CC BY
23
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. № 8(74)
УДК 515.122
61
ПРИМЕР РЕЗНИЧЕНКО МЕТАЛИНДЕЛЕФОВ
© 2009 О.И. Павлов1
Показано, что пример псевдокомпактного пространства X, построенный Е.А. Резниченко, является наследственно металинделефовым. Более того, любое (наследственно) металинделефово пространство У можно вложить в качестве замкнутого подмножества (наследственно) в металинделефово псевдокомпактное пространство так, что дополнением к У в этом пространстве будет служить X (при этом вес X будет определяться весом У). Представленная конструкция намного проще, чем примеры псевдокомпактных некомпактных пространств с точечно-счетной базой, построенные С. Ватсоном и Д.Б. Шахматовым, и металинделефово псевдокомпактное некомпактное пространство, построенное Яном Три.
Ключевые слова: металинделефовость, псевдокомпактность, замкнутое вложение.
Введение
Известно, что многие свойства типа компактности и свойства Линде-лефа влекут компактность в присутствии псевдокомпактности. Например, паралинделефово псевдокомпактное пространство компактно (см. [1, теорема 9.7]). Ватсон и Скотт независимо показали в [2, 6], что каждое метаком-пактное псевдокомпактное пространство является компактом. В.В. Успенский [8] доказал, что всякое псевдокомпактное пространство с ст-точечно конечной базой метризуемо, следовательно, является компактом. С другой стороны, металинделефово2 псевдокомпактное некомпактное пространство было построено в [4, 6] в предположении континуум-гипотезы, и затем наивно — в [7]. Более сильные (а также весьма сложные технически) примеры принадлежат С. Ватсону и Д.Б. Шахматову. Ватсон сконструировал в [3] псевдокомпактное пространство с точечно-счетной базой (последнее
хПавлов Олег Иванович ([email protected]), кафедра высшей и прикладной математики Академии труда и социальных отношений, 117454, Россия, г. Москва, ул. Лобачевского, 90.
2Напомним, что пространство X металинделефово, если в каждое открытое покрытие X можно вписать открытое точечно-счетное покрытие.
условие автоматически влечет металинделефовость), не являющееся компактом. Шахматов усилил этот результат в [9], показав, что любое тихоновское пространство, обладающее точечно-счетной базой из открыто-замкнутых множеств, может быть вложено в качестве замкнутого подмножества в псевдокомпактное пространство с точечно-счетной базой.
Для каждого кардинала т, такого, что тш = т, Е.А. Резниченко описал в [5] подпространство Хт тихоновского куба 1т, обладающее следующими свойствами:
(*) Хт О — ¿-плотно в Iт (то есть каждое непустое подмножество 1Т типа О$ содержит элемент Хт). Из этого следует, что пространство Хт псевдокомпактно, связно и плотно в Iт.
(**) Если Н С Хт и |Н| < т, то Н дискретно и замкнуто в Хт.
Оказывается, Хт наследственно металинделефово. Кроме того, верен аналог теоремы Шахматова о вложении.
Теорема 1. Пусть тш = т. Если Хт С 1т есть пространство Резниченко веса т, а У является тихоновским (наследственно) металинделефовым пространством веса ^ ^ т, то У может быть вложен в 1т \ Хт так, что Хт и У является тихоновским (наследственно) металинделефовым псевдокомпактным подпространством 1т и содержит У в качестве замкнутого подмножества. Если, кроме того, 2^ ^ т, то У С*-вложено в Хт и У.
Следствие 1. Каждое тихоновское (наследственно) металинделефово пространство может быть вложено в качестве замкнутого подмножества в псевдокомпактное связное тихоновское (наследственно) металинделефово пространство.
Следствие 2. Пример Резниченко наследственно металинделефов.
Мы используем стандартные теоретико-множественные обозначения и терминологию. Все рассматриваемые пространства — Т и тихоновские. Для каждого подмножества 5 С т, п,д обозначает проекцию тихоновского куба 1т на его грань I5, а па есть проекция 1т на координату а. Подмножество У называется С*-вложенным в пространство Х, если каждая ограниченная непрерывная функция на У может быть непрерывно продолжена на все Х.
1. Доказательство теоремы 1
Зафиксируем т и вместо Хт будем писать просто Х. Напомним, что в примере Резниченко индексное множество т представлено в виде объединения непересекающихся подмножеств 0 ^ а < т, каждое из которых имеет мощность т. Само множество Х занумеровано в виде Х = = {жа : 1 ^ а < т}, и для каждого € Х существует счетное множество С т, такое, что (ж«) = 1 и Пт\(5аи«а)(х«} = 0. Таким образом,
каждый элемент множества X равен нулю на косчетном, следовательно, непустом множестве $о.
Вложим У в 1т таким образом, что ■кs0 (У) = 1. Тогда X П У = 0 и У будет замкнуто в X и У, так как каждый элемент X равен нулю на непустом подмножестве 50. Обозначим X и У через 2; мы покажем, что пространство 2 металинделефово.
Пусть и является открытым покрытием 2, а V и ^ — подмножествами (не обязательно непересекающимися) и, покрывающими X и У соответственно. Без потери общности мы можем считать, что семейство ^ точечно-счетно в каждой точке У. Мы укажем такие открытые измельчения V' и ^' семейств V и ^ соответственно, что V' покрывает X, ^' покрывает У, и семейство V' и^' точечно-счетно в каждой точке 2. Для каждого ха € X зафиксируем элемент семейства V, содержащий ха, и обозначим его Уа (некоторые Уа могут совпадать). Для каждого 1 ^ а < т пусть
а' € Ба \ ва (1)
и
а'' € 50 \ 5«. (2)
Из (1) и (2) соответственно следует, что
п
(Ха) = 1
(1а)
и
Па"(Ха) = 0 (2а)
для каждого 1 ^ а < т. Следовательно, ха € У, где = Уа П п-,1 ((0.5; 1]) П п-,1 ([0; 0.5)). Это значит, что V' = {У' : 1 ^ а < т} является семейством открытых подмножеств пространства 2, которое измельчает V и покрывает X. Более того, из определения У'а следует, что
пв (Ув) — (0.5; 1] (1б)
и
П01, (Ув) — [0; 0.5) (2б)
для каждого 1 ^ в < т. Из условий (2), (2б) и факта, что Пs0 (У) = 1 следует, что У' П У = 0, поэтому (UV') П У = 0. Из условий (1), (1б) и фактов, что каждое множество за счетно и пт\^аи«а)(ха) = 0, следует, что множество {в < т : ха € У'} счетно для каждого 1 ^ а < т. Отсюда вытекает, что семейство V' точечно-счетно в каждой точке 2.
Теперь занумеруем множество ^ элементами некоторого подмножества 5 — 50: ^ = {Щд : в € 5}. Ш = если в1 = в2). Для каждого
в € 5 пусть Ш'в = Шв П п-1 ((0.5; 1]), тогда! Ш'в П У = Шв П У. Семейство
= {Ш'в : в < V} является открытым измельчением ^ (следовательно,
оно точечно-счетно в каждой точке У), и оно покрывает У. Для каждого 1 ^ а < т, множество {в € 5 : € Ш'в} счетно так как оно является подмножеством счетного множества 50 П С Поэтому семейство Н' точечно-счетно в каждой точке 2. Это означает, что семейство V' и Н' является точечно-счетным покрытием 2, измельчающим М, то есть, пространство 2 металинделефово.
Аналогично, если некоторое семейство открытых подмножеств М пространства 2 (не обязательно являющееся покрытием всего 2) точечно счетно в каждой точке (иМ) П У, то М содержит открытое измельчение М', которое точечно-счетно в каждой точке (иМ) П 2 и такое, что иМ = иМ'. Следовательно, 2 наследственно металинделефово, если таковым является У.
Наконец, известно, что тихоновское пространство веса т может быть С*-вложено в 12Т (См [10]). Поэтому, мы можем считать, что наше вложение У в 1т является С *-вложением если 2^ ^ т. Тогда У будет С *-вложенным ив 2. Доказательство окончено.
2. Нульмерный случай
Пример Резниченко Хт построен таким образом, что множество {0,1}тПХт -плотно в {0,1}т, где {0,1}т есть канторовский куб — подпространство тихоновского куба 1т. Обозначим {0,1}тПХт через Ст. Пространство Ст обладает такими же свойствами (*) и (**) как и Хт, за исключением того, Ст -плотно в {0,1}т, а не в 1т, и Ст нульмерно, а не связно. Доказательство теоремы 1 дословно переносится на нульмерный случай.
Теорема 2. Пусть тш = т. Если Ст С 1т есть нульмерное пространство Резниченко веса т, а У является нульмерным (наследственно) ме-талинделефовым пространством веса ^ ^ т, то У может быть вложен в {0,1}т \ Ст так, что Ст и У является нульмерным (наследственно) ме-талинделефовым псевдокомпактным подпространством {0,1}т и содержит У в качестве замкнутого подмножества. Если, кроме того, 2^ ^ т, то У С*-вложено в Ст и У.
Следствие 3. Каждое нульмерное (наследственно) металинделефово пространство может быть вложено в качестве замкнутого подмножества в псевдокомпактное нульмерное (наследственно) металинделефово пространство.
Отметим, что в настоящее время неизвестно, можно ли вложить каждое нульмерное пространство с точечно-счетной базой в псевдокомпактное нульмерное пространство с точечно-счетной базой. Как заметил Резниченко в [5], его пример в каждой точке имеет псевдохарактер ^1, поэтому не является пространством с первой аксиомой счетности и тем более с точечно-счетной базой.
Автор благодарен М.В. Матвееву за помощь при оформлении списка литературы.
Литература
[1] Burke D. Covering properties // Handbook of set-theoretic topology / ed. K. Kunen и J. Vaughan. Amsterdam: North-Holland Publishing, 1984. P. 347-422.
[2] Watson S. Pseudocompact metacompact spaces are compact // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. V. 81. № 1. P. 151-152.
[3] Watson S. A pseudocompact meta-Lindelof space which is not compact // Topology and its Applications. 1985. V. 20. № 3. P. 237-243.
[4] Star covering properties / van Douwen [et al.] // Topology and its Applications. 1991. V. 39. № 1. P. 71-103.
[5] Резниченко E.A. Псевдокомпактное пространство в котором только множества полной мощности не дискретны и замкнуты // Вестник МГУ, Сер. I: Матем. Мех. 1989. Вып. 44. № 6. С. 70-71.
[6] Scott B. Pseudocompact, metacompact spaces are compact // Topology Proceedings. 1979. V. 4 № 2. P. 577-587.
[7] Tree I. Constructing regular 2-starcompact spaces that are not strongly 2-star-Lindelof // Topology and its Applications. 1992. V. 47. № 2. P. 129-132.
[8] Успенский В.В. Pseudocompact spaces with a point-finite base are metrizable // Commenationes Math. Univ. Carolinae. 1984. V. 25. № 2. P. 261-264.
[9] Шахматов Д.Б. Псевдокомпактные пространства с точечно-счетной базой // Докл. Акад. наук СССР. 1984. Вып. 279. № 4. С. 825-829.
[10] Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.
Поступила в редакцию 19/X/2009; в окончательном варианте — 19/X/2009.
REZNICHENKO'S EXAMPLE IS METALINDELOF © 2009 O.I. Pavlov3
We note that a pseudocompact space X that was constructed by E.A. Reznichenko is hereditarily metalindelof. Moreover, every (hereditarily) metalindelof space Y can be attached to X (the size of X can vary to accommodate Y) so that the resulting space is a (hereditarily) metalindelof pseudocompact space that contains Y as a closed subset. This example is much simpler than related constructions of a pseudocompact not compact space with a point-countable base that are due to S. Watson and D.B. Shakhmatov or a metalindelof pseudocompact not compact space that is due to Ian Tree.
Key words: metalindelof, pseudocompact, closed embedding.
Paper received 19/X/2009. Paper accepted 19/X/2009.
3Pavlov Oleg Ivanovich ([email protected]), Department of Higher and Applied Mathematics, Academy of Labor and Social Relations, Moscow, 117454, Russia.
