Применение МКЭ для решения связанных задач термоупругости нелинейных материалов, чувствительных к виду напряжённого состояния Текст научной статьи по специальности «Физика»

СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА

УДК 539.384.6

ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕРИАЛОВ, ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ К ВИДУ НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ

М.Ю. Делягин, В.Г. Теличко, А.А.Трещёв

Рассмотрена методика модификации объёмного четырёх узлового конечного элемента в виде тетраэдра для решения связанных задач термоупругости материалов с существенно нелинейными зависимостями свойств от вида напряжённого состояния. Приводятся результаты расчёта сферической оболочки в физически и геометрически нелинейной и линейной постановках.

Ключевые слова: разносопротивляемость, метод конечных элементов, нелинейность, связанность, термоупругость.

Внедрение в практику строительства новых высокоэффективных материалов должно быть подкреплено новыми теоретическими моделями их деформирования. В исследованиях [1, 2, 3] отмечалось, что у графитов, композиционных материалов, керамики, чугунов проявляется зависимость деформационных, прочностных и теплофизических свойств от вида реализуемого в точке напряжённо-деформированного состояния. Матченко Н.М. и Трещёвым А.А. [2] были предложены определяющие соотношения, позволяющие учесть разносопротивляемость изотропных квазилинейных материалов и связанность полей напряжений и температур. Однако, квазилинейные зависимости между напряжениями и деформациями справедливы только на начальных этапах нагружения. При высоких уровнях напряжений, характерных для строительных конструкций, диаграммы деформирования имеют существенно нелинейный вид, что должно учитываться в математической модели. Для учёта усложнённых свойств материалов предлагается построить и применить новую форму термодинамического потенциала Гиббса:

Г=( 4 + Be-£)-( + (Ce + De x + Ee h-cos (+

( Ae + Be-£)-( +( Ce + De ■£ + Ee h- cos(3j))-t0

+

(i)

q2

+ ( — + (( bt1 -X + bt2 )( + bt1 -h-to )-q. T0

DE A

e -^e?

Bp, Cp, Dp, Ep - механические

Здесь Ле, Be, C(

константы потенциала, , ¿^ - константы потенциала, связывающие поля напряжений и температур, Cs - теплоемкость материала при постоянном давлении, X = cos У = s/ Sq, h = sin y = т/ So - гармонические функции, которые трактуются как нормированные нормальные и касательные напряжения на октаэдрической площадке; cos3^ - фазовый инвариант, so = SjjSjjl3 - средние нормальные напряжения; Sy - компоненты тензора напряжений; Sy - символ Кронекера; Sq =\j&o +1 ; /o = ^SySyj3 -октаэдрические касательные напряжения; S^' = sy - SjSq - компоненты

девиатора напряжений, (9 = Т - Tq - изменение температуры от начального ненапряжённого состояния; Т - конечная температура в точке тела; TQ -начальная температура в точке тела в ненапряжённом состоянии.

Система разрешающих уравнений МКЭ для связанной термоупругости в общем виде представляет собой следующее матричное уравнение [4]:

[0] [0]

где

C

tu

C

To

tu

K

ut

Ct T

{T}

к

[ K ]

[0]

ut

K

Kt

\{F}}

IM

(2)

элемент матрицы термоупругого затухания;

K

ut

"Ш [ В] {0} ([С] ) ёх• ёу• ёг - термоупругая составляющая матрицы жесткости; {Ь} = [^]{а}, {а} - столбец коэффициентов линейного

теплового расширения материала по направлениям координатных осей, записанных с учётом зависимости от вида напряженного состояния,

0 0 о! ;

{a} = ÍMSi + 1b ^1(22 + 1b Ы°ЪЪ + 1b

1 ; I 3s 3 t2 3s 3 t2 3s 3 t2

Ct

T

= pjjj Cs{C}{C} dx- dy - dz - элемент матрицы температурного зату-

vol

>

хания; [ C] - матрица интерполяционных функций; Cs - теплоёмкость материала при постоянном давлении, {и} - вектор скоростей изменения перемещений; {T} - вектор скоростей изменения температур, в расчетах для аппроксимации производных по времени будем применять

неявную разностную схему; ; [ K] = j]J [ B] [ D][ B] dx • dy• dz - матрица

vol

жесткости КЭ в виде тетраэдра при механическом нагружении;

[ B] - матрица деформаций, [ D] - матрица упругости;

T

Ж [ Bt] [ Dt][ Bt] dx• dy• dz - элемент матрицы теплопроводности;

vol

T

[ B]t = {4{C}{C}T{T}; {L} 1 333

dx{ 3x2 3x3

вектор оператор;

[ Dt ] =

1 0 0 0 12 0 0 0 13

, 1,12,1 - коэффициенты теплопроводности мате-

риала по направлениям координатных осей;{и] - вектор перемещений;

{Г] - вектор температур; {F] - вектор узловых механических нагрузок;

{ - вектор узловых температурных нагрузок.

Для учёта разносопротивляемости при вычислении матрицы [ К]

используем матрицу упругости, полученную на основании предложенного термодинамического потенциала Гиббса (1):

-1

A

iii

Dijkm

4 Ce + 1 D0 -(l + 3 )•£■

Aijkm

2V6

3 e 3 e

Ee • (a33 + a22)■

-Ee • cos (3j)h3 - Be X3 + ^ (+2 • Ae-&0 + 3- Be-&0 X + Deh + 2-Л- Ee ■ S0 )

2 • V6

3

Yn-1 n и 11

sll

4 C,+3 DP. (1+3 X2 )x

+

Ep • (a33 + a22)■

-Ep • cos (3j)h3 - Bp X3 +

3

sll

— •(2^ Ap S0 + 3^ Bp S0 X + Dp t0 h + 2•^/2• Ep ■ S0)

3

3

3l9

1

A122 - 3

л - 1

Л133 - 3

- з De■ Ee • a22 +

+ 2^ 2 г

+ Ee a33 - 3 Ce

- 3 De + Ee ' a22 ~

-л/б ■ Ee a33 - 2 Ce

- - Dp •Х-^/6 ■ Ep-a22 +

2

3 p

2V6

2

3 Ep a33 - 3 Cp

2n 2VÓ N

-3Dp + Ep' a22 -

Ep a33- 2 Cp

Л rp \/n-1 V6 p , 10>/б 4l12- — ■ Ee ' a12 - YÜ ■n^Ep a12; A1123---— ■ Ee ' a23 -

9

9

Yn-1 n

u

10V6 „ , V6 n-l V6

Ep a23; A1113Ee ' a13 - YÜ ■n^Ep a13;

9

9

A

2222

1+ Х2 1 De-Х-Be-Х3 + 4 Ce +

+Ee

2-n/Ó

л/б ■ an + V6 ■ a22---a33 + cos(3j)h3

h I +

+

s22

— ( 2^ Ae- So + 3- Be-So ■£ + De to h-So ■ Ee- S )

+

Yn-1 n

u

3

r 1 2 А 3 4

1 + Х2|Dp Х-Bp Х + 4Cp +

3

+E

p

VÓ ■ an + JÓ ■

a22

^^ a33 + cos ( 3j) ■rh

+

s22

— (2- Ap s0 + 3 Bp s0 Х + Dp-h^t - ED•S0■^/2 )

A

2233

22 2 De■ Х-2 Ce +

3

2Уб

3

3

Ee a11

Yn-1 n

u

3

У

22

-2Dp Х-2Cp + 3 p 3 p

+ 2^6 „ +—Ep all

5>/б n-1 ^>/6 „ л 5>/б

A2212 Ee ' a12 + Yü n"y Ep a12; A2223 Ee ' a23 +

+Yfn-

5V6

9

Ep ■ a23; A2213

W6

"9"

n-1

4^6

Ee ' a13 - Yu ■Ep a13;

1

3

+

. _ l

4^333 -з

l + Х J De-Х-Be• Х + | Ce +

+Ee

an -a22 + л/б • азз - h3 •cos(3 j) I +

+

S33

—( 2 • Ae• So + 3^ Be So Х + De h to - Ee-So^ )

+

Yn-l n

u

3

a

v 3

+E

2 n е о e3 4 2л/б

•DpХ-Bpx + 3Cp +

/

p

—Оц--a22 + V6033 - h3 •cos(3 j)

+

S— ( 2 • Ap So + 3- Bp So x + Dp h to - Ep • So • V2 )

A33l2

WÓ

9

Ee • al2 - Yu

n-l

n

p

4л/б 9

Ep ■°l2; ^323 - ^Ee ' a23 +

тП_1 5>/б „ . 5>/б „ тП-1 5%/б „

+ Yn n---Ep-a23; A33l3 Ee ' al3 + Yu •n—Ep-°l3;

. _ l Al2l2 -3

9 F 9 с и 9

2 • De-(l + Х )x-2 • Be• Х + 4^ Ce + V6 ^ . .. 0_. Г7 .../<,.-3

+

Yn-l n

u

3

Ee ■(la +О22 - 8033 - л/б cos(3j)h3 )

2• (l + Х)• Dp Х-2• X^ Bp + 4• Cp +

+—Ep ■( lall + 022 - 8033 -Тб •cos ( 3j)h3 )

Al223 - Ee ' al3 + YS l al3; Al2l3 - Ee ' ^ • a23 +

+ Yf l •n^ Ep- V6 О23; A23l3 - Ee-0l2 + Yf ^ n^Ep-Тб^

p

A

2323

2 • Be-Х + 4 • Ce + 2 De (l + Х )Х +

3 el

V6

Ee ■ (-2 • Оц + 022 + Озз - >/6 • cos(3 j) • h3 )

al2;

+

n-l

Yu n

3

-2^ Bp -Х3 + 4 • Cp + 2Dp(l + Х)Х +

V6

Ep ■ (-2 • Оц + 022 + 033 - Vó • cos(3 j) • h3 )

l

3

3

3

43

13

2 ■(? +1)Ое Х-2 • Ве X3 + 4 • Се +

л/6

Ее ■ (7 -«11 - 8- «22 + «33 - >/6 • Л3 ^(3р))

+

Гп-1 •п 1и 11

3

2 • (X2 +1)Х-2^ Вр X3 + 4 • Ср +

76

Ер ■(7 • «11 - 8^ «22 + «33 -^61 ^(3ф))

уа = °о • Ар + °о •£• Вр +*о •Ср + пр о0 1 + ^0) 1 Ер^(3^);

р

р

р

р

аУ = ^¡3• оУ / 50.

"У ^ "У

Прикладная программа для решения задач термоупругости материалов с усложнёнными свойствами была реализована в среде МЛТЬЛВ. Для апробации предложенной математической модели была рассчитана пологая свободно опёртая сферическая оболочка радиусом 6,5 м, радиусом в плане 1 м со стрелой подъёма 0.08 м и толщиной равной 6 см. К оболочке прикладывалась нагрузка в виде равномерно распределённого давления 100 кПа и изменения температуры на её поверхностях. На нижней поверхности температура понижалась на 20 К, на верхней повышалась на 30 К. Свободное опирание моделировалось вертикальными связями в узлах нижней грани торцевых поверхностей оболочки. На рис. 1 представлена четверть рассматриваемой оболочки.

3

Рис. 1. Схема дискретизации

Проводилось сравнение результатов предложенной модели с результатами, полученными на основе квазилинейных определяющих соотношений Н.М. Матченко и А.А. Трещёва и классической термоупругости линейно упругих материалов с осреднёнными термомеханическими характеристиками.

Дополнительно оценивалось влияние на НДС оболочки геометрической нелинейности в виде пошагового расчёта с пересчётом координат узлов на каждом шаге нагружения. Таким образом, рассматривалось пять моделей описания деформирования оболочки. Модель № 1 - расчёт с учётом геометрической нелинейности и существенно нелинейной разносопро-тивляемости; модель № 2 - расчёт с учётом геометрической нелинейности с учётом квазилинейной разносопротивляемости [2]; модель № 3 - геометрически линейный расчёт с учётом существенно нелинейной разносопротивляемости; модель № 4 - геометрически линейный расчёт без учёта раз-носопротивляемости с использованием осреднённых характеристик материала; модель № 5 - расчёт с учётом геометрической нелинейности, но без учёта разносопротивляемости с использованием осреднённых характеристик материала.

В качестве материала применялся изотропный графит АРВ. Константы потенциала, необходимые для расчёта по трём физическим моделям [1, 2], представлены в таблице.

Константы математических моделей

Константы потенциала Нелинейные определяющие соотношения Квазилинейные определяющие соотношения Классическая линейная термоупругость

п 2.1 1 1

Ае, МПа-1 8.448 10-5 1.567 10-4 1.366 10-4

Ве, МПа-1 5.991 ■ 10-5 4.052 10-4 3.87110-4

Се, МПа-1 2.31510-4 8.894 10-5 0

Д, МПа-1 7.425 10-5 1.345 10-4 0

Ее, МПа-1 5.070-10"6 2.940 10-5 0

Ар, МПа(1-2п)/п 1.704 10-3 0 0

Вр, МПа(1-2п)/п 3.488 10-4 0 0

Ср, МПа(1-2п)/п 8.681 ■ 10-4 0 0

В,, МПа(1-2п)/п 8.444 10-4 0 0

Ер, МПа(1-2п)/п 1.752 10-4 0 0

Ьи, 1/К -1.732 10-6 -1.732 10-6 0

Ь*, 1/К 1.510-5 1.510-5 1.5 10-5

На рис. 2 представлено распределение прогибов оболочки вдоль ра-

диуса. Наибольший прогиб оболочки достигается при геометрически нелинейном расчёте с использованием квазилинейных определяющих соотношений для разносопротивляющихся материалов [2]. Влияние нелинейности диаграмм деформирования выявленное сравнением моделей 1 и 2 составило 41%. При сопоставлении моделей 1 и 3 получаем расхождение между геометрически линейным и нелинейным расчётами - 14 %. Уточнение прогиба, вычисленного по предлагаемой геометрически нелинейной модели, по отношению к расчёту по уравнениям классической термоупругости согласно модели 5 составило - 13 %.

—•—Модель 1 Модель 2 -----Модель 3 ——Модель 4 Модель 5

\ ~ \ Ч ^хЛ*-»

.........Ч V \ V ^------------

..................

'--------

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Координата вдоль радиуса, м

Рис. 2. Прогибы оболочки

Для иллюстрации влияния связанности полей напряжений и температур на рис. 3 приведены графики распределения нормальных напряжений по толщине оболочки на опоре. Для рассматриваемого графита расхождение между различными моделями расчёта не превосходит 5 %.

, х 10

ей

к

1 Несвязанная задача —- Связанная задача

Ч;............. , :

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0. 05 0.(

Рис. 3. Распределение нормальных напряжений по толщине оболочки

Полученные результаты подтверждают, что учёт нелинейности диаграмм деформирования вносит значительные коррективы в напряжённо-деформированное состояние конструкций. Даже для графита АРВ, зависимости между напряжениями и деформациями которого близки к линейным [2, 3], при высоких нагрузках расхождения между квазилинейным и нелинейным расчётами составили 40%. Влияние связанности в графитах проявляется незначительно, что согласуется с результатами работ [5- 9]. Для выявления более существенных эффектов связанности и нелинейности на следующем этапе исследований будут моделироваться железобетонные оболочки. Внедрение уточнённых теорий расчёта позволит увеличить экономическую эффективность или повысить безопасность конструкций.

Список литературы

1. Hart P.E. The affect of pre-stressing on the thermal expansion and Young's modulus of graphite. Carbon. 1972. Vol. 10. P. 233-236.

2. Матченко Н.М., Трещев А. А. Теория деформирования разносо-противляющихся материалов. Прикладные задачи теории упругости. М.: Тула: РААСН; ТулГУ, 2004. 211 с.

3. Трещев А. А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. М.: Тула; РААСН; ТулГУ, 2008. 264 с.

4. ANSYS, Inc. Release 11.0 Documentation for ANSYS.

5. Делягин М.Ю. Исследование НДС сферической оболочки из раз-носопротивляющегося материала в условиях термомеханического нагру-жения с помощью МКЭ. Научно-технический вестник Поволжья. 2013. №4. С. 40-45.

6. Трещёв А. А. Моделирование оболочки из изотропного разносо-противляющегося графита с помощью объемных конечных элементов с учетом связанности напряжений и температур / А.А. Трещёв, М.Ю. Делягин // Materials Physics and Mechanics. 2013. Vol. 17. No 1. P. 59-70.

7. Делягин М.Ю. Связанный термомеханический расчет шарнирно опертой сферической оболочки из разносопротивляющегося материала / М.Ю. Делягин, А.А. Трещёв // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 11. Тула: ТулГУ. 2013. С. 311-320.

8. Трещев, А.А. Связанная задача термомеханического изгиба тонких прямоугольных пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов / А. А. Трещев, В. Г. Теличко, Д. С. Чигинский // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Проблемы специального машиностроения. Тула : Изд-во ТулГУ, 2011. С. 494-502.

9. Трещёв А.А. Влияние разносопротивляемости связанности и геометрической нелинейности на НДС сферической оболочки / А.А. Трещёв, М.Ю. Делягин // Вестник Волгогр. гос. архит.-строит. ун-та. Стр-во и ар-

хит. 2013. Вып. 31 (50). Ч. 2. Строительные науки. С. 407-413.

Делягин Михаил Юрьевич, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Теличко Виктор Григорьевич, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Трещёв Александр Анатольевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

APPLICA TION OF FEM FOR SOL VING COUPLED PROBLEMS OF THERMOELASTICITY, NONLINEAR MATERIALS, SENSITIVE TO THE STRESS STA TE

M.YU. Delyagin, V.G. Telichko, A.A. Treschov

The method of modification of volume four node finite element in the form of a tetrahedron to address problems of thermoelastic materials with essentially nonlinear dependencies of the properties of stress has been considered. The results of calculation of the spherical shell in a physically and geometrically nonlinear and linear statement has been estimated.

Key words: different resistant, the finite element method, nonlinearity, connectedness, thermoelasticity.

Delyagin Mikhail Yurievich, postgraduate, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Telichko Viktor Grigorievich, candidate of technical science, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Treschov Alexander Anatolievich, doctor of technical science, professor, the head of department, [email protected], Russia, Tula, Tula State University