Принятие решения о коррекции координат системой навигации по геофизическому полю в условиях постоянных ошибок измерения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 629.7. 05

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ О КОРРЕКЦИИ КООРДИНАТ СИСТЕМОЙ НАВИГАЦИИ ПО ГЕОФИЗИЧЕСКОМУ ПОЛЮ В УСЛОВИЯХ ПОСТОЯННЫХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЯ

А.И. НАУМОВ

Получены условия и предложен метод принятия решения о коррекции координат местоположения с заданной вероятностью в поисковом алгоритме системы навигации по геофизическому полю при наличии в измерениях постоянной ошибки, рассматриваемой как выборочная реализация случайной величины с известной статистикой.

Ключевые слова: система навигации по геофизическому полю, принятие решения о коррекции в поисковом алгоритме корреляционно-экстремальной навигации.

1. Введение

Корреляционно-экстремальные навигационные системы (КЭНС), относящиеся к классу систем навигации по геофизическим полям (ГФП), являются эффективным автономным средством коррекции счисленных навигационных параметров летательных аппаратов (ЛА). Одной из главных классификационных характеристик КЭНС является тип алгоритма обработки измерений ГФП, в соответствии с которым выделяют: поисковые, беспоисковые и комбинированные системы [1]. В условиях больших возможных начальных ошибок определения навигационных параметров основной навигационной системой подвижного объекта наиболее эффективно применение поисковых КЭНС. Принцип действия поисковых алгоритмов КЭНС заключается в выполнении последовательных измерений навигационной характеристики ГФП и поиске на множестве известных картографических реализаций этой характеристики той, которая соответствует экстремальному значению параметра, характеризующего их корреляционную зависимость с измеренной последовательностью значений.

Одной из основных задач при практической реализации систем данного класса на борту ЛА является определение числа измерений ГФП, которые необходимо обработать для достижения заданной точности. Сложность этой задачи обусловлена тем, что в процессе обработки информации в поисковом алгоритме оценка точности решения непосредственно не формируется. В работах [1; 2] в рамках статистического подхода разработана теория точности и получены условия на необходимое число измерений для случая, когда измеряемое ГФП в районе коррекции является эргодическим. При этом постоянная ошибка измерения ГФП предполагается малой и ее включают в состав обобщенной ошибки измерения ГФП, или же расширяют множество рассматриваемых гипотез поисковой КЭНС за счет гипотез о величинах постоянной ошибки измерения, что резко увеличивает потребные вычислительные затраты [2].

Следует отметить, что условие эргодичности в практических задачах навигации по ГФП выполняется не всегда. В [3] предложен метод принятия решения о коррекции в поисковом алгоритме КЭНС для неэргодических ГФП при условии отсутствия постоянной ошибки измерения, например, при измерении на борту ЛА вместо навигационной характеристики ГФП ее приращений на некоторой линейной базе. Однако измерение приращений сопровождается удвоением дисперсии случайных шумов измерения. В статье получены условия и предложен метод принятия решения о коррекции координат местоположения с заданной вероятностью в поисковом алгоритме КЭНС при наличии в измерениях характеристики неэргодического ГФП постоянной ошибки, рассматриваемой как выборочная реализация случайной величины с известной статистикой.

2. Условия и метод принятия решения о коррекции

Предположим, что основная навигационная система объекта в моменты времени ї., . = 1, 2, ...

определяет методом счисления пути координаты местоположения; без потери общности можно полагать, что счисленные координаты преобразованы в некоторую прямоугольную систему координат (Х(ї. ),у (ї.)) = (Х. у.), согласованную с системой координат бортовой карты характеристик измеряемого ГФП. Предположим также, что (х. у . ) на рассматриваемом интервале времени характеризуются постоянными ошибками (8х,8у), для которых известны параметры априорного распределения, что позволяет сформировать область поиска этих ошибок.

Относительно решения основной навигационной системы в каждый из моментов времени ї. строится доверительный квадрат (ДК) алгоритма КЭНС: множество точек, задаваемое регулярным сеточным разбиением координатной плоскости с постоянным шагом по каждой из координат 1х и 1у относительно центра в точке (х. у.) и формализующее образ области поиска. Точка ДК с индексами (т, п) соответствует гипотезе о том, что координатные ошибки счисления основной навигационной системы составляют 5х = 1хт, 5у = 1уп ; далее будем полагать выполненным условия I = 1х = I ; -Ых < т < Ых, -Ыу < п < Ыу; константы Ых и Ыу формализуют границы области поиска.

Одной из наиболее распространенных форм практической реализации поискового алгоритма КЭНС является итерационный расчет квадратичного целевого функционала (ЦФ) следующего вида [2]

£

I(т, п,£) = £ (К (Х. + т •1, У. + п •1) - 4,.)2, (1)

.=1

где Ъп . = Ип (ї.) - измерение характеристики ГФП в ]-й момент времени;

^ (х(ї. ) + т • I, у(ї. ) + п • I) - восстановленное по бортовой карте значение измеряемой характе-

ристики ГФП, соответствующее гипотезе (т, п) для того же момента времени; £ - число учтенных измерений, определяющее текущую длину реализации накопления информации алгоритмом КЭНС.

Решением поискового алгоритма КЭНС является та гипотеза (т, п), которая доставляет ЦФ (1) глобальный минимум [2]

(т*, п* ) = аг§шіп (I (т, п, £)), (2)

(т,п)

соответствующие корректирующие поправки к координатам местоположения ЛА, счисленным основной навигационной системой, определяются как

З-Хсорр = т*1; ЗУкорр = п*1.

В случае эргодичности ГФП в районе применения КЭНС определение длины реализации, необходимой для принятия решения о коррекции, выполняется на основе анализа значений среднего квадратичного отклонения (СКО) вариаций оп и радиуса корреляции рп измеряемой

характеристики ГФП, а также СКО случайной ошибки измерения оизм [2].

В случае невыполнения свойства эргодичности принятие решения о коррекции может быть выполнено с применением метода локализации экстремума ЦФ (1) с заданной доверительной вероятностью, использующей представление ЦФ в виде суммы детерминированной и случайной величин [3]. Отметим, что в [3] этот метод был разработан для случая измерения приращений навигационной характеристики ГФП А Ьп. = Ъп (Х. у. ) - Ип Х у1: ), где Ип (Х. у. ) - измерение

в текущей точке траектории движения объекта; Ип (%Ь уЬ) - измерение в точке траектории,

предшествующей текущей и отстоящей от нее на заданное линейное расстояние Ь, именуемое базой приращения. В настоящей статье метод распространяется на случай обработки в алгоритме КЭНС непосредственного измерения характеристики ГФП с некоторой постоянной ошибкой измерения.

Проанализируем структуру ЦФ (1) в условиях, когда измерение характеристик ГФП сопровождается постоянной ошибкой 8И_ и случайными ошибками 8И~у,у = 1,2, . ..£. В этом случае

для гипотезы с индексом (т, п) ЦФ может быть преобразован к виду

£

I(т,п,£) = £ (ху. уу. ,т,п,т*,п*)2 _

У=1

£

_2£ (ДА* (х. ,у. ,т,п,т*,п*)(8И_ + 5И~у) + (3)

у=1

£ £

+£ (8А~у- )2 + 8И_ (£ Ък~у) + £ (8И_ )2 = А1(т,п,т*,п*) + А2(т,п,т*,п*) + А3, у=1 У=1

где ДАк(Хуу.,т,п,т*,п*) = (х. + т • 1у. + п• I)-кк(х. + т* -¡у. + п* I) - разность значений из-

меряемой характеристики ГФП, извлеченных из бортовой карты поля для гипотез с индексами (т, п) и (т*, п*) и счисленных координат центра области поиска (х. у.) .

Первое слагаемое в (3) А1(т, п, т*, п*) - это детерминированная величина, характеризующая информационное отличие гипотезы с индексом (т, п) от гипотезы (т*, п*) в квадратичном

ЦФ при условии, что гипотеза с индексом (т *, п *) соответствует истинной траектории движе-

ния объекта.

Второе слагаемое А2(т, п, т*, п*) - это случайная величина, определяемая как информационным отличием гипотезы (т, п) от (т*, п*), так и ошибками измерения 8И_ и 8И~у. Отметим,

что при совпадении (т, п) и (т*, п*) и первое (детерминированное), и второе (случайное) слагаемые обращаются в ноль.

Третье слагаемое А3 - это случайная величина, не зависящая от номера гипотезы и определяемая ошибками измерения 8И_ и 8И~у. При фиксации £ оно аддитивно входит во все значения ЦФ.

Тогда в точке истинного решения ЦФ (1) принимает значение

I(т*,п*,£) = £ (8И~. )2 + 5И_ (£ 8И~ у) + £(8И_)2, (4)

ч* и* £ , = „ . , И , + , к ( , ,,,, .

У =1 У=1

для других гипотез (т, п) значение ЦФ определяется выражением I (т,п,£) = I (т*,п*,£) +

£ £ . (5)

у^у,'",",'" / ~£\^- *п Ч"'угу У'Л"*- ' )

+£ ДИ* (х у ,Уу ,т,п,т*,п*) _ 2£ (Дк^ (ху у ,т,п,т*,п*)(8к_ + 8к~у). у=1 у=1

Предположим, что нами выделена точка глобального минимума ЦФ (1) - гипотеза (тш;п, пт;„). Из (5) следует, что эта гипотеза не соответствует истинному решению, если выполняется условие I(ттп,птП,£) < I(т*,п*,£) или если выполняется эквивалентное вероятностное условие

£

А1 (ттш ,птт ,т*,п*) + А2 (ттт ,птт ,т*,п*) = £ (ху ,Уу ,ттт ,птт ,т*,п*)2 _

у=1 (6)

£

_25И_ £ ДИпк (ху уу ,ттт ,птт ,т*,п*) _ 2£ (ДИ1 (ху ,Уу ,ттт ,птт ,т*,п*)5И~у < 0. у=1 у=1

Исследуем свойства случайных величин из (6) для произвольных допустимых значений индексов гипотез (ш\, щ) и (т2, п2). Постоянную ошибку измерения Ък_ можно рассматривать как выборочное значение центрированной случайной величины с известным распределением. Тогда, обозначив значение дисперсии этой случайной величины как П[8И_ ], можно записать

М

В

2ЪИ_ X ДАП (Ху ,у у ,т1 ,п1 ,т2 ,п2 )

_ У=1

£

28А_ X ДДК (Ху ,Уу ,т1 ,п1 ,т2 ,п2)

у=1

0;

Г £ ^

: 4В[5А_ ] X ДАпК (Ху $у ,т1 ,п1 ,т2 ,П2 )

V у=1

(7)

Случайную ошибку измерения Ък~у можно рассматривать как центрированную нормальную случайную величину с дисперсией В[ЪИ~ ], тогда

М

В

2Х (ДАП (Ху Уу ,т1 ,п1 ,т2 ,п2 )5А~у )

у=1

2Х (ДАпК (Ху ,Уу ,т1 ,п1 ,т2 ,п2 )5А~у )

у=1

: 0;

= 4В[8^ ]

Г £ ^

X (ДАпК (Ху ,уу ,т1 ,п1 ,т2 ,п2 ))2

Ы У

(8)

Так как случайные величины 8И~у- и Ък_ являются независимыми и центрированными, дисперсия случайной величины А2(т^ п1, т2, п2) определяется следующим выражением

( £ ^

Е (Мпк (Ху ,Уу ,т1 ,п1,т2 ,П2 ))2 В[5^~ ] +

V у =1

2 (9)

В[А2(т1,п1,т2,п2)] = 4{

Г £

+

2

X ДАП (Х, У і ,т1,п1,т2,п2) В[5А_ ]}

у V у 5"1' 1'"2>"2

у У

В силу сделанного выше предположения о выделенном глобальном минимуме ЦФ (1), решение о коррекции (т.е. о соответствии текущей точки минимума ЦФ искомому истинному решению) можно принять, проведя анализ выполнимости вероятностного условия (6) в локальной

окрестности гипотезы (т

шіп пшіп

п). Для гипотез, соседних с гипотезой (т

ШЩ пшіп

п), детерминиро-

ванные величины А1 (тт|п _ 1 + к, пт|п _ 1 + г, тт|п + к, пт|п + г); к = 0,1; г = 0,1 можно интерпретировать как границы доверительных интервалов для случайных величин А2(тт|п _ 1 + к, пт|п _ 1 + г, тт|п + к, пт|п + г) . Если для фиксированных значений к и г случайная величина А2 (тт|п _ 1 + к, пт|п _ 1 + г, тт|п + к, пт|п + г) принимает значение из внутренней области соответствующего доверительного интервала, то в этой паре гипотез условие (6) не выполняется и гипотеза (тт|п, пт|п) является истинным решением. Вероятность Р(тт|п _ 1 + к, пт|п _ 1 + г, тт|п + к, пт|п + г) этого события определяется указанными выше значениями границы интервала и текущей оценкой дисперсии

В[А2 (тшгп _1 + к,птіп _1 + Г,ттш + к,птт + Г)] •

Минимум

из

4-х

значении

Р(тт|п _ 1 + к,пт|п _ 1 + г, тт|п + к, пт|п + г) определяет локальную доверительную вероятность Рд, с которой гипотеза с индексом (тт|п, пт|п) может быть принята в качестве решения поискового алгоритма КЭНС

, ш1п „ , (Р(А2 (тшіп _ 1 + к,пшіп _1 + Г ,тшіп + к,пшіп + Г) <

к=0,1; Г=0,1

< А1 (тшіп _1 + к,пшіп _1 + Г ,тшіп + к,пшіп + Г))) = Рд ■

2

Поскольку величины А1 (mmin— 1 +k, nmin-1+r, mmni+k, nmin+r) и оценки дисперсии D[A2 (mmin -1 + k,nmin -1 + r,mmin + k,nmin + r)] зависят от S, доверительная вероятность Рд также будет функцией числа обработанных алгоритмом измерений Рд^. При выполнении для некоторого значения S условия P (S) > Рзад, где Рзад - заданная вероятность принятия решения, формируется признак решения поискового алгоритма КЭНС, само решение определяется формулами

^корр = mminl; ^корр = nmin/. (11)

С вероятностью Рзад погрешность решения (11) не превысит по каждой из координат величины линейного дискрета /зад, используемого при задании ДК.

Приведенная совокупность результатов и составляет содержание метода локализации экстремума ЦФ (1) с заданной доверительной вероятностью для случая измерения характеристик ГФП с неизвестной постоянной ошибкой. Формулировка метода для случая измерения приращений характеристик ГФП может быть получена из (3) - (10) как частный случай при выполнении следующих дополнительных условий:

S

5А_ = 0; A1 (m1 ,n1 ,m2,n2) = ^ (AAh^ (Xj У j ,m1 ,n1 ,m2 ,n2))2;

s j=‘ (12)

D[A2 (m1 ,n1 ,m2 ,n2)] = 4{I (АА< (Xj у ,m1 ,n1 ,m2 ,n2))2 }D[A5^ ],

j=1

где D[8Ah_ ] = 2 D[8h_ ] - дисперсия измерения приращения характеристики ГФП;

AAh^ (Xj jj ,m1,n1,m2,n2) = Ah^ (Xj + m1/, у + n1/) -Ah^ (Xj + m2/, у + n2/) - разность значений приращений характеристики ГФП, рассчитанная по бортовой карте поля для гипотез с индексами (m1, n1) и (m2, n2) и счисленных координат центра области поиска (Xj у j ) .

Апробация метода была выполнена методом статистического численного моделирования, в качестве измеряемого ГФП было выбрано поле высот рельефа местности, не удовлетворяющее условию эргодичности в исследуемом районе. В процессе статистического моделирования (10000 реализаций) определялись как среднее число измерений S для принятия решения, определяемое с применением предлагаемого метода, при значениях /зад = 50 м и Рзад = 0.95, так и точностные характеристики полученного решения в форме оценок математических ожиданий

m 8x , m

'Sy и средних квадратичных отклонений sdx, ö5y ошибок коррекции координат местопо-

ложения ЛА х и у соответственно. Результаты моделирования представлены в табл. 1.

Таблица 1

Результаты статистического моделирования

D[dh~ ], м2 D[8h_], м2 S , ед. m Sx , м S Sx , м т sy, м S Sy , м

9 9 24.1 -5.36 17.06 -6.85 20.75

9 25 27.55 -5.78 17.51 -6.67 21.6

25 9 31.7 -5.53 18.5 -5.73 21.4

Представленные результаты статистического моделирования подтверждают удовлетворение инженерных критериев точности | т5ж 5у | +2а^ 5у < /зад при принятии решения о коррекции

координат в соответствии с предложенным методом, а также дифференцированный учет влияния ошибок измерения ГФП различной природы.

3. Заключение

Предложенный метод принятия решения о коррекции в системе навигации по геофизическому полю обеспечивает раздельный учет влияния постоянной и случайных ошибок измерения характеристик ГФП на объем множества измерений, необходимых для принятия решения о коррекции координат ЛА в поисковом алгоритме КЭНС с заданной доверительной вероятностью. Заданная точность коррекции определяется величиной дискретизации доверительного квадрата поискового алгоритма системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоглазов И.Н. Системы навигации и наведения по геофизическим полям // Авиация ВВС России и научно-технический прогресс. Боевые комплексы и системы: вчера, сегодня, завтра / под общ. ред. Е.А. Федосова.

- М.: ООО Дрофа, 2005.

2. Красовский А. А., Белоглазов И.Н., Чигин Г.П. Теория корреляционно-экстремальных навигационных систем. - М.: Наука, 1979.

3. Чернышев В.А., Сильвестров М.М., Ползик В.П., Бегичев Ю.И., Котицын Л.О., Наумов А.И. Концепция построения эргатического информационно-управляющего комплекса транспортного самолета // Полет. - 2011.

- № 2. - С.13 - 25.

DECISION-MAKING ON CORRECTION OF COORDINATES IN SYSTEM OF GEOPHYSICAL FIELD REFERENCE NAVIGATION IN THE CONDITIONS OF CONSTANT ERRORS OF MEASUREMENT

Naumov A.I.

The conditions are obtained and the method is accepted, that allows to take the decision about correction of coordinates of place with given probability in search algorithm of system of geophysical reference navigation with presence of constant error in measurements of characteristics of geophysical field, considered as sample of random value with known distribution.

Key words: system of geophysical field reference navigation, decision-making in search algorithm of system of geophysical reference navigation.

Сведения об авторе

Наумов Александр Иванович, 1963 г.р., окончил ВВИА им. профессора Н.Е. Жуковского (1987), кандидат технических наук, профессор кафедры электронной автоматики (и авиационных тренажеров) ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», автор более 110 научных работ, область научных интересов - системы навигации по геофизическим полям, эргати-ческие интегрированные бортовые комплексы ЛА, авиационные тренажеры.