Применение моделей системного компромисса для анализа и оптимизации производственных систем (на примере стимулирования напряженных производственных заданий) Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.812

Г.И. Алгазин, Н.М. Оскорбин

Применение моделей системного компромисса для анализа и оптимизации производственных систем (на примере стимулирования напряженных производственных заданий)*

В данной работе рассмотрены некоторые аспекты, связанные с применением математических моделей системного компромисса [1] для исследования конфликтов в производственных системах, а именно: конструирование механизмов межуровневого взаимодействия и оценки их эффективности, анализ вариантов эффективных компромиссов, стимулирование информационного обмена, сравнительный анализ решений по моделям межуровневого системного компромисса и теоретико-игровой модели.

При конструировании механизмов межуровневого взаимодействия реализованы в качестве стратегий участников обмен информацией и распределение управляющих переменных. Соответствующие расчеты по предложенным механизмам проведены на модельном примере стимулирования напряженных производственных заданий, в основу которого положена известная по работе [2] модель «стимулирования экономии».

Описание расчетной модели.

Модель стимулирования напряженных планов производства запишем в виде:

^(*о,х)=(1-х0)*-> шах;

*0 6 [0,1} х е [0, г0 • х I Дх0,х)=х0х-<р(х)-> шах;

|р, г0-*]

Здесь *0 - доля прибыли производственной системы (центр-производитель) за сверхплановый выпуск продукции в объеме у — у0,

которая направляется на материальное поощрение производителя (подсистемы). Сверхплановая прибыль - выражением х = р(у — у0 ), а предельно возможная в данных условиях прибыль как X = р(у - у0), где у0 ~ план; у -предельно возможный выпуск; у - фактический выпуск продукции; Г0 - априорный уровень информированности центра о производственных возможностях системы; - ап-

риорный уровень информированности самой подсистемы (г0 <Г° и Т0,Та € [0,1]); <р{х) ~ Фун' кция затрат производителя на сверхплановый выпуск. Далее в расчетах положим [3, 4]

(р(х)=5\ п

1-

тх

5> 0.

Имеем 4*.)= да, Л*-*)“ 0 и

£(г“)= шах 1(г“) = /(*„,*)=<).

В расчетах положим г0 = 0.5,Ги = 0.8, 8 = 20,3с = 100.

Механизмы межуровневого взаимодействия и их оценки. В таблице приведены результаты расчетов по отдельным механизмам взаимодействия участников из спектра Z-вa-риантов моделей с абсолютным приоритетом центра в выборе переменных х, Н-вариантов с элементами децентрализации, ZC- и НС-цен-трализованных вариантов с компенсациями и Б-вариантов моделей, сочетающих централизованный и децентрализованный подходы [1, 5]. Выбор конкретных механизмов, перспективных для поиска компромиссов, можно осуществить, используя результаты по их ранжированию [1, §3.6], а также методические рекомендации, основанные на предложенной параметрической классификации двухуровневых иерархических систем [1, §1.1].

1. Основой г1-вариантов взаимодействия участников с абсолютным приоритетом центра в выборе управления х является следующее модельно-теоретическое описание централизованных механизмов:

0-*о)*

X,

шах;

хп,х

6 [о,1];

х е [0, тх].

Механизм 21/1, применяющий стратегию обмена информацией «центр-среда», использует полную информированность центра и рассчитывается при т — I. Механизм г1/2, в котором предварительно до принятия решения

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 00-06-80228.

Результаты центра и подсистем в модельном примере

Коды Страгеї ии обмена информацией и их коды

моделей (стратегии делегиро- Парамегры моделей центр 4 центр 4 подсистемы центр 4 — подсистемы 4

вания) среда 4 среда подсистемы среда

1 2 3 4 5

г\ Л' 0 0 0 0 0

Ло 100 100 80 50 50

X 100 100 80 50 50

Го - 00 — 00 -32.2 -13.8 -13.8

/

7І *0 0.4 80 0.4 80 0.46 60 0.61 30 0.61 30

X 47.8 47.8 32.4 11.7 11.7

к 0 0 9.2 11.1 11.1

/

ТЗ х0 0.4 80 0.4 80 0.46 60 0.61 30 0.61 30

X 47.8 47.8 32.4 11.7 11.7

Го 0 0 9.2 11.1 11.1

/

Ь2 х„ 0.4 0.4 0.46 0.61 0.61

0 V 60 80 60 60 80

Ь 36.6 47.8 32.4 23.4 31.2

5.6 0 9.2 18.2 16.6

/

ИЗ 0.4 0.4 0.46 0.61 0.61

0 V 60 80 60 60 80

Л 36.6 47.8 32.4 23.4 31.2

Го 5.6 0 9.2 18.2 16.6

Ї

БІ хп 0.4 0.4 0.46 0.61 0.61

0 V 30 50 36.5 47.2 67.2

18 30 19.7 18.4 26.2

Г» 4.8 10 8 16.2 19

/

б2 *0 V 0.45 35.3 0.45 55.3 0.5 40 0.63 48.3 0.63 68.3

Л 19.5 30.6 20 17.9 25.3

^0 7.3 89 9.8 17.4 20.2

/

центр обменивается информацией с подсистемами, а подсистемы со средой, дает такой же результат, что и г1/1. Механизм г1/3 исполь-

яурт р-грятргмю обмой« информацией между

центром и подсистемами и поэтому рассчитывается при т — - 0.8. Механизмы г1/4 (от-

сутствует обмен информацией) и г1/5 (используется стратегия обмена «подсистема-среда») дают одинаковый результат, который находится из решения задачи при Т = Т0 =0.5. В целом очевиден вывод, что в классе -моделей для производителя нет приемлемых вариантов взаимодействия с центром.

В классах Z2- и 23-вариантов моделей центр обеспечивает другим участникам результат не ниже гарантированного, рассчитанного по информации центра и производителя, соответственно. Так как ¿(г0)= /,(г" )= 0, то решения по ЪЧ- и 23-моделям совпадают. Основой 22- и ZЗ-вapиaнтoв является следующая модель

(1 - х0 )х -> шах;

х0 е [од];

х 6 [о.тх];

хп.г-<Лп 1

ZX

>0.

Решения z2/l и z3/l вариантов получены при г = 1. Решения механизмов z2/2 и z3/2 взаимодействия участников совпадают с решениями z2/l и z3/l. Механизмы z2/3 и z3/3 рассчитаны при т -та - р, g В z2/4, z2/5, z3/4 и z3/5 оптимальные решения находятся при г = г0 = 0.5.

2. В классе Н-моделей используются стра-тегии делегирования выбора решений х на нижний уровень с предварительным согласованием целе»4 участников. Формально это означает, что выбор решения производится по целевой фу нкции центра в условиях информированности нижнего уровня. Поэтому, как и в классе Z\ -механизмов, в классе Н1-механиз-мов для производителей отсутствуют приемлемые варианты.

Регления Н2- и НЗ-вариантов находятся на основ,е следующей модели

(l - х0 )х —> шах;

хе[0,

тх ;

х0х-д'\\п

/ \ i-i тх

>0.

В механизмах Ь2/1 и ИЗ/1 используются стратегии обмена информацией «центр-среда» и их решения получены при х0 = Яд и Х — та =0.8. С использованием стратегии обмена «среда-гюдсистемы-центр» связаны механизмы Ь2/2 и ЬЗ/2, решения которых находятся при х0=л:о2/1 и г = 1. Механизмы Ъ2/3 и ЪЗ/З, использующие стратегии обмена «центр-подсистемы», рассчитываются при

хп = х:

.;2/3

И г = г‘

0.8. А при расчете h2/4

.¡2/А

и ИЗ/4 полагаем х0 —Xо"’. Задача для механизмов Ь2/5 и ИЗ/5 с использованием стратегии обмена «подсистемы-среда» имеет место при

г2'4 ,

*0 = *0 и Т = 1.

3. Рассмотрим Э-модели функционирования производственной системы, использующие стратегию делегирования решений х на нижний уровень при условии, что окончательный их выбор производится по целям нижнего уровня. Основой Б1-вариантов является следующая модель

х0х - 61п

1--Ï-

тх

гпах;

х е [0,тх].

В механизме б1/1 используется стратегия обмена информацией «центр-среда» и оптимальные решения находятся из данной задачи при *0 = *о2/1 и Т — Та. В э1/2 используется стратегия обмена информацией « центр-подсистема -среда» и х0 = Хц2/2 , г = 1. ■ Механизм з1/3, использующий стратегию обмена «центр-подсистемы», имеет решения при .г¿,/3=*о2/3 иг = Г°, а в 51/4 отсутствует информаци-

онный обмен, его решения находятся при В б1/5 используется стратегия

= -V,

г2/4

обмена информацией «подсистема-среда» и

,.vl /3

= х

г 2/5

а г =

Особенностью класса механизмов б2, по сравнению с э1, является то, что при выборе своей оптимальной стратегии хО центр рассчитывает поведение подсистем по имеющейся у него информации.

Так, в механизме б2/1 центр до принятия решения обменивается информацией со средой, устраняя собственную неопределенность, и поэтому т — 1. Далее центром решается задача /(*<>>*)-> тэх;

X

хе[0,х] .

xí X ) = х ^

Ее решение: v v Оптимальная

для центра стратегия д-л2/| шения задачи

(1-х0)(х-—)-*0

х0 є [0,1].

находится из ре-

шах;

Хо

Решение: X¿ =J~ “0.45. Из задачи

V х

подсистемы при Z — Xa имеем

= 80-44.7 = 35.3

а- д

и F,

V 2 /1

19.5,/

о

*2/1

7.3.

В механизме э2/2 оба участника принимают решения на основе полной информации

.*2/2

a¡\

их() = . Механизм б2/3 использует стра-

тегию обмена информацией «центр-подсистемы», поэтому информированность центра равна та, а подсистемы остается на прежнем уровне. В б2/4 не используются стратегии обмена информацией, поэтому информированность обоих участников остается прежней. С учетом обмена информацией между подсистемой и средой рассчитываются показатели механизма э2/5, полагая в задаче подсистемы г = 1.

4. В мотивационных механизмах центр компенсирует подсистемам «недополучение» гарантированного результата.

Рассмотрим компенсационный механизм сг2/ 1 для г2/1-модели.

(1-х0)х-с

шах;

X,; ,Х,С

ХЛ е

X є

[ОД];

[0,х];

>0.

Аналитическое решение этой задачи имеет

вид

сг2/1 _ ~

cz2/l

x-S = 80,с +х

,cz2/L.cz2/l

= 8

ln—

Последнее соотношение используется для нахождения оптимальных значений управлений си Х0. В результате получаем целое семейство решений, которые, однако, принципиально не улучшают решения механизма г2/1, так как добавление нового мотивацион-

ного механизма к уже имеющемуся приводит лишь к перераспределению эффектов между ними, не изменяя суммарного эффекта. Аналогичная ситуация имеет место при рассмотрении компенсационных механизмов и для других z2-, z3- и h-моделей.

Анализ вариантов компромиссов. Конкретизируем конфликтную ситуацию. Будем считать, что базисным является состояние системы, полученное на основе расчета по модели z3/4, т.е. при централизованном выборе переменных и , отсутствии обмена информацией между участниками и средой и обеспечении rapa нтироваиного результата для подсистем (рассчитанного по информации самих подсистем).

Как видно по данным таблицы, у центра есть взаимовыгодные с нижним уровнем возможности урегулирования конфликта, основанные на использовании стратегий делегирования нижнему уровню выбора управления х и стратегий обмена информацией, в частности:

1. Основные условия договора содержат следующие моменты: центр применяет стратегию делегирования подсистемам право выбора управления х, осуществляемого подсистемами по редуцированным целям центра. Как и в модели z3/4, интересы подсистем защищены гарантированным результатом. Поиск согласованных решений может быть проведен по моделям Ь2/ 3 или h3/4. Результаты участников повышаются: центра — с 11.7 до 23.4; подсистемы — с 11.1 до 18.2.

2. К условиям предыдущего договора добавляется стратегия обмена информацией нижнего уровня со средой. Тогда для поиска эффективных компромиссов могут быть успешно применены h2/5- и ИЗ/5 -модели. Результаты участников будут выше: центра - 31.2; подсистемы 16.6.

3. Как и в предыдущих случаях, центр использует стратегию делегирования выбора управления х нижнему уровню. Последний этот выбор делает не по редуцированным целям центра, а по своим собственным. Эффективные компромиссы могут быть реализованы по ¿'1/4 ” модели (результат центра повышается с 11.7 до 18.4, нижнего уровня - с 11.1 до 16.2) или 5I/5 ” модели с использованием стратегии обмена информацией со средой (оценка нового результата центра составит 26.2; подсистемы - 19).

4. Центр делегирует выбор управления х, принимая во внимание поведение подсистем по имеющейся у него информации. Нижний уровень свой выбор х делает по собственным целям. Эффективные компромиссы могут быть

реализованы по моделям б2/4 (результат центра повышается до 17.9, подсистемы - 17.4) и б2/5 (результат центра повышается до 25.3, подсистемы - 20.2).

5. Участники могут реализовать последовательный поиск эффективных компромиссов. Например, выбирая путь гЗ/4 - Ъ2/4 (или ЬЗ/4) - б1/5, центр и нижний уровень последовательно будут улучшать свои результаты. Первый - 11.7 - 23.4 - 26.1; второй - 11.1 -18.2 - 19.0. Другие варианты путей: гЗ/4 -б 1/4 - э1/5 (результаты центра — 11.7 — 18.4 — 26.2; подсистемы - 11.1 - 16.2 - 19); гЗ/4 -ЬЗ/5 (центра - 11.7 - 31.2; подсистемы -11.1 - 16.6); гЗ/4 - б1/4 - Ь2/4(ЪЗ/4) (11.7 -18.4 - 23.4; 11.1 - 16.2 - 18.2) и т.д. Сравнительный анализ эффективности компромиссов можно провести по суммарному результату участников. По этому критерию наиболее предпочтительной является /гЗ / 5 -модель при значении критерия, равном 47.8.

6. Возможности поиска эффективных компромиссов могут быть реализованы с использованием механизмов платного делегирования или обмена информацией. Математические и экономические вопросы таких механизмов рассмотрены в [1, §2.2, 2.3]. Для примера приведем вариант поиска компромиссов по модели 23/3 с платным обменом. Предметом соглашения участников в нем является объем и стоимость обменной информации.

В качестве базисного состояния, как прежде, принимаем решения по ¿3/4 “ модели

/'=11.1, =11.7, хса =х‘0у* =0.61.

Так как цели участников несогласованны по х, то для системы с приоритетом целей центра компромиссная стоимость информации обмена определяется из решения следующей задачи

3 = ^V

1-

-> шах;

ха%х

<11.1;

.73/4 и0

хп =х'0 ' =0.61; х є [о,т‘х].

Стратегия платного обмена информацией при несогласованных целях участников и приоритете целей центра позволяет существенно улучшить результат центра (с 11.7 до 21.2) при неизменном результате нижнего уровня (этот результат в общем виде доказан в [1, § 2.2]).

Эффективность такого механизма можно оценить, используя показатель

-Н-4.13.

2.3

V 2.3

Стимулирование информационного обмена. Нижестоящему уровню, имеющему отличные от центра цели и большую информированность, в общем случае невыгодно раскрывать свои возможности. Вместе с тем для таких систем может оказаться эффективной реализация механизмов, которые бы стимулировали не только взаимный обмен информацией, но и заинтересовали нижний уровень в дополнительной информированности центра посредством обмена информацией со средой. Основой для поиска эффективных вариа!Ггов взаимодействий в этом случае может являться модель ^3 / 2 со стратегией обмена информацией «подсистемы-среда».

Полагаем, что, начиная с ^ = , нижний

уровень несет дополнительные затраты, связанные с получением более точной информации. Поэтому введем в рассмотрение функцию затрат подсистемы И(т) на дополнительную информированность со следующими свойствами:

а) к(т)> 0 при т>та\ б) /*(г°)=0; в) И(т) монотонно возрастает по г; г) И(т)—>оо при т —> 1.

Ниже в расчетах будем полагать, что /?(г)

I •

имеет вид

h (т)=у

In

>0

1-т°

Соответствующая теоретико-игровая постановка задачи стимулирования точности информации об объекте управления записывается следующим образом [1, §2.3]:

1. Центр выбирает параметр стимулирования р е [0,1] исходя из максимизации своей функции выигрыша

Мо(р>*) = 0 - pXFo(*)- Fo(*')]+ Fo(та )

2. Участник нижестоящего уровня осуществляет выбор параметра уровня информированности центра т Е [ra,l] исходя из своей целевой функции вида

М(р, т) = p[f0(t)- F0 (т* )]+ [f (т)- f (та )]-- [h(T)_ h(t*)]+ f (х*).

3. Задача стимулирования информационного обмена формально записывается в виде:

м0(р,т)->тах;

м(р,т)> f (та); Р є [0,l];

м

X Е

В качестве базиса возьмем результаты участников, полученные с использованием механизмов платного обмена априорной информацией,

т.е. /(гв)=11.1; /г0(г°)= 21.2. Показано

[1, §2.3, 3.5], что для оптимального решения р9 и х* Должны выполняться равенства:

М(р\г’)=/И ■ _ Кг-)-^(г’)]-[/(г‘)-/(га)].

Р'(т')+Г(х*)=Ь'(т-).

Так как

И'(т) =

» то из последнего ра-

венства, принимая во внимание вид функ-ЦИй/^г) и /(г) для модельного примера, находим

5 _ у _

.2

X -

1-

тх-S 1 -

у -yy-Sy-О,

где у = х( 1 - г)

Полагая / = 2, имеем у = 7.4 и х* = 0.93. Находим показатели механизма стимулирования: /?(г*)= 2.12, и{та)= 0, /(г°)=11.1,

73

/(г* )= 20 • 1.53 - 20 In 1 - —— V ' 1 100

= 4.4,

^0(г“)=21.2, р’ = 0.42;

величину стимулирования -

Р'кИ-.ГоИ]=8.82;

результаты участников: центра -м\р,т)=ЪЪ.5 ; подсистемы -

М(р’,т)=\\.\.

Таким образом, механизм стимулирования информационного обмена дает возможность повысить результат центра с 21.2 до 33.5 по сравнению с платным обменом.

Сравнительный анализ решений. Проведем сравнение решений по рассмотренным выше моделям и теоретико-игровой модели, в которой множество выигрышей игроков определяется от параметра х0 € [ОД] при условии, что

шах;

Хп

нижний уровень максимизирует свой выигрыш при известном значении параметра х0. Данная модель имеет теоретический смысл и показывает возможные исходы без обмена информацией и при традиционном распределении полномочий между участниками в выборе управлений ДГ0. их. При этом для сравнения используются стратегии участников в иерархических играх Tj и Г2 [2], а также механизмы минимаксных стратегий и равновесия по Нэшу.

Соответствующую теоретико-игровая модель запишется в виде [2, 3]

Х0 € [0,1].

f(x0,x)-»max;

х е [о, тах].

Решение игры Г2 находится из условий:

Fo (*0 .*) = (1 - *0 )* -* тах;

х0.х

х0 е [0,1];

х е [0,х0х];

/(дг0,лг) > 0.

Решение игры Г, находится по следующей схеме:

1) центр по своей информации рассчитывает поведение подсистем

/(х0,х)-»тах;

X

хе[0,х0х].

Обозначим решение - x*(jc0,r0);

2) центр находит наилучшую стратегию x*Q из задачи

F0(x0,x'(x0,r0))-nnax;

*0 е[°Л

3) нижний уровень при известном хЦ находит свою оптимальную стратегию X*

/(*„',х)-> шах;

X

х е [о, г°3с]

В нашем примере решением игры Г, будет:

x;=0.63,x’=48.3,Fo(x;,x>

= 17.9, f(xj,x*) = 17.4.