CC BY
22
УДК 65.01
Принцип виртуальных мощностей в реометрии пищевых сред
Арет В.А., [email protected] , Байченко Л.А., larabavchenko@vandex. ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых
технологий
Рассмотрена задача моделирования течения пищевой среды методами вариационного исчисления
Ключевые слова: пищевая промышленность, вариационное исчисление
The principle of virtual capacity in foodstuff ‘s rheometry
Aret V.A, [email protected] , Baychenko L.A, [email protected] St. Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering
The problem of modeling the flow offood products with methods the calculus of variations
Keywords: food processing industry, calculus of variations
Процессы течения при переработке пищевых продуктов можно моделировать с использованием методов вариационного исчисления, которые имеют некоторые достоинства по сравнению с аналогичными задачами дифференциального исчисления. В капиллярной реометрии и в моделирования течения степенной жидкости в трубах необходимые зависимости дает вариационного принципа Мосолова-Мясникова [1]:
J — J<(pdv- jp F -vdv- j*G- vdS,
V
V
S
(1)
‘V
jb<e
■>d X
V
0
X
> sr
(2)
1
где J - функционал, задача об экстремуме которого соответствует принципу виртуальных мощностей для голономных диссипативных сплошных сред; ср (sif) - диссипативный потенциал; I) (е,,) - функция диссипации; s,y - тензор скоростей деформации.
К числу степенных жидкостей относится тесто профилактического хлеба «Витамет» [2]. В простейшем случае капиллярной вискозиметрии при изотермическом ламинарном течении несжимаемой ньютоновской жидкости в горизонтальном капилляре (канале) имеем
dv * = т—; <р%
Di
dr
\pF-v dv = 0;
У
1
2
rdvV
\dr )
V
(3)
dv = 2nrLdr; dS = 2nrdr,
где X - касательное напряжение; г-текущий радиус капилляра(канала); г\ -коэффициент динамической вязкости; L - длина капилляра (канала).
Тогда с учетом предыдущих зависимостей запишем
R
R
J = 2п fcDdr = 2п [
о
о
( dvл
dr
2
rL + Apvr
dr
(4)
2
где R - радиус капилляра (канала).
В силу основной леммы вариационного исчисления экстремум функционала (4) по условию Эйлера-Лагранжа достигается, когда
где
и
dr
= 0.
v =
dv
dr
r\
d v 1 dv Д p .
+------------— = 0
dr r dr Lr/
(5)
(6)
Решение уравнения (6) при условиях v (R) = 0, v' (0) = 0 дает возможность установить распределение скоростей в канале и интегрирование -формулу Пуазейля. Аналогично можно получить формулы для степенной жидкости вида :
rdv^ Kdr j
п+\ j2
d v 1 +
dr2 nr
r dv^ \dr)
n
4p =o
Lkn
(7)
распределение скоростей течения
V =
n
Ap
n +1 v2 Lk J
V 1+n
r
n
1+n
-R n
(8)
расход
Q жидкости определяется интегралом вида:
Q = 2*\rv<T<ir = ^-(^ l " 3n +1 \2Lk)
\
n
1
(9)
где 77 и к -индекс течения и коэффициент консистенции степенной жидкости. При Yl — 1 и к-г) формулы (8) и (9) описывают течение
ньютоновских жидкостей. Данная заметка имела цель - обратить внимание на возможности использования математических методов вариационного исчисления в реологии и в моделировании процессов переработки пищевых сред.
Список литературы
1. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы теории течения жестко-вязко-пластичных сред . -М.:МГУ, 1971.- 114 с.
2. Андреев А.Н., Колодязная В.С., Байченко Л.А. Психореологические свойства хлеба «ВИТАМЕТ» Научный журнал СПбГУНИПТ. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств (электронный журнал) . — №1. — март 2009. http://processes.open-mechanics.com
