CC BY
38
УДК 550.3, 559.3
Природа неустойчивости блочных сред и закон распределения неустойчивых состояний
Б.П. Сибиряков, Б.И. Прилоус, A.B. Копейкин
Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 630090, Россия
Работа посвящена исследованию свойств континуума со структурой. Наличие конечного размера структуры влечет за собой тот факт, что разностные отношения не переходят в дифференциальные автоматически. Не представляется возможным рассматривать бесконечно малый объем среды, для которого мы применяем законы сохранения. Представительным объемом является только объем конечных размеров среды, который содержит некоторое минимальное множество элементарных мезоструктур. Невозможность просто заменить разностные отношения дифференциальными приводит к уравнениям равновесия и движения бесконечного порядка, что связано с бесконечным числом степеней свободы в блочных средах. Решения этих уравнений содержат, помимо обычных упругих волн, множество волн с очень разными скоростями, в том числе со скоростями исключительно низкими, которые ничем не ограничены снизу. Ранее было показано, что в таких средах малые колебания могут как убывать, так и неограниченно возрастать. Таким образом, малые колебания не всегда оказываются безобидными. Дисперсия размеров структур играет двоякую роль. Интенсивность неустойчивых явлений убывает благодаря дисперсии размеров структуры, однако расширяется частотный диапазон колебаний, вовлеченных в катастрофический процесс, так что катастрофы могут начинаться в области весьма малых частот. Уравнение равновесия не может быть удовлетворено в каждом бесконечно малом объеме среды, ибо он не является представительным для среды в целом. Оно удовлетворяется лишь в среднем для достаточно представительных объемов. Следовательно, возникает возможность возникновения отдельных динамических актов при уравновешенном состоянии тела в целом. Это явление называют акустической эмиссией. Эта работа описывает условия, при которых акустическая эмиссия вызывает волновые процессы в обычном смысле, т.е. возникновение волн под действием квазистатических напряжений. Множество комплексных корней дисперсионного уравнения, которые можно интерпретировать как число неустойчивых решений, зависят от удельной поверхности трещин. Эта связь в логарифмическом масштабе является почти линейной и соответствует известному в сейсмологии закону повторяемости землетрясений Гутенберга-Рихтера.
Ключевые слова: удельная поверхность, оператор сплошности, уравнение движения блочных сред, катастрофы, структурированные среды, закон Гутенберга-Рихтера
Nature of instability of block media and distribution law of unstable states
B.P. Sibiryakov, B.I. Prilous and A.V. Kopeikin
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090, Russia
The paper studies the properties of a structured continuum. The result of finite structure size is that difference relations fail to automatically pass into differential ones. Consideration of an infinitely small medium volume with laws of conservation is found impossible. The representative volume is only that volume of finite dimensions which contains a certain minimum set of elementary mesostructures. The impossibility to merely replace the difference relations by differential ones gives equilibrium equations and equations of motion of infinite order due to an infinite number of degrees of freedom in block media. Solutions of these equations contain, in addition to ordinary elastic waves, the multitude of waves with widely different velocities, including those with extremely low velocities unbounded below. As shown earlier, small vibration in these media can be both decreasing and unlimitedly increasing. Thus, small vibrations are not always harmless. Dispersion of structure sizes plays a dual role. The vibrational phenomena are weakened due to structure size dispersion, but the range of vibration frequencies involved in a catastrophic process is extended such that catastrophic events may take their origin at quite low frequencies. The equilibrium equation can not hold in each infinitesimal medium volume because it is not representative for the medium as a whole. The equilibrium equation is valid only on average for sufficiently representative volumes. Hence, individual dynamic events are possible in a solid even if it is in the equilibrium state as a unit. This phenomenon is termed acoustic emission. The paper describes the conditions under which acoustic emission initiates wave processes in their ordinary sense, i.e., initiation of waves under quasistatic stresses. The set of complex roots of the dispersion equation which are possible to interpret as the number of unstable solutions depends on the specific fracture area. On the logarithmic scale, this relation is almost linear and fits the Gutenberg-Richter earthquake repeatability law well known in seismology.
Keywords: specific surface, continuity operator, equation of motion of block media, catastrophes, structured media, Gutenberg-Richter law
© Сибиряков Б.П., Прилоус Б.И., Копейкин A.B., 2012
1. Введение
Характерный размер структуры означает, что имеется связь между средним расстоянием от трещины до ее ближайшей соседки или (для пористых сред) между средним расстоянием от поры до поры и удельной поверхностью пор или трещин. Действительно, если ст0 — удельная поверхность, а 10 — средний размер структуры с пористостью f [1, 2], то имеет место равенство
^0 = 4(1 - /). (1)
Следовательно, если есть удельная поверхность образца, то тем самым автоматически определен и средний размер последнего 10. Очевидно, что минимальное расстояние, которое задано на структуре, не может быть меньше, чем расстояние от одной частицы до ее ближайшей соседки для зернистых сред (рис. 1). То же самое можно сказать относительно среднего расстояния от трещины до ее ближайшей соседки для трещиноватых сред. Тем самым представительный размер структуры связан со статистическими характеристиками порового пространства.
Различие между моделями классического континуума и континуума со структурой иллюстрируется на рис. 2. В объеме, ограниченном поверхностью С, равновесие гарантировано, так как силы во всех направлениях компенсированы. В то же время на поверхности D, где силы присутствуют только в матрице и отсутствуют в поровом пространстве, гарантировать равновесие в любом из объемов нельзя.
Можно сконструировать новую модель среды с большими контрастами свойств матрицы и флюида следующим образом. Рассмотрим конечный объем пространства, ограниченный сферой радиуса 10. Поверхностные силы приложены к поверхности, окружающей заданный объем, в то время как силы инерции приложены в центре тяжести структуры. Мы не имеем возможности взять бесконечно малый объем среды и совместить точку приложения этих сил, как в классическом континууме Коши
и Пуассона. Континуум со структурой выдвигает проблему совмещения точек приложения поверхностных сил, созданных напряжениями и сил инерции.
Построить уравнения движения и равновесия конечного объема мы можем, если каким-то образом перенесем силы, сосредоточенные на поверхности, окружающей объем, в центр этого объема, с помощью некоторого оператора переноса.
Если такая цель будет достигнута, то поровое пространство окажется заполнено некоторым силовым полем, так что реальное тело будет заменено некоторым его сплошным аналогом. Этот аналог представляет собой среду, которая уже не является телом с большой контрастностью свойств. К этому сплошному образу реального тела мы можем применять основные законы сохранения, так как здесь существуют производные, как и в обычном классическом континууме. Этот подход и есть попытка распределить материал по всем точкам пространства, но с помощью некоторых операций. В обычных моделях сплошной среды предполагается, что природа сама создала такой непрерывный образ реальной среды. Некоторые результаты, вытекающие из такой модели сред со структурой, были опубликованы ранее [3], но сейчас есть смысл повторить отдельные формулы с тем, чтобы оттенить моменты, связанные с особым промежуточным состоянием между статикой и динамикой. Такие состояния возможно описать в рамках предложенной в работе модели. Одномерный оператор переноса поля из точки х в точку х ± 10 дается в виде символической формулы [4]:
и( х ± 10) = и (х)е ±1°°х. (2)
В этой формуле участвует символическая переменная
д (3)
В =-
дх
Формальное разложение в ряд Тейлора выражения (2), используя (3), дает конечное приращение поля в форме ряда всех производных с различными степенями среднего размера структуры 10. Разность первого порядка дается выражением
Рис. 1. Элемент структурированного тела со средним расстоянием /о между порами
Рис. 2. К проблеме возникновения неравновесия в отдельных микрообъемах зернистой среды
A = u( x) V0D./2 - e-W) = u (x )sinh(^D^2).
l
l./2
(4)
Выражение А1 в (4) стремится к первой производной при /0 ^ 0. Совершенно очевидно, что первая разность есть разность двух операторов переноса. Аналогично, вторая разность может быть записана в форме: 1
A2 = u^-Ue^/2 -e^/2)2 =
l
= u( x)
sinh2(l0 Dxl 2)
(5)
(-о/2)2
Можно восиользоваться ионятием среднего тензора наиряжений в центре тяжести структуры, затем иере-нести это иоле с иомощью оиератора иереноса на ио-верхность сферы радиуса l0. Тем самым возникнет некоторое неирерывное иоле, содержащее не только средние значения, но и ироизводные наиряжений всех ио-рядков. Применяя теорему Остроградского-Гаусса к этому неирерывному иолю, мы иолучим иоле в центре тяжести структуры, содержащее не только сами объемные силы, но и их ироизводные. Тем самым основные законы сохранения мы ирименяем не к реальной среде, а к некоторому ее силошному образу, т.е. к объемной силе (дивергенции тензора наиряжений), иодвергнутой действию уиомянутого оиератора, который можно назвать оиератором ириведения к силошному телу.
Оиератор иереноса иоля из центра некоторой сферы радиуса l0 на ее иоверхность можно обобщить, следуя идее В.П. Маслова, следующим образом [1]:
P(Dx , Dy, Dz, lo) =
1 2пп
= — J J exp[l0 (Dx sin 0 cos ф +
4n
0 0
+ Dy sin 0 sin ф + Dz cos 0)] sin 0 d0 dф =
sinh(l0VA)
~ijA~
l2 r = E + A + ^ AA +....
З!
5!
(6)
Согласно формуле Пуассона [3], мы имеем:
2пп
11 f (acos9 + Psin0cosф +
о о
+ ysin9sinф) sin9d9 dф =
= 2nJ f (yja2 +p2 +y2 cosp)sinp dp.
(7)
Так что оиератор иереноса иоля P в (6) может быть иереиисан следующим образом:
P(Dx, Dy, Dz) = ij exp(l^VA t)dt =
' -1
1
= J cosh (l0 VA t) dt =
smh(l0>/A)
l.VA
l02A lnAA
--E + — +
З! 5!
-+....
(8)
Интересно отметить, что оператор Р в (8) является функцией символических переменных р1 = д/дх, р2 = = д/ду, р3 = д/дг и удовлетворяет уравнению Гельмгольца с чисто мнимой частотой:
д2Р д2Р д2Р
■ = /пр.
(9)
дР12 дР2 дРз2 Одно из фундаментальных решений уравнения (9), которое при /0 ^ 0 стремится к единичному оператору, есть
р = sinР12 + Р22 + Рз2) = sinh(/^^/А)
J I 2 , 2"
W p1 + p2 + p
l.yJA
Таким образом, гипотеза сплошности Коши и Пуассона приобретает вид Р = Е, т.е. всякое свойство среды есть среднее по любому бесконечно малому объему. Для сред со структурой это, очевидно, не так.
2. Уравнения движения блочной среды
Используя оператор Р, мы можем записать уравнение движения микронеоднородной среды, т.к. закон сохранения импульса прилагается к фиктивной сплошной среде, которая получена при помощи действия оператора Р на реальную среду. Это уравнение приобретает форму:
—[ Р(ал)] = риг.. (11)
дхк
Очевидно, что при /0 ^ 0 имеем Р ^ Е и уравнение движения совпадает с классическим уравнением. Используя (10), уравнение движения (11) может быть переписано в явной форме следующим образом:
( /2 /4 Е + — А + —АА +... а,к = ри.-.
3! 5!
д
dxk
(12)
В частности, если мы примем во внимание только первый и второй члены в правой части (12), мы получим уравнение движения четвертого порядка. Для одномерного случая уравнение (12) имеет более простой вид:
(
E +
l,2 A /а AA
Л
- +...
+ kg и = 0.
(1З)
3! 5!
С помощью подстановки u = A exp (ikx) уравнение (13) дает нам дисперсионное уравнение относительно неизвестного волнового числа k, а именно:
sin(kl0)
kl
-4=0. k2
(14)
При заданной частоте неизвестное волновое число к определяет неизвестную скорость волн, которая зависит от размера структуры /0 или, в соответствии с формулой (1), от удельной поверхности а0 образца. В (14) к8 есть обычное волновое число для продольных или поперечных волн. В случае когда /0 ^ 0, волновое число к ^ к5, т.е. скорость волн равна обычной скорости
упругих волн ¥Р или ¥5. Однако, если /0 не очень малая величина, скорость волн уменьшается вплоть до нуля при к/0 ^ тп, где т есть целое число.
Следовательно, предложенная модель описывает, наряду с продольными и поперечными волнами, множество иных волн со скоростями, ничем не ограниченными снизу. Из уравнения (14) следует, что эффект снижения скорости гораздо более значителен для Р-волн, чем для S-волн. Таким образом, коэффициент Пуассона для мик-ронеоднородных сред понижается по сравнению с обычными сплошными средами. Если коэффициент Пуассона измерен на образцах с использованием отношения скоростей V и ¥Р, то мы имеем увеличение отношения У5/¥Р с ростом /0, что может привести к появлению формально отрицательного коэффициента Пуассона. Множество скоростей, предсказанных уравнением (14), связано с неограниченным числом степеней свободы у сред, содержащих структуры. Этот подход для случая бесконечного числа степеней свободы был опубликован в работе [3].
Наряду с оператором Р, можно построить и обратный оператор Рч. Если оператор Р осуществляет операции сглаживания поля, то обратный оператор Р_1 связан с обострением особенностей реального поля напряжений, вызванных микроструктурой. Этот обратный оператор можно представить в форме:
Р_1 =
/0л/д
зіЛ(і0л/а )
= Е-/2А + 7/<4АА _ 3НоААА
3! 360
-)2£-1
= Е-Е '■
720
+... =
(15)
і=1 /2к)!
Интересна структура этого оператора. Как и в операторе сплошности Р, первый член есть единичный оператор, а второй член имеет противоположный знак по отношению ко второму члену в операторе Р. Поэтому уравнение движения (11) можно также переписать в виде:
—(ст* ) = рр ~\щ).
дхк
(16)
Если решение искать в виде экспоненты с чисто мнимым показателем, то вместо уравнения (13) мы будем иметь знакопеременный ряд, который сходится только в случае к/0 < п. Это, по-видимому, разумно, т.к. высокие пространственные частоты ведут к неустойчивостям, если, конечно, нет диссипативных сил. Это хорошо видно на примере второго члена, содержащего оператор Лапласа. Смена знака квадрата волнового числа в прямом и обратном операторе означает колебательный характер движения в одном случае и неустойчивость (либо неограниченный рост, либо затухание) в другом. Еще одно интересное свойство уравнения
(14) — это наличие комплексных корней упомянутого уравнения.
Эти корни соответствуют неустойчивым решениям, которые либо неограниченно растут, либо убывают. Такие решения могут быть названы параметрическими резонансами по аналогии с неустойчивыми решениями уравнения Матье. Уравнение Матье описывает колебания маятника с движущейся точкой подвеса. В этом случае решения сильно отличаются от аналогичных решений для неподвижной точки подвеса. Наряду с колебаниями несколько более сложного вида при колебаниях точки подвеса и колебаниях самого маятника возникают комплексные решения, которые обычно называют неустойчивыми решениями. Они отвечают либо затуханию колебаний, либо неограниченному росту амплитуды последних. Такие решения обычно называют параметрическими резонансами. Можно показать, что все решения уравнения Матье содержатся в решениях уравнения (13). Это обстоятельство оправдывает то, что неустойчивые решения (13) мы также называем параметрическими резонансами. Естественно, что при обычной модели сплошного тела параметрические резонансы не возникают.
3. Сейсмологический закон Гутенберга-Рихтера
Уравнение (14) дает нам счетное множество вещественных и комплексных корней. Вещественные корни соответствуют устойчивым колебаниям, а комплексные корни соответствуют неустойчивым решениям. Число комплексных корней растет при уменьшении удельной поверхности трещин. Безразмерная удельная поверхность может быть представлена выражением
1
сто ^ 8п/1 - /).
(17)
Величина в (17) есть длина обычной поперечной волны, а е = кд/0. Теоретическая зависимость числа комплексных корней от безразмерной удельной поверхности в логарифмическом масштабе представлена на рис. 3. Здесь отчетливо просматривается близкая к линейной зависимость. Очевидно, что кинетическая энергия, выделившаяся в результате образования трещин, пропорциональна удельной поверхности трещин, если они носят сдвиговый характер без существенного раскрытия. В противном случае выделившаяся энергия пропорциональна объему трещин. В первом случае дефицит потенциальной энергии при образовании трещин (которая тут же пополнится кинетической энергией) дается равенством
Е = | Ри dS. (18)
S
Значение Е в (18) есть кинетическая энергия в силу закона сохранения энергии. Это означает, что мы можем
1од N.
N
Рис. 3. Теоретическая зависимость числа неустойчивых решений от безразмерной удельной поверхности трещин, тангенс угла наклона у = 0.5, отчетливо видна область неединственности при больших энергиях (а); экспериментальная зависимость между числом землетрясений и их энергией, у = 0.5-0.52 (б)
сравнить экспериментальную сейсмологическую связь (число землетрясений как функция энергии) [5] с теоретическим графиком (числом нестабильных решений как функцией безразмерной удельной поверхности). На рис. 3 представлены теоретические и экспериментальные зависимости, отмеченные выше.
Разрывы на теоретическом графике (рис. 3, а) означают, что существуют некоторые запрещенные состояния, при которых не возникает катастрофических ситуаций. Вместе с тем протяженные площадки на том же графике для больших энергий (скопление дискретных точек) означают, что исчезает однозначная связь между удельной поверхностью (пропорциональной энергии) и числом неустойчивых состояний. Это может означать, что при больших энергиях механизмы вспарывания среды не исчерпываются чисто сдвиговыми явлениями, а могут содержать и объемные факторы, такие как раскрытие трещин. При существенном раскрытии трещин дефицит потенциальной энергии будет пропорционален не удельной поверхности, а удельному объему трещин. По-видимому, теоретический график показывает, что закон Гутенберга-Рихтера строго выполняется лишь для чисто сдвиговых механизмов землетрясений.
Тангенс угла наклона с вертикальной осью изменяется на экспериментальной диаграмме от 0.5 до 0.52 и зависит от способа обработки данных (рис. 3, б). На теоретическом графике (рис. 3, а) этот тангенс близок к 0.5. Интересно, что для больших энергий возникает область неединственности, т.е. расширяется область возможных решений. Один горизонтальный линейный сегмент соответствует множеству удельных поверхностей (энергий).
Эта неединственность решений обычно интерпретируется как недостаточная статистическая надежность
экспериментальных данных при больших энергиях, т.к. события с большой энергией сравнительно редки.
Предложенная теоретическая модель пространства объясняет указанный эффект принципиальной неединственностью таких явлений. Кроме того, строгая линейность связана с чисто сдвиговым характером трещин без их существенного раскрытия (рис. 4).
Поскольку в решении не было использовано никаких граничных условий и само решение действует в безграничном пространстве, то можно сказать, что упомянутый закон не имеет никакой сейсмологической специфики. Это, по-видимому, общий закон накопления неустойчивостей в блочных средах.
4. Длинноволновое приближение. Уравнения типа Кортевега-де-Вриза и Буссинеска
Для малых значений /0 в сравнении с длиной волны есть возможность редукции уравнения движения беско-
Рис. 4. Сдвиговый механизм образования трещин (справа) без существенного раскрытия, который соответствует закону Гутенберга-Рихтера и противоположный случай (слева)
Рис. 5. Диаграмма «напряжение - деформация». Кривая нагрузки имеет положительную кривизну. Разгрузка представлена прямой линией. Площадь, заключенная между ними, есть энергия диссипации
нечного порядка к уравнению четвертого порядка, пренебрегая членами, содержащими степени /0 и выше.
В этом случае мы можем рассмотреть также некоторые нелинейные связи между напряжениями и деформациями. Предположим, что имеют место квадратичная нелинейность при нагрузке и линейная связь между напряжениями и деформациями при разгрузке. Для грунтов и горных пород характерно уменьшение напряжений при увеличении деформаций в нелинейной области соответствующей диаграммы. Это означает, что в таких средах ударные волны отсутствуют, а нелинейные возмущения представлены волнами Римана. Редуцированное уравнение движения (11) принимает вид:
Э
дхк
( /2 ^
Е + ^ А 3!
СТік = риі ■
(19)
На рис. 5 показаны квадратичная зависимость между напряжениями и деформациями при нагрузке в виде соотношения стхх = /А + 2ц)/их - Ьы2х), а также линейная зависимость при разгрузке. Площадь петли гистерезиса представляет потерянную энергию вследствие диссипации. При длинноволновом приближении, когда длина волны много больше, чем линейный размер структуры, уравнение движения, где пренебрегают членами, начиная с третьего, приобретает форму уравнения четвертого порядка:
1
(20)
ихх (1 - 2Ь их ) + -° ихххх =— % ■
3! с
С использованием подхода (16) получим близкое ему уравнение:
х /1 - 2 Ь ых) + -
1
. 2 иххи 2 • (21)
3!с c
С помощью замены переменных 5 = ^ - х, п = ^ + х уравнение движения (4) при малой нелинейности и малой дисперсии сводится к уравнению третьего порядка типа Кортевега-де-Вриза. Подстановка характеристических переменных приводит к уравнению четвертого порядка:
(и<£ + 1
(пп- 2^п)[1 - 2Ь Ц- Щ)]+
+ 3![(и55 + ипп- 2и5п )лл-
- - 2и^ )ц +
+ 2(и^ + ипп - 2и^л )^л ] =
= и55 + ипп+ 2и5п • (22)
Дальнейшая редукция полученного уравнения связана с малой нелинейностью и малым значением дисперсии. Для волны, распространяющейся в одном направлении, при малых указанных выше факторах оператор дифференцирования по одной из переменных много
больше, чем по другой, т.е. Э/Э^>>Э/Эп. Таким обра-
/2
зом, произведение малого параметра, скажем /0, на производную в направлении п следует считать малой величиной второго порядка.
Выделим члены первого порядка малости. Имеем:
и55 + ипп - 2и5п = и55 + ипп + 2и5п ■
(23)
Учет членов первого порядка приводит к волновому уравнению вида и^п = 0. Второй порядок малости
/о2/3!*
нелинейным членом
связан со слагаемыми
2Ь2и^и^, а также смешанной производной 4и^п. Остальные члены содержат произведения малых параметров дисперсии и нелинейности на малые производные по координате п и могут быть опущены. В этом случае уравнение (22) с учетом малой нелинейности и малой дисперсии приобретает форму:
4и5п - 2Ъ и5и55 + —и5555 = 0.
(24)
Исключая одно интегрирование по координате 5, получаем уравнение типа Кортевега-де-Вриза:
ип - Ъ ии5 + -3°!и555 = 0.
(25)
Классическое уравнение К&У имеет противоположный знак нелинейного члена. Этот факт возникает потому, что для почти всех горных пород кривизна диаграммы «напряжение - деформация» положительна, т.е. скорость волн убывает с ростом давления и ударные волны неустойчивы. Для воды, не содержащей пузырьков воздуха, имеет место рост скоростей волн с ростом давления, так что знак в уравнениях (24), (25) у второго члена будет положителен. Тогда бы мы имели классическое уравнение К&У. Благодаря этому факту уравнение (18) для грунтов и горных пород не имеет решений типа со-литонов. Роль нелинейного члена будет обозначена ниже. Если нелинейный член отсутствует, это уравнение близко (при малых значениях дисперсионного члена) к уравнению Буссинеска, т.е.
1
ихх + _ . ихххх 2 иМ.
с
3!
(26)
Если бы мы воспользовались уравнением движения в форме (16) и ограничились первыми двумя его члена-
ми, то иолучили бы уравнение Буссинеска в классической форме, а именно:
1
„ . 2 Uxxtt 2 Utt ‘
3!c c
(27)
В (26) второе слагаемое /о/3! ихххх есть дисперсионный член. Будем искать решение уравнения (19) в виде волны:
і -ах/с
u = cTF
(28)
В (28) Т есть характерное время импульса, в то время как а полагаем некоторой постоянной, большей единицы. Считая F' = ф(^), мы можем написать вместо уравнения (19) обыкновенное нелинейное уравнение вида:
„ З!(а-1) 3!b2 2
ф +^^т~ ф = -^ ф-
а
а
(29)
Теперь положим, что в уравнении (29) обозначено: 3!(а2 - 1)(сТ)2/(/0а4) = 1, е = /0/(сТ), а = 1 + 1/2е2.
Значение ф можно представить как произведение ф = ф0ф, где постоянная величина ф0 равна характерной деформации, например пределу упругости по деформациям. Это позволяет записать (29) в более простой и ясной форме:
ф'г + ф+Рф0ф2 = 0.
(З0)
Здесь в = 3!й2/(ае2). Таким образом, несмотря на то, что ф0 — очень малая величина в сравнении с единицей, произведение ее на большую величину в — уже не есть очень малая величина, т.к. а = 1, потому что е — также малая величина для размеров структуры, малых в сравнении с длиной волны. Значит, дисперсионные явления в микронеоднородных средах резко увеличивают нелинейные эффекты в случае положительной кривизны диаграммы «напряжение - деформация». Точное решение (23) можно записать в явной форме: dp
t - ox/ c = j
(З1)
T 2 У1 - p2 -РфоР3
При вф. ^ 0 это решение стремится к обычной сину
t -ox/c = ф
rp J
соиде, в то время как более общее решение (30) принимает вид:
dp
- о У с + Cp - p2 -P<p0p3' (32)
Здесь Cl и С — произвольные постоянные. Интеграл (32) описывает более широкий класс явлений, чем интеграл (31). Мы можем линеаризовать уравнение (30), используя вместо функции р2 близкое ей выражение р2 ~ p cos £, поскольку cos £ является решением при малом значении параметра Рр0 ^ 0. Другими словами, мы можем использовать приближенное равенство р2 =рcos£, имея ввиду, что £ = (t -ах/c)/T. В этом случае возникает линейное уравнение Матье:
ф* + ф| 1 + -^0cos £ | = 0
(ЗЗ)
Это уравнение содержит как устойчивые колебания, так и неустойчивости, т.е. классические параметрические резонансы. Неустойчивые решения в данном случае есть просто затухающие колебания. Роль параметра здесь играет не крайне малая величина ф0, а гораздо более значительный фактор — отношение ф0 /е2. Затухание синусоидального импульса с расстоянием из-за нелинейности дано на рис. 6. При отсутствии нелинейного параметра график представляет собой обычную синусоиду.
Параметр нелинейности не является очень малой величиной из-за большого множителя 1/ е2.
На рис. 6 показано возникновение затухания синусоидального импульса из-за неожиданно больших нелинейных эффектов. Если декремент затухания равен 0.1, имеет место некоторое затухание с почти постоянным логарифмическим декрементом. При большем параметре, равном 0.5, имеет место более значительное затухание с непостоянным логарифмическим декрементом. Кроме указанных решений, уравнение (33) содержит также и растущие решения. Однако в этом разделе они не рассматриваются. Здесь все внимание сосредоточено на затухающих колебаниях.
Рис. 6. Затухание синусоидального импульса с расстоянием, логарифмический декремент почти постоянен, нелинейный параметр — 0.1 (а) и
0.5 (б)
0.14
0.10
0.06
0.02
II
Г1
2000
4000 6000
Частота, Гц
8000
10000
Рис. 7. Спектр сигнала поперечной волны на частотах /1 и /2
Соответствующие экспериментальные наблюдения были проведены на цилиндрическом образце искусственного песчаника (длина — 1 м, диаметр — 0.76 м, пористость — 0.3 и плотность — 2 г/см3), подвергнутом воздействию двух вибраторов с двумя различными частотами 6100 и 7720 Гц.
Спектры сигналов, зарегистрированные на плоскости цилиндрического образца, где был помещен источник, даны на рис. 7, 8.
Приемник регистрирует разностную частоту 1 620 Гц на расстоянии 75 см от источника. Интересно, что амплитуда разностной частоты необычно велика, т.е. достигает порядка нескольких (до 10 %) от первоначального сигнала [6].
Классический подход, связанный с уравнениями второго порядка, предсказывает нелинейные эффекты порядка квадратов деформаций. Таким образом, можно сделать вывод, что дисперсионные явления резко обостряют нелинейные явления в микронеоднородных средах, так что даже слабые колебания производят существенный нелинейный эффект.
5. Гамма-распределение размеров случайных структур. Роль дисперсии случайных размеров структуры в появлении неустойчивостей
Одним из распределений размеров структур, близким к реальным случаям, является гамма-распределение, которое характеризуется двумя параметрами. Плотность распределения дается выражением
; 0.10
0.06
0.02
— Левый ДУ — Правый ДУ
I . , I . 1 1 .1 * ■ 1 1
2000
4000 6000
Частота, Гц
8000
10000
Рис. 8. Спектр комбинационных частот на правом (а) и левом (б) торцах образца. ДУ — датчики ускорений
ва
/ ( х) = -!— ха-1е“вх.
Г (а )
При обычных условиях нормировки (34)
ва м
F (м) =-------1 ха~1е~вх(х = 1,
Г(а) 0 ’
а среднее значение определяется формулой
ва 7 а -рх( = ра Г(а +1) = а
в.
Мх =--1 хае вх(х = - ,
Г(а) 0 Г(а) в
(35)
Случайная величина /(^) есть реальное расстояние между блоками. Здесь ^ есть случайная величина. Среднее значение величины !(^) равно (/(£)) = /0.
Если потребовать, чтобы среднее значение Мх в (35) было равно единице, т.е. среднее расстояние между блоками было равно /0, то необходимо в (34) положить в = а, так что дисперсия принимает вид:
„2 ва 7 а-1 ( 1Ч2 -вх ( а 1
„ =----------I х (х -1) е Лх = Г" = —.
Г(а) 0 в2 а
(36)
Можно показать, что среднее значение случайной величины епри ю = /0(Бхпх + Бупу + Огп2) равно
м
е®)=—Г еН е"а^ = Г(а) 0 ^ ^
У У
а
а-ю
(37)
Формула (37) дает возможность записать оператор Р для случайных структур с гамма-распределением. Используя формулу Пуассона [7], имеем:
1 ( Ла
(к. (38)
а
а
-/0л/Д1
Значение а определяется (36). Используя (38), мы можем получить дисперсионное уравнение для структур со случайными размерами, имеющими гамма-распределение 1(£), и средним размером (/(£)) = /0:
1
1 (
а
Л
а
а - Ш01 0
kS2 (1 = Ц-
(39)
При а ^ м уравнение (39) сводится к уравнению (14): sin(k/0) kS к/0 k2
или в иной форме: г sin( г) = е2,
где г = к/0, е = к^0. В случае |1т(г)| = |у| < а мы можем использовать другую форму интеграла в (38), а именно [7]: м
7 ха~2е~ах sin (гх) (х =
0
Г(а-1)
-(а2 + г 2)<-1>/2*т [ (“- 1)аГС,8а)- (40)
Уравнение (40) может быть записано в виде:
га ^((а- 1)агс,ё( 2/а)) = е2(а> ^(г)!) (41)
(1 + г2/а2)(а-1)/2(а -1) е (а> (41)
Для больших значений а, т.е. для малой дисперсии размеров структур, возникает уравнение (14) со средним значением случайной величины ^ равным единице.
6. Сухое трение в микронеоднородных телах
Поверхностная сила трения есть произведение нормального напряжения на коэффициент трения р. Обозначив вектор нормали к поверхности контакта как п, а вектор перемещения — «', напряжение — „, имеем для г-й компоненты вектора поверхностной силы трения:
^пов = р„]1п]п11 ^п (П, ^ )|. (42)
Объемная сила трения определяется как произведение поверхностной силы трения на удельную поверхность контактов:
Floб = р„0„]ПП1 |яп(п, )|. (43)
Среднее значение случайной величины ^т(п, )| =
= 1/2, так что, обозначив е{ как г-ю компоненту единичного вектора, получим для объемной силы трения:
Ff = 2р„0(„хх(П2Х ) + „ууП) + „ггП)) е1. (44)
Для одномерного случая уравнение движения с трением на поверхностях контактов зерен записывается в форме:
до 1 1 ..
-dSL + тРО0Оxx = ~г ux.
dx 2 V
(45)
Здесь V — скорость продольной либо поперечной плоской волны.
Таким образом, объемное трение инициирует появление диффузионного члена с первой производной по пространственной координате 1/2 р„0и и уравнение движения (45) сводится к уравнению телеграфного типа:
и " + 2 р„0и ' = —^ и. (46)
Для микронеоднородных (блочных) сред уравнение движения (46) имеет вид:
Pu +1 ро0 (P - E )u = -1- u.
2 V2
(47)
Здесь оператор Р для одномерного случая дается выражением (8). Следует сказать, что сила трения снабжена оператором Р—Е, т.е. в случае исчезновения микронеоднородностей в приближении к сплошной среде объемное трение исчезает, т.к. исчезают внутренние поверхности, по которым трение только и возможно. Иными словами, сила внутреннего трения целиком обязана флуктуациям среднего поля, а не средним значениям последнего.
1-
Ve = -u sin Є
Зо+
2r
3r
1 О
1 4r
„з А
2r3
„з А
(48)
Здесь и означает скорость флюида на бесконечности. Дивергенция такого поля равна нулю, и это поле удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса. Кроме того, на поверхности раздела «твердый скелет - флюид», т.е. при г = г0, относительная скорость равна нулю. Вязкие напряжения в этом случае даются известными формулами:
= 2Л^ =
гг
дг
= -2u cos (
V
3ro 2r 4
.3 А
= 0,
0гЄ=П
1 Э^ + dve r Эе dr
(49)
= -—u sin I 2
= -----nu smt
2r.
Здесь первый и второй члены суть нормальные и касательные напряжения в твердом скелете. Следовательно, вязкое сопротивление равно касательному напряжению в (43). Сила трения не меняет знака при изменении направления движения, поэтому необходимо использовать абсолютное значение величины sin 9. Принимая во внимание, что (| sin 91) = 1/2, мы можем записать объемную силу трения в форме:
Ff =
3°о
4rA
3о0
4rA
-ж (50)
'0 "”0
Переменная w в (43) есть поле перемещений. Уравнение движения для классического континуума есть телеграфное уравнение типа:
/л ^ \ •• Зпо. .
(Л + 2ц) wxx = pw +----------2 w.
4r0
(51)
Уравнение движения для континуума со структурой имеет вид, подобный (47):
(Л + 2ц)Pwxx = pW + (P - E) П 2 W.
4r0
(52)
Диффузионные члены в (51) и (52) означают, что трение пропорционально удельной поверхности контактирующих фаз. Разница между сухим и вязким трением лишь в том, что в первом случае диффузия связана с первыми производными пространственных координат, а во втором случае — с производными по времени.
7. Вязкое трение в микронеоднородных средах
При течении флюида сквозь гранулярный коллектор со средним радиусом зерна г0 локальная скорость частиц может быть представлена в форме:
8. Волны при статическом нагружении блочных сред
Вернемся к рис. 2. В объеме, ограниченном поверхностью С, мы можем гарантировать выполнение урав-
нения равновесия. Все поверхностные силы могут быть компенсированы на некоторой сфере, состоящей из материала твердого скелета. Однако на поверхности D, которая может содержать лишь малое множество точек скелета (в частности одну), нельзя гарантировать выполнение уравнения равновесия. Тело может быть уравновешенным в среднем, т.е. может возникнуть макроскопическое равновесие, но не уравновешенным в отдельных микрообъемах (могут возникать отдельные динамические акты). Для описания такого состояния тела, в некотором смысле промежуточного между статикой и динамикой, нужно использовать флуктуационный оператор Р—Е в поле сил инерции. Уравнение движения имеет вид:
Л
—[Р(„л)] = р[Р - Е ]щ. (53)
дхк
Для сплошной среды выполняется Р ^ Е, стало быть, левая часть (52) обращается в нуль и мы имеем классическое уравнение равновесия. Однако для блочных сред появляются некоторые возможности отдельных динамических актов случайного характера. Возникает вопрос, могут ли при некоторых условиях эти акты стать настоящими волнами, волнами в обычном смысле? Для ответа необходимо исследовать уравнение (53). Обозначив функцию
га
/ (2,а) =
(а-1)(1+22/а2)(а-1)/2'
х sm
(а- 1)агС^-
а
и используя (41) и (10), мы можем записать дисперсионное уравнение квазистатических процессов в виде:
/ (2, а) = є
/(2>а)
-1
(54)
Здесь 1/а = „2 есть дисперсия размеров структур, подчиняющаяся гамма-распределению.
9. Квазистатика тела в целом и динамика отдельных микроструктур
В случае отсутствия макроскопической динамики уравнение движения (11) приобретает вид: д
Эх,
)] = [Р - Е ]рй.
(55)
Появление в этом уравнении оператора Р—Е означает полное отсутствие динамики (Р = Е) в случае обычного классического континуума.
В одномерной ситуации с трением и дисперсией размеров уравнение можно записать в форме:
Ри - (Р - Е)и Ъ0р = \ (Р - Е)и
(56)
Уравнение (55) описывает промежуточные процессы между статикой и динамикой. Уравнение (56) описывает те же процессы, дополненные влиянием сухого тре-
ния. Блочные среды могут находиться в состоянии равновесия в целом, но с возможностью отсутствия этого состояния в некоторых микробъемах:
Р ^ = (Р - Е )ри. (57)
дхк
Для среды с внутренним трением дисперсионные уравнения принимают вид двух соотношений:
2 , • ыч'г 2Л
2
Ке / (2а)2 + ір8(/ (2а) - 2 ) = є / (2, а) - 22 1т / (2а) 2 2 + ір8( / (2а) - 2 2) = 0
(58)
^ л 2 - (59)
/(г, а) - г
В (58), (59) е = к^0, г = к/0, р — коэффициент трения, 8 — удельная поверхность контактов.
На рис. 9, а показаны корни дисперсионного уравнения, соответствующего уравнению (48), для волн в среде с малыми вариациями размеров структур (а = 300). По оси Z отложена безразмерная величина е = кв/0. Это фактически отношение размера структуры к длине обычной поперечной волны. По осям х и у отложены вещественная и мнимая части величины: х = Re(k/0), у = 1т(к/0). Вещественная часть означает реальную скорость в блочной среде при заданных размерах длины волны и размера блока, которая может как угодно отличаться от классической скорости поперечной волны. По-
Рис. 9. Волны в промежуточном состоянии макростатики и микроколебаний при малой (а) и большой (б) дисперсии размеров элементарных структур
этому если какая-либо точка на рис. 9, а имеет малую координату Z по сравнению с координатой X, то это означает крайне низкую скорость волны по сравнению с обычной поперечной волной. Если эти координаты близки, то и скорость реальной волны близка к скорости поперечных волн. Ось У соответствует мнимым частям корней дисперсионного уравнения. Это либо затухания (отрицательные значения У), либо катастрофы (положительные значения на оси У). В окрестности начала координат волны в обычном смысле отсутствуют. Волны начинаются с очень малых скоростей (Z << X). Малые черные точки соответствуют устойчивым решениям. Катастрофы (большие черные кружки) начинаются, когда скорости волн приближаются к скоростям обычных поперечных волн Z ~ X. Большие белые кружки соответствуют затухающим решениям.
На рис. 9, б показаны волны в квазистатике для больших значений дисперсии размеров структур (а = 5). В окрестности начала координат (очень низкие частоты) имеет место статика, как и в предыдущем случае. Однако на сей раз катастрофы начинаются даже тогда, когда волны движутся с очень малыми скоростями, во много раз меньшими, чем скорости поперечных волн. Это выражено очень малым диапазоном изменения координаты Z, именно Z << X. Малые черные точки означают устойчивые колебания, большие черные кружки — это катастрофы, большие белые кружки означают затухающие решения.
10. Выводы
Новая модель континуума со структурой, которая принимает во внимание не только пористость, но также удельную поверхность пор и трещин или средний размер структуры, дает нам дифференциальные уравнения движения и равновесия бесконечного порядка. Эта модель предсказывает, помимо обычных упругих волн, также множество волн с необычно низкими скоростями, ничем снизу не ограниченными. Причина появления таких волн состоит в том, что блочные среды обладают большим числом степеней свободы.
В блочных средах представительный объем элемента среды имеет конечные размеры. Тем самым, лишь некоторый минимальный объем среды можно привести к равновесию, произвольно малые объемы среды могут быть не уравновешены даже при равновесии тела в це-
лом. Это означает, что макростатика может содержать микродинамику. Отдельные динамические акты могут порождать волны в собственном смысле этого слова, и приводить к катастрофическим событиям.
Сухое трение может блокировать катастрофы. Для почти периодических структур катастрофы развиваются лишь тогда, когда скорость волн достигает скорости поперечных колебаний в сплошной среде. Для структур с большой дисперсией размеров этот эффект возникает даже тогда, когда скорость волн в микронеоднородной среде очень мала по сравнению со скоростями обычных упругих волн. Небольшая дисперсия геометрических размеров блоков стабилизирует среду. Вместе с тем уменьшение трения благодаря наличию флюидов или повышению температуры резко обостряет ситуацию, и нестабильность усиливается, особенно для почти периодических структур.
Число неустойчивых решений в зависимости от их энергии соответствует закону повторяемости землетрясений Гутенберга-Рихтера.
Для обычных моделей непрерывных сред нелинейные эффекты должны быть пренебрежимо малы в случае малых колебаний. Однако в средах со структурой дисперсионные эффекты резко усиливают нелинейные явления, так что они становятся заметными и порождают кратные частоты с амплитудами, составляющими до десяти процентов от основной частоты.
Литература
1. Сибиряков Б.П. Возникновение нелинейных колебаний при слабых возмущениях и генерализация трещин в процессе разрушения // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 6. - C. 53-57.
2. Sibiriakov B.P. Supersonic and intersonic cracking in rock-like material under remote stresses // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2002. - V. 38. -No. 3. - P. 255-265.
3. SibiriakovB.P., PrilousB.I. The unusual small wave velocities in structural bodies and instability of pore or cracked media by small vibration // WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics. -2007. - Iss. 7. - V. 2. - P. 69-79.
4. Маслов В.П. Операторные методы. - М.: Наука, 1973.
5. Ризниченко Ю.В. Проблемы сейсмологии. - М.: Наука, 1985. -68 с.
6. Егоров Г.В., Машинский Э.И. Бигармонические продольные и поперечные волны в пористом образце искусственного песчаника при аксиальном давлении // Технологии сейсморазведки. - 2011. -№ 1. - С. 72-77.
7. Рыжик И.М., Градштейн И.С. Tаблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1963. - 1108 c.
Поступила в редакцию 14.11.2011 г., после переработки 30.03.2012 г.
Сведения об авторах
Сибиряков Борис Петрович, д.ф.-м.н., гнс ИНГГ СО РАН, [email protected] Прилоус Борис Иванович, нс ИНГГ СО РАН, [email protected] Копейкин Алексей Викторович, асп. ИНГГ СО РАН, [email protected]
