Применение удовлетворительной аппроксимации допустимого множества при решении задач оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 154, кн. 3

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2012

УДК 519.853^519.68

ПРИМЕНЕНИЕ УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДОПУСТИМОГО МНОЖЕСТВА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

A.A. Андрианова

Аннотация

Работа посвящена исследованию свойств и принципов построения удовлетворительной аппроксимации множества допустимых решений задачи условной оптимизации. Замена в ходе решения исходного допустимого множества па его удовлетворительную аппроксимацию позволяет построить конечные алгоритмы методов внутренней и внешней точек (методов штрафных функций или методов центров) с критерием остановки, гарантирующим выполнение заданной точности полученного решения. Доказаны необходимые и достаточные условия для построения внешней и внутренней удовлетворительных аппроксимаций допустимого множества. Сформулирован один из реализуемых способов задания множества, являющегося удовлетворительной аппроксимацией допустимого множества, которое можно использовать при построении алгоритмов, гарантирующих получение заданной точности за конечное число итераций.

Ключевые слова: методы последовательной безусловной минимизации, метод штрафных функций, метод центров, решение задачи оптимизации с заданной точностью, удовлетворительная аппроксимация допустимого множества, реализуемые критерии остановки.

Введение

Практическое; применение методов непрерывной минимизации связано не столько с получением точного решения задачи, сколько с нахождением приближенного решения с заданной точностью е > 0. Поскольку большинство известных методов обеспечивает сходимость к точному решению задачи, остановку вычислений производят на основании критериев близости к оптимуму. Однако довольно часто эти критерии оказываются эвристическими и их применение может привести к выбору точки, далекой от точного решения. Поэтому актуальной задачей является разработка алгоритмов, которые имеют простые критерии проверки достижения заданной точности, гарантировано выполняющиеся после конечного числа итераций применяемого метода.

Один из подходов к разработке таких алгоритмов заключался в аппроксимации допустимого множества решений. Он был применен по отдельности в методах последовательной безусловной минимизации [13] в методе штрафных функций [4. 5] и в методе центров (параметризации целевой функции) [6 8]. Данный подход заключался в замене исходного допустимого множества задачи на его аппроксимацию (вложенное или окаймляющее множество) и в решении построенной таким образом вспомогательной задачи одним из указанных выше методов. Способ получения аппроксимации в этом случае енлыю зависел от применяемого метода оптимизации. Было доказано, что за конечное число итераций гарантируется получение точки из разности исходного допустимого множества и его аппроксимации.

что является критерием остановки вычислении и гарантией заданной точности полученного решения.

В настоящей работе производится обобщение данного подхода путем введения понятия е-удовлетворительной аппроксимации допустимого множества для задачи математического программирования, получения необходимых и достаточных условий задания таких множеств и формулировки обобщенной схемы применения аппроксимаций в методах последовательной безусловной минимизации (внутренней

е

число шагов. Вводные положения для случая применения метода внешней точки при таком подходе были рассмотрены в [9].

При построении практических алгоритмов на базе данной схемы предполагается использовать априорные знания о целевой функции и функциях-ограничениях задачи оптимизации - констант Липшица, сильной выпуклости, (р, в, А) -аппроксимируемости или сильной квазивыпуклости. Такие константы нередко используются для оценки скорости сходимости того или иного метода оптимизации (см., например, в [1 3, 10]). Полученные таким образом оценки могут быть применены для формулировки критерия остановки вычислений. Обычно такие оценки существенно зависят от управляющих параметров применяемого метода оптимизации, что позволяет их использовать только непосредственно в алгоритмах на базе этого метода. Отличительной особенностью схем, предлагаемых в настоящей статье, является универсальный для методов последовательной безусловной минимизации способ применения априорно заданных констант для построения практических алгоритмов решения задач условной минимизации с гарантией достижения требуемого уровня точности.

1. Постановка задачи

Пусть решается следующая задача оптимизации:

шш{/(х), X е Б}, (1)

где Б = {х е Еп : /¿(х) < 0, г = 1,..., т}, целевая функция / и функции-ограничения /¿, г = 1,..., т, определены и непрерывны в п-мерном евклидовом пространстве Дп и принадлежат классу функций, каждый локальный минимум которых является абсолютным, множество Б регулярно по Слейтеру, то есть существует точка у е Б, для которой выполняются неравенства /¿(у) < 0 для всех г = 1, . .., т.

Пусть требуется найти решение задачи 1 с заданной точностью е > 0. Введем следующие обозначения:

/* = шт{/(х), х е Б},

X* = {х € Б : /(х) < г + £}, х* = {х € Д„ : |/(х) - /*I < £}.

Множество А"* является множеством е-решений задачи (1), а в множество ХЕ входят и те точки, которые не являются допустимыми. Это множество принято

е

/* > —го, минимум достигается и множество X* является ограниченным. Будем также полагать, что абсолютный минимум целевой функции достигается за пределами множества Б, откуда, в частности, следует, что точка оптимума лежит па границе множества Б. Случай принадлежности оптимума внутренности множества Б рассматривался, например, для метода центров в [11]; при определенных условиях он может быть сведен к задаче минимизации специальным образом построенной вспомогательной функции.

Требуется получить точку г из множества А"* либо из множества X£ .

е

допустимого множества

Определение 1. Внутренней аппроксимацией множества допустимых решений Б задачи (1) назовем множество О1 гада {х € Еп : уч (х) < 0, г = 1,... , г}, для которого выполняются условия 01 = 0 и 01 С Б. Здесь г = 1, ...,г, -непрерывные в Дп функции, отличные от /¿, г = 1,...,ш, каждый локальный минимум которых является абсолютным.

Заменим исходную задачу (1) на следующую вспомогательную задачу

шш{/(х), х € О1}, (2)

где 01 - внутренняя аппроксимация множества Б задачи (1). Для задачи (2) введем следующие обозначения для точки минимума и множества точек, которые входят в «полоску», образованную разностью исходного множества Б и внутренней 01

х*(01) = а^шш{/(х), х € 01}, Зт(О1) = {х € Б : /(х) < /(х*(О1))}.

е

01

ства Б, Для которой Зт(01) С X*.

Следующая теорема определяет необходимые и достаточные условия для того. 01 е

Б

01 С Б е

Б

01 П X* = 0.

01 е

Б

нию 2 (01) С X*. Для решепия х* (01) вспомогательной задачи (2) справедливы включения х*(01) € О1, х*(01) € Зт(01). Отсюда, поскольку Зт(01) С X*, следует, что х* (01) € 01 П X* , то есть 01 П X* = 0. Необходимость доказана.

01

ства Б и имеет место 01 П X* = 0. Зафиксируем произвольно точку у € 01 П X* . Так как у € 015 то /(х*(01)) < /(у), поскольку х*(01) - решение задачи (2). С другой стороны, у € X*, что означает продолжение последнего неравенства: /(х*(01)) < /(у) < /* + е. Таким образом, для любого х € Зт(01) будет справедлива цепочка неравенств /(ж) < /(х*(С\)) < /* + е, то есть <Зт(С?1) С А"* . □

е

проксимации при построении конечных алгоритмов решения задачи (1) с точно-е>0

Пусть в качестве метода решения вспомогательной задачи (2) выбран некоторый метод внешней точки из класса методов последовательной безусловной минимизации (метод центров, метод штрафных функций или метод параметризации целевой функции). С помощью этих методов строится итерационная последова-

01

солютного минимума специальным образом построенной свертывающей функции, зависящей от целевой функции и функций-ограничений задачи (2).

Общая схема метода внешней точки с аппроксимацией допустимого множества.

Пусть выбраны множество О1 — е-удовлетворительная внутренняя аппроксимация множества Б, а также метод внешней точки А со свертывающей функцией Б(х,/, Ф(О1),п), где Ф(Ох) - способ учета в свертывающей функции допустимого множества (обычно задается в виде функции-свертки ограничений), п _ набор управляющих параметров метода внешней точки. Зададим способ выбора управляющих параметров В, зависящий от выбранного метода внешней точки А. Полагаем к = 0.

Если получена точка хк (к > 0), то получение точки хк+1 производится следующим образом.

1. По способу В определяется очередной набор управляющих параметров пк-

2. Строится функция Б (х,/, Ф(О1),пк ^соответствующая методу А.

3. Выбирается хк+1 е А^тт{Б(х,/, Ф(О1),пк),х е Дп}.

4. Если хк+1 е Б, то хк+1 е X*. Останов. Задача (1) решена.

5. Полагается к = к + 1. Переход к шагу 1.

А

внешних центров или метод параметризации целевой функции. Каждый из указанных методов имеет несколько разных способов задания свертывающей функции Б(х,/, Ф(О1), п) и функции Ф(О1) и соответствующих им правил выбора новых

п

некоторые из них.

Метод штрафных функций. Управляющим параметром для метода штрафных функций является штрафной коэффициент а > 0. Традиционный способ выбора значений параметров (способ В общей схемы) для метода штрафных функций заключается в следующем: ак+1 > ак Ук > 0, ак ^ го при к ^ го. В качестве свертывающих функций метода штрафных функций при способе учета ограничений (Ф(О1)) -0(х) = тах{<^(х), г е 1,..., г} можно использовать (д > 1):

Б1(х) = /(х) + а(тах{0, ^(х)})9,

Г

Б21(х) = /(х) + а^(тах{0, ^¿(х)})9.

¿=1

Метод параметризации целевой функции. Управляющий параметр данного метода в связан со значениями целевой функции в точках генерируемой последовательности. В большинстве методов параметризации целевой функции в качестве способа фиксации этого параметра (способ В общей схемы) используется правило вк+1 = вк + тт{Б(х,/, Ф(О1),пк), х е Дп} при во < /*• Для ускорения

а>0

аналогичный штрафному коэффициенту.

В качестве примеров свертывающих функций при способе учета ограничений (Ф(О^) ^(х) = тах{<^(х), г е 1,... ,г}, которые используются в методе параметризации целевой функции, можно привести следующие (д > 1):

Б2(х) = тах{0, /(х) — в} + атах({0, ^(х)})9,

Г

Б22(х) = тах{0, /(х) — в} + а^(тах{0, ^¿(х)})9.

¿=1

Один из вариантов метода параметризации целевой функции давно имеет собственное название метод центров и имеет следующую свертывающую функцию:

Б3(х) = тах{/(х) — в, а^(х)}.

Докажем далее, что применение общей процедуры метода внешней точки с аппроксимацией допустимого множества позволит получить за конечное число итераций точку г € X* .

Теорема 2. Существует номер К > 0, для которого будут, выполнены условия шага 4 общей схемы метода внешней точки с аппроксимацией допустилюго множества. При этом хк+1 € X* .

Доказательство. Предположим, что для любого к > 0 условия шага 4 не выполняются. Исследуем свойства построенной по общей схеме последовательности точек {х^}. Согласно известным свойствам методов внешней точки (см., например, [1, 2, 11, 14] для различных методов последовательной безусловной минимизации) эта последовательность будет удовлетворять следующим условиям.

1) / (хк) < / (х*(01)) для всех к = 1, 2,..., причем / (хй) ^ / (х* (О1)) при к ^ то;

2) р(хк,01) ^ ^и к ^ то, где р(х, 01) = шш{||у — х||, у € 01} - расстояние

х 01

В силу условия 2, непрерывности функций-ограничений г = 1,...,г, задачи (2) и условия Слейтера для множества Б найдется номер К > 0 такой, что хк € Б, то есть будет получено противоречие с тем предположением, что условия шага 4 общей схемы не выполняются. При этом в силу условия 1 будет справедливо неравенство /(хк) < /(х*(01)), то есть хк € З®п(01), что согласно определению е-удовлетворительной внутренней аппроксимации означает, что хц & X*. □

е

допустимого множества

Б

задачи (1) назовем множество 02 вида {х € Еп : уг(х) < 0, г = 1,...,г}, для которого выполняется условие Б С О2. Здесь г = 1,..., г, — непрерывные в Дп функции, отличные от /г, г = 1,..., ш, каждый локальный минимум которых является абсолютным.

Вместо исходной задачи (1) будем решать следующую вспомогательную задачу

шт{/(х), х € О2}, (3)

где О2 — внешняя аппроксимация мпожества Б задачи (1). Введем следующие

е

решений:

х*(02) = а^шш{/(х), х € 02}, Зоиг(02) = {х € О2 : /(х) < /(х*(02)) + е}.

е

пустимого множества для задачи (1) внешнюю аппроксимацию 02, для которой

^оиt(02) С Xе •

Следующая теорема определяет необходимые и достаточные условия для того, чтобы множество О2 являлось е-удовлетворительной внешней аппроксимацией Б

Теорема 3. Внешняя аппроксимация допустилюго множества задачи (1) 02 = {х € Дп : (х) < 0, г = 1,..., г} является е-удовлетворительной тогда и только тогда, когда Зо^(02) П X* = 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть G2 - е-удовлетворительная внешняя аппроксимация множества D для задачи (1). Согласно определению 4 Qout{Go) С А' . Возьмем точку-оптимум задачи (1) х* G Argmin{/(x), х G D}. Очевидно, что x* G X**. Для решенпя x*(G2) вспомогательной задачи (3) справедливо включение x*(Go) G Qout (Go), откуда следует, что x*(Gо) G Хе , так как G2 — е-удовлетворительная внешняя аппроксимация множества D. Согласно последнему включению справедливо неравенство |f(x*(G2)) — f(x*)| < е, или f (x*) < f (x*(G2)) + е. Поскольку x* G G2, последнее неравенство означает, что x* G Q0ut(G2). Таким образ ом, x* G Q0ut(G2) П X**. Необходимость доказана.

G2 D

и Qout(G2) ПА* ^ 0. Обозначим точку, входящую в это пересечение, через х. Так как х G А"*, имеет место неравенство f(x*) < f(x), где х* G Argmin{/(x), х G D}. Поскольку, кроме того, х G Qoui(G2), получим, что

f(x*)<f(x)<f(x*(Go)) + £. (4)

Отсюда следует, что x* G Qout(G2).

Зафиксируем произвольно точку y G Qout(G2). Для этой точки имеет место неравенство f(x*(G2)) < f(y) < f(x*(G2)) + е, что согласно (4) делает справедливой следующую цепочку неравенств: f(x*) — е < f(x*(G2)) < f(y) < f(x*(G2)) + + e < /(-г'*) то ость If(y) — /(-г'*)| < нлн У £ X£ . В силу произвольности выбора точки у G Q0ut (G2), последнее включение означает, что Qout (Go) С ХЕ , то

G2 е

ней аппроксимацией множества D. □

Замечание 1. Заметим, что исходное множество D задачи (1) является е-удо-

G2

поскольку Qout(G2) представляет собой по определению множество е-решений для задачи (3), необходимое и достаточное условие из теоремы 1 в этом случае формулируется как D П Qout(G2) = 0- Поскольку G2 — е-удовлетворительная внешняя аппроксимация множества D, то согласно теореме 3 Qout(G2) П X** = 0. Отсюда с учетом X** С D, очевидно, D П Qout(G2) = 0.

е

прокснмацнн при построении конечных алгоритмов решения задачи (1) с точностью е > 0.

Пусть в качестве метода решения вспомогательной задачи (3) выбран некоторый метод внутренней точки из класса методов последовательной безусловной минимизации (метод центров, метод барьерных функции). С помощью этих методов

G2

которых является точкой абсолютного минимума специальным образом построенной свертывающей функции, зависящей от целевой функции и функций-ограничений задачи (3).

Общая схема метода внутренней точки с аппроксимацией допустимого множества.

G2 е

множества D, а также метод внутренней точки A со свертывающей функцией F(x, f, ^(G2),n), где ^(G2) - способ учета в свертывающей функции допустимого множества, n _ набор управляющих параметров метода внутренней точки. Зададим способ выбора управляющих параметров B, зависящий от выбранного метода A. Полагаем k = 0.

Если получена точка хк (к > 0), то получение точки хк+1 производится следующим образом.

1. По способу В определяется очередной набор управляющих параметров пк-

2. Строится функция Б (х,/, Ф(02),пк ^соответствующая методу А.

3. Выбирается хк+1 € А^шт{Д(х,/, Ф(02),пк),х € Дп}.

4. Если жк+1 ^ то жк+1 £ ХЕ . Останов.

5. Полагается к = к + 1. Переход к шагу 1.

Обоснование работы общей схемы методов внутренней точки с аппроксимацией множества допустимых решений основывается на свойствах, имеющих место для

А

могут быть использованы метод внутренних центров и метод барьерных функций. для каждого из которых существует несколько видов свертывающей функции Б(х,/, Ф(02), Пк) с собственными способами задания управляют,их параметров п В

К>0

вия шага 4 общей схемы, метода внутренней точки с аппроксимацией допустимого множества. При этом хк будет является е -псевдорешением задачи (1).

Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно, то есть для всех к > 0 условия шага 4 не выполняются. Исследуем свойства построенной

{хк}

что любой из методов внутренней точки генерирует последовательность так. что /(хк) > /(х*(02)) для всех к = 1, 2,..., причем /(хк) ^ /(х*(02)) при к ^ то.

Так как абсолютный минимум / достигается за пределами множества Б, /* > > /(х*(О2)). В силу непрерывности функции / и согласно условиям изменения последовательности {/(хк)} найдется номер К > 0 такой, что /(хк) < /*, что возможно только, если хк / Б, то есть будет получено противоречие со сделанным выше предположением.

При доказательстве теоремы 3 было показано, что х* € Зои 1;(02), тел и 02 -еБ

для найденной точки хк справедливо неравенство /(хк) < /(х*) < /(х*(02)) + + е, то есть хк € Зои1;(02). № определения 4 е-удовлетворительной внешней аппроксимации следует, что тогда хк € ХЕ , то есть является е -псевдорешением задачи (1). □

Замечание 2. В частных случаях использования некоторых видов свертываю-ее

Б

мер, это справедливо для свертывающей функции метода центров, которая может использоваться в методе как внешних, так и внутренних центров (а > 0, в """"" управляющие параметры метода):

Б(х) = шах{/(х) — в, а^(х)}.

Замечание 3. Использование общей схемы метода внутренней точки с аппроксимацией допустимого множества в случае, когда в качестве метода А используется метод барьерных функций, имеет отличие на шаге 3 общей схемы, что связано с отсутствием непрерывности барьерной функции па границе множества О2. Тем не менее это не нарушает общности рассуждений при доказательстве теоремы 4. Модифицированный шаг 3 имеет вид:

3'. Выбирается хк+1 € А^шш{Д(х,/, Ф(02),пк), х € 02}.

Виды свертывающих функций, которые можно использовать в данном случае, можно найти в [2, 3].

е

аппроксимации допустимого множества

Самым простым видом множества, которое можно использовать в качестве аппроксимации допустимого множества задачи (1), является

О(р) = {х е йп : /¿(х) + р < 0, г = 1,.. .,т}. (5)

При р > 0 множество О(р) при условии непустоты будет внутренней аппроксимацией множества Б, а при р < 0 - внешней аппроксимацией. Очевидно, что

р = 0 О(0) = Б

р

е > 0 р

е

Б

0 < р < — тт{д(х), х е X*}, где д(х) = тах{/^(х), г = 1,..., т}.

Доказательство. Необходимость. Пусть О(р) - е-удовлетворительная внутренняя аппроксимация множества Б. Тогда то теореме 1 О(р) П X* = 0. Зафиксируем точку х из этого пересечения. Поскольку ж £ С(р), то д(х) + р < 0. Так как х € X*, то 1шп{<?(ж), ж € А"*} < д(ж). Следовательно, тт{д(ж),ж € А"*} + + р < д(х) + р < 0, или 0 < р < — тт{<?(ж),ж € А"*}. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть 0 < р < — тт{д(х), х е X*}. Обозначим у = = а^тт{д(х), х е X*} (это возможно, поскольку X* - замкнутое ограниченное множество). Для этой точки справедливо д(у) + р < д(у) — тш{д(х), х е X*} = 0. Таким образом, у е О(р). Следовательно, у е О(p)ПX*, а значит, в силу теоремы 1

С(р) г-удовлетворительная внутренняя аппроксимация множества Б. □

р

оценка сверху величины тш{д(х), х е X*}. Такие оценки можно получить при наложении дополнительных условий на целевую функцию и функции-ограничения

задачи (1). Перечислим некоторые известные способы получения таких оценок.

/

константой Ь > 0, функция д, задающая ограничения, является сильно выпуклой с постоянной сильной выпуклости > 0, тт{д(х), х е X*} = тт{д(х), х е йп}. Тогда тт{д(х), х е X*} < —¡е2/Ь2 (см. [7]).

Отсюда следует, что О(р) является е-удовлетворительной внутренней аипрок-Б

0 <р < ¡е2/Ь2.

/

Ь > 0 д

с неубывающим модулем выпуклости (0 < 4 < го), тт{д(х), х е X*} =

= тт{д(х), х е Дп}. Тогда тт{д(х), х е X*} < —-0(е/Ь).

Следовательно, чтобы О(р) являлось е-удовлетворительной внутренней аи-Б

0 <р < ^(е/Ь). /

с константой Ь > 0, функция д, задающая ограничения, является (р, в, А)-аипроксимируемой (см. [13]), тт{д(х), х е X*} = тт{д(х), х е йп}. Тогда тт{д(х), х е X*} < —ве/Ь.

Следовательно, чтобы О(р) являлось е-удовлетворительной внутренней ап-Б

0 <р < ве/Ь.

Обоснуем получение такой оценки для более общего случая.

/

условию Липшица с константой Ь > 0, функция д является сильно квазивыпуклой с постоянной к > 0, шт{д(х), х € X*} = шт{д(х), х € Дп}. Тогда

2

ке2

1шп{з(ж), ж € X*} < (б)

Доказательство. Зафиксируем две точки из множества X*: х* = = а^шт{/(х), х € Б} и у = а^шт{д(х), х € X*}. Известно (см. [14]), что

для любого ж £ А"* справедливо неравенство ||ж — у\\2 < —{д{ж) — д{у)). в том

к

числе и для х* € X*. Так как точка минимума задачи (1) лежит на границе Б д(х* ) = 0

IIх* " У\\2 < -~д(у) = ~~ тш{д(х), ж € А"*}. (7)

кк

Поскольку минимум функции д та множестве X* не совпадает с абсолютным минимумом этой функции, он достигается на границе множества X*, то есть /(у) = = /* + е (см. [7]). Отсюда и из условия Липшица следует, что ||х* — у|| > е/Ь, что вместе с (7) приводит к неравенству тт{<?(ж), ж £ А"*} < —ке2/4Ь2. □

Таким образом, при выполнении условий леммы 1 множество О(р) будет яве

Б

ке2

0 <Р<^-

Бе

аппроксимации О справедливо утверждение о том, что Б является е-удовлетворительной внутренней аппроксимацией для О. Поэтому для множеств вида (5)

е

симации имеют место следующие оценки.

/

Ь > 0 д

постоянной сильной выпуклости ^ > 0, шш{д(х), х € X*} = шш{д(х), х € Дп}. Тогда О(р) является е-удовлетворительной внешней аппроксимацией множе-Б

—Ме2/Ь2 < р < 0.

/

Ь > 0 д

лой с неубывающим модулем выпуклости (0 < £ < то), шт{д(х), х € X*} =

= шт{д(х), х € Дп}. Тогда О(р) является е-удовлетворительной внешней апирок-Б

—^(е/Ь) < р < 0.

/

стантой Ь > 0, функция д является (р, в, А)-аппроксимируемой, тш{д(х), х е е X*} = тт{д(х), х е йп}. В этом случае С(р) является е-удовлетворительной

Б

—ве/Ь < р < 0.

/

Ь > 0 д

стоянной к > 0, тт{д(х), х е X*} = тт{д(х), х е йп}. Тогда С(р) является еБ

5. Описание вычислительных экспериментов

Экспериментальное исследование предложенного в статье подхода позволяет говорить о его эффективности. Проведенные вычислительные эксперименты для метода центров и метода штрафных функций подтверждают факт получения рее > 0

минимизации свертывающих функций, используемых в методах последовательной безусловной минимизации.

Для иллюстрации сказанного приведем результаты решения известной задачи Розена Сузуки (см. [1]). Данная задача имеет «овражный» характер, поэтому особенно интересна для исследований.

Задача Розена —Сузуки. Пусть х е й4, х = (£ь£2,£3,£4). Требуется минимизировать функцию

/ (х) = е2+й + 2£|+е! — за — 5^ — 31& +

при ограничениях

/1(х) = е2+й+е3++а — а+& — а — 8 < 0,

/2(х) = е2 + 2е2+е3 + 2е2 — а+а —10 < 0, /з(х) = 2е2++е3 + 2^1 — а — 5 < 0.

В качестве контрольного значения оптимума целевой функции принимаем /* = —44.866164 (с точностью 10-7).

Далее приводятся результаты решения этой задачи с помощью нескольких алгоритмов в методе центров, которые относятся к методу как внешних, так и внутренних точек. Свертывающая функция, построенная на к-й итерации метода, имела

Бй(х) = тах{/(х) — /(хй), айд(х)}

где д(х) = тах{/^(х), г = 1,..., т}, > 0 - аналог штрафного коэффициента. Данная функция может использоваться как для метода внешних точек (в случаях, когда х0 / Б и /(х0) < /*), так и для метода внутренних точек (в случае, когда х0 е Б). Эксперимент проводился с помощью «классических» реализаций метода внутренних и внешних центров с эвристическими критериями остановки вычислений |/(хк+1) — /(хк)| < е, ||хк+1 — хкУ < е, а также их модификаций на основании схем, предложенных в настоящей статье. Так как функции-ограничения задачи Розена Сузуки являются сильно выпуклыми, применяемая в экспериментах аппроксимация допустимого множества имела вид (5) при 0 < р < ¡е2/Ь2

Табл. 1

Результаты экспериментов

Алгоритм Количество итераций Достигнутое значение Погрешность

Метод внутренних центров [12] 27 -44.806136 0.060028

Метод внешних центров [11] 17 -44.867226 0.001062

Метод внутренних центров с аппроксимацией допустимого множества 11 -44.865591 0.000573

Метод внешних центров с аппроксимацией допустимого множества 8 -44.866134 0.000030

(внутренняя аппроксимация) и —^e2/L2 < p < 0 (внешняя аппроксимация). Для получения оценки параметра сильной выпуклости ^ использовалась процедура оценки с помощью собственных чисел гессианов функций-ограничений. В качестве константы Липшица использовалась ее выборочная оценка.

Процессы минимизации двух свертывающих функций, построенных для решения одной и той же задачи, занимают примерно равное время, поэтому в качестве критерия сравнения алгоритмов используется не время работы алгоритма, а проведенное количество процессов построения и минимизации свертывающей функции до выполнения условий критерия остановки вычислений и получения решения заданной точности.

Табл. 1 содержит результаты решения задачи Розена Сузуки различными алгоритмами. Все вычисления проводились при е = 10-3. Для каждого алгоритма представлены проведенное количество итераций (процессов минимизации свертывающих функций), достигнутое значение целевой функции и погрешность полученного решения по сравнению с контрольным значением.

Как видно из таблицы, при использовании «классических» алгоритмов с эвристическими критериями процесс вычислений останавливался, хотя заданная точность не была достигнута. Применение же алгоритмов с аппроксимацией допустимого множества позволило получить решения заданной точности. Следует отметить также, что количество выполненных процессов минимизации свертывающей функции в модификациях с аппроксимацией множества меньше, чем при применении «классических» методов решения задачи. Эти выводы подтверждаются и другими проведенными памп вычислительными экспериментами.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Х- 12-01-97022. 12-01-31515).

Summary

A.A. Antlrianova. Application of a Satisfactory Approximation of an Admissible Set for Solving Optimization Problems.

This work deals with the properties and construction principles of a satisfactory approximation of a set of admissible solutions for a conditional optimization problem. The replacement of an initial admissible set by its satisfactory approximation allows one to construct finite algorithms for the methods of internal and external points (methods of penalty functions or methods of centers) with the stopping criterion which ensures the required accuracy of the solution. Necessary and sufficient conditions for producing external and internal satisfactory approximations of an admissible set are proved. One of the feasible ways for setting a satisfactory approximation of an admissible set is formulated. This way can be used for the development of algorithms that ensure the required accuracy in a finite number of iterations.

Key words: methods of sequential unconstrained minimization, penalty function method, method of centers, solution of an optimization problem with a given accuracy, satisfactory approximation of an admissible set. feasible stopping criteria.

Литература

1. Гроссман К., Каплан A.A. Нелипейпое программирование па основе безусловной ми-пимищации. Новосибирск: Наука, 1981. 183 с.

2. Евтушенко Ю.Г., Жадап В.Г. К вопросу о систематизации численных методов нелинейного программирования. М.: ВЦ АН СССР, 1988. 66 с.

3. Жадап, В.Г. Численные методы линейного и нелинейного программирования. Вспомогательные функции в условной минимизации. М.: ВЦ им. A.A. Дородницына РАН, 2002. 160 с.

4. Заботин Я.И., Фукми И.А. Об одной модификации метода сдвига штрафов для задач нелинейного программирования // Изв. вузов. Матем. 2000. Л'12. С. 49 54.

5. Заботин Я.И., Фукмн И.А. Алгоритмы в методе штрафов с аппроксимацией допустимого множества // Изв. вузов. Матем. 2004. Л' 1. С. 36 47.

6. Заботин Я.И., Андрианова A.A. Алгоритмы в методе центров с аппроксимацией допустимого множества // Изв. вузов. Матем. 2001. Л' 12. С. 41 45.

7. Андриалюва, A.A., Заботин Я.И. Управление процессом минимизации в параметризованном методе центров // Изв. вузов. Матем. 2002. Л' 12. С. 3 10.

8. Андрианова A.A. Параметризация метода центров для минимизации явно квазивыпуклых функций // Исследования по прикладной математике и информатике. Казань: Изд-во Казан, матем. о-ва, 2006. Вып. 26. С. 3 12.

9. Андрианова A.A. Принципы построения аппроксимации допустимого множества при решении задач условной оптимизации с заданной точностью // Труды XV Байкальской междупар. школы-семипара «Методы оптимизации и их приложения». Т. 2. Математическое программирование. Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2011. С. 35 38.

10. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005. 368 с.

11. Заботин Я.И., Дапьшип И.Н. Алгоритмы с комбинированием, параметризацией и двусторонним приближением в методе центров // Изв. вузов. Матем. 1998. Л*' 12. С. 40 48.

12. Заботин Я.И. Минимаксный метод решения задачи математического программирования // Изв. вузов. Матем. 1975. Л' 6. С. 36 43.

13. Фукин И.А. р-аппроксимируемость выпуклых функций // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. копф., Екатеринбург, 2 6 февр. 2004 г. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2004. С. 306 307.

14. Кораблев А.И. О релаксационных методах минимизации псевдовыпуклых функций // Исследование по прикладной математике. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. С. 3 8.

Поступила в редакцию 07.06.12

Андрианова Анастасия Александровна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры системного анализа и информационных технологий Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: Anastasiya.AndrianovaQksu.ru