CC BY
9
УДК 519.6:551.588.74
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ РАЗДЕЛЕНИЯ МАСШТАБОВ ДЛЯ НАПРАВЛЕННОГО МОНИТОРИНГА И ИССЛЕДОВАНИЯ КЛИМАТОЭКОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Владимир Викторович Пененко
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, зав. лабораторией, тел. (383)330-61-52, e-mail: [email protected]
Представлен новый подход к исследованию природных процессов с использованием методов теории чувствительности математических моделей к вариациям различных факторов в сочетании с методами ортогональной декомпозиции многомерных функциональных полей, участвующих в технологии моделирования.
Ключевые слова: разделение масштабов природных процессов, математическое моделирование, вариационные методы теории чувствительности, ортогональная декомпозиция, прямые и сопряженные задачи.
APPLICATION OF SCALE DECOMPOSITION METHODS FOR TARGETED MONITORING AND STUDIES OF CLIMATE AND ECOLOGICAL PROCESSES
Vladimir V. Penenko
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 pr. Akademika. Lavrentjeva, Professor, Head of laboratory, tel. (383)330-61-52, e-mail: [email protected]
A new approach to study the natural processes is presented. It uses variational methods in the sensitivity theory of mathematical models to perturbations of various factors in combination with the methods of orthogonal decomposition of multidimensional functional fields involved in the simulation technology.
Key words: decomposition of scales of natural processes, mathematical modeling, variational methods of adjoint sensitivity, orthogonal decomposition, direct and adjoint problems.
Динамика геофизических и климато-экологических систем является результатом взаимодействия широкого спектра процессов естественного и антропогенного происхождения с различными пространственно-временными масштабами. Получить их адекватное описание с помощью одной модели проблематично, поэтому требуется создавать многофункциональную информационно -вычислительную технологию на основе совместного использования данных мониторинга и математических моделей исследуемых процессов [3, 6-9].
Для конкретизации разрабатываемой нами системы моделирования будем рассматривать объединенные модели гидротермодинамики и химии атмосферы в четырехмерных пространственно-временных областях в атмосфере Земли. Основную часть этого комплекса составляют уравнения с операторами типа конвекции - диффузии - реакции, описывающие процессы переноса и трансформации многокомпонентных функций состояния. С этими уравнениями связаны, в режиме двухсторонних взаимодействий, уравнения, представляющие
процессы переноса и трансформации излучений в системе атмосфера - подстилающая поверхность [9].
К основным объектам системы моделирования относятся также данные мониторинга природно-техногенных процессов средствами контактных и дистанционных измерений наземного и аэрокосмического базирования. Для организации связей между моделями процессов и результатами мониторинга, мы определяем совокупность математических моделей наблюдений, описывающих образы измеряемых величин в терминах функций состояния моделей процессов. В целях усвоения данных наблюдений задаются функционалы, выражающие степень близости между измеряемыми величинами и их образами, рассчитанными с помощью моделей процессов и моделей наблюдений за их реальным поведением.
Следует иметь в виду, что все объекты имеют различного рода неопределенности. Для их оценок с использованием данных наблюдений мы вводим в уравнения моделей процессов, наряду с функциями источников, новые искомые слагаемые, так называемые функции неопределенностей. Соответственно, в общую систему моделирования вводятся специальные функционалы, выражающие суммарную меру этих неопределенностей.
Чтобы достичь главных целей исследования - то есть обеспечивать решение оптимизационных задач управления качеством природной среды и оценок экологических перспектив и рисков, в систему моделирования вводится совокупность соответствующих целевых функционалов. Их содержание определяется целями исследований с учетом критериев экологической безопасности развития современного общества.
Теоретическую основу рассматриваемого подхода составляют вариационные принципы [6-9]. Они представляют универсальный инструмент для объединения всех мультивариантных и разномасштабных объектов, а именно, математические модели исследуемых процессов, все доступные данные измерений и целевые критерии диагностики и прогнозирования.
Для решения задач прогноза актуальной проблемой является также возможность организации направленного мониторинга исследуемых процессов и использование его результатов в режиме оперативного усвоения данных. Для этого надо создавать глобальную структуру всех объектов, включая математические модели процессов и критерии для прогнозирования ситуаций.
Основная цель стратегии направленного мониторинга состоит в идентификации регионов в пространственно-временной области исследуемых процессов, в которых желательно получать дополнительную информацию наблюдений, чтобы улучшать прогноз изменения состояний системы. Для выделения таких регионов применимы методы разделения масштабов и на их основе количественные методы выделения главных факторов. Значительный вклад в развитие концепции разделения масштабов внесли исследования, представленные в работах отечественных и зарубежных авторов (см [1, 3-5, 10-12] и имеющиеся там литературные ссылки). В контексте настоящей статьи, главные факторы представляют собой совокупность многомерных ортогональных базисных подпро-
странств, ранжированных в соответствии с заданным критерием их информативности. Такие объекты генерируются на основе пространств различных функциональных полей, участвующих и порождаемых в системе моделирования.
Основные элементы информационно-вычислительной технологии для исследования природных процессов
1. Формулировка основного вариационного принципа для объединения всех моделей исследуемых процессов, доступных результатов их мониторинга, также целевых функционалов прогнозирования и усвоения данных. Согласование всех агрегатов и функциональных пространств в рамках этого принципа.
2. Построение дискретных аналогов вариационного принципа с использованием методов декомпозиции функционалов и методов расщепления операторов моделей, а также функционалов, участвующих в организации методов усвоения данных.
3. Вариационные методы теории чувствительности. Построение на их основе операторов и функций чувствительности. Организация алгоритмов для расчета функций неопределенности.
4. Универсальные алгоритмы ортогональной декомпозиции многомерных пространств функций состояния, сопряженных функций и других количественных объектов и результатов в технологии моделирования.
5. Организация стратегий направленного мониторинга с использованием методов разделения масштабов и вариационных методов чувствительности.
Первые два раздела уже достаточно хорошо отработаны в мире и в нашей стране. Следующие три аспекта активно развиваются и до настоящего времени. Здесь мы представим разрабатываемую нами концепцию разделов 3-5 в общей системе моделирования [7-9,11].
Методы исследования чувствительности
Будем использовать определения функционалов вариационного принципа из разделов 1 и 2. Обозначим анонсированный в них расширенный функционал в дискретном представлении через Ф"(Х), где индекс к обозначает дискретный аналог, а вектор X - вектор функциональных аргументов всей системы моделирования. Его компоненты представляют: функции состоянии моделей, сопряженные функции, совокупность входных параметров моделей, функции неопределенностей и др. Теоретическую и конструктивную основу методов чувствительности дает определение вариаций, в смысле Гато, этого расширенного функционала:
^фА(Х) = |£7ФА(х + «5Х)|и, д>1, (1)
где ЗХ - вектор вариаций функциональных аргументов, а - вещественный параметр, ц - порядок вариаций. Все операции в (1) при заданной структуре дискретного аналога вариационного функционала формально реализуются по аналогии с операциями дифференцирования классического анализа.
На основе вариаций (1) первого и второго порядков формируются алгоритмы для реализации необходимых и достаточных условий минимизации функционалов. В частности, из ^1Ф/г(Х) получаются системы основных и сопряженных уравнений; алгоритмы формирования оператора чувствительности и расчета функций чувствительности, а также расчета функций неопределенностей. Это алгоритмы первого порядка с прямыми и сопряженными операторами.
На основе вариаций (1) второго порядка, строятся алгоритмы второго порядка для расчета возмущений перечисленных выше функций. В них используются решения задач, полученных на основе вариаций первого порядка 81Фк (X). Ключевым элементом здесь является оператор Гессиана.
Универсальный алгоритм ортогональной декомпозиции
Представим совокупность исследуемых полей в виде матриц прямоугольной структуры:
А= фг(х,?) = фг(^),/= 1,«, кеК , (2)
/г
где ф.(х, г1) £()(£>,) -вектор-строка, содержащая набор характеристик исследуемых объектов, определенных в области (х,?) е!)? - число таких векторов, к - мультииндекс для идентификации мультивариантных и многокомпонентных объектов, К -множество значений мультииндексов.
Предполагается, что все элементы векторов-строк фг (к) с помощью соответствующих положительно определенных диагональных матриц приводятся к одной размерности и масштабируются таким образом, чтобы выполнялись условия нормировки фг, фг = 1, где скалярное произведение определяет энергетическую норму в Евклидовом пространстве или в дискретном аналоге Гильбертова пространства Н на О.
Для построенных таким образом матриц используется техника сингулярных разложений [2]. Основные элементы этого алгоритма:
ААгу = Яу, и = 1/сг Агу; Л = сг2,
где V - левые, а и - правые сингулярные векторы матрицы А; ААГ - пхп матрица. Векторы и имеют ту же структуру, что и векторы ф (к) в матрице (2).
Наборы векторов и и V упорядочены по мере убывания собственных значений Я.
По существу u и v представляют собой две системы ортогональных
базисов в пространстве исходных функций. Параметры Я имеют смысл меры информативности этих ортогональных базисов по отношению к анализируемому пространству векторов фг (к), / = 1, к е К .
В качестве анализируемых векторных пространств могут использоваться все поля функций, участвующие в системе моделирования. Построенные таким образом базисные пространства имеют широкую область применений для диагностических и практических задач. Для организации стратегий направленного мониторинга обычно используется их лидирующая часть, отвечающая большим по величине собственным значениям. Некоторые алгоритмы для этих целей представлены в работах [10,11].
Работа выполняется при поддержке Программы фундаментальных исследований Президиума РАН Г33П и гранта РФФИ №14-01-00125-a.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Багров Н.А. Аналитическое представление последовательности метеорологических полей посредством естественных ортогональных составляющих//Труды ЦИП. -1959. -Вып.74. - С. 3-24.
2. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.Н. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. - Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние.-1988.- 456 с.
3. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем - М.: Наука, 1992.334 c.
4. Мещерская А.В., Руховец Л.В., Юдин М.С., Яковлева Н.И. Естественные составляющие метеорологических полей . - Л.: Гидрометеоиздат. -1970. -199 с.
5. Обухов А.М. О статистически ортогональных разложениях эмпирических функций// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1960. -№ 3. - С. 432-439.
6. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. - Л: Гидрометеоиздат. 1981. - 352 с.
7. Пененко В.В. О концепции природоохранного прогнозирования// Оптика атмосферы и океана. 2010. - Т.23. - №6. - С. 432-438.
8. Пененко, В.В., Цветова Е.А. Оптимальное прогнозирование природных процессов с оценкой неопределенности // ПМТФ. 2009. - №2. - С. 156-166.
9. В. В. Пененко, Е. А. Цветова, Пененко А. В. Развитие вариационного подхода для прямых и обратных задач гидротермодинамики и химии атмосферы// Известия РАН. Физика атмосферы и океана. - 2015. - Том 51. - № 3. - С. 358-367.
10. Buizza R., Montani A. Targeting observations using singular vectors// J. Atmos. Sci. -1999. - V. 56. - P. 2965-2985.
11. Penenko V., Tsvetova E. Orthogonal decomposition methods for inclusion of climatic data into environmental studies // Ecol.modelling. - 2008. - V. 217. - P. 279-291.
12. Preisendorfer R.W. Principle component analysis in meteorology and oceanography. Amsterdam-Oxford: Elsevier. 1988. - 425 P.
© В. В. Пененко, 2016
