Применение в социальных системах смо с бесконечным накопителем, скачкообразной интенсивностью входного потока и резервным прибором Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информационные системы в экономике

Д.С. КРЫЛОВА, Н.И. ГОЛОВКО

Применение в социальных системах СМО с бесконечным накопителем, скачкообразной интенсивностью входного потока и резервным прибором

Рассматривается система массового обслуживания (СМО) с бесконечным накопителем, двумя обслуживающими приборами с экспоненциальным обслуживанием на каждом, один из которых резервный. Изучен поступающий на вход СМО дважды стохастический пуассоновский поток, интенсивность которого X(t) является скачкообразным процессом с интервалами постоянства, распределенными по экспоненциальному закону. Предполагается, что значения процесса X(t) в точках разрыва слева и справа независимы. С применением метода производящих функций найдены стационарные характеристики, приводится доказательство существования и единственности стационарного режима. Обсуждается применение рассматриваемой СМО.

Ключевые слова: система массового обслуживания (СМО), бесконечный накопитель, дважды стохастический пуассоновский поток, скачкообразная интенсивность, два обслуживающих прибора.

Application of spasmodic intensity of input stream in social Service System with endless storage device and reserve device. D.S. KRYLOVA., N.I. GOLOVKO.

Service System with endless storage device, two devices with exponential service on each of them, one of them is reserve are considered. Input Service System of twice stochastic Poisson stream was studied, which intensity h(t) is spasmodic process with interval of constancy dispersed according to exponential law. It was proposed that value of process A(t) in points of discontinuity on the left and on the right are independent. Using course-of-value function method there were found fixed characteristics; evidence ofexistence and uniqueness of fixed mode is given. Application of considered Service System is discussed.

Key words: Service System with endless storage device; two devices with exponential service on each of them; twice stochastic Poisson stream interval of constancy dispersed according to exponential law; spasmodic intensity of twice stochastic Poisson stream.

Системы массового обслуживания с дважды стохастическим пуассо-новским потоком заявок, интенсивность которого представляет собой марковский процесс с конечным или счетным множеством состояний достаточно хорошо исследованы (см. например, работы [11, 15-23, 25] и др).

Меньше изучен случай, когда интенсивность входного дважды стохастического (ДС) пуассоновского потока (1111) СМО представляет собой случайный процесс с непрерывным пространством состояний. Для СМО с входным ДС 1111 с интенсивностью, которая представляет собой марковский чисто разрывный [3] или в - другой терминологии - скачкообразный [2], случайный, процесс, в работах [4, 5] рассмотрены приближенные методы анализа характеристик числа заявок и времени ожидания в СМО с бесконечным накопителем; для систем массового обслуживания с конечным накопителем предложены матричные методы анализа характеристик числа заявок в СМО с входным ДС 1111 со скачкообразной [6] и диффузионной [7] интенсивностью входного потока. В работе [10] исследованы вопросы существования и единственности стационарного режима в СМО с входным ДС 1111 со скачкообразной интенсивностью, получено нестационарное решение.

СМО с бесконечным накопителем, экспоненциальным обслуживанием на одном приборе, скачкообразной интенсивностью входного потока рассмотрена в работе [9]. В ней исследованы вопросы существования и единственности стационарного и нестационарного режимов, стабилизация, но, к сожалению, остался открытым вопрос о возможности применения предложенного математического аппарата к более широкому кругу систем массового обслуживания.

В настоящей работе для СМО с бесконечным накопителем, двумя приборами - основным и резервным, скачкообразной интенсивностью входного потока предлагается анализ распределения числа заявок с применением метода производящих функций. Следует отметить, что результаты, полученные нами, а также авторами работ [4-7, 10], согласуются с предсказанием эволюции исследования стохастических систем [13], при которой пространство состояний параметров систем расширяется от дискретного до непрерывного, вслед за изучением матричных инфинитези-мальных операторов следует изучение интегродифференциальных операторов.

Рассмотренная модель СМО применяется в таких социальных системах, как информационные сети [8, 10, 14]. В работах [8, 14] исследованы модели СМО для библиотечных серверов, серверов баз данных, proxy и web серверов в информационных сетях с количеством рабочих станций в сети более 600. С применением статистических методов показано, что предложенная авторами модель СМО адекватно отражает физические процессы в сети, классифицированы типы возможных входных потоков и законы распределения обслуживания. Показано, что обслуживание в этих сетях распределено по экспоненциальному закону. Для серверов со средней интенсивностью трафика, таких как библиотечные и серверы баз данных, наблюдался входной пуассоновский поток со скачкообразной

интенсивностью; на серверах же, имеющих высокую интенсивность трафика, например на proxy и web серверах, отмечен входной пуассоновс-кий поток с диффузионной интенсивностью.

Рассмотренная модель СМО имеет практическое применение и в таких социальных системах, как торговые центры, аэропорты, банки и т. д. [1, 24]. Например, в супермаркетах в качестве обслуживающих приборов выступают кассовые аппараты. Включение резервных аппаратов связано с дополнительными затратами на зарплату кассиров, невключение грозит чрезмерным скоплением очередей и потерей магазином клиентов. Следовательно, актуальным является минимизация расходов в социальной системе, связанных с функционированием СМО. Такая минимизация требует оптимального управления резервным прибором, которое осуществляется с помощью модели СМО в социальной системе.

Аналогичные рассуждения можно привести для других примеров социальных систем.

Таким образом, представленная тематика имеет актуальное теоретическое значение и практические приложения.

В настоящей работе рассматривается СМО типа М/М/1 с двумя приборами - основным и резервным, бесконечным накопителем и экспоненциальным обслуживанием интенсивности /I на основном приборе и /I + А на резервном приборе, который включается, если число заявок в СМО станет больше или равным v. На вход СМО поступает ДС ПП, интенсивность которого X(t) является скачкообразным процессом, изменяющийся на отрезке [a,b] с интервалами постоянства Т, распределенными по экспоненциальному закону с параметром а. Предполагаем, что выполняется условие отсутствия перегрузок

Ь</л, (1)

откуда следует а<х<Ь < /л. Если а=Ь, то получится СМО, которая хорошо исследована в литературе (см., например, [12]). Отсюда следует

а<Ъ. (2)

Интенсивность X(t) имеет в точках разрыва tQ справа условную плотность распределения ф(х \ у) = р[х < A(t0 + 0) < х + dx\A(t0 - 0) = у}/dx.

В настоящей работе приводится анализ характеристик рассматриваемой СМО в случае, когда значения процесса X(t) в точках разрыва tQ слева и справа независимы, т. е. выполняется:

(р{х | у)= (р{х) = Р{х < A(t0 + 0) < х + dx}/dx.

Обозначим через f{t, х) = Р{х < A(t) < х + dx}/ dx нестационарную плотность X(t% а через/(х) = Р{х < А < х + dx}/dx - стационарную плотность X(t), где Я обозначает процесс X(t) в стационарном режиме. Через v(t) обозначим число заявок в СМО в момент /, через v - число заявок в стационарном режиме, а через Qk (t, х), к > 0, - совместное нестационарное распределение числа заявок v(t) и интенсивности X(t) входного

потока: / ч ( Л

Qk (t, х) = P{v(t) - к, х< A(t) < х + dx)/dx? к > 0.

Обозначим через </Дл'). к >0, совместное стационарное распределение числа заявок V и интенсивности Я входного потока в стационарном

режиме: / ч с і

Чк\х)= =^’ х<Л<х + ах)1 ах.

Для краткости функции (ґ, х) в дальнейшем будем называть нестационарными, а функции цк(х) - стационарными характеристиками числа заявок. Если в качестве начального распределения числа заявок в СМО в начальный момент времени Ї = 0 принять стационарное распределение, то V? > 0 будет выполняться (^(/,х) = #£(£), к > 0. Если в качестве начального распределения числа заявок в СМО в начальный момент времени Ї = 0 принять нестационарное распределение, то в качестве можно рассмат-

ривать пределы

Як (х) = Ит Qk (*>х\ * ^ (3)

/—^00

существование которых будет показано позднее.

ь

Заметим, что интегралы \дк{х)(1х = рк, к > 0, представляют со-

а

бой стационарное распределение числа заявок, удовлетворяющее уело-

00

вию нормировки X Рк = 1- В дальнейшем совокупность уравнений от-

к=О

носительно характеристик СМО будем называть математической моделью СМО или для краткости моделью СМО. Помимо математических моделей СМО в литературе часто описываются также имитационные, схематические, словесно-описательные и другие модели СМО. В нашей работе рассматриваются нестационарные и стационарные модели СМО. Отметим различие в обозначении характеристик СМО: нестационарные - курсивом, стационарные - прямым шрифтом.

С применением динамики Колмогорова-Чепмена в данной работе получены уравнения относительно нестационарных характеристик числа заявок СМО <2к (ґ,х), к > 0, образующие вместе с начальными условиями и условием нормировки следующую задачу Коши, которую будем называть 1-й нестационарной моделью СМО:

1) система интегродифференциалъных уравнений:

—б0(Ах) = “О + а)во(*>х) +АЙ(^Х) + ар(х){в0(*>У)Ф> (4)

6

—б* (*,х) = х&_,(/,х)-(* + //, +а)0і(*,х) + //10і+1(*,х) +

& ь (5)

+ а(р{х)\<2к(/,у)ф, \<к<у-1,

а

д

—Оу (ї,х) = хб„_, (/,х) - (х + (*,х) + //20„+1 0,х) +

Ы ь (6)

+ а<р{х)1()у(иу)ф, к =

О

—<2к (*’х) = х<2к-1 (*’х) ~(х + м2+ &х) + (*,*) +

& ь (7)

+ аср(х) \(}к (/, у)ду, к>у +1;

а

2) начальные условия с начальными плотностями ()к (х):

&(о,х)=&(хи>о; (8)

3) условие нормировки:

ъ

^Як(*’х) = f(t■>x\ ;>0, х&[а,ь], = (9)

к> О а

Введем производящую функцию 7?(^,х,г):

Л(?,х,г) = 2>*б*(*.х), 2 е С.

£> О

Предположим, что 1Лг= ц + А, //,=//, тогда система (4)-(7) примет следующий вид:

—0О(*,*) = -(*+ а)б0(*,л:)+// б1(Г,х) + ог^(х)|б0(?,^)ф, & = 0, (10)

а

—Ок(*,х) = х£>к-1 Ц,х)-(х + ц + а)<2к(*,х) + /л £)к+1 (г,х) +

4 (П)

+ а^(х) /£>* (1,у)ф, 1<к<у-1,

а

т-б„ (*,*) = х0„_, (*,*) - (х + уИ + а)0„ (*,*) + (// + А)бг+| 0,х) +

^ г, (12)

+ а(р{х) (*, £ = у,

а

3

—<2к(*>х) = хвк-1 (*> *) - (х + А + А + а)ЯЛи х) + {р + А)б*+1 (Г,д:) +

^ ь (13)

+ а(р{х) \<2к Ц,у){1у, к> I/ +1.

а

Обозначим Ь(х, г)=хг2-(х + /1+ а)г + /I. В (10)—(13), (8), (9) получается задача Коши относительно производящей функции 7?(/, х, г) с интег-родифференциальным уравнением

ь

Ь{х,2)Щ,х,2) + а2(р{х)\Щ,у,2)<}у + А(1-г) 2>*<2^,х) = П/П

а *>У+1 С1'

= гЯ^^х, г) + (1 - (/, дс)

с заданным начальным условием

Яф,х,г) = ^г^^(0,х), геС (15)

к>0

и условием нормировки

Д(г,х,1) = /(/,х).

Нестационарные вероятности числа заявок в СМО в момент вре-

ъ

мени ? > О равны Рк (?) = ({,х)с1х = рк, к>0.

а

Обозначим области

= {(*,х,г): / > 0, х е \а,Ь\, \г\ < 1, г е с], = {г: 7 > О,

\г\ <1,ге С}.

Заметим, что степенной ряд 11(1, х, г) сходится, во всяком слу чае в области £>мг, т. к. \R-it, х, г)\ < Щ, хД) = /(*, х).

Ъ

Аналогично показывается, что степенной ряд у, z)с1у сходит-

а

ся в области О. В дальнейшем будут уточнены области сходимости производящих функций как степенных рядов.

Следует отметить, что задача Коши решения системы уравнений (10)—(13), (8) с учетом условия нормировки (9) - задача неоднородная, хотя сама система уравнений (10)—(13), (8) является однородной. Для удобства решения такой неоднородной задачи перейдем к неоднородной системе уравнений с использованием следующей замены:

Г„Ц,х)= Е Ок (*,х), п > 1, г0(*,х) = Еб*(*»х) = /(*,х). (16)

к>п к>0

Суммируя уравнения системы (10)—(13) с учетом условия нормировки (9), получим нестационарное уравнение Колмогорова-Феллера относительно нестационарной плотности/(/, х) [2, 3]:

ь ^

-а/(г,х) + а(р(х)1/(!,о)с}и = —/^,х),

а

Ъ

/Д/,х) + сс[ (?,х) = а(р(х)

а

решение которого с учетом условия нормировки имеет вид [9]

Д*,х) = <р(х) +1/(0, х) - (р(х)Уа.

ъ

х/(1, х) - (х + // + а)гх (?, х) + !жг (/, х) + сир{х) \гх (/, у)йу =

5 * (17)

= —Г^,х),П = \,

ъ

хгп_х (*, х) - (х + ц + а)гп (*,*) + цгв+х (/, х) + сс(р{х) \гп (*, ,у)Ф =

а “ (18)

= —гп(*>х\2 <п<у-1,

ОТ

хги_х (*,х) - (х + уМ + а)гу (*,дс) + //гг+1 (*,х) + Агк+1 (*,х) + + а^(х)|гД?,з;)ф =—гу^,х),п = у,

а СЛ

ХГП_, (/,х)-(х + // + «)гн(/,х) + /гя+1 (/, х) - Агп (Г,х) + Агп+1 (/, х) +

5 (20) + а^(х) |ги(?,7)ф =—гн(г,х), и > V +1.

а &

Для удобства переобозначим:

е„_1(?,х) = г„(?,х), и>1. (21)

С учетом замены (21) из системы (17)—(20) следует система (22)—(25):

ь

х/"(/,х) - (х + // + а)С0(?,х) + //С|(?,х) + аг^(х)|С0(?,^)ф =

= т:со (*»*)» от

хС„_! (Г, х) - (х + ц + «)(?„ (*, *) + ]ивп+1 (г,х) + аср(х) ]£я (/, >’)Ф =

= ^°Л*,х), \ <п<у-\ от

хб^ (/,х)-(х + // + «)6,|, (/, х) - АС^, (*, х) + /уС,,ч (?, х) +

+ АС,, (/,х) + а^(х) ^ (/, у)ф =—С„. (/, х), хв^ (*,х) - (х + /и + а)вп (/,х) + рвп+1 (?,х) + ДСй+1 (7,х) +

+ а^(х) ](?„ (?, =—(7, х), п > V +1.

(22)

(23)

(24)

(25)

Бесконечную неоднородную систему разностно-интегральных уравнений (22)-(25) будем называть 2-й нестационарной моделью СМО. Заметим, что, хотя для системы уравнений (22)-(25) отдельно не рассматривается условие нормировки (9), но оно выполняется в силу (16). Для решения системы (22)-(25) введем производящие функции Р (/, х, г) и 0(1,2):

^,х,7) = ^усп(их\ с(^) = 2ус„(0, £„(*) =

п>0 п>0

где В , В - области сходимости степенных рядов ¥ (^, х, z) и С (£ ^ соответственно.

Заметим, что

ъ

в^,г)= \Р(г,у,г)(1у.

а

Из определения производящей функции Р (7. х, г) и системы уравнений (22)-(25) следует уравнение относительно производящей функции

^ (/, X, 2)

Дх, г)Р(^, х, г) + аг<р(х) \Р{^(, у, 1)3у - х, г) + (7, х) -

« (26) -хг/(1,х) + Д(г Хг"вп(1,х)- 1г"*'вм(1,х)).

П>У +1 /7>У + 1

Введем оператор ^ сдвига коэффициентов степенного ряда:

КР{их,г) = = 2>л(7и+1(*,х). (27)

^ и>0

Аналогично вводятся операторы К У+1 и К у+2 сдвига коэффициентов степенного ряда:

/Г+1.Р(г,х,2) = Сг+](/,х) + г£к+2(?,х) + г2б„+3(*,х) + г^+Д^х) +

1^(7,х) (28)

+ ...= ***!-_-------= ^-^вп(^х),

Z и>1

Ку+2Р^,х,г) = Су+2(г,х) + 2б„+3(*,х) + 22<7г+4(г,х) + г3Су+5^,х) +

Т^в,(1,х) (29)

+...= ***_— = 1,-^а,(1,х),

2 п> 1

а также оператор интегрирования Ф:

ъ

ФР^,х,г) = <р(х) $Р(]1,у,г)<1у,

а

одинаково действующие на нестационарные и стационарные абсолютно сходящиеся степенные ряды. Через / обозначим единичный оператор.

С учетом введенных обозначений интегральное уравнение (26) примет следующий вид:

[(хг -(* + // + а))1 + /Ж + аФ + Аг¥+\КУ+2 - Ку+')]р^,х,2) =

= ^'(7,х,2)-х/(7,х).

Обозначим преобразования Лапласа функций/и^:

00 00

/*С?,х)= [е“5'/(?,х)с//,F*(,5',x,z) = |е_|У/^(^,х,г)^, Яе5 >0. о- 0-

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (30), получим уравнение относительно преобразования Лапласа производящей функции:

[(= ~(х + » + а))1 + НС + «Ф -*/ + =

= -х/*(5,х)-^( О,*, Я).

Введем операторы:

А =----------------(/^: + аФ-5/ + А21,+1(^'/+2 -/г+1у),

х + // + а-хгч ' (32)

т=1~А.

и обозначим через Т"1 обратный к т оператор. С учетом введенных обозначений из (31) следует уравнение относительно F*(s, х, z):

z,F\s,x,z)= Xf’iS’X) + mX’Z) . (33)

x + ju +a-xz x + ju + a — xz

Обозначим область Dxz= {(x,z): x e [a, 4|z|<l,zeC}, а через L-пространство степенных рядов:

h(x,z) - Zhn(x)zn,

П> 0

сходящихся равномерно no x, z в области D ., суммируемых по Лебегу на интервале [(a, b\ имеющих неотрицательные коэффициенты hn(x), интегралы от которых по хе [<a, 6] строго больше нуля:

ъ

j\(x)dx > 0, я>0.

a

Относительно стационарной производящей функции F (х, z):

F(x,z) = Zzngn(x), g„(x)= S^(x), n> 0, (34)

я>0 &>я+1

из нестационарного уравнения (31) вытекает стационарное уравнение

ъ

F(x, z)(z2x - z(x + /и + a) + //) + zacp(x) J F(y, z)dy-jug0 (x) +

a

+ xzf(t,x) + a( Ez"+1g„+1(x)-z Ez"g„(x)l = 0.

\n>V+1 /7>V+1 У

С учетом, операторов интегрирования

Ъ

<PF(t, х, z) = (р(х) \F(t, у, z)dy,

a

а также операторов К, Кv+l и Кv+2 и сдвига коэффициентов степенного ряда получается уравнение относительно производящей функции: F(x, z):

[(xz - (х +// + a))l + juK + a0 + Azv+l (Kv+2 - Kv+1 )]f(x, z)=-x/(x).

Из данного уравнения выражается стационарная производящая функция

xf fx^

F(x,z) = T~'f0(x,z), /0(x,z) =---------------- (35)

x + /j + a - xz

и следует формальное представление для нее

F(x,z) = (I-A0y 7o(*,z)= 1Л7»(».4 <36)

и>0

где

^0 =---------1-------[//К + аФ + Azv+1 (Kv+2 -A:v+1)l

х + ц +a - xz

Заметим, что степенной ряд

х + р + a — xz 1 — pz х + ju + а п>о = р(х)= Х

х + /л + а

принадлежит пространству Ь. Поскольку

У/ге£^(х + // + а- хг)~1к, КИ, КУ+2Ь, КУ+ХЬ, Фк е Ь, то V// е Ь => Д,/? е Ь. Следовательно, степенные ряды Д"/0 (х, г) е I,, Уи>1.

Для исследования сходимости ряда (36) введем норму в пространстве /.. позволяющую оценить слагаемые в (36) для значений параметров х,2еОхг: ь

= 1Г— ЕИ” \К(.Х)<Ь (37)

г> - а

/7>0

^llvcz)= =да INL

По норме (37) L является банаховым пространством. Символом v(Z) будем обозначать пространство линейных ограниченных в L операторов, отображающих пространство L само в себя. По операторной норме

щ

h\h\*° ML h\h\L=\

оно является банаховым пространством.

Теорема 1. Из определения линейного оператора Ф, заданного на элементах пространства Z, следует, что его норма равна единице в пространстве v(Z) при указанных ограничениях на параметр z:

Mv(L)=h Vz, |z| < oo. (38)

Доказательство теоремы 1: ^

Норма оператора интегрирования Oh(x, z) = (р{х) \h(y, z)dy,

h є L, равна а

Ъ Ъ п

ІІФЙІІ f ^ И" ООФ**

||ф|| = sup .. и 1 = sup ------аП~° --------------=

h\\h\\L*o \\h\\L h-\\h\\L*0 \hn{x)dx

n> 0 a

£ J^(x)JxJ/?„(j)i/j|z|" Z \hn(y)dy\z\

= sup ^—-—*----------------------= sup -= 1,

Y. \hn(x)dx\z\n к\ніф<) Ъ \hn(x)dx\z\n

n>Oa 7 n>Oa

b

где h(y,z) = X hn(y)zn, \cp{x)dx = 1. Теорема 1 доказана.

п> О а

\п

Теорема 2. Из определения линейного оператора К, заданного на элементах пространства X, следует, что норма этого оператора ограничена в пространстве при указанных ограничениях на параметр z:

К\

v(L)

-Г7’ ze iz:\z\ >^1*

(39)

Доказательство теоремы 2:

Для нормы оператора сдвига коэффициентов степенного ряда КЪК{Х)1П=ЪК+1{Х)2\

п>О п>О

определенного на элементах пространства X, выполняется оценка:

М

I \hn+x{x)zndx I| zf\hnM(x)dx

АПІ = sup " 111 = sup ^7----------------------= sup ——----------------------

hi\h\\,*o ml k\h\,*v Y,\h (x)dx|z|"

ZdJzV

n> 0

= sup

1

Tdnz

n>\

цг\ \hn(x)dx

n> 0 a

<1.

= sup

h\\h\\*» 2X|z|" h-\\h(*«\z\(d0 + Zdn\z\") lzl

n>0 n> 1

b

dn = \hn(x)dx > 0, n > 0. Теорема 2 доказана.

a

Теорема 3. Из определения линейного оператора А заданного на элементах пространства Z, при условии (1) отсутствия перегрузок в СМО существует такое eo = eo(/i, Ъ, а, а), что норма оператора AQ ограничена в пространстве v(Z) при указанных ограничениях на параметр z:

IK

I v(L)

<1, Vz є {z: |z| є (1,1 + £■„)}.

ju + a + (\- q)b

(40)

Доказательство теоремы 3:

Обозначим

X

q — \z\, /? = /?(х) =----------, ^(g) = ln

X + fl + cc

fl + CL + (1 — (j}ci

4(1 -д)ф-а)

Из (38), (39) для нормы оператора

А0 = (х + /л + а - хг)~х ■ (/Ж + аФ + Агу+Х (Ку+2 - Ку+Х)), определенного на элементах пространства Ь, получим оценку:

I (х + <и +а- хг)-1- (/Ж + аФ + Агу+\ку+2-Ку+1))

1

Ml

v(L) <

<

v{L)

х + ц + а - xz

/Ж + аФ + Azy+\Kv+2 - КУ+)

<

v(L)

v(L)

<

1

(х + /л + а - х£) 1

'(Н'И

+ ||Л’,'+|

/г + \а • Ф ч- АІ-Ь

К£) 1 1 11 ' уЩ І І I

У+\\

К

у+2\\

+

\у{Ь)

)) =

(х +// + а—хг) 1

сИ-МКІ)+ИИІ,(і)

I

X + /Л + ОС — Х2

+ |Д|-|г| <1

"'.(иг;'+мг+1))<

41 К(Ь) II К(1)”

/ II-1, 1 , л I 11/+1/'1 \~<У+‘2'> , I Г(у+1)\\

(// ■ г + сс ■ 1 + А • к (|г| + р| )) =

1

/"

1

Ъ- а ах + ц + а п> о' // +А

' Ч-а + Д^ ' +А)<

"Ь ос + А

<

1

^рп\г\сіх = Ь-а аХ + >и + ап>о // + А + (а + Д)д К сіх

Г

/л + А + (ос + А)д ^)х -ь/^+сі!!)

д(Ь-а) ах + /л + а-хд д(Ь-а)(1-д) а (1 -д)х+ц+а

/л + А + (от + А)д 4(1 - Ч)(Ъ - а)

•1п

/л + а + (1 -

/л + а + (1 - <?)а

Исследуем функцию від).

1. Область определения функции в(д)\

Щ) = н±^±^±31Ла

д(1 - д)(Ь - а)

/л + А + (ос + А)д 4(1 - 4)(6 - а)

// + « + (!- <7)6

в\{ч) = о(ч)-

/л + а + (1- ц)а

Область определения функции 0(д) представляет множество Ы, за исключением точек:

_ , , /л + а , /л + а

Ч\ =0, ц2 = 1, <7з ~ 1 + ——, Ч4 = 1 +--------------•

о а

Г/л 1ч /11 /л + а. ,, /л + а . /и + аЛ

4 е 1 (0; 1)и(1;1 + ^——)и(1 + ^—;1 + ^---------------)

Ъ

а

2. Точки пересечения с осями абсцисс и ординат.

2.1. Ось ординат график функции 0(д) не будет пересекать, т. к.

Нш 6(а) = +оо.

<?-»0+0

2.2. График функции в(д) будет пересекать ось абсцисс в точках

а + о

3. Четность функции.

$(-?) = 'ц + А + (к + А)(-‘г).1п

(-<?)(! + - а)

/л + а + (1 + сц)Ь

[л + а + (1 + д)а

ОігЧ) * ~6(Я) * %).

То есть функция не является четной, не является нечетной. 104

4. Асимптоты функции.

Вычислим пределы функции в{д) в точках др д4.

4.1.

?, = 0=> Шп <%)=1ип-ц + А + (а + А)‘'.1п

<7^0+0 ^0+0 - а)

/л + а + (1-д)Ь

/л + сс + (1—

Следовательно, дг = 0 является вертикальной асимптотой при

= +00.

д —> 0 + 0.

4-2- д2 = 1 => Нш 6(а) = Пт----------------------------------------------------

д-»1±о ^1±0 д(\ - д)(Ь - а)

/л + А + (а + Д)д

• 1п

ц + а + (1 - д)Ь

/1 + а + (1 - #)а

= 1 +

2А /л + а

>1.

Следовательно, д = 1 не является вертикальной асимптотой.

4.3.

^3=1 +

/л + а

Пт в(д)= Ит /' + А + (а + А)<?

9->1+^±0 д(1-д)(6-а)

^,+^±о

6

X 1п

[л + сс + (1 — Ц)Ъ

/и + а + {\- д)а

= +оо.

Следовательно, д = \ +

_ /л + а

является вертикальной асимптотои при

4.4.

<?4 -1 +

/л + а

а

Нт в(д) = Нт

9_>|+£±?_о

X 1п

/л + а + (1 —

/л + А + (си + Д)д д( 1 - ?)(& - а)

// + а + (1 - д)а

= - оо.

/л + а а

является вертикальной асимптотои при

Следовательно, д4= 1 +

, // + а

<7 —> 1 + —-----0.

4 а

5. В результате исследования области определения функции в{д), выяснилось, что функция терпит разрыв в нескольких точках. Исследуем их.

5.1. = 1 является точкой разрыва первого рода. Разрыв устранимый, т. к.

предел слева равен пределу справа.

/л + а

вляется точкой разрыва второго рода. Разрыв не-

1з - ъ

устранимый, т. к. предел справа и слева равен + оо, и через эту точку проходит вертикальная асимптота.

5.3. Точка д4= 1 + а является точкой разрыва второго рода. Разрыв

неустранимый, т. к. предел слева равен - оо.

На основании пунктов 5.2. и 5.3 можно сделать вывод, что на проме-

г ц + а и + а\ * „

-;1н------существует д , такое, что 0< в(д )<1

жутке

1+-

для значений д\ д* < д < д4. Следовательно, Ц^оЦ^ш = < ^для

значений д\ д* < д < д4 (см. рисунок). Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Относительно стационарной производящей функции F(x, z) получено уравнение:

(I -A0)F(x,z) = f0(x,z).

Доказательство теоремы 4:

Уравнение относительно стационарной производящей функции F(x, z) с учетом операторов сдвига К, Kv+2, Kv+l, а также оператора интегрирования Ф выглядит следующим образом:

[(xz - (х + // + a))/ + juK + a0 + Azv+1 - /Г+1 )]f(x, z) = -х/(х).

Из данного уравнения выражается стационарная производящая функция

1

I-

(х + ju + а - xz) х/(х)

(х + /л + а - xz)

(/Ж + аФ + Azv+l (Kv+2 - Kv+l))

F(x,z) = (I-Aoy f0(x,z),

F(x,z) =

где

л=-

1

x + ju +a-xz x/(x)

\fK + аФ + Az^1 (Kv+1 - Kv+l)],

f0(x,z) = -x + ju + a -xz

Теорема 4 доказана.

Теорема 5. Стационарная производящая функция равна ^(х,г) = ^Ап /0(х, г)

п> О

при условии |^| < 1, которое следует из теоремы 3.

Доказательство теоремы 5:

Так как

то из теории функционального анализа следует Р(х,г)= ^Ап/0(х,г),

п> О

при условии ||у4|| < 1 . Согласно теореме 3 выполняется условие ||^|| < 1 . Следовательно, теорема 5 доказана.

Итак, в работе исследовано стационарное и нестационарное распределение числа заявок для СМО, предложен метод преобразования исходной однородной системы уравнений относительно характеристик СМО к неоднородной системе. С помощью функционально-аналитического метода приводится доказательство существования и единственности стационарного режима, стабилизации нестационарного режима СМО. Введен новый тип операторов при исследовании СМО: операторы сдвига коэффициентов производящих функций, позволяющие выразить неизвестную характеристику. С применением данных операторов получены основные доказанные результаты. Найдены в явном виде стационарные характеристики числа заявок СМО. Предложены методы расчета стационарных характеристик СМО.

Литература

1. Гитман М.Б., Столбов В.Ю., Гилязов Р.Л. Управление социально-техническими системами с учетом нечетких предпочтений. - М: Ленанд, 2011.-272 с.

2. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. - М.: Наука, 1973.

3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Физматгиз, 1961.

4. Головко Н.И., Коротаев И.А. Время задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // Автоматика и вы-числ. техника. 1989. № 2. С. 36-39.

5. Головко Н.И., Коротаев И.А. Системы массового обслуживания со случайно изменяющейся интенсивностью входящего потока// АиТ. 1990. № 7. С. 80-85.

6. Головко Н.И., Филинова Н.А. Матричный анализ систем массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // АиТ. 2000. № 9. С. 73-83.

7. Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т. А. Краевые задачи в стационарных системах массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока // Дифференц. уравнения. 2002. № 3. С.305-312.

8. Головко Н.И., Каретник В.О., Танин В.Е., Сафонюк И.И. Исследование моделей систем массового обслуживания в информационных сетях // Сиб. журн. индустр. мат. 2008. Т. XI, № 2(34). С. 50-64.

9. Головко Н.И., Каретник В.О., Пелешок О.В. СМО с бесконечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока // Автоматика и вычислительная техника. 2009. № 10. С. 75-96.

10. Головко Н.И., Катрахов В.В., Рыжков Д.Е. Система массового обслуживания с конечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока // АиТ. 2009. № 7. С. 97-110.

11. Горцев А.М., Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск: - Изд-во Том. ун-та, 1978.

12. Клейнрок JI. Теория массового обслуживания. - М.: Машиностроение, 1979.

13. КоролюкВ.С. Стохастические модели систем. Киев: Наук, думка, 1989.

14. Модели информационных сетей и коммутационных систем / под ред. А.Д. Харкевич, В.А. Гармаша. - М.: Наука, 1982. - 186 с.

15. Таташев А.Г. Система массового обслуживания с переменной интенсивностью входного потока // АиТ. 1995. № 12. С. 78-84.

16. Alvarez-Andrade S. On the increments of doubly stohastic Poisson processes // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. Math. 1992. Vol. 92, N 5. P. 609-614.

17. Alvarez-Andrade S. Strong approximation of doubly stochastic Poisson processes // C. R. Acad. Paris. Ser. I. Math. 1993. Vol. 316, N 8. P. 869-872.

18. Karmeshu, Thompson M.E. The one-server Markov queue in a random environment // Bull. Calcutta Math. Soc. 1993. Vol. 85. N 3. P. 203-208.

19. Keilson J., Servi L.D. The matrix M/M/1 system: Retrial models and Markov modulated sources //Adv. Appl. Prob. 1993. Vol. 25, N 2. P. 453-471.

20. Prabhu N.U., Yixin Zhu. Markov-modulated queueing systems // Queueing Syst. 1989. N 5. P. 215-246.

21. Purdue P. The M/M/1 queue in a Markovian environment // Oper. Res. 1974. Vol. 22, N 3. P. 562-569.

22. Stamoulis G.D., Tsitsiklis J. N. On the setting time of the congested GI/G/

1 queue //Adv. Appl. Prob. 1990. Vol. 22, N 4. P. 929-956.

23. Sztrik J. Asymptotic analysis of a heterogeneous finite-source communication system operating in random environments // Publ. Math., Debrecen. 1993. Vol. 42, N 3-4. P. 225-238.

24. Sullivan D. Social Media Optimization: It’s Like SEO, For Social Sites. -URL: http://blog.searchenginewatch.com/blog/ 060829-150053.

25. Yixin Zhu. Amarkov-modulated M/M/1 queue with group arrivals // Queueing Syst. 1991. N 8. P. 255-264.

О Крылова Д.С., Головко Н.И., 2012 г.