CC BY
63
Финансовая аналитика: Financial Analytics:
проблемы и решения 24 (2016) 30-41 Science and Experience
ISSN 2311-8768 (Online) Математический анализ и моделирование в экономике
ISSN 2073-4484 (Print)
ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ЗАДАНИЯ ЦЕНЫ АКЦИИ В АГЕНТООРИЕНТИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ФИНАНСОВОГО РЫНКА
Александр Ильич ЛИС
аспирант департамента прикладной экономики,
Национальный исследовательский университет - Высшая школа экономики,
Москва, Российская Федерация
История статьи:
Принята 20.05.2016 Принята в доработанном виде 02.06.2016 Одобрена 15.06.2016
УДК 517.336 JEL: С14, G13
Ключевые слова: риск-менеджмент, нечеткие числа, хеджирование, портфель, модель
Аннотация
Предмет. Рассматриваются модели финансовых рынков. В этих моделях прогноз цены акции определяется взаимодействием инвесторов, так называемые агентоориентированные модели. В зависимости от применяемой стратегии принятия решений выделяется несколько групп инвесторов. При этом каждый инвестор может иметь различное отношение к риску вне зависимости от группы. В статье предложена модификация ориентированной на агента модели, где неопределенность, связанная с индивидуальным отношением инвесторов к риску, моделируется с помощью нечетких чисел.
Цели и задачи. Построить ориентированную на агента модель финансового рынка, описывающую взаимодействие инвесторов, использующих различные подходы для принятия решения о покупке акций, используя при этом методы теории нечетких чисел. Провести моделирование цены акции в случае, когда каждый инвестор имеет уникальное отношение к риску. Исследовать влияние баланса типов инвесторов и возможности хеджирования портфеля на динамику цены акции.
Методология. В работе рассматривается агентоориентированная модель финансового рынка, где динамика цены актива определяется действиями большого количества инвесторов. Каждый инвестор формирует свой портфель, руководствуясь моделью Блэка - Литтермана, и может использовать хеджирование портфеля для риск-менеджмента. Нечеткие числа использованы для моделирования неопределенности таких параметров, как цена акции, безрисковая ставка и склонность инвестора к риску.
Результаты. Построена модель финансового рынка, которая позволяет спрогнозировать динамику акции и оценить уровень неопределенности прогноза. Рассчитана стоимость хеджирования портфеля при нечетких входных данных. Проведен анализ зависимости динамики нечеткой цены акции от соотношения инвесторов и наличия возможности хеджирования портфеля.
Выводы и значимость. Преобладание на финансовом рынке инвесторов, принимающих решения на основании прошлых трендов, может привести к критическому падению цены акции даже при сравнительно небольшом снижении прибыли по акции. Хеджирование портфеля ведет к фиксации цены акции на определенном уровне при резком падении цены акции. Уровень неопределенности прогноза цены акции снижается в случае, когда прогнозируется резкое падение.
© Издательский дом ФИНАНСЫ и КРЕДИТ, 2016
Введение
При моделировании финансовых рынков часто приходится иметь дело с неопределенными величинами, которые трудно сопоставить с какими-то точными значениями и даже с какими-то вероятностями. Примерами могут служить такие параметры, как безрисковая ставка или прибыль по акции, по которым точные данные бывают недоступны, а также склонность инвестора к риску, которую трудно измерить действительным числом.
Существует ряд работ, в которых для моделирования неопределенности при изучении финансовых рынков были использованы нечеткие числа. Например, в работе [1] было рассмотрено
применение нечетких чисел в задаче выбора оптимального портфеля. В работе [2] рассматривается расчет стоимости европейского опциона при задании цены акции нечетким числом.
Агентоориентированные модели служат для изучения свойств системы в целом на основании взаимодействия входящих в нее объектов. Они применяются во многих областях, включая биологию, физику и социальные науки. В ряде публикаций рассматривается использование агентоориентированной модели для изучения финансовых рынков. Агентами являются инвесторы, взаимодействие которых определяется инвестиционной стратегией и подходом к риску
каждого инвестора. Примером такой работы является [3].
Существует достаточно большое количество работ, посвященных анализу рисков инвестора [4]. В части из них рассматривается оценка рисков каждого инвестора при их взаимодействии [5, 6]. При этом уровень склонности инвестора к риску определялся точным числом или функцией точных чисел.
В статье предложена модификация агентоориентированной модели финансовых рынков с использованием теории нечетких чисел. Применение нечетких чисел для моделирования неопределенности ряда параметров в модели Блэка - Литтермана позволило проанализировать поведение цены акции в случае, когда отношение каждого инвестора к риску индивидуально.
Проведено моделирование цены акции на 100 периодов времени вперед при различном соотношении инвесторов на рынке. Проанализировано влияние состава инвесторов на динамику цены акции. Задание цены акции нечетким числом позволило также изучить изменение неопределенности цены акции с течением времени.
Модель финансового рынка
Рассматривается рынок, на котором действуют М инвесторов и они могут торговать двумя активами: акциями и безрисковыми облигациями. Инвесторы используют различные стратегии. Для каждого типа инвестора стратегия в любой момент времени определяется его функцией полезности.
Единственным рисковым активом на рынке являются акции, владельцам которых в момент времени t полностью выплачивается прибыль ут
компании-эмитента в виде дивидендов. Всего на рынке доступно N одинаковых акций. Прибыль по каждой акции определяется согласно процессу
Уг=у-1 + ег,
где е1 - случайная величина, распределенная по
нормальному закону с нулевым математическим
" 2
ожиданием и дисперсией о .
В исследовании процесс принятия решения инвесторами моделируется согласно подходу модели Блэка - Литтермана, описанному в статье [4]. Существует два типа поведения инвесторов:
— принятие решений на основе фундаментальной стоимости акции;
— и принятие решений на основании прошлых трендов.
Каждый инвестор i в момент времени t вне зависимости от типа поведения определяет долю инвестиций в рисковый актив wlt, сходя из максимизации своей функции полезности f (w't,Pt) . Функция полезности представляет собой ожидаемую доходность инвестиционного портфеля, уменьшенную на величину, зависящую от нежелания инвестора принимать риск:
ко f (wlt,Pt )=wyr (Pt) + (1+wl) rf-ко 2( wt)2,
где Pt - цена акции в момент времени t;
i int,i ( n \ ~
w/t (Pt) - ожидаемая доходность инвестиций в акции;
rf - доходность безрискового актива, долл.;
X - степень неприятия инвестором риска.
Ожидаемая доходность инвестиций в акции для каждого инвестора определяется согласно модели Блэка - Литтермана, описанной в работе [4]. В модели Блэка-Литтермана ожидаемая доходность рассчитывается как взвешенное среднее двух доходностей: известной доходности, определенной на основании уровня риска акций req, и краткосрочной ожидаемой доходности rf+1 .
Величина req рассчитывается исходя из премии к безрисковой доходности, которую инвестор желает получить, принимая во внимание волатильность акции и индивидуальное отношение к риску. Такой подход к оценке доходности акций описывается в работах [7, 8]. Согласно этому подходу req = 2Xo2 + rf.
Прогноз краткосрочной ожидаемой доходности зависит от типа поведения инвестора. Часть инвесторов строят краткосрочный прогноз доходности акций на основании данных компании, акции которой рассматриваются. Второй тип инвесторов принимает решение исходя из прошлых трендов динамики цены акции, экстраполируя их.
Инвесторы, определяющие прогноз цены акции в следующий момент времени Pt+1 , исходя из фундаментальной стоимости, делают прогноз цены на основе прибыли в текущий момент времени yt. В настоящей статье предполагается, что для расчета фундаментальной стоимости используется единая ставка дивидендной доходности 5. Такой подход к моделированию
прогноза цены акции применяется, например, в работе [9]. Тогда ожидаемая цена акции в следующий момент времени может быть рассчитана таким образом:
^ = У
где 5 - целевая дивидендная доходность.
Предполагается, что дивидендная доходность выше, чем безрисковая. При расчетах в рамках данного исследования дивидендная доходность 5 принимается на уровне 10%.
Для инвесторов, определяющих прогноз цены акции на основе фундаментальной стоимости, используется одношаговая модель расчета фундаментальной прибыли. Предполагается, что прибыль не будет меняться с течением времени. Поэтому прогноз прибыли у^ 1 для данного типа инвесторов будет иметь следующий вид:
ylv
'-yt
Инвесторы, строящие прогноз на основе трендов,
рассчитывают
pf —±±
Pt+1= 5 ,
yt
pt+1=Pt-i
1+-
Pt
Pt
yf+i= y-1
1+-
pt
pt
J-i
1 (p t )=
Pf+1+ y pt
-1
(1 + et),
где 1 - номер инвестора.
На основе краткосрочной ожидаемой доходности
J,i
и доходности r
/_1 , рассчитываемой на основе риска и склонности инвестора к риску, может быть определена ожидаемая доходность инвестиций в акции г1"' ' инвесторов.
для каждого типа
Величина г( может быть представлена в виде:
гМ ,г
( Pt ) =
eq — 1 __—2
r 4c О
+ rf+1 ( Pt)
О
—1 —2 —2 c О +О
экстраполируя
исторические значения цены. В данном исследовании экстраполяция строится исходя из значений Р-1 и Р^:
Таким образом, инвесторы могут рассчитать прогноз цены акции в следующий момент времени на основе цены акции в предыдущих периодах и текущей прибыли.
Прогноз прибыли рассчитывается исходя из роста прибыли, равного прогнозируемому увеличению цены акции:
На основе краткосрочных прогнозов цены акции и прибыли может быть построен краткосрочный прогноз доходности для каждого инвестора. В момент времени ' цена акции равна Р', поэтому краткосрочная ожидаемая доходность инвестора в момент времени ' + 1 имеет вид:
где с - параметр, определяющий вес доходности, рассчитанный исходя из уровня риска, в итоговой ожидаемой доходности.
Например, может быть принято с = 0,01, как это сделано в работе [3].
Включение нечетких параметров
Модель Блэка - Литтермана содержит ряд переменных, которые сложно определить однозначно. Неопределенность может быть обусловлена особенностями финансового рынка или разницей между подходами различных инвесторов. В обоих случаях характер неопределенности может не быть вероятностным.
Одним из подходов к моделированию неопределенности является применение теории нечетких чисел. Существует несколько подходов к определению нечетких чисел. В данном исследовании применяется способ задания нечетких чисел, используемый, например, в работе [10]. Понятие нечетко случайной величины дается, например, в работе [11]. Компакт асR2 является нечетким числом, если выполнены следующие условия:
— при ; 1] пересечение а с прямой п = П пусто;
— при 0; 1] пересечение а с прямой п = П имеет вид:
{(&П):*1(П0 < 4 < к2(П1), П = П1>,
где ^1(п) - монотонно неубывающая непрерывная слева функция на отрезке [0;1];
^2(п) - монотонно невозрастающая непрерывная слева функция на отрезке [0; 1].
Пересечение нечеткого числа с прямой вида п = п1 будем называть п-срезом нечеткого числа. Крайние
2
2
точки п-среза нечеткого числа назовем значениями нечеткого числа при уровне достоверности п (рис. 1).
В работе с помощью нечетких чисел моделируется цена акции Pí, безрисковая доходность г/ и степень неприятия инвестором риска X. Изучается способ моделирования динамики цены акции путем анализа взаимодействия различных инвесторов. Также при расчетах учитывается
неопределенность цены акции в отдельно взятый момент времени. В момент г цена акции определяется в результате сделок между инвесторами. При этом цена акции может быть определена в результате многих сделок по различным ценам. Если цена акции задана нечетким числом, то учитывается такая особенность финансового рынка: в любой момент времени нечеткая цена акции Р( кроме результирующего значения цены Рг также позволяет определить, в каких сделках данная цена была получена. Нечеткий подход к моделированию цены акции также применяется, например, в работе [12].
В данном исследовании цена акции в начальный момент времени Р 0 задается нечетким числом. Дальнейшая динамика определяется подходом, описанным в предыдущей главе. При расчетах нечеткое число Р 0 было задано нечетким числом, показанным на рис. 2.
Различные инвесторы по-разному определяют безрисковую доходность для расчета эффективности своих инвестиций. Ряд инвесторов может использовать ставку по доступному ему депозиту, другие инвесторы используют доходности корпоративных или государственных облигаций. Даже в рамках одного инвестиционного инструмента принимаемые ставки для разных инвесторов могут различаться из-за индивидуальных характеристик, таких как доступ к рынкам капитала. Безрисковая доходность, заданная нечетким числом, позволяет учесть различие подходов инвесторов при определении инструмента, доходность которого принимается за безрисковую.
При расчетах в данной работе за безрисковую ставку принималось нечеткое число г ^ с центром в точке 0,05 (рис. 3).
Степень неприятия риска инвестором также определяется индивидуально для каждого инвестора и зависит от целей инвестирования. Более консервативным инвесторам потребуется
большая доходность для того, чтобы инвестиции в рисковый актив увеличили их функцию полезности. При моделировании степени неприятия риска для группы инвесторов нечетким числом X, появляется возможность учесть различный подход инвесторов к риску. При расчетах в данной работе в качестве X использовалось нечеткое число, показанное на рис. 4.
При задании цены акции, безрисковой доходности и степени неприятия риска нечеткими числами, значения функции полезности инвестора и прогнозов доходностей инвестиций в акции также являются нечеткими. При нечетких параметрах, функцию полезности f можно записать следующим образом:
f (w't,Pt)=w\ГГ ( P>( 1-w)af®(- Xa2(wt)2) ,
~ in t, i
где rt - нечеткая прогнозная доходность инвестиций в акции.
Результат нечеткой суммы чисел а и b -нечеткое число а ®b - определяется на основе П-срезов слагаемых, а п-срез a ®b имеет вид:
Г r L . aL aR , aR 1 [an + bn;ац+Ьц\ ,
, ~ a L a R a La R
где пары функций an ,an и bn ,bn задают п-срезы нечетких чисел а и b .
Применение хеджирования портфеля
Наряду с двумя типами инвесторов, рассмотренных выше, рассмотрим тип инвесторов, которые применяют инструменты риск-менеджмента. Данный тип инвесторов определяет прогноз доходности инвестиций в акции исходя из фундаментальных показателей, однако применяет инструмент хеджирования портфеля при инвестициях.
Существует множество подходов к оценке риска с использованием различных риск-метрик, например Value-at-Risk и Expected Shortfall, которые используются, в частности, в работах [13-15]. В данной статье хеджирование портфеля является единственным доступным инвесторам инструментом риск-менеджмента. Стоимость хеджирования портфеля - оценка риска инвестора.
Хеджирование портфеля также рассматривается в работах [16-18]. Оно позволяет инвестору зафиксировать уровень K, ниже которого не может упасть стоимость его активов к моменту времени Т. В начальный момент времени инвестор
совершает фиксированный платеж, и если стоимость его портфеля до момента Т ниже значения К, инвестору будет компенсирована разница. По сути, хеджирование портфеля эквивалентно покупке европейского опциона пут с моментом исполнения Т и страйком К. Согласно формуле Блэка - Шоулза стоимость такого опциона в момент времени г будет равна
р {Р,г,К,гп о, 6)=Ке—Г/ {т-г) N (—d ) -
-Pe
-8(T -1)
N (-d 1)
где
ln
d1 =
x /
+(rf-6+^2)(T-t)
a
V t-t
d 2=d 1—о V Т — г,
где Р - цена акции;
5 - дивидендная доходность;
Щ(х) - функция распределения стандартной нормальной случайной величины.
Так как параметры Р и / заданы нечеткими
числами, стоимость опциона также будет являться нечетким числом. Существует много работ, где анализируется расчет стоимости опционов при нечетких параметрах, например работы [19, 20]. Мы под нечеткой стоимостью опциона пут понимаем нечеткое число, п-срезы которого задаются в виде:
p (P,t,K,rf, a, 6)n=inf p( P ,t, K ,rf, a, 6);
p (P,t,K,rf, a, 6)R=sup p (P,t,K,rf, a, 6),
где inf и sup берутся по двухмерному параллелепипеду:
P P n ; P R ] ,r f r fn ; r f rj •
Инвесторы, применяющие данный инструмент риск-менеджмента, инвестируют часть портфеля в покупку опционов, таким образом ограничивая максимальный уровень убытка. В работе исследуется изменение динамики цены акции при использовании хеджирования портфеля значительным количеством инвесторов на рынке.
Результаты расчетов
Далее приведены результаты моделирования цены акции при различном соотношении типов
инвесторов на рынке. Проанализированы различия динамики расчетной цены актива и теоретической (равной отношению фактической прибыли и дивидендной доходности).
Во всех расчетах общее количество инвесторов равно 1 000. При этом число инвесторов, принимающих решения на основании фундаментальной стоимости, число инвесторов, принимающих решения на основании прошлых трендов, и число инвесторов, проводящих хеджирование портфеля, в каждом расчете разное.
Сначала рассмотрим модель, где количество инвесторов, принимающих решение на основе фундаментальной стоимости, составляет 500, и количество инвесторов, принимающих решение на основании прошлых трендов, - 500. В данном расчете отсутствуют инвесторы, имеющие возможность применить хеджирование портфеля (рис. 5).
Характер изменения цены акции повторяет динамику теоретической цены акции. При этом уровень неопределенности не меняется значительно с течением времени.
Рассмотрим случай, когда число инвесторов, прогнозирующих доходность акций на основе трендов, значительно больше, чем число инвесторов, строящих прогноз на основе фундаментальной стоимости акций. Количество инвесторов каждого типа принимается за 900 и 100 соответственно (рис. 6).
В этом случае при значительном падении прибыли инвесторы резко снижают оценку доходности акций, что приводит к критическому снижению цены. Неопределенность также быстро уменьшается при падении стоимости акции. При уменьшении центрального значения цены акции, также снижается разница между крайними точками нечеткой цены акции.
Теперь добавим третий тип инвесторов, которые могут осуществить хеджирование портфеля. Приведем расчет динамики акции для 333 инвесторов, строящих прогноз по тренду, 333 инвесторов, оценивающих доходность исходя из фундаментальной стоимости, и 334 инвесторов с возможностью хеджирования портфеля. Минимальный уровень цены акции гарантированный хеджированием, равен 50 (рис. 7).
В данном случае при падении прибыли также происходит резкое падение цены акции, однако
падение стабилизируется на уровне, соответствующем уровню К. Также происходит существенное снижение расстояния между крайними точками нечеткой цены акции, что может быть интерпретировано как снижение уровня неопределенности.
Заключение
В настоящее время существует несколько способов анализа рынка с использованием агентоориентированных моделей, а также подходов к риск-менеджменту при составлении инвестиционного портфеля. При этом во многих работах одна или несколько входных переменных характеризуют настроения инвесторов или их предрасположенность.
В данной работе предложен модифицированный метод оценки риска в агентоориентированной модели финансовых рынков. Модификация заключается в применении нечетких чисел для передачи некоторых параметров, что увеличивает гибкость этой модели, а также позволяет уйти от предположения о полной идентичности инвесторов.
Полученные результаты позволяют сделать вывод, что динамика цены акции менее стабильна при преобладании на рынке инвесторов, действующих только на основании прошлых трендов. Также изучен эффект применения хеджирования портфеля при инвестировании в акции. При аллокации части средств инвесторов в хеджирование портфеля динамика цены акции демонстрирует большую стабильность при негативном изменении прибыли компании-эмитента.
Наблюдения, справедливые для центрального значения моделируемой цены акции, также были
получены при изучении динамики цены акции в работе [5]: преобладание инвесторов, принимающих решения на основании прошлых трендов, приводит к критическому падению цены акции. Добавление возможности хеджирования портфеля приводит к стабилизации цены акции в случае резкого падения.
Применение нечетких чисел позволило кроме анализа динамики цены акции провести изучение неопределенности при расчете цены акции. В работе под неопределенностью понимается расстояние между крайними точками нечеткой цены акции.
При резком падении цены акции также уменьшается неопределенность. При
хеджировании портфеля, при стабилизации цены акции, неопределенность также уменьшается. Снижение ее уровня можно объяснить падением ликвидности акции, так как меньше инвесторов инвестирует средства в рисковые активы.
Модель, используемая в работе, является расширенной моделью Блэка - Литтермана с использованием нечетких чисел. В модели учтены различие в отношении к риску у разных инвесторов и разный подход инвесторов к выбору безрисковой доходности. Также с помощью нечеткого задания цены моделируется процесс определения цены акции в результате серии сделок. Таким образом, модель применима в случае, когда в один момент времени может произойти несколько сделок, что возможно характерно для высоколиквидных акций. Моделирование цены акции с применением нечетких чисел позволяет также проанализировать влияние соотношения инвесторов на характер неопределенности цены акции.
Рисунок 2
Нечеткая начальная цена акции
Л
Рисунок 3
Нечеткая безрисковая ставка
Л
0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
Рисунок 5
Динамика цены акции при равном количестве инвесторов, принимающих решения на основании фундаментальной стоимости, и инвесторов, принимающих решения на основании прошлых трендов
Рисунок 6
Динамика цены акции при преобладании инвесторов, принимающих решения на основании прошлых трендов
Рисунок 7
Моделирование цены акции при наличии инвесторов, проводящих хеджирование портфеля 120-1
40
20 "
0 Н I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I t
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 ---- Теоретическая цена акции
- Центральное значение моделируемой цены акции
| | Значение моделируемой цены акции с уровнем достоверности 50 Значение моделируемой цены акции с уровнем достоверности 50
Список литературы
1. Wang S., Zhu S. On Fuzzy Portfolio Selection Problems // Fuzzy Optimization and Decision Making. 2002. Vol. 1. Iss. 4. P. 361-377.
2. Qin Z., Li X. Option Pricing Formula for Fuzzy Financial Market // Journal of Uncertain Systems. 2008. Vol. 2. № 1. P. 17-21.
3. Levy H., Levy M., Solomon S. Microscopic Simulation of Financial Markets: From Investor Behavior to Market Phenomena. Orlando: Academic Press. 2000.
4. Banergee A. Simple Model of Herd Behavior // Quarterly Journal of Economics. 1992. Vol. 107. P. 797-817.
5. Takahashi H., Terano T. Analysis of Micro-Macro Structure of Financial Markets via Agent-based Model: Risk Management and Dynamics of Asset Price // Electronics and Communication in Japan, Part 2: Electronics. 2004. Vol. 87. Iss. 7. P. 38-48.
6. Black F., Litterman R. Global Portfolio Optimization // Financial Analytical Journal. 1992. Vol. 48. Iss. 5. P. 28-43.
7. Sharpe W.F. Integrated Asset Allocation // Financial Analytical Journal. 1987. Vol. 43. Iss. 5. P. 25-32.
8. Sharpe W.F. Asset Allocation: Management Style and Performance Measurement // The Journal of Portfolio Management. 1992. Vol. 18. № 2. P. 7-19.
9. Bazerman M.H., Moore D.A. Judgment in Managerial decision making, 8th Edition // New York: Wiley. 2012.288 p.
10. Шведов А.С. О нечетко-случайных величинах. М.: Издательский дом Высшей школы экономики. 2013. 25 с.
11. Puri M.L., Ralescu D.A. Fuzzy Random Variables // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1986. Vol. 114. Iss. 2. P. 409-422.
12. Peng J. A General Stock Model for Fuzzy Markets // Journal of Uncertain Systems. 2008. № 4. Vol. 2. P. 248-254.
13. Campbell R., Huisman R., Koedijk K. Optimal Portfolio Selection in a Value-at-Risk Framework // Journal of Banking & Finance. 2001. Vol. 25. Iss. 9. P. 1789-1804.
14. Glasserman P., Heidelberger P., Shahabuddin P. Portfolio Value-at-Risk with Heavy-Tailed Risk Factors // Mathematical Finance. 2002. Vol. 12. Iss. 3. P. 239-269.
15. Acerbi C., Tasche D. Expected Shortfall: A Natural Coherent Alternative to Value at Risk // Economic Notes. 2002. Vol. 31. Iss. 2. P. 379-388.
16. Brennan M.J., Schwartz E.S. Portfolio Insurance and Financial Market Equilibrium // The Journal of Business. 1989. Vol. 62. № 4. P. 455-472.
17. Brennan M.J., Solanki R. Optimal Portfolio Insurance // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1981. Vol. 16. Iss. 3. P. 279-300.
18. Cont R., Tankov P. Constant Proportion Portfolio Insurance in the Presence of Jumps is Asset Prices // Mathematical Finance. 2009. Vol. 19. Iss. 3. P. 379-401.
19. Chrysafis A., Papadopoulos K. On Theoretical Pricing of Options with Fuzzy Estimators // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. Vol. 223. Iss. 2. P. 552-566.
20. Лис А.И. О применении нечетких чисел при оценке опционов // Экономический журнал ВШЭ. 2015. Т. 19. № 2. С. 290-303.
Финансовая аналитика: Financial Analytics:
проблемы и решения 24 (2016) 30-41 Science and Experience
ISSN 2311-8768 (Online) Mathematical Analysis and Modeling in Economics
ISSN 2073-4484 (Print)
THE APPLICATION OF FUZZY NUMBERS TO PRICING OF SHARES AS PART OF THE AGENT-BASED MODEL OF THE FINANCIAL MARKET
Aleksandr I. LIS
Higher School of Economics - National Research University, Moscow, Russian Federation [email protected]
Article history:
Received 20 May 2016 Received in revised form 2 June 2016 Accepted 15 June 2016
JEL classification: C14, G13
Keywords: risk management, fuzzy numbers, hedging, portfolio, model
Abstract
Importance The research investigates models of financial markets and proposes to modify the agent-based model, where uncertainty, due to investors' individual attitude to the risk, is modeled with fuzzy numbers.
Objectives The research pursues making an agent-based model of the financial market, which describes the interaction of investors using various approaches to deciding on the purchase of shares and methods of the fuzzy numbers theory. I also model the share price when each investor has its unique attitude to the risk and examine how the balance of investors' types and possibilities of portfolio hedging influence the dynamics of the share price.
Methods The research reviews the agent-based model of the financial market, where trends in the share price depend on activities of many investors. Each investor forms its own portfolio adhering to the Black-Litterman model and can resort to hedging of the portfolio for risk management purposes. Fuzzy numbers are used to model uncertainty of such indicators as the share price, risk-free rate and investor's susceptibility to the risk.
Results I built a financial market model, which allows forecasting the share trends and evaluate the level of forecast uncertainty. I estimated the cost of portfolio hedging for fuzzy input data and analyzed how trends in the fuzzy price of the share depended on the trade-off between investors and a possibility to hedge the portfolio.
Conclusions and Relevance When the financial market demonstrates the prevailing number of investors that take up decisions on the basis of previous trends, it can result in a critical drop in the share price, even if the share yield insignificantly decreased. Portfolio hedging pegs the share price at the certain level during a slump in the share price. The uncertainty of the projected share price decreases when slumping prices are forecasted.
© Publishing house FINANCE and CREDIT, 2016
References
1. Wang S., Zhu S. On Fuzzy Portfolio Selection Problems. Fuzzy Optimization and Decision Making, 2002, vol. 1, iss. 4, pp. 361-377.
2. Qin Z., Li X. Option Pricing Formula for Fuzzy Financial Market. Journal of Uncertain Systems, 2008, vol. 2, no. 1, pp. 17-21.
3. Levy H., Levy M., Solomon S. Microscopic Simulation of Financial Markets: From Investor Behavior to Market Phenomena. Academic Press, 2000.
4. Banergee A. Simple Model of Herd Behavior. The Quarterly Journal of Economics, 1992, vol. 107, iss. 3, pp. 797-817.
5. Takahashi H., Terano T. Analysis of Micro-Macro Structure of Financial Markets via Agent-Based Model: Risk Management and Dynamics of Asset Price. Electronics and Communication in Japan. Part 2: Electronics, 2004, vol. 87, iss. 7, pp. 38-48.
6. Black F., Litterman R. Global Portfolio Optimization. Financial Analytical Journal, 1992, vol. 48, iss. 5, pp.28-43.
7. Sharpe W.F. Integrated Asset Allocation. Financial Analytical Journal, 1987, vol. 43, iss. 5, pp. 25-32.
8. Sharpe W.F. Asset Allocation: Management Style and Performance Measurement. The Journal of Portfolio Management, 1992, vol. 18, no. 2, pp. 7-19.
9. Bazerman M.H., Moore D.A. Judgment in Managerial Decision Making. New York, John Wiley & Sons, 2012, 288 p.
10. Shvedov A.S. O nechetko-sluchainykh velichinakh [On fuzzy random variables]. Moscow, Higher School of Economics Publ., 2013, 25 p.
11. Puri M.L., Ralescu D.A. Fuzzy Random Variables. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1986, vol. 114, iss. 2, pp. 409-422.
12. Peng J. A General Stock Model for Fuzzy Markets. Journal of Uncertain Systems, 2008, vol. 2, no. 4, pp. 248-254.
13. Campbell R., Huisman R., Koedijk K. Optimal Portfolio Selection in a Value-at-Risk Framework. Journal of Banking & Finance, 2001, vol. 25, iss. 9, pp. 1789-1804.
14. Glasserman P., Heidelberger P., Shahabuddin P. Portfolio Value-at-Risk with Heavy-Tailed Risk Factors.
Mathematical Finance, 2002, vol. 12, iss. 3, pp. 239-269.
15. Acerbi C., Tasche D. Expected Shortfall: A Natural Coherent Alternative to Value at Risk. Economic Notes, 2002, vol. 31, iss. 2, pp. 379-388.
16. Brennan M.J., Schwartz E.S. Portfolio Insurance and Financial Market Equilibrium. The Journal of Business, 1989, vol. 62, iss. 4, pp. 455-472.
17. Brennan M.J., Solanki R. Optimal Portfolio Insurance. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1981, vol. 16, iss. 3, pp. 279-300.
18. Cont R., Tankov P. Constant Proportion Portfolio Insurance in the Presence of Jumps is Asset Prices. Mathematical Finance, 2009, vol. 19, iss. 3, pp. 379-401.
19. Chrysafis A., Papadopoulos K. On Theoretical Pricing of Options with Fuzzy Estimators. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, vol. 223, iss. 2, pp. 552-566.
20. Lis A.I. [On application of fuzzy numbers to evaluate options]. Ekonomicheskii zhurnal VShE = HSE Economic Journal, 2015, vol. 19, no. 2, pp. 290-303. (In Russ.)
