CC BY
62
РУХОМИЙ СКЛАД
УДК 621.436
Черняк Ю.В., к.т.н., доцент, зав. каф. (ДонИЖТ) Матвиенко С.А., студент (ДонИЖТ)
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРИРОВАННОГО ПАКЕТА ПРОГРАММ МАТИСАБ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ТЯГОВЫХ РАСЧЕТОВ ДЛЯ
ПОЕЗДНОЙ РАБОТЫ
В настоящее время, в связи со всевозрастающими требованиями к энергосбережению во всех сферах производства (в том числе и на железнодорожном транспорте), к тяговому обеспечению перевозочного процесса предъявляются новые требования. Тяговые расчеты, служащие теоретическим обоснованием практических приемов ведения поезда по участку, в этой связи должны определять наиболее энергооптимальные режимы вождения поездов, обеспечивать быстроту расчета по нескольким вариантам.
Основной задачей тяговых расчетов является нахождение зависимостей, обуславливающих характер движения поезда. Характер движения однозначно определяется величиной и направлением равнодействующей силы, приложенной к поезду. Зависимость между ускорением и равнодействующей силой описывается дифференциальным уравнением движения поезда.
Таким образом, задача сводится к решению различными методами уравнения движения поезда в форме задачи Коши. Основными подходами при этом служат линеаризация нелинейных функций, применение принципа малых отклонений переменных состояний объекта, вычисление текущих координат движущегося объекта в соответствии с методом наблюдаемости. Задачи, связанные с решением уравнения движения
поезда, являются общими для всех видов тяги и составляют две группы.
К первой группе относятся задачи, при решении которых подразумевается, что поезд движется с равномерной скоростью. Это предположение дает возможность определить массу поезда и равномерную скорость, которую может развить поезд при движении по конкретному элементу профиля пути.
Вторая группа задач решается при неравномерной скорости движения. Решение задач этой группы дает возможность рассчитывать режимы разгона и торможения поезда, определять скорости и времена движения по различным элементам профиля пути, учитывать возможность использования кинетической энергии для преодоления «инерционных» подъемов крутизной больше расчетного.
В тяговых расчетах [1] используются следующие методы решения уравнения движения поезда: аналитический, графический, численный и машинный. С помощью расчетов выбирается тяговый подвижной состав, определяются масса поезда, скорость и время его движения, расход энергоресурсов, нагрев тяговых электрических машин.
Наибольшее распространение получил графический метод решения уравнения движения поезда, который однако требует некоторых упрощений, ведущих к накопления ошибок, и является достаточно длительным.
Использование интегрированного пакета программ МаШсаё дает возможность применения аналитических подходов при решении уравнения движения поезда, что обеспечивает большую достоверность результатов (промежуточных и конечных), делает процесс проведения тяговых расчетов универсальным и ускоряет его. Мощный графический аппарат МаШсаё позволяет наглядно представлять функциональные зависимости, преобразовывать их в удобную для восприятия форму. Несложность аппарата программирования, на применении которого базируется разработанная методика, делает проведение тяговых расчетов средствами МаШсаё удобным как в профессиональных исследованиях, так и в учебных программах.
Для расчета массы поезда средствами разработанной программы необходимо ввести исходные данные.
Данные, которые необходимо ввести в ЭВМ для расчета
а := 0.92 в := 0.<
Я4 := 78
V := 19 5 ^08 := 20 5
Укоп := 100 Р := 138 Гкг := 361000
1. Доля 4-х и 8-ми осных вагонов:
2. Масса 4-х и 8-ми осных вагонов, т:
3. Нагрузка на ось 4-х и 8-ми осных вагонов, т/ось
4. Конструкционная скорость, км/ч
5. Расчетная масса локомотива, т
6. Расчетная сила тяги локомотива, Н
7. Доля тормозных осей
8. Индекс вида тормозных колодок:
9. Расчетная скорость, км/ч
10. Расчетный подъем, % о
11. Крутизна проверяемого подъема,% о
12. Длина проверяемого подъема, м
13. Начальная скорость, км/ч
14. Сила тяги при средней скорости, Н
15. Крутизна раздельного пункта,% о
16. Сила тяги при трогании с места, Н
17. Длина приемо-отправочных путей, м
18. Длина локомотива, м
19. Значения силы тяги по тяговой характеристике локомотива для скоростей от 0 до V констр через 10 км/ч
20. Крутизна наибольшего спуска,% о 1с := -9
в := 9.81
Я8 := 164
ст := 0.99
х1 := 0 чугунные колодки
х2 := 1 композиционные колодки
Уг := 43.5 1Г := 9 1рг := 10 8рг := 1750 Уп := 80 Гкег := 280000 Иг := 0
Ийг := 487350 Ьпвп := 1800 Ьл := 21
1 := 1.. 13
V := 1
К := 1
0 500000
10 435000
20 405000
30 385000
40 370000
43.5 361000
50 355000
57 345000
60 290000
70 200000
80 150000
90 115000
100 95000
Кроме того, необходимо ввести профиль пути: исходный или спрямленный. В последнем случае необходимо добавить ввод длин и радиусов кривых.
21. Количество элементов профиля
22. Профиль пути, вводится поэлементно
К := 21 к := 1.. К j := 1.. К
1000 0.5
400 1.5
500 0.0
800 -2.0
5800 -7.0
1250 -9.0
600 0.0
500 2.0
450 4.0
500 0.0
1350 -2.5
1000 0.0
800 -2.0
400 0.0
500 -5.5
1200 -4.5
800 0.0
1250 8.0
5400 7.0
500 2.0
900 0.0
0 0
0 0
0 0
1500 800
0 0
0 0
0 0
1500 500
1200 400
0 0
0 0
0 0
900 250
0 0
700 450
1000 500
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
В соответствии с правилами тяговых расчетов для поездной работы [1] программа расчета массы поезда имеет следующий вид.
Программа расчета веса поезда
д :=
^т'о ^ 1.9 + 0.01-Уг + 0.0003 Уг
№''04 ^ 0.7 +
3 + 0.1-Уг + 0.00255'Уг
2
"Ю4
w'о8 ^ 0.7 +
6 + 0.038 Уг + 0.0021-Уг
2
"Ю8
w''о ^ а- w''о4 + в- w''о8 Гкг - ('0 + 1г)- Р-д
д ^
(''0 + п)
д = 5508.772
При проверке массы поезда на преодоление подъема с учетом использования кинетической энергии конечную скорость принимаем равной расчетной.
Проверки массы поезда производим по следующим программам:
Ук := V]
8 :=
Усг ^
&сг ^
Ук + Уп 2
Гксг
(р + д)-в
wcг01 ^ 1.9 + 0.01-Усг + 0.0003Усг
№сг04 ^ 0П + '
3 + 0.1-Усг + 0.0025Усг
2
04
wcГo8 ^ 0.7 + •
6 + 0.038 Усг + 0.0021-Усг
2
08
wcг02 ^ а- wcг04 + в- wcг08
wkcг ^
(wcг01 + 1рг)) + (сг02 + 1рг))
4.17-
(р + д)-в
4.17-(Ук2 - Уп2)
&сг - wkcг
wtг4 ^
28
wtг8 ^
V + 7 28
^08 + 7
wtг ^ а - №1x4 + в - №1x8 Fktг
- Р
Ь :=
(^г + 1tг)-в
д^ = 40501.95 а-д
т4 ^
4-^04
в-д 8-%
15- т4 + 20- т^ + Ьл + 10
8 = 3553.162 Ь = 970.566
Результаты расчета массы состава и ее проверок
д = 5508.772 8 = 3553.162 д^ = 40501.95 Ь = 970.566
Для дальнейших расчетов необходимо определить величины удельных равнодействующих ускоряющих и замедляющих сил. Основные удельные сопротивления локомотива w'oi и вагонов w"oi рассчитываются для скоростей, приведенных в исходных данных. Расчетный коэффициент трения колодок о бандаж колеса ф определяется в зависимости от скорости движения и материала, из которого изготовлены колодки. Расчетный тормозной коэффициент поезда 0Г определяется в зависимости от материала колодок. Расчет ведется в табличной форме, при этом величины равнодействующих сил и скоростей движения выводятся в программе в
виде матриц-столбцов (векторов) для трех режимов движения: тяга, выбег и торможение (служебное и экстренное), например:
Расчет удельных равнодействующих сил
w'1 := 1.9 + 0.01-У + 0.0003(у)
w''4 := 0.7 + w''.l=а- w''4 + В- w''8. а 1 1 к 1 Ч|
3 + 0.1У1 + 0.0025(у)2
04
w''8. := 0.7 + 1
6 + 0.0388 У + 0.0021-(у)
"Ю8
:= 2.4 + 0.011- V + 0.00035(у)
Ш'. := w',Р- в W''1 := w''1-д^ 1 1 1 1
Ш. := Ш'. + Ш''. 1 1 1
Шх := wx-Р-в 11
т4 :=
а-д 4-а
04
т8 :=
в-д
8-а
08
п4 := 4-т4
18 := 8-т8
Ф1 :=
У, + 100
0.27-—1- И 1х1|
5У + 100 1
У- + 150
0.36-—1- а 1x2
2У + 150 1
9г :=
ст-(68.5п4 + 68.5п8)
д-в
а-(41.5-п4 + 41.5п8)
д- В
И |х1|
^ |х2|
Ь1 := 1оооф1-01
f - w"
Таблица удельных равнодействующих сил
w
w + 0.5Ь ох 1
w + Ь ох т
лЬ. :=■
К - Ш. 1 1
1 (р + д) - в
уЬх := -1
Шх. + Ш". 11
(р + д)-в
vft. := -1
Шх. + Ш". -1-1 + 0.5-Ь.
(р + д)-в 1
уШ. :=-1
Шх. + Ш". —1-1 + Ь,
(р + д)-в 1_
У = 1
10
20
30
40
43.5
50
53.2
60
70
80
90
100
уЬ = 1
9.841
8.173
7.734
7.467
7.248
7
5.912
5.392
2.922
1.054
0.039
-0.714
-1.348
уЬх = 1
-0.919
-0.976
-1.058
-1.164
-1.295
-1.347
-1.451
-1.506
-1.632
-1.837
-2.067
-2.322
-2.601
уй. = 1
-45.103
-33.378
-27.568
-24.14
-21.915
-21.317
-20.387
-20.001
-19.305
-18.529
-17.973
-17.585
-17.329
уЙ. = 1
-89.287
-65.779
-54.079
-47.116
-42.534
-41.287
-39.323
-38.495
-36.979
-35.22
-33.879
-32.849
-32.057
о
0
Задачи второй группы рассчитываются путем интегрирования дифференциального уравнения движения поезда. Для точного решения уравнения движения необходимо иметь формулы, связывающие между собой равнодействующие ускоряющие и замедляющие силы, скорость движения, пройденный путь и время движения.
Связь между удельной (ускоряющей или замедляющей) силой и скоростью движения можно установить с помощью функций аппроксимации и интерполяции. МаШсаё дает возможность аппроксимации указанной зависимости кривыми (или отрезками) полиномов разных степеней. Однако для аппроксимации кривой удельной силы тяги коэффициенты полинома невозможно применить постоянными для всего диапазона скоростей. Для выполнения расчетов эту кривую необходимо разбивать на несколько участков, для каждого из которых определяются необходимые коэффициенты. Кривую зависимости скорости
движения от удельной силы тяги необходимо разделить минимум на два участка: участок ограничения по сцеплению и участок работы локомотива на автоматической характеристике. Наиболее просто это реализуется при использовании функции линейной аппроксимации, когда узловые точки соединяются отрезками прямых. Эта же функция использована для определения зависимостей удельных сил сопротивления движению на выбеге и при торможении с сохранением необходимой точности.
Определить величины равнодействующих ускоряющих и замедляющих сил в зависимости от скорости движения можно также с помощью функции сплайновой аппроксимации МаШсаё, при которой исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через смежные узловые точки.
После аппроксимации на втором этапе с помощью функции интерполяции для каждой искомой точки вычисляется значение у=/(х).
Величины равнодействующих сил и скоростей движения используются в программе в виде матриц-столбцов (векторов) для трех режимов движения (тяга, выбег и торможение), например:
Щу) := Нп1егр(У,уГ,у) £2(у) := Нп1егр(У, vfx,у) £3(у) := 11п1егр(У,уй,у) Уравнение движения поезда можно записать в виде системы:
где V - скорость движения, км/ч; 5* - пройденный путь, км; ? - время, ч;
/у(у) - удельная сила, Н/кН.
Величина удельной (ускоряющей или замедляющей) силы определяется из выражения:
Ж '
(1)
I (V) = I (у) ± ^ (у) - Ьт (у),
(2)
где /к(у) - удельная сила тяги, Н/кН;
wk(у) - удельная сила сопротивления, Н/кН;
ЬТ(у) - удельная тормозная сила, Н/кН;
£ - ускорение поезда, км/ч2, возникающее под действием удельной ускоряющей силы в 1 Н/кН с учетом инерции вращающихся масс, принимается, согласно [1], £ =120 (км/ч )/(Н/кН).
Величину скорости движения на (п+1)-м участке интегрирования можно определить следующим образом:
у„+1 = у„ + Аг
'¿»Л
V + С(/к (у) ± ^ (у) - Ьт (у))я, (3)
1 + у
V Ж Л уи+1 + у,
или
уй+1 = (4)
Преобразовав систему (1) с учетом (4), получим следующую систему
у„+1 = ^ у„2 + 2А*£(/у (уп)), (5)
. Л. . 2А (6)
г = г +Аг=г +-, 4 7
"и+1^ "и
я„+1 = +А*. (7)
Интегрирование производится по всей длине участка с шагом интегрирования А При этом чем меньше шаг интегрирования, тем точнее выполняемые расчеты. Для каждого последующего значения приращения пройденного пути определяется значение равнодействующей силы, которая на всем шаге интегрирования А считается постоянной. Выбор вида равнодействующей (ускоряющей или замедляющей) силы на практике означает выбор режима движения на том или ином участке пути. Режим движения (в программе - интерполирующая функция /¡(у), /2(у) или /з(у)) выбирается в зависимости от профиля участка, пройденного пути или же скорости движения. Далее выбранная функция интерполирует значение равнодействующей силы, применяя линейную интерполяцию, и
определяет значение скорости и времени хода поезда на последующем шаге интегрирования Аз по формулам (5), (6). Затем координата пути увеличивается на шаг Аз*. Таким образом определяются значения скорости и времени движения поезда в зависимости от пройденного пути для всего участка.
При проведении тяговых расчетов необходимо также учитывать необходимость проверки тормозов на эффективность действия, которая производится на ближайшем «легком» элементе профиля после отправления со станции и контролируется снижением скорости движения на 10 км/ч для пассажирских и 20 км/ч для грузовых поездов [1]. Проверка тормозов в программе выполняется автоматически при задании координат участка, на котором должна быть выполнена проверка, и граничных скоростей движения.
Исходными данными являются длина участка и число его разбиений на шаги интегрирования, начальные значения пути, скорости и времени движения обнуляются.
В расчетах используются уклоны спрямленного с учетом кривых профиля, определенные для каждого шага интегрирования Аз.
Режимы движения (вид равнодействующей на поезд силы) задаются в виде подпрограммы в зависимости от накопленного пути, профиля участка и скорости движения, например:
fy (V) Ч
f2(v),i < 0 n 5 > 2,5
f3(vX V ^ Vm
fl(v)
где для спуска (К0) начиная с 2,5 км выбирается режим холостого хода (интерполирующая функция /2(у)), при превышении скорости выше допустимой (у>утах) выбирается режим служебного торможения (/3(у)), в остальных случаях - режим тяги (/¡(у)).
Значения скорости и времени движения, вычисленные по формулам (5), (6) выводятся в виде векторов:
s = n
0
0 0
1 0.002
2 0.004
3 0.006
4 0.008
5 0.01
6 0.012
7 0.014
8 0.016
9 0.018
10 0.02
11 0.022
12 0.024
v = n
0
0 0
1 2.117
2 2.966
3 3.612
4 4.152
5 4.625
6 5.05
7 5.439
8 5.799
9 6.136
10 6.453
11 6.753
12 7.039
t = n
0
0 0
1 0.113
2 0.161
3 0.197
4 0.228
5 0.255
6 0.28
7 0.303
8 0.324
9 0.344
10 0.364
11 0.382
12 0.399
При решении тормозной задачи время подготовки тормозов к действию ^ определяется в такой последовательности:
- Определяется количество осей в составе
п := п4 + п8
- По программе, приведенной ниже, определяется подготовительное время ^ и путь подготовки тормозов к действию Бп исходя из заданного уклона участка торможения
t п :=
7 - if < 200 b11 15ic
10--if 200< < 300
b11
12 - — if hi > 300 b11
sп := 0.278• Vkon • tn
tn = 14.244 s п = 395.973
На рисунке 1 показан результат решения тормозной задачи.
100 100
90
80
70
V
п 60
у1;1 50
40
30
20
10
0 0
" — - • ___
/ --.
1
> * N
\
\
\ \
\
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 Бп, , 82;2
1.1 1.2 1.2
Рисунок 1 - Результат решения тормозной задачи
1
Для расчета количества затраченных на тягу поезда энергоресурсов и определения перегрева электрических машин необходимо определить величины тока в зависимости от скорости в режиме тяги (т.н. кривые тока). Эти кривые представляют собой для тепловозов - зависимость тока генератора или тягового электродвигателя (ТЭД) от скорости, для электроподвижного состава (ЭПС) постоянного тока - зависимость тока, потребляемого локомотивом, от скорости, и для ЭПС переменного тока -зависимость тока ТЭД и действующего значения активного тока от скорости движения.
Кривые тока строятся на основании токовых характеристик (зависимость тока от скорости), приведенных в [1] и которые вводятся в программу в виде матриц-столбцов, путем интерполяции из этих таблиц значения искомого тока по текущей скорости на данном шаге интегрирования. При вводе токовых характеристик необходимо учитывать наличие переходов между ступенями ослабления возбуждения ТЭД или между вариантами соединения ТЭД, что можно реализовать только при использовании функции линейной интерполяции. При этом для тепловозов необходимо задавать две зависимости тока от скорости - для прямых и обратных переходов. При задании кривой тока необходимо также обнулять
ее значение, когда локомотив выходит из режима тяги, как это показано ниже на примере вычисления кривой тока для генератора тепловоза:
I := n
linterp(vv1, I1, vn) if vn > vn J linterp(vv2, I2, vn) if vn < vn j
Ir := n
In if i(vn, n) = f1(vn)
0 if 2.0 < s < 2.5 л v < v
n n-1
0 otherwise
где уу1, II - массивы значений токовых характеристик для прямых переходов между ослаблениями поля (при увеличении скорости движения),
уу2, 12 - то же для обратных переходов (при снижении скорости).
Во второй подпрограмме обнуляется также значения тока при снижении скорости на участке пробы тормозов.
Для расчетов электрических машин на перегрев необходимо ввести зависимости тепловых характеристик обмоток электрических машин локомотива от тока и начальный перегрев для их последующего использования в программе (здесь т^ =тда):
Г 0 ^ Г 0 ^ Г 24.3 ^
440 60 28.16
500 63.2 28.3
600 81 30.2
700 Tinf := 106.2 T := 32.8
800 140.5 36
900 191.2 40.2
v1000J v 261.5 J v 48 j
15
Затем, исходя из метода, принятого в [1], выполняется проверка путем определения максимального перегрева в массиве значений перегрева на каждом шаге интегрирования, продолжительность движения по которому А1=1п+1- 1;п, вычисляемых по следующей формуле:
At ( At )
т = Тэ т+то 11 - т J'
(8)
n
где тю, Т - установившаяся температура длительного режима и тепловая постоянная нагревания, °С, интерполируются в зависимости от тока 1д,
т0 - значение перегрева на предыдущем шаге, °С. При этом проверка точности Т < 0,1 соблюдается всегда из-за очевидной
малости промежутка времени At.
Первое слагаемое в формуле (8) описывает процесс нагрева электрической машины, а второе - ее остывания вследствие обдува. Таким образом, нет необходимости задавать отдельно две формулы для нагрева и остывания машины, по [1], так как при нулевом токе интерполируется значение тда=0 и первое слагаемое обращается в нуль, и в вычислении участвует только второе слагаемое.
Ток ТЭД 1д либо определяется по кривой тока (для ЭПС переменного тока), либо вычисляется в подпрограмме в зависимости от числа параллельных цепей ТЭД (для ЭПС постоянного тока и тепловозов). Например, для электровоза постоянного тока с переходами С-СП при 8 км/ч и СП-П при 18,5 км/ч для значения потребляемого локомотивом тока 1е ток двигателя определяется по следующей подпрограмме:
р ^ 1 Я V < 8
1 п
р ^ 2 Я 8 < V < 18.: г п
р ^ т if V > 18.5 2п
1е
п
р
где т - число движущих колесных пар локомотива.
Перегрев считается неопасным, если его максимальное значение не превосходит допустимого для данного класса изоляции электромашины. Расчеты на перегрев наглядно иллюстрирует график зависимости тока и температуры перегрева от пройденного пути (рисунок 2).
Расход топлива (электроэнергии) локомотивом на тягу определяется с помощью построенных кривых времени и тока по формулам, указанным в [1] для соответствующего рода тяги. Для расчета задаются начальные данные: напряжение на токоприемнике электровоза ие, значения электроэнергии, потребляемой электровозом на вспомогательные нужды авн за единицу времени, расходы топлива для
тепловоза при его работе в режиме тяги О и холостого хода §х, относящиеся к единице времени. Ниже приведены примеры программ расчета потребленных энергоресурсов для электровоза и тепловоза.
22002200 2000
10 Vn
1е
1800 1600 1400
п 1200 1дп 1000 10Т , 800
- 600
400 200 Л 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Л Эп 26
Рисунок 2 - Результат расчета электрических машин на перегрев
Определение расхода электроэнергии для электровоза ВЛ8
ие := 3000 авн 167
L := тах» Тхода:= тах<1)
Ие'1[1еп'(1п+1 - 1п)] п
60-1000
Ат = 1175.803 кВтч
Авн : авн'Тхода
А вн = 47.088 кВтч
А А т + А вн
А = 1222.;
кВтч
1000 А (Р + 0)-Ь
а = 8.294
Втч/ткм брутто
а
где Ь - длина участка, км;
Тхода - время хода поезда по участку, мин (указанные величины определяются как максимальные значения из массивов пути и времени соответственно);
1е - ток электровоза, А, вычисленный по кривой тока.
Определение расхода топлива для тепловоза 2М62
п+1
2^-60
1 +- ^ 1г Ф 0
п у . + у п
п+1 п
-Время движения в режиме тяги
1™ := таХ(1)
п+1
2•As-60
1 +- ^ 1г =0
п у . + у п
п+1 п
-Время движения в режимах выбега и
торможения
1:х := таХЧ)
^ = 20.436
1Х = 13.07
Т = 33 507 хода
1Г + 1Х = 33.507
О := 11.6 ёх:= 0 84 Ь := таХ^)
Е := С- 1т + ёх- 1х
Е = 248.043 кг
Е-10
д-ь
е = 20.278
кг/104тмк брутто
еу := е-1.43
еу = 28 998 кг/104тмк брутто
1
п
1
п
е
где 1г - ток генератора тепловоза, А, вычисленный по кривой тока.
Результаты проведенных таким образом тяговых расчетов (рисунок 3) могут быть представлены в виде таблиц (например, скорости и времени движения), отдельных значений (масса поезда, значение максимального перегрева), или же графических зависимостей (значения скорости, времени движения в функции пути и т.д.). Последним отдается предпочтение, поскольку пакет Mathcad имеет мощный аппарат графической интерпретации функций, что позволяет обеспечить наглядность и легкость чтения выводимых данных.
Описанная методика расчетов с применением интегрированного пакета программ Mathcad предназначена для использования специалистами железнодорожного транспорта, а также студентами при выполнении работ соответствующей тематики. При этом методика является универсальной, но требует еще значительного контроля со стороны оператора (главным образом при выборе режимов движения на участке). Она позволяет значительно упростить и ускорить проведение тяговых расчетов, обеспечить высокую точность результатов и их представление в удобной и наглядной форме.
Список литературы
1. Правила тяговых расчетов для поездной работы. - М.: Транспорт, 1985.
2. Деев В.В., Ильин Г.А., Афонин Г.С. Тяга поездов: Учебное пособие для вузов /Под ред. В.В.Деева. - М.: Транспорт, 1987.
3. Бабичков А.М., Гурский П.А., Новиков А.П. Тяга поездов и тяговые расчеты. М.: Транспорт, 1971.
4. MATHAD 6.0PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде WINDOWS 95. /Перевод с англ. - М.: Информационно-издательский дом «Филинъ» 1990.
5. Макров Е.Г. Инженетные расчеты в Маthcad. Учебный курс. - СПб.: Питер,
2005.
