CC BY
28
С.Н. Тростянский, Ю.Н. Зенин,
доктор технических наук, доцент, начальник Воронежского института ГПС
Воронежский институт ГПС МЧС России МЧС России
ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ РАЦИОНАЛЬНОГО ПРАВОНАРУШИТЕЛЯ К ОЦЕНКЕ ВЕРОЯТНОСТИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОЖАРОВ В ЖИЛОМ СЕКТОРЕ
APPLICATION OF THE RATIONAL OFFENDER MODEL FOR THE ESTIMATION OF FIRE OCCURRENCE PROBABILITY
IN THE RESIDENTIAL AREA
Оценка вероятности возникновения пожаров в жилом секторе рассматривается на основе математической модели рационального правонарушителя. Рациональность правонарушителя означает, что нарушение требований пожарной безопасности членами домохозяйств происходит только в том случае, если ожидаемая дополнительная полезность от этих нарушений превышает вероятные в случае возникновения пожара в домохозяйствах убытки. На основе анализа математической модели рационального правонарушителя, получена оценка изменения вероятности возникновения пожаров в жилом секторе при изменениях медианного значения логнормального распределения величины убытков от пожаров, а также при изменениях дисперсии нормального распределения логарифма величины убытков от пожаров.
The estimation of the fire occurrence probability in the residential area is considered basing on the mathematical model for the rational offender. Rationality of offender means that violation of the fire safety requirements by the community members occurs only in case when the expected additional usability of these requirements exceeds the probable the losses from the fire occurring in the homesteads. Thus, basing on the analysis of mathematical modelfor the rational offender the estimation in the change of the fire occurrence probability in the residential area was obtained taking place under the changes of the median value in the log-normal distribution of loss values due to the fire occurrence as well as under the changes of the normal distribution variance for logarithm value of the losses due to the fire.
Введение. Результаты комплексного исследования пожарных рисков, представленные в работе [1], на основании статистических данных в Российской Федерации, показывают, что большая часть учтенных пожаров и абсолютное большинство погибших при них людей приходились на здания жилого сектора. При этом основная часть пожаров произошла по вине «человеческого фактора», то есть по причинам, обусловленным социальными факторами [1]. Актуально построение математической модели, описывающей зависимость вероятности возникновения пожаров в жилом секторе от социально-экономических региональных факторов.
Теоретическая модель. Количество пожаров K , возникающих в жилом секторе за единицу времени на определенной территории, определяется суммой количества пожаров, обусловленных социальными факторами Ks, а также количества пожаров Kn,
происходящих по причинам, не зависящим от социальных и, соответственно, от социально-экономических факторов:
К = Кр + Кп. (1)
Под обусловленными социальными факторами понимаются пожары, связанные с нарушениями членами домохозяйств в области пожарной безопасности своих домохозяйств, то есть с совершением действий или бездействий со стороны индивидов, способствующих возможности возникновения пожаров в домохозяйствах. Учитывая, что около 65% пожаров обусловлены социальными факторами [1] и полагая линейную зависимость количества таких пожаров от общего количества домохозяйств, запишем
К. = к • N = к • С • К, (2)
где С — множитель, характеризующий долю домохозяйств с нарушениями требования пожарной безопасности членами домохозяйств; N— общее количество домохозяйств на данной территории; N.— количество домохозяйств с нарушениями требования пожарной безопасности членами домохозяйств; к— зависящий от региональных факторов коэффициент пропорциональности между количеством пожаров в домохозяйствах, обусловленных социальными факторами, и количеством домохозяйств с нарушениями требований пожарной безопасности членами домохозяйств.
Вероятность р возникновения пожаров в домохозяйствах в определенный единичный интервал времени (год) с учетом (1), (2) и статистического определения частоты пожаров можно записать как К К К.
р=^=^Т= Рп + р. = Рп + кС (3)
NN N
где рп — вероятность возникновения пожаров в жилом секторе по причинам, не обусловленным социальными и, соответственно, социально-экономическими факторами; р. — вероятность возникновения пожаров в жилом секторе за счет причин, обусловленных социальными, и соответственно, социально-экономическими факторами.
Так как р. — вероятность возникновения пожаров в домохозяйствах региона по
причинам, обусловленным социальными факторами, связана с нарушениями со стороны членов домохозяйств в области пожарной безопасности, то такие нарушения можно рассматривать как разновидности правонарушений или преступлений в области общественной безопасности. В то же время для анализа вероятности правонарушений и преступлений актуально применение теории рационального правонарушителя Беккера [2]. В данной ситуации рациональность правонарушителя означает, что правонарушение происходит только в том случае, если ожидаемая дополнительная полезность Ь от его совершения превышает возможные в случае пожара убытки и:
(1 - р) • Ь > р • и. (4)
При этом считается, что потенциальный правонарушитель на основе своего либо чужого опыта может оценивать вероятность возникновения пожаров р.
При оценке вероятности нарушений в области пожарной безопасности в жилом секторе на основе гипотезы рационального правонарушителя учитывается, что последний в качестве ожидаемой дополнительной полезности Ь может рассматривать: экономию на расходах по обеспечению пожарной безопасности домохозяйства, экономический эквивалент удовлетворения от курения, употребления алкоголя или других провоцирующих пожарную опасность привычек, а в качестве убытков и:
и = иш + Е • Я22 /102 , (5)
где иш — прямые материальные убытки от пожара в домохозяйстве; Я2г — риск, связанный с вероятностью гибели человека при пожаре в жилом секторе [1]; Е — экономический эквивалент человеческой жизни [3].
Из анализа данных экономической статистики следует, что легальные доходы населения, в том числе доходы собственников домохозяйств, имеют логнормальную плотность распределения [4]. Более того, исследования, проведённые в работе [5] по
материалам российской и зарубежной статистики, показали, что и количество пострадавших, и величина материального ущерба от пожаров и взрывов также корректно описываются логнормальной моделью плотности распределения:
г [1п(и) - Ч т)]2 Л 2а 2
Рт,аи(и) - ПГ__ иехр
V 2яа,, и
(6)
и
где рт а (и) — функция плотности логнормально распределенной случайной величины потерь и домохозяйств от пожаров, т — медианное значение для соответствующего распределения величины потерь домохозяйств от пожаров, аи- дисперсия нормального распределения логарифма величины потерь домохозяйств от пожаров 1п(и) . Применительно к собственникам домохозяйств полагаем, что справедливо логнормальное распределение величины дополнительной полезности Ь, обусловленной несоблюдением требований пожарной безопасности, с медианным значением Я и дисперсией
аЬ нормального распределения 1п( Ь) , вида
р" •(Ь)-72^Ьехр
1 I [1п( Ь) - 1п( Я)]2 Л
2 аЬ
(7)
С учетом (4)—(6) при стационарности социально-экономических факторов множитель С можно определить как
Р?> ¥ Н(“Ь)
р ) ¥ ^ р
С - I Рт,аи(и) I Ря,аЬ(Ь) dЬdu - IР I р^п«,^)^» ё1п(и)ё1п(Ь), (8)
0 0
где р 2)(1п(и)) и р а 2)(1п(Ь)) — функции плотности нормального распределения величин 1п(и) и 1п(Ь) с дисперсиями аи2 и аЬ2.
Для выяснения характера изменения множителя С при изменении величин 1п( т)
ёС ёС ^ ёС
и аи рассмотрим производные-----------и -----. При рассмотрении -------- начнем с рас-
ё1п( т) ёаи ё1п( т)
чета производной:
^(1п(т),аи2)
2(1п(и) - 1п( т)) 1 ...„г (1п( и) - 1п( т))2
- 2 I--- ехр(-
ё1п( т) 2аи л/2лаи 2а и
ёрлтл , ^(1п(и))
- ^дп^а/)4 4 ”
ё1п(и) , тогда с учетом (9) и (8) получим:
(9)
1пГ^')
ёС ¥ ё р
ёС --[р 2 (1п(Ь)) ё [р 2 (1п(и)) ё1п(и)ё1п(Ь) -
] ^(Ь^аи2)4 4 ” ,)1пЛЛ J 'к(1п(т),аЬ2)4 у ” \ ) \ )
ё1п( т) г ё1п(и)
- [р 2 (1п(Ь))р 2 (1п((1 р)Ь) ё1п(Ь) -
- У^Ш^)^2) N(1^^)^и2)4 4 р ’ У ’
ехр
яа„
1п(И—р) ь) - 1п( т) р
2а„
^/2ла
ехр
Ь
[1п(Ь) - п Я)]2 2а2
ё1п(Ь) -
1
1
2
л/2ла,
ехр
1п(Ь) - 1п
тр (1 - р)
2а„
л/2ла.
ехр
[1п(Ь) - 1п(я)]2 2а2
- \ р „1пА)„ .)<1,<Ь))р
««,),„Ь2)(1П(Ь*)ё1П<Ь*.
N^1n<T-5 )Ли2)
Применим к (10) лемму из работы [6]: р 2 (б• у +1 • х)р 2 (у)-р 2 2 2(0)р^т/„ 2л(у),
^т^а^) ^т^а^) ^т2-К'Ш1,а22+я2а! '^(М^2)ч-7 ’ ’
(10)
(11)
где М
2 /1 ч 2 2 2
т1а2 -б(1 • х -т2)а^ 2_ а1 а2
а22 + Б2а12
а
а22 + Б2а12 '
В формуле (10) произведение: р
,, (1п(Ь)р 2 (1п( Ь)) аналогично (11) при под-
М1п(ИЦаи2;Л 4 ЛК(1п(11),аь2Л У У “
1-р
становке:
у- 1п(Ь); 8-1; 1 -0; т 1- 1п(я); т2- 1п^-т^); а1 -аЬ; а2-аи. (12)
1-р
На основании соотношений (10)—(12) получим ёС -- (0) г
ё1п( т) Р^^тт^),аи2 +аь2) .р 1п(я)аи2+1п(г^рр)аЬ2 а 2а 2
(1п(Ь))ё1п(Ь) =
N0-
1-р , а Ьа и )
-Р N(,n,-rÍРт- „,+„2,(0) < °-
(1-р) Я
(13)
Тогда на основе соотношения (3) с учетом независимости рп от социальноэкономических факторов ёр
--1ф
(0)<0
(14)
ё1п( т) ' ^(^),аи2+аь2)
что означает уменьшение вероятности р возникновения пожаров в жилом секторе при увеличении медианного значения т логнормального распределения величины потерь домохозяйств от пожаров.
П ёС
При рассмотрении------- начнем с расчета выражения:
ёа„
2
1
1
2
. 2 (1п(и)) а1п(и) =
¿О -1' м(1п(Ю,Ои Л
и -¥
- !
а ■*
и -¥
(1п(и)—1п( т ))2
а.
р 2 (1п( и)) ё1п(и):
гК(1п(т),а и2)4 4 ” 4 ’
1
а,.
ы О-Е) Ь
ы!1—^ Ь
1 Рн(т«,ла,2)(1п(и)) а1п(и)— 1
(1п(и) - 1п( т))2
а
’«а ,2)(1п(,)) а1п(и)
. (15)
Вычислим отдельно интеграл (1п(и) - 1п( т))2
1п| (^Ь
а
1п| Ь
рК(1п(т),аи2 )(1п(и)) а1п(и) = - 1 (1п( и) - 1п( т)) ¿%п(т),аи2)(1п( и)) =
1п| ■(—Е)ь
- 1п( т)^Р к0пм,о(1п(^Г)ь)) + I р
Р у Р
М(1п(т),аи2)
(1п( и )) ¿1п(и).
(16)
Подставляя (16) в (15), получим
X
1п(^ Ь) - 1п( т)
и V Р
рМп„а ,.)(1п(11-£1ь)). (17)
Тогда:
¿с 1
¿а,.
= -± | Г 1п(^1—р)ь) - 1п( т) а •' А : .
и и -¥ '
р 2 (1п( ——— Ь))р 2 (1п(Ь))ё1п(Ь) =
^К(1п(т),аи2^^ Р /у^К(1п(^),ал 2)4 4 " 4 '
Г] {|п(11-Р£)ь)-^т)^р„(1„^_тр),„-,1<1п(Ь»рн0﹄„-)<1п(Ь))а1п(Ь)'
У 1-Р и
а, ■’ V Р
и -¥ \ Г
(18)
Применив к (18) соотношения (10)—(12), получим
¿С ^(^(ТГ^),°и2+аь2)(0) ¥
¿О,,
а,,
11 Ь) - 1п( т)
1п(Л) о,2 +1п^-тР) Оь2 2 2
(1п( ь))а 1п( ь) =
К(-
аи2 +аь2 аи2+аь2
рК(1п((1 №~ш),аи2 +аь2)( )
(1-Р>Л
-р
О,,
^и2^' ' (О,2 + 0
Ц^-Е)+■
Р
1п( Л)аи2 + 1п( т) - 1п(—) 2 ь
1 Р ]
22 Ои +ОЬ
- 1п( т)
(0)-
о„
22
1п
(1 - Р)Л Рт .
(19)
Из (19) и (3) с учетом независимости Рп от социально-экономических факторов следует, что :
-¿С < о, если (1 - р)'л > Рт; _d— < о, если (1 - р)'л > Рт; ¿а ¿а,.
1
2
2
2
р
> 0 , если (1 - p)h < pm; —— > 0 , если (1 - p)h < pm;
dsu dsu
= о, если (1 - p)h = pm; ■—p = о, если (1 - p)h = pm •
dSu dsu
Распределение логарифма величины легальных доходов (ln(d)) членов домохозяйств в регионе можно представить функцией нормального распределения р s 2)(ln(d)) [4]. При этом логично предположить, что медианное значение m и
дисперсия о u2 распределения величины убытков членов домохозяйств от пожаров увеличиваются или уменьшаются в ту же сторону, что и медианное значение D и диспер-
2
сия od распределения величины легальных доходов членов домохозяйств, вложения от которых аккумулируются в домохозяйствах и могут быть потеряны при пожаре. То-
dp dp
гда можно ожидать, что знаки производных -----------и ------ совпадают, аналогично
dln(D) dln( m)
dp dp
должны совпадать и знаки производных---------и------.
d(Od) d(Ou)
Выводы. Вероятность возникновения пожаров в жилом секторе определяется на основе математической модели рационального правонарушителя. Рациональность правонарушителя означает, что нарушение требований пожарной безопасности членами домохозяйств происходит только в том случае, если ожидаемая дополнительная полезность от этих нарушений превышает вероятные в случае возникновения пожара в домохозяйствах убытки. Для жилого сектора на основе анализа математической модели, показано уменьшение вероятности возникновения пожаров при увеличении медианного значения логнормального распределения величины потерь от пожаров, а также получены зависимости изменения вероятности возникновения пожаров при изменениях дисперсии нормального распределения логарифма величины убытков от пожаров.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пожарные риски. Выпуск 1. Основные понятия / под ред. Н.Н. Брушлинского. — М.: Национальная академия наук пожарной безопасности, 2004. — 47 с.
2. Becker G. Crime and Punishment: An Economic Approach // Journal of Political Economy. — 1968. — №°76. — P. 169—217.
3. Харисов Г.Х., Тетерин И.М. Экономический эквивалент человеческой жизни: монография. Изд. второе, испр. и доп. — М.: Академия ГПС МЧС России, 2008. — 57 с.
4. Суворов А.В. Проблемы анализа дифференциации доходов населения и построения дифференцированного баланса денежных доходов и расходов населения // Проблемы прогнозирования. — 2001. — № 1. — С. 58—74.
5. Акимов В.А., Быков А.А., Щетинин Е.Ю. Введение в статистику экстремальных значений и её приложения: монография. — М.: ФГУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), 2009. — 524 с.
6. Андриенко Ю. В. Экономика преступления: Теоретическое и эмпирическое исследование определяющих факторов преступности (криминометрический подход): дис. ... канд. экон. наук. — М., 2003. — 133 с.
