CC BY
45Экономический анализ: Economic Analysis:
теория и практика 5 (2016) 187-196 Theory and Practice
ISSN 2311-8725 (Online) Математические методы и модели
ISSN 2073-039X (Print)
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАДАЧИ ШТЕЙНЕРА В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ С УЧЕТОМ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ СТРОИТЕЛЬСТВЕ ДОРОГ
Алексей Геннадьевич ИСАВНИН^, Радик Шамилович ШАРИПОВ"
а доктор физико-математических наук, профессор кафедры бизнес-информатики и математических методов в экономике, Набережночелнинский институт (филиал) Казанского (Приволжского) федерального университета, Набережные Челны, Российская Федерация [email protected]
ь аспирант кафедры экономики предприятий,
Набережночелнинский институт (филиал) Казанского (Приволжского) федерального университета,
Набережные Челны, Российская Федерация
• Ответственный автор
История статьи:
Принята 17.12.2015 Одобрена 03.02.2016
УДК 338.47+519.87+330.46 JEL: C02, C61, C65
Ключевые слова: задача Штейнера, точки Штейнера, сферическая система координат, проектирование дорог, рельеф
Аннотация
Предмет. Рассмотрено нахождение точек Штейнера в сферической системе координат, возможность их применения при строительстве дорог с учетом особенностей рельефа, влияюшдх на стоимость строительства.
Цели. Анализ возможности применения задачи Штейнера в сферической системе координат с учетом топографических особенностей поверхности при строительстве автомобильных дорог.
Методология. Исследование проведено в сферической системе координат с помощью алгоритма решения задачи Штейнера с применением точек стремления.
Результаты. Рассмотрена возможность нахождения решения задачи Штейнера с применением сферических координат для трех и шести точек. Рассчитана стоимость строительства автомобильной дороги с учетом рельефа на примере соединения трех населенных пунктов Московской области. Произведены расчеты укрупненной цены строительства на участке по государственным нормативам, которые используются при проектировании автомобильных дорог общего пользования.
Выводы. Сделан вывод о том, что применение задачи Штейнера для точек, имеющих геоцентрические значения координат, дает возможность также учитывать и особенности рельефа при проектировании и реконструкции автомобильных дорог. Применение задачи Штейнера позволяет значительно уменьшить объем строительства, сократить длину пути между объектами, сохранить финансовые средства. Также это позволит рассчитать более точно объем необходимых инвестиций и оценить эффективность использования средств.
© Издательский дом ФИНАНСЫ и КРЕДИТ, 2015
Одной из основных задач государства является успешное функционирование и развитие транспортной системы. Создание условий для экономического роста, конкурентоспособности национальной экономики и повышения качества жизни связано, в том числе с обеспечением доступа к транспортным услугам высокого качества. У транспортной системы России огромный потенциал, и для его дальнейшего развития была разработана Федеральная целевая программа «Развитие транспортной системы России» (2010-2020 годы)1.
На строительство и реконструкцию дорог в действующем бюджете 2015-2017 гг. был запланирован 141 млрд руб. Однако по проекту
1 О федеральной целевой программе «Развитие транспортной системы России (2010-2020 гг.)»: постановление Правительства Российской Федерации от 05.12.2001 № 848 (ред. от 06.10.2015).
бюджета на 2016 г., с учетом текущих финансовых возможностей, на строительство и реконструкцию автомобильных дорог выделяется 97 млрд руб.2. При этом одобренный Правительством РФ проект предполагает сделать акцент на региональную составляющую. В связи со сложившейся экономической ситуацией актуальными становятся задачи развития уже имеющихся дорожных сетей, их реконструкции.
Даже однотипные по назначению сооружения могут серьезно различаться в зависимости от интенсивности движения, рельефных,
гидрогеологических и климатических условий территории, что существенно ограничивает возможность применения типовых проектов, требует их тщательной привязки
2 Регионам нужно научиться использовать действующие дороги, прежде чем строить новые. URL: http://www.gudok.ru/mfrastracture/?ro= 1312066
L = d R,
где R = 6 381 км - средний радиус Земного шара.
Необходимо учесть, что при расчете расстояния между пунктами, расположенными в разных полушариях (южном или северном, восточном или западном), знаки «плюс» и «минус» у соответствующих широт или долгот должны быть разными.
Рассмотрим алгоритм применения задачи Штейнера в сферической системе координат. Используя модификацию метода стремления [4, с. 89], найдем точку Штейнера.
Даны географические координаты точек. Все точки Штейнера расположены на короткой дуге, описывающей окружности радиуса
к конкретным условиям. Все это ведет к высокой материалоемкости, большим денежным и трудовым затратам. Возникает необходимость применения новых методов проектирования дорожных участков, учитывающих специфические условия и особенности.
Исследуем возможность применения задачи Штейнера [1, с. 65; 2, с. 382] при строительстве дорог, расчеты будем производить в сферической системе координат.
Для определения местности объектов на земной поверхности используют различные системы: пространственных прямоугольных координат, геодезических координат, плоских прямоугольных геодезических координат [3, с. 13]. В связи с тем, что поверхность Земли имеет очень сложную форму, в зависимости от решаемых задач она аппроксимируется некоторой фигурой, которую достаточно просто описать математически, например, сферой или эллипсоидом. Для решения многих задач различных областей знаний (геодезии, навигации, картографии) форму Земли принимают за сферу3.
При рассмотрении нашего алгоритма координаты точек на сфере определяются географическими координатами: долготой и широтой. Сферической широтой ф называется угол, заключенный между плоскостью экватора и направлением из центра земной сферы на данную точку4. Сферической долготой X называется двугранный угол, заключенный между плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через данную точку5. По законам сферической геометрии можно рассчитать расстояние между двумя точками на сфере, которое определяется по следующей формуле:
cos id) = sin (фA) sin (фЛ) + + cos (фA) cos (ф5) eos (XA - ХВ),
где d - расстояние между пунктами, измеряемое в где гу" - символы Кристоффеля вт°рог° р°да. радианах;
фA и фB - широты;
ХА и XB - долготы данных населенных пунктов. между пунктами L
где L - расстояние между двумя точками на сфере.
При этом центр окружности удален от середины хорды описанной окружности на расстояни ^ / 2. Точка стремления - точка пересечения длинной дуги окружности с прямой, проходящей через центр этой окружности и перпендикулярной отрезку между двумя вершинами [5, с. 83]. Аналогом прямой линии на плоскости является геодезическая линия на поверхности. Геодезическая линия - это кратчайшая кривая, которая может быть проведена на поверхности между двумя точками6. Ее координатные функции7 Ui = Ui (0 удовлетворяют следующему уравнению [6, с. 356]:
В свою очередь они находятся по следующей формуле8:
Расстояние формуле
находится по
3 Скворцов А.В. Геоинформатика. Томск: Томский университет, 2006. 336 с.
4 Скворцов А.В., Поспелов П.И., Котов А.А. Геоинформатика в дорожной отрасли. М.: МАДИ (ГТУ), 2005. С. 43.
5 Там же. С. 51.
6 Техническая энциклопедия / под ред. Л.К. Мартенс. Т. 5. М.: Советская энциклопедия, 1929. С. 365.
7Жукова Н.И., Багаев А.В. Геодезические линии на поверхностях. Н. Новгород: Нижегородский государственный университет, 2008. С. 21. 8 Там же. С. 54.
На сфере геодезическая линия - дуга большого круга, но кратчайшими на нем будут лишь те участки, которые не превосходят полуокружность9. То есть кратчайшей является дуга, которая будет меньше 180 градусов. Если же дуга будет больше 180 градусов, то она будет больше полуокружности.
Рассмотрим вычисление точки Штейнера для трех точек на сфере. Приведем известный алгоритм задачи Штейнера для трех точек [7, с. 5; 8, с. 295] в сферическую систему координат.
Имеются сферические координаты точек A, B, C. При соединении данных точек образуется сферический треугольник10 (рис. 1). На сфере эти точки соединены дугами большого круга -геодезическими линиями11.
Алгоритм нахождения точки Штейнера для трех точек на сфере основано на нахождении точек стремления на описанной окружности. Учитывая тот факт, что на сфере около любого трехгранного угла можно описать конус, точка стремления будет находиться на большой дуге его основания12. Таким образом, нахождение точки Штейнера T (с учетом всех условий наличия данной точки) сводится к поиску точки пересечения малой дуги описанной окружности с геодезической линией, соединяющей точку стремления TS и одну из координат, например, точки B (рис. 2).
Находим расстояние до точки Штейнера по представленной ранее формуле
cos (d) - sin (фA) sin (ф5) + + cos (фA) cos (фВ) eos (XA - ХВ),
Суммарное значение расстояний AT + BT + CT и есть искомый кратчайший путь, соединяющий начальные точки.
Так же возможно рассчитать нахождение точек Штейнера и для большего количества точек. Но при этом графическое отображение решения задачи Штейнера будет осложнено. Отобразим
9 Математика, ее содержание, методы и значение / под ред. А.Д. Александрова, А.Н. Колмогорова, М.А. Лаврентьева. Т. 2. М.: Академия наук СССР, 1956. С. 134.
10Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. Висагинас: Alfa, 1998. С. 130; Атаносян Л.С., БазылевВ.Т. Геометрия. М.: Просвещение, 1987. С. 335.
11 Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965. С. 418.
12 Федосова М. Сферическая геометрия.
URL: http://www.krugosvet.ru/node/41971?page=0,1#part-3
решение задачи для шести вершин на сфере (рис. 3).
Таким образом, для шести вершин на сфере решением является не более четырех точек Штейнера (условие количества точек Штейнера п - 2) 71, 72, 73, 74 (рис. 4) [9-12].
В зависимости от взаимного расположения соединяемых начальных точек точка Штейнера может быть одна либо вовсе отсутствовать13.
Вычисление расстояния этим методом более эффективно и во многих случаях более точно, чем вычисление его для спроектированных координат (в прямоугольных системах координат), поскольку, во-первых, для этого не надо переводить географические координаты в прямоугольную систему координат (осуществлять проекционные преобразования). Во-вторых, многие проекции, если неправильно выбраны, могут привести
14
к значительным искажениям длин .
При реконструкции и строительстве автомобильных дорог также необходимо учитывать и разнообразные топографические условия прокладки дорог, которые влияют на ее стоимость. В соответствии с установленными государственными укрупненными нормативами цены строительства15, предназначенными для планирования инвестиций и оценки эффективности использования средств, имеется возможность произвести расчет стоимости строительства автомобильной дороги.
Для примера расчетов рассмотрим строительство участка автомобильной дороги протяженностью 1,51 км между двумя населенными пунктами на территории Московской области (рис. 5). Местность участка равнинная, абсолютная высота
13 Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М.: МЦНМО, 2005. С. 18.
14 Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере. URL: http://gis-lab.info/qa/great-circles.html
15 Государственные сметные нормативы. Укрупненные нормативы цены строительства НЦС 81-02-08-2014 Часть 8. Автомобильные дороги: приложение № 8 к приказу Министерства строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ «О внесении в федеральный реестр сметных нормативов, подлежащих применению при определении сметной стоимости объектов капитального строительства, строительство которых финансируется с привлечением средств федерального бюджета, укрупненных сметных нормативов цены строительства для объектов непроизводственного назначения и инженерной инфраструктуры» от 28.08.2014 № 506/пр.
рельефа не превышает 300 м и имеет превышения в пределах 25 м16.
Указанный участок относится к IV категории автомобильных дорог с двухполосным движением17. В данном случае будем считать асфальтобетонное покрытие с щебеночно-гравийно-песчаным основанием.
Согласно нормативам строительства (таблица 0804-0018), стоимость строительства 1 км дороги 28 446,4 тыс. руб.
Стоимость строительства автомобильной дороги с учетом рельефа будет составлять:
28 446,4 х 1,51 = 42 954,064 тыс. руб.
Стоимость с учетом рельефа местности, расчетной нагрузки и схемы доставки инертных материалов:
42 954,064 х 0,9 х1,075 = 41 558,05692 тыс. руб.
Таким образом, стоимость строительства автомобильной дороги на указанном участке протяженностью 1,51 км составит 41 558 056,92 руб. (без учета снегозащитной лесополосы).
Полученное значение является укрупненным значением цены по имеющимся нормативам, которая используется при подготовке технико-экономических показателей в задании на проектирование автомобильных дорог,
строительство которых финансируется
с привлечением средств из бюджета.
Объединим алгоритм Штейнера с представленным ранее способом расчета стоимости строительства, рассчитаем стоимость постройки для рассматриваемого участка.
Отметим три населенных пункта Московской области на карте (рис. 6).
16 Псарев А.А., Коваленко А.Н. и др. Военная топография. М.: Воениздат, 1986. С. 15; КоробковА.И. и др. На байдарках по Подмосковью. М.: Физкультура и спорт, 1982. С. 6.
17 О классификации автомобильных дорог в Российской Федерации : постановление Правительства Российской Федерации от 28.09.2009 № 767.
18 Государственные сметные нормативы. Укрупненные нормативы цены строительства НЦС 81-02-08-2014 Часть 8. Автомобильные дороги: приложение № 8 к приказу Министерства строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ «О внесении в федеральный реестр сметных нормативов, подлежащих применению при определении сметной стоимости объектов капитального строительства, строительство которых финансируется с привлечением средств федерального бюджета, укрупненных сметных нормативов цены строительства для объектов непроизводственного назначения и инженерной инфраструктуры» от 28.08.2014 № 506/пр.
Определив точку Штейнера T, используя точку стремления, обозначим ее на карте (рис. 7).
Расстояния до точки T рассчитаем по приведенной ранее формуле, немного модифицируя ее для небольших расстояний):
Длина AT = 0,987 км (длина холмистого участка 0,067 км), BT = 1,164 км (длина холмистого участка 0,199 км), ^ = 1,233 км (длина холмистого участка 0,384 км). Общая длина составляет 3,384 км, в том числе равнинная местность - 2,734 км, холмистая - 0,65 км.
Рассчитаем стоимость строительства для обычной не скоростной автомобильной дороги V категории со щебневым покрытием. Стоимость строительства 1 км дороги с таким покрытием составляет 7 000 098 руб. Стоимость строительства автомобильной дороги с учетом рельефа местности будет составлять:
(7 000 098 х 2,734 + 7 000 098 х 0,65 х 1,03) х
х 1,075 = 25 611 696,06 руб.
Полученная сумма является укрупненным значением цены строительства по установленным стандартом нормативам.
Указанный алгоритм можно модифицировать путем добавления функции, влияющей на вес ребер между точками в зависимости от пересечения ребра определенных координат -местоположения наиболее ресурсозатратных участков.
Происходит расчет расстояний между точками уже с учетом дополнительного веса ребер и выбирается путь с минимально определенным весом, по возможности с обходом сложных участков. Например, если на определенном участке объекта строительства автомобильная дорога проходит через горную местность или маревые болота, целесообразно рассмотреть возможность их обхода, проложив путь по менее ресурсоемкому участку.
Таким образом находится маршрут с минимальными затратами на строительство.
Экономический анализ: Economic Analysis:
теория и практика 5 (2016) 187-196 Theory and Practice
Рисунок 1
Сферический треугольник ABC
А
Источник: авторская разработка
Рисунок 2
Точка Штейнера T для трех точек на сфере
Источник: авторская разработка
Рисунок 3
Построение точек Штейнера для шести вершин на сфере
Источник: авторская разработка
Рисунок 4
Точки Штейнера 71, T2, 73, T4
Источник: авторская разработка Рисунок 5
Расположение двух населенных пунктов по спутниковым снимкам поверхности Земли
Источник: Google earth
Рисунок 6
Расположение трех населенных пунктов по спутниковым снимкам поверхности Земли
Источник: Google earth Рисунок 7
Расположение точки Штейнера T относительно населенных пунктов
Источник: Google earth
Список литературы
1. БернМ.У., ГрэмР.Л. Поиск кратчайших путей // Scientific American. 1989. № 3. С. 64-70.
2. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. М.: МЦНМО, 2001. 568 с.
3. Лысов А.В., Шиганов А.С. Геодезические работы при землеустройстве. Саратов: Саратовский ГАУ им. Н.И. Вавилова, 2007. 147 с.
4. Орлов Н.Н. Построение оптимальных соединений // Известия ЮФУ. Технические науки. 2009. № 4. Т. 93. C. 88-93.
5. Орлов Н.Н. Решение Евклидовой задачи Штейнера // Известия ТРТУ. Тематический выпуск «Интеллектуальные САПР». 2005. № 3. С. 81-86.
6. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. М.: Физматлит, 2002. 472 с.
7. Гордеев Э.Н., Тарасцов О.Г. Задача Штейнера. Обзор // Дискретная математика. 1993. Т. 5. № 2. С. 3-28.
8. Grigoreva D.R., Faizullina A.G., Sharipov R.Sh., Basyrov R.R. Use of Steiner Problem in Solving Practical Problems of Road Construction // Modern Applied Science. 2015. Vol. 9. № 4. P. 294-302.
9. Лисин А.В., Файзуллин Р.Т. Эвристический алгоритм поиска приближенного решения задачи Штейнера, основанный на физических аналогиях // Компьютерная оптика. 2013. Т. 37. № 4. С.503-510.
10. Лотарев Д.Т. Решение трехточечной задачи Штейнера на плоскости средствами MatLab // Труды ИСА РАН. 2008. Т. 32. С. 159-165.
11. Лотарев Д.Т., Уздемир А.П. Размещение транспортных сетей на неоднородной территории // Автоматика и телемеханика. 2002. № 7. С. 114-124.
12. Лотарев Д.Т., Уздемир А.П. Преобразование задачи Штейнера на евклидовой плоскости к задаче Штейнера на графе // Автоматика и телемеханика. 2005. № 10. С. 82-92.
ISSN 2311-8725 (Online) Mathematical Methods and Models
ISSN 2073-039X (Print)
APPLYING THE STEINER TREE PROBLEM IN THE SPHERICAL COORDINATE SYSTEM GIVEN THE TOPOGRAPHIC FEATURES OF THE SURFACE IN ROAD CONSTRUCTION
Aleksei G. ISAVNIN"'*, Radik Sh. SHARIPOVb
a Branch of Kazan (Volga) Federal University in Naberezhnye Chelny, Naberezhnye Chelny, Republic of Tatarstan, Russian Federation [email protected]
b Branch of Kazan (Volga) Federal University in Naberezhnye Chelny, Naberezhnye Chelny, Republic of Tatarstan, Russian Federation [email protected]
• Corresponding author
Article history: Abstract
Received 17 December 2015 Subject The article addresses the problem of finding Steiner points in the spherical coordinate Accepted 3 February 2016 system and using them in road construction, taking into account the topographic features that
influence the cost of construction.
JEL classification: C02, C61, Objectives The aim of the article is to analyze the possibility of applying the Steiner problem in C65 spherical coordinates given the topographic features of the surface in road building.
Methods The study was conducted in the spherical coordinate system using the algorithm for solving the Steiner problem with convergence points.
Results We considered a possibility to find a solution to the Steiner problem using spherical coordinates for three and six points, calculated the cost of road construction given the relief, on the case of connecting three settlements of the Moscow oblast.
Conclusions and Relevance Applying the Steiner problem for points with geocentric coordinates Keywords: Steiner Tree enables to take into account topographic features in the design and reconstruction of roads. Using the
Problem, Steiner point, Steiner problem, it is possible to significantly reduce the scope of construction, shorten the length of
spherical coordinate system, the path between the object, and save money. It also enables to calculate more accurately the amount road design, relief of required investment and estimate return on invested funds.
© Publishing house FINANCE and CREDIT, 2015
References
1. Bern M.W., Graham R.L. The Shortest-Network Problem. Scientific American, 1989, no. 3, pp. 64-70.
2. Courant R., Robbins H. Chto takoe matematika? Elementarnyi ocherk idei i metodov [What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods]. Moscow, MTsNMO Publ., 2001, 568 p.
3. Lysov A.V., Shiganov A.S. Geodezicheskie raboty pri zemleustroistve [Geodetic works in land development]. Saratov, Saratov State Agrarian University named after N.I. Vavilov Publ., 2007, 147 p.
4. Orlov N.N. [Building the optimal connections]. Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki = Izvestiya SFedU. Engineering Sciences, 2009, vol. 93, no. 4, pp. 88-93. (In Russ.)
5. Orlov N.N. [Solution to the Euclidean Steiner Tree Problem]. Izvestiya TRTU = Bulletin of Taganrog State University of Radio-Engineering, 2005, no. 3, pp. 81-86. (In Russ.)
6. Golovanov N.N. Geometricheskoe modelirovanie [Geometric modeling]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2002, 472 p.
7. Gordeev E.N., Tarastsov O.G. [The Steiner Tree Problem: a survey]. Diskretnaya matematika = Discrete Mathematics and Applications, 1993, vol. 5, no. 2, pp. 3-28. (In Russ.)
8. Grigoreva D.R., Faizullina A.G., Sharipov R.Sh., Basyrov R.R. Use of Steiner Problem in Solving Practical Problems of Road Construction. Modern Applied Science, 2015, vol. 9, no. 4, pp. 294-302.
9. Lisin A.V., Faizullin R.T. [Heuristic algorithm for finding an approximate solution to the Steiner problem based on physical analogies]. Komp'yuternaya optika = Computer Optics, 2013, vol. 37, no. 4, pp. 503-510. (In Russ.)
10. Lotarev D.T. [A solution to the Steiner three point problem on the plane using MatLab tools]. Trudy ISA RAN = Proceedings of ISA RAS, 2008, vol. 32, pp. 159-165. (In Russ.)
11. Lotarev D.T., Uzdemir A.P. [Locating transport networks in non-homogenous territories]. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control, 2002, no. 7, pp. 114-124. (In Russ.)
12. Lotarev D.T., Uzdemir A.P. [Transformation of the Steiner problem on the Euclidean plane to the Steiner problem on the graph]. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control, 2005, no. 10, pp. 82-92. (In Russ.)
