CC BY
37
УДК 629.7:517.958
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЕБИСИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ НЕСЖИМАЕМОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
© 2011 А. Н. Харитонова2, В. Г. Шахов1
1Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)
2ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-ПРОГРЕСС», г. Самара
Для решения нестационарных задач несжимаемого пограничного слоя рассматривается возможность применения конечно-разностного метода Себиси. С помощью данного метода решены задачи исследования пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении; обтекания круглого цилиндра в поперечном направлении; продольного обтекания профиля крыла NACA 0012 для нулевого угла атаки; обтекания движущегося круглого цилиндра для случая ламинарного нестационарного пограничного слоя.
Несжимаемый пограничный слой, метод Себиси, коэффициент сопротивления трения, толщина вытеснения, задача Блазиуса.
В настоящее время решение нестационарных задач несжимаемого пограничного слоя является весьма актуальным направлением научных исследований. Подобные задачи достаточно успешно решаются благодаря значительному увеличению мощности компьютерной техники и появлению таких вычислительных комплексов, как Ansys Fluent, StarCD, в основе которых лежат алгоритмы, основанные на численных методах решения полных уравнений Навье-Стокса. Но, с другой стороны, использование подобных программ требует значительных вычислительных ресурсов и занимает много времени, что не всегда рационально. Кроме того, данные программные комплексы не всегда дают возможность получить решение конкретной задачи с учётом всех особенностей обтекания. Поэтому весьма актуальным по-прежнему остаётся использование приближённых методов, позволяющих получить решение задачи со значительной экономией временных и вычислительных ресурсов.
В данной работе рассматривается возможность применения метода Себиси для решения нестационарных задач несжимаемого пограничного слоя.
В общем случае система уравнений для несжимаемого двумерного пограничного слоя может быть записана следующим образом [1, 2]:
du
э7
+v-
du du dU,
__ e
dx dy dt
U,
U
dx
d 2u d
----u v
(2)
Э/ Эу
Эи Эу
— + — = 0,
Эх Эу _
при этом граничные условия имеют вид: и = у = 0 при у = 0, ^
и ® ие (х, I) при у
Здесь
и, у - продольная и поперечная компоненты скорости,
х, у - декартовы координаты, ие - скорость на внешней границе пограничного слоя,
I - время,
V - кинематический коэффициент вязкости.
При этом касательное напряжение - и 'у ' может быть заменено в формуле (1) соотношением
Э и Э У ’
(3)
где
ет - коэффициент турбулентной кинематической вязкости.
Данное соотношение используется для того, чтобы в дальнейшем можно было применять модель турбулентности Се-биси-Смита.
Для использования метода Себиси, который в свою очередь основывается на неявном методе Келлера (схема «прямоугольник»), вводятся следующие переменные:
л =
^У, У = ^ (ухи 0) / (х,л, і), (4)
где
/(х, ц, $ - безразмерная функция тока, и0(х) - некоторая функция, зависящая только от х.
Тогда уравнение неразрывности в системе (1) тождественно удовлетворяется, если функция тока у определяется соотношением
и =
Эу
у =
Э у
Эу ’ Эх (5)
Используя правило дифференцирования сложной функции и соотношения (4), (5), уравнение движения в системе (1) можно представить в следующей форме (штрихом обозначено дифференцирование по л):
„ т + 1 гг„ / 2
(Ь/ ) +—— // -т(/)
т
- Э/ Э/ 1 Э/
/а /
Эх
Эх ио Эt
(6)
где
/
тт
ио
т
ио
ие
Эие
йх
Эие Л
Ь = 1
Эх Эt
0 \ У
При этом граничные условия (2) примут вид:
/ = / = 0 при ц = 0, "I (7)
/ = ие1и0 при ц ® ■}
Решение уравнения (6) с граничными условиями (7) осуществляется конеч-
но-разностным методом Себиси в четыре этапа:
1. Уравнение (6) заменяется системой дифференциальных уравнений первого порядка (для этого вводятся новые переменные).
2. Дифференциальные уравнения заменяются конечно-разностными с использованием формул центральных разностей.
3. Полученная система нелинейных конечно-разностных уравнений линеаризуется с помощью метода Ньютона и записывается в векторно-матричном виде.
4. Система линейных уравнений решается методом матричной прогонки.
Более подробно метод Себиси рассмотрен в работах [1, 3]. На основе данного метода была разработана программа в среде программирования Бе1рЫ для решения нестационарных задач несжимаемого двумерного пограничного слоя. Программа позволяет получить решение уравнения (6) с граничными условиями (7) и ряд характеристик пограничного слоя, в том числе местный коэффициент сопротивления трения (с/) и толщину вытеснения (5), определяемых по формулам:
с/
^, 8* = Ї (1 - и)ф,
риі Г и
где
- напряжение поверхностного трения,
р - плотность.
В качестве тестовых задач для проверки работоспособности метода Себиси и программы были рассмотрены следующие стационарные задачи:
1. Исследование пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении.
2. Обтекание круглого цилиндра в поперечном направлении.
Полученные решения данных задач хорошо согласуются с решениями, приведёнными в работах Г. Шлихтинга и Л.Г. Лойцянского [2, 4], что подтверждает правильность работы алгоритма и программы. Так, например, для первой задачи
на рис. 1 представлено распределение скоростей в пограничном слое на плоской пластине по Блазиусу и методу Себиси. Точное решение данной задачи приведено в работе Шлихтинга [2]. В случае обтека-
ния круглого цилиндра (вторая задача) отрыв наблюдается в точке, равной примерно 1050, а в работе Шлихтинга [2] отрыв достигается в точке 104,5°.
Кроме того, для случая как ламинарного, так и турбулентного течения была рассмотрена задача продольного обтекания профиля крыла NACA 0012 для нулевого угла атаки, где
U, (х, t) = U e o( x )(1 + В cos( w t)).
В данной формуле, использованной Себиси:
В - амплитуда, w - угловая частота (рад/с).
Примеры полученных результатов для профиля крыла NACA 0012 представлены на рис. 2 и 3.
Графики, представленные на рис. 2, соответствуют результатам, полученным Себиси, что подтверждает правильность работы алгоритма и программы. На рис. 3 приведены дополнительные расчёты изменения местного коэффициента сопротивления трения при различных значениях амплитуды и угловой частоты.
0
0,2
0,4
0,6
0,
х
Рис. 2. Изменение местного коэффициента сопротивления трения и толщины вытеснения пограничного слоя в различные моменты времени для профиля крыла NACA 0012
Рис. 3. Изменение местного коэффициента сопротивления трения для профиля крыла NACA 0012 при t=2
Для случая ламинарного нестацио- рость Ue на внешней границе погранично-нарного пограничного слоя была рассмот- го слоя определялась формулой:
рена задача обтекания движущегося круглого цилиндра радиуса Я, причём ско-
U e (х, t) = 2tU ¥ sin( х / R). Полученные результаты приведены на рис. 4 и 5.
1
Рис. 4. Изменение местного коэффициента сопротивления трения для круглого цилиндра в различные моменты времени t
0,00^8
0,0016
0,0014
0,0012
0,001
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0
УУ і
o—o о -< > 0 о -О--4 & - -з—1=0,5
—в—t=l
□—В—В—Е ]—В—В—В—Е \—В
А—А—А—і
20
40
60
80
100 & 120
Рис. 5. Изменение толщины вытеснения пограничного слоя для круглого цилиндра в различные моменты времени t
0
В заключение следует отметить, что применение метода Себиси и разработанной на его основе программы позволяет решать нестационарные задачи несжимаемого двумерного пограничного слоя за относительно короткое время и даёт возможность в дальнейшем использовать их для решения различных технических задач.
Данная работа проведена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-
педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
Библиографический список
1. Себиси, Т. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы [Текст] / Т. Себиси,
П. Брэдшоу. - М.: Мир, 1987. - 592 с.
2. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя [Текст] / Г. Шлихтинг. - М.: Наука, 1974. - 712 с.
3. Cebeci, T. Computational fluid dy-
namics for engineers [Текст] / T. Cebeci, J. P. Shao, F. Kafyeke, E. Laurendeau. - California: Horizons Publishing Inc., 2005. -396 с.
4. Лойцянский, Л. Г. Ламинарный по-
граничный слой [Текст] / Л. Г. Лойцянский. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы,
1962. - 478 с.
APPLICATION OF CEBECI’S METHOD FOR SOLVING TIME-DEPENDENT PROBLEMS OF THE INCOMPRESSIBLE BOUNDARY LAYER
© 2011 A. N. Kharitonova2, V. G. Shakhov1
1Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov
(National Research University)
State Research and Production Space Rocket Center “TsSKB - Progress”, Samara
The opportunity of using the Cebeci method to solve time-dependent problems of the incompressible boundary layer is dealt with in the paper. The method helped to solve the problems of analyzing the boundary layer on a flat plate streamlined in the longitudinal direction; the flow around a circular cylinder in the transverse direction; the longitudinal flow of the NACA 0012 airfoil for the zero angle of attack; the flow around a moving circular cylinder for the case of laminar non-stationary boundary layer.
Incompressible boundary layer, Cebeci method, local skin-friction coefficient, displacement thickness, Blasius problem.
Информация об авторах
Харитонова Анна Николаевна, начальник группы. ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-ПРОГРЕСС», г. Самара. Область научных интересов: механика жидкости и газа, исследования в области пространственного пограничного слоя. E-mail: annqwer@mail .ru.
Шахов Валентин Гаврилович, кандидат технических наук, профессор, заведующий кафедрой аэрогидродинамики. Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет). Область научных интересов: аэродинамика, механика жидкости и газа, исследования в области пограничного слоя. E-mail: [email protected].
Kharitonova Anna Nicolayevna, head of group, State Research and Production Space Rocket Center “TsSKB - Progress”, [email protected]. Area of research: mechanics of fluids and gases, research in the area of three-dimensional boundary layer.
Shakhov Valentin Gavrilovitch, candidate of technical sciences, professor, head of aerohydrodynamic department, Samara State Aerospace University named after academician
S. P. Korolyov (National Research University), [email protected]. Area of research: aerodynamics, mechanics of fluids and gases, research in the area of boundary layer.
