ПРИМЕНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭВРИСТИЧЕСКИХ ПРИЁМОВ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ В 5-6 КЛАССАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Bogatyreva I.

ПРИМЕНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭВРИСТИЧЕСКИХ ПРИЁМОВ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ В 5-6 КЛАССАХ

И.Н. Богатырёва, Черкасская специализированная школа № 17,

г.Черкассы, УКРАИНА

У статт1 розглянуто змгст окремих евристичних прийом1в, як можна застосовувати у розв 'язуванн текстовых задач з курсу математики 5-6 клаав. Наведено приклади в1дпов1дних задач.

Реализация развивающей функции обучения математике предполагает использование широкого комплекса средств обучения. Среди них особое место занимают системы задач, направленных на формирование у школьников приёмов мыслительной деятельности. К таким приемам относятся анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, классификация, систематизация, установление и использование аналогий и др. Нередко названные мыслительные приемы связывают с эвристиками, с эвристическими приемами решения задач.

Особенности различных эвристических приемов решения задач рассматривались в работах Александрова Е.А., Бевза Г.П., Колягина Ю.М., Кулютки-на Ю.Н., Пойа Д., Паланта Ю.А., Ска-фы Е.И., Слепкань З.И., Хуторского А.В., Цукарь А.Я. и др. Целью применения эвристических приёмов является генерирование идей [5]. Знание эвристических приёмов и умение использовать их позволяет учащимся выдвигать, разрабатывать и проверять различные идеи, переключаться с одной идеи на другие, что даёт в результате возможность найти наибольшее число решений данной задачи, сравнить их и выбрать наиболее приемлемое. Таким образом, в процессе решения одной задачи может происходить формирование у школьников теоретического мышления [1], а значит, и их развитие.

Е.И. Скафа установила [7], что учащиеся, овладевшие эвристическими прие-

мами на базе одних задач, могут более или менее сознательно переносить их и на другие задачи. Для решения таких, новых для учащихся задач важны умения формулировать промежуточные задачи, ставить вопросы к ним, вводить дополнительные элементы, выполнять вспомогательные построения. Соответствующие приёмы позволяют направлять мысль, помогают найти решение, способствуют развитию мышления.

Цель данной статьи - рассмотреть особенности развивающих заданий по математике для 5-6 классов, предполагающих использование некоторых эвристических приемов. Это - приемы сравнения, перебора и получения следствий, метод "проб и ошибок", инверсия, принцип Дирихле.

Сравнение. Использование этого приёма основано на сравнении понятий, теорем и их доказательств, структуры задач и методов их решения, алгоритмов и способов учебной работы. В частности, этот прием может использоваться при сравнении разных способов решения текстовой задачи.

При решении текстовых задач в 5-6 классах используют два способа: арифметический (по действиям) и алгебраический (с помощью уравнений). Метод решения текстовых задач с помощью уравнений доступен учащимся, их привлекает более быстрый темп решения задачи, применяемая при решении символика, схематизация решения. В пятом классе

учащиеся решают уравнения на основе зависимости результатов арифметических действий от компонентов, причём неизвестное содержится только в одной его части. В шестом классе рассматриваются свойства числовых равенств, что позволяет переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, и тем самым решать уравнения, в которых неизвестное содержится в обеих частях. Решение текстовых задач с помощью уравнений рассматривают в конце курса математики шестого класса.

К сожалению, после того, как учащимися освоен способ решения задач с помощью уравнений, как правило, решение задачи арифметическим способом не рассматривается. С нашей точки зрения, не следует отказываться от поиска оригинальных решений арифметическим способом, так как использование этого способа требует более глубокого проникновения в суть задачи и, в результате, в большей степени развивает теоретическое мышление учащихся.

В экспериментальном обучении при изучении темы "Решение уравнений" (6 класс) мы предлагаем учащимся решать текстовые задачи и алгебраическим, и арифметическим способами. Рассмотрим пример.

Задача 1 [2]. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем было во второй. Сколько было тетрадей в каждой пачке?

Алгебраический способ. Анализ условия задачи для учащихся шестого класса целесообразно начинать с выделения основных частей условия, затем производить запись выражений, соответствующих каждой части условия. В этой задаче можно выделить три части условия.

1-е условие: всего 30 тетрадей. Тогда можно записать:

I х

II 30 - х

2-е условие: из первой пачки переложили во вторую 2 тетради. Получаем:

I х - 2

II 30 - х + 2

3-е условие: в первой пачке тетрадей станет в 2 раза больше. Можем записать:

I х - 2

II (30 - х + 2)-2

или

I (х - 2)-1

' 2

II 30 - х + 2

После проведенного анализа задачи учащиеся составляют уравнение х - 2 = (30 - х + 2) - 2 или

(х - 2) -1 = 30 - х + 2 и решают его. 2

Заметим, что первые два условия служат для записи выражений, а третье дает основания для составления уравнения.

Арифметический способ. Следует отметить, что решение задачи этим способом требует более глубокого анализа условия. В ходе решения учащиеся используют те же три условия, но рассуждения проводят иначе.

1-е условие: в первой пачке тетрадей станет в 2 раза больше. Тогда: I 2 | части

П

часть

1) 2 + 1 = 3 (части) - всего

2-е условие: всего 30 тетрадей. Следовательно:

3 части 30 тетрадей

2) 30 : 3 = 10 (тетрадей) -1 часть

3) 10 • 2 = 20 (тетрадей) - 2 части

3-е условие: из первой пачки переложили во вторую 2 тетради. Значит можем записать:

I взяли 2 тетради

II добавили 2 тетради

4) 20 + 2 = 22 (тетради) - в I пачке

5) 10 - 2 = 8 (тетрадей) - во II пачке

После решения данной задачи необходимо предложить учащимся сопоставить арифметический и алгебраический спосо-

© Bogatyreva I.

бы решения; проанализировать, какой способ легче.

Следует отметить, что решение задачи алгебраическим способом рассматривают, начиная с шестого класса, а арифметическим способом можно решить эту задачу уже в пятом классе. В девятом же классе эту задачу решают с помощью системы уравнений.

Таким образом, при решении одной задачи несколькими способами мы увеличиваем ее развивающую функцию, так как в процессе решения учащиеся выявляют связи между элементами условий и требований, анализируют их, находят различные способы решения, выявляют более рациональный способ, учатся рассуждать, делать умозаключения и обобщения. Добиться усиления развивающей функции задачи, в рамках выбранного способа решения, можно используя такие эвристические приемы, как частичное изменение условия данной задачи, рассмотрение ее частных или предельных случаев, постановка дополнительных вопросов и т.д.

Отметим также, что возвращение к задаче, уже решенной ранее, позволяет сконцентрировать усилия учеников на новом способе решения, не распылять их энергию, более эффективно провести сравнение двух способов решения задачи.

Приём перебора. Суть этого эвристического приёма заключается в проведении разбора и анализа всех случаев, которые возможны в ситуациях, описанных в задаче. Если рассматриваются все возможные случаи, то говорят о полном переборе, а если только их часть, то о сокращенном переборе. Такой приём можно использовать при решении, например, следующей задачи.

Задача 2. (Аль-Хорезми, Средняя Азия, около 780 г. - 850 г.). Разложите число 10 на 2 слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Приём получения следствий. Этот эвристический приём состоит в том, что раскрытие содержания исходных данных дает возможность получить некоторые выводы, а из полученных результатов -

новые выводы и т.д. Нередко таким способом удаётся найти решение данной задачи. Вот пример такой задачи.

Задача 3. Сколько всего прапрабабушек и прапрадедушек было у всех ваших прапрабабушек и прапрадедушек?

Метод «проб и ошибок». Этот эвристический приём используется в тех случаях, когда у решающего нет более конструктивных идей. Многократные пробы и ошибки, различные варианты решений и неудачно выбранные действия, как правило, позволяют найти верное решение. Примером такой задачи может послужить следующая задача.

Задача 4 [3]. Выполнив домашнее задание, Петя спешил на футбол и, как всегда в таких случаях, делал ошибки. Вместо того чтобы число возвести в квадрат, он его удвоил и в результате получил двузначное число, записанное теми же цифрами, что и искомый квадрат, только в обратном порядке. Какой правильный ответ должен был получить Петя?

Инверсия. Суть этого эвристического приёма заключается в перестановке или расположении членов выражения в особом порядке, когда в результате получаем выражение, тождественно равное данному, но более удобное для выполнения последующих преобразований. Приведем такой пример.

Задача 5 [5]. Рассказывают, что в начальной школе, где учился мальчик Карл Гаусс, ставший потом знаменитым математиком, учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал детям такое задание -вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Но маленький Гаусс это задание моментально выполнил. Попробуй и ты быстро выполнить это задание.

Принцип Дирихле. Приём основан на установлении соответствия между элементами двух множеств, согласно которому в совокупности из п множеств, содержащих более п элементов, есть хотя бы одно множество, содержащие не менее двух элементов. Этот приём можно использовать при решении такой задачи.

<g)

Задача 6 [4]. В магазин привезли 34 ящика с яблоками трех сортов, причём в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 12 ящиков с яблоками одного сорта?

Наш опыт показывает, что при решении задач, приведенных в материалах статьи и аналогичных им, учащиеся 5-6 классов достаточно быстро научаются использовать соответствующие эвристические приёмы, осознанно переносят их на другие, более сложные задачи. Овладевая общими приёмами поиска нестандартного решения задачи, осваивая умения комбинировать ранее известные способы, анализировать и сопоставлять различные варианты решения, школьники более интенсивно продвигаются в обучении.

Дальнейшего исследования требует проблема создания системы задач, посильных всем учащимся, независимо от уровня их математической подготовки, в решении которых могли бы использоваться другие эвристические приёмы. К таким приемам мы относим: прием исключения лишнего, классифи-

кации, разбиения "целого на части", выделения подзадач, составления задач и др.

1. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. - М.: ИНТОР, 1996. - 544 с.

2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 1. - М.: "Баласс", "С-инфо", 2003. - 112 с.

3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 2. - М.: "Баласс", "С-инфо", 2003. - 128 с.

4. Зубелевич Г.И. Занятия математического кружка в 4 классе: Пособие для учителей. - М., Просвещение, 1980. - 79 с.

5. Лосева Н., Скафа Е. Разнообразие моделей организации и проведения практических занятий по математическим курсам. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2005. - 120 с.

6. Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики: Пособие для учителя / Т.Н. Миракова. - Львов: "Квантор", 1991. - 96 с.

7. Скафа Е.И. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология. Монография. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2004. - 439 с.

Резюме. Богатырёва И.Н. ПРИМЕНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭВРИСТИЧЕСКИХ ПРИЁМОВ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ В 5-6 КЛАССАХ. В статье рассмотрено содержание некоторых эвристических приемов, которые можно использовать при решении текстовых задач с курса математики 5-6 классов. Приведены примеры соответствующих задач.

¡Summary. Bogatyreva I. IMPLEMENTATION OF SOME HEURISTIC METHODS IN PROBLEM SOLVING IN 5-6 GRADES. The context, looking at in the article, deals with the heuristic methods which can be applied in solving the problems in 5-6 classes. The examples of the corresponding tasks are given also.

Надшшла до редакцп 17.11.2005р.