CC BY
50
УДК 551.435.587 ББК 26.823
Илья Иосифович Железняк,
доктор технических наук, старший научный сотрудник, Институт природных ресурсов, экологии и криологии СО РАН,
672000, Россия, г. Чита, ул. Бутина, 26, e-mail: [email protected] Святослав Евгеньевич Холодовский, доктор физико-математических наук, профессор, Забайкальский государственный университет, 672039, Россия, г. Чита, ул. Александре-Заводская, 30,
e-mail: [email protected]
Природа и модель распространения температурных волн в курумах1
Приведены сведения о природе образования курумов и видах льда в них. Представлена математическая модель распространения температурных волн в курумах. Решена одномерная краевая задача теплопроводности в кусочно-однородных средах с синусоидальной граничной функцией, зависящей от времени, что моделирует колебания температуры на поверхности курумов.
Ключевые слова: краевые задачи теплопроводности, кусочно-однородные среды, курумы, температурные волны.
Ilya Iosiphovich Zheleznyak,
Doctor of Technical Sciences, Senior Scientific Employee, Institute of Natural Resources, Ecology and Cryology SB RAS,
26, Butina st, Chita, Russia, 672000, e-mail: [email protected] Svyatoslav Yevgenyevich Kholodovskii, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor,
Transbaikal State University, 30 Aleksandro-Zavodskaya St., Chita, Russia, 672039,
e-mail: [email protected]
Nature and Model of Temperature Waves' Propagation in Kurumas2
The knowledge of the nature formation curumas and types of ice into it's bodies are provided. Mathematical model of temperature waves propagation in kurumas under convective heat exchange is presented.
Keywords: boundary value problem of heat conduction, piecewise-homogeneous medium, kurums, temperature waves.
1 Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Министерства образования и науки Российской Федерации (проект 2014/255 НИР 2603.14).
2The work was performed as part of the State job university Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project 2014/255 research 2603.14).
44
(с) Железняк И. И., Холодовский С. Б., 2015
Курумы - скоплёния на склонах и у подножий гор глыбовых и крупных обломков скальных горных пород, образовавшиеся в результате интенсивного выветривания обнаженных скальных массивов. Курумы залегают в виде площадных или вытянутых в плане отложений. В Забайкалье мощность курумов составляет от нескольких десятков сантиметров до нескольких десятков метров. Основанием курумов служат сплошные массивы скальных пород. Результаты исследований, посвященных закономерностям распространения и строения курумов в зависимости от их фациальных признаков, приведены в обобщающей работе [1]. Оценка формирования теплового и водного режима крупнообломочных склоновых отложений по результатам экспериментальных и теоретических исследований выполнена в работе [2]. Исследованиям условий образования и накоплёния льда, формирования температурного режима курумов и использования их в качестве оснований сооружений различного назначения посвящена работа [3].
В настоящее время инженерно-геологическая оценка курумов для целей их использования в качестве оснований сооружений не представляется возможной. В первую очередь это связано с тем, что их пустотность, хаотичность контактов между обломками и неправильность геометрических очертаний обломков характеризуют курумы как не сплошное тело. По этой причине к курумам не применимы законы механики и теплофизики горных пород, основанные на законах физики твёрдого тела, обладающего сплошностью. В курумах содержится вода в жидкой фазе лишь в нижней части разреза, заполненной мелкоземом. В верхней и средней частях разреза курумов в пустотах между обломками вода содержится в парообразном состоянии при положительных температурах, а при отрицательных - в виде льда, инея или снега.
Одной из наиболее актуальных задач инженерно-геологической оценки курумов, как природных объектов и оснований сооружений, является задача о распространении температурных волн в курумах. Решение этой задачи возможно на основе математических моделей, разработанных А.И.Янушаускасом [3, глава 6].
Рассмотрим модель распространения температурных волн в куруме 0\(0 < г < К) малой мощности И, И^Ь < г < оо) - подстилающий пласт скальных пород (ось 2 направлена вертикально вниз). При этом учитываем различие коэффициентов теплопроводности в куруме ив подстилающем грунте В данной модели полагаем, что в каждом вертикальном сечении процесс теплообмена одинаков, т. е. рассматриваем одномерную задачу теплопроводности по пространственной переменной Пусть на внешней границе куру-ма при г — 0 задано изменение температуры (потенциала) по синусоидальному закону от временем что моделирует суточные или сезонные колебания температуры. Задачу рассматриваем без начальных условий, т. е. —оо < £ < оо. Отсюда для тепловых потенциалов щ(г,Ь) в Иг задача имеет вид
дгЩ = а^д^щ, г = 1,2; «1(0, Ь) = АвтизЬ, (1)
г = К\ щ=и2, кгдгщ = к2дги2, (2)
где д" = дп/дгп, а? = ^/(щр^, постоянные щ и рг - соответственно теплоёмкость и плотность материала зоны Иг [4]. Условия сопряжения (2) выражают непрерывность потенциалов и тепловых потоков на общей границе г = к зон Аналогичная задача с другими условиями сопряжения рассмотрена А. И. Янушаускасом в работе [3, с. 159]. Следуя работе [4, с. 243], представим решение задачи (1), (2) в виде комбинаций экспоненциальных и тригонометрических функций:
и\{х, £) = Ьхе-"12 — + (А — Ь^е"12 + и\г)+
Ученые записки ЗабГУ 3(62) 2015
+Ь2е "1г соа^-щг) -Ь^^сов^ + игг), 0 < г < к, (3)
и2 (г, г) = Ьъе-^-^ - и2г) + cos(a^í - ^г), г> к, (4)
где
Отсюда функции (3), (4) удовлетворяют соответствующему уравнению и граничному условию (1), что проверяется непосредственно. Из условий сопряжения (2) для четырех параметров получим замкнутую систему линейных алгебраических уравнений вида
вф! ~ сф2 + С2Ь3 + 52&4 = /ъ сфх + в^Ьг - 52Ь3 + с2Ь4 = /2,
Г1&1 - Г2Ь2 - ¿163 + ¿264 = /з, Г2&1 + Г1&2 - (¿2^3 - ¿1&4 = /4, (5)
где постоянные = 2с± эЬ^/г), с^ = 2з± с\\{р\К), с^ = соб^Н), вг = зт(щН), г± = + е-^а^, г2 = + , <тг+ = а + аТ = а - в*, ¿1 = Яет^, ¿2 = как =
^201/(^102), /1 = Л)С1, /2 = А)в1, /з = А)о"Г> /4 = Л)^, А) = Ае"1'1. С учетом знаков коэффициентов системы (5) можно показать, что для малых мощностей курумов к эта система однозначно разрешима. При этом решение системы (5) строится по правилу Крамера:
Ьг = (6)
где определитель системы Д ф 0.
Таким образом, решение задачи (1), (2) строится в конечном виде в элементарных функциях по формулам (3), (4), (6), что допускает всестороннее исследование рассмотренного процесса по различным параметрам.
Список литературы
1. Романовский Н. Н., Тюрин А. И., Сергеев Д. О. Курумы гольцового пояса гор. М.: Наука, 1989. 148 с.
2. Банцекина Т. В., Михайлов В. М. К оценке роли внутригрунтовой конденсации водяных паров в формировании водного и теплового режимов крупнообломочных склоновых отложений // Криосфера Земли. 2009. Т. 13. № 1. С. 40-45.
3. Железняк И. И., Мальчикова И. Ю., Шполянская Н. А., Янушаускас А. И. Курумы Северного Забайкалья. Новосибирск: Наука (Сибирское отделение), 1992. 179 с.
4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.
References
1. Romanovskij N. N., Tjurin A. I., Sergeev D. 0. Kurumy gol'covogo pojasa gor. M.: Nauka, 1989. 148 s.
2. Bancekina Т. V., Mihajlov V. M. К ocenke roli vnutrigruntovoj kondensacii vodjanyh parov v formirovanii vodnogo i teplovogo rezhimov krupnooblomochnyh sklonovyh otlozhenij // Kriosfera Zemli. 2009. T. 13. № 1. S. 40-45.
3. Zheleznjak I. I., Mal'chikova I. Ju., Shpoljanskaja N. A., Janushauskas A. I. Kurumy Severnogo Zabajkal'ja. Novosibirsk: Nauka (Sibirskoe otdelenie), 1992. 179 s.
4. Tihonov A. N., Samarskij A. A. Uravnenija matematicheskoj fiziki. M.: Nauka, 1977. 736 s.
Статья поступила в редакцию 29.04-2015
