CC BY
32
УДК 336.71.078.3
применение теории оптимального управления к анализу ситуаций
множественного дефолта в сделках
через центрального контрагента
А. А. СТЕЖКИН,
студент факультета инноваций и высоких технологий
E-mail: alex79216@mail. ru Московский физико-технический институт (МФТИ)
В статье проведен анализ ситуации множественного дефолта по сделкам, совершаемым через центрального контрагента. Получена функция распределения вероятности невыплаты участником сделки своповой нагрузки. Поставлена задача минимизации совокупной вероятности невыплаты своповой нагрузки. Рассмотрены и исследованы на существование и единственность решения задачи оптимизации для нахождения искомой своповой нагрузки.
Ключевые слова: центральный контрагент, маржа, валютный своп, logit-модель, дефолт, задача оптимизации.
Введение
Центральный контрагент (Central Counterparty, далее — ЦКА) — лицо (организация), являющееся промежуточным звеном между сторонами в финансовых операциях, совершаемых на одном или нескольких рынках, становясь покупателем для каждого продавца и продавцом для каждого покупателя. Центральные контрагенты присутствуют на рынках производных финансовых инструментов, а также на некоторых биржах ценных бумаг и в системах торговли. Таким образом, две основные сферы его деятельности — это клиринг и осуществление сделок на валютном и фондовом рынках. Преимущество ЦКА в том, что он может значительно снизить риски путем привлечения дополнительных мощных финансовых инструментов [2]. Центральный контрагент представлен по всех
сегментах мирового финансового рынка. Сам институт центрального контрагента существует уже более 100 лет, однако глобализация его началась в 2001 г. с первой встречи организаций, предоставляющих услуги центрального контрагента, в Лондоне. Среди основных задач, определенных для ЦКА на этой встрече, были улучшение в мировом масштабе клиринговых и иных услуг, повышение эффективности клиринговой деятельности и снижение издержек участников, оптимизация обмена информацией между организациями, предоставляющими услуги ЦКА, повышение эффективности использования залогового обеспечения.
В России начало институту центрального контрагента было положено в 2007 г. с создания ЗАО АКБ «Национальный Клиринговый Центр» и осуществления клиринга на валютном рынке. В 2008 г. процедуры клиринга были распространены на рынок РЕПО, а год спустя — на срочный и фондовый рынки. В связи с глобализацией финансовых рынков (подробнее см. [5, 7]) для нашей страны применение современных методов риск-менеджмента и развития соответствующих институтов становится безусловной необходимостью.
Рассмотрим основные риски, с которыми сталкивается центральный контрагент. Для уменьшения риска невыплаты участником своих обязательств перед ЦКА последний осуществляет сбор, называемый исходная маржа. Кроме того, ЦКА может подавать требования о марже (margin calls), что случается, к примеру, когда на рынке существенно
меняется курс валют. Итак, ЦКА обязывает участников класть на его счет исходную маржу, покрывающую самый значительный ожидаемый скачок цены актива в течение обозримого временного периода. Однако дневная динамика цен на активы может быть такой, что может понизить позицию игрока на величину, большую, чем исходная маржа. Если такой участник объявляет дефолт, он не выполняет свои обязательства перед ЦКА. Такого рода риск называется риском стоимости замещения. Центральный контрагент производит переоценку позиций игроков в конце каждого дня, считая их выигрыши или потери по отношению к предыдущей оценке. Одним из способов подобной оценки является отслеживание балансов маржи каждого игрока. Если ее значение опускается ниже какого-то определенного уровня (maintenance margin, маржа поддержки), ЦКА подает требование о марже. Это является сигналом для участника увеличить свой баланс. Другим способом является автоматический запрос на пополнение баланса маржи (variation margin, вариационная маржа) участникам, потерявшим в позиции по итогам дня. Величина этого пополнения кредитуется по участникам, улучшившим свою позицию. Помимо риска стоимости замещения ЦКА подвержен риску ликвидности. Этот риск связан с неспособностью некоторых участников реагировать на требования ЦКА о марже. Возникают ситуации, когда центральный контрагент не может кредитовать участников, занимающих противоположную позицию. Имея недостаток ликвидности, ЦКА вынужден прекращать выплату.
Риск замещения стоимости является одним из самых существенных для центрального контрагента. Зависимость риска ЦКА от стоимости контракта схематично изображена на рис. 1.
Величина маржи будет увеличена по требованию ЦКА, если |P0 - P11 > M . Другими словами, центральный контрагент подвергается риску, если разница в ценах контракта превышает величину маржи. В работах американских экономистов [8, 10] показано, что в случае, если бы альтернативные издержки участников по выплате маржи
Уровень риска ЦКА
Функция плотности вероятности цен на активы
Р
Pi
Рис. 1. Зависимость риска центрального контрагента от стоимости контракта: Р0 — начальная цена контракта, Р1 — последующая цена контракта, М — величина маржи за контракт
равнялись нулю, ЦКА мог бы запросить такую маржу, которая покрывала бы любое изменение цены контракта. Однако в действительности эти альтернативные издержки не равны нулю. Поэтому задачей ЦКА является установить исходную маржу на таком уровне, чтобы этого было достаточно для покрытия риска изменения стоимости контракта почти наверное, но в то же время не на таком высоком, чтобы не попасть под воздействие риска ликвидности. Главным выводом этих работ является то, что размер маржи существенно влияет на активность участников рынка, поскольку непосредственным образом сказывается на ликвидности. Таким образом, размер маржи подлежит оптимизации.
Урегулирование дефолта участников сделок с использованием свопов
Одним из важных аспектов деятельности ЦКА являются возможные ситуации множественного дефолта на рынке, когда сразу несколько игроков не способны выполнить свои обязательства друг перед другом. В этом случае для обеспечения выполнения обязательств перед добросовестными игроками ЦКА заключает сделку своп с банком. Покажем на простых примерах суть таких ситуаций.
Пример 1. Пусть имеется два игрока, заключивших сделку через ЦКА. Один из них хочет купить 2 долл. по курсу 30 руб., второй соответственно — продать эти 2 долл. (рис. 2).
Рис. 2. Урегулирование дефолта контрагентов при помощи сделки своп
(пример 1)
Игрок 1
1 долл./29 руб
Игрок 3
1 долл./29 руб.
Игрок 1
Игрок 4
Рис. 3. Урегулирование дефолта контрагентов при помощи сделки своп
(пример 2)
Поскольку рыночный курс валют может меняться, центральный контрагент, заключая сделку своп с банком, уплачивает вариационную маржу (сумму, уплачиваемую в связи с изменением денежного обязательства по одной позиции в результате ее корректировки по рынку). Предположим, что в нашем примере договор был заключен на обмен валюты по курсу 30 руб., а к моменту проведения сделки курс стал равен 31 руб.
Проанализируем по шагам, как происходит сделка. Пусть игрок 2 объявил дефолт.
1. Игрок 1 платит ЦКА 60 руб. — свои обязательства.
2. Заключается сделка своп между ЦКА и ЦБ. Центральный контрагент покупает у ЦБ 2 долл. за 62 руб. (по текущему курсу 62 = 60 (курс сделки) + 2(изменение).
3. Получив 2 долл., ЦКА выплачивает их игроку 1, и на том обязательства в его сторону заканчиваются.
4. Наконец, ЦКА заключает своп с игроком 2.
Рассмотрим теперь более интересный пример,
когда через ЦКА взаимодействуют не два, а четыре игрока.
Пример 2. Игроки 1 и 4 покупают доллары, игроки 2 и 3 — продают. Причем игроки 1 и 3 наме-
реваются провести операцию с 2 долл., а игроки 2 и 4 — с 1 долл. Курсы валют по сделке указаны на рис. 3.
Предполагаем, что игроки 3 и 4 объявляют дефолт. Тогда ситуация разворачивается следующим образом:
1) игрок 1 выплачивает ЦКА 58 руб. по своим обязательствам. Игрок 2 выплачивает 1 долл.;
2) центральный контрагент из этих средств платит 1 долл. игроку 1 (всего он ему должен 2 долл.), а игроку 2 — 30 руб.
Промежуточные итоги: второй участник требований и обязательств по сделкам не имеет; первый участник обязательств не имеет, но имеет невыплаченный ему 1 долл.
Приведем два варианта дальнейшего развития событий.
Ситуация 1. Текущая система разрешения сделок в условиях дефолта.
Поскольку игроки 3 и 4 не могут выполнить свои обязательства, ЦКА заключает своп с банком, чтобы выполнить обязательства перед добросовестными игроками. При этом, согласно текущей ставке рефинансирования, равной 8,25 % в год, с недобросовестных участников будут взяты следующие проценты (в расчете на день):
- с игрока 3: 2 ■ 29 ■ (0,0825 / 365) = 0,013;
- с игрока 4: 30 ■ (0,0825 / 365) = 0,007.
Ситуация 2. Урегулирование сделок с использованием процедуры взаимозачета.
Заметим, что игроки 3 и 4 имеют встречные запросы. Игрок 3 продает доллары, игрок 4 — покупает. Тогда проделаем следующие операции. Спишем с игрока 4 сумму в 30 руб., а с игрока 3 — 1 долл. Это и есть встречные сделки. При таком допущении теперь игрок 3 остался должен 1 долл., а на игрока 4 оставим разность в курсах валют, то есть 1 руб. Теперь, как и в предыдущем случае, ЦКА заключает своп с банком, чтобы выплатить добросовестным участникам по обязательствам. Однако в данной схеме значительным образом уменьшаются проценты с недобросовестных участников, что играет большую роль при множественных дефолтах и крупных сделках. А именно:
- с игрока 3: 29 ■ (0,0825 / 365) = 0,007;
- с игрока 4: 1 ■ (0,0825 / 365) = 0,0002.
В приведенных примерах проценты, взимаемые с недобросовестных участников, небольшие. Однако когда речь идет о значительных суммах сделок, величина процентов может значительно варьироваться в зависимости от способа проведения расчета.
Рассмотрим множественные сделки через ЦКА на валютном рынке. Для определенности рассмотрим сделки рубль-доллар. Пусть имеется п участников, образующих множество Ы, и множество участников D, объявивших дефолт. Причем уместно разделить эти множества по типу сделок (покупки, продажи). Итак, D1 — множество игроков, объявивших дефолт по сделкам покупки валюты, D2 — множество игроков, объявивших дефолт по сделкам продажи валюты. Соответственно Ы1 — множество игроков, желающих купить валюту, Ы2 — множество игроков, желающих продать валюту. Очевидно, что N = Ы1 и Ы2. В реальности возможны такие ситуации, что один игрок заключает сделку через ЦКА сразу с несколькими игроками. В таком случае мы формально разделим такого игрока по числу сделок на несколько, чтобы все сделки в нашей модели были парными. Введем также следующие обозначения:
- Ъ . — сумма сделки /-го игрока на покупку валюты;
- sj — сумма сделки /-го игрока на продажу валюты;
- кь( — курс покупки доллара в момент времени
- к^ — курс продажи доллара в момент времени t. Поскольку в предлагаемой модели сделки парные, то п — четное число. Тогда можем записать ряд соотношений.
Сумма сделок по покупке валюты равна
в = 1п/2 Ь.к.
[1, если сделка в рублях
где кк Ч, ъ .
[к , если сделка в долларах Сумма сделок по продаже валюты выражается формулой
^ = 1 п=2 s, к, ,
,=1 3 3
где к, =
\1, если сделка в рублях
[к^, если сделка в долларах
Очевидным свойством таких сделок является равенство нулю общей суммы по всем операциям, т. е. IВсех сделок = В - ^ = 0 .
Целью задачи является минимизация штрафа на участников, объявивших дефолт.
Отметим также, что затраты ЦКА на покрытие сделок можно определить следующим образом:
Е =
ЦКА
I Ьк- I sЛ
^ /В2 /еЫ2 /В2
Разрешение обязательств ЦКА перед добросовестными игроками сводится к получению чистых сумм сделок обоих направлений и распределению их по участникам. Остаток же, который ЦКА выплатить не может из-за недостатка средств вследствие дефолта, и определяет его затраты. Введем понятие «своповая нагрузка». Таковой будет доля суммарных невыполненных обязательств после проведения процедуры неттинга (т. е. вычисления чистого итога сделок), отнесенная к определенному участнику.
Поскольку целью является минимизация штрафа на дефолтных участников, то уместно говорить об оптимизации условий для них, при которых этот штраф будет минимальным в совокупности. С этой позиции будем минимизировать вероятности невыплаты участниками своповой нагрузки. В современной экономической литературе имеются эмпирические оценки подверженности центрального контрагента риску дефолта [9], однако для оптимизации его политики необходимо разработать аналитическую модель.
Оценка вероятности невыплаты участником сделок своповой нагрузки
Для определения функции вероятности невыплаты своповой нагрузки воспользуемся ^й-моде-лью [3], в рамках которой функция распределения задается формулой
и
^ (и) = Л(и) =
1 + еи
Пусть и — величина своповой нагрузки на участника. «Настроим» ^ (и) под рассматриваемую задачу. Очевидно, что вероятность выплаты нагрузки и = 0 равна 1, а вероятность выплаты бесконечно большой нагрузки равна 0. Кроме того, имеет смысл говорить о неотрицательной нагрузке, т. е. и > 0 . С учетом этих соображений можно предложить следующий вид функции вероятности выплаты сво-
2е~и
повой нагрузки: ^ (и) =
-и 1{и>0} . Коэффициент 2
1+е
введен для того, чтобы выполнялось ^ (0) = 1.
i
0,8' 0,6 0,4
Y
X
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Рис. 4. Функция распределения вероятности невыплаты своповой
нагрузки
Тогда вероятность невыплаты своповой нагрузки может быть задана следующей функцией:
1 - е~и
Г (и) = 1 - Г (и) = - т
1 + е-и {и>0!'
Очевидно, что Г (0) = 0, Г (+да) = 1, что согласуется со смыслом функции распределения вероятности. График Г (и) приведен на рис. 4. Найдем плотность вероятности:
е-и (1 + е-и) + (1 - е-и )е-
p(u) = ■
2e~
(1 + e-u )2
I
{u>0}
I
{u>0}
(1 + е-)2
Проверим выполнение условия нормировки, которому плотность должна удовлетворять:
| р(и)йи = 1 . Итак,
| р(и)йи = |
-да
dt
ЪГ
0 (1+e-u)2 2
du = -2
dt
1(1 +1 )2
(1 +1 )2 (1 +1) 1
1 1
= -2(— 1) = 1, 0 2
Добавим также, что в формулу функции вероятности, в силу экспоненциального характера ее роста, можно добавить нормировочный фактор, который сглаживал бы быстрый рост функции распределения и уход ее на единичный уровень. Фактор зависит от величин сделок и своповых нагрузок. Таким образом, в общем виде функцию вероятности невыплаты нагрузки можно записать в виде 1 - еТи/к
р (и)=А т+е^ *^{и>0!,
где к — упомянутый фактор;
А — нормировочный коэффициент.
Из условия нормировки функции плотности можно получить, что нормировочный коэффициент А = 2к.
где t = е и; du = — dt.
t
Таким образом, получена в рамках ^й-модели функция вероятности невыплаты своповой нагрузки участником торгов. Для этой модели возможна оценка параметров методом максимального правдоподобия, а сама модель используется в случаях бинарного и множественного выбора.
Задачи минимизации стратегии урегулирования множественного дефолта
Вернемся к задаче минимизации штрафа на дефолтных участников. Данная задача по своей сути эквивалентна задаче минимизации вероятности невыплаты своповой нагрузки. Действительно, чем больше нагрузка, тем больше вероятность того, что участник ее не выплатит.
Рассмотрим несколько задач оптимизации.
Задача минимизации совокупной вероятности невыплаты своповой нагрузки. Введем следующие обозначения:
Pk — вероятность того, что k-й участник не выплатит свою своповую нагрузку; s.—величина своповой нагрузки /-го участника; s0 — ограничение сверху для своповой нагрузки на i-го участника;
SNet — суммарная своповая нагрузка, сумма
обязательств после процедуры неттинга.
Рассмотрим следующую оптимизационную задачу:
' P = 1 Pk ^ min ,
k
0 < St < s,0
^ Si = SNet • i
Проанализируем данную задачу. Это задача оптимизации, решаемая методом Лагранжа. Строим функцию Лагранжа [1, 4]:
L = Ь о Z P,"I ^ + 1=1 1=1
+ХK(st -s0) + £^ -).
i=i i=i
Запишем необходимые условия локального минимума.
1. Стационарность:
— = Ап —1— А,! + А, + А = 0,
5s,
5s,
дТ дР
-= 0П —т— 0п + 0; + 0, = 0.
.-ч и .-ч 12 3
дS„ ^т
2. Дополняющая нежесткость:
АlSl = 0, ...,= 0; О^(Sl -s1u) = 0,....,
а 2 ^ - sU) = 0.
3. Неотрицательность:
00 > 0, 0 > 0,..., 11 > 0,01, > 0,..., > 0 .
В общем виде решение данной системы представить сложно. Кроме того, очевидно, что решение задачи нельзя свести к минимизации по каждому участнику в отдельности из-за ограничения вида равенства и множителя 03. Функция Р — монотонная по каждому аргументу, непре рывная; без особенностей, а множество, задаваемое ограни -чениями, представляет собой компакт. Отсюда по теореме Вейерштрасса следует, что Р достигает своих экстремальных значений на множестве, т. е. задача имеет решение.
О т м е т и м с л е д у ю щ е е . П о с ко л ь ку 1 - ё~^
) = , s^ > 0 — функция выпуклая
(см.рис. 4), а сумма выпуклых функций есть функция выпуклая, следовательно, и минимизируемая функция Р — также выпуклая. Функции, задающие ограничения равенств и неравенств, линейные.
Пусть ? = ^Sт) и о = (10,11,...,от, 12,..., 12,Оз) таковы, что выполняются необходимые условия локального минимума (1—3). Отсюда, используя теорему из теории оптимизации, задающую достаточные условия такой задачи с ограничениями типа равенств и неравенств [1], делаем вывод, что если решение (1—3) существует, то это решение и есть искомое, т. е. минимум.
Таким образом, в условиях множественного дефолта стратегия, минимизирующая вероятности участников не выплатить своповую нагрузку, может
быть найдена путем решения описанной задачи.
Задача минимизации ожидаемых потерь. Рассмотрим теперь задачу минимизации с позиции концепции ожидаемых потерь (Expected Shortfall). Это мера риска, широко используемая в финансах. С ее помощью оценивают рыночный риск (риск снижения стоимости активов на рынке), а также кредитный риск портфеля активов (риск неисполнения обязательств). В рамках уже введенных обозначений величина ожидаемых потерь может
быть записана как ES = X Pksk .
k
Тогда можем прийти к следующей задаче оптимизации:
ES = XPsr ^ mins
0 < st < s°
X si = SNet .
Рассмотрим общий ход решения этой задачи. Решаем задачу Лагранжа с ограничениями в виде равенств и неравенств.
Функция Лагранжа имеет вид
L = АоXPs+XAi(s, -s°) +
+ А3 X si - SNet.
Определим необходимые условия локального минимума.
1) Стационарность:
— = А0 —1 si - А0P1 - А1 + А2 + А3 = 0
5sj 5sj
дТ дР
— = -о0ат -о,т +11; +о3 = 0.
-л 0 ^ т 0 т 1 2 3
дsт
2) Дополняющая нежесткость:
1^1 = 0, ..., ОTSт = 0;
12(Sl -Slu) = 0,...., 12(sт -s0) = 0 .
3) Неотрицательность:
о0 > 0, о1 > 0,..., 0е > 0, о2 > 0,..., от > 0.
Метод решения данной задачи абсолютно аналогичен предыдущей.
Условия стационарности приводят к трансцендентным уравнениям, которые решаются численными методами. Решение осложняет еще тот факт, что функция ожидаемых потерь является вогнутой
i=1
i=1
i=1
i =1
i
0,8 0,6 0,4
0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8
-1
(рис. 5), следовательно, аналогичные выводы, как в предыдущей задаче, сделать нельзя.
Неизменным остается то, что функция монотонная, а множество — компакт. Следовательно, решение существует. Обратимся к теории оптимизации. Достаточные условия минимума предполагают исследование второй вариации функции Лагранжа Ass на множестве критических вариаций. Должно выполняться следующее свойство:
max(Лж(s,X)h,h) >а||h|| Vh e K, где A — множество множителей Лаг-ранжа, для которых выполняются необходимые условия 1—3, а конус допустимых вариаций по определению есть K = {h е R%f', h) < 0, g'[h] = 0}, где f' — ограничения типа неравенств;
g' — ограничения типа равенств в задаче Лаг-ранжа.
Очевидно, что в данной задаче A ss имеет диагональный вид, где на диагонали стоят Lssi (s).
Конус допустимых вариаций имеет следующий вид [6]:
K = {h е Rn\h < 0,..., hn < 0, h+... + hn = 0} = {0}. Но в случае нулевого конуса допустимых вариаций теория оптимизации автоматически дает вывод, что если s удовлетворяет необходимым условиям минимума, то такое решение и доставляет минимум. Таким образом получили еще один важный вывод.
В условиях множественного дефолта стратегия, минимизирующая ожидаемые потери участников, может быть найдена путем решения указанной задачи.
Задача оптимизации ожидаемых потерь и ожидаемой доходности. Дополним предыдущую задачу условием максимизации ожидаемой доходности (Expected Return) ЦКА. Ожидаемая доходность — средневзвешенный наиболее ожидаемый доход финансового инструмента. Показатель ожидаемой доходности учитывает все возможные доходы и определяет весомость того дохода, получение которого имеет наибольшую вероятность. По определению, ожидаемая доходность равна
ER = ZP R,
i
где R. — значение i-й доходности;
P. — вероятность получения доходности R
X
10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Рис. 5. График функции ожидаемых потерь
Запишем оптимизационную задачу:
^ = Е ^ т1п *
ЖЦК4 = Z (1 - P )Sik ^ maXs,
0 < st < s0
Z si = SNet .
i
Здесь k = const обозначен процент за обслуживание — фиксированная величина.
Преимущество данной постановки задачи заключается в том, что её решение и минимизирует возможные потери дефолтных участников, и позволяет оптимизировать доходность, получаемую ЦКА от выплаты своповых нагрузок. Отметим, что как и в предыдущей задаче, имеем диагональный вид матрицы Ass для обеих подзадач. Кроме того, конус допустимых вариаций нулевой. Таким образом, если каждая из подзадач имеет решение, то это решение доставляет экстремум. Решение в подзадачах существует, поскольку функции являются монотонными, а множество, задаваемое ограничениями, компактным.
Продемонстрируем полученные результаты на примере.
Пример 3. Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеется 4 дефолтных участника. Сумма обязательств после неттинга SNet = 50. Кроме того, установлены следующие ограничения на величину своповой нагрузки для участников: 0 < < 10,
0 < s2 < 5,0 < s3 < 30,0 < s4 < 40 .
Решаем задачу оптимизации совокупной вероятности невыплаты своповой нагрузки.
Функция Лагранжа запишется следующим образом:
Т = 0П
1 - е" 1 + е"
+
1 - е-
1 + е-
+
1 - е~ 1 + е~
+
1 - е-
1 + е-
-0ls1 - О2s2 - О3s3 - О4s4 + О1-, ^ -10) +
02 (-2 - 5) + 02 (-3 - 30) + 04 (-4 - 40) +
+03^ + s2 + s3 + s4 - 50).
Положим 00 = 1/ 2 . Запишем необходимые условия экстремума в задаче. 1. Стационарность:
—о, + От + о = 0,
(1 + е-* )2
- О;2 + о2 + О3 = 0,
(1 + е-)2 'ч'^1"3
-о3 + о3 +о = 0,
(1 + е--3)
2 1*2 ' "3
— о 4 + о4 + о = 0.
(1 + е~- )2 1 2 3
2. Дополняющая нежесткость:
о1-1 = 0, о2 = 0, о3-3 = 0,04-4 = 0, о2 (- -10) = 0,
3. О2(-2 - 5) = 0, 02(-3 - 30) = 0, 04(-4 - 40) = 0.
4. Неотрицательность:
00 > 0, 0/ > 0, 02 > 0, / = 1, 2, 3, 4.
Рассмотрим условия стационарности. Заметим,
что в каждом уравнении присутствует слагаемое
03. Выразим из каждого уравнения эту величину.
Получим
е-- . .
-т— 0! +02 = К ,
(1 + е-)2 1 2
где К — некоторая постоянная величина. Будем искать решение, предполагая, что Ф 0 , поскольку в данной конкретной задаче нецелесообразно в экономическом смысле полагать своповую нагрузку равной нулю. Если предположить, что все лежат внутри заданных интервалов, то в
силу условий дополняющей нежесткости получим
е--
К =---, т. е. =... = -4 = 50 / 4. Но это реше-
(1 + е~"' )2
ние не удовлетворяет заданным ограничениям для и -2.
Значит, в рамках данной задачи какие-то из должны принимать значение своей верхней грани. Выпишем такие решения:
1) = 10, -2 = 5, -3 = -4 = 35 / 2 = 17,5 — удовлетворяет ограничениям;
2) -2 = 5, = -3 = -4 = 15 — не удовлетворяет ограничениям;
3) = 10, -2 = -3 = -4 = 40 / 3 — не удовлетворяет ограничениям;
4) -3 = 30, = -2 = -4 = 20 / 3 — не удовлетворяет ограничениям;
5) -4 = 40, = -2 = -3 = 10 / 3 — удовлетворяет ограничениям;
6) = 10, -3 = 30, -2 = -4 = 5 — удовлетворяет ограничениям.
Для случаев 1, 5, 6 условия неотрицательности выполнены. По доказанным выше выкладкам достаточные условия также выполнены. Осталось вычислить значение минимизируемой функции для этих решений. Наименьшее значение достигается в случае 5.
Выводы и рекомендации
Теория оптимального управления является эффективным инструментом для решения задач минимизации затрат участников торгов и центрального контрагента в условиях множественного дефолта. Такая техника может быть эффективно использована в реальных ситуациях для минимизации потерь участников и центрального контрагента в условиях неопределенности, когда ЦКА прибегает к операциям типа валютный своп с банком, испытывая риск замещения стоимости. Описанные модели и задачи могут быть расширены и усовершенствованы путем учета новых факторов и параметров. В частности, могут быть поставлены задачи минимизации совокупной вероятности невыплаты своповой нагрузки участниками сделки с применением logit-модели для вывода функции распределения вероятностей невыплат. Полученные результаты могут быть использованы для проведения будущих исследований в этой сфере.
Список литературы
1. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Оптимизация. М.: Эдиториал УРСС, 2000.
2. Лобанов А. А., Чугунова А. В. Энциклопедия финансового риск-менеджмента. М.: Альпина Паблишер, 2003.
3. Магнус Я.Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 2004.
4. Милютин А. А., Дмитрук А. В., Осмоловский Н. П. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: ММФ МГУ, 2004.
-
е
е 3
-
е
5. Омельченко А. Н., Хрусталёв Е. Ю. Присутствие иностранных банков на российском рынке: проблемы и пути решения // Банковское дело. 2007. № 2. С. 73—76.
6. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физ-матлит, 2004.
7. Хрусталёв Е. Ю., Омельченко А. Н. Тенденции развития банковского дела в условиях экономической глобализации // Финансы и кредит. 2009. № 11.
8. Anderson R. Comments on «argins and Futures Contracts» // Journal of Futures Markets. 1981. Vol. 1. № 2.
9. Bates D. and Craine R. Valuing the Futures Market Clearinghouse's Default Exposure during the 1987 Crash // Journal of Money, Credit, and Banking. 1999.
10 Figlewski S. Margins and Market Integrity: Margin Setting for Stock Index Futures and Options // Journal of Futures Markets. 1984. Vol. 4. № 3.
Премия инноваций СколковоЩ^^З
при поддержке Cisco I-PFЩЕ~
сНЛ ^^Г* А
Хочешь изменить мир?
Отправь свою идею на конкурс!
Компания Cisco и Фонд «Сколково» представляют
«Премию инноваций Сколково»
3 номинации: - применение технологий в энергосбережении
- применение технологий в здравоохранении
- применение технологий в образовании
3 награды: - 3 миллиона рублей
- 1,5 миллиона рублей
Sk
Сколково
- 750 тысяч рублей
Настало время действовать!
С 25 сентября по 31 декабря подавай свои заявки на cisco.ru/iprize
il|lil|li CISCO.
