CC BY
36
УДК 627.1
С.И. Пиляев, Н.А. Губина
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ПРИМЕНИМОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ ТЕОРИЙ ВОЛНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ГИДРОБИОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОТНОСИТЕЛЬНОГО МЕЛКОВОДЬЯ
Технологические особенности культурного воспроизводства морепродуктов предполагают использования гидробиотехнических сооружений. Расчеты нагрузок и воздействий от волн на морские гидробиотехнические сооружения требуют обоснованного выбора гидромеханической теории волновых движений. Рассмотрены теории двумерных регулярных линейных и нелинейных волн: теория волн малой амплитуды; теория волн конечной амплитуды Стокса (второе приближение); теория волн конечной высоты первого, второго и третьего порядков приближения. Приведены зависимости для определения скоростей и ускорений частиц жидкости. Изложены результаты сопоставления различных теорий регулярных волн и зоны их применимости. Приведены выражения для инженерных расчетов кинематических характеристик регулярных волн на конечной глубине.
Ключевые слова: гидробиотехнические сооружения, теории волновых движений, относительное мелководье, амплитуда, гидромеханическая теория.
В последние годы преимущественное развитие в морском рыбоводстве получило садковое выращивание рыб, так как создание садковых хозяйств (гидробиотехнических сооружений) не требует больших капитальных затрат. Расчеты нагрузок и воздействий от волн на морские гидротехнические сооружения, к которым относятся и гидробиотехнические, при экстремальных условиях их эксплуатации требуют обоснованного выбора гидромеханической теории волновых движений.
Опыт эксплуатации и многочисленные исследования, проведенные в отраслевой научно-исследовательской лаборатории морских нефтепромысловых сооружений МГСУ [1], показали, что для достаточно гибких сооружений (конструкций, имеющих значительный период собственных колебаний) уровень нагрузок и усилий, полученных при использовании теории, учитывающей регулярное волнение, более точно соответствует реальным условиям эксплуатации. Мы имеем тот случай, когда T у> т, где T — период собственных колебаний конструкции; т — средний период волнения.
Выполним сопоставление различных теорий регулярных волн как линейных, так и нелинейных между собой и оценим применимость их с точки зрения удобства инженерных приложений и соответствия реальным условиям.
Предполагаем, что двумерные регулярные волны распространяются над непроницаемым горизонтальным дном при конечной глубине воды H, при этом начало декартовой системы координат совпадает с поверхностью покоящейся жидкости, ось z направлена вертикально вверх, ось x — вправо.
Согласно теории волн малой амплитуды [2—4], уравнение взволнованной свободной поверхности выражается функцией
^(x0, t ) = a cos (kx0 + wt), (1)
h ,2% 2% где a =--амплитуда волны; k =--волновое число; w =--частота
2 X x
волны; X — длина волны; x — период волны.
В этом случае координаты неподвижных точек пространства, в которых оказываются движущиеся частицы жидкости, заменяются координатами частиц жидкости в состоянии их покоя (x0; z0). На уровне спокойного горизонта имеем z = z0 = 0.
Формула (1) описывает гармоническую плоскую (двумерную) волну, бегущую в положительном направлении оси x со скоростью с:
w X
k x
В рассматриваемой теории показано, что скорость распространения волн с зависит от их длины X и эта зависимость при конечной глубине воды определится как
^ -ё^, <2) более известная зависимость w2 - gkthkH.
Длина волны будет связана с периодом известной в инженерной практике зависимостью:
. g т2 2%Н „ 2
X =-- ш-, для глубокой Х = 1,56т .
2% X
Горизонтальная Ух и вертикальная проекции скоростей частиц в толще жидкости определяются выражениями:
cos(£x0 - wt); (3)
= %к сПк(Н + z0) х т $пкН
%к 8Ьк(Н + zn) . ,,
vz =--\11Т 81П(кХс " ^). (4)
т ъпкН
Проекции ускорений частиц жидкости wx и wz определятся дифференцированием по выражениям (3), (4).
пк сЬ(кИ + kz0) . . ...
= — ™-7777-^Ч^О - ^); (5)
т япкИ
%h shk (H + z0)
cos(kx0 - wt). (6)
т 8МН
Частицы жидкости описывают около своего положения равновесия (х0, z0) замкнутые, затухающие с глубиной эллиптические орбиты с полуосями:
к сПк(Н + z0) „ , к 8Ьк(Н + z0)
горизонтальной а, =--и вертикальной а =--.
1 2 2 ъЫН
Горизонтальные отклонения частиц от положения равновесия соответственно будут равны:
. к сПк(Н + z0) . ,,
xo, zo, t) = --——-8Ш(кх0 - ^):
2 8пкН
. И 8Ь£(Н + г0)
а вертикальные ■(х0, z0, t) =--— соъ(кх0 - ).
2 8МН
Величины скоростей и ускорений в теории волн малой амплитуды вычисляются по координатам частиц в покое (х0, г0), но должны прикладываться в соответствующих точках орбит движений частиц.
Замкнутость орбит движения частиц жидкости в волне, согласно теории волн малой амплитуды, означает отсутствие перемещения масс воды (т.е. волнового течения) в направлении распространения волн. В свою очередь, наличие волнового течения — обязательное условие потенциальности движения, т.е. в теории волн малой амплитуды нарушается основное допущение о потенциальности волнового движения.
Вместе с тем теория волн малой амплитуды получила широкое распространение как в теоретических исследованиях, так и инженерном приложении, вследствие своей достаточной простоты и того, что линейность теории волн малой амплитуды, позволяет применять при нахождении потенциала волнового движения метод суперпозиции (сложения) элементарных решений.
Согласно теории волн конечной амплитуды Стокса (второе приближение), кинематические характеристики волн в методе Стокса, так же как и в теории волн малой амплитуды, выражаются через координаты точек жидкости в покое х0, г0, поскольку решение получено в переменных Лагранжа [2, 3]. Приведем основные зависимости, описывающие кинематику волн конечной высоты во втором приближении Стокса.
Уравнение взволнованной поверхности имеет вид
/ч И „ ч лИ2 сМН(2 + кН) „„
■ф) = -со8(кхо - wt) + —-----со82(кХо - wt).
2 8Х 8П3кН
Вертикальное смещение частицы жидкости от положения покоя (х0, г0) определяется формулой [5, 6]
, ИзЩН + г0) ч 3 лк2 $Ь2к(Н + г0)
■(х0,г0,t) =--— со8(кх0 - wt) +-----°со8 2(кх0 - wt).
0 0 2 $ЫН 0 16 X 8Ь4кН 0
В связи с наличием волнового течения траектории движения частиц в бегущих волнах на конечной глубине имеют разомкнутую эллиптическую форму.
Скорость распространения волн во втором приближении Стокса совпадает со скоростью, предсказываемой линейной теорией волн по приведенным выше формулам.
В инженерных приложениях при расчетах гидротехнических сооружений вычисление горизонтальной проекции орбитальной скорости производится по формуле
/ч лИ сЬк(Н + г0) ч 1 л2И2 сЬ2к(Н + г0)
vx ^) =----0- со8(кх0 - wt) +---^-0. (7)
х х 8ЬкН 0 2 X 8Ь2кН
При этом формула для определения горизонтальной составляющей ускорения, в связи с независимостью второго члена выражения (7) от времени будет совпадать с формулой (5) теории волн малой амплитуды.
Рассмотрим теорию волн конечной высоты первого, второго и третьего порядков приближения. В [7] дано решение задачи о потенциальных бегущих волнах конечной высоты при постоянной глубине в переменных Эйлера до третье-
го приближения по амплитуде волны включительно. Показано, что для первого и второго приближений амплитуда волны а = к, а скорость распространения
волны равна скорости распространения по формуле (2) теории волн малой амплитуды. В третьем приближении амплитуда волн и скорость распространения
Нк зависят от относительной глубины — и крутизны — волн.
X X
Н
При — > 0,2 вполне удовлетворительные результаты даст применение X
первого или второго приближения. Поэтому в дальнейшем будут приведены основные зависимости для расчета кинематических характеристик волн лишь для первого и второго приближений. Необходимо обратить внимание на то, что в эти зависимости входят координаты неподвижных точек пространства (х, z). а не координаты покоя (х0, z0).
В первом приближении выражение взволнованной поверхности, горизонтальной V и вертикальной vz проекций орбитальных скоростей имеют вид к
) = — со8(кх - wt); (8)
%к сЬк(Н + z) .
- 4 ' со$(кх - wt); (9)
х shkH %h shk(H + z)
sin(kx - wt). (10)
т $)пкН
Во втором приближении формулы (8)—(10) записываются в виде
/ч к „ ч %к2 сПкН(1 + 2сЬ2кН) „„
= — со8(кх- wt) +---3-со82(кх- wt); (11)
2 8X кН
%h chk(H + z) ,, . 3 %2h2 ch2k(H + z) . ....
vx (t) =--ЪтГ^cos(kx - wt) + ----;cos 2(kx - wt); (12)
shkH 4 Ах sh kH
. . %к ъПк(Н + z) . „ . 3 %2к2 $П2к(Н + z) .
Vz (t) =--ТТТГ^5т(кх - wt) + ----\ зт2(кх - wt). (13)
т япкН 4 Xт 8п кН
Проекции локальных ускорений в первом и втором приближениях получаются дифференцированием выражений (9), (10), (12) и (13) по времени.
Далее сопоставим различные теории регулярных волн — зоны применимости.
Выбор той или иной теории волн при расчетах морских сооружений на воздействие регулярных волн определяется типом конструкции сооружений, простотой использования теории волн в инженерных расчетах, видом рассматриваемого воздействия, применительностью различных теорий волн для корректного описания характеристик волнового движения в различных волновых зонах [8, 9].
С точки зрения характера волнового воздействия можно рассмотреть три типа сооружений.
Для сооружений сквозного типа с элементами относительно малых поперечных размеров, которые обтекаются волнами, существенный, а зачастую решающий вклад в величину волновой нагрузки вносит скоростная составляю-
щая, определяемая скоростями орбитального движения частиц. Максимальные значения волновой нагрузки наступает под гребнем волны, в момент, когда скорости максимальны. Поэтому для расчета волновых нагрузок на подобные сооружения используются различные теории волн конечной высоты.
Для расчета сооружений больших поперечных диаметров, около которых происходит дифракция волн, и нагрузки на которые практически полностью определяются инерционными волновыми силами, зависящими от величины ускорения части жидкости при волновом движении, широко используется линейная теория волн малой амплитуды.
Промежуточное положение занимают сооружения, максимальные волновые нагрузки на которые определяются как сумма скоростной и инерционной составляющих. Следует отметить, что гидробиотехнические сооружения, в частности рыбоводные садки, относятся как раз к таким сооружениям.
В [2, 3] показана тождественность теории волн Стокса во втором приближении с теориями волн конечной высоты первого и второго приближения. Поэтому выбор этих теорий волн для инженерных приложений обусловливается лишь простотой использования каждой из них. Теория волн конечной высоты [7, 10] в первом и втором приближениях позволяет по известным скоростям и ускорениям частиц жидкости вычислять линейные (на единицу длины) нагрузки непосредственно в любом сечении (с координатами центра х, г) произвольно ориентированных элементов сооружений сквозной конструкции. При этом равнодействующие силы и моменты от волны легко вычисляются непосредственным интегрированием линейных нагрузок по высоте или длине элементов.
Применение теории Стокса в связи с необходимостью перехода от координат (х г0) к координатам (х, г) существенно затрудняет инженерные расчеты как линейных, так и равнодействующих нагрузок, требуя перехода к дискретным, численным методам. Поэтому при расчете сооружений на воздействие регулярных волн конечной высоты целесообразнее применять теории волн ко -нечной высоты первого и второго порядков приближения.
При расчете нагрузок от волн на сооружение применимость той или иной теории волн определяется в основном тем, насколько правильно эта теория описывает кинематические характеристики волн в этой волновой зоне, где располагается сооружение. Последнее может быть определено лишь на основе различных теорий волнения с результатами экспериментальных исследований кинематических характеристик волн.
Для условий движения регулярных волн в мелководной зоне до обрушения (Н > Нкр) было произведено сопоставление эпюр безразмерных горизонтальных скоростей части жидкости по опытам различных авторов с теориями волн конечной высоты первого и второго порядка приближений.
Таким образом, из сопоставления различных теорий волн друг с другом и с экспериментальными данными могут быть сделаны следующие выводы:
Н Н X
1) в зоне 0,10 <— < 0,20, а также при — = 0,20 и — < 0,15 — следует X X И
применять теорию волн конечной высоты второго порядка приближения;
2) при H = 0,20, — > 15 , а также во всей области H > 0,20 при — > 10 — — h — —
следует применять теорию волн конечной высоты первого порядка приближения, расчеты по которым в этой области совпадают с расчетами по второму приближению с достаточной для инженерных целей точностью.
С точки зрения инженерных приложений, учитывая ограниченную протяженность гидробиотехнических сооружений в плане, примем х = 0. Учитывая также удобство изложения в дальнейшем методов динамического расчета и напряженно-деформированного состояния конструкций, перенесем начало координат с расчетного уровня на дно. Тогда вместо приведенных выше формул получаем следующие выражения для кинематических характеристик регулярных волн на конечной глубине по теории волн конечной высоты первого порядка приближения:
. . h . . rchchkz . . %hshkz .
^(t) = — coswt, vx(t) =-coswt, vz(t) =-sin wt;
2 xshkH xshkH
%h chkz . %h shkz
wx =--w-sin wt, wz =— w-cos wt.
x shkH x shkH
Таким образом, для гидробиотехнических сооружений следует применять теорию волн конечной высоты первого приближения.
Библиографический список
1. Пиляев С.И. Особенности моделирования волновых процессов на акваториях портов // Вестник МГСУ 2010. № 4. Т. 2. С. 89—97.
2. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. 2-е изд. М. : Наука, 1977.
3. Крылов Ю.М. Спектральные методы исследования и расчета ветровых волн. Л. : Гидрометеоиздат, 1966. 256 с.
4. Кожевенников М.П. Гидравлика ветровых волн. М. : Энергия, 1972. 263 с.
5. Лаппо Д.Д., Стрекалов С. С., Завьялов В.Н. Нагрузки и воздействия ветровых волн на гидротехнические сооружения. Л. : ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1990. 432 с.
6. Крылов Ю.М., Стрекалов С.С., Цеплухин В.Ф. Ветровые волны и их воздействие на сооружения. Л. : Гидрометеоиздат, 1976.
7. Алешков Ю.З., Иванова С.В. Дифракция волн двумя вертикальными стенками // Вопросы теории и расчета ветровых волн и их воздействий на гидротехнические сооружения : труды коорд. совещ. по г/т. Л. : Энергия, 1973. Вып. 84.
8. Stokes G.G. On the theory of oscillatory waves // Mathematical and Physical Papers. Cambridge, 1880, vol. 1, рр. 197—229. DOI: 10.1017/CB09780511702242.013.
9. Michell J.H. The highest waves in Water // Phil. Mag. Ser. 5. 1993, vol. 36, рр. 430—437.
10. Longuet-Higgins M.S., Cockelet E.D. The deformation of steep surface waves on water: Part I. A numerical method of computation // Proceedings of the Royal Society. London, 1976, vol. A342, рр. 157—174. DOI: 10.1098/rspa.1976.0092.
Поступил в редакцию в декабре 2013 г.
Об авторах: Пиляев Сергей Иванович — кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры гидротехнических сооружений, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (495)287-49-14, вн. 14-16, [email protected];
ВЕСТНИК .
МГСУ_3/2014
Губина Надежда Андреевна — кандидат технических наук, доцент кафедры гидротехнических сооружений, Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499)287-49-14, вн. 14-16, [email protected].
Для цитирования: Пиляев С.И., Губина Н.А. Применимость различных теорий волнения для расчета гидробиотехнических сооружений в условиях относительного мелководья // Вестник МГСУ. 2014. № 3. С. 228—235.
S.I. Pilyaev, N.A. Gubina
APPLICABILITY OF VARIOUS WAVE MOVEMENT THEORIES FOR CALCULATING HYDROBIOTECHNICAL CONSTRUCTIONS IN THE CONDITIONS OF RELATIVE SHOAL
Technological features of cultural reproduction of seafood presuppose the use of hydrobiotechnical constructions. Calculations of the loadings and impacts on sea hydro-biotechnical constructions demand a reasonable choice of a hydromechanical theory of wave movement. In the article the theories of two-dimensional regular linear and nonlinear waves are considered: the theory of small amplitude waves; Stokes' wave theory (the second order of approximation); the theory of final height waves of the first, second and third order of approximation. The dependences for determining speeds and accelerations of liquid particles are given. The comparison results of various theories of regular waves and fields of their application are stated. The authors offer the expressions for engineering calculations of kinematic characteristics of regular waves at a final depth.
In recent years, cage culture fishery has received the predominant development in marine aquaculture, because its creation do not require large investments. Calculation of loads and impacts of waves on the shore hydraulic structures under extreme conditions require justified choice of hydro-mechanical theory of wave motions.
This article gives a comparison of the various theories of regular waves, both linear and nonlinear and evaluates the applicability of them from the point of view of engineering use and actual conditions. However, the theory of small amplitude waves is widespread both in theoretical studies and engineering application, due to its sufficient simplicity and the fact that the linearity of the theory of small amplitude waves allows using the method of summing elementary solutions in the process of finding potential wave motion. The choice of one or another wave theory in marine facilities calculations of regular waves impact depends on the type of design, ease of using wave theory in calculations, type of the considered impact, applicability of the different wave theories in order to correctly describe the characteristics of wave motion in different wave zones.
Key words: hydrobiotechnical constructions, theories of wave motion, relative shoal, range, hydromechanical theory.
References
1. Pilyaev S.I. Osobennosti modelirovaniya volnovykh protsessov na akvatoriyakh por-tov [Features of Modeling Wave Processes on Water Areas of Ports]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 2, pp. 89—97.
2. Sretenskiy L.N. Teoriya volnovykh dvizheniy zhidkosti [The Theory of Wave Motions of Fluid]. 2nd edition. Moscow, Nauka Publ., 1977.
3. Krylov Yu.M. Spektral'nye metody issledovaniya i rascheta vetrovykh voln [Spectral Methods of Research and Calculation of Wind Waves]. Leningrad, Gidrometeoizdat Publ., 1966, 256 p.
4. Kozhevennikov M.P. Gidravlika vetrovykh voln [Hydraulics of Wind Waves]. Moscow, Energiya Publ., 1972, 263 p.
5. Lappo D.D., Strekalov S.S., Zav'yalov V.N. Nagruzki i vozdeystviya vetrovykh voln na gidrotekhnicheskie sooruzheniya [Loads and Impacts of Wind Waves on Hydraulic Structures]. Leningrad, VNIIG im. B.E. Vedeneeva Publ., 1990, 432 p.
6. Krylov Yu.M., Strekalov S.S., Tseplukhin V.F. Vetrovye volny i ikh vozdeystvie na sooruzheniya [Wind Waves and their Impact on Structures]. Leningrad, Gidrometeoizdat Publ., 1976.
7. Aleshkov Yu.Z., Ivanova S.V. Difraktsiya voln dvumya vertikal'nymi stenkami [Waves Diffraction by Two Vertical Walls]. Voprosy teorii i rascheta vetrovykh voln i ikh vozdeystviy na gidrotekhnicheskie sooruzheniya: trudy koordinatsionnogo soveshchaniya po gidrotekhnike [Questions of the Theory and Calculation of Wind Waves and their Impacts on Hydraulic Engineering Structures]. Leningrad, Energiya Publ., 1973, no. 84.
8. Stokes G.G. On the Theory of Oscillatory Waves. Mathematical and Physical Papers. Cambridge, 1880, vol. 1, pp. 197—229. DOI: 10.1017/CBO9780511702242.013.
9. Michell J.H. The Highest Waves in Water. Phil. Mag. Ser. 5. 1993, vol. 36, pp. 430—437.
10. Longuet-Higgins M.S., Cockelet E.D. The Deformation of Steep Surface Waves on Water. I. A Numerical Method of Computation. Proceedings of the Royal Society. London, 1976, vol. A342, pp. 157—174. DOI: 10.1098/rspa.1976.0092.
About the authors: Pilyaev Sergey Ivanovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Hydraulic Engineering Structures, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected], +7 (495)287-49-14, extension number 1416;
Gubina Nadezhda Andreevna — Candidate of Technical Sciences, Senior Lecturer Department of Hydraulic Engineering Structures, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavscoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, ngubina@ bk.ru, +7 (499)287-49-14, extension number 1416.
For citation: Pilyaev S.I., Gubina N.A. Primenimost' razlichnykh teoriy volneniya dlya rascheta gidrobiotekhnicheskikh sooruzheniy v usloviyakh otnositel'nogo melkovod'ya [Applicability of Various Wave Movement Theories for Calculating Hydrobiotechnical Constructions in the Conditions of Relative Shoal]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 3, pp. 228—235.
