогноза 23,99 4,18 5,14

Таблица 6.3.7

t С0 С1 t С0 С1

117 -498483,752 6869,279 121 -589828,211 7773,412

118 -532312,207 7205,323 122 -638019,335 8245,874

119 -560816,089 7487,540 123 -646040,710 8324,259

120 -576472,511 7642,044 124 -652322,303 8385,443

Таблица 6.3.7 (продолжение)

t С0 С1 t С0 С1

125 -659299,727 8453,185 129 -745936,517 9287,212

126 -680298,565 8656,399 130 -770499,627 9521,892

127 -694883,545 8797,091 131 -797546,854 9779,485

128 -720806,658 9046,351 132 -816958,807 9963,775

Рассмотрим теперь вероятностную модель прогнозирования. Поскольку в исходных данных явно содержится детерминированный тренд, то преобразуем их в темповые характеристики, т.е. введем новый ряд:

у{ = —~, t = — * т . График соответствующего временного ряда также

xt-1

приведен на рис. 6.3.6.

Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: показатель темпа роста МО и его лаговые значения

230

до 12 месяцев, т.е. для системы {у, у(1,..., у-12}. Получаем зависимость показателя темпа роста МО от лага в 2 и 12 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,967. Это означает, что значения темпов роста МО 2 и 12 месяцев назад определяют сегодняшний темп роста на 96,7%. Таким образом, модель прогнозирования безработицы в данном случае имеет вид:

= -1X ур (у\у'-2, у,-12).

уеГ

На рис. 6.3.9. приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации на временном интервале 01.1992 -07.2000 и в этом случае полностью совпадают.

Денежный агрегат М 0

Данные - - - - Имитация

Рис. 6.3.9. Имитация

Для проверки качества прогнозирования использованы данные за период 08.2000 - 11.2001. Построены две последовательности од-ношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р( у\ у-2, у-12), построенное на первоначальных исходных данных) и с обучением (на каждом шаге условное распределение вероятностей р(у\ у-2, у{_12) уточняется за счет добавления новой точки). В табл. 6.3.8. и на рис. 6.3.10. приведены результаты од-

231

ношагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 4,12%, а с обучением 4,19%.

Денежный агрегат МО

440000 420000

авг.00 сен.00 окг.00 ноя.00 дек.00 янв.01 фев.01 мар.01 апр.01 май.01 июн.01 июл.01 авг.01 сен.01 окт.01 ноя.01

-Данные ■ ■ ■ - Прогноз без обучения — — -Прогноз с обучением |

Рис. 6.3.10. Прогноз Вероятностный прогноз М0

Таблица 6.3.8

560000

540000

520000

500000

480000

460000

400000

380000

360000

340000

Дата М0 Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат ошибка

авг.00 341627 352103,7 3,07 352103,7 3,07

сен.00 350935 350478,7 0,13 350478,7 0,13

окт.00 349669 363772,3 4,03 363772,3 4,03

ноя.00 358351 358729,1 0,11 359196,4 0,24

дек.00 419262 408772,7 2,50 408772,7 2,50

янв.01 380127 397323,5 4,52 397323,5 4,52

фев.01 387959 436968,3 12,63 436968,3 12,63

мар.01 399395 384384,3 3,76 384384,3 3,76

апр.01 435350 393586,1 9,59 393586,1 9,59

май.01 438312 451274,3 2,96 433778,2 1,03

июн.01 474692 498329,0 4,98 498329,0 4,98

232

Таблица 6.3.8 (продолжение)

Дата М0 Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат ошибка

июл.01 490598 472936,4 3,60 472936,4 3,60

авг.01 507107 550940,7 8,64 550940,7 8,64

сен.01 530972 526446,3 0,85 510557,3 3,84

окт.01 531481 554666,3 4,36 554666,3 4,36

ноя.01 527287 526652,7 0,12 526652,7 0,12

Средняя ошибка прогноза 4,12 4,19

6.3.2.2. Денежный агрегат М1

В качестве исходных данных для построения модели прогнозирования денежного агрегата М1 используются месячные данные за период 6.1995 -07.2000. Данные за период 08.2000 - 11.2001 используются для проверки построенных в разделе моделей прогнозирования. График этих данных приведен на рис. 6.3.11.

Денежный агрегат М1

1050000 1000000 950000 900000 850000 800000 750000 700000 650000 600000 550000 500000 450000 400000 350000 300000 250000 200000 150000 100000

Рис. 6.3.11. Исходные данные

VII

В соответствии с проведенным ранее исследованием ряда М1 на временном интервале 06.1995 - 07.2000 данный ряд, так же как и ряд МО, является А£-рядом. В то же время визуальный анализ графика ряда позволяет

233

предположить изменение характера его поведения начиная со второй половины 1998 г. Разобьем весь интервал наблюдений на 2 подинтервала: 12.1990 - 08.1998 и 09.1998 - 07.2000. Для каждого из этих интервалов построим детерминированный линейный тренд. Получаем

Г №) _ 104389,501 + 4895,270?, г _ 1,„.,38; ( 1 /2 ()_ -498483,752 + 6869,279^ í _ 39,„.,62.

Характеристики построенных трендов приведены в табл. 6.3.9.

Таблица 6.3.9

Тренд я Нормированный Я Б-статистика ^статистика со ^статистика с1

т 0,974 0,947 659,906 24,486 25,689

т 0,983 0,964 622,377 -12,093 24,947

Рассмотрим временной ряд {у} = {х, - /(()}. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: {у15 Уц,..., Уиг). Получаем зависимость показателя у? от лага в 6 и 9 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,943. Это означает, что значения М1 6 и 9 месяцев назад определяют сегодняшнее значение М1 на 94,3%. Таким образом, модель прогнозирования инфляции имеет вид

~ _Л()+ Xyp(y\y,-6,У,-9).

уеГ

На рис. 6.3.12. приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели на временном интервале 03.199607.2000. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации полностью совпадают между собой.

Денежный агрегат М1

Рис. 6.3.12. Имитация

234

Денежный агрегат М1

• Экспорт ■ ■ ■ "Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) ■ «Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

Рис. 6.3.13. Прогноз

Для проверки качества прогнозирования использованы данные за период 09.2000 - 11.2001. Построены три последовательности одношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р(у\ у-6, уид), построенное на первоначальных исходных данных) и два с обучением (в обоих случаях на каждом шаге условное распределение вероятностей р( у\ у-6, у(_д) уточняется за счет добавления новой точки, но в одном используется один и тот же тренд, а во втором тренд корректируется на каждом шаге). В табл. 6.3.10 и на рис. 6.3.13 приведены результаты од-ношагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. При этом для случая прогноза с обучением и коррекцией тренда коэффициенты функции /2 меняются от шага к шагу. Соответствующие коэффициенты приведены в табл. 6.3.11. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 15,96%, а с обучением 5,46% без коррекции тренда и 7,75% с коррекцией.

235

Таблица 6.3.10

Трендовый прогноз М1

Дата М1 Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

результат ошибка результат ошибка результат ошибка

авг 00 717950 708005,0 1,39 708005,0 1,39 708005,0 1,39

сен 00 747446 639197,4 14,48 639197,4 14,48 642942,8 13,98

окт 00 750662 643363,1 14,29 643363,1 14,29 693621,3 7,60

ноя 00 777139 683564,4 12,04 683564,4 12,04 714708,3 8,03

дек 00 879310 699181,8 20,49 792756,0 9,84 767490,9 12,72

янв 01 810517 714799,1 11,81 894927,1 10,41 897386,1 10,72

фев 01 829180 730416,4 11,91 826133,8 0,37 828812,7 0,04

мар 01 858381 746033,7 13,09 844797,4 1,58 806149,0 6,08

апр 01 918209 761651,1 17,05 873998,4 4,81 829197,2 9,69

май 01 938533 777268,4 17,18 933826,7 0,50 855851,5 8,81

июн 01 987901 792885,7 19,74 954150,3 3,42 882195,1 10,70

июл 01 1015090 808503,1 20,35 969767,7 4,46 977309,2 3,72

авг 01 1040765 824120,4 20,82 1030707,6 0,97 998373,8 4,07

сен 01 1074933 839737,7 21,88 1056382,1 1,73 919584,0 14,45

окт 01 1084385 855355,1 21,12 1050370,4 3,14 1003113,6 7,49

ноя 01 1058132 870972,4 17,69 1100002,3 3,96 1105310,5 4,46

Средняя ошибка прогноза 15,96 5,46 7,75

Таблица 6.3.11

t С0 С1 t С0 С1

63 -420876,239 17033,303 67 -508230,235 18889,100

64 -449189,900 17640,024 68 -548606,618 19730,275

65 -476375,476 18218,441 69 -554052,515 19842,949

66 -492468,326 18558,431 70 -558193,841 19928,044

Таблица 6.3.11 (продолжение)

t С0 С1 t С0 С1

71 -564210,774 20050,839 75 -627074,523 21311,866

72 -579725,874 20365,334 76 -642090,608 21608,236

73 -592736,408 20627,291 77 -657534,706 21911,061

74 -610556,706 20983,697 78 -668347,874 22121,707

236

Рассмотрим теперь вероятностную модель прогнозирования. Поскольку в исходных данных явно содержится детерминированный тренд, то преобразуем их в темповые характеристики, т.е. введем новый ряд:

х,

у, =-

,, = 1,

, т

Х- График соответствующего временного ряда также

приведен на рис. 6.3.10.

Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: показатель темпа роста М1 и его лаговые значения до 12 месяцев, т.е. для системы {у1, у^,..., Уц2). Получаем зависимость показателя темпа роста М1 от лага в 6 и 7 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,969. Это означает, что значения темпов роста М1 6 и 7 месяцев назад определяют сегодняшний темп роста на 96,9%. Таким образом, модель прогнозирования безработицы в данном случае имеет вид:

= -1X ур(у\у, ^ у,-7 ).

уеГ

На рис. 6.3.14 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации на временном интервале 03.1996 -07.2000 и в этом случае полностью совпадают.

Денежный агрегат М1

700000 675000 650000 625000 600000 575000 550000 525000 500000 475000 450000 425000 400000 375000 350000 325000 300000 275000 250000 225000 200000 175000 150000

Рис. 6.3.14. Имитация

Для проверки качества прогнозирования, как и выше, использованы

237

данные за период 08.2000 - 11.2001. Построены две последовательности од-ношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р(у\ уг_6, уи7), построенное на первоначальных исходных данных) и с обучением (на каждом шаге условное распределение вероятностей Р(У\ У^б, Уи7) уточняется за счет добавления новой точки). В табл. 6.3.12 и на рис. 6.3.15 приведены результаты одно шагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 5,22%, а с обучением - 4,75%.

6.3.2.3. Денежный агрегат М2

В качестве исходных данных для построения модели прогнозирования денежного агрегата М2 используются месячные данные за период 12.1990 -07.2000. Данные за период 08.2000 - 11.2001 используются для проверки построенных в разделе моделей прогнозирования. График этих данных приведен на рис. 6.3.16.

В соответствии с проведенным ранее исследованием ряда М2 на временном интервале 06.1995 - 07.2000 данный ряд, также как и два предыдущих, является Д^-рядом. В то же время визуальный анализ графика ряда позволяет предположить изменение характера его поведения начиная со второй половины 1998 г. Разобьем весь интервал наблюдений на 2 подин-тервала: 12.1990 - 08.1998 и 09.1998 - 07.2000. Для каждого из этих интервалов построим детерминированный линейный тренд. Получаем

()_Г /1(1) = -94369,716 + 4970,452/, г _ 1,...,92;

( 1/2 ()_ -1888494,862 + 23763,636/, г _ 93,...,116.

Статистические характеристики построенных трендов приведены в табл. 6.3.13.

| Данные ■ ■ ■ ■ Прогноз без обучения — — «Прогноз с обучением |

Рис. 6.3.15. Прогноз

238

Таблица 6.3.12

Вероятностный прогноз М1

Дата М1 Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат ошибка

авг.00 717950 696241,9 3,02 696241,9 3,02

сен.00 747446 692445,2 7,36 692445,2 7,36

окт.00 750662 770796,8 2,68 770796,8 2,68

ноя.00 777139 781978,5 0,62 781978,5 0,62

дек.00 879310 806620,7 8,27 806620,7 8,27

янв.01 810517 982236,3 21,19 982236,3 21,19

фев.01 829180 859480,3 3,65 843815,9 1,77

мар.01 858381 799723,9 6,83 848273,5 1,18

апр.01 918209 851240,0 7,29 851240,0 7,29

май.01 938533 930178,3 0,89 930178,3 0,89

июн.01 987901 971262,1 1,68 971262,1 1,68

июл.01 1015090 993563,9 2,12 993563,9 2,12

авг.01 1040765 1018845,0 2,11 1018845,0 2,11

сен.01 1074933 1047381,9 2,56 1047381,9 2,56

окт.01 1084385 1041058,3 4,00 1041058,3 4,00

ноя.01 1058132 1156347,1 9,28 1156347,1 9,28

Средняя ошибка прогноза 5,22 4,75

Денежный агрегат М2

| М2 - - - -Темп роста

Рис. 6.3.16. Исходные данные

239

Таблица 6.3.13

Тренд я Нормированный я2 Б-статистика ^статистика со ^статистика с1

/¡(г) 0,953 0,907 898,541 -10,514 29,976

Ш 0,988 0,976 893,163 -22,574 29,886

Рассмотрим временной ряд {у} = {хг-/(г)}. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: {У, уг-1>---> уг-12}. Получаем зависимость показателяуг °т лага в 1 и 8 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,924. Это означает, что значения М2 1 и 8 месяцев назад определяют сегодняшнее значение М2 на 92,4%. Таким образом, модель прогнозирования инфляции имеет вид :

_ /2 (г )+ X УР(У\Уt-¡, Уг-8 ).

уеГ

На рис. 6.3.17 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации почти полностью совпадают между собой. Среднее абсолютное отклонение (МАРЕ) имитационных значений от истинных составляет 0,51%.

Для проверки качества прогнозирования использованы данные за период 08.2000 - 11.2001. Построены три последовательности одношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р(у\ уг-1, уг-8), построенное на первоначальных исходных данных) и два с обучением (в обоих случаях на каждом шаге условное распределение вероятностей р( у\ уг-1, уг-8) уточняется за счет добавления новой точки, но в одном используется один и тот же тренд, а во втором тренд корректируется на каждом шаге). В табл. 6.3.14 и на рис. 6.3.18 приведены результаты од-ношагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. При этом для случая прогноза с обучением и коррекцией тренда коэффициенты функции /2 меняются от шага к шагу. Соответствующие коэффициенты приведены в табл. 6.3.15. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 6,20%, а с обучением - 2,47% без коррекции тренда и 1,84% - с коррекцией.

240

Денежный агрегат М2

■Экспорт ■ ■ ■ "Прогноз без обучения ш Прогноз с обучением (без коррекции тренда) ш "Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

Рис. 6.3.17. Имитация

Денежный агрегат М2

900000 850000 800000 750000 700000 650000 600000 550000 500000 450000 400000 350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 0

Рис. 6.3.18. Прогноз

Имитация

данные

241

Таблица 6.3.14

Трендовый прогноз М2

Дата М2 Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

результат ошиб ка результат ошибка результат ошибка

авг 00 960100 953310,0 0,71 953310,0 0,71 953310,0 0,71

сен 00 992400 975420,1 1,71 975420,1 1,71 976656,0 1,59

окт 00 1001200 997530,1 0,37 1014510,0 1,33 1015716,3 1,45

ноя 00 1036400 1019640,1 1,62 1036620,1 0,02 1039880,1 0,34

дек 00 1144300 1041750,2 8,96 1045420,1 8,64 1049511,2 8,28

янв 01 1079300 1063860,2 1,43 1166410,0 8,07 1075650,3 0,34

фев 01 1109700 1085970,3 2,14 1092760,2 1,53 1110230,2 0,05

мар 01 1149500 1108080,3 3,60 1131810,0 1,54 1134921,7 1,27

апр 01 1210000 1130190,3 6,60 1171610,0 3,17 1174965,8 2,90

май 01 1233700 1152300,4 6,60 1232110,0 0,13 1235826,1 0,17

июн 01 1294300 1174410,4 9,26 1255810,0 2,97 1259826,9 2,66

июл 01 1330200 1196520,4 10,05 1277920,1 3,93 1286713,9 3,27

авг 01 1365500 1218630,5 10,76 1352310,0 0,97 1335690,2 2,18

сен 01 1414400 1240740,5 12,28 1374420,1 2,83 1384629,6 2,10

окт 01 1441200 1262850,6 12,38 1436510,0 0,33 1441979,4 0,05

ноя 01 1439100 1284960,6 10,71 1463310,0 1,68 1469101,0 2,08

Средняя ошибка прогноза 6,20 2,47 1,84

Таблица 6.3.15

г С0 С1 г С0 С1

117 -498483,752 6869,279 121 -589828,211 7773,412

118 -532312,207 7205,323 122 -638019,335 8245,874

119 -560816,089 7487,540 123 -646040,710 8324,259

120 -576472,511 7642,044 124 -652322,303 8385,443

Таблица 6.3.15 (продолжение)

г С0 С1 г С0 С1

125 -659299,727 8453,185 129 -745936,517 9287,212

126 -680298,565 8656,399 130 -770499,627 9521,892

127 -694883,545 8797,091 131 -797546,854 9779,485

128 -720806,658 9046,351 132 -816958,807 9963,775

242

Рассмотрим теперь вероятностную модель прогнозирования. Поскольку в исходных данных явно содержится детерминированный тренд, то преобразуем их в темповые характеристики, т.е. введем новый ряд:

у, = ' * = 1' -,т . График соответствующего временного ряда также

-1

приведен на рис. 6.3.16.

Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: показатель темпа роста М2 и его лаговые значения до 12 месяцев, т.е. для системы {у, у(-1,..., уи12}. Получаем зависимость показателя темпа роста М2 от лага в 6 и 9 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,940. Это означает, что значения темпов роста М2 6 и 9 месяцев назад определяют сегодняшний темп роста на 94,0%. Таким образом, модель прогнозирования безработицы в данном случае имеет вид:

= -1X ур(уу-6 > У,-9).

уеТ

На рис. 6.3.19 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации на временном интервале 01.1992 -07.2000 в этом случае практически полностью совпадают среднее расхождение (МАРЕ) между исходными данными и их имитацией составляет 0,11%.

950000 900000 850000 800000 750000 700000 650000 600000 550000 500000 450000 400000 350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 0

Д

агрегат М2

Рис. 6.3.19. Имитация

243

Для проверки качества прогнозирования, как и выше, использованы данные за период 08.2000 - 11.2001. Построено две последовательности од-ношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р(уг\ уг-6, уг-9), построенное на первоначальных исходных данных) и с обучением (на каждом шаге условное распределение вероятностей Р(Уг\ Уг-6, Уг-9) уточняется за счет добавления новой точки). В табл. 6.3.16 и на рис. 6.3.20 приведены результаты одно шагового прогнозирования по приведенной модели. В этом случае результаты прогнозирования с обучением и без совпадают между собой. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) составляет 4,96%.

Денежный агрегат М2

I Данные - - - -Прогноз без обучения — — Прогноз с обучением

Рис. 6.3.20. Прогноз

Таблица 6.3.16

Вероятностный прогноз М2

Дата М2 Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат Ошибка

авг.00 960100 976434,0 1,70 976434,0 1,70

сен.00 992400 1102370,2 11,08 1102370,2 11,08

окт.00 1001200 988645,0 1,25 988645,0 1,25

ноя.00 1036400 1024720,0 1,13 1024720,0 1,13

дек.00 1144300 1146105,5 0,16 1146105,5 0,16

244

Таблица 6.3.16 (продолжение)

Дата М2 Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат Ошибка

янв.01 1079300 1159212,0 7,40 1159212,0 7,40

фев.01 1109700 1120365,2 0,96 1120365,2 0,96

мар.01 1149500 1094425,3 4,79 1094425,3 4,79

апр.01 1210000 1188734,2 1,76 1188734,2 1,76

май.01 1233700 1172597,6 4,95 1172597,6 4,95

июн.01 1294300 1573512,6 21,57 1573512,6 21,57

июл.01 1330200 1351701,4 1,62 1351701,4 1,62

авг.01 1365500 1284331,0 5,94 1284331,0 5,94

сен.01 1414400 1531754,1 8,30 1531754,1 8,30

окт.01 1441200 1505436,7 4,46 1505436,7 4,46

ноя.01 1439100 1471591,6 2,26 1471591,6 2,26

Средняя ошибка прогноза 4,96 4,96

6.3.3. Динамика внешнеторговых характеристик 6.3.3.1. Экспорт

В качестве исходных данных для построения модели прогнозирования экспорта используются месячные данные за период 01.1994 - 04.2000. Данные за период 05.2000 - 12.2001 используются для проверки построенных в разделе моделей прогнозирования. График этих данных приведен нарис. 6.3.21.

Экспорт

Рис. 6.3.21. Исходные данные

245

В соответствии с проведенным ранее исследованием ряд экспорта представляет собой стационарный относительно тренда ряд. Построим детерминированный линейный тренд ряда на временном промежутке 01.1994 - 04.2000. Получаем

А 0 = 6,194 + 0,013/.

Статистические характеристики построенного тренда приведены в табл. 6.3.17.

Таблица 6.3.17

Тренд я Нормированный я2 Б-статистика Значимость Б ^статистика с0 ^статистика с1

А0 0,260 0,055 5,379 0,023 25,666 2,319

Рассмотрим временной ряд {у} = {х,- /(,)}. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных:

{у, уи1> ■■■ < уи12}. Получаем зависимость показателяу,от лага в 1 и 12 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,874. Это означает, что значения экспорта 1 и 12 месяцев назад определяют сегодняшний экспорт на 87,4%. Таким образом, модель прогнозирования инфляции имеет вид :

~ = я()+ХУР^У,-^У/-12 ).

уеГ

На рис. 6.3.19 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации за период 01.1995 - 04.2000 полностью совпадают между собой.

Экспорт

•данные ■ ■ ■ "Имитация

246

Рис. 6.3.22. Имитация

Для проверки качества прогнозирования использованы данные за период 05.2000 - 12.2001. Построены три последовательности одношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р(у,\ уи1, у(_12), построенное на первоначальных исходных данных) и два с обучением (в обоих случаях на каждом шаге условное распределение вероятностей р(у,\ у(-1, у(_12) уточняется за счет добавления новой точки, но в одном используется один и тот же тренд, а во втором тренд корректируется на каждом шаге). В табл. 6.3.18 и на рис. 6.3.23 приведены результаты од-ношагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. При этом для случая прогноза с обучением и коррекцией тренда коэффициенты функции 1" меняются от шага к шагу. Соответствующие коэффициенты приведены в табл. 6.3.19. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 11,24%, а с обучением - 9,06% без коррекции тренда и 7,06% - с коррекцией.

Рассмотрим теперь вероятностную модель прогнозирования. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: показатель инфляции и лаговые значения до 12 месяцев. Получаем зависимость показателя экспорта от лага в 1 и 8 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,836. Это означает, что значения экспорта 1 и 8 месяцев назад определяют сегодняшнюю инфляцию на 83,6%. Таким образом, модель прогнозирования инфляции имеет вид:

= X ХР((Х,-1> Х,-8 ).

хеХ

На рис. 6.3.24 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации полностью совпадают между собой на временном интервале 01.1995 - 04.2000 (так же, как и в случае имитации с трендом).

247

Экспорт

орт ■ ■ ■ "Прогноз без обучения ^^ ^^ Прогноз с обучением (без коррекции тренда) ^^ ■ "Прогноз с обучением (с коррекцией тревда)

Рис. 6.3.23. Прогноз

Таблица 6.3.18

Трендовый прогноз экспорта

Дата Экспорт Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

результат ошибка результат ошибка результат ошибка

май.00 8,32 7,52 9,55 7,52 9,55 7,52 9,55

июн.00 8,58 9,34 8,78 8,33 2,99 8,33 2,97

июл.00 8,61 6,48 24,73 6,48 24,73 6,61 23,19

авг.00 9,13 6,49 28,89 8,62 5,57 8,63 5,53

сен.00 8,98 7,56 15,89 7,56 15,89 8,20 8,72

окт.00 9,04 8,19 9,47 8,19 9,47 6,90 23,72

ноя.00 10,20 6,43 36,94 6,43 36,94 9,01 11,62

дек.00 10,23 8,72 14,74 8,72 14,74 9,21 9,92

янв.01 8,35 8,22 1,56 8,22 1,56 8,19 2,02

фев.01 8,20 7,61 7,22 7,61 7,22 8,43 2,77

мар.01 8,93 9,39 5,22 9,39 5,22 8,93 0,06

апр.01 8,73 9,36 7,16 9,36 7,16 9,41 7,78

май.01 8,77 9,37 6,88 9,37 6,88 8,09 7,70

июн.01 9,33 9,38 0,61 9,38 0,61 9,13 2,04

июл.01 8,29 8,81 6,28 8,81 6,28 8,58 3,59

авг.01 9,18 8,87 3,35 8,99 2,03 8,86 3,41

сен.01 8,48 9,47 11,70 8,31 1,94 8,68 2,36

окт.01 8,23 8,89 8,03 9,20 11,76 8,20 0,42

ноя.01 8,41 8,52 1,30 9,03 7,35 9,28 10,34

дек.01 8,16 9,51 16,56 8,42 3,27 8,44 3,46

Средняя ошибка прогноза 11,24 9,06 7,06

248

Таблица 6.3.19

г С0 С1 г С0 С1 г С0 С1 г С0 С1

77 6,194 0,013 82 6,018 0,019 87 5,851 0,025 92 5,778 0,028

78 6,164 0,014 83 5,982 0,021 88 5,831 0,026 93 5,760 0,028

79 6,130 0,015 84 5,922 0,023 89 5,816 0,026 94 5,758 0,028

80 6,097 0,016 85 5,865 0,025 90 5,803 0,028 95 5,762 0,028

81 6,054 0,018 86 5,855 0,025 91 5,778 0,028 96 5,762 0,028

Экспорт

Рис. 6.3.24. Имитация

Экспорт

/—\ л

г у \ /\ , \ / \ \

N V А 4 ' \ /У

/ \ У< /\ \ А \ / V4 ' \

\

\ \ / \ . 1 \ . \

\ \ / . / V V \ / \

\ /

V

»данные ■ ■ ■ -прогноз без обучения — — прогноз с обучением |

Рис. 6.3.25. Прогноз

10,5

249

Для проверки качества прогнозирования по модели без тренда использованы данные за период 05.2000 - 12.2001. Построены две последовательности одношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р( х\ хи1, х-8), построенное на первоначальных исходных данных) и с обучением (на каждом шаге условное распределение вероятностей р( х\ хи1, х-8) уточняется за счет добавления новой точки). В табл. 6.3.20 и на рис. 6.3.25 приведены результаты одношагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 14,17%, а с обучением 11,22%.

Таблица 6.3.20

Вероятностный прогноз экспорта

Дата Экспорт Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат ошибка

май.00 8,3 9,30 11,85 9,30 11,85

июн.00 8,6 8,90 3,68 8,90 3,68

июл.00 8,6 7,00 18,72 7,00 18,72

авг.00 9,1 7,00 23,35 7,00 23,35

сен.00 9,0 6,00 33,21 6,00 33,21

окт.00 9,0 8,10 10,42 8,10 10,42

ноя.00 10,2 8,10 20,56 9,13 10,43

дек.00 10,2 7,00 31,55 9,04 11,58

янв.01 8,4 8,10 3,04 10,23 22,41

фев.01 8,2 8,10 1,21 9,04 10,28

мар.01 8,9 7,00 21,59 8,20 8,16

апр.01 8,7 8,10 7,24 10,20 16,77

май.01 8,8 8,10 7,60 8,73 0,39

июн.01 9,3 8,10 13,14 8,77 5,99

июл.01 8,3 7,00 15,53 10,20 23,04

авг.01 9,2 7,00 23,71 9,13 0,47

сен.01 8,5 8,10 4,45 9,04 6,67

окт.01 8,2 8,10 1,62 8,20 0,41

ноя.01 8,4 7,00 16,77 8,93 6,15

дек.01 8,2 7,00 14,17 8,20 0,53

Средняя ошибка прогноза 14,17 11,22

250

6.3.3.2. Импорт

В качестве исходных данных для построения модели прогнозирования экспорта используются месячные данные за период 01.1994 - 04.2000. Данные за период 05.2000 - 12.2001 используются для проверки построенных в разделе моделей прогнозирования. График этих данных приведен на рис. 6.3.26.

В соответствии с проведенным ранее исследованием ряда импорта он стационарен относительно линейного тренда на временном интервале 01.1994 - 04.1998. Разобьем весь интервал наблюдений на 2 подинтервала: 01.1994 - 08.1998; 09.1998 - 04.2000. Для каждого из этих интервалов построим детерминированный линейный тренд. Получаем

( Г/ (г) = 4,078 + 0,046/, г _ 1,...,56;

( 1 / ()_ 1,950 + 0,021/, г _ 57,...,76.

Статистические характеристики построенных трендов приведены в табл. 6.3.21.

Импор т

^^^^^Импорт

Рис. 6.3.26. Исходные данные

Таблица 6.3.21

Тренд Я Нормированный Я Б-статистика Значимость Б 1-статистика с0 ^статистика с1

Ш 0,769 0,583 78,133 0,000 24,074 8,839

Ш 0,361 0,082 2,703 0,118 2,323 1,644

251

Рассмотрим временной ряд {у} = {х, - /(,)}. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: {у, у(-1,..., у-12}. Получаем зависимость показателя у1 от лага в 6 и 12 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,803. Это означает, что значения инфляции 6 и 12 месяцев назад определяют сегодняшнюю инфляцию на 80,3%. Таким образом, модель прогнозирования инфляции имеет вид:

~ = Л ( )+ X ур(у|у,у,-5 ).

уеГ

На рис. 6.3.27 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации полностью совпадают между собой (так же как и при имитации экспорта).

Для проверки качества прогнозирования использованы данные за период 05.2000 - 12.2001. Построены три последовательности одношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р(у\ уи1, у-5), построенное на первоначальных исходных данных) и два с обучением (в обоих случаях на каждом шаге условное распределение вероятностей р( у\ уи1, у-5) уточняется за счет добавления новой точки, но в одном используется один и тот же тренд, а во втором тренд корректируется на каждом шаге). В табл. 6.3.21 и на рис. 6.3.28 приведены результаты од-ношагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. При этом для случая прогноза с обучением и коррекцией тренда коэффициенты функции /2 меняются от шага к шагу. Соответствующие коэффициенты приведены в табл. 6.3.22. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 11,28%, а с обучением - 9,79% без коррекции тренда и 13,32% - с коррекцией. В данном случае (в отличие от предыдущих) прогноз с обучением и коррекцией тренда является худшим, а не лучшим. Это обусловлено всплеском объема импорта в августе 2000 г.

252

Импорт

■данные ■ ■ ■ "Имитация

Рис. 6.3.27. Имитация

Импорт

"Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) " ~Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

Рис. 6.3.28. Прогноз

253

Таблица 6.3.22

Трендовый прогноз импорта

Дата Импорт Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

результат ошибка резуль- ошибка тат результат ошибка

Май.00 3,40 3,41 0,21 3,41 0,21 3,41 0,21

Июн.00 3,60 3,37 6,52 3,37 6,52 3,34 7,27

Июл.00 3,60 3,59 0,15 3,59 0,15 3,58 0,63

Авг.00 6,80 3,73 45,13 3,73 45,13 3,72 45,30

Сен.00 3,70 3,73 0,74 3,73 0,74 3,72 0,53

0кт.00 4,10 4,33 5,70 4,33 5,70 4,47 9,08

Ноя.00 4,40 4,84 9,93 4,84 9,93 4,45 1,11

Дек.00 4,90 3,98 18,76 3,98 18,76 3,23 34,15

Янв.01 3,20 3,44 7,64 3,44 7,64 4,38 36,79

Фев.01 3,60 3,08 14,38 3,08 14,38 3,64 1,06

Мар.01 4,20 3,73 11,25 3,73 11,25 4,31 2,58

Апр.01 4,30 4,03 6,30 4,03 6,30 3,86 10,34

Май.01 4,50 3,50 22,13 3,50 22,13 3,72 17,34

Июн.01 4,70 4,11 12,61 4,11 12,61 3,41 27,35

Июл.01 4,30 4,11 4,52 4,11 4,52 4,12 4,11

Авг.01 4,40 4,26 3,14 4,26 3,14 4,99 13,33

Сен.01 4,59 4,13 10,01 4,40 4,11 4,26 7,29

0кт.01 4,16 3,96 4,65 3,96 4,65 5,26 26,61

Ноя.01 4,85 3,98 17,91 4,18 13,92 4,93 1,62

Дек.01 5,07 3,86 23,92 4,87 3,91 6,07 19,67

Средняя ошибка прогноза 11,28 9,79 13,32

Таблица 6.3.23

г С0 С1 г С0 С1 г С0 С1 г С0 С1

77 1,950 0,021 82 0,197 0,048 87 0,616 0,042 92 0,502 0,043

78 2,067 0,019 83 0,212 0,048 88 0,631 0,041 93 0,529 0,043

79 2,018 0,020 84 0,093 0,050 89 0,622 0,042 94 0,509 0,043

80 1,995 0,020 85 -0,221 0,054 90 0,557 0,043 95 0,625 0,042

81 -0,069 0,052 86 0,323 0,046 91 0,449 0,044 96 0,551 0,043

254

Рассмотрим теперь вероятностную модель прогнозирования. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: показатель объема импорта и лаговые значения этого показателя до 12 месяцев, т.е. для системы {х, х{-1,..., х-12}. Получаем зависимость показателя инфляции от лага в 9 и 11 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,867. Это означает, что значения объема импорта 9 и 11 месяцев назад определяют сегодняшний объем импорта на 86,7%. Таким образом, модель без тренда для прогнозирования импорта в данном случае имеет вид:

хр(х|х?_9, х1 _ц

хеХ

На рис. 6.3.29 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации близки между собой. Средняя относительная ошибка (МАРЕ) имитации за период 01.1995 - 04.2000 составляет 0,54%.

Импорт

•Данные ■ ■ ■ "Имитация

Рис. 6.3.29. Имитация

255

Импорт

I Данные----Прогноз без обучения — — Прогноз с обучением

Рис. 6.3.30. Прогноз

Для проверки качества прогнозирования, как и выше, использованы данные за период 05.2000 - 12.2001. Построено две последовательности од-ношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностейр(х\ хи1, хи12), построенное на первоначальных исходных данных) и с обучением (на каждом шаге условное распределение вероятностей р(х\ х{-1, х(_12) уточняется за счет добавления новой точки). В табл. 6.3.24 и на рис. 6.3.30 приведены результаты одно шагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения в этом случае составляет 20,60%, а с обучением 16,09%. Таким образом, в данном случае прогнозные свойства модели оказались крайне плохими.

Таблица 6.3.24

Вероятностный прогноз импорта

Дата Импорт Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат ошибка

май.00 3,4 3,70 8,82 3,70 8,82

июн.00 3,6 3,70 2,78 3,55 1,39

июл.00 3,6 2,95 18,06 2,95 18,06

авг.00 6,8 3,30 51,47 3,60 47,06

сен.00 3,7 5,48 48,11 5,48 48,11

256

Таблица 6.3.24 (продолжение)

Дата Импорт Прогноз без обучения Прогноз с обучением 3,40 17,07

результат ошибка результат ошибка

дек.00 4,9 4,10 16,33 4,10 16,33

янв.01 3,2 3,70 15,63 3,70 15,63

фев.01 3,6 3,70 2,78 3,70 2,78

мар.01 4,2 3,70 11,90 3,20 23,81

апр.01 4,3 3,70 13,95 4,73 10,08

май.01 4,5 6,40 42,22 6,40 42,22

июн.01 4,7 3,70 21,28 4,20 10,64

июл.01 4,3 5,70 32,56 5,70 32,56

авг.01 4,4 4,86 10,45 4,86 10,45

сен.01 4,6 6,00 30,66 6,00 30,66

окт.01 4,2 5,46 31,41 4,40 5,90

ноя.01 4,9 5,46 12,55 5,46 12,55

дек.01 5,1 5,48 8,09 3,70 27,02

Средняя ошибка прогноза 20,60 16,09

6.3.4. Безработица

В качестве исходных данных для построения модели прогнозирования безработицы используются месячные данные за период 01.1994 - 08.2000. Данные за период 09.2000 - 12.2001 используются для проверки построенных в разделе моделей прогнозирования. График этих данных приведен на рис. 6.3.31.

В соответствии с проведенным ранее исследованием ряда безработицы на временном интервале 01.1994 - 04.1998 данный ряд является стационарным относительно линейного тренда. Разобьем весь интервал наблюдений на 2 подинтервала: 01.1994 - 08.1998 и 09.1998 - 08.2000. Для каждого из этих интервалов построим детерминированный линейный тренд. Получаем

( V I -ЛО = 5,051 + 0,064/, г = 1,...,56; ( 1 / ()= 15,749 _ 0,102/, г = 57,...,80.

Статистические характеристики построенных трендов приведены в табл. 6.3.25.

257

07 06 05 04 03 02 01 00

96 95

^^^^^^^Общая численность безработных млнчеловек ■ ■ ■ "Темп роста безработицы

Рис. 6.3.31. Исходные данные

Таблица 6.3.25

Тренд Я Нормированный Я2 Б-статистика Значимость Б ^статистика с0 ^статистика с1

0,989 0,978 2435,141 0,000 119,237 49,347

/2(/) 0,800 0,623 38,987 0,000 13,979 _6,244

Рассмотрим временной ряд {у} = {х,-/(г)}. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: {у15 у^,..., у^}. Получаем зависимость показателяу, от лага в 1 и 12 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,876. Это означает, что значения инфляции 1 и 12 месяцев назад определяют сегодняшнюю инфляцию на 87,6%. Таким образом, модель прогнозирования инфляции имеет вид:

= /2 (/)+ Xур(у\у,_1' Уг_12 ) .

уеГ

На рис. 6.3.32 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из рисунка, графики исходных данных и имитации практически совпадают между собой. Средняя относительная ошибка (МАРЕ) имитации за период 01.1995-08.2000 составляет 0,02%.

Для проверки качества прогнозирования использованы данные за период 09.2000 - 12.2001. Построены три последовательности одношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятнос-

Безработица

•г \ У'* \

-«—-^-/— 1 Л . • » \ 1 * *

^ »» *» \ » :' : ■■ п Г''

/ • V

258

тей р(у\ уи1, уи12), построенное на первоначальных исходных данных) и два с обучением (в обоих случаях на каждом шаге условное распределение вероятностей р(у\ уи1, у-12) уточняется за счет добавления новой точки, но в одном используется один и тот же тренд, а во втором тренд корректируется на каждом шаге). В табл. 6.3.26 и на рис. 6.3.33 приведены результаты од-ношагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. При этом для случая прогноза с обучением и коррекцией тренда коэффициенты функции /2 меняются от шага к шагу. Соответствующие коэффициенты приведены в табл. 6.3.27. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 3,26%, а с обучением 3,67% без коррекции тренда и 4,01% - с коррекцией.

Безработица

|^^^^^^^данные т т т "Имитация |

Рис. 6.3.32. Имитация

Безработица

ш ш ш "Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) ^^ " "Прогноз с обучением (с коррекцией тренда) |

Рис. 6.3.33. Прогноз

259

Рассмотрим теперь построение вероятностной модели прогнозирования. В этом случае исходные данные считаются реализациями некоторой случайной величины. Поскольку в исходных данных явно содержится линейный тренд, то преобразуем их в темповые характеристики, т.е. введем

новый ряд: у* = ——, г = 1,..., т . График соответствующего временного

—-1

ряда также приведен на рис.6.3.31.

Таблица 6.3.26

Трендовый прогноз безработицы

Дата Безработица Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

результат ошибка результат ошибка результат ошибка

сен.00 7,10 7,15 0,68 7,15 0,68 7,15 0,68

окт.00 7,00 7,30 4,27 7,30 4,27 7,24 3,41

ноя.00 7,00 7,20 2,81 6,90 1,46 6,89 1,55

дек.00 7,00 7,09 1,35 6,90 1,46 6,89 1,56

янв.01 7,10 6,99 1,52 6,90 2,85 6,89 2,95

фев.01 7,10 6,78 4,53 6,78 4,53 6,72 5,41

мар.01 6,80 6,96 2,43 6,96 2,43 6,89 1,29

апр.01 6,40 6,81 6,43 6,81 6,43 6,75 5,53

май.01 6,10 6,45 5,77 6,45 5,77 6,33 3,72

июн.01 6,10 6,07 0,43 6,00 1,67 5,98 1,99

июл.01 6,10 6,25 2,42 5,90 3,35 6,14 0,62

авг.01 6,10 6,15 0,75 5,79 5,02 5,76 5,51

сен.01 6,20 6,15 0,88 6,15 0,88 5,91 4,71

окт.01 6,20 5,94 4,21 5,94 4,21 5,82 6,13

ноя.01 6,30 5,97 5,26 5,97 5,26 5,73 9,01

дек.01 6,40 5,86 8,47 5,86 8,47 5,76 10,07

Средняя ошибка прогноза 3,26 3,67 4,01

Таблица 6.3.27

г С0 С1 г С0 С1 г С0 С1 г С0 С1

81 15,749 -0,102 85 16,239 -0,110 89 16,117 -0,108 93 16,392 -0,112

82 15,971 -0,106 86 16,153 -0,108 90 16,267 -0,110 94 16,328 -0,111

83 16,144 -0,108 87 16,037 -0,107 91 16,355 -0,111 95 16,242 -0,110

84 16,226 -0,110 88 16,020 -0,106 92 16,394 -0,112 96 16,113 -0,108

260

Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: показатель темпа роста безработицы и его лаговые значения до 12 месяцев, т.е. для системы {у, уи1,..., у(_12}. Получаем зависимость показателя темпа роста безработицы от лага в 1 и 10 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,906. Это означает, что значения темпов роста безработицы 1 и 10 месяцев назад определяют сегодняшний темп роста на 90,6%. Таким образом, модель прогнозирования безработицы в данном случае имеет вид:

~ = X-1X УР (у\у'-1, У'-10).

уеГ

На рис. 6.3.34 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации и в этом случае почти совпадают. Средняя относительная ошибка (МАРЕ) имитации за период 01.1995 -08.2000 составляет 0,06%.

Безработица

I данные ■ - - -имитация

Рис. 6.3.34. Имитация

261

Безработица

I данные — - -прогноз без обучения — — прогноз с обучением

Рис. 6.3.35. Прогноз

Таблица 6.3.28

Вероятностный прогноз безработицы

Дата Безработица Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат ошибка

сен.00 7,1 7,31 2,99 7,31 2,99

окт.00 7,0 7,20 2,86 7,20 2,86

ноя.00 7,0 7,10 1,41 6,90 1,41

дек.00 7,0 6,97 0,36 6,90 1,41

янв.01 7,1 6,67 5,99 6,67 5,99

фев.01 7,1 7,20 1,41 7,20 1,43

мар.01 6,8 6,77 0,44 7,20 5,90

апр.01 6,4 6,45 0,80 6,45 0,80

май.01 6,1 6,07 0,46 6,07 0,46

июн.01 6,1 5,79 5,13 5,79 5,13

июл.01 6,1 6,08 0,36 6,08 0,36

авг.01 6,1 6,10 0,00 6,10 0,00

сен.01 6,2 6,08 1,97 6,08 1,88

окт.01 6,2 6,40 3,23 6,40 3,23

ноя.01 6,3 6,20 1,59 6,20 1,59

дек.01 6,4 6,50 1,61 6,40 0,03

Средняя ошибка прогноза 1,91 2,22

262

Для проверки качества прогнозирования, как и выше, использованы данные за период 09.2000 - 12.2001. Построено две последовательности од-ношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностейр(у\уи1, у-10), построенное на первоначальных исходных данных) и с обучением (на каждом шаге условное распределение вероятностей Р( У'\ уг-1' уг-10) уточняется за счет добавления новой точки). В табл. 6.3.28 и на рис. 6.3.35 приведены результаты одно шагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 1,91%, а с обучением - 2,22%.

6.3.5. Доходы федерального бюджета

6.3.5.1. Налоговые доходы федерального бюджета

В качестве исходных данных для построения модели прогнозирования налоговых доходов федерального бюджета используются месячные данные за период 01.1992 - 05.2000. Данные за период 06.2000 - 12.2001 используются для проверки построенных в разделе моделей прогнозирования. График этих данных приведен на рис. 6.3.36.

В соответствии с проведенным ранее исследованием ряда налоговых доходов федерального бюджета он является стационарным в разностях на подпериоде 01.1996 - 05.2000. В то же время визуальный анализ графика ряда позволяет предположить наличие излома тренда во второй половине 1998 г. Разобьем весь интервал наблюдений на 2 подинтервала: 01.1992 -08.1998 и 09.1998 - 05.2000. Для каждого из этих интервалов построим детерминированный линейный тренд. Получаем

()_[ -/10 = -2797,443 + 335,083', ' = 1,...,80;

( |/2 ()_ -246389,160 + 3215,930', ' _ 81,...,101.

Статистические характеристики построенных трендов приведены в табл. 6.3.29.

Таблица 6.3.29

Тренд Я Нормированный Я2 Б-статистика Значимость Б ^статистика с0 ^статистика с1

Ш 0,836 0,695 181,141 0,000 -2,410 13,459

/2(') 0,944 0,885 155,253 0,000 -10,467 12,460

263

Налоговые доходы федерального бюджета

I Налоговые доходы - - - -Темпы роста

Рис. 6.3.36. Исходные данные

Рассмотрим временной ряд {у} = {х( — /(()}. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: {у, уи1,..., у-12}. Получаем зависимость показателяу( от лага в 3 и 9 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,902. Это означает, что значения налоговых доходов 3 и 9 месяцев назад определяют сегодняшний объем налоговых доходов федерального бюджета на 90,2%. Таким образом, модель прогнозирования налоговых доходов федерального бюджета имеет вид:

~ = /2()+Хур^У^У>-9) .

уЕГ

На рис. 6.3.37 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации близки между собой. Средняя относительная ошибка (МАРЕ) имитации за период 01.1993-05.2000 составляет 0,60%.

264

Налоговые доходы федерального бюджета

•данные ■ ■ ■ "Имитация

Рис. 6.3.37. Имитация

Налоговые доходы федерального бюджета

орт - - - "Прогаоз без обучения ^^ ^^ Провоз с обучением (без коррекции тренда) ^^ ™ "Провоз с обучением (с коррекцией тренда)

Рис. 6.3.38. Прогноз

Для проверки качества прогнозирования использованы данные за период 06.2000 - 12.2001. Построены три последовательности одношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р(У'\ У'-3, У'-9), построенное на первоначальных исходных данных) и два с обучением (в обоих случаях на каждом шаге условное распределение вероятностей р( У'\ У'-3, У'-9) уточняется за счет добавления новой точки, но в

265

одном используется один и тот же тренд, а во втором тренд корректируется на каждом шаге). В табл. 6.3.30 и на рис. 6.3.38 приведены результаты од-ношагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. При этом для случая прогноза с обучением и коррекцией тренда коэффициенты функции / меняются от шага к шагу. Соответствующие коэффициенты приведены в табл. 6.3.31. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 5,03%, а с обучением - 5,70% без коррекции тренда и 7,59% - с коррекцией.

Таблица 6.3.30

Трендовый прогноз налоговых доходов федерального бюджета

Дата Налоговые доходы федерального бюджета Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

результат ошибка результат ошибка результат ошибка

Июн.00 78032,05 78715,21 0,88 78715,21 0,88 78715,21 0,88

Июл.00 77035,19 78730,34 2,20 78730,34 2,20 78003,91 1,26

Авг.00 80207,21 84756,66 5,67 84756,66 5,67 88946,79 10,90

Сен.00 78308,11 78830,00 0,67 78830,00 0,67 76673,11 2,09

0кт.00 83175,24 88255,55 6,11 88255,55 6,11 89374,90 7,45

Ноя.00 91118,25 93760,65 2,90 93760,65 2,90 115637,57 26,91

Дек.00 112423,64 115075,10 2,36 115075,10 2,36 100166,54 10,90

Янв.01 88911,28 109833,24 23,53 115639,57 30,06 115441,47 29,84

Фев.01 97636,17 109944,84 12,61 94387,76 3,33 90254,42 7,56

Мар.01 110422,92 108626,58 1,63 102718,72 6,98 108484,01 1,76

Апр.01 123290,04 127938,82 3,77 127938,82 3,77 123806,63 0,42

Май.01 123489,51 120405,86 2,50 120405,86 2,50 113735,39 7,90

Июн.01 118092,78 117306,37 0,67 116623,21 1,24 115297,26 2,37

Июл.01 121577,55 121490,30 0,07 115626,35 4,89 118564,95 2,48

Авг.01 123081,87 120537,43 2,07 118842,28 3,44 117572,77 4,48

Сен.01 118676,28 132456,35 11,61 132456,35 11,61 115040,88 3,06

0кт.01 125962,34 126846,71 0,70 130956,50 3,96 127365,83 1,11

Ноя.01 134743,06 130062,64 3,47 130062,64 3,47 130363,23 3,25

Дек.01 175067,74 153666,26 12,22 153666,26 12,22 140685,36 19,64

Средняя ошибка прогноза 5,03 5,70 7,59

266

Таблица 6.3.31

г С0 С1 г С0 С1

102 -246389,160 3215,930 107 -217493,796 2888,962

103 -242643,055 3173,199 108 -217134,418 2884,939

104 -235793,167 3095,359 109 -229050,348 3017,831

105 -230566,490 3036,189 110 -222233,993 2942,093

106 -222443,028 2944,571 111 -220042,628 2917,835

Таблица 6.3.31 (продолжение)

г С0 С1 г С0 С1

112 -223654,253 2957,669 117 -238159,189 3116,752

113 -231764,318 3046,790 188 -235064,999 3083,362

114 -237120,517 3105,435 119 -234007,240 3071,988

115 -237672,240 3111,454 120 -235150,126 3084,233

116 -238299,867 3118,276

Рассмотрим теперь вероятностную модель прогнозирования. Поскольку в исходных данных явно содержится тренд, то преобразуем их в темповые характеристики, т.е. введем новый ряд: У =-* г = т . График

хг-1

соответствующего временного ряда также приведен на рис. 6.3.36.

Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: показатель темпа роста налоговых доходов федерального бюджета и его лаговые значения до 12 месяцев, т.е. для системы

(У,

Уг-1' — > уг-12Получаем зависимость показателя темпа роста налоговых доходов бюджета от лага в 4 и 11 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,914. Это означает, что значения темпов роста налоговых доходов 4 и 11 месяцев назад определяют сегодняшний темп роста на 91,4%. Таким образом, модель прогнозирования безработицы в данном случае имеет вид:

~ = X-1X УР (у\У>-4, У-11).

уеГ

На рис. 6.3.39 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели за период 01.1993 - 05.2000. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации в этом случае совпадают.

267

Налоговые доходы федерального бюджета

90000 85000

55000 50000

15000 10000 5000 0

ЙМММММММУЙМ^

["• Данные ■ ■ ■ -Имитация |

Рис. 6.3.39. Имитация

янв апр

янв апр

янв апр

Налоговые доходы федерального бюджета

175000 165000 155000 145000 135000 125000 115000 105000 95000 85000 75000 65000 55000 45000 35000 25000

— Данные ■ ■ ■ -Прогноз без обучения ■

80000

75000

70000

65000

60000

45000

40000

35000

30000

25000

20000

Прогноз с обуч

268

Рис. 6.3.40. Прогноз

Для проверки качества прогнозирования, как и выше, использованы данные за период 06.2000 - 12.2001. Построено две последовательности од-ношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностейр(у\ у(-4, у(-11), построенное на первоначальных исходных данных) и с обучением (на каждом шаге условное распределение вероятностей Р(У\ Уы, Уг-п) уточняется за счет добавления новой точки). В табл. 6.3.32 и на рис. 6.3.40 приведены результаты одно шагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 26,35%, а с обучением - 24,56%.

Таблица 6.3.32

Вероятностный прогноз налоговых доходов федерального бюджета

Дата Налоговые доходы федерального бюджета Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат ошибка

июн.00 78032,0 91210,0 16,89 91210,0 16,89

июл.00 77035,2 49169,8 36,17 49169,8 36,17

авг.00 80207,2 52731,8 34,26 76051,1 5,18

сен.00 78308,1 27936,7 64,32 27936,7 64,32

окт.00 83175,2 175701,8 111,24 175701,8 111,24

ноя.00 91118,3 78696,6 13,63 78696,6 13,63

дек.00 112423,6 141675,5 26,02 141675,5 26,02

янв.01 88911,3 111704,7 25,64 111704,7 25,64

фев.01 97636,2 116215,3 19,03 116215,3 19,03

мар.01 110422,9 101048,7 8,49 107217,2 2,90

апр.01 123290,0 139901,5 13,47 139901,5 13,47

май.01 123489,5 113849,5 7,81 113849,5 7,81

июн.01 118092,8 90623,8 23,26 90623,8 23,26

июл.01 121577,6 122220,3 0,53 122220,3 0,53

авг.01 123081,9 83221,7 32,39 83221,7 32,39

сен.01 118676,3 155141,6 30,73 155141,6 30,73

окт.01 125962,3 150399,6 19,40 150399,6 19,40

ноя.01 134743,1 153207,6 13,70 153207,6 13,70

дек.01 175067,7 168575,2 3,71 167412,1 4,37

Средняя ошибка прогноза 26,35 24,56

269

6.3.5.2. Доходы федерального бюджета

В качестве исходных данных для построения модели прогнозирования общих доходов федерального бюджета используются месячные данные за период 01.1992 - 05.2000. Данные за период 06.2000 - 12.2001 используются для проверки построенных в разделе моделей прогнозирования. График этих данных приведен на рис. 6.3.41.

Доходы федерального бюджета

200000,00 190000,00

Доходы федерального бюджета - - - -Темпы роста I

Рис. 6.3.41. Исходные данные

В соответствии с проведенным ранее исследованием ряда доходов федерального бюджета на подпериоде 01.1996 - 05.2000 он является ББ-ря-дом. В то же время визуальный анализ графика ряда позволяет предположить наличие излома тренда во второй половине 1998 г. Разобьем весь интервал наблюдений на 2 подинтервала: 01.1992 - 08.1998 и 09.1998 -05.2000. Для каждого из этих интервалов построим детерминированный линейный тренд. Получаем

„Г /;(/) = -3854,891 + 436,823/, / = 1,...,80;

( 1/ (()= -246389,160 + 3215,930/, / = 81,...,101.

Статистические характеристики построенных трендов приведены в табл. 6.3.33.

270

Таблица 6.3.33

Тренд Я Нормированный Я2 Б-статистика Значимость Б ^статистика с0 ^статистика с1

ш 0,818 0,665 157,917 0,000 -2,379 12,567

/2« 0,906 0,810 86,526 0,000 —7,710 9,302

Рассмотрим временной ряд {у} = {х,- /(,)}. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: {у, уг-ь---> уг-12}- Получаем Зависимость показателяу, от лага в 1 и 7 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,711. Это означает, что значения доходов федерального бюджета 1 и 7 месяцев назад определяют сегодняшний объем налоговых доходов федерального бюджета на 71,1%. Таким образом, модель прогнозирования инфляции имеет вид:

= /2( )+Х УР(У\У1—1' У,-7 ).

уеГ

На рис. 6.3.42 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации не так близки между собой, как во всех предыдущих случаях. Средняя относительная ошибка (МАРЕ) имитации за период 01.1993-05.2000 составляет 6,23%.

Доходы федерального бюджета

•данные ■ ■ ■ "Имитация

Рис. 6.3.42. Имитация

271

Для проверки качества прогнозирования использованы данные за период 06.2000 - 12.2001. Построены три последовательности одношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р(у/\ у/-1, у/-7), построенное на первоначальных исходных данных) и два с обучением (в обоих случаях на каждом шаге условное распределение вероятностей р( у/\ у/-р у/-7) уточняется за счет добавления новой точки, но в одном используется один и тот же тренд, а во втором тренд корректируется на каждом шаге). В табл. 6.3.34 и на рис. 6.3.43 приведены результаты од-ношагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. При этом для случая прогноза с обучением и коррекцией тренда коэффициенты функции /2 меняются от шага к шагу. Соответствующие коэффициенты приведены в табл. 6.3.35. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 10,27%, а с обучением - 9,16% без коррекции тренда и 9,90% - с коррекцией.

Доходы федерального бюджета

^^^ Экспорт ш ш м ш Прогноз без обучения ^^ ^^ Прогноз с обучением (без коррекции тренда) ^^ ш " Прогноз с обучением (с коррекцией тренда) |

Рис. 6.3.43. Прогноз

Таблица 6.3.34 Трендовый прогноз доходов федерального бюджета

Дата Доходы федерального бюджета Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

результат ошибка результат ошибка результат ошибка

Июн.00 92225 78775,1 14,58 78775,1 14,58 78775,1 14,58

Июл.00 88387 88813,3 0,48 88813,3 0,48 89392,9 1,14

272

Таблица 6.3.34 (продолжение)

Дата Доходы федерального бюджета Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

результат ошибка результат ошибка результат ошибка

Авг.00 96925 97386,9 0,48 97386,9 0,48 97398,4 0,49

Сен.00 90147 106084,9 17,68 106084,9 17,68 106249,5 17,86

0кт.00 97210 95566,6 1,69 95566,6 1,69 95187,1 2,08

Ноя.00 110286 99903,3 9,41 99982,3 9,34 99918,3 9,40

Дек.00 136894 102675,7 25,00 102249,8 25,31 102287,5 25,28

Янв.01 94602 98182,4 3,78 98182,4 3,78 100417,3 6,15

Фев.01 105459 106656,6 1,14 106656,6 1,14 107051,1 1,51

Мар.01 117906 109429,0 7,19 111072,2 5,80 110978,2 5,88

Апр.01 133929 125492,2 6,30 109554,1 18,20 109589,9 18,17

Май.01 133450 109272,3 18,12 122722,0 8,04 123747,8 7,27

Июн.01 125606 112044,8 10,80 125494,5 0,09 127325,4 1,37

Июл.01 135925 122083,1 10,18 121657,1 10,50 123434,2 9,19

Авг.01 132578 143037,2 7,89 143037,2 7,89 139471,9 5,20

Сен.01 128974 145809,7 13,05 147791,0 14,59 148685,3 15,28

0кт.01 142335 128836,4 9,48 137313,5 3,53 138332,0 2,81

Ноя.01 142814 133173,0 6,75 167391,0 17,21 169191,3 18,47

Дек.01 197117 135945,4 31,03 170163,5 13,67 145755,5 26,06

Средняя ошибка прогноза 10,27 9,16 9,90

Таблица 6.3.35

г С0 С1 г С0 С1

102 -270413,670 3577,432 107 -241473,723 3250,102

103 -268064,691 3550,638 108 -244309,058 3281,840

104 -259203,816 3449,946 109 -262041,907 3479,605

105 -256849,456 3423,293 110 -247993,809 3323,515

106 -246659,941 3308,374 111 -240922,558 3245,235

г С0 С1 г О> С1

112 -240159,029 3236,814 117 -245650,493 3297,443

113 -246138,409 3302,521 188 -241230,811 3249,749

114 -249266,028 3336,765 119 -241266,754 3250,135

115 -246715,101 3308,937 120 -240302,609 3239,805

116 -247640,641 3318,997

273

Рассмотрим теперь вероятностную модель прогнозирования. Поскольку в исходных данных явно содержится тренд, то преобразуем их в темпо-

вые характеристики, т.е. введем новый ряд: Уt

, t = 1,

График соответствующего временного ряда также приведен на рис. 6.3.41. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 13 переменных: показатель темпа роста доходов федерального бюджета и его лаговые значения до 12 месяцев, т.е. для системы {у, уи1,..., уи12}. Получаем зависимость показателя темпа роста доходов бюджета от лага в 5 и 8 месяцев с коэффициентом информативности, равным 0,873. Это означает, что значения темпов роста доходов бюджета 5 и 8 месяцев назад определяют сегодняшний темп роста на 87,3%. Таким образом, модель прогнозирования безработицы в данном случае имеет вид:

~ = X-1X ур(у\у>—5, У— ).

уеГ

На рис. 6.3.44 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели за период 01.1993 - 05.2000. Как видно из приведенного рисунка, графики исходных данных и имитации в этом случае достаточно близки. Средняя относительная ошибка (МАРЕ) имитации за анализируемый период составляет 1,15%.

Доходы федерального бюджета

105000 100000 95000 90000 85000 80000 75000 70000 65000 60000 55000 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0

-,-^^ ,7 :

г

-лЛ , А ) гл\\) ¥-

Рис. 6.3.44. Имитация

X

7

X

t—1

Д

274

Для проверки качества прогнозирования, как и выше, использованы данные за период 06.2000 - 12.2001. Построено два одношаговых прогноза: без обучения (используется условное распределение вероятностей р( уг\ у-5, уг8), построенное на первоначальных исходных данных) и с обучением (на каждом шаге условное распределение вероятностей р(уг\ уг-5, уг-8) уточняется за счет добавления новой точки). В табл. 6.3.36 и на рис. 6.3.45 приведены результаты одношагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 27,97%, а с обучением 27,32%.

Доходы федерального бюджета

I Данные - - - -Прогноз без обучения — — Прогноз с обучением

Рис. 6.3.45. Прогноз

Таблица 6.3.36

Вероятностный прогноз налоговых доходов федерального бюджета

Дата Доходы федерального бюджета Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат ошибка

июн.00 92224,8 118875,39 28,90 118875,39 28,90

июл.00 88387,4 119659,80 35,38 119659,80 35,38

авг.00 96925,3 71616,34 26,11 71616,34 26,11

сен.00 90146,7 89927,48 0,24 89927,48 0,24

окт.00 97209,8 102599,57 5,54 86395,79 11,12

275

Таблица 6.3.36 (продолжение)

Дата Доходы федерального бюджета Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат Ошибка

ноя.00 110286,2 70618,59 35,97 70618,59 35,97

дек.00 136893,8 260729,22 90,46 260729,22 90,46

янв.01 94601,9 155804,27 64,69 147619,60 56,04

фев.01 105459,5 91764,47 12,99 91764,47 12,99

мар.01 117906,2 225713,88 91,44 225713,88 91,44

апр.01 133928,6 134193,75 0,20 81480,37 39,16

май.01 133450,1 164458,54 23,24 164458,54 23,24

июн.01 125605,9 173707,92 38,30 121314,88 3,42

июл.01 135925,3 142957,11 5,17 135447,32 0,35

авг.01 132578,1 176360,36 33,02 130269,56 1,74

сен.01 128974,0 123006,21 4,63 123306,09 4,39

окт.01 142335,0 135366,58 4,90 160090,10 12,47

ноя.01 142813,5 149389,85 4,60 176674,60 23,71

дек.01 197117,4 146438,65 25,71 154003,14 21,87

Средняя ошибка прогноза 27,97 27,32

6.3.6. Валовой внутренний продукт

В качестве исходных данных для построения модели прогнозирования валового внутреннего продукта используются квартальные данные за период 1/1994 - 11/2000. Данные за период Ш/2000 - 1У/2001 используются для проверки построенных в разделе моделей прогнозирования. График этих данных приведен на рис. 6.3.46.

В соответствии с проведенным ранее исследованием ряда ВВП на временном интервале 1/1994 - 11/2000 нельзя сделать вывод о его принадлежности к ББ- или ТБ-рядам. В то же время визуальный анализ графика ряда позволяет выдвинуть гипотезу о наличии излома тренда начиная с IV квартала 1998 г. Разобьем весь интервал наблюдений на 2 подинтервала: 1/1994 -111/1998 и ^/1998 - 11/2000. Для каждого из этих интервалов построим детерминированный линейный тренд. Получаем

Г /(/) = 128,737 + 32,978/, г = 1,...,19;

1/2 ()=-1953,286 +139,000/, г = 20,...,25.

276

ВВП

Рис. 6.3.46. Исходные данные

Статистические характеристики построенных трендов приведены в табл. 6.3.37.

Таблица 6.3.37

Тренд я Нормированн ый Я2 Б-статистика Значимость Б ^статистика с0 ^статистика с1

т 0,940 0,876 128,311 0,0000 3,904 11,327

т 0,974 0,939 93,501 0,0002 _5,886 9,670

Рассмотрим временной ряд {у} = {х, -/( ,)}. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 5 переменных: {у, у{-1,..., у-4}. Получаем зависимость показателя у, от лага в 2 и 4 квартала с коэффициентом информативности, равным 0,900. Это означает, что значения ВВП 2 и 4 квартала назад определяют сегодняшний ВВП на 90,0%. Таким образом, модель прогнозирования ВВП имеет вид:

~ = /2 ()+ X ур(уу—2 , у,—4 ) .

уеГ

На рис. 6.3.47 приведены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели. Как видно из рисунка, графики исход-

277

ных данных и имитации за период 1/1995 - 11/2000 полностью совпадают между собой.

ВВП

•Данные ■ ■ ■ "Имитация

Рис. 6.3.47. Имитация

Для проверки качества прогнозирования использованы данные за период 111/2000 - ^/2001. Построены три последовательности одно шаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р(уг\ уг-2, уг-4), построенное на первоначальных исходных данных) и два с обучением (в обоих случаях на каждом шаге условное распределение вероятностей р( уг\ уг-2, уг-4) уточняется за счет добавления новой точки, но в одном используется один и тот же тренд, а во втором тренд корректируется на каждом шаге). В табл. 6.3.38 и на рис. 6.3.48 приведены результаты од-ношагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. При этом для случая прогноза с обучением и коррекцией тренда коэффициенты функции /2 меняются от шага к шагу. Соответствующие коэффициенты приведены в табл. 6.3.39. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 5,93%, а с обучением - 4,47% без коррекции тренда и 4,63% - с коррекцией.

278

ВВП

э £ £ £ э

■Данные ■ ■ ■ ■ Прогноз без обучения ^^ Прогноз с обучением (без коррекции тренда) ^^ ■ "Прогноз с обучением (с коррекцией тревда)

Рис. 6.3.48. Прогноз

Таблица 6.3.38

Трендовый прогноз ВВП

Дата ВВП Прогноз без обучения Прогноз с обучением (без коррекции тренда) Прогноз с обучением (с коррекцией тренда)

результат ошибка результат ошибка результат ошибка

III кв 00 2004 1858,5 7,26 1858,5 7,26 1858,5 7,26

IV кв 00 1956 1980,0 1,23 1980,0 1,23 2094,2 7,06

I кв 01 1886 2017,0 6,95 2017,0 6,95 2062,5 9,36

II кв 01 2116 2316,9 9,49 2316,9 9,49 2183,9 3,21

III кв 01 2543 2303,5 9,42 2560,0 0,67 2530,5 0,49

IV кв 01 2545 2514,0 1,22 2514,0 1,22 2535,4 0,38

Средняя ошибка прогноза 5,93 4,47 4,63

Таблица 6.3.39

С0 С1 С0 С1 С0 С1

27 -1953,286 139,000 29 -2201,467 150,367 31 -1775,636 131,636

28 -2327,810 156,024 30 -1863,733 135,467 32 -1989,145 140,787

279

Рассмотрим теперь построение вероятностной модели прогнозирования. В этом случае исходные данные считаются реализациями некоторой случайной величины. Поскольку в исходных данных явно содержится тренд, то преобразуем их в темповые характеристики, т.е. введем новый

ряд: у< = , , = Т .

График соответствующего временного ряда также приведен на рис. 6.3.46. Построим информативную структуру 3-го порядка для системы, содержащей 5 переменных: показатель темпа роста ВВП и его лаговые значения до 4 кварталов, т.е. для системы {у, уи1,..., у-4}. Получаем зависимость показателя темпа роста доходов бюджета от лага в 3 и 4 квартала с коэффициентом информативности, равным 0,850. Это означает, что значения темпов роста ВВП 3 и 4 квартала назад определяют сегодняшний темп роста на 85,0%. Таким образом, модель прогнозирования безработицы в данном случае имеет вид:

~ = ^-1X ур(уу ^ У, - 4).

уеГ

На рис. 6.3.49 представлены результаты имитации (ретропрогноз) исходных данных по приведенной модели за период 11/1995 - 11/2000. Как видно из рисунка, графики исходных данных и имитации в этом случае полностью совпадают.

ВВП

ЭийиЭиЭиЭиЭиЭиЭиЭиЭиЭ н0Е!~н0Е,~н0Е,~н0Е,~н0Е,~н

I Данные - - - -Имитация I

Рис. 6.3.49. Имитация

280

Для проверки качества прогнозирования, как и выше, использованы данные за период 111/2000 - 1У/2001. Построено две последовательности од-ношаговых прогнозов: без обучения (используется условное распределение вероятностей р( х,\ хи3, г-4), построенное на первоначальных исходных данных) и с обучением (на каждом шаге условное распределение вероятностей Р(У\ У-5, У-8) уточняется за счет добавления новой точки). В табл. 6.3.40 и на рис. 6.3.50 приведены результаты одно шагового прогнозирования (без обучения и с обучением) по приведенной модели. Средняя ошибка прогноза (МАРЕ) без обучения составляет 15,06%, а с обучением - 11,98%.

ВВП

о о о о о о

а а а а а а

в Й " н в Й

I Данные - - - -Прогноз без обучения — — Прогноз с обучением

Рис. 6.3.50. Прогноз

Таблица 6.3.40

Вероятностный прогноз ВВП

Дата ВВП Прогноз без обучения Прогноз с обучением

результат ошибка результат ошибка

III кв. 00 2004 1721,8 14,08 1721,8 14,08

IV кв. 00 1956 2290,8 17,11 2290,8 17,11

I кв. 01 1886 2191,8 16,22 2191,8 16,22

II кв. 01 2116 2311,5 9,24 2311,5 9,24

III кв. 01 2543 2218,8 12,75 2218,8 12,75

IV кв. 01 2545 3077,8 20,93 2482,1 2,47

Средняя ошибка прогноза 15,06 11,98

281

Проведем краткий анализ полученных результатов. Практически все построенные модели хорошо описывают динамику изменения исходных данных (см. табл. 6.3.41). Исключение составляет лишь трендовая модель доходов федерального бюджета, для которой средняя ошибка (МАРЕ) имитации составляет 6,23%. В то же время для денежных агрегатов МО и М1, динамики экспорта и ВВП обе модели дали полное совпадение имитации с исходными данными; для динамики импорта полностью совпала с исходными данными имитация по трендовой модели, а для динамики ВВП - по вероятностной модели.

Таблица 6.3.41

Средние ошибки имитации (в %)

Показатель Трендовая модель Вероятностная модель

Инфляция 0,40 0,94

М0 0,00 0,00

М1 0,00 0,00

М2 0,51 0,11

Экспорт 0,00 0,00

Импорт 0,00 0,54

Безработица 0,02 0,06

Налоговые доходы федерального бюджета 0,60 0,00

Доходы федерального бюджета 6,23 1,15

ВВП 0,00 0,00

Рассмотрим так называемую «наивную модель», отвечающую случайному блужданию, т.е. ситуации, когда будущее значение временного ряда является значением некоторой случайной величины, симметрично распределенной вокруг текущего значения. В этом случае наилучшим прогнозом будущего значения является текущее значение.

В табл. 6.3.42 приведены средняя ошибка (МАРЕ) имитации по такой «наивной модели» и величина относительной дисперсии по каждому из рассматриваемых рядов. Как правило, ошибка имитации по «наивной модели» тем лучше, чем меньше разброс исходных данных. Из общего правила резко выпадают результаты, относящиеся к рядам «Инфляция» и «ВВП». Что касается ряда «ВВП», то это скорее всего результат малой длины ряда: для имитации используется всего 22 точки. Для ряда «Инфляция» два значения в самом начале имитируемых данных (январь и февраль 1992 г.) резко выпадают из общей динамики. Если убрать эти две точки, то величина относительной дисперсии ряда разностей составляет 0,27%.

282

Таблица 6.3.42

«Наивная модель». Средние ошибки имитации и дисперсии ряда разностей (в %)

Показатель Период имитации Ошибки Дисперсии

Инфляция 01.1992 ^08.2000 4,28 7,92

М0 01.1992 07.2000 9,61 0,88

М1 03.1996 07.2000 4,45 0,27

М2 01.1992 07.2000 7,63 0,28

Экспорт 01.1995 04.2000 9,95 1,90

Импорт 01.1995 04.2000 10,75 2,34

Безработица 01.1995 08.2000 1,90 0,07

Налоговые доходы федерального бюджета 01.1993 ^05.2000 22,95 13,37

Доходы федерального бюджета 01.1993 ^05.2000 28,29 19,20

ВВП 1.1995 Л1.2000 13,46 1,22

Как видно из сравнения табл. 6.3.41 и 6.3.42, во всех случаях имитация рассматриваемых процессов с помощью трендовых и вероятностных моделей, использующих лаговую структуру, дает существенное улучшение точности получаемого результата. В том числе и для самого плохого случая: трендовая модель доходов федерального бюджета имитирует реальный процесс в 4,5 раза точнее, чем «наивная модель».

Все это свидетельствует о том, что построенные модели достаточно хорошо отражают внутренние закономерности изменения исследуемых рядов на анализируемых периодах времени (периодах имитации). Однако прогностические способности построенных моделей не слишком удовлетворительны. В табл. 6.3.43 приведены абсолютные процентные ошибки (максимальные и средние) прогнозов по трендовым (без обучения, с обучением без коррекции тренда и с коррекцией тренда) и вероятностным (без обучения и с обучением) моделям по всем анализируемым временным рядам.

Результаты, приведенные в табл. 6.3.43, свидетельствуют о том, что не имеется надежных априорных оснований для выбора модели прогнозирования. Для ряда налоговых доходов федерального бюджета лучший результат (средняя ошибка прогноза 5,0%) получен по трендовой модели без обучения. Для рядов импорта, доходов федерального бюджета и ВВП лучший результат (средняя ошибка прогноза 9,8%, 9,2%, 4,5%, соответственно) получен по трендовой модели с обучением без коррекции тренда. Для рядов М2 и экспорта лучший прогноз (средняя ошибка 1,8% и 7,1%) получен по трен-

283

довой модели с обучением и коррекцией тренда. Для рядов МО и безработицы лучший результат (средняя ошибка прогноза 4,1%, 1,9%) получен по вероятностной модели без обучения. Наконец, для рядов инфляции и М1 лучший прогноз (средняя ошибка 0,4%, 4,8%) получен по вероятностной модели с обучением. В табл. 6.3.44 приведены сравнительные данные о средней ошибке прогноза (МАРЕ) по лучшей из пяти рассмотренных моделей и «наивного прогноза».

Таблица 6.3.43

Максимальные и средние ошибки различных методов прогнозирования

Показатель Трендовый прогноз Вероятностный прогноз

без обучения с обучением без обучения с обучением

без кс ции т ррек-ренда с коррекцией тренда

макс. сред. макс. сред. макс. сред. макс. сред. макс. сред.

Инфляция 18,39 6,21 2,71 1,00 1,95 0,76 1,49 0,45 1,41 0,41

М0 33,45 23,99 18,86 4,18 25,82 5,14 12,63 4,12 12,63 4,19

М1 21,88 15,96 14,48 5,46 14,45 7,75 21,19 5,22 21,19 4,75

М2 12,38 6,20 8,64 2,47 8,28 1,84 21,57 4,96 21,57 4,96

Экспорт 36,94 11,24 36,94 9,06 23,72 7,06 33,21 14,17 33,21 11,22

Импорт 45,13 11,28 45,13 9,79 45,30 13,32 51,47 20,60 48,11 16,09

Безработица 8,47 3,26 8,47 3,67 10,07 4,01 5,99 1,91 5,99 2,22

Налоговые доходы федерального бюджета 23,53 5,03 30,06 5,70 29,84 7,59 111,2 4 26,35 111,2 4 24,56

Доходы федерального бюджета 31,03 10,27 25,31 9,16 26,06 9,90 91,44 27,97 91,44 27,32

ВВП 9,49 5,93 9,49 4,47 9,36 4,63 20,93 15,06 17,11 11,98

Таблица 6.3.44

Средние ошибки прогноза

Показатель «Наивный прогноз» Прогноз по лучшей

Инфляция 0,46 0,41

М0 4,34 4,12

М1 4,05 4,75

М2 3,53 1,84

284

Таблица 6.3.44 (продолжение)

Показатель «Наивный прогноз» Прогноз по лучшей

Экспорт 5,15 7,06

Импорт 14,70 9,79

Безработица 1,40 1,91

Налоговые доходы федерального бюджета 8,90 5,03

Доходы федерального бюджета 11,13 9,16

ВВП 10,08 4,47

Данные табл. 6.3.44 свидетельствуют о невысоком качестве прогнозирования по построенным моделям. Даже при наиболее качественном прогнозе по ряду инфляции качество прогноза по вероятностной модели с обучением (средняя ошибка 0,41%) незначительно превосходит качество «наивного прогноза» (средняя ошибка 0,46%). Лишь в четырех случаях (для рядов М2, импорта, налоговых доходов федерального бюджета и ВВП) качество прогноза по лучшей модели заметно превосходит качество «наивного прогноза». При этом в трех случаях (для рядов М1 , экспорта и безработицы) «наивный прогноз» дает лучший результат чем лучшая из построенных моделей.

Представляются целесообразными два пути совершенствования построенных в данной работе моделей.

Первый путь наиболее простой. По мере накопления информации можно перейти к построению информативных структур более высоких порядков. В этом случае можно получить зависимость исследуемого показателя не от двух, а от трех (для информативных структур четвертого порядка), четырех (для информативных структур пятого порядка) и более лагов. При этом, естественно, точность модели возрастает, но снижается ее надеж-ность13.

Второй путь заключается в переходе к рассмотрению взаимосвязанных временных рядов и их моделированию векторными случайными процессами. В этом случае получается зависимость исследуемого показателя не только от его лаговых значений, но и от связанных с ним показателей и их запаздывающих значений.

13 См.: Юдин А.Д. Сложность статистических систем // Доклады АН СССР, 1982. Т. 266. № 5.

285

Заключение.

Некоторые выводы

из полученных результатов

Для сравнения результатов прогнозирования при помощи эконометри-ческих моделей сравним полученные результаты. Приведенная ниже таблица показывает ранжирование различных моделей прогнозирования, использовавшихся в главах 2 - 4. В каждой строке ранг 1 соответствует модели с наименьшим значением MAPE (вычисленным, соответственно, по 7, 8 или 16 точкам), а ранг 8 - модели с наибольшим значением MAPE (MAPE -средняя абсолютная процентная ошибка последовательности одношаговых прогнозов). Таким образом, прогнозы по модели, имеющей ранг 1, наилучшие (с точки зрения MAPE), а прогнозы по модели, имеющей ранг 8, наихудшие в соответствующей строке.

Для краткости в таблице обозначено:

• Fix - прогнозирование по фиксированной модели;

• Rec - прогнозирование по рекурсивной модели;

• Track - коррекция прогнозов методом «back-on-track»;

• Ave - коррекция прогнозов методом «back-on-ave».

Кол- DS-модели TS-модели

Ряд/Тип во точе к Fix Track Ave Rec Fix Track Ave Rec

M1/DS 7 2 8 3 4 6 7 1 5

Аддит. 16 2 4 1 3 8 5 7 6

M1/DS 7 1 3 2 4

Иннов. 16 1 2 4 3

M0/DS 7 4 1 3 2

Аддит. 16 5 6 4 1 8 3 7 2

M0/DS 7 1-2 3 4 1-2

Иннов. 16 3 1 4 2

M2/DS 7 2 3 1 4

Аддит. 16 2 8 6 1 4 7 5 3

M2/DS 7 1 3 4 2

Иннов. 16 2 1 3 4

Эксп/TS 8 2 1 4 3

16 2 8 5 1 6 7 4 3

Налдох/DS 7 3 1 4 2

Аддит. 16 7 4 2 5 8 3 1 6

Налдох/DS 7 1 2 4 3

Иннов. 16 3 2 4 1

Безраб/TS 7 3 5-6 7-8 4 1 5-6 7-8 2

Пром/DS 7 5 8 6-7 3-4 2 6-7 1 3-4

Цвет/DS (ск) 7 2 1 4 6 7 3 5 8

Цвет/TS (н/c) 7 2 8 7 3 4 6 1 5

287

В следующей таблице указано поведение ошибок последовательных прогнозов по оцененным фиксированным моделям (наличие или отсутствие выфаженного систематического смещения прогнозов):

Ряд/Тип Кол-во Наличие смещения

точек ЭЭ-модели ТЭ-модели

М1/БЭ 7 - +

Аддит. 16 - +

М1/БЭ 7 - +

Иннов. 16 - +

МО/ЭЭ 7 - +

Аддит. 16 + +

МО/ЭЭ 7 - -

Иннов. 16 + +

М2/Б8 7 - -

Аддит. 16 - -

М2/ЭЭ 7 - -

Иннов. 16 - -

Эксп/ТЭ 8 - +

16 - +

Налдох/ЭЭ 7 + +

Аддит. 16 + +

Налдох/ЭЭ 7 - +

Иннов. 16 - +

Безраб/ТЭ 7 - -

Пром/ЭЭ 7 - +

Цвет/ЭЭ (ск) 7 - +

Цвет/ТЭ (н/с) 7 ? ?

По данным двух последних таблиц можно составить таблицы предпочтений в парах использованных прогностических моделей при наличии и при отсутствии (выраженного) систематического смещения прогнозов.

Если выраженное систематическое смещение прогнозов есть, то имеем следующую картину предпочтений:

Фиксир. Рекурс. Васк-оп-№аск Васк-оп-ауе

Фиксир. Рекурс. ? Васк-оп-ауе

Рекурс. Рекурс. ? ?

Васк-оп4гаск ? ? ?

Васк-оп-ауе Васк-оп-ауе ? ?

Если выраженного систематического смещения прогнозов нет, то картина предпочтений такова:

288

Фиксир. Рекурс. Васк-оп-№аск Васк-оп-ауе

Фиксир. ? Фиксир. Фиксир.

Рекурс. ? Рекурс. ?

Васк-оп4гаск Фиксир. Рекурс. ?

Васк-оп-ауе Фиксир. ? ?

В обеих таблицах знаки вопроса (?) означают отсутствие более или менее определенных указаний на предпочтительность выбора одной из двух соответствующих моделей.

На основании первой из приведенных четырех таблиц можно также сделать заключение о том, что с точки зрения МАРЕ при выборе (для целей прогнозирования) между фиксированными 75- и .ОБ-моделями последние (05-модели) выглядят предпочтительнее как в тех случаях, когда прогнозируемый ряд классифицирован как Б5-ряд (15 из 18 рассмотренных случаев), так и в тех случаях, когда прогнозируемый ряд классифицирован как ТБ ряд (3 из 4 случаев). Это подтверждает уже приводившееся в главе 1 замечание о том, что Б5-процесс способен быстрее адаптироваться к изменениям структурного параметра, по крайней мере на одношаговых прогнозах.

На основании проведенного анализа макроэкономических рядов РФ можно сделать следующие выводы.

• Результаты прогнозирования с использованием одномерных эконометрических моделей временных рядов существенным образом зависят как от выбора модели, по которой производится прогнозирование (фиксированная или рекурсивная модель, модель в уровнях - Т5-модель или модель в разностях -Б5-модель), так и от поведения самого ряда за пределами интервала, на котором эта модель оценивалась. При этом качество прогнозов изменяется в весьма широких пределах.

Если точность последовательности одношаговых прогнозов определять величиной средней абсолютной процентной ошибки (МАРЕ), то по этой характеристике лучшие результаты достигаются при прогнозировании рядов, представляющих денежный агрегат М1 и нескорректированный на сезонность индекс интенсивности производства цветных металлов (МАРЕ порядка 2% - 3%), а также сезонно скорректированные ряды, представляющие индекс производства цветных металлов (МАРЕ порядка 0,06% - 0,1%) и индекс интенсивности промышленного производства в целом (МАРЕ порядка 0,1%). (Заметим, однако, что результаты, полученные для двух пос-

289

ледних рядов, не являются удивительными: при построении сезонно скорректированного варианта ряда учитываются его действительные «будущие» значения, так что имитация прогнозирования в текущем времени для таких реализаций не имеет особого смысла.)

В то же время при построении 16 последовательных одно-шаговых прогнозов для ряда, представлющего объемы экспорта, даже в наилучшем варианте значение МАРЕ оказывается равным 7%.

Более того, в последнем случае наилучшие результаты дает использование «наивных» прогнозов, соответствующих использованию модели простого случайного блуждания (без сноса), т.е. прогнозирующих последующее значение ряда как равное текущему значению ряда. При использовании таких прогнозов значение МАРЕ удается снизить до 5%. Впрочем, это единственный ряд, для которого подобные прогнозы оказались наилучшими. С другой стороны, использование другого типа «наивных» прогнозов, ориентирующихся на оцененный линейный тренд (см. разд. 2.8), дает несколько лучший результат (МАРЕ = 0,704%) по сравнению с наилучшим результатом (МАРЕ = 0,724%), полученным по эконометрическим моделям, для ряда, представляющего данные об общей численности безработных (и только для этого ряда).

• Полная модель не обязательно дает лучшее качество одноша-говых прогнозов при выходе за пределы интервала, на котором модель оценивалась, по сравнению с редуцированной моделью.

Так, при анализе одношаговых прогнозов для ряда значений денежного агрегата М1 по Д^-модели с аддитивным выбросом, датированным 02.1999, мы получили в разд. 2.1.1 для использованной там фиксированной Д^-модели следующие показатели качества одношаговых прогнозов, соответствующих периоду с 08.2000 по 02.2001:

ЯМ8Е=30788.31, МАЕ=25004.23, МАРЕ=3.119278.

В то же время, если исключить из этой модели составляющие АЯ( 2),...,АК( 7), то показатели качества получаемой при этом редуцированной модели равны, соответственно,

ЯМ8Е=30337.52, МАЕ=24768.65, МАРЕ=3.090592

290

и оказываются лучшими по сравнению с аналогичными показателями для полной модели.

• Редуцированная модель, оказывающаяся предпочтительнее полной по критериям R2adj (скорректированный коэффициент детерминации), AIC (информационный критерий Акаике), SIC (информационный критерий Шварца), не обязательно дает лучшее качество одношаговых прогнозов при выходе за пределы интервала, на котором модель оценивалась, по сравнению с полной моделью.

Если из той же полной модели (что и в предыдущем пункте) исключить только составляющую AR( 7), то получим следующие показатели качества прогнозов на один шаг вперед по таким образом редуцированной модели:

RMSE=30897.48, MAE=25365.34, MAPE=3.168368.

Все три показателя у редуцированной модели хуже, чем у полной, хотя для редуцированной модели значение SIC=22.277 меньше, чем для полной модели (22.354).

• Рекурсивная модель (коэффициенты которой переоцениваются при поступлении каждого нового наблюдения) не обязательно дает лучшее качество одношаговых прогнозов по сравнению с фиксированной моделью (коэффициенты которой, оцененные на базовом интервале, не переоцениваются при поступлении новых наблюдений). Однако при увеличении количества последовательных одношаговых прогнозов предпочтение смещается в сторону рекурсивной модели, на что указывают следующие результаты.

При расчете характеристик качества прогнозов по 7 (или 8) последовательным прогнозам рекурсивные модели оказались лучшими только в 41,7% случаев, а при расчете характеристик качества прогнозов по 16 последовательным прогнозам рекурсивные модели оказались лучшими в 90,9% случаев. Так, для ряда, представляющего значения денежного агрегата M0, значения средней абсолютной процентной ошибки (MAPE), вычисленной по 16 последовательным прогнозам (модель с аддитивным выбросом), равны 5,13% при использовании фиксированной DS-модели и 3,31% - при использовании рекурсивной DS-модели.

• Для рядов, классифицированных при предварительном тести-

291

ровании как Б5-ряды, лучшее качество одношаговых прогнозов среди фиксированных моделей могут давать как модели в разностях (в 15 из 18 рассмотренных случаев), так и модели в уровнях (3 случая из 18). Однако при сравнении качества по 16 последовательным прогнозам, для всех рассмотренных Б8-ря-дов модели в разностях оказались предпочтительнее.

В качестве примера здесь можно привести ряд, представляющий значения денежного агрегата М1, классифицированный как Б5-ряд. Значения средней абсолютной процентной ошибки (МАРЕ), вычисленной в разд. 3.1.1 по 16 последовательным прогнозам (модель с инновационным выбросом), равны 9,02% при использовании модели в уровнях и 3,05% - при использовании модели в разностях.

• Для рядов, классифицированных при предварительном тестировании как Т5-ряды, лучшее качество одношаговых прогнозов среди фиксированных моделей могут давать модели в разностях («передифференцированные» ряды) - 3 случая из 4.

Примером здесь служит ряд, представляющий объемы экспорта (раздел 3.2) и классифицированный как Т5-ряд. Значения средней абсолютной процентной ошибки (МАРЕ), вычисленной по 16 последовательным прогнозам, равны 8,39% при использовании модели в уровнях и 6,99% - при использовании модели в разностях.

• Наличие систематического смещения последовательных одно-шаговых прогнозов в основном связано со сдвигами детерминированных (нестохастических) составляющих ряда. При этом среди прогнозов по фиксированным моделям наибольшему смещению подвержены прогнозы по моделям в уровнях.

Так, при прогнозировании ряда налоговых доходов федерального бюджета в разд. 3.3 прогнозы по фиксированной модели в разностях (инновационный выброс) не обнаруживали систематического смещения, тогда как прогнозы по фиксированной модели в уровнях имели весьма сильное смещение:

292

0

-5000-

15000 10000 5000 0

-5000

TJ

Л

ЛП

гол

и

00:07 00:09 00:11 01:01 01:03 01:05 01:07 01:09

00:07 00:09 00:11 01:01 01:03 01:05 01:07 01:09

11 i delta_ts| 11 i delta_ds |

(здесь DELTA_TS - ошибки прогнозов по модели в уровнях, DELTA_DS - ошибки прогнозов по модели в разностях).

• В ряде случаев улучшение одношаговых прогнозов по фиксированной модели может быть получено коррекцией систематического смещения методом «back-on-track», согласно которому очередной одношаговый прогноз, сделанный на основании оцененной модели, корректируется с учетом ошибки предыдущего одношагового прогноза (разд. 4.3).

Примерами могут служить последовательности 16 одно-шаговых прогнозов для рядов M1, M0 и ряда налоговых доходов федерального бюджета по моделям в уровнях с аддитивным выбросом. Так, для ряда M1 значения средней абсолютной процентной ошибки (MAPE), вычисленной по 16 последовательным прогнозам (разд. 4.3.1), равны 9,37% при использовании фиксированной 75"-модели и 3,63% - при использовании прогнозов, скорректированных методом «back-on-track».

При использовании метода «back-on-track» предотвращение систематического смещения прогнозов достигается за счет увеличения вариабельности прогнозов, что для некоторых рядов приводит к значительному возрастанию средней процентной ошибки прогноза.

Примером здесь служит ряд, представляющий объемы экспорта (раздел 4.3.5). Последовательность ошибок прогнозов по фиксированной 75"-модели для этого ряда имеет некоторое смещение.

293

20

0.5 ОО -0.5 -1.0

д

тт

д

тт

Коррекция прогнозов методом «Ъаск-оп-1гаск» полностью устраняет это смещение:

и

и 1—1

И

Я

ттАвдскстмтк

Однако значения средней абсолютной процентной ошибки (МАРЕ), вычисленной по 16 последовательным прогнозам, равное 6,99% при использовании фиксированной Т^-модели, возрастает до 12,17% в результате коррекции прогнозов методом «Ъаск-оп-1гаск».

■ В реальных экономическо-правовых условиях предстоящий сдвиг детерминированной составляющей ряда в некоторых случаях может быть предсказан заранее. Модификация модели, учитывающая наличие такого сдвига, может приводить к значительному улучшению качества прогнозов - устранению систематического смещения прогнозов без существенного возрастания их вариабельности.

-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г

оооб сосу оосв оа-п оиэт смсв сляб спсу

2

1

о

294

Пример, в котором подобная модификация оказывается успешной, в то время как процедура «Ъаск-оп-йаск», устраняя систематическое смещение, приводит к ухудшению характеристик качества последовательности прогнозов, приведен в разд. 4.3.1. Этот пример связан с прогнозированием ряда М1 по Го-модели с аддитивным выбросом. Прогнозы имеют систематическое смещение; ошибки прогнозов имеют вид:

80000 -60000 -40000 -

20000 -0-

|~Г I РЕ-ТА_ТВ |

Процедура «Ъаск-опЧгаск» устраняет систематическое смещение: ошибки скорректированных прогнозов имеют вид:

60000 -|-----

40000 -

20000 - - -

0---—-—-—-—-—-—-1_

00:08 00:09 00:10 00:11 00:12 01:01 01:02 | I I РЕ-ТА_Т5_ЕАСК |

Однако в результате коррекции значение МАРЕ возрастает с 3,96% до 4,75%.

При прогнозе по модифицированной модели, учитывающей ожидаемый сдвиг уровня ряда М1, смещение прогнозов также устраняется: ошибки прогнозов имеют вид:

00:10 00:11 00:12 010

295

60000

40000 -20000 -0-

12 01:01 01:02 [Л~| СЕиДТв |

Однако при этом МАРЕ равна всего лишь 2,36%.

• Модификация процедуры «Ьаск-оп-Ц-аск» («back-on-average»), при которой каждый очередной одношаговый прогноз, сделанный на основании оцененной фиксированной модели, корректируется с учетом ошибок предыдущих одношаговых прогнозов (разд 4.3.), также может приводить к значительному улучшению точностных характеристик прогнозов.

Например, для ряда налоговых доходов федерального бюджета (разд. 4.3.4) значения средней абсолютной процентной ошибки (МАРЕ), вычисленной по 16 последовательным прогнозам, равны 7,76% при использовании фиксированной ББ-модели (с аддитивным выбросом), 5,48% - при коррекции прогнозов методом «Ьаск-оп-^аск» и 4,59% - при коррекции прогнозов методом «Ьаск-оп^е».

• При наличии выраженного систематического смещения прогнозов по фиксированным моделям более приемлемыми являются прогнозы по рекурсивным моделям или прогнозы, скорректированные методом «Ьаск-оп^е».

Например, для ряда налоговых доходов федерального бюджета прогнозы по фиксированной ББ-модели с аддитивным выбросом (разд. 3.3) имеют значительное смещение:

296

5000 -О --ЭХО -

0СЮ7 оосе 00:11 01:01 01:03 01:05 01:07 01:09 | I I РЕЦГАСВ ~|

В то же время при прогнозировании по рекурсивной ББ-модели систематическое смещение прогнозов в значительной мере устраняется: 10000 -

5000 -0-5000 -

54 56 58 60 62 64 66 68 |Т I РВ_ТА_рб |

Использование же коррекции прогнозов методом «Ьаск-оп-ауе» приводит к следующей последовательности ошибок прогнозов:

15000 -10000 -5000 -0-5000 -

54 56 58 60 62 64 66 68

1- -1 ии лиу

Т-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г

ЕГ

Л

Т1

тт

Л]

тт

пПп.

297

В итоге значение МАРЕ = 7,76% для фиксированной ВБ-модели уменьшается до значения 5,74% при использовании рекурсивной модели и до значения 4,59 - при использовании коррекции прогнозов методом «Ьаск-оп-ауе».

• При отсутствии выраженного систематического смещения прогнозов по фиксированным моделям коррекция методами «Ьаск-оп4гаск» и «back-on-average» не приводит к улучшению прогнозов, а прогнозы по рекурсивным моделям предпочтительнее прогнозов, скорректированных по методу «Ьаск-оп-1гаск».

Например, для ряда М2 при прогнозировании по фиксированной ВБ-модели с аддитивным выбросом систематическое смещение прогнозов отсутствует: ошибки прогнозов имеют вид:

аоооо

40000 -

20000 -о -

-ЗОООО -

-40000 -

-аоооо -

-«НИЗ -

При прогнозировании по ВБ-моделям с аддитивным выбросом получаются следующие результаты (разд. 4.3.3). Значения средней абсолютной процентной ошибки (МАРЕ), вычисленной по 16 последовательным прогнозам, равны 2,60% при использовании фиксированной модели, 3,86% - при коррекции прогнозов методом «Ьаск-оп-^аск», 3,26% - при коррекции прогнозов методом «Ьаск-оп^е» и 2,46% - при использовании рекурсивной модели.

• Прогнозирование с использованием методов, предложенных во второй части работы, дало следующие результаты. Для ряда налоговых доходов федерального бюджета лучший результат (средняя ошибка прогноза 5,0%) получен по трендовой модели без обучения. Для рядов импорта, доходов федерального

298

ПП

1_1 и Ши [ —1

сшЬ 1 'сп сН ' 'о1 ск ' 'спс^ 1 '01 :-|Ь

I I I ШЛАРВ

бюджета и ВВП лучший результат (средняя ошибка прогноза 9,8%, 9,2%, 4,5%, соответственно) получен по трендовой модели с обучением без коррекции тренда. Для рядов М2 и экспорта лучший прогноз (средняя ошибка 1,8% и 7,1%) получен по трендовой модели с обучением и коррекцией тренда. Для рядов МО и безработицы лучший результат (средняя ошибка прогноза 4,1%, 1,9%) получен по вероятностной модели без обучения. Наконец, для рядов инфляции и М1 лучший прогноз (средняя ошибка 0,4%, 4,8%) получен по вероятностной модели с обучением.

• При сравнении по средней абсолютной процентной ошибке (МАРЕ) наилучших последовательностей одношаговых прогнозов, построенных в двух частях настоящего отчета для одних и тех же рядов, получаются следующие результаты. Для рядов МО, М1, Экспорт, Налоговые доходы федерального бюджета, Безработица лучшие результаты дают эконометрические модели, представленные в Части 1 (3% против 4,75% - для ряда М1; 3,31% против 4,12% - для ряда МО, 6,69% - для ряда Экспорт; 4,50% против 5,03% - для ряда Налоговые доходы федерального бюджета; 0,72% против 1,91% - для ряда Безработица). Для ряда М2 лучшие результаты дает модель, представленная в Части 2 (1,84% против 2,46%).

Проведенное исследование помимо анализа и сравнения различных методов прогнозирования предоставляет базовую информацию, на основе которой следует строить методику прогнозирования макроэкономических показателей. Исследование показало, что для рассматриваемых макроэкономических показателей не удается выработать единую универсальную методику прогнозирования. Исключение составляет только общая рекомендация, что выбор между ББ- и ГБ-моделью, осуществляемый на основе теста на единичный корень, включает в себя лучшую или близкую к лучшей модель. Для улучшения оценок с использованием новых данных имеет смысл использовать рекурсивные модели, особенно, если имеют место структурные сдвиги в динамике показателей (или эти структурные сдвиги могут быть в некоторой степени предсказаны на основе содержательных соображений или дополнительной информации).

Приведенные выше результаты и соображения означают, по-видимому, что прогнозы следует делать на основе нескольких моделей с последующим анализом отклонений прогнозов от фактических значений с тем, чтобы в перс-

299

пективе выбрать модель, которая в большинстве случаев дает удовлетворительный прогноз на несколько периодов вперед. Для того чтобы это реализовать, необходимо на регулярной основе прогнозировать некоторый набор основных макроэкономических показателей (промышленное производство, инфляцию, денежные агрегаты, налоговые поступления и др.), публикуя и открывая для обсуждения получаемые результаты одновременно с анализом качества предыдущих прогнозов. При этом можно предложить следующую последовательность действий:

• Начинать следует с подбора моделей, учитывающих поведение ряда на достаточно протяженном интервале вплоть до момента построения прогноза и, в то же время, не углубляясь слишком далеко в прошлое, поскольку структура рассмотренных рядов весьма сильно различается на различных временных промежутках.

• Если в распоряжении нет достаточно протяженного периода, на котором структура ряда не претерпевает серьезных изменений, можно построить модель для более протяженного периода, учитывающую структурные изменения в процессе порождения данных, в форме аддитивного или инновационного выброса.

• Определенную пользу можно получить от предварительного тестирования и отнесения ряда к классу ТБ- или ББ-рядов. Для рядов, классифицированных как ББ-ряды, прогнозирование следует производить скорее по модели в разностях. Для рядов, классифицированных как ГБ-ряды, в некоторых случаях предпочтительнее оказывается модель в уровнях. При использовании моделей в уровнях для рядов, классифицированных как ББ-ряды, как правило, возникает систематическое смещение получаемых прогнозов.

• В процессе регулярного прогнозирования с использованием новых данных имеет смысл использовать рекурсивные модели, особенно если имеют место структурные сдвиги в динамике показателей.

• При отсутствии систематического смещения регулярных прогнозов можно в течение некоторого времени использовать одну и ту же модель для процесса порождения данных. При выявлении смещения регулярных прогнозов следует либо переходить к прогнозированию по рекурсивной модели или по уточнен-

300

ной модели, учитывающей изменение структуры процесса порождения данных, либо, продолжая использовать исходную модель, производить коррекцию прогнозов методами, описанными в главе 4. В то же время применять такие методы при отсутствии заметного систематического смещения прогнозов не следует - это может привести к уменьшению точности прогнозов за счет возрастания их вариабельности.

• В реальных экономическо-правовых условиях предстоящий сдвиг детерминированной составляющей ряда в некоторых случаях может быть предсказан заранее. Модификация модели, учитывающая наличие такого сдвига, может приводить к значительному улучшению качества прогнозов - устранению систематического смещения прогнозов без существенного возрастания их вариабельности.

• Наряду с построением прогнозов по эконометрическим моделям, интересно проводить параллельное построение прогнозов с использованием нетрадиционных методов, описанных во второй части работы, и сравнивать получаемые результаты.

301

Приложение 1 Макросы

П1.1. Построение трехмерных информаций

Sub Информации3()

Dim n As Integer, nn As Integer, tau As Integer

Dim id(150, 450), idn(150, 450), ro(450, 450), ind(450), nnn(450), im(50)

Dim h1(150), h2(150, 150), h3(150, 150, 150)

Dim i2(5, 150), ii2(5, 150), i3(5, 150, 150), ii3(5, 150, 150)

Sheets(" Данные ").Select

tau = 1 2

nn = 101

eps = 0.025

n1 = n * (tau + 1 )

'Подготовка данных

For i = 1 To n

im(i) = Cells(1, 1 + i).Value For j = 1 To nn

id(i, j) = Cells(1 + j, 1 + i).Value Next Next

For i = 1 To n idmax = id(i, 1 ) idmin = id(i, 1 ) For j = 2 To nn

If id(i, j) > idmax Then

idmax = id(i, j) End If

If id(i, j) < idmin Then

idmin = id(i, j) End If

Next

For j = 1 To nn

idn(i, j) = (id(i, j) - idmin) / (idmax - idmin) Next Next

304

If tau <> 0 Then For taul = 1 To tau For i = 1 To n

im(n * taul + i) = im(i) + Str(taul) For j = taul To nn

idn(n * taul + i, j) = idn(n * (taul - 1) + i, j - 1) Next Next Next End If

'Одномерные энтропии For i = 1 To n1 For j1 = 1 To nn - 1 For j2 = jl + 1 To nn

ro(j1, j2) = Abs(idn(i, jl) - idn(i, j2)) Next Next

hl(i) = Log(nn) For t = 1 To nn ind(t) = 1 nnn(t) = 1 Next

For t = 1 To nn - 1 If ind(t) <> 0 Then ind(t) = 0

For tl = t + 1 To nn If ind(tl) <> 0 Then If ro(t, tl) <= eps Then ind(tl) = 0 nnn(t) = nnn(t) + 1 nnn(tl) = 0 End If End If Next End If

If nnn(t) <> 0 Then

hl(i) = hl(i) - nnn(t) * Log(nnn(t)) / nn End If

305

Next

h1(i) = h1(i) / Log(2) For tau1 = 1 To tau

h1(i + tau1) = h1(i) Next Next

'Двухмерные энтропии For i = 1 To n1 - 1 For tau1 = 0 To tau For j = 1 To n i1 = n * tau1 + j For j 1 = tau1 + 1 To nn - 1 For j2 = j1 + 1 To nn

ro(j 1, j2) = ((idn(i, j 1) - idn(i, j2)) л 2 + (idn(i1, j 1) - idn(i1, j2)) л 2) л 0.5 Next Next

h2(i, i1) = Log(nn) For t = tau1 + 1 To nn ind(t) = 1 nnn(t) = 1 Next

For t = tau1 + 1 To nn - 1 If ind(t) <> 0 Then ind(t) = 0

For t1 = t + 1 To nn If ind(t1) <> 0 Then If ro(t, t1) <= eps Then ind(t1) = 0 nnn(t) = nnn(t) + 1 nnn(t1) = 0 End If End If Next End If

If nnn(t) <> 0 Then

h2(i, i1) = h2(i, i1) - nnn(t) * Log(nnn(t)) / (nn - tau1) End If

306

Next

h2(i, il) = h2(i, il) / Log(2) h2(i1, i) = h2(i, il) Next Next Next

'Трехмерные энтропии For i = 1 To nl - 2 For il = i + 1 To nl - 1 For taul = 0 To tau Forj = 1 To n ii = n * taul + j For jl = taul + 1 To nn - 1 For j2 = jl + 1 To nn

ro(j 1, j2) = ((idn(i, j 1) - idn(i, j2)) л 2 + (idn(i1, j 1) - idn(i1, j2)) л 2 + (idn(ii, j 1) - idn(ii, j2)) л 2) л 0.5 Next Next

h3(i, il, ii) = Log(nn) For t = taul + 1 To nn ind(t) = 1 nnn(t) = 1 Next

For t = taul + 1 To nn - 1 If ind(t) <> 0 Then ind(t) = 0

For tl = t + 1 To nn If ind(tl) <> 0 Then If ro(t, tl) <= eps Then ind(tl) = 0 nnn(t) = nnn(t) + 1 nnn(tl) = 0 End If End If Next End If

If nnn(t) <> 0 Then h3(i, il, ii) = h3(i, il, ii) - nnn(t) * Log(nnn(t)) / (nn - taul)

307

End If Next

h3(i, i1, ii) = h3(i, i1, ii) / Log(2) h3(i, ii, i1) = h3(i, i1, ii) h3(i1, i, ii) = h3(i, i1, ii) h3(i1, ii, i) = h3(i, i1, ii) h3(ii, i, i1) = h3(i, i1, ii) h3(ii, i1, i) = h3(i, i1, ii) Next Next Next Next

'Двухмерные информации и коэффициенты информативности For i = 1 To n For j = 1 To n1

i2(i, j) = h1(i) + h1(j) - h2(i, j) ii2(i, j) = i2(i, j) / h1(i) Next Next

'Трехмерные информации и коэффициенты информативности For i = 1 To n For j = 1 To n1 - 1 For j1 = j + 1 To n1 i3(i, j, j1) = h1(i) + h2(j, j1) - h3(i, j, j1) ii3(i, j, j1) = i3(i, j, j1) / h1(i) Next Next Next

Sheets("3").Select For i = 1 To n

Cells(1, 1 + i).Value = im(i) Cells(1, 2 + n + i).Value = im(i) Cells(1, 3 + 2 * n + i).Value = im(i) Cells(2, 1 + i).Value = h1(i) For j = 1 To n1 If i = 1 Then

Cells(2 + j, 1).Value = im(j) End If

308

If j = i Then

Cells(2 + j, 1 + i).Value = "*" Cells(2 + j, 2 + n + i).Value = "*" Cells(2 + j, 3 + 2 * n + i).Value = "*" Else

Cells(2 + j, 1 + i).Value = h2(i, j) Cells(2 + j, 2 + n + i).Value = i2(i, j) Cells(2 + j, 3 + 2 * n + i).Value = ii2(i, j) End If Next k = 0

For j = 1 To n1 - 1 For j1 = j + 1 To n1 k = k + 1 If i = 1 Then

Cells(2 + n + k, 1).Value = im(j) + "," + im(j 1) End If If j = i Then

Cells(2 + n + k, 1 + i).Value = "*" Cells(2 + n + k, 2 + n + i).Value = "*" Cells(2 + n + k, 3 + 2 * n + i).Value = "*" Else

If j1 = i Then

Cells(2 + n + k, 1 + i).Value = "*" Cells(2 + n + k, 2 + n + i).Value = "*" Cells(2 + n + k, 3 + 2 * n + i).Value = "*" Else

Cells(2 + n + k, 1 + i).Value = h3(i, j, j 1) Cells(2 + n + k, 2 + n + i).Value = i3(i, j, j 1) Cells(2 + n + k, 3 + 2 * n + i).Value = ii3(i, j, j 1) End If End If Next Next Next End Sub

309

П1.2. Построение прогнозов

Sub Прогноз3()

Dim id(1000), idn(1000), pr(1000)

Dim dat As Date

Sheets(" Данные ").Select

tau1 = 1

tau2 = 7

t = 101

tt = 13

ttt = 120

eps = 0.005

For t1 = 1 To ttt

id(t1) = Cells(1 + t1, 2).Value Next

idmax = id(tau2) idmin = id(tau2) For t1 = tau2 + 1 To t If id(t1) > idmax Then

idmax = id(t1 ) End If

If id(t1) < idmin Then

idmin = id(t1 ) End If

Next

For t1 = 1 To ttt

idn(t1) = (id(t1) - idmin) / (idmax - idmin) Next

For t2 = tt To ttt pr(t2 + 1 - tt) = 0

310

pr1 = 0

eps1 = eps

While pr1 = 0

For t1 = tau2 + 1 To t

ro = ((idn(t1 - tau1) - idn(t2 - tau1)) л 2 + (idn(t1 - tau2) - idn(t2 -tau2)) л 2) л 0.5

If ro <= eps1 Then

pr(t2 + 1 - tt) = pr(t2 + 1 - tt) + id(t1)

pr1 = pr1 + 1

End If

Next

eps1 = eps1 + 0.1 * eps Wend

pr(t2 + 1 - tt) = pr(t2 + 1 - tt) / pr1 Next

'Печать результата Sheets("Прогноз3").Select For t2 = tt To ttt

Cells(t2 + 2 - tt, 2).Value = id(t2) Cells(t2 + 2 - tt, 3).Value = pr(t2 - tt + 1) Cells(t2 + 2 - tt, 4).Value = pr(t2 - tt + 1) - id(t2) Next End Sub

311

Приложение 2. Исходные данные

П2.1. Инфляция

В качестве исходных данных для инфляции используется темп прироста индекса потребительских цен, % - месячные данные с 01.1991 по 08.2000 (для построения модели) и с 09.2000 по 12.2001 (для построения прогноза); источник - Госкомстат РФ.

Индекс потребительских цен (ИПЦ) измеряет отношение стоимости фактического фиксированного набора товаров и услуг в текущем периоде к его стоимости в базисном периоде. ИПЦ является важнейшим показателем, характеризующим уровень инфляции, и используется для целей государственной политики, анализа и прогноза ценовых процессов в экономике, пересмотра минимальных социальных гарантий, решения правовых споров.

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Январь 6,2 245,0 25,8 17,9 17,8 4,1 2,3 1,4 8,4 2,3 2,8

Февраль 4,8 38,3 24,7 10,8 11,0 2,8 1,5 0,9 4,1 1,0 2,3

Март 6,3 29,9 20,1 7,4 8,9 2,8 1,4 0,6 2,8 0,6 1,9

Апрель 63,5 21,7 18,8 8,5 8,5 2,2 1,0 0,4 3,0 0,9 1,8

Май 3,0 12,0 18,1 6,9 7,9 1,6 0,9 0,5 2,2 1,8 1,8

Июнь 1,2 18,6 19,9 6,0 6,7 1,2 1,1 0,1 1,9 2,6 1,6

Июль 0,6 11,0 22,4 5,3 5,4 0,7 0,9 0,2 2,8 1,8 0,5

Август 0,5 8,6 25,8 4,6 4,6 -0,2 -0,1 3,7 1,2 1,0 0,0

Сентябрь 1,1 11,5 23,1 7,7 4,5 0,3 -0,3 38,4 1,5 1,3 0,6

Октябрь 3,5 22,9 19,5 15,0 4,7 1,2 0,2 4,5 1,4 2,1 1,1

Ноябрь 8,9 26,1 16,4 15,0 4,5 1,9 0,6 5,7 1,2 1,5 1,4

Декабрь 12,1 25,4 12,5 16,4 3,2 1,4 1,0 11,6 1,3 1,6 1,6

П2.2. Денежные агрегаты (М0, М1, М2)

Денежный агрегат МО - наличные деньги в обращении.

В качестве исходной информации используются данные: денежный агрегат МО, млрд руб. (с 1998 г. млн руб.) - месячные данные с 12.1990 по 07.2000 (для построения модели) и с 08.2000 по 11.2001 (для построения прогноза); источник - Центральный банк РФ.

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Январь 73 199 1903 12967 31802 75371 96372 116672 178014 232852 380127

Февраль 76 216 2278 14573 34381 80371 102079 120255 180781 242046 387959

Март 82 255 2559 15939 35240 86735 105213 119147 174132 251531 399395

Апрель 85 321 3309 19411 41639 93112 115227 128606 195246 279064 435350

Май 89 369 4020 20669 45459 93652 120369 129856 205285 289272 438312

Июнь 100 458 5111 23811 52520 104368 136851 129806 216388 321766 474692

Июль 112 645 6259 27048 57970 102850 140397 129326 218163 334037 490598

Август 123 830 7305 27918 61658 101117 141621 133377 216181 341627 507107

Сентябрь 133 998 8408 30016 65495 96218 134873 154212 212804 350935 530972

Октябрь 142 1196 9826 30522 66285 94398 135795 166451 221959 349669 531481

Ноябрь 153 1449 10952 31982 70700 95801 128817 167269 219325 358351 527287

Декабрь 79 191 1716 13278 36482 80815 103824 130540 187843 266544 419262

Денежный агрегат М1 - сумма денег вне банков и депозитов до востребования в банковской системе (без депозитов органов государственного управления), т.е. представляет собой все денежные средства в экономике страны, которые могут быть использованы как средство платежа.

В качестве исходной информации используются данные: денежный агрегат М1, млрд руб. (с 1998 г. млн руб.) - месячные данные с 06.1995 по 07.2000 (для построения модели) и с 08.2000 по 11.2001 (для построения прогноза); источник - Центральный банк РФ.

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Январь 140347 186311 272669 329986 508059 810517

Февраль 146202 192515 270401 340333 529876 829180

Март 155905 197754 266022 344782 546439 858381

Апрель 163174 208172 269489 371892 576378 918209

Май 166538 217770 271839 403982 611197 938533

Июнь 106311 180106 242496 270256 418070 662680 987901

Июль 112990 181138 249777 261569 429382 692388 1015090

Август 119494 181808 251167 252356 432913 717950 1040765

Сентябрь 121301 176079 252764 274112 430987 747446 1074933

Октябрь 123054 175546 260660 289197 454337 750662 1084385

Ноябрь 130920 177482 252213 302828 471573 777139 1058132

Декабрь 151267 192402 298289 342817 526772 879310

Денежный агрегат М2 - объем наличных денег в обращении (вне банков) и остатков средств в национальной валюте на расчетных, текущих счетах и депозитах нефинансовых предприятий, организаций и физических лиц, являющихся резидентами Российской Федерации. В этот агрегат не включаются депозиты в иностранной валюте. Начиная с 1 января 1998 г. в состав денежной массы не включаются данные по кредитным организациям с отозванной лицензией.

В качестве исходной информации используются данные: денежный агрегат М2, млрд руб. (с 1998 г. млн руб.) - месячные данные с 12.1990 по 07.2000 (для построения модели) и с 08.2000 по 11.2001 (для построения прогноза); источник - Центральный банк РФ.

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Январь 455,5 1054 7187 33980 93800 216700 289900 361200 444200 695000 1079300

Февраль 462,4 1204 7782 36439 101900 229200 299500 362900 463900 726600 1109700

Март 482,9 1369 8913 39550 107300 241800 305800 360400 473800 751400 1149500

Апрель 516,1 1506 11063 46401 123200 251000 317800 368000 509600 787900 1210000

Май 550,9 1641 13460 52253 138200 254200 328400 370000 542400 831600 1233700

Июнь 589,0 2093 15765 59414 156600 266900 352000 368600 567700 892200 1294300

Июль 689,0 2668 18482 64363 165000 271900 363000 360000 583200 931200 1330200

Август 728,4 3422 21121 70970 173800 275300 364600 343600 590800 960100 1365500

Сентябрь 763,6 4515 21771 77063 179700 276000 363000 365800 597400 992400 1414400

Октябрь 818,6 5722 24554 80359 184200 278800 368800 377600 625100 1001200 1441200

Ноябрь 866,3 6038 26788 84348 195200 282300 357400 396900 646500 1036400 1439100

Декабрь 424 958,0 6400 32601 97800 220800 288300 374100 448300 704700 1144300

П2.3. Экспорт и импорт

Экспорт - вывоз из страны товаров отечественного производства, а также реэкспорт товаров. К товарам отечественного производства относятся также товары иностранного происхождения, ввезенные в страну и подвергшиеся существенной переработке, изменяющей основные качественные или технические характеристики товаров. К реэкспортным товарам относятся товары, ввезенные в страну, а затем вывезенные за границу без переработки.

В качестве исходной информации используются данные: объем экспорта (во все страны), млрд долл. - месячные данные с 01.1994 по 04.2000 (для построения модели) и с 05.2000 по 12.2001 (для построения прогноза); источник - Госкомстат РФ.

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Январь 4,09 5,64 5,80 7,00 6,00 4,60 7,0 8,4

Февраль 4,46 6,15 6,80 6,70 5,90 5,00 8,1 8,2

Март 4,76 6,76 7,80 7,40 6,80 5,90 9,3 8,9

Апрель 4,74 6,75 7,00 6,80 6,20 6,50 8,1 8,7

Май 5,83 6,86 7,50 6,70 6,10 5,10 8,3 8,8

Июнь 6,34 7,02 6,90 6,90 6,60 5,30 8,6 9,3

Июль 5,77 6,31 7,30 7,50 6,30 6,30 8,6 8,3

Август 6,11 6,34 7,00 7,00 5,80 6,10 9,1 9,2

Сентябрь 6,55 6,73 7,10 7,10 6,00 6,30 9,0 8,5

Октябрь 6,01 7,10 8,60 7,90 6,10 6,80 9,0 8,2

Ноябрь 6,31 7,73 8,10 8,30 5,90 7,40 10,2 8,4

Декабрь 6,59 7,80 8,70 8,90 7,30 9,40 10,2 8,2

Импорт - ввоз товаров в страну. В импорт включаются ввезенные товары, предназначенные для потребления в экономике страны, реэкспорта, и товары, закупаемые для отечественных организаций за границей, для потребления на месте.

В качестве исходной информации используются данные: объем импорта (во все страны), млрд долл. - месячные данные с 01.1994 по 04.2000 (для построения модели) и с 05.2000 по 12.2001 (для построения прогноза); источник - Госкомстат РФ.

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Январь 3,55 3,70 4,80 4,80 5,90 2,80 2,60 3,20

Февраль 3,85 4,41 5,80 5,10 6,10 3,10 3,40 3,60

Март 4,14 4,86 6,00 5,70 6,60 3,60 3,70 4,20

Апрель 3,64 4,28 6,10 6,20 6,30 3,40 3,50 4,30

Май 4,06 4,72 5,70 5,50 5,90 3,00 3,40 4,50

Июнь 4,35 5,22 5,50 5,80 5,90 3,40 3,60 4,70

Июль 3,76 5,21 6,10 6,50 5,60 3,40 3,60 4,30

Август 4,09 5,00 5,80 6,10 5,20 3,20 6,80 4,40

Сентябрь 4,46 5,07 5,30 6,20 3,10 3,30 3,70 4,60

Октябрь 4,33 5,46 5,70 6,90 3,10 3,50 4,10 4,20

Ноябрь 4,77 6,30 5,60 6,50 3,10 3,60 4,40 4,90

Декабрь 5,48 6,60 6,40 8,40 3,60 4,10 4,90 5,10

П2.4. Безработица

В качестве исходной информации используются данные: общая численность безработных (на конец года), млн человек - месячные данные с 01.1994 по 08.2000 (для построения модели) и с 09.2000 по 12.2001 (для построения прогноза); источник -Госкомстат РФ.

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Январь 4,7 5,7 6,7 7,3 8,3 10,1 8,7 7,1

Февраль 5,0 5,9 6,8 7,5 8,4 10,4 8,6 7,1

Март 5,3 5,8 6,7 7,6 8,5 10,0 8,2 6,8

Апрель 5,5 6,0 6,9 7,8 8,5 9,6 7,8 6,4

Май 5,5 6,0 7,0 7,9 8,3 9,1 7,4 6,1

Июнь 5,5 6,1 7,0 7,9 8,1 8,8 7,3 6,1

Июль 5,6 6,2 7,1 7,9 8,1 8,7 7,2 6,1

Август 5,7 6,4 7,1 7,9 8,3 8,7 7,1 6,1

Сентябрь 5,7 6,5 7,1 8,0 8,6 8,8 7,1 6,2

Октябрь 5,7 6,6 7,2 8,1 8,9 8,9 7,0 6,2

Ноябрь 5,7 6,7 7,2 8,1 9,4 9,1 7,0 6,3

Декабрь 5,7 6,5 7,3 8,1 9,7 8,9 7,0 6,4

П2.5. Доходы федерального бюджета

Доходы бюджета - денежные средства, поступающие в безвозмездном и безвозвратном порядке в соответствии с бюджетным и налоговым законодательством Российской Федерации в распоряжение органов государственной власти Российской Федерации. В доходах бюджетов могут быть частично централизованы доходы, зачисляемые в бюджеты других уровней бюджетной системы Российской Федерации для целевого финансирования централизованных мероприятий, а также безвозмездные перечисления. В составе доходов бюджетов обособленно учитываются доходы целевых бюджетных фондов.

К налоговым доходам федерального бюджета относятся предусмотренные налоговым законодательством Российской Федерации федеральные налоги и сборы, а также пени и штрафы.

В качестве исходной информации налоговых доходов используются следующие данные: все налоговые доходы федерального бюджета, млрд руб. (с 1998 г. млн руб.) -месячные данные с 01.1992 по 05.2000 (для построения модели) и с 06.2000 по 12.2001 (для построения прогноза); источник - Министерство финансов РФ.

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Январь 32,0 729,0 2316,0 7798,4 11252,4 11460,1 15792,6 24579,3 56841,4 88911,3

Февраль 68,8 728,6 2099,0 7698,0 10359,6 14666,8 15411,7 24059,5 65851,5 97636,2

Март 76,3 914,4 3421,0 10062,0 16172,0 19486,8 18745,2 31444,3 73470,0 110422,9

Апрель 150,2 1382,0 3824,0 13580,5 14117,8 24375,4 18882,1 39246,0 80889,9 123290,0

Май 101,4 946,0 8580,0 14008,5 13036,7 23683,3 19049,2 33584,7 88129,7 123489,5

Июнь 99,6 1135,0 4017,0 13254,2 17473,3 13522,3 17423,2 42332,7 78032,0 118092,8

Июль 176,2 1438,0 5192,0 16215,7 18213,8 16504,8 18379,2 47658,2 77035,2 121577,6

Август 183,0 1320,0 5373,5 15709,6 17241,0 15935,0 15520,2 42869,2 80207,2 123081,9

Сентябрь 286,9 1407,0 6232,3 16935,8 17616,6 17409,4 15420,9 40238,8 78308,1 118676,3

Октябрь 630,6 1977,0 8244,7 21578,7 18188,7 20351,7 19284,9 49601,9 83175,2 125962,3

Ноябрь 404,9 2174,0 8654,5 18288,6 22755,6 20811,2 23928,0 57408,7 91118,3 134743,1

Декабрь 647,5 2599,0 12376,0 15333,2 42294,0 45341,0 38146,7 76483,9 112423,6 175067,7

В качестве исходной информации доходов бюджета используются следующие данные: совокупные (налоговые и неналоговые доходы) федерального бюджета, млрд руб. (с 1998 г. млн руб.) - месячные данные с 01.1992 по 05.2000 (для построения модели)

и с 06.2000 по 12.2001 (для построения прогноза); источник - Министерство финансов РФ.

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Январь 40,00 756,00 2377,00 9326,90 13091,31 14660,34 18902,14 27757,83 64912,72 94601,94

Февраль 73,95 778,60 2285,00 10953,40 14244,49 19021,50 19033,98 26925,27 73386,83 105459,46

Март 88,20 1006,40 5402,00 13450,30 22777,80 22111,65 22832,02 34403,32 83524,48 117906,21

Апрель 153,48 1310,00 3735,00 15855,40 14644,05 26926,85 22236,57 44830,05 92222,53 133928,63

Май 111,61 1001,00 10604,00 15490,60 22532,89 26583,40 23330,67 39746,22 101450,10 133450,12

Июнь 97,96 1531,00 5174,00 15037,40 27780,87 16821,07 21697,54 52920,62 92224,77 125605,93

Июль 193,23 1626,00 4758,00 19421,88 22509,60 21979,16 22248,31 55543,63 88387,38 135925,29

Август 198,87 1753,00 5903,00 25615,93 19928,20 34725,33 21525,06 52214,41 96925,27 132578,05

Сентябрь 290,10 2145,00 7107,69 23766,52 20857,61 22175,35 20248,14 53010,89 90146,72 128973,97

Октябрь 611,60 2066,00 8944,39 24424,18 22264,55 26005,26 23689,62 58279,83 97209,84 142335,01

Ноябрь 444,30 3020,00 9252,80 32809,71 26409,18 30471,98 27590,58 69257,43 110286,24 142813,51

Декабрь 665,73 4635,00 13308,20 20724,71 54909,13 61352,32 59051,86 96819,86 136893,79 197117,39

П2.6. Валовой внутренний продукт

Валовой внутренний продукт (ВВП) - представляет собой на стадии производства сумму добавленных стоимостей отраслей экономики, а на стадии использования - стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, накопления и экспорта. ВВП рассчитывается в текущих основных и рыночных ценах (номинальный ВВП). Для изучения динамики ВВП применяются постоянные цены. Реальный ВВП рассчитывается методом дефлятирования.

В качестве исходной информации используются данные: номинальный объем валового внутреннего продукта, трлн руб. (с 1998 г млрд руб.) - квартальные данные с 01.1994 по 02.2000 (для построения модели) и с 03.2000 по 04.2001 (для построения прогноза); источник - Госкомстат РФ.

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

I квартал 88 253 456 539 564 867 1461 1886

II квартал 130 353 509 594 632 1108 1642 2116

III квартал 168 443 570 679 699 1358 2004 2543

IV квартал 225 491 611 667 846 1424 1956 2545

П2.7. Индекс интенсивности промышленного производства

В качестве исходной информации используются сезонно скорректированные месячные данные по индексу интенсивности промышленного производства с 12.1990 по 07.2000, рассчитываемые ЦЭК при Правительстве РФ.

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Январь 94,42 80,53 69,57 50,42 47,26 42,48 40,34 41,90 40,96 46,26

Февраль 93,03 79,78 69,78 48,95 46,61 42,27 40,55 41,49 41,41 46,48

Март 91,35 79,10 69,42 48,06 45,89 42,08 40,77 41,17 41,96 46,48

Апрель 89,58 78,02 68,64 47,32 45,46 41,85 40,97 40,80 42,71 46,49

Май 88,24 76,27 67,50 46,60 45,48 41,61 41,24 40,18 43,59 46,66

Июнь 87,59 74,03 65,92 46,13 45,79 41,42 41,67 39,32 44,34 47,06

Июль 87,50 71,92 64,01 45,97 45,97 41,29 42,19 38,48 44,81 47,68

Август 87,40 70,34 62,06 46,05 45,73 41,21 42,62 38,00 44,94

Сентябрь 86,74 69,31 60,20 46,31 45,05 41,08 42,82 38,10 44,87

Октябрь 85,36 68,71 58,12 46,75 44,16 40,83 42,82 38,73 44,85

Ноябрь 83,52 68,61 55,54 47,23 43,35 40,51 42,67 39,60 45,16

Декабрь 81,77 69,00 52,75 47,48 42,80 40,30 42,35 40,38 45,73

П2.8. Индекс интенсивности производства цветных металлов (БЛ)

В качестве исходной информации используются сезонно скорректированные месячные данные по индексу интенсивности промышленного производства с 12.1990 по 07.2000, рассчитываемые ЦЭК при Правительстве РФ.

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Январь 100.00 93.14 83.62 72.17 72.04 75.02 79.88 81.26 85.71 87.78 95.94 100.03

Февраль 100.46 92.17 82.42 70.53 72.80 76.07 80.69 81.57 84.82 88.53 96.24 100.74

Март 100.39 91.02 81.59 70.52 72.72 76.51 81.49 81.82 84.17 89.67 96.11

Апрель 99.86 89.82 81.03 71.94 71.91 76.67 81.71 82.10 84.13 90.91 95.94

Май 98.83 88.81 80.58 73.71 70.83 77.14 81.32 82.36 84.61 91.99 95.97

Июнь 97.47 88.03 80.17 74.56 70.13 78.18 80.53 82.67 85.08 93.03 96.31

Июль 96.27 87.54 80.02 73.95 70.10 79.39 79.48 83.23 85.23 94.02 97.01

Август 95.71 87.37 80.18 72.37 70.45 80.27 78.53 84.20 85.27 94.52 97.96

Сентябрь 95.71 87.33 80.29 70.70 70.83 80.61 78.08 85.39 85.57 94.35 98.95

Октябрь 95.61 87.09 79.62 69.67 71.37 80.45 78.39 86.37 86.19 94.06 99.65

Ноябрь 94.96 86.32 77.77 69.77 72.27 79.96 79.37 86.77 86.85 94.31 99.92

Декабрь 94.03 85.06 74.95 70.79 73.60 79.62 80.51 86.47 87.34 95.14 99.91

П2.9. Индекс интенсивности производства цветных металлов (NSA) В качестве исходной информации используются месячные данные по индексу интенсивности промышленного производства с 12.1990 по 07.2000, рассчитываемые ЦЭК при Правительстве РФ.

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Январь 100.63 93.73 81.41 70.04 72.05 73.00 78.39 79.74 85.55 88.16 97.07 100.96

Февраль 91.60 86.43 79.54 64.59 67.26 71.36 77.05 74.80 78.55 79.81 91.03 91.90

Март 102.91 90.72 82.50 72.88 73.22 78.08 84.64 83.05 85.58 90.87 97.19

Апрель 99.47 90.50 80.44 67.72 73.24 76.88 80.85 82.36 81.92 92.40 95.84

Май 103.03 91.33 84.52 80.35 73.57 77.59 83.87 85.29 88.28 94.33 98.36

Июнь 97.11 89.55 81.41 76.87 69.22 79.891 81.27 82.75 86.49 91.24 95.91

Июль 97.62 87.36 78.64 73.02 71.07 81.25 82.31 84.14 86.01 96.42 99.04

Август 93.93 87.23 82.308 73.67 73.45 81.27 76.86 85.84 86.39 97.79 99.41

Сентябрь 94.88 87.52 78.15 70.10 67.90 78.28 78.10 82.73 83.51 92.18 96.91

Октябрь 99.37 87.67 81.89 69.36 72.62 82.21 78.79 87.82 87.21 94.27 101.53

Ноябрь 94.04 86.46 78.25 68.44 70.95 79.64 75.79 86.84 85.90 92.20 99.47

Декабрь 92.41 86.05 75.14 71.22 74.93 79.46 85.46 86.94 89.34 97.56 100.11

Литература

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. (1998): Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Бокс Дж., Дженкинс Г. (1974): Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. Вып. 1, 2.

3. Гаврилец Ю.Н. (1974): Социально-экономическое планирование (системы и модели). М.: Экономика, 1974.

4. Заруцкий В.И. (1980): О выделении некоторых графов связей для нормальных векторов большой размерности / Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. М.: Наука, 1980.

5. Эконометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей (2001): Институт экономики переходного периода, Научные труды № 34Р. М.: ИЭПП, 2001.

6. Юдин А.Д. Об информативных структурах многомерных случайных величин // Известия АН СССР, 1977. №6.

7. Юдин А.Д. (1976): Структуры наборов псевдонезависимых случайных величин / Модели и методы исследования социально-экономических процессов. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1976.

8. Юдин А.Д. (1979):О выделении существенных связей в многомерной случайной величине / Модели социально-экономических процессов и социальное планирование. М.: Наука, 1979.

9. Юдин А.Д. (1982): Сложность статистических систем. Доклады АН СССР, 1982. Т. 266. № 5.

10. Юдин Д.Б., Юдин А.Д. (1985): Математики измеряют сложность. М.: Знание, 1985 (сер. «Число и мысль». Вып. 8).

11. Яглом А.М., Яглом И.М.(1973): Вероятность и информация. М.: Наука, 1973.

12. Batchelor Roy, P. Dua (1990): Forecaster Ideology, Forecasting Technique, and the Accuracy of Economic Forecasts. International Journal of Forecasting, 6, № 1, 3-10.

13. Bates J.M., C.W.J. Granger (1969):The Combination of Forecasts, Operation Research Quarterly, 20, 451-468.

14. Box J.E.P., G.M. Jenkins (1976): Time Series Analysis, Forecasting and Control, Revised edition, San Francisco, Holden Day.

15. Brown R.G. (1963): Smoothing, Forecasting and Prediction. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.Y.

321

16. Campbell John J., Pierre Perron (1991): Pitfalls and Opportunities: What Macroeconomists should know about Unit Roots, Macroeconomics Annual, 1991, NBER, 141-201.

17. Christiano L.J., M. Eichenbaum (1990): Unit Roots in Real GDP: Do We Know, and Do We Care? Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy, 32, 7-62.

18. Christoffersen Peter F., Francis X. Diebold (1998): Cointegration and Long-Horizon Forecasting, Journal of Business and Economic Statistics, 16, № 4, 450-458.

19. Clements Michael P., D.F. Hendry (1996): Multi-step estimation for forecasting, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 58, № 4, 657-684.

20. Clements Michael P., D.F. Hendry (1998a): Forecasting Economic Processes, International Journal of Forecasting, 14, № 1, 111-131.

21. Clements Michael P., D.F. Hendry (1998b): Forecasting Economic Time Series. Cambridge: Cambridge University Press. (The Marshall Lectures on Economic Forecasting.)

22. Clements Michael P., D.F. Hendry (2000): Forecasting with difference-stationary and trend-stationary models. Discussion Paper Series, № 5. Department of Economics, University of Oxford.

23. Clements Michael P., D.F. Hendry (2001): Forecasting Non-stationary Economic Time Series. Cambridge, Massachusetts: The MIT Press.

24. Dickey D.A., W.R. Bell, R.B. Miller (1986): Unit Roots in Time Series Models: Tests and Implications, American Statistica, 40, 12-26.

25. DieboldF.X., Senhadji A. (1996): The Uncertain Unit Root in U.S. GNP: Comment, American Economic Review, 86, 1291-1298.

26. Diebold Fransis X. (1998): The Past, Present and Future of Macroeconomic Forecasting, Journal of Economic Perspectives, 12, № 2, 175-192.

27. Diebold Fransis X., Lutz Kilian (2000): Unit-Root Tests Are Useful for Selecting Forecasting Models, Journal of Business and Economic Statistics, 18, № 3, 265-273.

28. Elliott G., T.J. Rothenberg, J.H. Stock (1996): Efficient Tests for an Autoregressive Unit Root, Econometrica, 64, 813-836.

29. Franses P.H., F. Kleibergen (1996): Unit Roots in the Nelson-Plosser Data: Do They Matter for Forecasting? International Journal of Forecasting, 12, № 2, 283-288.

30. Granger C.W.J., Newbold P. (1986): Forecasting Economic Time Series, Second Edition. New York: Academic Press.

322

31. Granger C.W.J., R. Ramanathan (1984): Improved Methods of Combining Forecasting, Journal of Forecasting, 3, 197-204.

32. Gregory Allan W., Gregor W. Smith, James Yetman (2001): Testing for Forecast Consensus, Journal of Business and Economic Statistics, 19, № 1, 34-43.

33. Harvey David I., Stephen J. Leybourne, Paul Newbold (1998): Tests for Forecast Encompassing, Journal of Business and Economic Statistics, 16, № 2, 254.

34. Klein L.R. (1984): The Importance of the Forecast, Journal of Forecasting, 3, № 1, 1-9.

35. Klein L.R. (1991): Comparative Performance of US Econometric Models. Oxford: Oxford University Press.

36. Klein L.R., E. Burmeister [eds] (1976): Econometric Modeling Performance. Philadelphia: University of Pennsylvania Press.

37. Kolmogoroff A. (1939): Sur L'interpolation et L'extrapolation des Suites Stationaires, Compt. Rend., 208, 2043.

38. Kumar K., D.S. Gill (2000): On Forecasting Economic Time Series Data: A Comparative Study, Indian Journal of Economics, 81, 265-273.

39. Markidakis S.A., A. Anderson, R. Carbonne, R. Flides, M. Hibon, R. Lewandowski, J. Newton, E.Parsen, R.Winkler (1982): The Accuracy of Extrapolation (Time-Series) Methods: Results of a Forecasting Competition, Journal of Forecasting, 1, 111-153.

40. McNees S.K. (1979): The Forecasting Record of the 1970's, New England Economic Review, Sep./Oct., 15-21.

41. McNees S.K., J. Ries (1983): The Track Record of Macroeconomic Forecasters, New England Economic Review, Nov./Dec., 5-18.

42. Meese R., J. Geweke (1984): A Comparison of Autoregressive Univariate Forecasting Procedures for Macroeconomic Time Series, Journal of Business and Economic Statistics, 2, 191-200.

43. Nelson C.R., C.I. Plosser (1982): Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series, Journal of Monetary Economics, 10, 139-162.

44. Nyblom J. (1989): Testing for Constancy of Parameters over Time, Journal of the American Statistical Association, 84, 223-230.

45. Quandt R.E. (1960): Tests of the Hypothesis that a Linear Regression System Obeys Two Separate Regimes, Journal of the American Statistical Association, 55, 324-330.

46. Rudebusch G.D. (1993): The Uncertain Root in Real GNP, American Economic Review, 83, 264-272.

323

47. Snyder Ralph D., J. Keith Ord, Anne B. Koehler (2001): Prediction Intervals for ARIMA Models, Journal of Business and Economic Statistics, 19, № 2, 217-225.

48. Staiger D, Stock J.H., M. W. Watson (2001): Prices, Wages and the U.S. NAIRU in the 1990s, NBER Working Paper No. 8320, NBER, Jun. 2001.

49. Stock J.H. (1996): VAR, Error Correction and Pretest Forecasts at Long Horizons, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 58, № 4, 685-701.

50. Stock J. H., M.W. Watson (1994): Evidence on Structural Instability in Macroeconomic Time Series Relations, NBER Technical Working Paper No. 164, NBER, Sept. 1994

51. Stock J.H., Watson M.W. (1996): A Comparison of Linear and Nonlinear Univariate Models for Forecasting Macroeconomic Time Series, Journal of Business and Economic Statistics, 14, № 1, 11-30.

52. Stock J. H., M.W. Watson (1998a): Business Cycle Fluctuations in U.S. Macroeconomic Time Series, NBER Working Paper No. 6528, NBER, Apr. 1998.

53. Stock J.H, M.W. Watson (1998b): Diffusion Indexes, NBER Working Paper No. 6702, NBER, Aug. 1998.

54. Stock J.H., Watson M. W. (1999): Forecasting Inflation, NBER Working Paper No.7023, NBER, March 1999.

55. Stock J.H., M.W. Watson (2001): Forecasting Output and Inflation: the Role of Asset Prices, NBER Working Paper No. 8180, NBER, Mar. 2001.

56. Swanson N.R., H. White (1995): A Model Selection Approach to Assessing the Information in Term Structure Using Linear Models and Artificial Neural Networks, Journal of Business and Economic Statistics, 13, 265-275.

57. Swanson N.R., H. White (1997): Forecasting Economic Time Series Using Flexible versus Fixed Specification and Linear versus Nonlinear Econometric Models, International Journal of Forecasting, 13, № 4, 439-461.

58. Swanson N.R., H. White (1997): A Model Selection Approach to RealTime Macroeconomic Forecasting Using Linear Models and Artificial Neural Networks, Review of Economics and Statistics, 79, 540-550.

59. Wallis K.F. (1989): Macroeconomic forecasting: A survey, Economic Journal, 99, 28-61.

60. Wallis K.F., M.J.Andrews, D.N.F. Bell, P.G. Fisher, J.D. Whitley (1984): Models of the UK Economy, A Review by the ESRC Macroeconomic Modeling Bureau. Oxford: Oxford University Press.

61. Wallis K.F., M.J. Andrews, P.G. Fisher, J. Longbottom, J.D. Whitley (1986): Models of the UK Economy: A Third Review by the ESRC Macroeconomic Modeling Bureau. Oxford: Oxford University Press.

324

62. Wallis K.F., J.D. Whitley (1991): Sources of Error in Forecasts and Expectations: UK economic models 1984-8, Journal of Forecasting, 10, 231-253.

63. WeigandA.S., Gershenfeld (1994): Time Series prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past. Addison-Wesley for Santa Fe Institute: Reading.

64. West Kenneth D. (2001): Tests for Forecast Encompassing When Forecasts Depend on Estimated Regression, Journal of Business and Economic Statistics, 19, № 1, 29-33.

65. Wiener N. (1949): Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series. John Wiley, New York.

66. Zarnowitz Victor (1978): On the Accuracy and Properties of Recent Macroeconomic Forecasts, NBER Working Paper No 0229.

67. Zarnowitz Victor (1991): Has Macro-Forecasting failed? NBER Working Paper No 3867.

68. Zarnowitz Victor, Phillip Braun (1992): Twenty-two Years of the NBER-ASA Quarterly Economic Outlook Surveys: Aspects and Combinations of Forecasting Performance, NBER Working Paper No 3965.

325