Присоединение корней к унитреугольным группам над простым конечным полем Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 3. С. 13-16.

УДК 512.54

А.В. Меньшов, В.А. Романьков

ПРИСОЕДИНЕНИЕ КОРНЕЙ К УНИТРЕУГОЛЬНЫМ ГРУППАМ НАД ПРОСТЫМ КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ

Рассматриваются вложения унитреугольных групп UTn (Fp), возникающие при присоединении корней. Построены вложения UTn (Fp) в UTm (Fp), где n > 2 , m = (n — 1)ps + 1, s e Z + , относительно которых из любого элемента группы UTn (Fp) в UTm (Fp) извлекается корень степени ps.

Ключевые слова: уравнения над группами, нильпотентные группы, унитреугольные группы, присоединение корней, _р-группы.

Введение

Уравнения над группами составляют одну из наиболее разрабатываемых областей современной теории групп. Начало их систематическому изучению положил Б. Нейман [1]. О результатах в данной области и ее историческом развитии см., например, обзор [2]. Также краткий очерк истории вопроса можно найти в [3].

Напомним, что уравнением с неизвестной x над группой G называется выражение вида w(x) = 1, где w(x) e G • ^x^ - групповое слово от элементов группы G и неизвестной x .

Если H - большая группа, т. е. группа, содержащая G в качестве фиксированной подгруппы, то уравнение над G также рассматривается как уравнение над H . Уравнение w(x) = 1 над группой G называется разрешимым в группе G , если существует g e G такой, что w(g) = 1. Уравнение называется разрешимым над группой G , если существует надгруппа H > G, в которой это уравнение имеет решение. В последнем случае можно считать, что H порождена решением уравнения и элементами группы G. Иначе говоря, H получена присоединением к G решения уравнения. Также можно называть H расширением группы G .

В [1] Б. Нейман исследовал, при каких условиях на группу G и слово w(x) уравнение разрешимо над группой G , и получил решение этого вопроса в общем случае [1, theorem 2.3]. Также им была доказана следующая теорема.

Теорема 1 (Б. Нейман [1]). Уравнение X = g разрешимо над произвольной группой G для любых g e G и m e Z+ .

Решение уравнения из последней теоремы будет называть корнем степени m из элемента g. Для доказательства теоремы 1 Б. Нейман использовал свободные произведения с объединенной подгруппой. Альтернативный вариант был предложен Г. Баумслагом в [4], который использовал конструкцию сплетения групп.

Следствием теоремы 1 является следующий результат.

Теорема 2 (Б. Нейман [1]). Произвольная группа G изоморфна подгруппе некоторой группы D , которая для любого элемента d e D содержит корень произвольной степени m e Z+ .

© А.В. Меньшов, В.А. Романьков, 2015

14

А. В. Меньшов, В.А. Романьков

Такая группа D называется делимой.

Согласно [5], Б. Нейманом в 1960 г. был сформулирован следующий вопрос: пусть дана нильпотентная группа B, элемент h е B и m е Z+ , возможно ли вложить B в нильпотентную надгруппу, содержащую корень степени m из элемента h ? Иными словами, возможно ли нильпотентное присоединение корня степени m из h ? Данный вопрос изучался в [5; 6]. В частности, в [5] было доказано, что всегда можно нильпо-тентно присоединить корень из элемента конечного порядка. Отметим, что в общем случае ответ на вопрос, поставленный Б. Нейманом, отрицательный. Так в [7] было доказано, что для произвольного простого p существуют нильпотентная группа G (бесконечно порожденная) и элемент и е G (бесконечного порядка) такие, что любая

надгруппа H группы G , содержащая корень степени p из и, не является нильпо-тентной.

Приведем результаты Г. Баумслага [8], имеющие отношение к вышеупомянутому вопросу.

Теорема 3 (Г. Баумслаг [8]). Пусть G — конечно порожденная нильпотентная группа и p — простое, тогда существует

нильпотентная надгруппа H группы G такая, что для любого g е G группа H содержит корень степени p из g .

Теорема 4 (Г. Баумслаг [8]). Произвольная конечно порожденная нильпотентная группа вкладывается в делимую локально нильпотентную группу.

Также отметим, что в [9] А. Мальцев доказал, что произвольная нильпотентная группа без кручения вкладывается в делимую нильпотентную группу той же ступени нильпотентности.

Пусть Fp — простое конечное поле порядка p и UTn (Fp ) — группа верхних унитреугольных матриц размера n X n (n > 2) над полем Fp . В данной статье нас будет интересовать присоединение корней степени q = ps, s е Z+ , к группе UTn (Fp), при котором надгруппа имеет вид UTm (F ) для некоторого

m > n . Заметим, что к конечной р-группе необходимо присоединять только корни степеней ps , так как корни взаимно простых с p степеней уже есть в самой группе.

Основным результатом данной статьи является теорема 5, в которой получен способ одновременного присоединения корней степени q к группе UTn (Fp) , т. е. построены

вложения UTn (Fp) в UTm (Fp), где

m = (n — 1)q +1, относительно которых из любого элемента группы UTn (Fp) в UTm (Fp) извлекается корень степени q .

Основной результат

Введем следующие обозначения для подгрупп UTn (Fp ) :

FRn = { (av) е UTn (Fp )| a„ = 0, j > i > 1 } ,

LCn = { ({) е UTn (Fp) I aj = 0, n > J > i },

An = {) е UTn (Fp )| a j = 0, j > 1 },

Bn ={ (aу) е UTn (Fp )| am = 0, i < n }.

Легко заметить, что подгруппы FRn и LCn являются нормальными в UTn (Fp) и изоморфны Cn—, где Cp — циклическая группа порядка p , а подгруппы An и Bn естественно изоморфны UTn—1(Fp) . Более того, UTn (F ) = FRn X An = LCn X Bn .

В группе UTn (Fp) через f. j (1 < i < J < n) обозначим трансвекцию e + j , где e - единичная матрица, et j - матричная единица,

т. е. матрица, на пересечении г-й строки и j-го столбца которой стоит единица, а остальные элементы равны нулю. Также для уе Fp

полагаем t. j (у) = e + ye. j. Пусть m > n и 1 = k < k2 <... < kn = m - последовательность целых чисел. Обозначим через t'j трансвекцию в группе UTm (Fp) . Очевидно, что отображение ф: UTn (Fp) ^ UTm (Fp), заданное правилом фф, i+1) = t'k, k ; , является вложением UTn (Fp ) в UTm (Fp ) . Данное вложение использовалось авторами в [10, лемма 4] для присоединения корней к трансвекциям в группе UT( F) .

Теперь мы опишем вложения UTn (Fp) в

UTm (Fp), где n > 2 , m = (n — 1)q +1, q = ps,

s е Z + , которые естественным образом возникают в теореме 5. Далее для удобства будем использовать рациональные числа для индексации строк и столбцов матриц. Пусть ai j е Q — такие рациональные числа, что

i <ai j <... < ai q—1 < i +1, для i = 1,..., n — 1, и

пусть UTm (F ) порождена трансвекциями

Присоединение корней к унитреугольным группам над простым конечным полем

15

С,д’ C„1a,2,•••, С,'Г1,м , где i =Ъ ■■■,n -1 • ОпРеДелим вложение ф: UT (F ) ^ UT (F ), положив

фф,\,2) = А,2 ,

ф(^2,з) ^2,33’ai-i,a2-i а,2,а2,2 ’ ’ '^al,q-1,a2q-1 ,

^З,^ ^3,4^24 ,°3Д ^2,2 ,а3,2 ’ ** ^a2,q-1,a3,q-1 ? ^ ^

(hit 1) = ^i^ /■ ...f .

TV n-1,и/ n-1,n an-2l,an-i,i <^2 2,0^12 0^2 q^,^- q-i

Докажем, что (2) действительно является вложением, т. е. гомоморфизмом с единичным ядром. Определим в UTm (Fp) под-

группы

Заметим, что Hi = UTn-1 (Fp) для

i = 1,..., q и при к Ф l подгруппы Hk и Ht поэлементно коммутируют. Положим

H = H1 XH2 X ... XHq и D(H) - диагональная

подгруппа H , тогда D(H) = UTn-1 (Fp ) . Рассмотрим в FRm подгруппу W , состоящую из матриц, у которых ненулевые элементы находятся в первой строке только в позициях kq +1, при к = 0,..., n -1. Легко видеть, что

W = FRn . Возьмем полупрямое произведение P = W х D(H), где элемент (h1,...,hq) £ D(H) действует на w £ W сопряжением на hq. То-

гда P = FRn X UTn-1 (Fp) = UTn (Fp). Базисом P

являются образы <p(ti i+1) , i = 1,..., n -1, указанные в (2). Таким образом, (2) действительно вложение.

Пример 1. Пусть n = p = q = 3 , тогда образом элемента a = e + a12e12 + a13e13 + a23e23 £ £ UT3 (F3) относительно вложения (2) будет

ф(а) = e + a12e14 + a13e17 + a23 (e25 + e36 + e47 ) £

£ UT7( F3) .

Аналогично можно определить вложение

ф : UTn (Fp ) ^ UTm (Fp ) , положив

^(tl,2) tl,2t«1,1,a2,1 tfti,2,a2,2 ’ ‘ '^4,q-1,4,q-1 ,

Р( 2^) 2,3 СС23,Щ3 ci2,2,а3,2 a2q-1,a3,q-1 ,

- 2 2 (3)

p(tB-2,n-1 ) tn-2,n -1f 2n-23, an-13f an-22, an-12 ' ‘ 2n-2q-1, an-1q-1 ,

ptn-1,n ) fn-1,n •

Также устанавливается, что (3) действительно вложение.

Пример 2. Пусть n = p = q = 3 , тогда образом элемента a = e + a12e12 + a13e13 + a23e23 £

£ UT3 (F3) относительно вложения (3) будет

p(a) = e + a12 (e14 + e25 + e36 ) + a13e17 + a23e47 £ UT7 (F3 ) .

Теперь мы готовы доказать основной результат данной работы.

Теорема 5. Уравнение над группой UTn (Fp ) (n > 2) вида:

xq = a, (4)

где q = ps, s £ Z+ , разрешимо в некоторой надгруппе, изоморфной UTm (Fp), где

m = (n - 1)q +1.

Доказательство. Пусть Щ f £ Q такие,

что i < a.l <...< ai <i +1 для i = 1 ,...,n -1 и

пусть UTm (F ) порождена трансвекциями

fi,цJ,a„a,2, * * *, tц,q-1,i+1, где i = l-.n -1. Положим a = (a j) и докажем индукцией по n,

что решение (4) относительно вложения (2) будет иметь вид:

x = Xn-1 xn-2 . Х2X1> (5)

где

x2

x = t , . t

1 a1,q-1,2 a1,1, a1,2

t(22,q-1,3 " " * .,1,«2,2 f2, «2,1

t2, 41 K2X

(a2,3)t1, «2Д (a1,3),

x , = t' ...t' t' (a , )X

n-1 an-1 q-1,n ап-ц,CCn-12 n-1,C(n-1± v n-1,n '

Xt' (a 2 )■■■( (a, )•

n-2,ocn-11 ^ n-2,n2 1,an-11 V \,n‘

База индукции. Пусть n = 2, тогда получим уравнение xq = t12(a12) . Произведем вставку индексов 1 j £ Q так, что

1 < а1 1 < . < a q-1 < 2 . Рассмотрим группу UTq+x (Fp) , порожденную трансвекциями

t1,4i ,t«n. 4, ,*, 0i,q-1,2 , и определим вложение A:UT2(Fp ) ^ UTq+1(Fp ) , положив h(t1,2) = ^1,2 .

Возьмем в UTq+1 (Fp) элемент

Х1 = t4q-1,2 .'ta1i,42 t1, a1,1(a1,2) , тогда Х1 = t1,2(a1,2) .

Значит x1 является решением исходного уравнения в UTq+1(Fp) относительно вложе-

ния (р1.

Индукционный переход. Пусть над группой UTn+1 (F ) имеется уравнение xq = a. Переходим к уравнению над факторгруппой

UTn (Fp ) = UTn+1 (Fp ) / ^Cn+1 , которое по индукции разрешимо относительно вложения ф вида (2) и его решение Х имеет вид (5). Произведем вставку индексов OCnj £ Q так, что

16

А. В. Меньшов, В.А. Романьков

n < anj <...<anq_j <n +1. Продолжим вложение ф до вложения ф': (F) ^ Шщ+. (Fp),

положив

((tk .k+i) = ((tk .k+iX k = A-. n _1 ('(t +,) = t' +, t' t' ...t'

I ^ n.n+w n,n+i а_ц,ад a_j2,a1 ®

a._i.q_i,an,

. (б)

Вычислим образ a относительно вложе-

A

ния ф. Очевидно, что a = П t,-.n+l(a,..n+l) a , где

i=l

a Е Bn+j (в обозначениях (1)). Тогда

ya) = ф ^ П ti.n+1(ai.n+1) ^(a ) . Заметим, что

ф{о) = xq. Вычисляя для i = n _ 1..... 1 значе-

ния P,(ti.n+1 ) = P([ti.i +1 . A.n+l ]) . получаем

ф (t1.n+1 ) = t1.n+l = t1,n+1A1 .

ф (ti.n+1) = ti.n+1 ^al_jj.anj ^a_i2.®n.2 ** •?a_1.q_1.a„.q_1 .

4 V A,

i = 2...n _ 1.

Заметим, что A, и t'in+1 коммутируют, а

также коммутируют A, и A j. Положим

A, (Г) = Af , тогда <PXtUn+i(y)) = t'.n+l(r)Ai (У) и

ф l I ti.n+l (ai.n+l) J = ^ l l ti.n+l (ai.n+l) J Л 2(a2 .n+l ) * * *

•■A AA.

Возьмем

Xn tan q_l.n+l ' * * tan,.an 2 tn.an, (an.n+l )tn_l.an, (an_l.n+l ) *' *

•••tl,a,l (al.n+l ) ,

тогда xq =ntA(a,n+l) и ((a) = x*AAn+T*

i=l

. ,.An(ann+l)xq. Покажем, что x' = xnx является решением исходного уравнения над UTn+l(F ) относительно вложения (б). Обозначим xn = e + y , x = e + z . Так как yz = 0 , xq = e + yq, xq = e + zq, то (xnx)q = = (e + y + z)q = xq (e + zq_l y + zq_2y2 +... + zyq_ )xq.

что zq_V = a2.n+lea.t a + a3.n+iea.k a +

+ ..

для k = l. *.. q _ l, сле-

довательно, e + zq 1 y + zq 2y2 + * + zyq 1 =

= A2 (a2.n+l) * An (an.n+l) . Получаем (x„x)q =

= ('(a), значит, xnx является решением исходного уравнения относительно вложения (б).

Аналогично доказывается, что решение

(4) относительно вложения (3) имеет вид x = xj x2 * xn_l, где

xl tan_l,q_l n (an_l.n )tOI_l q_2 .an_l q_l * * * tn_l.an_lj .

x2 A q_j.n (an_2.n )tan_2 q_j.n _l (an _ 2.n _l )tan_2 q_2 .an_2 q_. _ 2.an_2l .

x , = t' (a, )...t' 2(al2)t/ ...t'. .

n _l aj q_j . n V \.n‘ aj q_l.^^ 1.2' a q_2.a q_l 1.®1Д

Теорема доказана.

Заметим, что в последней теореме реализуется одновременное присоединение корней степени q к группе UTn (Fp) , т. е. из любого

элемента группы UTn (Fp ) в UTm (F ) извлекается корень степени q .

Пример 3. Пусть n = p = 3 и a =

= e + a12e12 + a13e13 + a23e23 Е UT3(F3). Согласно

теореме 5, решением уравнения x = a над UT3( F3) относительно вложения (2) в UT7( F3) является x = e + (a12e12 + e23 + e34) + (a23e45 + e56 + + e67) + a13e15. Относительно вложения (3) решение имеет вид x = e + (e12 + e23 + a12e34) +

+ (e45 + e56 + a23e67) + ai3e37 .

В заключение мы сформулируем следующий открытый вопрос.

Вопрос. Существует ли нетривиальное многообразие групп L , отличное от многообразия всех групп и многообразия всех абелевых групп, такое, что любая группа G Е L изоморфна некоторой подгруппе делимой группы G Е L ?

ЛИТЕРАТУРА

[1] Neumann B. H. Adjunction of elements to groups //

J. London Math. Soc. 1943. Vol. 18. P. 12-20.

[2] Roman'kov V. A. Equations over groups // Groups Complexity Cryptology. 2012. Vol. 4. P. 191-239.

[3] Magnus W., Karrass A., Solitar D. Combinatorial group theory. N. Y.: Dover publications, 2004. 444 p.

[4] Baumslag G. Wreath products and p-groups // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1959. Vol. 55. P. 224-231.

[5] Wiegold J. Adjunction of elements to nilpotent groups // J. London Math. Soc. 1963. Vol. 38. P. 17-26.

[6] Allenby R. B. Adjunction of roots to nilpotent groups // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1966. Vol. 7. P. 109-118.

[7] Neumann B. H., Wiegold J. On certain embedda-bility criteria for group amalgams // Publ. Math. Debrecen. 1962. Vol. 9. P. 57-64.

[8] Baumslag G. A generalization of a theorem of Mal'cev // Arch. Math. 1961. Vol. 12. P. 405-408.

[9] Мальцев А. И. Нильпотентные группы без кручения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1943. Т. 13. С. 201-212.

[10] Меньшов А. В., Романьков В. А. Разрешимость регулярных уравнений в классе нильпотентных групп // Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 4. С. 19-22.