CC BY
46
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИИ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИИ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ январь-февраль 2015 Том 15 № 1 ISSN 2226-1494 http://ntv.ifmo.ru/
SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS January-February 2015 Vol. 15 No 1 ISSN 2226-1494 http://ntv.ifmo.ru/en
УДК 531.011,531.36,531.394,531.391.3
ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ Г.И. Мельников3, С.Е. Иванов3, В.Г. Мельников3, К.С. Малых3
а Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация Адрес для переписки: [email protected] Информация о статье
Поступила в редакцию 19.11.14, принята к печати 18.12.14 doi: 10.17586/2226-1494-2015-15-1-149-154 Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования: Мельников Г.И., Иванов С.Е., Мельников В.Г., Малых К.С. Применение модифицированного метода преобразований к нелинейной динамической системе // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Том 15. № 1. С. 149-154
Аннотация. Рассматривается математическая модель динамической системы с одной степенью свободы, представленная в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными частями в форме многочленов с постоянными и периодическими коэффициентами. Представлен модифицированный метод для исследования автоколебаний нелинейных механических систем. Авторами разработан уточненный метод преобразования и интегрирования уравнения, основанный на методе нормализации Пуанкаре-Дюлака. Уточнение метода заключается в учете нелинейных членов высших порядков методом экономизации Чебышева, что улучшает точность результатов вычислений. Выполняется аппроксимация остаточных членов высших порядков однородными формами меньших порядков, в рассмотренном случае кубическими формами. В качестве примера рассмотрено применение модифицированного метода для уравнения Ван-дер-Поля и получены выражения для амплитуды и фазы автоколебаний в аналитическом виде. Выполнено сравнение решения уравнения Ван-дер-Поля, найденного разработанным методом, с точным решением численным методом Рунге-Кутта. Погрешность решения модифицированным методом в два раза меньше и составляет 1%, что показывает применимость разработанного метода для исследования автоколебаний нелинейных динамических систем с постоянными и периодическими параметрами.
Ключевые слова: автоколебания, нелинейные системы, экономизация Чебышева, метод Пуанкаре-Дюлака.
APPLICATION OF MODIFIED CONVERSION METHOD TO A NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEM G.I. Melnikov3, S.E. Ivanov3, V. G. Melnikov3, K.S. Malykh3
а ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation Corresponding author: [email protected] Article info
Received 19.11.14, accepted 18.12.14 doi: 10.17586/2226-1494-2015-15-1-149-154 Article in Russian
Reference for cit3tion: Melnikov G.I., Ivanov S.E., Melnikov V. G., Malykh K.S. Application of modified conversion method to a nonlinear dynamical system. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2015, vol. 15, no. 1, pp. 149-154 (in Russian)
Abstract. The paper deals with a mathematical model of dynamical system with single degree of freedom, presented in the form of ordinary differential equations with nonlinear parts in the form of polynomials with constant and periodic coefficients. A modified method for the study of self-oscillations of nonlinear mechanical systems is presented. A refined method of transformation and integration of the equation, based on Poincare-Dulac normalization method has been developed. Refinement of the method lies in consideration of higher order nonlinear terms by Chebyshev economization technique that improves the accuracy of the calculations. Approximation of the higher order remainder terms by homogeneous forms of lower orders is performed; in the present case, it is done by cubic forms. An application of the modified method for the Van-der-Pol equation is considered as an example; the expressions for the amplitude and the phase of the oscillations are obtained in an analytical form. The comparison of the solution of the Van-der-Pol equation obtained by the developed method and the exact solution is performed. The error of the solution obtained by the modified method equals to 1%, which shows applicability of the developed method for analysis of self-oscillations of nonlinear dynamic systems with constant and periodic parameters.
Keywords: oscillations, nonlinear systems, Chebyshev economization, method of Poincare-Dulac.
Введение
Математической моделью многих механических систем является система нелинейных динамических уравнений полиномиальной структуры [1]. Исследование нелинейных систем представляет собой сложную актуальную задачу по сравнению с исследованием линейных систем. В современной теории нелинейных динамических систем применяется метод малого параметра [2], метод Ван-дер-Поля, метод усреднения [3], метод гармонического баланса [4], метод возмущений, представленный в работах Пуанкаре и являющийся вариантом метода малого параметра. Метод решения нелинейных задач Крылова-Боголюбова [5] позволяет строить высшие приближения на основании метода усреднения. В методе многочленных преобразований, предложенном в работе Г.И. Мельникова [6], в качестве порождающего решения выбрано решение преобразованных уравнений, которое связано многочленным преобразованием с исходными дифференциальными уравнениями.
В отличие от метода многочленных преобразований [6, 7], в методах Ван-дер-Поля и усреднения рассматривается укороченное уравнение и находится приближенное решение, не учитывающее все слагаемые нелинейного полинома высокой степени. В методе гармонического баланса приближенное решение учитывает только составляющие основной частоты. В методе возмущений и малого параметра приближенное решение ищется в виде степенного ряда с малым параметром, если ряд сходится, и точность существенно зависит от количества поправок к нулевому приближению.
В настоящей работе предложен уточненный метод многочленных преобразований для исследования автоколебаний нелинейных механических систем с одной степенью свободы. Рассматриваемые динамические системы представлены в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными частями в форме многочленов с постоянными и периодическими коэффициентами. Авторами разработан уточненный метод многочленных преобразований, основанный на методе нормализации Пуанкаре-Дюлака [8]. Уточнение метода заключается в учете нелинейных членов высших порядков методом экономизации Чебышева [9], что улучшает точность результатов вычислений. Выполняется аппроксимация остаточных членов высших порядков однородными кубическими формами. Приведем основные этапы модифицированного метода многочленных преобразований и применим метод для уравнения Ван-дер-Поля.
Модифицированный метод многочленных преобразований
Рассмотрим дифференциальное уравнение движения нелинейной автономной механической системы, содержащее однородную кубическую форму [10]:
3
д + 2щ + уд = еР(д, д); Р(д, д) = £ руд¥д3-¥ , (1)
¥ = 0
где а, е - малые положительные константы.
Уравнение приведем к безразмерному виду в квадратной области фазовой плоскости, причем используем отображение прямоугольной области на квадратную область посредством линейного масштабного преобразования независимой переменной:
О = {(д, д): \д\ < г, |д| < г}.
Предполагаем, что корни характеристического уравнения линейной части системы - комплексные с малыми вещественными частями:
Х = -а + /'Р, Х = -а -/'Р; Р = у-а2 .
й
Применяя оператор дифференцирования Б = —, запишем левую часть уравнения (1) в форме
й
(Б - Х)(Б - Х)д = (Б - X) х = (Б - Х)Х, где введены комплексные переменные
х = д - Хд, х = д - Хд ,
или
д = -/'^(Хх - Хх), д = х - х); ^ = 1/2р .
Новые переменные удовлетворяют дифференциальным уравнениям с одинаковыми кубическими формами:
х = Хх + е/(х, х), х = Хх + е/(х, х).
Отметим, что функция выражена в форме
Q = хх = д2 + 2адд + уд2 и удовлетворяет дифференциальному уравнению
Q + 2аQ = 2е(д + ад)Р(д, д); Q + 2аQ = 2е]Г (р¥- + ар„)д¥д4-¥ .
¥=0
Согласно методу Пуанкаре-Дюлака, для уравнения (1) выполняется замена переменных:
3 3
. ^ ^ г V— 3—V — — . ^ ^ —I 3—V—V
У = X + е> «V XX , у = X + е£ «V X X
3—v —V
V
v=0 v=0
Затем можно выполнить нелинейную замену кубических переменных с коэффициентами dv, назначенными из условия упрощений дифференциальных уравнений, с тем, чтобы в преобразованном уравнении остался только один неустранимый кубический моном и малая невязка 5 ':
у = Ку + еа'у2у + 5 ', у = Ку + е«Уу2 + 5 '. Перейдем к показательной форме [11], полагая у = р ехр(10), и = р2.
В силу уравнения (1) получаем систему уе—10 = р + р10 = (—а + /'Р)р — е(а* + гЪ* )р3, р = —ар — еа*р3,0 = в — еЪ*р2.
Получим дифференциальные уравнения для амплитуды и = р2 и фазы 0
и = —2 аи — 2еаи2, (2)
0 = в — еЪи . (3)
В рамках преобразования вещественных переменных получим уравнение (2) и (3) новым способом. Введем вещественную переменную, составленную из однородной квадратичной формы и однородной формы четвертой степени с неопределенными коэффициентами:
4
и = 0 + е V; V = £ ауд*q4—*, 0 = д2 + 2адд + уд2 .
v=0
Для краткости записи в дальнейшем будем опускать знаки суммирования.
Предварительно приведем подобные члены в выражении посредством сдвига в отсчете нелинейных индексов:
V = (4 — V ''+У—'' — 2опа„ ^v д4—' — уу'а^д ^д5^' + еЯ,
V = У + еЯ; и = [(5 — у)ау_х — 2аvаv — у(у +1) ау+1 ]д У—*,
т"» • V—1 4—Уп • V'+V—1 7—V '—V 'к 6—к
Я = vav д д Р = vav р„д д = vav Рк+1—V дд ,
Я = £ Якдк д6—к; Як = а1 р к + 2а2 Рк—1 + 3а3 р к—2 + 4а4 р к—
=0
^ = ау д д4—1' + 2аауд *+1д5—1' + yav д * д6—1' = (а^2 + 2аа^—, + уа^ )дк д6—к,
^ = £ Ядкд6—к; Як = а к—2 + 2аак—, + уа к . (4)
=0
Найдем выражение невязки, учитывая (4), и пренебрегая величинами третьего порядка малости:
и = 0 + еУ, (5)
и «—2аи — 2еаи2, 5 = и + 2аи + 2еаи2. (6)
Нелинейную степенную форму экономизируем по методу Чебышева [12].
Подставим выражение (6) в формулу (5):
5 = 0 + 2а0 + е[К + 2а V + 2а0 ] + 4е2а^ + 2е3аУ2.
Выделим элементы второго порядка малости:
5 = е[2(ру—1 + 2pv )дvд4—'" + (—2ад — уд)д*—'д4—' + 2а V + 2д02] + е% , (7)
^ = 4а0 V + vav д'д4—" р = 4а(д2 + 2адд + уд2)а^ дд4 —+ vav рд ,
^6 = 4а (ак—2 + 2аак—1 + 1ак )д кд6— + +l-vд кд6— . (8)
Представим выражение (8) как
^6 = £ Акдкд6—к , Ак = £ уа^рк+1—„ + 4а(уак + 2аа^—1 + а^—2) .
к=0 \'= 0
Применим экономизацию по Чебышеву [13] в области О = {(д,д): |д| < г,|д| < г} для формы : _ 3
д3 « кд, д3 « д) е О , й = — г2. Выполним аппроксимацию формы :
W6 « W4 = h I A0q4 + Ajqq3 + A2q2q2 + -j A3(q3q + qq3) + A4q2q2 + A5q3q + A6q4
W6 » W4 = У B„qvq4-v; B0 = A0; B, = A, + -A3; B2 = A2 + A4; B3 = A5 + -A3; B4 = A(
(9)
Сделаем подстановку выражения (9) в формулу (7): 5 = e{[2(apv + pv4) - 2avav - y(v +1) av+, + 2 aav + ehBv ]g vg4-v + 2aQ2},
4
Q2 = У cvqvq4-v; Co = у2; Cj = 4aY; C2 = 4a2 + 2y; C3 = 4a; C4 = 1.
(10)
v=0
В соответствии с методом Пуанкаре-Дюлака [14] приравняем выражение в формуле (10) к нулю:
Найдено решение системы уравнений (11). Искомые коэффициенты представлены в следующей
a = (-24a2Y3ehp2p3 - 24a2y3ehp3p4 - 96a2y2ehp0p3 - 72a2Y2ehp2p3 + 48a2Yehp0pj +
24a2Yehpjp2 - 24a2Yehp0p3 - 51aY4ehp^ - 12aY3ehp32 + 30aY3ehpjp3 - 9aY2ehpj2 - 9aY2ehp0p2 + 6aY2ehpjp3 - 18aY2ehp0p4 - 24Y4ehp3p4 - 12Y3ehp2p3 + 12Yizhpxp4 - 24a4ypj + 24a3y2p2 -24a3Yp0 - 18a2y3p3 + 24a2y2pj + 12aY4p4 - 18aY3p2 + 12y4p3)/ (12y3 (2a2 - y)) , aj = (24a2y3ehp2p3 + 24a2y3ehp3p4 + 120a2y2ehp0p3 + 72a2y2ehp2p3 - 48a2Y£hp0p1 -
24a2Yshp1 p2 + 24a2Y£hp0p3 + 51aY4ehp2 + 12aY3ehp2 - 30aY3ehp1 p3 + 9aY2ehpj2 + 9aY2ehp0p2 -6aY2ehp1 p3 + 18aY2ehp0p4 + 24y4ehp3p4 - 12Y3ehp0p3 + 12Y3ehp2p3 - 12y3ehp1 p4 + 24a4yp1 -24a3Y2p2 + 18a2y3p3 - 24a2y2p1 - 12aY4p4 + 18aY3p2 + 12aY2p0 - 12y4p3)/(6y2(y - 2a2)), a2 = (-12a2y2p0 + 6y3p0 - 12a2Yehp^ + 6y2&hpl - 60a3y2p1 + 6aY3pt -
6a2Yehpf + 3y2ehpj2 + 18a2y2ehpj2 + 36a2y3p2 - 6a2Y£hp0p2 + 3y2ehp0p2 + 18a2Y2ehp0p2 + 36a3y3p3 - 24aY4p3 + 8a2Y2ehp1 p3 - 10Y3ehp1 p3 - 48a2Y3ehp1 p3 -6y4ehp1 p3 + 24aY3ehp2p3 - 10a2y3ehp2 + 54a2y4ehp32 + 36a2Y2ehp0p4 + 48aY4ehp3p4 - 24aY3ehp1 p4 + 24Y5ehp32 + 17y4ehp32 - 24a2y4p4)/(6y3(y - 2a2)), a3 = (-36a3Yp0 + 6aY2p0 + 6aYehp^ + 42a2y2pj - 6y3pj + 72a2Y£hp0pj - 12y2ehp0pl + 3aYehpj2 - 9aY2ehpj2 + 36a3Y2p2 - 24aY3p2 + 3aYehp0p2 - 9aY2ehp0p2 + 36a2Y£hpjp2 -6y2ehpjp2 - 18a2Y3p3 + 12y4p3 - 36a2Y£hp0p3 + 6Y2ehp0p3 + 36a3Y2ehpjp3 -36a2Y3ehp2p3 - 36a2Y3ehp3p4 + 144a2Y2ehp0p3 - 108a2Y2ehp2p3 - 27aY4ehp2 + 5aY3ehp2 + 24aY3ehpjp3 - 4aY2ehpjp3 - 18aY2ehp0p4 + 6Y4ehp2p3 - 18Y4ehp3p4 + 24y3ehp0p3 + 6Y3ehp2p3 + 12Y3ehpjp4 + 12aY4p4)/(9Y3(2a2 - y)) , a4 = (-96a2y3ehp32 - 68a2y2ehp32 + 24a2Y2ehpjp3 + 40a2Yehpjp3 - 24a2ehp02 - 12a2ehpj2 -12a2ehp0p2 - 24aY3ehp2p3 - 72aY3ehp3p4 - 96aY2ehp0p3 - 96aY2ehp2p3 + 24aY2ehpjp4 + 48aY£hp0pj + 24aYehpjp2 - 24aYehp0p3 - 51y4ehp32 - 12y3ehp32 + 30Y3ehpjp3 - 9Y2ehpj2 -9y2ehp0p2 + 6Y2ehpjp3 - 18y2ehp0p4 - 24a3Ypj + 24a2y3p4 + 24a2y2p2 - 24a2Yp0 + 6aY3p3 +
24aY2pj -18y3p2)/(36(2a2 - y)y3).
В работе объектом рассмотрения является математическая модель динамической системы в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными частями в форме многочленов с постоянными и периодическими коэффициентами.
Найдены искомые коэффициенты преобразования и получено решение уравнений (2) и (3):
и = a / (e2a' (ea + a / и0) - ea),
e = (ai/a + P)/-blog(e2a'^еи0 +a)-aeи0 )/2a + e0.
2(apv + pv_j) - y(v +1)av+j - 2a(v -1)av + 2acv + ehBv = 0 (v = 0,...,4)
(11)
форме:
Применение модифицированного метода многочленных преобразований.
В качестве примера рассмотрим применение модифицированного метода для уравнения Ван-дер-Поля, представленного в форме (1) q + 2aq + yq = eqq2.
Для уравнения Ван-дер-Поля получены искомые коэффициенты: a = a (-8a3y + 8ay2 + 4a2sh + 3y2eh)/4y3 (2a2 - у),
a = a (-8a3у + 8aY2 + 4a2eh + 3y2eh))2 (2a2 - y),
a2 = (-16a5y + 20a3y2 -2aY3 + 8a4eh + 2a2(3Y-l)Yeh + y2eh)/2Y3 (y-2a2), a3 = (-12a4y + 14a2y2 - 2y3 + 6a3eh - aY(l - 3Y)eh)/ 3y3 (2a2 - y), a4 = (8a3y - 8aY2 - 4a2eh - 3Y2eh)/(24a2 Y3 - 12y4).
Для уравнения Ван-дер-Поля применен модифицированный метод преобразований и получены выражения для амплитуды и фазы автоколебаний в аналитическом виде:
p2 = (y3p2 (0, 5y - a2 )) / (y3 (0, 5y - a2 ) e2at + ep\ea' (2a3Y + 0,75a2e - 2aY2 + 0, 5625y2e) sinh(at)), G = (ab / a + ß)t - b log (aep2 (e2at -1) + ae2at ) /2a + G0 .
При значениях параметров e = 0,6, a = —0,3, y = 1 для уравнения Ван-дер-Поля найдены значения амплитуды и фазы колебаний:
P2 = 3,90625 06t,e = o,i765t + eo.
1 - 0,0234375e -0'6' 0
Выполнено сравнение решения уравнения Ван-дер-Поля, найденного модифицированным методом с точным решением численным методом Рунге-Кутта.
Для уравнения Ван-дер-Поля легко получить оценку погрешности, например, для амплитуды погрешность составляет 1,1788%:
S = 2-У390625 X 1000% = 1,1788%.
2
Погрешность решения модифицированным методом составляет 1%, что показывает применимость предложенного метода для исследования автоколебаний нелинейных механических систем. Оценка погрешности обычного метода многочленных преобразований составляет 2%, что показывает целесообразность модификации метода с применением экономизации Чебышева.
Заключение
В работе рассматривается математическая модель динамической системы с одной степенью свободы, представленная в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными частями в форме многочленов с постоянными и периодическими коэффициентами. В работе представлен модифицированный метод для исследования автоколебаний нелинейных механических систем. Авторами разработан уточненный метод преобразования и интегрирования уравнения, основанный на методе нормализации Пуанкаре-Дюлака. Уточнение метода заключается в учете нелинейных членов высших порядков методом экономизации Чебышева. Выполняется аппроксимация остаточных членов высших порядков однородными формами меньших порядков, в рассмотренном случае - кубическими формами. В качестве примера рассмотрено применение модифицированного метода для уравнения Ван-дер-Поля и получены выражения для амплитуды и фазы автоколебаний в аналитическом виде. Выполнено сравнение решения уравнения Ван-дер-Поля, найденного разработанным методом, с точным решением численным методом Рунге-Кутта. Погрешность решения модифицированным методом составляет 1%, что показывает применимость разработанного метода для исследования автоколебаний нелинейных динамических систем с постоянными и периодическими параметрами.
Литература
1. Blanchard P., Devaney R.L., Hall G.R. Differential Equations. 2nd ed. Brooks Cole, 2011. 864 p.
2. Warminski J., Lenci S., Cartmell M.P., Rega G., Wiercigroch M. Nonlinear Dynamic Phenomena in Mechanics. Berlin: Springer-Verlag, 2012. 276 p.
3. Teschl G. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, 2012. V. 140. 356 p.
4. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. СПб.: Лань, 2010. 400 с.
5. Gesztesy F., Holden H., Michor J., Gerald T. Soliton Equations and their Algebro-Geometric Solutions. Cambridge University Press, 2008. V. 2. 438 p.
6. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975. 198 с.
7. Иванов С.Е., Мельников Г.И. Автономизация нелинейных динамических систем // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2014. № 1 (89). С. 151-156.
8. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб.: Лань, 2011. 304 с.
9. Melnikov V.G. Chebyshev economization in transformations of nonlinear systems with polynomial structure // Proc. 14th WSEAS Int. Conf. on Systems. Corfu Island, Greece, 2010. V. 1. P. 301-303.
10. Мельников В.Г. Многочленные преобразования нелинейных систем управления // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50. № 5. С. 20-25.
11. Мельников В.Г., Мельников Г.И., Иванов С.Е. Компьютерные технологии в механике приборных систем: Учебное пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2006. 127 с.
12. Иванов С.Е. Алгоритмическая реализация метода исследования нелинейных динамических систем // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 4 (80). С. 90-92.
13. Мельников В.Г. Преобразование динамических многочленных систем с применением аппроксимации Чебышева // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 4 (80). С. 85-90.
14. Melnikov V.G. Chebyshev economization in Poincare-Dulac transformations of nonlinear systems // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 2005. V. 63. N 5-7. P. e1351-e1355. doi: 10.1016/j.na.2005.01.080
Мельников Геннадий Иванович
Иванов Сергей Евгеньевич
Мельников Виталий Геннадьевич
Малых Константин Сергеевич
Gennady I. Melnikov Sergei E. Ivanov Vitaly G. Melnikov Konstantin S. Malykh
— доктор физико-математических наук, профессор, профессор, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, [email protected]
— кандидат физико-математических наук, доцент, доцент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, [email protected]
— доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, [email protected]
— аспирант, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, [email protected]
— D.Sc., Professor, Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, [email protected]
— PhD, Associate professor, Associate professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, [email protected]
— D.Sc., Associate professor, Head of Department, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, [email protected]
— postgraduate, ITMO University, Saint Petersburg, Russian Federation, 197101, [email protected]
