Применение интервальных оценок в приборах и методах контроля для выделения информационных параметров квазидетерминированных сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 г. Выпуск 2 (21). С. 69-81

УДК 621.317.08: 004.942

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНОК В ПРИБОРАХ И МЕТОДАХ КОНТРОЛЯ ДЛЯ ВЫДЕЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Л. И. Сучкова, А. Г. Якунин Введение

Разработка и внедрение новых методов и устройств, предназначенных для автоматизации процесса контроля, обработки и анализа первичной информации предполагают поиск и применение новых методов их расчета, проектирования и исследования в связи с применением новых методов и средств выделения информационных параметров регистрируемых сигналов. Сигнал, формируемый первичными преобразователями современных сложных информационно-измерительных систем, представляет собой в общем случае сложную квазиде-терминированную функцию времени и пространственных координат, зависящую от многих параметров. Эти параметры могут либо сохранять на протяжении всего измерительного процесса постоянное значение, либо же флуктуировать во времени, создавая неаддитивный шум, весьма далекий от стационарного эргодического случайного процесса.

Кроме того, используемые для выделения информации эвристические алгоритмы также могут приводить к возникновению дополнительной погрешности измерения и отличию ее функции плотности распределения от нормального гауссовского закона.

Однако, в большинстве методов, посвященных расчету метрологических характеристик, преобладает классический подход, когда погрешность измерения полагается чисто случайной, создаваемой аддитивно действующим белым шумом, и оценивается только через дисперсию или среднеквадратичное отклонение [1-3].

Цель настоящих исследований - построение обобщенной модели многопараметрического квазидетерминированного сигнала, а также разработка метода нахождения интервальных оценок таких сигналов в условиях априорной неопределенности значений параметров сопровождения.

Обобщенная модель квазидетерминированного сигнала

В большинстве систем с цифровой обработкой модель выделения информационного параметра можно представить в виде последовательности процедур (операторов), сводящих действующий на входе преобразователя многомерный континуальный сигнал к одномерной непрерывной функции времени, затем - к к-мерному вектору наблюдений, а в конечном итоге - к точечной оценке ш-мерного вектора параметров Л.

При этом в качестве квантификационных критериев оценки качества обработки сигнала может быть использован объем информации об истинном значении Л, содержащийся на выходе 1-ой процедуры, в том числе и во входном сигнале [2, 3]. А основными задачами теории выделения информационных параметров будут являться выбор рациональной модели сигнала, адекватной реальным физическим процессам, протекающим на входе преобразователя, выбор моделей, описывающих свойства промежуточных преобразовательных звеньев; а также задача установления связи между характеристиками континуальных или многомерных сигналов и заключенной в них информацией о контролируемых параметрах.

Решение поставленных задач во многом зависит от вида контролируемых величин, выделяемых и оцениваемых посредством первичного преобразователя. Будем полагать, что эти величины являются одновременно и параметрами функции, описывающей входной сигнал, являющейся в общем случае функцией пространственных координат гТ = [х,у,1] и некоторого вектора параметров Л, часть компонент которого являются контролируемыми (информаци-

онными или измеряемыми) параметрами, часть - параметрами формы, а часть - неконтролируемыми параметрами сопровождения или обстановки.

В общем случае все компоненты вектора X являются функциями времени. Кроме того, время может входить в описывающую сигнал функцию и непосредственно, в качестве независимого аргумента.

Однако с достаточной для многих практических приложений точностью при построении математической модели сигнала можно использовать квазистатическое приближение, согласно которому полагается, что, по крайней мере, за время одного измерительного интервала X = const, а пространственное распределение сигнала сохраняется постоянным. Такой подход, позволяя исключить из модели сигнала зависящие от времени компоненты, вовсе не предполагает его полной стационарности. Действительно, предположим, что некоторый i'-ый контролируемый параметр является функцией времени: X = X(t). В реальных системах информация о значениях X(t) получается в фиксированные моменты времени tj, интервалы между которыми определяются временем преобразования сигнала и временем, затрачиваемым на выделение полезной информации. Поскольку все реальные процессы подчиняются условиям Липшица, а ограниченность аппаратных и временных ресурсов систем управления, совместно с которыми работает измерительный преобразователь, не позволяет применять сложные методы интерполяции, частоту выборок значений X(tj) обычно выбирают так, чтобы необходимая точность восстановления континуального сигнала Xl(t) достигалась при линейной или параболической интерполяции, когда справедливо представление Xi(t) в виде:

где Лтм, Лц, Л21 - некоторые вновь введенные параметры, остающиеся постоянными на интервале (I), ^+1). Аналогичные выражения, но, возможно, с большим числом членов ряда, могут быть записаны и для неконтролируемых параметров. Тогда можно всегда поставить в соответствие реальному динамическому сигналу с параметрами, задаваемыми выражениями вида (1), некоторый статический сигнал с теми же самыми параметрами и дополнительно введенными параметрами режима работы преобразователя, который бы вызывал на его выходе в конкретные моменты времени такие же отклики, что и исходный непрерывно изменяющийся сигнал.

С учетом сделанных замечаний рассмотрим теперь собственно математическую модель входного сигнала. Будем для определенности считать, что таким сигналом будет являться оптический сигнал, на сегодняшний день являющийся одним из самых сложных видов сигналов. В отличие от сигналов, действующих на входе большинства первичных измерительных преобразователей, характерной особенностью оптического является высокая степень его априорной неопределенности. Это вызвано, с одной стороны, невозможностью точного описания процесса формирования сигнала оптической системой, а с другой стороны - сложной структурой контролируемых сцен изображения, которые могут содержать большое, в общем случае неограниченное, число неизвестных параметров обстановки. Поэтому для реального оптического сигнала во многих случаях может оказаться целесообразным его представление в виде:

где Ед - детерминированная составляющая сигнала, Еш - его случайная шумовая составляющая; а Еф - некоторая фоновая неоднородность или составляющая сигнала, отражающая «неточность» математической модели. Здесь знак «°» означает некоторую математическую операцию или оператор.

Под детерминированной составляющей в выражении (2) будем понимать сигналы, допускающие достаточно точное описание конечным числом аналитических функций, каждая из которых содержит ограниченный набор параметров.

Составление математической модели для детерминированной составляющей не вызывает принципиальных затруднений, поскольку связано с использованием хорошо отработан-

X (t) = X (tj) + X (tj )t + X (tj )t2> t G (tj > tj+i)

(2)

(3)

ных методов расчета. Еще проще решается задача составления модели для шумовой составляющей. Действительно, реальные первичные измерительные преобразователи работают в таких условиях, когда можно считать, что основной шум в них с достаточной точностью может быть аппроксимирован в полосе усиливаемых частот белым шумом. Этот шум после его приведения ко входу, будет всегда аддитивен по отношению к детерминированной компоненте сигнала, что значительно упрощает проведение анализа. Таким образом, идеализированную модель сигнала можно представить в виде Ед + Еш. Однако реальный сигнал Ер, помимо Ед и Еш, всегда будет содержать некоторый дополнительный компонент Еф, относительно которого у разработчика имеется минимум априорных сведений. Для оптических сигналов это будет сопровождающий фон, а для других он может иметь иной физический смысл.

Точный учет характера взаимодействия детерминированной составляющей Ед с составляющей Еф может привести к сильному усложнению математической модели сигнала. Однако, можно существенно упростить такую модель, если положить свойства фона неизменными на всей области определения сигнала, считая при этом, что функция Еф аддитивна по отношению к идеализированному сигналу Ед + Еш и представляет собой реализацию некоторого случайного процесса, характеристики которого соответствуют самой неблагоприятной ситуации. Для пояснения сказанного рассмотрим случай, когда детерминированная компонента

ми определения, заданными на интервалах (А0, А+) и (А1 , А+). Пусть при этом фоновая неоднородность является реализацией нормального гауссовского случайного процесса с корреляционной функцией Яф(Х1, Х2) и является мультипликативной помехой. Тогда при пред-

Ко - некоторый коэффициент пропорциональности, и считать, что помеха с такими характеристиками действует на всей области определения входного сигнала. Если же Еф для того же сигнала Ед состоит из «затеняемого» шума, отличного от нуля вне интервала (—к,к) и имеющего характеристики Яфз(Х1, Х2) и амплитуду Ефз, а также из мультипликативного шума, действующего на интервале (-к, к) с характеристиками Ефм и Яфм(Х1, Х2) при максимальной амплитуде полезного сигнала, то аппроксимирующий аддитивный сигнал должен иметь ту из корреляционных функций Яфд или Яфм, у которой минимален интервал корреляции. При этом энергия такого сигнала будет определяться максимальным значением из Ефз или Ефм.

Требование аддитивности фоновой неоднородности позволяет упростить модель сигнала и обеспечить возможность получения аналитических решений для некоторых частных практически важных случаев, возможно, за счет завышения величины оцениваемых погрешностей. В зависимости от степени априорной неопределенности о виде функции Еф возможны различные способы ее задания. Первый, самый простой способ основан на представлении Еф в виде ансамбля функций, все значения которых лежат в пределах области V:

где область V ограничена поверхностями е— (г) и е+{г). Очевидно, такие поверхности всегда существуют и их границы всегда конечны в силу конечности возможных значений реальных сигналов. Однако условие (3) является слишком слабым и ему, в частности, удовлетворяют классы кусочно-линейных, ступенчатых и других видов функций, для которых не соблюдаются условия непрерывности и гладкости. Поскольку таким функциям не могут удовлетворять реальные сигналы, можно ожидать, что рассмотренный способ задания Ед будет приводить к завышению оценок погрешности измерения.

Второй способ задания Еф сходен с предыдущим и отличается от него тем, что помимо выполнения условия (3) требует от Еф дополнительного соблюдения условия Липшица, которое для двумерного случая может быть записано в виде:

лггсі ( х / к ) + Лу

Ед описывается функцией вида Ло , где А0, А1, - неизвестные величины с областя-

ставлении Еф аддитивной помехой достаточно заменить Еф на величину єф (Л+ + Л )' К0, где

Еф є V ,

(4)

где М - некоторое конечное число. Поскольку верхняя граница для М легко устанавливается теоретически или из короткой серии опытов, а класс функций, удовлетворяющих условию Липшица, существенно уже, чем класс функций, удовлетворяющих только условию (3), нахождение точностных характеристик преобразователя при таком способе задания представляет большой практический интерес.

Третий способ описания составляющей Еф основан на ее представлении в виде суперпозиции определенных с точностью до параметра аналитических функций. Поскольку в соответствии с определением Еф предполагается, что вид таких функций не может быть найден из общих теоретических предпосылок (так как это переводило бы Еф в ранг детерминированной компоненты), удобно представлять сопровождающую фоновую неоднородность в виде ряда по системе ортонормированных функций:

Еф(г)=ЙЪл (г) (5)

= }=\

или, для одномерных сигналов,

и

ЕфС*) =Т.Еф^г С*) (6)

2=1

где Еф1, Ефц - коэффициенты разложения, являющиеся параметрами сопровождения, а Ух, Уу, V - в общем случае неограниченное количество членов рядов, описываемых (5) и (6).

Представление Еф в виде (5) или (6) можно рассматривать как каноническое разложение некоторого случайного процесса, если считать, что коэффициенты разложения являются случайными величинами и при каждом очередном наблюдении сигнала проявляют статистические свойства, т.е. принимают значения в соответствии с описывающей их функцией совместной плотности распределения. В частности, если случайное поле Еф(х) описывается корреляционной функцией Яф(х1, х2), то ряд (6) будет являться рядом Карунена-Лоэва, а коэффициенты ряда будут взаимно некоррелированы [1]. Однако рассмотрение рядов (5) и (6) как канонического разложения случайного процесса (а значит, и применение традиционных методов оценки потенциальной точности измерительных преобразователей) может быть оправдано в достаточно редких случаях. Это объясняется тем, что выбор системы ортогональных функций при составлении модели Еф чаще делается исходя не из линейной независимости коэффициентов разложения, а из простоты методики экспериментального определения их функции совместной плотности распределения. Поэтому коэффициенты разложения могут в общем случае оказаться зависимыми случайными величинами. А так как функция Еф описывает реальные физические процессы конечной амплитуды, функции плотности распределения по каждому параметру также будут иметь ограниченную область определения, при-

и

чем УЕф2 ^ Eфi < с, где С - некоторая конечная константа. В традиционных же моделях слу-

2=1

чайных процессов область определения коэффициентов разложения обычно полагается неограниченной и считается, что функции плотности распределения подчиняются нормальному закону распределения.

Основное же отличие моделей (5) и (6) от модели случайного процесса заключается в том, что на интервале наблюдения часть коэффициентов разложения функции Еф может вообще не проявлять статистических свойств (что справедливо и для параметров обстановки, входящих в детерминированную компоненту сигнала).

Правильное разделение параметров модели сигнала на случайные и постоянные величины с учетом возможной вариации интервала наблюдения (как в пространстве, так и во времени) имеет большое методологическое значение, так как позволяет выделить систематические компоненты в результирующей погрешности оценки параметра и, в конечном итоге, путем оценки величины некомпенсируемой систематической погрешности, выявить возможность повышения точности измерений для заданного типа сигнала. Однако, помимо потерь

информации, обусловленных самой природой входного сигнала, дополнительные потери могут происходить в процессе обработки этого сигнала в различных звеньях преобразователя.

Основной случайный шум канала обработки обычно возникает во входных каскадах и может быть приведен ко входному сигналу. Поэтому можно считать, что главными причинами потерь информации в первичном измерительном преобразователе являются появление в сигнале дополнительных неизвестных параметров сопровождения, а также выполнение преобразований сигнала и редукции его размерности не в соответствии с оптимальными решающими правилами. Так, вновь появляющиеся в сигнале неизвестные параметры, так же, как и параметры, входящие в фоновую неоднородность, могут медленно флуктуировать, оставаясь постоянными на всем интервале наблюдения, и, следовательно, будут порождать систематическую погрешность измерения. Современная элементная база радиоэлектронных устройств обеспечивает возможность получения достаточно высокой стабильности передаточных характеристик звеньев аналого-цифровой обработки сигнала в широком динамическом и частотном диапазоне. Кроме того, число неизвестных параметров сопровождения, дополнительно вводимых в сигнал в процессе его преобразований электронным трактом, обычно невелико и значения наиболее влияющих из них легко могут быть оценены путем соответствующих калибровок. В канале же цифровой обработки неопределенность в задании участвующих в формировании сигнала параметров отсутствует вообще. Поэтому основным источником систематических погрешностей может быть только сам первичный преобразователь. А так как задача нахождения таких погрешностей с учетом возможной флуктуации сигнала практически нереализуема, можно говорить о наличии в преобразователе некомпен-сируемых систематических погрешностей измерения, то есть таких погрешностей, величина которых не может быть уменьшена путем выбора подходящей методики измерения.

Таким образом, с учетом требований минимизации погрешности преобразователя необходимо разработать критерий, позволяющий наиболее эффективно проводить синтез и анализ как отдельных звеньев преобразователя, так и устройства в целом.

Как было показано в работах [4, 5], анализ и синтез преобразователей, в том числе оптико-электронных, удобно проводить с использованием квантификационных критериев, основанных на информационной теории измерительных устройств [2]. В соответствии с этой теорией объем информации (по Шеннону), получаемый о неизвестной величине XI по ее оценке

А, определяется выражением [3]

4)=н*(4)-н (4 4)=| р(4 )іп р(4 щ+\ р(4 4 )іпр(д 4) ,

(7)

где Н*(4г) и Н*(4, Лі) - приведенные энтропии неизвестной величины Хі, соответственно до и после измерения; р(Хі) - априорная плотность распределения і/; р(4, Лі) - условная (апостериорная) плотность распределения і/, соответствующая ее оценке А., Ь/ - область определения і/.

Основным недостатком выбора выражения (7) в качестве кванти-фикационного критерия является его зависимость от правила выбора решения при нахождении оценки значения контролируемого параметра, а также от значения других компонентов вектора і и вектора параметров сопровождения р. Этот же недостаток присущ и другим способам, когда квантифика-ционные критерии задаются в виде дисперсии точечной оценки (потенциальной точности прибора), или, в общем случае, в виде условного риска для выбранной функции потерь. В частности, выражение (7) соответствует случаю байесовской оценки при информационной

функции потерь. А так как эта функция зависит не только от значений і/ и Аі, но и от правила выбора решения, задача получения оптимальной байесовской оценки для информационной функции потерь не может быть решена в общем виде. Следует также отметить, что пере-

и

и

ход от рассмотренных дифференциальных критериев к интегральным, определяемым как безусловный риск, не всегда может быть реализован на практике в силу неизвестности априорного распределения р(А) .

В значительной мере перечисленные трудности и противоречия снимаются, если в основу поиска альтернативного варианта представления квантификационного критерия положить представление процесса выделения информации в первичном преобразователе как процесса кластеризации пространства параметров 2 = [А е 2), пространства наблюдения и = [и е и)

и пространства решения 2 = {А е Z} [6]. Как показано в работе [5], в этом случае наилучшим критерием качества оценки параметра А.; является число классов разбиения Я/, пространства 2 на области, различимые с вероятностью р§/, из пространства 2 :

я ={д-(А Щ, (8)

ы

где Ы = (А-, А+) - область определения И, А(Д ) = ^т Ау , а А/ - реперные точки в

1у ,Я.

пространстве 2 , определяющие границы _/-го класса.

Входящая в выражение (8) величина А(Д) является по своей сути интервальной оценкой параметра А/. Однако при изменении условий кластеризации ее можно трактовать и как дисперсию ^ , или доверительный интервал А ^, точечной оценки с апостериорным распределением р(Д Д.), где Д задается некоторым оператором W, отображающим и в 2 и миними-

зирующим условный риск

Р =| с(Д >А )Р(Д А МЛ , (9)

Ь

функция потерь с(Д, Д) которого при выборе информационных критериев равна -

1п р(Д | А.) . При высокоточных измерениях р(Д | А.) = р(А. А.) и выражение (9) для информа-

ционной функции потерь с точностью до постоянной совпадает с выражением (7). Предположим теперь, что в VА. е Ь . выполняется условие

Р( Д1 Л ) = к(Л )Р{к(Л ) ■ Д }, (10)

во всей области определения вид функции распределения неизменен и изменяется лишь ее масштаб по закону к(А.) . Тогда VД е Ы. справедливо соотношение А( Д ) = к 1 (Д )Ао., где

А о. определяется величиной р.; при к( Д )=1 . В частности, всегда можно выбрать Р^ так,

чтобы Ао. = а., или чтобы Ао = А^, где Аз. = ехрН (А | Д.) = а; к3 - энтропийная погрешность измерения [2]. Таким образом, при соблюдении условия (10) выражение (8) можно представить в виде

Я = к А1 I* к (а) dА П1Ч

. 00 ^ 4 , (11)

ы

где к0 - коэффициент, зависящий от способа задания интервальной оценки, а значит и от условия кластеризации. В частности, если к(А) зависит от А и равно к , то Я. = кк0 Ы / А о., а

I. (Д| X ) = Я + С, (12)

где С - некоторая константа.

Учитывая наглядность заложенного в Я. физического смысла, независимость Я. от априорного распределения Р (А) и простоту связи Я. с заключенным в сигнале объемом информации, выражение (12) целесообразно применять и при произвольных изменениях вида распределения р(А | А) в области определения А . Тогда, обобщая выражение (12) на случай

п контролируемых параметров, интегральный информационный квантификационный критерий может быть представлен виде

1 =Ё ^2 Я

(13)

Однако этот критерий не учитывает характер зависимости функции А(А). Зададим эту зависимость выражением вида:

А(А) = Ая- +Г. (А -Л,) , (14)

где А. - погрешность нуля первичного преобразователя, у. - относительная погрешность чувствительности, а А. - значение параметра, соответствующего нулевой точке отсчета.

Если от преобразователя требуется минимум относительной погрешности измерения, то

наиболее жесткие требования предъявляются к величине Аг при ограничениях на у., тогда как при минимизации абсолютных погрешностей желательно, чтобы у. = 0 (например, при измерении линейных перемещений). В общем же случае может потребоваться минимизация величины J = оо А . + о .у.., где некоторые весовые коэффициенты, пропорциональные важности минимизации соответствующей погрешности. Очевидно, зная истинное распределение А(А.) , всегда можно подобрать такие коэффициенты функции А (А.) (не обязательно заданной выражением (14)), чтобы соблюдалось условие:

8ир (А. (А ) - Л. (А )} = 0, А е Ы. (15)

Принципиально возможны и иные способы аппроксимации А (А.), однако применение условия (15) исключает возможность появления на шкале отсчета участков, фактическая погрешность которых превышает ожидаемые значения. Тогда, заменяя в (13) функцию А (А.)

на /А (А.), окончательное выражение для квантификационного критерия примет вид

1 “ =£ ^2 Я , (16)

I=1

где

я;=|а-' (а.) dл. 07)

Ы

Наличие линейной связи между различными видами интервальных оценок позволяет применять для получения зависимостей А (А.) хорошо отработанные методы нахождения

дисперсии точечной оценки. Однако такие методы применимы лишь в условиях высокой точности измерения всех входящих в сигнал параметров, когда точечные оценки асимптотически эффективны и нормальны. В реальных же ситуациях требование малости дисперсии оценки по сравнению с областью определения неизвестной величины может не соблюдаться для целого ряда сопровождающих параметров, которые к тому же имеют конечную область определения. А это, в свою очередь, приводит к возникновению сверхэффективных оценок и

1=1

нарушает однозначное определение условного риска даже для фиксированного значения векторов Л и р.

В связи с этим необходим расчет информационных критериев через параметры интервальных, а не точечных оценок. Однако методы нахождения таких оценок разработаны только для ограниченного круга задач и они не могут быть непосредственно использованы для анализа и синтеза первичных измерительных преобразователей. Поэтому разработка новых методов нахождения интервальных оценок для произвольных видов функций плотности распределения влияющих параметров, а также для континуальных и векторных сигналов является наиболее важной задачей, от решения которой зависит возможность практического применения рассмотренных квантификационных критериев для синтеза и анализа контрольно-измерительных устройств и информационно-измерительных систем.

Нахождение интервальных оценок многопараметрических квазидетерминированных сигналов в условиях априорной неопределенности методом е-слоя

Одним из наиболее простых методов непосредственного нахождения интервальной оценки в условиях априорной неопределенности, обеспечивающим получение наглядных качественных, а в некоторых случаях и количественных результатов, является метод, основанный на применении модели е-слоя.

В соответствии с этой моделью предполагается, что каждая точка г сигнала Е(г, А) может быть определена с точностью до некоторого интервала (Е (г0, А) -е~ (г0), Е (г0, А) + е+ (г0)), то есть наблюдаемый сигнал имеет некоторый слой неопределенности, причем в общем случае толщина е-слоя неодинакова для положительных и отрицательных отклонений и является функцией пространственных координат. В зависимости от постановки задачи и характера априорной неопределенности физический смысл, закладываемый в е-слой, может быть различным. Так, если считать, что процесс измерения сопровождается некоторой погрешностью, абсолютное значение которой равно у0 + у5Е(г, А) (где у0 - погрешность нуля, а У5 -относительная погрешность чувствительности [7, 8]), то е+ (г) = е~ (г) = [у0 +У$Е (г, А)]/2. В частности, если в области допустимых значений Е (г, А) можно пренебречь мультипликативной составляющей, то е+ (г) = е~ (г) = е0, где е0 - постоянная величина, которая может определяться, например, через динамический диапазон используемого в первичном преобразователе сенсора.

В другой трактовке можно считать, что Е (г, А) - это модель сигнала, а е-слой - погрешность этой модели. Действительно, любой сколь угодно сложный сигнал всегда можно представить в виде суммы Ет (г, А) + Еп (г), где относительно Еп (г) можно достоверно утверждать, что ее значения лежат в пределах соответствующим образом выбранного е-слоя, а Ет (г, А) - достаточно простая модель сигнала. Можно также полагать, что Еп (г) - некоторая

помеха или фоновая неоднородность, возможные значения которой ограничены е-слоем.

Очевидно, модель е-слоя является полностью детерминистской, так как не предполагает возможности сужения интервала неопределенности наблюдаемых значений сигнала по мере увеличения числа выборок (хотя в принципе такой подход возможен, если считать, что е -это дисперсия или доверительный интервал некоторого стационарного двумерного случайного поля, обладающего эргодическими свойствами). Поэтому применение модели позволяет получать лишь интервальные оценки с единичными квантилями.

Для нахождения таких оценок воспользуемся методом теории чувствительности [9] , для чего представим сигнал в виде

Е (г, А) = Е (г, Аэ) + 5Е (г, А, Аэ), (18)

где 8Е - вариация сигнала, обусловленная отклонением вектора параметров X относительно его фиксированного значения Хо.

Очевидно, такие вариации будут неразличимы в пространстве наблюдений до тех пор, пока соблюдается условие:

-е~ (г) <8Е (г , X, Хо) <в+ (г). (19)

Полагая, что толщина в-слоя достаточно мала для представления 5Е(г, X, Х0) можно воспользоваться линейным приближением:

5Е(г, Х,Хо) -( Л-*), (20)

В частном случае, когда вектор X содержит п компонент, выражение (20) может быть записано в виде:

5Е (г.Х.Хо) -^, (гД)АЛ,, (21)

г-1

где АХг. - Л{ - Х0г - отклонение 1-го параметра от его фиксированного значения, а

(г, X) - дЕ(г, X) / дХг |л-л - функция чувствительности по 1-му параметру.

Тогда, подставляя (21) в (19), можно получить выражение относительно области допустимых отклонений для любого 1-го параметра, которая и будет являться его интервальной оценкой, соответствующей Р -1. При этом интересно отметить, что если образуют

систему ортогональных функций, то решение неравенства (19) распадается на п независимых решений. В общем же случае получение интервальных оценок для п произвольных параметров сопряжено со значительными математическими трудностями и аналитические решения могут быть получены только для некоторых частных задач.

Так, например, если положить в+ (г) - (г) - 0, то область неопределенности АЛ может

-]2

ёг, который следует положить

быть найдена из анализа функционала J-z = J

I Si( r, Ло^Л

равным нулю. Очевидно, если Sf - класс линейно независимых функций, то Vi е 1,n АХг. = 0 .

Предположим теперь, что сигнал содержит только один оцениваемый скалярный параметр Х, а для всех остальных параметров сопровождения St - взаимно ортогональные функции, причем n . Положим также, что для каждого параметра сопровождения Д. точно известны границы области его определения. Тогда, представляя функцию чувствительности Sx в виде ряда по системе функций S, получим, что А+ = sup Д+ / SXi; А х = inf / SXi,

где i е 1, n, А x е (А -, А +), S Xi - коэффициенты разложения функции S Х, а J3+ и Д- - соответственно нижняя и верхняя граница области определения i-го сопровождающего парамет-

ра. Полученный результат можно рассматривать как решение задачи нахождения интервальной оценки с Pg = 1 для сигнала, описываемого уравнением

Е ( х ) = Eg ( х,Х )+ £ Е ф/ W / ( х ) + Е ш ( х ) , (22)

i = 1

if _ +

где еф/ = ~J Еф (х)^i (x)dx; Lx = (х, х ) - область определения оптического сигнала, a

х Ьх

Ьх = х + - х . При этом полагается, что область определения , Ьф ) неизвестных параметров Еф1, много больше среднеквадратического отклонения их оценок, v , а интер-

вал наблюдения неограничен и Еш(х) можно положить равным нулю. При этом Еф1^ = в,

St = ^ (х), а Sx/ = Еg. ( X )| х=х,.

Для случая, когда сигнал является функцией только одного параметра, может быть тоже получено точное решение неравенства (19), задаваемое квантором

VA X е ЬА-Зг е Dr {SX (r, Х0)А X >S+V SX (r, Х0)А X <S} , (23)

где ЬА = (А-, А+) - искомый интервал, а Dr - область определения сигнала. На основании

(1.23) границы интервала ЬА могут быть найдены из выражений

А+ =inf G+; А - = suP G-, (24)

где G+ с Gz и G- с Gz - подмножества множества Gz, образованные соответственно из

только неотрицательных или из только неположительных его элементов. Множество Gz, в свою очередь, есть компакт и представляет собой объединение подмножеств G0 ^ G, элементами которых являются значения АХ или области таких значений, удовлетворяющие кванторам:

АХ Sx (r Л) = s+ (r) Л grad [_AxSx (^ Л) -s+ (r)] = 0 vMx (r, Л):

= Б~ (r) Л grad[ахSx (r, Л) - s (r)] = 0

АxSx (r Л) = s+ (r) Л (grad [AxSx (r, Л) - s+ (r)] •V(r) = 0) vAxSx (r, Л):

= е~(r) Л (grad [Ax Sx(r, А) - е~(r)] •F(r) = 0)

VAX е G03r е D0r

(25)

(26)

где Dor с Dr - подмножество точек r , расположенных на границе области определения сигнала, а V - вектор, направленный по касательной к контуру границы Dr в точке r е Dor. Графическая иллюстрация решений, задаваемых выражениями (24-26), приведена на рисунке 1 (для одномерного сигнала), где 1 - А+Sx (х, X); 2 - А - Sx (х, X); 3 - А+Sx (х, X) для

А - < Ах < А + (А+> 0; А-< 0).

Рисунок 1.

В частности, если в+(г) - в+, а в~(г) - в-, где в+ и в- некоторые константы, то А+ - шт {в+ / тах ^ (г, Ло); -В0- / шт ^ (г, Ло)},

А-- тах {в0+/ т1п ^(г Л); -в0- / тах ^(г> Л)},

(27)

(28)

где глобальные экстремумы функции чувствительности могут быть найдены путем сравнения значений S Х в точках r е D0r со значениями локальных экстремумов функции чувствительности внутри области Dr, для которых gradSx (r, X) = 0.

В качестве примера применения выражений (27, 28) рассмотрим одномерную задачу нахождения интервальной оценки координаты световой зоны, описываемой одним из выражений:

Е = Е0 rect [(х - X )/ А],

Е ( \

Е2 = 2А {(х - X + А) [sgn( х - X+А) - sgn( х - X)]- (х ]-A) [sgn( х - X) - sgn( х - X -А)]},

Е3 = Е0 exp [-(х - X)2 / 2А2 ], где Е0 и А - известные параметры, задающие значения интенсивности и ширины световой зоны.

Для таких сигналов их функции чувствительности по параметру X будут соответственно равны:

S X (х, Х0) = 5( х -А- Л) ~5( х + А- Х0);

Е

S2X (X, Х0) = 2АА t2 sgn(х " [ " sgn(х " Х "А) " sgn(х " Х + А)]

9

S3X (X, Х0) = Е3 • (х - Х0)/А 2.

Тогда max S1 x = - min S1 x ^ да при хтах = А + Х0 , Xmin = Л -А ,

Е0

maX S2X =-min S2X =~A° при хтах е ( Х , Х + А) , Xmin е ( Х -А, Х ), maX S3X =-min S3X =Е0еХР0,5/A при хтах =Х + A, хтт =Х -А.

Отсюда следует, что неопределенность оценки значения X для первого типа зоны будет равна нулю, а для второго и третьего типа будет определяться симметричными интервалами (-s0А /Е0, s0А/Е0) и (-s0А/ (Е0 exp0,5),s0А / (Е0 exp0,5)) соответственно.

Если же сигнал - многопараметрическая функция, то даже при отсутствии точного решения хороший качественный анализ может быть проведен путем оценки взаимного влияния отклонений параметров Aai, а также оценки их границ по выражениям (27, 28) в предположении, что Aaj = 0 при j ^ i. В некоторых частных случаях возможно также численное ре-

шение неравенства (19) путем сведения его к задаче линейного программирования.

Однако, несмотря на простоту и наглядность модели s-слоя, ее применение может давать завышенные значения для интервальных оценок. Определенные проблемы вызывает вопрос нахождения параметров модели [10, 11]. Такая модель не позволяет также оценить возможность сужения интервала неопределенности за счет некоторой потери качества оценки. Кроме того, метод s-слоя не определяет оптимальных решающих правил и не учитывает статистических свойств заданных на s-слое функций, а значит и не позволяет находить интервальную оценку по конкретной реализации сигнала и определять статистические свойства интервальной оценки. И, тем не менее, данная модель вполне работоспособна и может быть успешно использована в практических приложениях [12-15]

Выводы и основные результаты исследования

1. Для учета в расчетах метрологических характеристик первичных преобразователей некомпенсируемых систематических погрешностей в большинстве практических случаев в модели сигнала достаточно использовать квазистатическое приближение, представляя модель в виде композиции многопараметрической квазидетерминированной компоненты и

фиксированной на интервале измерения фоновой неоднородности. Одним из удобных способов задания такой неоднородности является описание ее в виде канонического разложения в ряд по системе ортогональных функций, коэффициенты которого в конкретной реализации сигнала являются неизвестными величинами и проявляют статистические свойства только в генеральной совокупности наблюдений. При большой степени априорной неопределенности о статических свойствах фона либо для случаев, когда такой фон даже в генеральной совокупности испытаний не обладает свойствами эргодичности и стационарности, более целесообразно описывать его в виде модели в-слоя - класса ограниченного по амплитуде и по первой производной функции.

2. Метод в-слоя позволяет заменить статистические расчеты расчетом интервальных погрешностей, что обеспечивает повышение качества проектирования преобразователей и их звеньев за счет применения более адекватной математической модели сигналов. Проведенные исследования показали перспективность применения метода в-слоя для расчета погрешности различных видов первичных преобразователей. При этом для проведения синтеза и анализа таких преобразователей удобно применять интервальные квантификационные критерии, получаемые из расчета зависимостей минимаксных интервальных оценок контролируемых параметров от значений этих параметров. Для того, чтобы такие критерии учитывали прагматическую ценность доставляемой информации, при их расчете реальный вид получаемых зависимостей следует заменять их аппроксимацией сверху функциями, учитывающими желаемые для разрабатываемого преобразователя свойства погрешностей измерения.

3. Методы, основанные на применении модели фоновой неоднородности в виде в-слоя, обеспечивают расчет интервальных оценок при близких к единице значениях доверительной вероятности. К недостаткам метода следует отнести возможность получения слишком сильного загрубения результатов вычисляемой погрешности, а к достоинствам - надежность и достоверность получаемых решений, поскольку фактические погрешности измерения проектируемых устройств никогда не будут превышать расчетных значений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фалькович, С. Е. Статистическая теория измерительных систем [Текст] / С. Е. Фалькович, Э. Н. Хомяков. - М. : Радио и связь, 1981. - 288 с.

2. Новицкий, П. В. Основы информационной теории измерительных устройств [Текст] / П. В. Новицкий. - Л. : Энергия, 1968. - 248 с.

3. Куликовский, Л. Ф. Теоретические основы информационных процессов [Текст] / Л. Ф. Куликовский, В. В. Мотов. - М. : Высш. школа, 1987. - 248 с.

4. Якунин, А. Г. Выбор квантификационных критериев для синтеза и анализа ОЭП многопараметрических квазидетерминированных оптических сигналов [Текст] / А. Г. Якунин //Оптические сканирующие устройства и приборы на их основе. - Ч. 1. - Барнаул, 1986. - С.169-170.

5. Якунин, А. Г. О взаимосвязи информационных квантификационных критериев с точностными характеристиками ОЭП [Текст] / А. Г. Якунин // Координатно-чувствительные фотоприемники и оптико-электронные устройства на их основее. - Ч. 2. - Барнаул, 1987. -С. 215-219.

6. Патрик, Э. Основы теории распознавания образов [Текст] / Э. Патрик ; [пер. с англ.] ; под ред. Б. Р. Левина. - М. : Сов. радио, 1980. - 408 с.

7. Рабинович, С. Г. Погрешности измерений [Текст] / С. Г. Рабинович. - Л. : Энергия, 1978. - 262 с.

8. Зайдель, А. Н. Погрешности измерений физических величин [Текст] / А. Н. Зайдель. - Л. : Наука, 1985. - 112 с.

9. Рубан, А. И. Идентификация и чувствительность сложных систем [Текст] / А. И. Рубан. -Томск : ТГУ, 1981. - 302 с.

10. Якунин, А. Г. Оценка возможности экспериментального определения параметров модели в-слоя [Текст] / А. Г. Якунин // Мат-лы второй междунар. науч.-технич. конференции «Измерение, контроль, информатизация». - Барнаул, 2001. - С. 54-56.

11. Якунин, А. Г. Выбор параметров модели в-слоя для сигналов с фотоэлектрического растрового измерителя линейных перемещений [Текст] / А. Г. Якунин, Л. И. Сучкова // Пятая краевая конференция по математике : мат-лы конференции. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2002. - С. 80-81.

12. Якунин, А. Г. Применение метода в-слоя для оценки погрешности определения линейного перемещения в спирометрическом комплексе [Текст] / А. Г. Якунин, Л. И. Сучкова // Мат-лы междунар. науч. конференции «Информационные технологии в естественных, технических и гуманитарных науках». - Ч. 2. - Таганрог, 2002. - С. 60-61.

13. Сучкова, Л. И. Применение метода в-слоя для оценки погрешности определения линейного перемещения в спирометрическом комплексе [Текст] / Л. И. Сучкова, А. Г. Якунин // Мат-лы междунар. науч. конференции «Информационные технологии в естественных, технических и гуманитарных науках». - Ч. 2. - Таганрог, 2002. - С. 60-61.

14. Сучкова, Л. И. Прогнозирование нештатных ситуаций в системах контроля и управления на основе модели в-слоя [Текст] / Л. И. Сучкова, А. Г. Якунин // Мат-лы 10-й междунар. конференции «Измерение, контроль, информатизация». - Барнаул : АлтГТУ, 2009. -С. 103-105.

15. Сучкова, Л. И. Применение модели в-слоя для повышения надежности синтеза и анализа контрольно-измерительных устройств [Текст] / Л. И. Сучкова, А. Н. Тушев, А. Г. Якунин // Надежность. - М., 2003. - № 2. - С. 41-47.