Применение семантико-числовой спецификации формул алгебры логики для разработки цифровых схем на логическом уровне Текст научной статьи по специальности «Математика»

94

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015 № 1 (198). Выпуск 33/1

УДК 680.3

ПРИМЕНЕНИЕ СЕМАНТИКО-ЧИСЛОВОЙ СПЕЦИФИКАЦИИ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ДЛЯ РАЗРАБОТКИ ЦИФРОВЫХ СХЕМ НА ЛОГИЧЕСКОМ УРОВНЕ

Г. А. ПОЛЯКОВ В. В. ЛЫСЫХ

Белгородский государственный национальный

исследовательский университет e-mail:

[email protected]

[email protected]

В статье представлен подход решения задачи формализации разработки цифровых схем на логическом уровне с использованием семантико-числовой спецификации формул алгебры логики (ФАЛ).

Ключевые слова: Структуры Семантико - Числовой

Спецификации (СЧС), формулы алгебры логики, СДНФ, цифровые схемы.

Введение.

Под алгеброй принято понимать множество элементов произвольной природы, на котором определены некоторые конечноместные операции. Произвольная алгебра считается определенной, если определены следующие понятия: множество объектов («порождающее множество»), множество операций («сигнатура»), понятие функции и понятие формулы [2]. Алгебра логики («булева» алгебра) имеет в качестве «объектов» переменные X (i е N = 1,2,...,n), которые могут принимать два значенияX = 0,1; сигнатура алгебры логики содержит три операции: конъюнкцию "&",X &Xj (принимает значение «1» только при X = Xj =1, дизъюнкцию XI Xj (принимает значение «0» только при

X = Xj = 0) и отрицание/инверсию ! X ( для X = 1, Ц = 0, для X = 0, !X =1) [i]-

Функция F(X) алгебры логики - это зависимость переменной F, принимающей значения 0,1, от некоторого множества двоичных аргументов X = ( x1, x2,..., xn). Формулы алгебры логики (ФАЛ) - это конструкции, представляющие собой связанные символами операций «&», «|», «!» совокупности «конъюнктивных термов» ctp - конъюнкций переменных и/или «дизъюнктивных термов» dtp - дизъюнкций переменных, принимающих также только значения 0,1.

Необходимость использования семантико - числовой спецификации ФАЛ для формализации разработки цифровых схем на логическом уровне требует расширения современных средств аппарата Семантико-Числовой Спецификации (СЧС) [3].

Постановка задачи.

Определим «конъюнктивный терм» ctp как конъюнкцию некоторых переменных из набора X = (x1, x2,., xn), имеющую следующий вид:

ctP= & (xi‘),

1 е Np

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015. №1 (198). Выпуск 33/1

95

где р - номер текущего терма: Np с N - подмножество номеров i переменных x;, х”1 е Хр,

входящих в состав р - го терма, np = |^|’п = IN Конъюнктивный терм» ctp, состоящий

из одной переменной, является «простым термом», для которого Np = 1.

Конституентой единицы функции F(X) = F(Xj,x2,..., xn) от «п» переменных является конъюнктивный терм следующего вида:

п

kt = & (x0i )■

i = 1

Определим «ранг» Гр конъюнктивного терма ctp следующим соотношением:

= 1 г.

ieN р

Будем понимать под «весом» конъюнктивного терма ctр число wр, определяемое соотношением:

Wp = Е°.*21 ’

iеNp

где значения O = 0,1 определяются «вхождением» переменной х”1 в конкретный терм: а1 = 1,0; x1 = xi, x0 = !xi . Двоичное представление «веса» wр терма Йр задает характер вхождения переменных х”1 е Хр (в прямом виде или в инверсном виде) в конъюнктивный терм ct р.

Совершенная Дизъюнктивная Нормальная Форма (СДНФ) FC№<5(xx,x2,...,xn) функции алгебры логики от «п» аргументов Х = (Xj,x2,...,xn) - это множество соеди-

п

ненных символами « |» операции дизъюнкции конституент единицы & (x Oi), для кото-

i = 1

рых имеются наборы значений переменных, порождающие равное «1» значение функции

п

FCAHO (Х1,Х2 ,. ,Хn )= ( & (Х^ ))р ,

i = 1

где ЭТСдФ - множество номеров р конституент единицы, входящих в FCWM> (Х).

Дизъюнктивная Нормальная Форма (ДНФ) FдHФ(x1,x2,...,xn) представляет собой множество конъюнктивных термов Йр, соединенных символами « |» операции дизъюнкции

^СДНФ ( Х1 , Х2 , . , xn ) = (ct р ) ’

где ЖдФ - множество номеров р конъюнктивных термов ctp е F^j, (X) (различающихся в общем случае составом переменных х1°1 е Хр, различным «вхождением» переменных (в прямом/инверсном виде) и «различной длиной» пр = |Np|) и соответствующие термам наборы значений переменных, на которых функция FдHФ (X) принимает значение «1».

96

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015 № 1 (198). Выпуск 33/1

Аналогичные понятия определяются также для «симметричных» рассмотренным формам (СДНФ, ДНФ) совершенной конъюнктивной и конъюнктивной нормальных форм (СКНФ, КНФ).

Семантико-числовая спецификация СДНФ и ДНФ при синтезе схем функциональных модулей на логическом уровне должна поддерживать возможность задания следующих текстовых конструкций:

а) множества X = (x,x2,---, xn) имен x; двоичных переменных - аргументов ко-

дово - матричных функций (КМФ) Алгебры Кодовых Матриц и Функций Алгебры Логики (ФАЛ);

б) множества SEM, задающего для имен x еX = (x, x2,..., xn) переменных еди-

ницы измерения sm; («семантику») физических величин;

в) множества N номеров j «имен» переменных x;, «имен» конституент ktр и

«имен» конъюнктивных термов ctp КМФ/ФАЛ («имена» нумеруются далее в интересах формализации синтеза в сквозном порядке переменной j);

г) подмножеств Np с N номеров j имен x; переменных x0 е Xp, входящих в состав каждого конкретного терма ctp КМФ/ФАЛ;

д) множества NT^ номеров p конъюнктивных термов ct е (X) и множества W = {wp }, p е NTfl<J1, значений «весов» w p термов ctp, задающих характер вхождения переменных xе Xp (в прямом виде или в инверсном виде) в различные конъюнктивные термы ctp;

е) средств объединения (сборки) числовых и текстовых спецификаций переменных x;01 и термов ct p в текстовые спецификации выходных КМФ/ФАЛ схемы ф - модуля на логическом уровне ее детализации.

Для семантико-числового представления перечисленных категорий данных введем в состав структур аппарата СЧС [4,5] модифицированные структуры BFL и CFL логического уровня (L), интерпретирующие и расширяющие состав структур СЧС применительно к задаче спецификации и синтеза схем ф-модулей на логическом уровне детализации.

Модифицированная базовая структура BFL СЧС состава переменных x101 и термов ФАЛ имеет следующий состав и семантику полей (табл. 1):

Таблица 1

Структура BFL

Имена полей Функциональное назначение полей

N Массив N номеров j переменных и номеров конституент/термов (которые считаются «операторами» и нумеруются подряд от j =0,1,., n, n + 1,.).

RES Массив RES задает множество X=(x,x2,...,xn) имен xi переменных, от которого зависят СДНФ/ДНФ специфицируемой ФАЛ, имен термов ctр и имен выходных функций.

SEM x ct Массив SEM задает для каждой переменной 1 и каждого терма p специфицируемой sm. / sm КМФ/ФАЛ единицы измерения p физических величин.

NSJ NSJ щ (i), nsj(p k CFT Массив указателей v ' ) на номер k - й строки структуры , с которой начи-

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015. №1 (198). Выпуск 33/1

97

j е X нается цепочка номеров J переменных с именами р ; входящих в состав каждого конкрет- ct ного терма с именем р рассматриваемой КМФ/ФАЛ

SJD Массив SJD количества kvp = |Rp| имен переменных X;0i 6 X входящих в состав произвольного терма с именем Ct р .

Модифицированная структура CFL СЧС «вида вхождения» переменных в термы КМФ/ФАЛ имеет следующий состав и семантику полей (табл. 2):

Таблица 2

Структура CFL

Имена полей Функциональное назначение полей

K Массив K номеров k строк структуры CFL .

JSD Массив JSD цепочек указателей jsd(k), начинающихся с указателя jsd(k)= nsj(i) или nsj(p) (поле NSJ структуры ВХд ) на начало цепочки номеров j имен X ' 6 X переменных текущего терма с именем ctp и заканчивающихся k — И строкой массива JSD , имеющей jsd (k )= —1 (при этом каждый указатель jsd (k) — 1 указывает на некоторый элемент массива SPJD , задающий номер очередной переменной X i i , входящей в текущий терм с именем ctp ).

SPJD Массив SPJD цепочек номеров j имен xi i переменных, входящих в текущую конституенту kt р /терм с именем ctp (указателями на имена переменных x; i множества Xp являются соответствующие указатели jsd(k) поля JSD структуры CFL ).

RNG Элементы массива RNG задают значения рангов переменных, входящих в конкретные кон-ституенты единицы СДНФ и/или в конкретные термы ДНФ КМФ/ФАЛ, определяя тем самым конкретный состав имен переменных текстовых спецификаций конституент/термов.

WGT Значения элементов массива WGT задают для каждой переменной с именем x; 1 6 Xp текущей конституенты/терма с именем ktp / ctp характер вхождения (в прямом виде - при ^ = 1 или в инверсном виде - при ^ = 0 ), определяя тем самым обобщенную характеристику конституенты/терма - «вес» wp конституенты/терма (указателями на элементы ^ массива WGT являются соответствующие указатели jsd(k) поля JSD структуры CFL ).

Проиллюстрируем на конкретном примере введенные выше понятия и возможности использования модифицированных структур СЧС BFL и СFL для семантико-числовой спецификации ФАЛ.

Пример.

Семантико-числовая спецификация системы ФАЛ одноразрядного полного сумматора ADD1.

Одноразрядный полный сумматор ADD1 выполняет операцию сложения двух одноразрядных чисел а и b с учетом разряда ci переноса из предшествующего младшего разряда суммы чисел и возможного переноса СО в следующий старший разряд получаемой суммы.

Внешние интерфейсы сумматора ADD1 показывает рис. 1.

98

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015 № 1 (198). Выпуск 33/1

*•

СО

Рис. 1. Входной и выходной интерфейсы одноразрядного сумматора ADD1

Систем y(s, co) ФАЛ, реализуемую сумматором ADD1 (СДНФ функции s суммы и ДНФ функции co переноса), представляют следующие соотношения [ ]

s = (la&lb&ci) | (la&b&lci) | (a&lb&lci) | (a&b&ci) = kt3, kt4,kt5, kt6; co = (a & b) | (a & c) | (b &c) = kt7 kt8 kt9.

Для СДНФ функции S суммы имеем: множество X имен и номеров j «равновесных» (веса 20) входных переменных X= {a,b,c}, Narg = {°.1.2}, kaJXl = 3; множество номеров j конституент NT = (3,4,5,6), множество имен конституент единицы

KT = {kt3,kt4, kt5, kt6} , количество конституент k^ = 4; для всех конституент функции s суммы общий ранг r = 23 — 1 = 7. Для ДНФ функции co переноса имеем: множество X имен и номеров j «равновесных» (веса 20) входных переменных X = {a,b,c},

Narg ={0,1,2}, karg = |X = 3; множество номеров j термов NTct =(7,8,9), множество имен

термов СТ = {kt7,kt8, kt9}, количество термов kct = 3.

Покажем, что семантико - числовую спецификацию ФАЛ выходной функции s одноразрядного сумматора ADD1 можно представить следующими модифицированными структурами BFL и CFL СЧС (таблица 3 и таблица 4).

Таблица 3

Структура BFL состава переменных/конституент СДНФ функций s, со

RES SEM NSJ SJD

0 a sm0 1 0

1 b sm1 1 0

2 ci sm2 1 0

3 kt3 sm3 0 3

4 kt43 sm4 3 3

5 kt5 sm5 6 3

6 kt6 sm6 19 3

7 kt7 sm7 12 2

8 GO sm8 14 2

9 kt9 sm9 16 2

10 s sm№ 18 4

11 co smn 22 3

С1

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015. №1 (198). Выпуск 33/1

99

Структура CFL связей конституент СДНФ функций s,co

K JSD SPJD RNG WGT

0 1 0 1 0

1 2 1 1 0

2 -1 2 1 1

3 4 0 1 0

4 5 1 1 1

5 -1 2 1 0

6 7 0 1 1

7 8 1 1 0

8 -1 2 1 0

9 10 0 1 1

10 11 1 1 1

11 -1 2 1 1

12 1.3 0 1 1

1.3 -1 1 1 1

14 15 0 1 1

15 -1 2 1 1

16 17 1 1 1

17 -1 2 1 1

18 19 3 3 4

19 20 4 3 2

20 21 5 3 1

21 -1 6 3 7

22 23 7 3 3

23 24 8 5 5

24 -1 9 6 6

Таблица 4

В таблице 3 элементы массива RES структуры BFL задают имена переменных входного интерфейса сумматора ADD1 a, b, ci - аргументов выходных ФАЛ S и СО,

имена конституент kt3, kt4, kt5, kt6, kt7,kt8, kt9 и имена выходных функций s, co. Элементы массива NSJ = jnsj j задают для каждой конституенты ktj номер k = nsj( j) строки структуры CFL (таблица 4), с которой в массиве SPJD начинается цепочка номеров элементов (входных переменных a ,b, ci - для термов kt5, Й7,Й8, kt9; номеров

термов ct3,ct4, ct5, ct6 - для функции S и ct7,ct8, ct9 - для функции СО). Значение указателя nsjj = -1 соответствует случаю, когда элемент с номером j является входной переменной, для которой |Xj|=i. «По умолчанию» принималось, что в рамках примера семантика элементов массива SEM не обсуждается, так как определяется конкретными прикладными областями и задачами.

Элементы массивов RNG WGT k -й строки (k = 0,1,2) структуры CFL СЧС задают числовую спецификацию ранга и веса конкретных переменных (a,b,ci), ранга и веса конкретных конъюнктивных термов (Йз,..., Й9) и ФАЛ выходных функций s,co.

Например, для терма Й3: указатель nsj( N = 3)= 0) показывает, что цепочка номеров его «сопряженных» - переменных задачи в структуре CFL начинается со строки с номером k = nsj(N = 3) = 0, продолжается строкой структуры CFL с номером k = JSD [0] = 1 и заканчивается строкой с номером k = JSD[1] = 2, имеющей JSD [2] = -1.

100

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015 № 1 (198). Выпуск 33/1

Элементами массива SPJD рассматриваемых строк являются SPJD[k = 0] = 0, SPJD [l] = 1, SPJD [2] = 2 . Это означает, что в состав конъюнктивного терма ^ входят все переменные входного интерфейса: RES [N = 0]= a,RES[ 1ST = l]= b, RES[ N =] = ci. Числовой спецификацией этого факта являются значения элементов массива RNG «рангов» структуры CFL: RNG [k = 0] = 1, RNG = [k = l] = 1, RNG [k = 2] = 1 (ra= 20=1, rb= 20=1,

rci= 20=1 ), характер «вхождения» каждой переменной в терм kt3 = !a&!b&ci специфицируется значениями элементов массива «весов» WGT структуры CFL:

WGT[k = 0] = 0, WGT = [k = 1] = 0, WGT[k = 2] = 1

w = са20 = 0х20 = 0 о !a; wb = оь20 = 0х20 = 0 о !b;

wci = °ci20 =1x20 =1 о !ci ■

Приведенная для компонентов таблиц 3, 4 выходной функции s трактовка семан-тико - числовой спецификации сохраняется и для выходной функции со. Например, для

терма kt7 : указатель nsj(N = 7) = 12) показывает, что цепочка номеров его «сопряженных» -переменных задачи в структуре CFL начинается со строки с номером k = nsj( N = 7) = 12 и заканчивается строкой с номером k = JSD [12] = 13, имеющей

JSD[13] = -1. Элементами массива SPJD рассматриваемых строк являются

SPJD[k = 12] = 0, SPJD [13]= 1. Это означает, что в состав конъюнктивного терма kt7

входят только переменные a,b входного интерфейса: RES[N = 0]= a, RES[N = 1] = b■ Числовой спецификацией этого факта являются значения элементов массива RNG «рангов» структуры CFL : RNG [k = 12] = 1, RNG = [k = 13] = 1 ,(ra=20=i,rb=20=i), характер

«вхождения» каждой переменной (a,b) в терм kt7 = a&b специфицируется значениями элементов массива «весов» WGT структуры CFL : WGT[k = 12] = 1, WGT = [k = 13] = 1

w = oa2° = 1x20 = 1 о!a, wb = cb2° = 1x20 = 1 о!b ■

Отметим, что принятое соответствие между номерами j конституент/ термов, составом переменных различных конституент/термов и их именами в функции s суммы имеет следующий вид: состав конституент

ctp:(!a&!b&ci), (!a&b&!ci), (a&!b&!ci), (a&b&ci) ; имена термов - ct3, ct4, ct5, ct6;

номера j термов - j=3,j=4,j=5,j=6.

Принятое соответствие между номерами j термов, составом переменных различных термов и их именами в функции со переноса имеет следующий вид: отстав термов -(a&b), (a&ci), (b&ci); имена термов - ct7, с8, ct9 ;номера j термов - j =7, j =8, j =9 Выводы.

1. Необходимым условием корректности семантико - числовой спецификации формул Алгебры Логики (булевой алгебры) и, в более общем случае, Алгебры Кодовых Матриц является «расширение» состава полей структур СЧС BF, CF до состава полей структур BFL, CFL логического уровня детализации спецификации;

2. Расширенные структуры СЧС логического уровня детализации обеспечивают возможность семантико - числовой спецификации всех категорий информации, содержащейся в текстовой спецификации Формул Алгебры Логики и, в более общем случае,

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015. №1 (198). Выпуск 33/1

101

АКМ, и могут рассматриваться, наряду с текстовой спецификацией, как эквивалентная семантико - числовая форма представления ФАЛ и КМФ.

Литература

1. Поляков Г. А. Основы построения и автоматического проектирования самоорганизующихся систем параллельной цифровой обработки информации и повышение эффективности комплексов радиолокационного вооружения ПВО / Г. А. Поляков ; [под общ. ред. проф. В. К. Стрельникова]. - Х. : ВИРТА ПВО, 1986. - 572 с.

2. Поляков Г. А. Адаптивные самоорганизующиеся системы с мультипараллельной обработкой данных - стратегия развития цифровой вычислительной техники в XXI-м веке / Г. А. Поляков // Прикладная радиоэлектроника. - Х. : АН ПРЭ, 2002. - № 1. - С. 57-69.

3. Поляков Г.А. Синтез и анализ параллельных процессов в адаптивных времяпараметри-зованных вычислительных системах / Г.А. Поляков, С.И. Шматков, Е.Г. Толстолужская, Д.А. Тол-столужский: монография. - Х. : ХНУ имени В.Н. Каразина, 2012. -С. 434 - 575.

4. Поляков Г. А., Лысых В.В. Метод функционального СЧС-синтеза проблемно- ориентированных параллельно-конвейерных цифровых устройств// Научные ведомости БелГУ. Серия: История. Политология. Экономика. Информатика. - 2013. - № 15(158). - Вып. 27/1 - C. 139-1-45.

5. Поляков Г.А., Лысых В.В. Формальный метод функционального СЧС-синтеза проблемноориентированных паралельно-конвейерных аппаратных средств //Сборник научных трудов VI международной научной конференции Функциональная база наноэлектроники - Харьков, 2013 г., С. 370-373.

APPLICATION OF SSN SPECIFICATIONS OF BOOLEAN FORMULAS FOR LOGIC DEVELOPMENT

OF DIGITAL CIRCUITS AT THE LOGICAL LEVEL

G. A. POLYAKOV V. V. LYSYKH

Belgorod National Research University

e-mail:

[email protected]

[email protected]

The paper presents an approach for solving the problem of formalizing the development of digital circuits at the logical level, using semantic-numerical specification of Boolean formulas (BF).

Key words: Semantic Structures - Number Specifications (SNS, Boolean formulas (BF) PDNF, digital circuit.