Применение системы компьютерной математики Mathcad для решения задачи исследования функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Федеральный закон от 28.12.2016 № 471-ФЗ «О внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации и признании утратившими силу отдельных положений законодательных актов Российской Федерации» [Электронный ресурс] // КонсультантПлюс: [сайт]. [2017]. URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_209781/ (дата обращения: 10.02.2017).

А. В. Голанова, Е. И. Голикова

Применение системы компьютерной математики Mathcad для решения задачи исследования функции

Математическое образование является элементом общей культуры и одной из составляющих фундаментальной подготовки выпускника. Поэтому дисциплина «Практикум по решению задач на ЭВМ» является дисциплиной профессионального цикла при подготовке бакалавров по направлению 44.03.05 «Педагогическое образование» и, в первую очередь, направлена на формирование у студентов умения решать задачи школьного курса средствами вычислительной техники, а также выбирать соответствующее программное обеспечение для реализации тех или иных задач. Данная дисциплина предполагает широкое использование умений и навыков, полученных при изучении следующих дисциплин: «Программирование», «Компьютерное моделирование» [1, 2], «Абстрактная и компьютерная алгебра», «Численные методы», «Решение задач ЕГЭ по информатике» [3]. Такой синтезирующий характер дисциплины позволяет повысить практическую ценность знаний студентов, полученных в течение всего процесса обучения, и помогает формированию математической культуры.

В рамках дисциплины рассматриваются самые разнообразные задачи школьного курса: задачи, требующие построения графика функции, заданной явно, неявно, параметрически и в полярных координатах; задачи на элементы математического анализа (элементы исследования функций: нахождение области определения и области значения функции, нулей функции, определение промежутков монотонности, выпуклости/вогнутости функции, исследование функции на четность/нечетность, нахождение асимптот функции); задачи на построение; задачи на составление алгебраических уравнений на примере задач геометрии, алгебры, физики, экономики.

Причем особенное внимание при решении этих задач уделяется реализации их решения в различных программных средах (системах компьютерной математики), сравнению реализаций и выбору наиболее эффективного средства реализации.

Одной из ключевых задач, по нашему мнению, является задача исследования функции и построения ее графика.

Опишем алгоритм решения задачи исследования функции:

1. Нахождение области определения и области значений функции.

2. Нахождение точек пересечения с осями координат.

3. Определение промежутков монотонности функции, точек максимума и минимума функции.

4. Определение промежутков знакопостоянства функции.

5. Определение промежутков выпуклости/вогнутости функции и точек перегиба.

6. Исследование функции на четность/нечетность.

7. Нахождение асимптот функции.

8. Построение графика функции.

Для исследования функции можно использовать системы компьютерной математики (например, Mathcad, Maple). В качестве примера приведём решение следующей задачи в Mathcad.

2х2 - х + 3

У =

х-1

Провести исследование функции и построить ее график. При наличии асимптот, построить график функции с асимптотами. 1. Найдем область определения функции. Зададим функцию:

f(x) :=

2 х2-х + 3

Для нахождения области определения функции найдем точки, в которых знаменатель обращается в 0:

д(х) := х — 1 g(t) solve.t 1

Вывод: знаменатель обращается в 0 в точке х=1. Следовательно, область определения функции х - любое действительное число; отличное от 1.

2. Найдем точки пересечения с осями координат. Пересечение с осью ОХ:

д1(х) := 2 х2 - х+ 3

( 1 1 л 4 4 v

g1(k) solve,к ->

— - — ¡л/23 И 4 V у Вывод: точки пересечения с осью ОХ отсутствуют

Пересечение с осью OY:

f(O) = -3

Вывод: точка пересечения с осью OY (0;-3).

3. Определим промежутки монотонности функции, точки максимума и минимума функции.

Вычислим первую производную функции

д2(х) := —f(x) -> '4Х~ Ь г-х+з)

dx

(Х-1)

(X - 1)

Приравняем первую производную к 0:

V2+P

g2(t) solved

Определим знаки второй производной функции в е-окрестности стационарных точек г1, г2:

б := 0.005

П := yß + 1 Г2 := 1 - V2

g2(r1 - е) = —0.014 g2(r1 - е)<0 функция убывает

g2(r1 -+- е)>0 функция возрастает g2(r2 - е)>0 функция возрастает д2(г2 -+- е) = -0.014 д2(г2 + е)<0 функция убывает

g2(r1 + s) = 0.014 д2(г2 - е) = 0.014

Вывод:

х< l-yß

х > ^р - 1 функция возрастает

1 - "J2 < х < 1

функция возрастает

1 < X < л/2 + 1

г1 -точка локального минимума функции

г2 - точка локального максимума функции

Найдем значения локальных максимума и минимума

функции:

X := 1

Given

extrl := Minimize(f :х)

extrl = 2.414

f(extr1) = 8.657 X := О Given

extr := Maximize(f ,x) extr = -0.414 f(extr) = -2.657

Вывод: значение локального максимума достигается в точке -0.414 и равно -2.657. Значение локального максимума достигается в точке 2.414 и равно S.657

4. Определение промежутков знакопостоянства функции. Определим знаки функции в Е-окрестности точки 1:

s := 0.005 ГЗ := 1

f(гЗ - Е)

f(гЗ + е)

= -797.01 КгЗ - е)<0 функция принимает отрицательные значения

= 803.01 КгЗ + е)>0 функция принимает положительные значения

Вывод:

при х<1 функция принимает отрицательные значения

при х>1 функция принимает положительные значения

5. Определение промежутков выпуклости/вогнутости функции и точек перегиба.

Вычислим вторую производную функции

Приравняем вторую производную к 0: g3(h) solve ;h

Числитель в 0 не обращается, значит смена знака второй производной происходит только в точке х=1 Определим знаки второй производной функции в е-окрестности точки х=1:

е := 0.005 Г4 := 1

дЗ( г4 - е) = —6.4 х 107 дЗ(г4 - е)<0 функция выпукла вверх

дЗ( г4 + е) = 6.4 х 107 дЗ(г4 + е)>0 функция выпукла вниз

Вывод:

х < 1 функция выпукла вниз

х > 1 функция выпукла вверх

Точек перегиба нет, т.к. при х=1 функция не существует

6. Исследование функции на четность/нечетность.

f(m) :=

2 m - m + 3

f(-m) -4

m - 1

(2-ш2 + т + з)

(-т - 1)

-f(m)

W-m + з) (т-1)

Вывод: функция не является ни четной ни нечетной (функция общего вида) 7. Нахождение асимптот функции.

Вертикальная асимптота х=1, т.к. при х=1 функция не существует.

Наклонная асимптота:

f(m) :=

2 m - m 4 3 m 1

lim M 2

m -4 ж

m

lim f(m) - 2 m 1

1П4 ж

Наклонная асимптота 2*x+1. 8. Построим график функции с асимптотами.

I(t) := 2 t 4 1 U := -10.. 15

f(t) W

u

В заключение отметим, что использование системы компьютерной математики во многом облегчит задачу построения и исследования графиков функции. Это, в первую очередь, связано с тем, что не все обучаемые способны аккуратно изобразить график функции в тетради, а это, в свою очередь, может привести к получению искаженной информации о её свойствах. Также большое количество ошибок появляется при вычислении пределов и производных функции. Использование системы компьютерной математики MathCad, позволяет решить эти проблемы. С ее помощью, обучаемый может построить график функции и изучить ее поведение на различных интервалах, а потом проделать аналогичную работу, выполняя все вычисления и построения в тетради.

Список литературы

1. Голанова А.В., Голикова Е.И. К вопросу об отборе содержания лабораторных работ по дисциплине «Компьютерное моделирование» для бакалавров по направлению «Педагогическое образование». // XVIII Царскосельские чтения: материалы междунар. науч. конф. - СПб.: ЛГУ им. А.С. Пушкина, 2014. -Т. III. - С. 130-134.

2. Голанова А. В., Голикова Е. И. Применение системы компьютерной математики Maple для решения задач дифференциальной геометрии. // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по материалам XXIII междунар. науч. конф. № 23. - Новосибирск: Изд. «Сибак», 2014.

- С. 23-29.

3. Голанова А.В., Голикова Е.И. К вопросу об отборе содержания лабораторных работ по дисциплине «Решение задач ЕГЭ по информатике» для бакалавров по направлению «Педагогическое образование» // XIX Царскосельские чтения: материалы междунар. науч. конф. - СПб.: ЛГУ им. А.С. Пушкина, 2015.

- Т. II. - С. 306-311.

Т. Ю. Горшкова

К вопросу о формировании профессиональной компетенции будущего педагога в условиях реализации профессионального стандарта

В стремительно меняющемся мире изменяются и дети, что, в свою очередь, выдвигает новые требования к квалификации учителя. Готовность к переменам, способность к принятию самостоятельных нестандартных профессиональных решений требует от современной системы образования подготовку иного педагога. Но от педагога нельзя требовать то, чему его никто никогда не учил. Нормативные документы, регламентирующие подготовку будущего учителя (Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки