Принципы оптимизации предупредительных замен и ремонтов в условиях неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.3.019 Володарский Владислав Афанасьевич,

канд. техн. наук, доцент, кафедра транспортных систем, Красноярский институт железнодорожного транспорта - филиал ИрГУПС

тел.: 8 (391) 221-60-72, e-mail: [email protected]

ПРИНЦИПЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРЕДУПРЕДИТЕЛЬНЫХ ЗАМЕН И РЕМОНТОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

V.A. Volodarsky

THE PRINCIPLE OF PREVENTIVE REPLACEMENT AND REPAIR OPTIMIZATION SUBJECT TO INDETERMINATION

Аннотация. Изложен методический подход к постановке и решению задач оптимизации предупредительных замен и ремонтов технических устройств в условиях неопределенности исходной информации.

Ключевые слова: оптимизация, ремонт, замена, периодичность, информация, неопределенность.

Abstract. The methodic approach to the task setting and task solution of preventive replacement optimization and technical facilities repair in condition of initial information indetermination is described.

Keywords: optimization, repair, replacement, intensity, information, indetermination.

1. Исходные положения

В настоящее время оптимизационные расчеты параметров предупредительных замен (ПЗ) и предупредительных ремонтов (ПР) технических устройств (ТУ) проводятся, как правило, в предположении о строгой достоверности и однозначности используемой исходной информации и, следовательно, о строгой однозначности получаемых решений. Недостатком такого подхода является заведомое преувеличение точности оптимизации и невозможность выявить решения, экономически близкие к однозначно определяемому формально-оптимальному решению.

При решении практических задач оптимизации ПЗ и ПР неизбежна большая или меньшая неопределенность исходной информации. Она проявляется в недостоверном знании численных значений исходных показателей или их вероятностного описания. Поэтому становится очевидным, что методы оптимизационных расчетов при полностью определенной информации все в большей мере приходят в противоречие с реальной действительностью. Объективно существующая неопределенность исходной информации требует

принципиально нового подхода к постановке и решению задачи. Оптимизация в условиях неопределенности неизбежно содержит эвристические процедуры, исключающие полную формализацию этого процесса. При этом речь идет не о технических, а именно о принципиальных трудностях формализации, вызванных неполным знанием.

Учет факторов неопределенности при принятии решений о параметрах ПЗ и ПР имеет ряд преимуществ. Во-первых, наибольшее приближение формализованных методов решения к реальным условиям эксплуатации. Во-вторых, обязательность многовариантных расчетов и возможность анализа на их основе последствий от принятия решений. В-третьих, возможность выбора наиболее гибких решений из числа практически равно экономичных. В-четвертых, возможность принятия более обоснованных решений и уменьшение риска перерасхода средств, обусловленного неточным знанием.

2. Постановка задачи

Особого внимания в условиях неопределенности требует сама постановка задачи, которая заключается: 1) в описании технико-экономической сущности задачи, целей и критериев оптимизации; 2) в математической формализации задачи, включающей определение целевой функции, ограничений и состава параметров, неопределенность которых может повлиять на результаты решения.

Оптимизация заключается в установлении таких значений параметров ПЗ и ПР, при которых обеспечивается максимально возможный в определенных условиях эффект. Под эффектом здесь понимается полное или частичное достижение определенных целей. Выделим наиболее существенные цели и соответствующие им критерии. Очевидно, что система ПЗ и ПР не может считаться совершенной, если она недостаточно экономически эффективна. Поэтому основным критерием

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

ш

оптимизации является минимум удельных эксплуатационных затрат на ПЗ и ПР и аварийное восстановление с учетом ущерба от возможных отказов ТУ. В отдельных случаях отказы могут приводить к нарушениям безопасности ТУ, например безопасности движения транспортных систем. Поэтому вторым критерием при определении параметров ПЗ и ПР следует считать обеспечение безопасности при эксплуатации ТУ.

При оптимизации ПЗ и ПР невозможно рассматривать экономическую эффективность и безопасность в отрыве от надежности. Следует подчеркнуть, что применительно к ТУ надежность приобретает как бы двойную значимость. Она, с одной стороны, существенно влияет на экономическую эффективность, а с другой - в значительной мере предопределяет безопасность. В рамках комплексного подхода рационально считать, что основными являются критерии экономической эффективности и безопасности, а надежность -средство, с помощью которого достигаются требуемые значения этих показателей. Тогда задачу оптимизации можно сформулировать следующим образом: найти такие значения параметров ПЗ и ПР, при которых достигается минимум удельных эксплуатационных затрат и обеспечивается допустимый по условиям безопасности уровень надежности ТУ.

С точки зрения математической формализации и общих подходов к ее решению задача оптимизации ПЗ и ПР относится к классу задач исследования операций [1]. Она сводится к нахождению таких значений управляемых параметров и, при которых в условиях воздействия неуправляемых Z и фиксированных Ж параметров целевая функция С(и,Х,Ж), определяющая удельные эксплуатационные затраты, принимает минимальное значение. В качестве управляемых параметров и выступает периодичность т и глубина а ПЗ и ПР устройств. Фиксированными параметрами Ж являются стоимость ПЗ и ПР В и стоимость аварийного восстановления с учетом ущерба от отказов ТУ А. В качестве неуправляемых параметров Z выступают вероятность безотказной работы (ВБР) Р и вероятность q того, что отказ ТУ будет устранен минимально необходимым аварийным ремонтом.

На параметры целевой функции могут быть наложены ограничения в виде равенств и неравенств. ВБР, определяющая состояние ТУ, зависит от параметров т и а и описывается функцией распределения По условиям обеспечения безопасности ВБР должна быть не ниже определенного допустимого значения Рд. Поскольку ПЗ и ПР направлены на предупреждение отказов ТУ, периодичность их должна быть меньше наработки

на отказ Т. Тогда в общем виде задача оптимизации ПЗ и ПР устройств может быть формализована следующим образом:

при

С (т,а) = тт С(т,а;Л,В;Р,ф

Р = ¥(т,а), а > 0, 0 < т <Т, Р > Рд.

(1)

Введем понятия С-критерия, по которому определяются оптимальные параметры ПЗ и ПР из условия минимума удельных эксплуатационных затрат, и Р-критерия, по которому определяются параметры ПЗ и ПР из условия обеспечения допустимой по безопасности ВБР. На практике при проведении ПЗ и ПР существует ряд ограничений материальных ресурсов, численности персонала, длительности проведения, погодных условий и т.п. Сроки ПЗ и ПР различных ТУ должны быть увязаны между собой. В рамках С- и Р-критериев трудно, а иногда и невозможно учесть влияние множества ограничений и факторов, ряд из которых может быть задан лишь в качественной форме и не влияет на поиск оптимальных значений параметров ПЗ и ПР. Поэтому представляется целесообразным такие ограничения не формали-зовывать, а учитывать их при принятии окончательных решений.

Если для параметров целевой функции X, Ж и функции распределения ^ имеются однозначные статистические характеристики, то решаемая оптимизационная задача (1) будет вероятностно-определенной. Если для X и Ж имеются только данные об их возможных диапазонах, а ^ может быть задана серией возможных функций распределения, то задачу (1) необходимо решать в вероятностно-неопределенной постановке. Таким образом, математические принципы решения задачи оптимизации ПЗ и ПР в существенной мере зависят от степени определенности исходной информации о функции распределения вероятности безотказной работы и параметрах целевой функции. Поэтому применению формализованных методов оптимизации должен предшествовать анализ исходной информации, неопределенность которой влияет на результаты решения задачи.

3. Анализ факторов неопределенности

Задачей анализа является классификация и качественное описание факторов неопределенности для того, чтобы выяснить возникающие при оптимизации методические и практические трудности решения и наметить пути их преодоления, а также установить в дальнейшем степень влияния этих факторов на точность оптимизации ПЗ и ПР устройств. Точность оптимизации можно оценить по отклонениям целевой функции от оптимально-

иркутским государственный университет путей сообщения

го значения под действием интересующего нас параметра в виде коэффициента K = С / Со, где C -значение целевой функции при отклонении параметра; Cо - значение целевой функции при оптимальном значении параметра.

Используя классификацию [2], исходную информацию в задачах оптимизации ПЗ и ПР можно разделить на четыре вида: 1) детерминированную; 2) вероятностно-определенную, когда известны функции и параметры распределения случайных величин; 3) вероятностно-неопределенную, когда функции распределения случайных величин неизвестны и 4) собственно неопределенную.

С «полностью» неопределенной информацией на практике оперировать, как правило, не приходится, так как по любому параметру можно тем или иным способом, включая экспертные оценки специалистов, получить необходимый минимум ориентировочной информации. К детерминированной относится информация о стоимости ПЗ и ПР В, среднее значение которой однозначно определено нормативными документами. Информацию о стоимости аварийного восстановления, входящей в состав параметра А, можно отнести к условно-детерминированной, поскольку она не может быть определена однозначно из-за некоторой её зависимости от ряда случайных факторов, таких как, внезапность отказов ТУ, квалификация обслуживающего персонала и т. п. Информацию об ущербе от отказов ТУ в силу случайного, а иногда недостаточно определенного характера, можно отнести к вероятностно-определенной или вероятностно-неопределенной.

На практике большие трудности возникают с точной оценкой глубины ремонта а и её вклада в изменение показателей надежности ТУ, поскольку качество ПР зависит от ряда случайных, трудно учитываемых факторов, таких как состояние ТУ, качество запасных частей и процедур ремонта, квалификация ремонтного персонала и др. В зависимости от наличия статистического материала информацию о параметре а можно отнести к вероятностно-определенной или вероятностно-неопределенной.

Особые трудности на практике возникают при выборе функции распределения F из-за малого объема статистического материала об отказах ТУ. Определить функцию распределения существующими методами математической статистики [3] можно при количестве отказов более пятидесяти. В этом случае информация о F будет вероятностно-определенной, а в противном случае - вероятностно-неопределенной, так как при этом можно получить несколько возможных функций распре-

деления. Информация о параметре q в зависимости от объема статистического материала об отказах ТУ может быть вероятностно-определенной или вероятностно-неопределенной.

Неопределенность исходной информации приводит к методическим и практическим трудностям решения задачи оптимизации ПЗ и ПР. При этом значительно повышается размерность решаемой задачи, так как появляется большое число возможных сочетаний информации о функции распределения вероятности безотказной работы и параметрах целевой функции. Например, если задано три вида функции F и каждый из параметров A, а, q задан тремя значениями, то в этом случае имеет место 81 сочетание используемой информации, каждому из которых при решении задачи соответствует свое оптимальное значение параметров ПЗ и ПР.

Таким образом, неопределенность исходной информации приводит к неоднозначности решения оптимизационной задачи. Расчетным путем можно определить только зону, внутри которой каждая периодичность ПЗ и ПР при тех или иных сочетаниях исходной информации будет оптимальной. Такая зона названа академиком Л.А. Ме-лентьевым «зоной неопределенности оптимальных решений» [2]. Практическое следствие неопределенности исходной информации состоит в том, что неоднозначность результатов решения оптимизационной задачи приводит к неопределенности при выборе параметров ПЗ и ПР. Очевидно, что в этих условиях окончательное решение должно приниматься людьми на эвристической основе и такой «субъективный» выбор при неопределенности исходной информации неизбежен.

Трудности и отрицательные последствия, связанные с неопределенностью исходной информации, можно преодолевать по двум направлениям: 1) уменьшением неопределенности самой информации; 2) разработкой соответствующих методов оптимизации и принятия решений в условиях неопределенности. Работы по первому направлению чрезвычайно трудоемки и дороги. Кроме того, никакие усилия в этом направлении не позволят полностью ликвидировать неопределенность исходной информации. Поэтому весьма актуально проведение исследований по второму направлению с целью создания методов, позволяющих при неопределенности исходной информации принимать обоснованные решения по практически оптимальным параметрам ПЗ и ПР технических устройств.

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

4. Методические принципы решения

задачи

Методы решения задачи оптимизации ПЗ и ПР в существенной мере зависят от степени определенности используемой исходной информации. Дадим классификацию задач оптимизации в зависимости от степени определенности информации о функции распределения вероятности безотказной работы и параметрах целевой функции. Рассмотрим три степени определенности информации о функции распределения: 1) ^ и ее параметры известны; 2) известен только коэффициент вариации V; 3) известна только наработка на отказ Т. Первая степень соответствует вероятностно-

определенной, вторая и третья - вероятностно-неопределенной информации. Рассмотрим три степени определенности информации о параметрах А, а, q: 1) детерминированная; 2) вероятностно-определенная; 3) вероятностно-неопределенная.

Типы возможных оптимизационных задач представим в виде двойного индекса, где первый индекс соответствует степени определенности информации о функции распределения, а второй -о параметрах целевой функции. Все задачи кроме 11, 12 являются вероятностно-неопределенными. В настоящее время в теории надежности разработаны только методы решения задач 11 [4, 5] и 31 [6]. Поскольку на практике при оптимизации ПЗ и ПР необходимая исходная информация является, как правило, вероятностно - определенной или вероятностно - неопределенной, наибольший интерес представляет разработка методов решения задач типов 12, 13, 22, 23, 32 и 33.

Один из возможных методических подходов к решению перечисленных задач заключается в следующем. Решение вероятностно-неопределенных задач сводится к их вероятностно-определенному эквиваленту. Для этого значения параметров целевой функции А, а, q в случае условно-детерминированной и вероятностно-определенной информации задаются математическим ожиданием, а в случае вероятностно - неопределенной информации - диапазоном значений. В последнем случае при отсутствии необходимых исходных данных параметры целевой функции оцениваются экспертным путем. Неизвестные функции распределения ^ выбираются эвристически. Причем для большей надежности получаемых решений необходимо задать несколько возможных функций распределения.

Для решения полученной эквивалентной вероятностно-определенной задачи можно применять известные методы, позволяющие находить

оптимальные решения, соответствующие математическому ожиданию целевой функции вида

С(т/а) = min M[C(t; А ,В, а; Р, q)],

где М- знак математического ожидания.

В результате решения такой задачи необходимо определять не только формально-оптимальные параметры ПЗ и ПР для каждой предварительно принятой функции распределения F, но зону всех возможных условно-оптимальных значений, исходя из диапазона изменения параметров целевой функции А, а, q или заданного коэффициента точности оптимизации К. В условиях неопределенности исходной информации формализованные методы решения поставленной задачи являются необходимым, но лишь вспомогательным инструментом, позволяющим при использовании вычислительной техники автоматизировать чрезвычайно трудоемкий, но необходимый процесс поиска условно-оптимальных значений параметров ПЗ и ПР. Окончательный выбор решений проводится специалистами с учетом опыта эксплуатации и с привлечением дополнительных неформализованных критериев.

Решение задачи оптимизации ПЗ и ПР с использованием предложенного методического подхода состоит из следующих основных этапов.

1. Проводится сбор исходных данных об отказах, стоимости ПЗ и ПР и аварийного восстановления, а также об ущербе от отказов ТУ, на основании которых определяется необходимая для решения задачи исходная информация о функции распределения F и параметрах целевой функции А, В, а, q.

2. В зависимости от степени определенности исходной информации выбирается тип решаемой оптимизационной задачи.

3. Для вероятностно-неопределенных задач выбирается множество функции распределения F и задается коэффициент точности оптимизации К.

4. По С-критерию:

- в случае вероятностно-определенных задач вычисляется оптимальная периодичность ПЗ и ПР и соответствующий ей минимум целевой функции;

- в случае вероятностно-неопределенных задач для множества функций распределения F вычисляется множество оптимальных периодичностей ПЗ и ПР и соответствующее им множество минимальных значений математического ожидания целевой функции. Затем при заданном коэффициенте К определяется диапазон нижних и верхних значений периодичности и устанавливается зона условно-оптимальных значений параметров ПЗ и ПР.

иркутским государственный университет путей сообщения

5. По Р-критерию:

- в случае вероятностно-определенных задач вычисляется допустимое по условиям безопасности значение периодичности ПЗ и ПР;

- в случае вероятностно-неопределенных задач для множества функций распределения F определяется множество допустимых по условиям безопасности значений периодичности ПЗ и ПР и из него выбирается наименьшее.

6. Полученные по C- и Р-критериям значения сравниваются, и определяется зона целесообразных значений периодичности ПЗ и ПР.

7. Производится анализ полученной зоны целесообразных значений и принятие окончательного решения о практически оптимальных значениях параметров ПЗ и ПР.

Проиллюстрируем решение оптимизационных задач на этапах 4, 5 и 6.

Задачи 11 и 12. По C-критерию находится оптимальное значение периодичности ПЗ (ПР) то и минимальное значение целевой функции Со, а по Р-критерию - допустимое по условиям безопасности значение периодичности ПЗ (ПР) тд. Тогда целесообразные значения периодичности тц лежат в диапазоне: при то< тд то < тц < тд , а при

То > Тд Тц < Тд-

Задача 13. По С-критерию определяется то и Со, а также при заданном коэффициенте К нижнее то и верхнее то значения ПЗ (ПР). По Р-критерию определяется тд. Тогда получаем: 1) при то < тд то < Тц < То; 2) при То < Тд < То 1о<Тц<Тд.; 3) при То > Тд Тц < Тд.

На рис. 1 представлен принцип решения задачи 13 для случая 1, из которого видно, что целесообразные значения периодичности при заданной точности оптимизации К определенные по С-

критерию находятся в диапазоне то,

т„. Таким

образом, в данном случае определяющим при выборе периодичности ПЗ (ПР) является критерий минимума удельных эксплуатационных затрат.

Задачи 21, 22, 31 и 32. По С-критерию для множества функций распределения {Fl,F2,.,F} определяется множество оптимальных значений периодичности (то1 ,то2 ,.,топ} и соответствующее ему множество минимальных значений целевой функции {C01,C02,.,C0n}. Зона условно-оптимальных значений периодичности определя-

« min max т-г j->

ется диапазоном значений то ...т0 . По Р-критерию определяется множество допустимых по условиям безопасности значений периодичности (тд1 ,тд2,.,тдп} и из него выбирается наименьшее

min ^ 1 \ max - min max ^

тд . Тогда получаем: 1) при то < тд т0 <

max

Тц < Тд ; 2) при т

min "у\ __min

Тд ; 3) при То

min

о min

о

min

Тд < То

min

То < Тц <

Рис. 1

На рис. 2 представлен принцип решения задач 21, 22, 31 и 32 для случая 3 при трех функциях распределения F. Из рисунка видно, что целесообразные значения периодичности находятся в диапазоне значений §...тдш", определенных по Р-критерию. Таким образом, в данном случае определяющим при выборе периодичности является критерий безопасности.

>min ^ m

Тд Тц < Тд

Рис. 2

Задачи 23 и 33. По С-критерию для множества определяется множество (то1,т2,.,т" } и соответствующее ему множество {С01,С02, ...,С0"}, а также при заданном К множество верхних и нижних значений периодичности

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

ile', т01;т0)2т02;^;т0п, то"}. Зона условно-оптимальных значений периодичности определяется диапазоном значений то ...то . По Р - критерию определяется множество {тДтД.д/} и из них выбирается тдтп. Тогда получаем:

1 \ ~ max ^ _ min _ min ^ _ ^ — max.

1) при То < Тд То < Тц < То ;

min min max min min

2) при То < Тд < То То <Тц <Тд ;

min min min

3) при То > Тд Тц < Тд .

На рис. 3 представлен принцип решения задач 23 и 33 для случая 2 при трех функциях распределения. Из рисунка видно, что целесообразные значения периодичности находятся в диапа-

" min min /1

зоне значении г0 ... тд , определенных по L-и Р-критериям. Таким образом, в данном случае можно обеспечить как экономически целесообразное при заданной точности оптимизации значение удельных эксплуатационных затрат, так и заданное по условиям обеспечения безопасности значение вероятности безотказной работы ТУ.

с

р

Рис. 3

Заключение

В рамках комплексного подхода основными критериями оптимизации предупредительных замен и ремонтов целесообразно считать минимум удельных эксплуатационных затрат и допустимый по условиям обеспечения безопасности уровень

вероятности безотказной работы технических устройств.

Решение задачи оптимизации ПЗ и ПР усложняется из-за неопределенности исходной информации, которая проявляется в погрешности численных значений параметров целевой функции и в недостоверном описании функций распределения показателей надежности. Неопределенность исходной информации повышает размерность задачи, приводит к неоднозначности результатов её решения и выбора периодичности ПЗ и ПР технических устройств.

Решение вероятностно-неопределенных задач оптимизации ПЗ и ПР целесообразно свести к их вероятностно-определенному эквиваленту путем задания диапазона значений параметров целевой функции или коэффициента точности оптимизации и выбора наиболее вероятных функций распределения показателей надежности.

Целью формализованного решения вероятностно-неопределенных задач является определение зоны условно-оптимальных значений перио-дичностей ПЗ и ПР, ширина которой зависит от степени определенности исходной информации. Окончательный выбор решений должен проводиться специалистами с привлечением дополнительных неформализованных критериев.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Исследование операций / ред. Дж. Моудер. - М. : Мир, 1981. - 667 с.

2. Мелентьев Л. А. Оптимизация развития и управления больших систем энергетики. - М. : Высш. шк., 1983. - 319 с.

3. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке: Методы обработки данных. - М. : Мир, 1980. - 612 с.

4. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. - М. : Сов. радио, 1969. - 488 с.

5. Барзилович Е. Ю., Каштанов В. А. Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. - М. : Сов. радио, 1971. -272 с.

6. Барзилович Е. Ю., Каштанов В. А. Организация обслуживания при ограниченной информации о надежности систем. - М. : Сов. радио, 1975. -136 с.