Применение теории графов к формированию технолого-технических ресурсов в растениеводстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Я1> м

^ ^гр.расч ^ ^гр.исправл ^бер.эксп * ^бер.исправл

Рис. 4. Результирующая зависимость hnx = fHj) с учетом хэ

2. Представлены результаты описательной статистики и корреляционно-регрессивного анализа экспериментальных данных. Проверка уравнений по F-критерию показала статистическую значимость уравнений регрессии в целом и показателя тесноты связи.

3. Разработана методика построения депрессионных кривых в теле грунтовых плотин водохранилищ водосбора р. Таналык. При построении депрессионной кривой, используя существующие расчетные модели, рекомендуется вводить эквивалентное расстояние хэ, определяемое через коэффициент эквивалентности кэ.

Список литературы

1. Стефанишин, Д.В. Проблемы надежности гидротехнических сооружений I Д.В. Стефанишин, С.Г. Шуль-ман. — СПб: Изд-во ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1991.

2. Кутлияров, Д.Н. Оценка состояния и комплексное обустройство водосбора р. Таналык Республики Башкортостан: автореф. дис. ... канд. техн. наук I Д.Н. Кутлияров. — М., 2009.

3. Желязняков, Г.В. Гидротехнические сооружения: справочник проектировщика I Г.В. Желязняков [и др.]; под общ. ред. В.П. Недриги. — М.: Стройиздат, 1983.

4. Вуколов, Э.А. Основы статистического анализа: практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов Statistica и Excel I Э.А. Вуколов. — М.: Инфра-М, 2004.

УДК 631.3:633

А.В. Пасин, доктор. техн. наук А.И. Новожилов, канд. техн. наук Л.А. Кистанова, инженер А.Ю. Еремин, инженер А.А. Потоцкий, аспирант Е.А. Лукашин, аспирант

ФГОУ ВПО «Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия»

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ К ФОРМИРОВАНИЮ ТЕХНОЛОГО-ТЕХНИЧЕСКИХ РЕСУРСОВ В РАСТЕНИЕВОДСТВЕ

Теория графов, и в первую очередь сетевые графы, используется практически во всех областях знаний, в том числе и в технических науках. Например, большую часть распределения ресурсов можно представить графами. Достоинство графов заключено в простоте и наглядности изображаемого процесса [1].

Технолого-технические средства, машинно-тракторный парк (МТП) — ключевые ресурсы технологической системы растениеводства, без них не может выполняться ни один производственный процесс. Если данных ресурсов недостаточно, то это может привести, например, в растениеводстве к потере урожая.

Рассмотрим технологическую систему производственного процесса в условиях наступающего сезона. По теплообеспеченности и погоде выделено пять сезонов-аналогов: у — теплый, у2 — умеренно-теплый, у3 — средний, у4—умеренно-холодный, у5 — холодный [2]. Для осуществления производственного процесса в условиях у-го сезона-аналога требуются определенные ресурсы: оптимальные Qv — по расчету, фактические бфакт — имеющиеся в наличие. Основное ограничение системы по удовлетворению потребности сезона-аналога следующее: Qфакт > Q¥ Несоблюдение данного условия приводит к потерям биологического урожая, в связи с чем появляется необходимость в резервах.

43

Состояние резервных ресурсов по условию

N-R,

t.

\.N

A.N

Состояние системы N 2.N=N0-R2; 3.N=N0 + Rs = N„-R, ■ 5.N = N+R,

Рис. 1. Граф состояний технологической системы при резервировании ресурсов

Рассмотрим состояние резервируемой технологической системы во времени (рис. 1).

Из рис. 1 видно, что в моменты времени £2, £4 технологическая система находится в состоянии, когда имеется избыток технолого-технических средств, выступающих в качестве резерва, реализация которого может быть использована для дополнительного источника дохода агропредприятия. В моменты времени £3, £5 технологическая система, напротив, нуждается в резервных ресурсах, которые могут быть востребованы и в техническом, и в технологическом выражении. Состояние £3 по отношению ко всем остальным состояниям является наихудшим, так как для успешного выполнения возложенных на систему функций ей потребуется больше резервных средств. Если технологическая система не располагает резервными средствами или ей недостаточно времени для их привлечения, то производственный процесс реализуется наличными техноло-го-техническими ресурсами с вынужденными потерями.

Состояние системы характеризуется различными вероятностями и может быть описано количеством энтропии

¥

H GV) = -Х P log2 P,

¥=1

где P...

- вероятность .-го состояния

Ресурсы базового МТП

Возможное число погодных ситуаций . конечно. Для них известна совокупность частот их по-

втоРенияpvp2, ...,p. где 0 <p. < 1, XP¥ =1

¥=i

В связи с тем что наступление сезона вероятностно, удобнее всего анализировать состояние технологической системы при помощи случайных графов, которые впервые были изучены венгерскими математиками Полом Эрдосом (Paul Erdos) и Альфредом Реньи (Alfred Renyi) [3]. Они определили случайный граф, как N помеченных вершин, соединенных n ребрами, которые выбираются случайным образом из

N (N -1)

2

возможных. Всего существует СщК_!) гра-

2

фов с N вершинами и п ребрами, которые образуют вероятностное пространство, в нашем случае с разной вероятностью для каждой реализации.

Теория случайных графов изучает вероятностное пространство графов с N вершинами при N ^ да, при этом каждый случайный граф обладает свойством Q, если при N ^ да вероятность выполнения Qравна 1.

Процесс создания случайного графа называют эволюцией: начиная с N изолированных вершин, граф последовательно развивается благодаря добавлению новых случайных ребер. Графы, полученные на разных стадиях этого процесса, соответствуют все большим и большим вероятностям р, в конце концов получаем полный граф (имеющий макси-

мальное количество ребер n =

N (N -1) 2

) при p = 1.

R

yi,r2

yi,r3

= N.

= N.

ЦП

--N.-R

Ресурсы МТП для условий сезонов-аналогов

Ресурсы МТП с учетом резервов

переменной.

Рис. 2. Граф наступления возможных исходов

t

— Техника и технологии агропромышленного комплекса Ресурсы МТП относительно наступления сезонов-аналогов

Сезон-аналог Обозна- чение Вероятность наступления, % Требуется ресурсов, у.э.тр.* Фактически имеется, у.э.тр. Резервы системы, у.э.тр.

Основной парк Резервный парк

Теплый ^1 6,9 35,0 27,0 5,15 +2,85

Умеренно-теплый ^2 24,3 32,15 27,0 5,15 0

Средний ^3 34,9 29,4 27,0 5,15 3,75

Умеренно-холодный ^4 28,1 27,0 27,0 5,15 5,15

Холодный ^5 6,0 30,95 27,0 5,15 1,2

у.э.тр. — условные эталонные тракторы.

Распределение ресурсов МТП в условиях вероятностного наступления сезона-аналога можно наглядно представить при помощи случайно связанного графа или дерева [4] (рис. 2). Вершиной дерева являются К0-ресурсы базового МТП. При последовательном развитии во времени происходит добавление новых ребер, и граф при заданной вероятности Р переходит из одного состояния в другое Иу. В этой ситуации наблюдается эффект, который Эрдосом и Реньи трактуется как фазовый переход.

Из рис. 2 видно, что при наступлении сезона-аналога система обращается к резервам. Возможны ситуации:

• ресурсов не хватает — резервы нужны N 1г1 =

= N . + Я;

^1

• ресурсов достаточно — резервы не нужны

(наблюдается либо полное их использование

Иу1 г2 = К* либ° излишек ресурсов Иу1 г3 =

=К» - я).

Одна из основных задач теории случайных графов — определить, при какой вероятности Р будет проявлено некоторое свойство, которое присуще данному типу графа. Приведем рассчитанную вероятность наступления аналогов-сезонов и рассмотрим распределение ресурсов МТП на примере агро-

фирмы «Борская» Борского района Нижегородской обл. (см. таблицу).

Более наглядно ресурсы системы можно представить в виде ориентированного графа (рис. 3). Графы такого рода содержат вершины двух типов — процессы, в нашем случае сезоны-аналоги (показаны «пунктирными» окружностями), и ресурсы (показаны прямоугольниками). Дуги графа могут соединять только разнотипные вершины. Направленность дуг означает: от ресурса к процессу — ресурс выделен данному процессу, от процесса к ресурсу — процесс запрашивает ресурс.

В нашем случае производственные процессы наступают не одновременно, и вершина сезона-аналога является случайной.

Из рис. 3 видно, что граф ресурсов МТП имеет зацикливание там, где система не справляется с потребностью производственного процесса, например при наступлении теплого сезона-аналога у1. При наступлении сезонов-аналогов у3 у4 у5 происходит зацикливание с недоиспользованными ресурсами. Ситуация может перейти в тупиковую. Для безопасности ситуации и устранения зацикливания в техно-

2,85* 35

5,15

// / 32,15

5,15 ! >' Л *!

Основной парк 27 у.э.тр. 29,4 е¥ Ресурсы системы,

\ 7Г 2,4 А

Резервный парк 5,15 у.э.тр. требуются

¥ 27

\\ 4 4 30,95

\ '*« \ 3,95

\ \ \ 5 '/К 2,75 1,2 ■,

''•ч '*'■* Я — высвобождаемые резервы Я* —запрашиваемые (трудовые) резервы

*

Рис. 3. Граф ресурсов МТП Рис. 4. Граф распределения резервных ресурсов МТП

----------------------------- ВестникФГ0УВП0МГАУ№Г20'10 ------------------------------------ 45

логической системе фактические ресурсы разделяем на основные и резервные (см. таблицу). Для условий теплого у1 сезона введем в граф недостающие ресурсы. Они (2,85 у.э.тр.) поступают в систему извне, в качестве сезонных трудовых ресурсов (рис. 4).

Производственный процесс в условиях сезона-аналога стремится заполучить требуемые ресурсы, т. е. приблизиться к ситуации 0факт > 0треб. В представленном графе (см. рис. 4) явно видно, что это условие для технологической системы соблюдается и соблюдается условие устранения зацикливания системы. В случае, когда процессу необходимы не все резервы системы, часть их может использоваться за ее пределами

Вывод

Проблема разрешения тупиков и зацикливания ресурсов в современных технологических системах производственных процессов растение-

водства в складывающихся погодных условиях позволяет, за счет выделения (буферизации) резервов, управлять технолого-техническими ресурсами и снижать затраты на продукцию. В агрофирме «Борская» за счет сокращения затрат на МТП, связанных с резервной техникой, используемой на стороне, получен годовой экономический эффект в размере 1456 тыс. р.

Список литературы

1. Колчин, В.Ф. Случайные графы / В.Ф. Колчин. — 2-е изд. М.: Физматлит, 2004.

2. Пасин, А.В. Обоснование сезонного использования резервных технологических комплексов / А.В. Пасин, А.Н. Важенин, А.И. Новожилов. — М.: ИД Академии естествознания, 2009.

3. Erdos P., Renyi A., On the evolution of random graphs, Publ. Math. Inst. Hungarian Acad. Sci., Ser. A. 1960. № 5. P. 17-61.

4. Березина, Л.Ю. Графы и их применения: пособие для учителей / Л.Ю. Березина. — М.: Просвещение, 1979.

УДК 631.372

М.Х Фасхутдинов, канд. техн. наук, доцент

ФГОУ ВПО «Казанский государственный аграрный университет»

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО РАДИУСА ПОВОРОТА МАШИННО-ТРАКТОРНОГО АГРЕГАТА НА БАЗЕ ТРАКТОРА С ПОЛУГУСЕНИЧНЫМ ДВИЖИТЕЛЕМ

Параметры поворота МТА — действительный радиус, поворачивающий момент и момент сопротивления повороту, зависят от многих эксплуатационных факторов [1]:

• среднего угла поворота управляемых колес;

• перераспределения нагрузки по осям;

• физико-механических свойств почвы;

• крюкового усилия;

• скорости движения МТА;

• угла уклона местности и др.

Введем коэффициент поворачиваемости KR, равный отношению действительного радиуса к геометрическому:

R4

К =-Л к Rз

Возможны три случая поворачиваемости: нормальная (Кк = 1), избыточная (Кк < 1) и недостаточная (Кк > 1).

Отношение момента сопротивления повороту к поворачивающему моменту обозначим как фактор сопротивления повороту Км:

К„ = Мс'п

M

Очевидно, что коэффициент поворачиваемо-сти есть функция от фактора сопротивления повороту ^ = Д^.

В работе [2] получена эмпирическая формула для определения теоретического действительного радиуса поворота МТА с полугусеничным движителем:

P1+

p2

P3

M {Kx - KM)

(1)

где р1, р2, р3 — постоянные коэффициенты (табл. 1); Кх — предельное значение коэффициента Км, при котором действительный радиус стремится к бесконечности.

Значения коэффициентов р1 определены эмпирически (табл. 1).

Вид эмпирической зависимости и значения ее коэффициентов подобраны таким образом, что при малых крюковых нагрузках действительный радиус поворота МТА ненамного превышает геометрический и с увеличением нагрузки на крюке действительный радиус поворота возрастает постепенно (не резко). При больших значениях крюковой нагрузки и с ее ростом значение действительного радиуса поворота МТА начинает резко возрастать, а при значениях К , близких к