CC BY
51
УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
DOI: 10.24143/2072-9502-2018-1-103-111 УДК [004.83:519.816]:[65.012.16:336.714]
Е. В. Чертина, Л. Б. Аминул, О. О. Еременко
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПО ИНВЕСТИРОВАНИЮ ИТ-ИННОВАЦИЙ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОЙ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Предметом исследования выбран процесс принятия управленческих решений по инвестированию инновационных ИТ-проектов. Предложен новый подход к принятию решений по инвестированию инновационных ИТ-проектов, основанный на использовании экспертной информации в системе нечеткого логического вывода. В качестве входной информации использованы экспертные оценки проектов, агрегированные в шесть показателей Aj - е [0;1], имеющие лингвистическое описание отдельных характеристик проекта вида
«высокий», «средний», «низкий». Формализована задача принятия решений по инвестированию и определено терм-множество выходной переменной Des: инвестировать 50-75 % от стоимости проекта; инвестировать 20-50 % от стоимости проекта; инвестировать 10-20 % от стоимости проекта; отправить проект на доработку; отказать в инвестировании. Разработана нечеткая продукционная модель принятия инвестиционных управленческих решений, адекватно описывающая процесс управления инвестициями. Показана целесообразность использования построенной продукционной модели на практическом примере.
Ключевые слова: инновационный ИТ-проект, экспертная оценка, нечеткая продукционная модель, оценка адекватности модели.
Введение
При принятии управленческих решений лицо, принимающее решения (ЛПР), сталкивается с двумя проблемами. Первая проблема связана с большим объемом обрабатываемой информации, в большинстве случаев имеющей многокритериальный характер, вторая - наличие неопределенности и риска, учет которых усложняет поиск оптимальных управленческих решений.
Задачи управления инвестициями рассматривались в [1-3]. Однако при вложении финансовых ресурсов в ИТ-проект следует особо учитывать вероятность невозврата инвестиций, т. к. проекты такого рода отличаются инновационно-рисковым характером, что, в свою очередь, порождает неопределенность конечного результата реализации проекта. Это обусловлено следующими факторами:
- высокая доля научной составляющей при разработке такого рода проектов;
- высокая вероятность получения убытков от реализации проекта ввиду неопределённости конечного результата;
- наличие человеческого фактора, что выражается в возможности принятия ошибочных управленческих решений ЛПР;
- молодой возрастной состав участников проекта и, как следствие, отсутствие управленческих компетенций;
- утечки идеи проекта и его тиражируемость;
- тенденция к сегментации ИТ-сферы;
- стремительное развитие научно-технологической среды.
Процесс финансирования инноваций, в том числе и в ИТ-сегменте, представляет собой последовательность реализации таких этапов, как экспертная оценка проектов, ранжирование и классификация проектов по однородным признакам, принятие управленческих решений по инвестированию проектов и дальнейшей их поддержки.
Данный процесс требует использования математических и программно-алгоритмических инструментов и средств, которые позволят снизить неопределенность и риск при принятии управленческих решений по инвестированию инновационных ИТ-проектов (МИТИ) до минимального уровня и обеспечить высокую норму возврата на вложенные инвестиции.
Формализация процедуры принятия решений по инвестированию
Экспертная оценка МИТИ производится путем присваивания конкретного балла на некоторой ранговой шкале [0; 1] по отдельно взятому проекту (рис. 1).
Одиночный проект
Рис. 1. Рейтинговая оценка инновационного ИТ-проекта
Мнения экспертов относительно одного проекта могут различаться ввиду их психологических особенностей и разных научных воззрений, что требует обеспечения согласованности экспертных суждений при формировании итоговой рейтинговой оценки. Это подробно описывается в [4].
В связи с тем, что оценка проектов высококвалифицированными экспертами стоит достаточно дорого (стоимость единицы времени работы), целесообразно было бы перенести знания высококвалифицированных экспертов предметной области в ЭВМ [5]. Это позволит:
- значительно сократить время и стоимость проведения экспертизы ИИТП за счет интеграции знаний экспертов в интеллектуальную систему поддержки принятия решений;
- повысить производительность процедуры принятия решений по инвестированию путем ее автоматизации (принятие решения на основе агрегированных параметров, поступающих от модуля экспертного оценивания инновационных проектов);
- исключить фактор пристрастности экспертного суждения (интеллектуальная система, в отличие от эксперта, будет принимать одни и те же решения при одинаковых исходных данных, тем самым исключая «коррупционную составляющую» и вопросы привилегированного отношения к инновационным проектам).
Процедура отбора инновационных ИТ-проектов осуществляется на основе согласованных [4]
агрегированных экспертных оценок по показателям Aj — Aj, j = 1,n, где n - число проектов;
A1 - актуальность проекта; A2 - характеристика создаваемой научно-технической продукции; A3 -реализуемость проекта; A4 - маркетинг; A5 - риски; A6 - финансы.
Аналитический обзор существующих методик оценки эффективности инновационных проектов, процедур экспертного оценивания в финансово-кредитных учреждениях, в том числе в фондах венчурных инвестиций, программно-алгоритмических средств поддержки принятия решений позволяет сделать вывод, что именно инструменты нечеткой логики [6] являются наиболее подходящими для построения интеллектуальной экспертной системы оценки и отбора выбора проектов, а использование математического аппарата теории нечетких множеств [7] позволяет численно определить трудноформализуемые качественные экспертные суждения (отсутствие возможности построения математической модели выбора с применением аппарата традиционной математики обусловливает выбор в пользу теории нечетких множеств [8]).
Для построения системы нечеткого вывода будем использовать продукционные правила вида «IF () AND/OR (), THEN ()».
Кроме того, следует отметить, что возможность реализации обратного вывода в продукционной системе является инструментом реализации подсистемы объяснения [9] принятия того или иного решения, например, для обоснования отказа в финансировании или отправки проекта на доработку.
Значения показателей Aj - A6 е [0;l] проектов, входящих в кластер (проекты, допускающиеся до экспертизы), являются входными переменными задачи выбора инновационного проекта. Однако наличие субъективизма эксперта при проведении экспертизы может стать причиной неопределенности [7], которая выражается в формировании, помимо точных экспертных оценок, оценок, имеющих лингвистическое описание вида «высокий», «средний» и пр. [7]. Следовательно, показатели Aj - A6 могут быть определены как лингвистическими переменные, которые
обозначим как Aj - _A6.
Далее необходимо определить терм-множества для данных лингвистических переменных. Для каждой из шести лингвистических переменных Aj - A6 сформируем одинаковые терм-множества т/ = {Low,Medium, High}. Следует отметить, что термы выбраны с использованием методики, предложенной в [10], и представляют собой базовое множество. Термы-модификаторы [8] применять для решаемой задачи нецелесообразно.
Существует значительное число видов функций принадлежности, с использованием которых можно описать значения термов из Т/, i = 1,6, j = 1,n [11]. В качестве функций принадлежности выберем трапециевидную, т. к. она имеет «зону неуверенности» (верхняя часть трапеции), позволяющую смягчить значения и повысить степень уверенности эксперта. Это способствует более точной формализации нечеткого понятия в рамках продукционной системы.
Экспертная оценка инновационных ИТ-проектов предполагает принятие решений из следующего подмножества: инвестировать 50-75 % от стоимости проекта; инвестировать 20-50 % от стоимости проекта; инвестировать 10-20 % от стоимости проекта; отправить проект на доработку; отказать в инвестировании.
Это означает, что терм-множество выходной переменной (обозначим ее Des) состоит из пяти термов T(Des)= {Reject, Delay, 10t20, 20t50, 50t75}, цифр описываемых трапециевидными функциями принадлежности (в силу причин, приведенных выше).
Для обеспечения полноты реализации и точности получаемых оценок необходимо, чтобы сумма значений функций принадлежности любой точки интервала [0; 1] была бы равна единице, т. е. выполнялось условие разбиения единицы.
Построение продукционной модели принятия решений по инвестированию
Реализацию модуля, обеспечивающего решение задачи выбора инновационного проекта
на основе оценок Aj - AJ6 , будем производить в среде инженерных расчетов MATLAB, используя Fuzzy Logic Toolbox [6].
Анализ литературных источников и имитационное моделирование с использованием Fuzzy Logic Toolbox позволили выявить, что наиболее подходящим алгоритмом нечеткого вывода для решения поставленной задачи является алгоритм Мамдани со следующими настроечными параметрами:
- минимаксная композиция; импликация на основе операции минимума;
- агрегирование на основе операции максимума;
- дефаззификация методом центра тяжести.
В Fuzzy Logic Toolbox построена нечеткая продукционная модель (рис. 2).
Рис. 2. Общий вид нечеткой продукционной модели в Fuzzy Logic Toolbox
Трапециевидные функции принадлежности для сформированных входных лингвистических переменных Д - А6 представлены на рис. 3, для выходной переменной - на рис. 4.
Рис. 3. Функции принадлежности входных лингвистических переменных Д - Аб
Рис. 4. Функции принадлежности выходной переменной Des
Фрагмент нечеткой продукционной модели представлен на рис. 5. В результате разработки продукционной базы знаний получено более трехсот правил [11].
1. If (А1 is High) and (А2 is High) and (A3 is High) and (A4 is High) and (AS is Low) and (A6 is High) then (Des is 50t75) (1 )
2. If (A1 is High) and (A2 is High) and (A3 is High) and (A4 is High) and (A5 is Medium) and (A6 is High) then (Des is 20t50) (1 )
3. If (A1 is High) and (A2 is High) and (A3 is High) and (A4 is High) and (A5 is High) and (A6 is High) then (Des is 20t50) (1 )
4. If (A1 is Medium) and (A2 is Medium) and (A3 is Medium) and (A4 is Medium) and (A5 is Low) and (A6 is Medium) then (Des is 10t20) (1 )
5. If (A1 is High) and (A2 is Medium) and (A3 is Medium) and (A4 is Medium) and (A5 is Medium) and (A6 is Medium) then (Des is 20t50) (1 )
6. If (A1 is High) and (A2 is Medium) and (A3 is Medium) and (A4 is Medium) and (A5 is Low) and (A6 is Medium) then (Des is 20t50) (1 )
7. If (A1 is Medium) and (A2 is High) and (A3 is High) and (A4 is High) and (A5 is Low) and (A6 is High) then (Des is 50t75) (1 )
8. If (A1 is Medium) and (A2 is High) and (A3 is High) and (A4 is High) and (A5 is High) and (A6 is High) then (Des is 50t75) (1 )
9. If (A1 is High) and (A2 is Medium) and (A3 is Low) and (A4 is Low) and (A5 is Medium) and (A6 is Low) then (Des is Delay) (1 )
10. If (A1 is Hiqh) and (A2 is Low) and (A3 is Low) and (A4 is HiQh) and (A5 is Medium) and (A6 is Medium) then (Des is Delav) (1 )
< Iii \
Рис. 5. Фрагмент нечеткой продукционной модели выбора инновационного ИТ-проекта
Необходимо отметить, что в составе модели отсутствуют правила с одинаковыми условиями, т. е. модель не является противоречивой или избыточной.
Так как все из формализованных термов присутствуют хотя бы в одном продукционном правиле, то база знаний нечеткой продукционной модели является согласованной (с числом термов).
Кроме того, все функции принадлежности содержательно интерпретируются, а нечеткие множества выпуклые, нормальные.
Проверка адекватности продукционной модели выбора
Точность полученной нечеткой продукционной модели (с использованием вывода Мам-дани) на данном этапе никак не подтверждена, поэтому возникает задача обеспечения ее максимальной точности на основе «обучающей выборки» с использованием ошибки среднеквадратичного отклонения (RMSE) результатов нечеткой продукционной модели от полученных экспертных оценок [12]. Повышение точности нечеткой продукционной модели за счет минимизации RMSE и последующее предъявление «тестовой выборки» фактически обеспечивают расчет и подтверждение адекватности модели.
Минимизация RMSE - задача нелинейной оптимизации в виде
RMSE = - Цве*ехр,у - DesJ )
^ тт,
(1)
где DeseWj - результаты, полученные экспертами; Desj - результаты, полученные по модели с использованием обучающей выборки.
На основании экспертного опроса была получена обучающая выборка, состоящая из 50 проектов (исходная база проектов).
После этого был произведен расчет выхода по нечеткой продукционной модели на основании предъявления обучающей выборки с последующим обучением на основе минимизации показателя RMSE (1).
Затем была предъявлена тестовая выборка - исходная база проектов и произведено сравнение полученных данных (рис. 6). Для обучающей выборки производился расчет интегрального (сводного) критерия проекта в соответствии с выражением
вы j =Е
где wJj - веса показателей А- - А£ (доля вклада, вносимая каждым из А- - А/ в расчет критерия В1гА ■), а именно w1j = 0,0483, < = 0,0342, w3j = 0,2882, wJ4 = 0.1951, w5J' = 0,3023, wJj = 0,1319.
к
8 I
щ О И
а « *
ЁУ 2 а
з| В
«3 Я Е
«он § & &
0= с о " о § « с 3
£ и ^
а-2 аЗ
К ^ о о
к &
с
1 / 1 I1 ± 1
1т 111.1
1
Л
0,8 -
0,7 -
0,6 -
0,5 -
0,4 -
0,3 -
0,2 -
0,1 -1—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
1 ±
Проекты
' Продукционная модель - Экспертные данные
Рис. 6. Сопоставление экспертных данных и разработанной продукционной модели
1=1
Полученные значения показателя RMSE для обучающей и тестовой выборок (0,177 и 0,1808) позволяют судить о том, что разработанная нечеткая продукционная модель адекватно описывает процесс выбора инновационного ИТ-проекта.
На рис. 7 показаны зависимости выходной переменной Des от двух из шести входных безразмерных показателей A - A6.
Des = f (Д, A )
Des = f (4,4 )
Des = f (4,4 ) Des = f (A> 4 )
Рис. 7. Поверхности отклика Пример использования предложенного подхода
На основании анализа исходной базы проектов были выбраны следующие ИИТП, допущенные до процедуры принятия решений по инвестированию (табл. 1).
Таблица 1
Множество ИИТП, допущенных к процедуре отбора*
Номер проекта A1 A2 A3 A4 A5 A6
1 2 3 4 5 6 7
1 0,619 0,664 0,276 0,999 0,637 0,311
4 0,596 0,039 0,898 0,520 0,036 0,404
10 0,210 0,962 0,298 0,522 0,686 0,179
13 0,999 0,457 0,942 0,432 0,673 0,918
16 0,823 0,308 0,003 0,829 0,392 0,607
23 0,825 0,158 0,344 0,975 0,031 0,697
28 0,375 0,041 0,429 0,938 0,954 0,165
32 0,633 0,235 0,034 0,603 0,107 0,583
34 0,477 0,167 0,685 0,124 0,678 0,900
35 0,122 0,418 0,705 0,268 0,280 0,284
39 0,125 0,363 0,288 0,775 0,748 0,002
42 0,408 0,528 0,027 0,189 0,210 0,636
45 0,856 0,402 0,654 0,313 0,324 0,372
47 0,770 0,264 0,084 0,686 0,149 0,143
49 0,042 0,540 0,114 0,176 0,937 0,749
В графах 2-7 - агрегированные экспертные оценки, процедура получения которых представлена в [4].
На нечеткий модуль продукционного выбора инновационных проектов подадим значения показателей Л( - Л/ . Полученный результат представим в табл. 2. Для сравнения в эту же таблицу поместим решения экспертной группы относительно инвестиционных решений по проектам.
Таблица 2
Сравнение экспертных оценок и решения продукционной модели
№ проекта Des Решение экспертной группы № проекта Des Решение экспертной группы № проекта Des Решение экспертной группы
1 0,571 Инвестировать 10-20 % от стоимости проекта 23 0,436 Инвестировать 10-20 % от стоимости проекта 39 0,479 Инвестировать 10-20 % от стоимости проекта
4 0,455 Инвестировать 10-20 % от стоимости проекта 28 0,636 Инвестировать 20-50 % от стоимости проекта 42 0,229 Отправить проект на доработку
10 0,462 Инвестировать 10-20 % от стоимости проекта 32 0,275 Отправить проект на доработку 45 0,452 Инвестировать 10-20 % от стоимости проекта
13 0,744 Инвестировать 20-50 % от стоимости проекта 34 0,574 Инвестировать 10-20 % от стоимости проекта 47 0,268 Отправить проект на доработку
16 0,411 Инвестировать 10-20 % от стоимости проекта 35 0,398 Инвестировать 10-20 % от стоимости проекта 49 0,469 Инвестировать 10-20 % от стоимости проекта
Полученные результаты позволяют судить о том, что точные значения выходной переменной Des, генерированной разработанной нечеткой продукционной моделью, могут быть интерпретированы таким же образом, как и экспертные суждения (табл. 2).
Все вышесказанное подтверждает не только адекватность построенной нечеткой продукционной модели, но и ее точность и целесообразность ее использования в составе интеллектуальной системы поддержки принятия решений при выборе инновационных ИТ-проектов.
Заключение
Таким образом, предложен новый подход к принятию решений по инвестированию инновационных ИТ-проектов, основанный на использовании экспертной информации в системе нечеткого логического вывода. На основе имеющейся экспертной информации в среде MATLAB построена продукционная модель принятия решений по инвестированию и осуществлена проверка ее адекватности с помощью показателя RMSE. Практические расчеты показали эффективность предложенного подхода для принятия инвестиционных решений для инновационных ИТ-проектов.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Баркалов С. А., Бакунец О. Н., Гуреева И. В., Колпачев В. Н., Руссман И. Б. Оптимизационные модели распределения инвестиций на предприятии по видам деятельности. М.: ИПУ РАН, 2002. 68 с.
2. Кузнецов В. В., Ляшецкий А. П., Крайнюков А. Н. Многокритериальная оценка инновационных проектов // Вестн. Саратов. гос. техн. ун-та. 2007. Т. 1, N° 2 (23). С. 182-187.
3. Шагалиев Р. Д. Информационная система поддержки принятия решений по финансированию инвестиционных проектов в условиях неопределенности и риска: дис. ... канд. техн. наук. Уфа, 2002. 133 с.
4. Чертина Е. В., Квятковская И. Ю. Комплексная количественная оценка инновационных ИТ-проектов на основе нечетко-множественных описаний // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. 2016. № 1 (33). С. 50-62.
5. Гаскаров Д. В. Интеллектуальные информационные системы. М.: Высш. шк., 2003. 431 с.
6. Леоненков А. Нечёткое моделирование в среде MATLAB и FuzzyTech. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 736 с.
7. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 165 с.
8. Проталинский О. М. Применение методов искусственного интеллекта при автоматизации технологических процессов: моногр. Астрахань: Изд-во АГТУ, 2004. 184 с.
9. Гаврилова Т. А., Хорошевский В. Ф. Базы знаний интеллектуальных систем: учеб. для вузов. СПб.: Питер, 2000. 384 с.
10. Рыжов А. П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. М.: Диалог-МГУ, 1998. 102 с
11. Чертина Е. В. Система поддержки принятия решений при управлении инновационными ИТ-проектами: дис. ... канд. техн. наук. Астрахань, 2017. 158 с.
12. Штовба С. Д. Проектирование нечетких систем средствами МА^АВ. М.: Горячая линия - Телеком, 2007. 288 с.
Статья поступила в редакцию 11.11.2017
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Чертина Елена Витальевна — Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; канд. техн. наук; старший преподаватель кафедры высшей и прикладной математики; saprikinae_1912@mail.ru.
Аминул Любовь Борисовна — Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; канд. пед. наук; доцент кафедры высшей и прикладной математики; aminul.25@mail.ru.
Еременко Ольга Олеговна — Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; старший преподаватель кафедры прикладной информатики; eoo2005@mail.ru.
E. V. Chertina, L. B. Aminul, O. O. Eremenko
DECISION-MAKING ON INVESTMENT OF IT-INNOVATION BASED ON FUZZY EXPERT INFORMATION
Abstract. The subject of the research is the process of making managerial decisions for innovative IT projects investing. The paper focuses on the new approach to decision making on investing innovative IT projects using expert survey in a fuzzy reasoning system. As input information, expert estimates of projects have been aggregated into six indicators Aj - Aj e [0;l] having a linguistic
description of the individual characteristics of the project type "high", "medium", and "low". The task of decision making investing has been formalized and the term-set of the output variable Des has been defined: to invest 50-75% of the project cost; to invest 20-50% of the project cost; to invest 10-20% of the project cost; to send the project for revision; to turn down investing project. The fuzzy product model of making investment management decisions has been developed; it adequately describes the process of investment management. The expediency of using constructed production model on a practical example is shown.
Key words: innovative IT project, expert evaluation, fuzzy product model, assessment of model adequacy.
REFERENCES
1. Barkalov S. A., Bakunets O. N., Gureeva I. V., Kolpachev V. N., Russman I. B. Optimizatsionnye modeli raspredeleniia investitsii na predpriiatii po vidam deiatel'nosti [Optimization models of distributing investments to businesses subject to the type of activity]. Moscow, IPU RAN, 2002. J8 p.
2. Kuznetsov V. V., Liashetskii A. P., Krainiukov A. N. Mnogokriterial'naia otsenka innovatsionnykh proektov [Multicriterion assessment of innovative projects]. Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tekhnich-eskogo universiteta, 2007, vol. 1, no. 2 (23), pp. 182-187.
3. Shagaliev R. D. Informatsionnaia sistema podderzhki priniatiia reshenii po finansirovaniiu investit-sionnykh proektov v usloviiakh neopredelennosti i riska: dis. ... kand. tekhn. nauk [Information system of decision support on financing investment projects in conditions of uncertainty and risk: Diss. ... cand. tech. sci.]. Ufa, 2002. 133 p.
4. Chertina E. V., Kviatkovskaia I. Iu. Kompleksnaia kolichestvennaia otsenka innovatsionnykh IT-proektov na osnove nechetko-mnozhestvennykh opisanii [The complex quantitative estimation of innovative IT-projects based on fuzzy-multiple descriptions]. Prikaspiiskii zhurnal: upravlenie i vysokie tekhnologii, 2016, no. 1 (33), pp. 50-62.
5. Gaskarov D. V. Intellektual'nye informatsionnye sistemy [Intelligent information systems]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 2003. 431 p.
6. Leonenkov A. Nechetkoe modelirovanie v srede MATLAB i FuzzyTech [Fuzzy modelling in the environment MATLAB and FuzzyTech]. Saint-Petersburg, BKhV-Peterburg, 2005. 736 p.
7. Zade L. A. Poniatie lingvisticheskoi peremennoi i ego primenenie k priniatiiu priblizhennykh reshenii [Concept of a linguistic variable and its application in approximate decision making]. Moscow, Mir Publ., 1976. 165 p.
8. Protalinskii O. M. Primenenie metodov iskusstvennogo intellekta pri avtomatizatsii tekhnologicheskikh protsessov [Application of artificial intelligence methods in automation of technological processes]. Astrakhan, Izd-vo AGTU, 2004. 184 p.
9. Gavrilova T. A., Khoroshevskii V. F. Bazy znanii intellektual'nykh sistem [Knowledge bases if the intelligent systems]. Saint-Petersburg, Piter Publ., 2000. 384 p.
10. Ryzhov A. P. Elementy teorii nechetkikh mnozhestv i izmereniia nechetkosti [Elements of the theory of fuzzy sets and measuring fuzziness]. Moscow, Dialog-MGU, 1998. 102 p.
11. Chertina E. V. Sistema podderzhki priniatiia reshenii pri upravlenii innovatsionnymi IT-proektami: dis. ... kand. tekhn. nauk [Decision support system innovative IT-project management: Diss. ... cand. tech. sci.]. Astrakhan, 2017. 158 p.
12. Shtovba S. D. Proektirovanie nechetkikh sistem sredstvami MATLAB [Design of fuzzy systems by means of MATLAB]. Moscow, Goriachaia liniia - Telekom, 2007. 288 p.
The article submitted to the editors 11.11.2017
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Chertina Elena Vitalievna - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University, Candidate of Technical Sciences; Senior lecturer of the Department of Higher and Applied Mathematics; saprikinae_1912@mail.ru.
Aminul Lubov Borisovna — Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Candidate of Pedagogical Sciences; Assistant Professor of the Department of Higher and Applied Mathematics; aminul.25@mail.ru.
Eremenko Olga Olegovna - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Senior Lecturer of the Department of Applied Informatics; eoo2005@mail.ru.
