CC BY
14
Application of the principles of decomposition and coordination to solve the problem long-term development of the urban power distribution network
Kuzmina I.
Применение принципов декомпозиции и координации для решения задачи перспективного развития городской распределительной сети энергоснабжения Кузьмина И. А.
Кузьмина Инна Анатольевна / Kuzmina Inna — ассистент, кафедра систем автоматизированного проектирования, факультет робототехники и комплексной автоматизации, Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва
Аннотация: в статье рассмотрены основные положения принципов декомпозиции и координации для решения труднорешаемых задач. Указанные принципы применены для решения задачи перспективного развития городской распределительной сети энергоснабжения мегаполиса.
Abstract: the article describes the main provisions of decomposition and coordination principles for solving intractable problems. These principles are applied to solve the problem of long-term development of the urban metropolis ofpower distribution network.
Ключевые слова: декомпозиция, координация, проектирование, городские распределительные сети энергоснабжения.
Keywords: decomposition, coordination, design, urban power distribution network.
Введение
Задача перспективного развития городской распределительной сети энергоснабжения (энергосети) заключается в определении оптимального варианта развития энергосети с учетом развития города (строительство новых объектов городской инфраструктуры). Интенсивное непрерывное развитие мегаполисов делает эту задачу особенно актуальной. Задача относится к разряду труднорешаемых, в связи с необходимостью учета большого числа условий и ограничений, сложной взаимозависимостью между параметрами энергосети, а также большой размерностью задачи.
Зачастую единственным способом решения таких задач является их декомпозиция на множество локальных подзадач и последующее их согласованное решение. Для того чтобы полученные в результате декомпозиции локальные подзадачи были связаны в общую систему, эквивалентную решаемой глобальной задаче, применяется принцип координации.
В работе рассмотрены основные положения принципов декомпозиции и координации, описан процесс их применения для решения задачи перспективного развития энергосетей (задачи ПРЭ).
1. Принципы декомпозиции и координации. Основные положения
Одним из эффективных методов решения сложных задач и задач большой размерности является метод декомпозиции, сводящий исходную задачу к совокупности локальных задач (подзадач), относимых к различным уровням иерархии и решаемых совместно [1]. Подразумевается, что локальные задачи являются в некотором смысле более простыми в сравнении с глобальной задачей, и для них могут быть разработаны методы решения.
Принципы декомпозиции определяют свойства исходной задачи, на основании которых она будет разложена.
Различают два основных типа декомпозиции [3]:
• дизъюнктивный (подсистемы не пересекаются, а локальные подзадачи не имеют общих переменных);
• конъюнктивный (подсистемы пересекаются, и локальные подзадачи содержат общие показатели).
Пример иерархической структуры метода декомпозиции представлен на рисунке 1.
Исходная задача
Уровень 1 Подзадача 1 Подзадача 2
Подзадача N
Уровень 2 Подзадача 1.1
Подзадача 1.2
Подзадача N.1
Подзадача N.2
Рис. 1. Иерархическая структура метода декомпозиции
Связь между частями глобальной задачи (локальными подзадачами), обеспечивается за счет применения принципов координации [2]. Этот принцип реализуется путем введения так называемых координирующих параметров в целевые функции этих подзадач и/или в их ограничения. Таким образом, можно выделить два основных вида координации:
• стимулирование;
• лимитирование.
При стимулирующей координации координирующие параметры вводятся в состав целевой функции; при лимитирующей координации - в систему ограничений задачи.
Указанные принципы координации могут быть применены как вместе, так и отдельно.
Принципы декомпозиции и координации, применяемые к исходной глобальной задаче, определяют систему взаимосвязанных локальных подзадач. Построенные на основе сказанных принципов методы требуют определения алгоритмов корректировки координирующих параметров.
2. Применение принципов декомпозиции и координации для решения задачи ПРЭ
Рассмотрим применение методов декомпозиции и координации для решения задачи ПРЭ. Формальная постановка задачи и разработанные методы ее решения представлены в работах [4, 5].
2.1. Постановка задачи ПРЭ
В искомой постановке энергосеть мегаполиса представляет собой совокупность объектов четырех типов:
Т - трансформаторная подстанция (ТП);
Я - распределительная подстанция (РП);
С - потребитель;
Ь - кабельная линия (КЛ).
Объекты каждого типа характеризуются набором параметров, таких как географические координаты объектов, длина и сечение КЛ, запрашиваемая мощность потребителей и прочее.
Исходная энергосеть мегаполиса с подключенной нагрузкой (всеми присоединенными к ней
потребителями) представляет собой направленный граф дисх = (кисх, тисх, Ьисх ), где кисх , писх
Ь - исходные множества узлов энергосети мегаполиса типа Я, Т и Ь соответственно.
к и
являются вершинами графа, элементы множества Ьис
Элементы множества Тисх , соответствуют его дугам.
Совокупность всех подключаемых к энергосети мегаполиса потребителей определяет множество Сподкл.
На элементы электросети наложен ряд ограничений (отсутствие перегрузок подстанций и КЛ, ограничение числа потребителей, подключение которых может быть осуществлено к каждой ТП и т. д.). Множество всех ограничений представлено в виде вектора равенств и
неравенств W(X) > 0, где ^Х) = Щ (Х)' Щ (Х) (Х)), а Щ (Х) - 1-е ограничение.
Определены частные критерии оптимальности развития энергосети мегаполиса
Z(X) = (Х), г2(Х), ■ ■ ■ , г^^ (Х)), где (Х) - г-Ь1й критерий оптимальности.
Формально задача ПРЭ мегаполиса может быть поставлена в следующем виде
Z(X*) = min Z(X) , (i)
XeD
где X* - оптимальные значения компонентов вектора варьируемых параметров; D -итоговое множество допустимых значений этого вектора.
Задача ПРЭ мегаполиса относится к классу задач структурно-параметрического синтеза. Также задача отличается большой размерностью: так, для расчета энергосети района мегаполиса размерность вектора Х может достигать 3000-5000. В случае если каждый элемент вектора может принимать одно из двух возможных значений, число вариантов решения задачи составит
23000 — 25000. Таким образом, решение указанной задачи полным перебором не представляется возможным и требует разработки эффективных приближенных методов ее решения. 2.2. Решение задачи с применением принципов декомпозиции и координации
Метод декомпозиции предполагает разбиение исходной задачи на подзадачи 1 - 3 и задачу координации и предполагает итерационный процесс решения задачи. Деление производится на основании эвристик. Решение подзадачи 1 определяет число и места строительства новых подстанций (ТП и РП); подзадача 2 заключается в определении варианта подключения новых потребителей к энергосети; подзадача 3 определяет итоговую структуру энергосети. Методу соответствует деление вектора варьируемых параметров на три составляющие X = { X1, X2, X3}
Связь между локальными подзадачами определяет вектор координирующих параметров
S = { si, j е [ 1--- |SI ]}, где Sj - i-ый координирующий параметр.
Согласно представленной выше классификации, вектор параметров координации представим в виде двух подвекторов
S = Slim ^ Sst, (2)
Slim о st _
, S - подвекторы параметров лимитирующей и стимулирующей координации
соответственно.
Координирующие параметры Slim включают в систему ограничений подзадач:
^^(X, 81ш ) = { Щ (X, 81ш ) > 0, , е [ 1...] } (3)
Здесь Щ ( X, 81т ) > 0 - г-ое ограничение, наложенное на вектор X посредством введение координирующих параметров.
Вектор ограничений ( X, 811т ) задает область допустимых значений вектора варьируемых параметров ^^ = { X | ^^ ( X, 811т ) > 0 }.
Стимулирующую координацию локальных задач производим при помощи связующих параметров, которые вводим в целевую функцию
2(Х)^ 88*). (4)
С учетом векторов 81ш1, Б8' задача ставится в следующем виде
z(x\s)=mmZ(x,Sst),f) = Vr^Ds. (5)
ХеБ
Схема метода представлена на рисунке 2.
Рис. 2. Схема метода, построенного на принципах декомпозиции и координации
Исходными данными для задачи координации являются векторы X1, X2, X3, полученные в результате решения подзадач 1-3 на различных итерациях. Основными функциями, выполняемыми задачей координации, являются:
1) расчет параметров координации Б ;
2) определение последовательности решения подзадач 1-3;
3) определение момента окончания вычислений.
Задача координации управляет решением задачи воздействием на подзадачу 1 посредством параметров координации § = | ^ , ^, ¡§з | Здесь ^ , ^ - лимитирующие параметры
координации; § - вектор стимулирующих параметров координации:
Sj = min {nRob ) - минимальное число РП, которое должно быть построено; s = min ) - минимальное число ТП, которое должно быть построено;
2 \ нов/
S3 = i е [l..jO|]} - вектор параметров, где Д - величина, характеризующая
«полезность» строительства новой ТП в г'-й точке множества O . Предполагаем следующие алгоритмы расчета коэффициентов Д.. 1) Алгоритм, не учитывающий электрические мощности. Алгоритм задается формулой
: [1- Щ ]'
(6)
Л = «/ Т.Щ, 1) г''
/ ]=0
где ОС - нормировочный коэффициент; £ = _/ е [1' |с|]} ~ текущее множество
неподключенных потребителей; у - длина кабельной линии Ь у; IтаХ - максимально допустимая длина КЛ; ^{¡¡,у ) - вспомогательная функция такая, что
[1, если ¡,.,.< Iтах
Щ, 1) =1 ,
10, иначе;
Z , X
с
Формула (6) имеет следующий смысл. Каждой точке О, ставим в соответствие значение величины А,, обратно пропорциональное числу неподключенных потребителей, расстояние от которых до этой точки, меньше максимально возможной длины КЛ /тах (рисунок 3).
Рис. 3. Геометрическая интерпретация формулы (1): в — неподключенный потребитель:
+ — точка возможного места строительства новой подстанции
2) Алгоритм, учитывающий длины КЛ и электрические мощности потребителей. Для каждого потребителя в этом случае определяем коэффициент полезности
аР +1], I, < /тах, / еГ1-\о\ 1. (8)
8 (х,, у,) = -! г [/тах / 1 , 1 еГ1' 1°1 ()
0, иначе;
Здесь Р - электрическая мощность г-ого потребителя; а - нормировочный коэффициент. Геометрически, множество значений коэффициента 8 (Хj, у) образует конус высотой аР1 с
вершиной в точке (х., у.) и окружностью радиусом /тах в основании. За пределами основания конуса величина 81 (х ■, у ■) равна нулю (рисунок 4).
.....|
Рис. 4. Геометрическая интерпретация коэффициента полезности §.
0 — неподключенный потребитель
Значения коэффициентов Лу определяем по формуле, аналогичной формуле (6). Геометрическая интерпретация данного алгоритма определения коэффициентов Л. представлена на рисунке 5.
Рис. 5. Геометрическая интерпретация формулы (2): О - неподключенный потребитель;
* — точка возможного места строительства новой подстанции
Заключение
В работе рассмотрен метод решения задачи ПРЭ мегаполиса, основанный на применении принципов декомпозиции и координации. Проведенные исследования эффективности разработанного метода показали, что он позволяет получить решение задачи ПРЭ мегаполиса за приемлемое время.
Литература
1. Короткова Т. И. Лекции по теории игр / Т. И. Короткова. М.: Издательство МАИ, 2010. 119 с.
2. Романов В. Н. Системный анализ для инженеров. 2-е издание, дополненное / В. Н. Романов. СПб.: СЗГЗТУ, 2006. 186 с.
3. Тимонин Ю. А. Основы экономической кибернетики: Учебное пособие / Ю. А. Тимонин Житомир: ИПСТ, 2001. 161 с.
4. Карпенко А. П. Математическая модель распределительной городской сети электроснабжения с учетом ее перспективного развития / А. П. Карпенко, И. А. Кузьмина // Наука и образование: электронное научное издание, 2014. № 05. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/709781.html/ (дата обращения: 05.10.2016).
5. Карпенко А. П. Методы решения задачи перспективного развития распределительной городской сети энергоснабжения / А. П. Карпенко, И. А. Кузьмина // Наука и образование: электронное научное издание, 2014. № 10. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/727891.html/ (дата обращения: 05.10.2016).
