Применение расчета интегралов на ЭВМ при моделирование химических и биологических процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-37 БЕЛО ЗЕРО В А Г.И.

кандидат педагогических наук, кафедра информатики, информационных технологий и защиты информации, Липецкий государственный педагогический университет имени П.П. Семенова-Тян-Шанского E-mail: [email protected] КОНОНОВА З.А.

кандидат технических наук, кафедра информатики, информационных технологий и защиты информации, Липецкий государственный педагогический университет имени П.П. Семенова-Тян-Шанского E-mail: kononovazoy@gmailcoTn

UDS 51-37

BELOZEROWA G.I.

Candidate ofPedagogics, Department of computer science, information technologies and protection of information, Lipetsk State Pedagogical University named after P. P.

Semenov-Tyan-Shansky E-mail: [email protected] KONONOVAZ.A.

Candidate of Technics, Department of computer science, information technologies and protection of information, Lipetsk State Pedagogical University named after P. P.

Semenov-Tyan-Shansky E-mail: [email protected]

ПРИМЕНЕНИЕ РАСЧЕТА ИНТЕГРАЛОВ НА ЭВМ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХИМИЧЕСКИХ И БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

THE APPLICATION OF THE CALCULATION OF INTEGRALS ON A COMPUTER WHEN MODELING CHEMICAL AND BIOLOGICAL PROCESSES

В статье приводится способ построения интегральной кривой решения дифференциальных уравнений в курсе «Компьютерное моделирование» при помощи ЭВМ. Рассмотрены общие подходы расчета моделей, заданных дифференциальными уравнениями. Приведены рабочие формы. Обсуждены результаты расчетов.

Ключевые слова: информационные технологии, интеграл функции, математическая модель, химический процесс, биологический процесс.

The article presents a method of constructing an integral curve of solutions of diff erential equations in the course "Computer simulation" using a computer. The general approaches of calculation models are defined by differential equations. The working forms are given. The results of the calculations are discussed.

Keyword: information technology, the integral of the function, mathematical model, chemical process, biological process.

В дисциплине «Компьютерное моделирование» рассматриваются экологические, биологические, физические, химические модели. Существенная доля общего числа рассматриваемых моделей описывается дифференциальными уравнениями, решение которых сводится к вычислению интеграла. Рассмотрим конкретные примеры в биологии и химии.

Модель химического процесса термического разложения динитроксида на золоте при 990° С. Продолжительность (время протекания) химических процессов (реакции) зависит от ряда параметров. Прикладное значение построенной модели заключается в том, что она позволит экстраполировать имеющиеся экспериментальные данные и определить показатели процесса, для которых нет экспериментальных значений [2]. Построим математическую модель и разработаем компьютерную программу в среде Delplii версии 10 (Embarcadero) с удобным и понятным интерфейсом. Выбор объясняется как возможностями языка, так и возможностью интеграции с операционной системой Windows в части визуализации работы программы.

В ходе изучения термического разложения получены следующие кинетические данные:

I время. 30 53 100

а степень превращения, % 32 50 73

Химический процесс описывается дифференциаль-

с1С

ным уравнением -= —кС" , где п - порядок реак-

А

ции, к - константа скорости реакции.

Разделяем переменные в дифференциальном уравнении

ас = (- к * сп) * а!

Чтобы получить линейную зависимость, вычислим натуральный логарифм концентрации от времени 1п(ёС) = 1п( - к * Сп * а!). После логарифмирования выражения для определения константы скорости и порядка реакции примут линейный вид. Из экспериментальных данных определяем параметры кинетического уравнения (дифференциального) к, п. Построим зависимость концентрации реагирующих веществ, чтобы экстраполировать данные на другие условия эксперимента.

В программе реализованы блоки: расчет констант (к, п), расчёт и вывод графика модели химической реакции (интегральная кривая решения дифференциального уравнения), вывод экспериментальной кривой.

© Белозерова Г.И.. Кононова З.А. © Belozerowa G.I.. Kononova Z.A,

Рассмотрим следующий пример: биология.

-— = г * N — а * С * N Модель <1 (11

— :=Г*а*С*1Ч — а * С

(И 1

предсказывает сопряженные колебания численности жертв Щ) и хищников (С).

В данной системе уравнений сШЛИ и аС/сИ - скорости изменения численностей жертв (Ы) и хищников (С), г - скорость роста численности популяции жертв без учета внутривидовой конкуренции, а - коэффициент эффективности поиска хищниками жертв, f - коэффициент эффективности перехода пищи в потомство хищников, q - скорость убывания численности хищников в отсу тствии жертв. Система «хищник - жертва» характеризуется тем,, что при отсутствии хищников популяция жертв экспоненциально растет (без учета внутривидовой конкуренции), тогда как популяция хищников вымирает при отсутствии жертв, что хорошо согласуется с приведенной моделью. Преобразуем дифференциальное уравнение, разделяя переменные,

Г (Ш = (г * N - а * С * ГО * ск 1с1С = (Т * а * С * N - я * С) * ск

Приходим к необходимости вычислить определенные интегралы с заданными начальным и конечным условиями. Получаем следующие выражения.

fN = N + dN I С = С + dC

или

( N = N + (r*N-a*C*N)*dt

Так как заранее неизвестно поведение популяции: эволюционирует она или вымирает, то условия должны быть универсальными. Такими условиями являются либо снижение численности до нуля (а точнее, до 1 особи), либо установления практически неизменяемой численности (когда разница между предыдущим и текущим значениями численности не превысит одну особь).

Расчет интеграла сводим к суммированию значений функции при бесконечно малом приращении аргумента [2]. В естественнонаучных дисциплинах при моделировании, как мы видим, часто используются определенные интегралы сложных функций. Методы их вычисления основаны на разбиении изучаемого отрезка аргумента функции на конечное число шагов.

Согласно определению [1], неопределенным интегралом от функции /(х) или от ее дифференциального выражения / (л) • с/х называется общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции

/(*) и обозначается символом | /(х)с/х . Под опреде-

ной функции f(x) на отрезке [«. />] понимается соответствующее приращение ее первообразной:

jf(x)dx = F(b)-F(a) . При этом

число а - нижнии

предел интегрирования, число Ь - верхний предел интегрирования, ./ (-V) - подынтегральная функция. Геометрический смысл определенного интеграла непрерывной неотрицательной функции при а < b - площадь соответствующей криволинейной трапеции. Интеграл функции f(x) на промежутке [а,Ь] есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной по оси у

самой функцией f(x) , а по оси х - координатами а и Ь. Площадь криволинейной трапеции можно представить как сумму некоторого количества элементарных трапеций с основанием Ах. Тогда, обозначив искомый

п

интеграл как S, можно записать, что S = V.V,

У

Si

f(x)

х

Дх

ленным интегралом

jf(x)dx

от заданной непрерыв-

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции.

Расчет суммы методами программирования осуществляется с использованием одного из операторов цикла: цикла с параметром или циклов с условием. Условие выхода из цикла - достижения пределов переменной (параметра). Можно не указывать количество итераций вычислений и, следовательно, нет нужды заранее оговаривать количество шагов, достаточно указать в качестве условия выхода - достижение заданной погрешности вычислений значения фу нкции. Массивы значений аргумента и функции объявляем как глобальные переменные для использования данных расчетов в разных частях программы.

Рассмотрим зависимость результатов моделирования химического процесса от значения аргумента I (время) с разными начальными концентрациями и разным шагом <11 (в этих моделях значения констант к, п совпадают). В примере выведены экспериментальные значения, графики экспериментальной и теоретической зависимости изменения концентрации исходного продукта.

File Edit Search View Refactor Project Run Component Tools Window Help

DSS.Ci Q r® • g u« io"c- II ■ . ' f* IB—_

Project! - RAD Studio 10.1 Berlin - Unitl [Built]

© Ps'

! 32-bitWindows

@ j + * Q

fr Б>| ♦ ♦

БЩ Forml

-a Buttoni

~B Button.2 ■B Button3 ' "P Chartl

Custom Axes I 'll МетоЗ \-Щ Series3 Series4 '-¡4 SeriesGroups

J Chart2 -0 Editl ••••0 Edit2 -0 Editä •••0 Edit4

-m La bell Object Inspector

МетоЗ T Иепто

| Properties | Events |

iSearch I

Hint

ImeMode imDontCare

ImeName

Left 216

Lines (TStrings)

LiveBindings LiveBindings

m LiveBindings Desi LiveBindings Designer

Margins (TMargins)

MaxLength 0

» Wame МетоЗ

OFMfnnvert П Fake

f К

0

исходные данные

О 30 53 100

время, мин

степень превращения о 0,32 0.5 0.73 часть целого

нач.концентрация dt

0.01

[зеленая -Ln(l-al[i|), -красная - 1-al[i]

к 0.01320

1.276

зеленая -

эксперимент.

красная - расчет

0 500 1 000 1 500 время

очистить ввод

очистить график

Projeetl.dproj - Project Managt

В I BE S 4

GS5| iE * в I W* 3

File

ProjectGroupl Й Project1.exe

Build Configurations (Debug) itS Target Platforms (Win32) Unit! .pas

1 Projeetl... | ModeiVL. I Data Exp... 1 Multi-De...l Tool Palette f X

fiH □ | P Search

B Standard A

|:B Additional B Win32 | B System B Win 3.1 B Dialogs j B Data Access [B Data Controls & dbExpress B Data snap Server 1 FireDAC B FireDAC Ul

■ Ml m EMI В IM >

Рис. 2. Модель с начальной концентрацией С(0)=2 и шагом dt=0.01.

©

File Edit Search View Refactor Project Run Component Tools Window Help »x flucti

Project! - RAD Studio 10.1 Berlin - Unitl [Built]

О p*

! O & 53 *p & I ♦ ♦

B-H Forml "B Buttoni -ffll Button2 -B Button3 ~P Chartl

CustomAxes 1-1 Memo3 |Series3 | Series4 L SeriesGroup5 JChart2 -0 Editl -0 Edit2 Edit3 -0 Edit4 -m LabeM Object Inspector Memo3 "Memo J Properties | Events |_

S 32-bit Windows

Hint A

ImeMode imDontCare

ImeName

Left 216

Lines (TStrings)

+ LiveBindings LiveBindings

в LiveBindings Desi LiveBindings Designer

Margins (TMargins)

MaxLength 0

» Name МетоЗ

OFMfnnvert П Fakf

1

исходные данные

0 30 63 100

время, мин

степень превращений о о 32 0.5 0,73 часть целого

нач. концентрация dt

0,01

'I зеленая -Ln(l-al[i|), красная -1 -al[i]

0,5-0 -0,6-

50 100 время

к 0,01320

1,276

Bind Visually...

HI и m в a о s ©I >

M - Ф ■

пуск

очистить ввод

очистить график

Projeetl .dproj - Project Manager

" в -1 |fc m H

0Й5| iE ' Ii I Ю* 3

File

ProjectGroupl ¿• SI Projeetl .еке

Build Configurations (Debug) irS Target Platforms (Win32) Unitl,pas

1 Projeetl.... I Model Vi... I Data Exp... 1 Multi-DeJ Tool Palette f x

П I PSearch В Standard A

В Additional В Win32 I'В System [il Win 3,1 В Dialogs f'B Data Access В Data Controls E dbExpress В Datasnap Server В FireDAC В FireDAC Ul

Рис. 3. Модель с начальной концентрацией С(0)=0,2 и шагом dt=0.01.

В первом случае (при большей начальной концентрации) теоретическая и экспериментальная кривая ближе друг к другу.

В примере из биологии, кроме графических зависимостей численностей популяций, приводится и так называемая динамическая картина. Иными словами, имитируется распространение обеих популяций в определенном ареале обитания в течение некоторого времени. Следует помнить, что целью данного курса («Компьютерное моделирование») является не построение как можно более точных моделей живой или неживой природы, а получение начальных знаний и навыков моделирования.

В программе созданы формы: для ввода данных и вывода графика развития популяций при конкретных параметрах во времени (рис. 4), для вывода графика и рисунка «динамической картины» в разные моменты времени (рис. 5, рис. 6), анализа зависимости результатов моделирования от значения параметра г (скорость роста численности популяции жертв без учета внутривидовой конкуренции) на рис 7.

Из рисунков 5 и 6 видно, что в разные моменты времени численности популяций отличаются, с ростом количества жертв растет и количество хищников, что доказывает адекватность построенной модели.

развитие популяции хищник - жертва

О.ОТ

О.З 0.2 0.6

-*. Ег' 5мч* -5. Свхие '«* pin* ~ % ■ .

*J J* * в ¡9 If Jj ib- # 5&«M|A(№»HllMrffl Svw* DwiomiltoaCwcbltoo««; D#iSr*. fK 40 Heiael WHSewwl IrtemiL

f- (3 hi m Н- А&ы** « ШЖ"*Я I . J

□ ^ 1 Цс^ГГ

3] Edrft 9 Edfl

■q Еам

йМГотс* ■Up. inert dtffiEHri Ftfrt

Til*

¿Witt Fife BiMjte ОДНДО ИВмЫхп» рфйпМни ВсйвЗДв ttftette

№eg№..JL - -I Ctt*№ F*Bl Alttan

"Jt Fflrtllt

"QSj

тага

H

Cnrii: TDwt

¿i;-^ w.« is -адиги ]'■

"Ш!д:*ьи; aatd |

_±_l

>M fch ftu г

Рис. 4. Форма для ввода данных и вывода графика развития популяций.

На рис. 7 видно, что резкий рост численности жертв на фоне первоначальной небольшой численности хищников вначале приводит к скачкообразному росту численности хищников. Затем эти хищники истребляют свою кормовую базу, продолжая увеличивать свою численность. После того как кормовая база иссякает, начинает падать численность хищников. Этот процесс вполне адекватно описан построенными графиками численности популяций жертв и хищников.

популяции

г параметра г

скорость воспроизводства жертЕ

,о

ok

рисунок

рисунок

НЛ СД

Рис. 5. Окно программы с «динамической картиной» развития популяций в момент времени 1(1=1).

развитие популяции хищник - жертва

5=

популяций

г параметра

1 рисунок|

гь рисунок

Рис. 6. Окно программы с «динамической картиной» развития популяций в момент времени I (¿=50).

r\W

cQ nO dt

0.3 0,2 0.6

fadeWMA 0

t Bottom*« (TOurtArá)

i fcflom'A'jl (TOartfiatto*nW*D

IchwijOPeHert ¡15

GifPonts J True »Color |dWM№ [»J

it f m«глМс iTiiwi niKtninHl v

TwChjit ftindtrd víOíbir.lMl» VCl С 1W »16 ь,' üffma Vrftvww

Projecrt - RAO Studio 10.1 Berlin - Unit? [Built]

- п МгёзгЭ i

развитие популяции хищник - жертва

I

с С

jj №

Е та

Ok

2 ♦ - Ф - О

номер и i «рации

рисунок очистить рисунок

О

PrajecCl.dpioj - Prcjeí!Muí««

p? -R|e и -I

Mr

Л PKj«tSraup1 -VT" Piojeill.eite

L'uld CcnfiguriJi&rs iDtb^l

...

•T-£l unrtipe a-^Urtópíí

СЛЦжЛАлееси mp'i C41 hcp'^T/бя tVUfifc!. pt:

T»l РЫ«1с

ffi w I Д| JJ Srarh

,;Я lillffilBlH 3 ТСНкНдй&м >j> TSpfcttrr

'¿ TLi-,djl4l 3 TCnntreJRj« í i ÍAppkibuntvnib [0 HWutUSf £ '

ШЬЛГЛЫЛ ~ ПШМчЛЛ £ ТСпкчОш

II * 0 s A ¡mirк [У ЩШ В г И < рус гмаям

Рис. 7. Окно программы с графиками численности популяций жертв и хищников.

Библиографический список

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. Издание седьмое, исправленное. Москва, «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 1989. 656 с.

2. Кононова З.А. Расчет интегралов на ЭВМ. Проблемы непрерывного образования: проектирование, управление, функционирование. Материалы международной научно-практической конференции. Липецк 19-20 мая 2008. Ч. III. Липецк. 2008. С. 135.

References

1. Kudtyavtsev И A., Demidovich В. P. Short course of the higher mathematics. The edition seventh corrected. Moscow, "Nauka". Main edition of physical and mathematical literature. 1989. 656 p.

2. Kononova Z. A. Calculation of integrals on the computer. Problems of continuous education: design, management, functioning. Materials of the international scientific and practical conference. Lipetsk on May 19-20, 2008. P. III. Lipetsk. 2008. P. 135.