CC BY
32
II университета
[ЖУРНАЛ водных /_/ коммуникации
Д. П. Голоскоков,
д-р техн. наук, проф., СПГУВК
ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛИНОМОВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ
USING OF POLINOMIALS OF SPECIAL KIND FOR CALCULATION OF A RECTANGULAR PLATE FLACTUATIONS
В статье дается решение задачи о колебаниях прямоугольной пластины методом Л. В. Канторовича с использованием полиномов специального вида, удовлетворяющих однородным граничным условиям. Приводятся формулы расчета собственных частот для анизотропной и изотропной пластины, лежащей на упругом основании.
The article gives the solving of the problem of a rectangular plate fluctuation by L. V. Kantorovich method with the use ofpolynomials of special kind satisfying homogeneous boundary conditions. Formulas for calculation of internal frequencies for isotropic and non-isotropic plate situated on the elastic bed are given.
Ключевые слова: полином, изгиб, колебания прямоугольной пластины
Key words: polynomial, bend, rectangular plate flactuations
К
ЛАССИЧЕСКАЯ задача об изгибе прямоугольных тонких плит с жестко заделанными краями продолжает привлекать внимание исследователей. Как отмечено в монографии [1], полное решение задачи об изгибе защемленной по контуру прямоугольной плиты с произвольным отношением сторон при действии равномерно распределенной нагрузки впервые в литературе было дано И. Г. Бубновым. Впоследствии эта задача рассматривалась многими отечественными учеными — С. П. Тимошенко, Б. Г. Га-леркиным, П. Ф. Папковичем, Г. А. Гринбергом, Я. С. Уфляндом, Ю. В. Репманом, Я. Л. Лунцем и рядом других исследователей.
Главную трудность в практическом использовании методов, предложенных для ее решения, составляет громоздкость численных расчетов. В монографии [1] на примере задачи об изгибе прямоугольной тонкой плиты, защемленной по двум противоположным кромкам, развивается метод, позволяющий существенно уменьшить объем вычислений и получить простые приближенные формулы для определения основных величин. В настоящей статье этот метод распространяется на динамические задачи теории тонких плит.
Рассмотрим упругое равновесие плоской однородной анизотропной пластинки
постоянной толщины И, имеющей в плане размеры - а < а, - Ь <л < Ь. Введем безразмерные координаты:
Л
xl^ = ±1' у = b' У\= ±L
X = -, а
Предположим, что в общем случае пластина не является ортотропной, но имеет в каждой точке одну плоскость упругой симметрии, параллельную срединной плоскости.
q 1 А / / / / / / / /у/ / * / / '_/ ( x, y
-- ... -- -- - •г • / ■ -- —/? h
* / г 1 г 1 , /'/ А ' / / / рь
/'7-1 А/ 1 / * / г 1 1 V / 1 ' 1 1 ' 1 +1 x / f / Г / / / / /
+1 ________ /
' 7
/ У 1 z
Рис. 1. Пластина постоянной толщины
Примем срединную плоскость недефор-мированной пластины за плоскость ху, ось г направим в сторону ненагруженной внешней плоскости, как показано на рис. 1. Интенсивность внешней нагрузки, действующей на пластину, обозначим , х, у). Эта нагрузка распределена по плоским поверхностям и
00 о-
о
Гш|
нормальна к срединной плоскости в неде формированном ее состоянии. Объемными силами пренебрегаем.
Обозначим через h толщину пластинки, а через w x, у) прогиб срединной плоскости.
Как известно, прогиб срединной плоскости w (^ x, у) пластинки, лежащей на сплошном упругом основании, удовлетворяет уравнению
д 4w 4Р16 а д^ 2 (Д2 + 2Р66) а<2_ д V
&4 Б11 Ь дх Зду Ь2 дх 2ду2
+ 4Б26 а3 д4w + В22 а4 д4w + рка4 д2w + Бп Ь3 дхду3 Бп Ь4 ду4 Бп д12
ka4 a4 , ч
--w _-q (t,x,y)
D D v 7
(1)
где £) и — жесткости изгиба соответственно вокруг осей у и x;
и — побочные жесткости;
16 26 '
D66 — жесткость кручения;
D12 : D22 = V и ^2 : ^1 = V — приведенные коэффициенты Пуассона;
Я = км> — реакция основания в данной точке пластины;
к — коэффициент постели; р — плотность материала пластины. Если пластина ортотропна и направления осей х и у совмещены с главными направлениями упругости, то
ви - д, д6 = в_6 - о , - в_,
D12 + 2 D66 _ Vl D2 + 2 Dk _ v2 A + 2Dk _ D
3
D =
E1h 3 D _ E2h 3 D _ G12h 3 vD2 .... 4'Dk _ 12
1 12 (1 "^2)' 2 12 (1 )'
где D1, D2 и Dk — жесткости изгиба и круче -
ния для главных направлений упругости, или
главные жесткости;
^ Е, Е2 и 012 — модули Юнга и сдвига для
о
Ё? главных направлений.
з
В случае изотропной пластины Е1 = Е2 = И8® Е, V! =У2 =У ,
D _
Eh3
12 (l-v2)'
, G12 _ G _
2 (1 + v)
Задача определения прогибов и напряжений в однородной пластине, изгибаемой
какими-либо усилиями, сводится к интегрированию уравнения (1) при определенных граничных и начальных условиях.
Будем считать, что пластина защемлена по двум противоположным кромкам y = ± 1 и любым способом закреплена по кромкам х = const. Тогда граничные условия на защемленных кромках имеют вид:
dw
w - _0 *
_ 0.
y _±1
В соответствии с методом Л. В. Канторовича приближенное решение уравнения (1) будем искать в форме
го го
W(х , у) - XX Кп к)кт (х)кп (у), (2)
т-0 п-0
где hk (у) — система ортонормированных полиномов, удовлетворяющих однородным условиям вида:
К (±1)-к* (-1)- 0; (3)
Ж тп ( t ) — пока неизвестные функции, определяемые из системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть получена, например, с помощью метода Бубнова-Галеркина.
Отметим, что решение в форме (2) точно удовлетворяет всем граничным условиям на контуре пластины. Подставим выражение (2) в уравнение (1) и выполним процедуру метода Бубнова-Галеркина. В результате получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций Ж ( t ):
1=0 j_0
s и 4Аб a 51Ь „ +—16—m „n,, +
j's hp Д1 b hp j,s
2 D + 2D66),
Д1 i
b,,s5,„D„ a4 ka4
4D26 a bj,sXJi,pD22 , ? ?
+ —26 —n „m,, +——--TV +-5; „5
D11 b
3 i,p j,s D b4 ' D ~''P~j's D11 b D11
+ ^ 5, „5 j
D11 '•„ js dt2
Dqps (t) ' p• s = 0, 1, 2,
D11
Wj +
(4)
где:
m.
i^hs (y )d^ (У )dy,
_VW(y)dy-ns _Jdhd(y)(y)d,,
-1 dy
-1 dy
+ 1 +1
q„,, _ i J q (t >x>y )h„ (x )h, (y )dxdy.
ем:
Отсюда как частный случай получа-
а) для ортотропной пластины
2D а2 Ъ. 5. Д аА
5 т d /.s i, p 2 й-
, Л „ +—а „а,-„ +-J p 1
i=0 j=0
+ — 5. 5 .
D 1 p j
D1 Ъ
2 i, P j,s
D1 Ъ4
ph dW . W. + ^ 5.P 5 j^—-ji. i,j D1 i,p j,s dt2
= "D^P'S ^) 'p's = 1 2' Dj
(5)
n
i=0 j=0
б) для изотропной пластины
2 4 7 4
гг. т a a ka
5jAp + 2ai,Paj,s + j5i,P + D i'P5j'S
W ,. +
D
dt2
phs _ dW j I a4
+ ^5 „5,, —^ ^ = -DqPsS (t) p,s = 0,1, 2, ... (6)
Системы дифференциальных уравнений (4)-(6) в первом приближении можно преобразовать в системы отдельных дифференциальных уравнений, если ввести предположение об ортогональности первых и вторых производных полиномов Нк (у ), т. е. принять
i акк, к _ , _1 Ькк, к _
% 0, к ф 5; * _[ 0, к ф 5; ть _ 0, к ф s; % _ 0, к ф 5;
причем равенства ть = «к5 = 0 выполняются точно при к = 5 в силу нечетности подынтегральной функции на симметричном интервале интегрирования.
В этом случае будем иметь дифференциальное уравнение й а4
^. С), (7)
где через ю2 обозначен квадрат собственной частоты колебаний пластины, причем а) для анизотропной пластины
i bp,pDn + 2 (Dj2 + 2D66)^ alp + Ър,+ ka4
ю"
ph
б) для ортотропной пластины
ю2 =
a2 2
pDj + 2D3 ap, p + bp, pD2 —4 + ka4
ph
в) для изотропной пластины
ю2 =
/
4 Л
v bp, p + 2 Ъ^ ap, p + ^
D + ka4
ph
Решение уравнения (7) легко может быть получено, например, методом вариации произвольных постоянных
Wp,p (t )= C sin (юt)+ C2 cos (юt)+
t
^ sin (юt)J qp p (x)cos ^x)d cos ^t)Jqp p (x)sin ^x)dx
x-
Константы Cj и С2 находятся из началь-
ных условий
W
dW
p>p\t=0
= Wo,
p. p
dt
= v
0
t=0
В частности, если начальные условия нулевые, т. е. = 0 и у0 = 0 , легко видеть
С = °, С2 = 0 и
Wp,P (t) =
t
sin (rot) J qpp (x)cos (rox)dx -
phro
t
- cos ^t)J qp p (x)sin ^x)dx
0
Покажем теперь, как определить систему полиномов hk (y), удовлетворяющих условиям (3). Эти полиномы строятся на основе полиномов Якоби следующим образом [1]. Пусть JПн'^(у) — и-й ненормированный полином Якоби, который определяется по формуле Родрига
y )=<£ (J - y г°+y r dzn [(J - yr (J+yr ].
Через (y) обозначим и-й норми-
рованный с весом p(y )=(1 - y )a (1 + y) , с
a > -1, p>-1 полином Якоби, т. е.
J1 Pia'p)(y)Pa'P)(y)p(у)dy = 5m,„. (8) <03
-1
Связь между нормированными Pf"(у) и ненормированными J(а(у ) полиномами Якоби устанавливается по формуле
4
0
4
Na .f>) = [(2и + а + Р + 1)Г(и + 1)Г(и + а + Р +1)
и [ 2а+Р+1 Г (и + а + 1)г(и + Р +1)
где Г ( х ) — гамма-функция, или Эйлеров интеграл второго рода [2].
Если а = в, т. е. р (у) = (1 - у2) , то полиномы с этим весом называются ультрасферическими. Частными случаями ультрасферических полиномов при а = р = 0 и а = р = -1/2 являются классические полиномы Лежандра и Чебышева соответственно.
Построим систему полиномов, удовлетворяющих однородным условиям (3). Обозначим через |/г((а' ^ (у)| систему ортонорми-рованных полиномов с весом р(у )а(у), где а (у ) пока неизвестно
+/ ¿:*\у)Н^\у)р(у)а(уУу = 6_ (9) -1
Из формул (8) и (9) непосредственно следует соотношение 1
¿яМ)(у) = [а(у)Р РМ)(У) , (10)
устанавливающее связь между Р(' ^ (у) и
^ ,р)(у). "
Очевидно, если принять [а (у2 = = (1 — у2), то в соответствии с (10) полиномы
,р)(у )=(1—у2) Р„(а,р)(у) будут удовлетворять требованиям (3).
В нашем случае в качестве полиномов Нк (у ) выбираем ультрасферические полиномы Лк(4'4)(у) как «наилучшие». «Наилучшей системой» полиномов является та система, которая имеет наименьшие отклонения от ортогональности для своих первых и вторых производных [1].
В заключение приведем несколько первых полиномов, удовлетворяющих условиям (3):
■ (4;4)Л.ч 375^7 "
С4)( 7 )_
16
(1 - 72 )
,(4;4)( 7 )= 3V3 • 5-П 1 w 16
7 (1 - 72 )2;
Г>(7)= ^(1172 -1)(1 -72)
32
ГЧ7) = 7 (1372 - 3)(1 - 72 )2;
32
hf4)(7)= ЦР7(6574 -2672 +1)(1 -72);
128
t;4)( )_ W5• 7 1113-19
h(4;4)( 7 )_-
128
7(1774 -1072 +1)(1-72)2-
Список литературы
1. Голоскоков Д. П., Голоскоков П. Г. Метод полиномов в задачах теории тонких плит. — СПб.: СПГУВК, 2008. — 254 с.
2. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: учебник для вузов. — СПб.: Питер, 2004. — 539 с.
