Примеры поверхностей вращения с гипоциклоидными меридианами Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Аннотация: в данной работе на основе вращения вокруг оси симметрии гипоциклоиды построены новые виды поверхностей вращения. Выделены их части, являющиеся поверхностями отрицательной кривизны. Установлены их геометрические формы с использованием компьютерной графики. Ключевые слова: гипоциклоида, поверхности вращения, отрицательная кривизна.

В работе [1] для построения секционно катушкообразных поверхностей использованы эпициклоиды. Горизонтальными сечениями этих поверхностей являются эпициклоиды [2]. Приняв теперь гипоциклоиду за образующую, можно построить новые виды поверхностей вращения [3].

Для построения таких поверхностей за ось вращения примем ту ось, с которой берет начало образующая гипоциклоиду точка [2] (Рис. 1).

Уравнения полученной поверхности могут быть записаны в виде: х = (R(1-m)Sinmu - mRSin(1-m)u)Cosv, y = (R(1-m)Sinmu - mRSin(1-m)u)Sinv, z = R(1-m)Cosmu + mRSin(1-m)u),

где m = r/R, R - радиус неподвижной окружности, а r- радиус катящейся окружности.

Рис. 1. Гипоциклоиды: отношение радиуса неподвижной окружности к радиусу катящейся окружности соответственно равно: k1 = 3, k 2= 4, k 3= 5

I. В результате такого вращения получим поверхности без самопересечений, если отношение R/r принимает целочисленные значения. На рисунке 2 изображены примеры поверхностей вращения для нечетных значений k = R/r, а на рисунке 3 изображены примеры поверхностей вращения для четных значений k = R/r.

УДК 514.7

к = 3

к = 4

к = 5

Рис. 2. Отношение радиуса неподвижной окружности к радиусу катящейся окружности соответственно равно: к1 = 3, к 2= 5, к 3= 7

Вычислим К и Н по формулам:

К (/ ур "р я_(/ '2 + р'2)р " + (/ 'р "-р/")/

(/'2 +Р2)/ 2( / '2 +р 2)!

—

(1 - 2т)Яи( -)

Для построенных поверхностей К =--—;

4т(1 - т)

(1 - 2т^((2т->)

Н =-2-

4тД(1 - т)8т(—)

Рис. 3. Отношение радиуса неподвижной окружности к радиусу катящейся окружности соответственно равно: к1 = 4, к 2= 6, к 3= 8, к4 = 10

II. Вершины гипоциклоиды описывают линии состоящие из особых точек поверхности. Указанные линий разбивают всю поверхность на части среди которых есть пояса с одинаковый по знаку полной кривизной и есть части имеющие разные по знаку кривизны. Если исключить имеющие разные по знаку кривизны части, то получим поверхности отрицательной кривизны с "особенностиями" - они имеют ребра или острия (Рис. 4; 5).

Рис. 3. Поверхности отрицательной кривизны, полученные после исключения части, имеющие разные по знаку кривизны: к1 = 3, к 2= 5, к 3= 7

Рис. 4. Поверхности отрицательной кривизны, полученные после исключения части, имеющие разные по знаку кривизны: к1 = 4, к 2= 6, к 3= 8 , к4= 10

Рис. 5. Поверхности с «экваторными поясами» : р1 = 3, р2 = 4, р 3= 5 Список литературы

1. Кайдасов Ж. О трех видах катушкообразных поверхностей // Достижения науки и образования, 2018. № 1 (23). С. 6-8.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: АСТ: Астель, 2006. 991 с.

3. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. М.: Изд. МГУ, 1990.