Применение характеристических функций для асимптотического исследования сетей связи с динамическим протоколом случайного множественного доступа Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.А. Назаров, С.А. Цой

ПРИМЕНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ СЕТЕЙ СВЯЗИ С ДИНАМИЧЕСКИМ ПРОТОКОЛОМ СЛУЧАЙНОГО МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА

Рассматриваются сети связи с динамическим протоколом случайного множественного доступа. Для их исследования строится математическая модель в виде системы массового обслуживания. Исследование проводится методом асимптотического анализа с применением теории характеристических функций и матричного подхода, что позволяет в значительной степени сократить трудоемкость исследования и получить асимптотические результаты сразу для целого класса моделей.

Рассмотрим модель {2, Б} сети связи, управляемой динамическим протоколом доступа с оповещением о конфликте. В этом случае интенсивность повторного обращения из источника повторных вызовов (ИПВ) составляет ст = у//, где / - число заявок в ИПВ, а к -состояние прибора: 0 - свободен, 1 - занят обслуживанием, 2 - реализуется этап оповещения о конфликте. На вход системы поступает простейший с параметром р поток заявок. Продолжительность обслуживания и время оповещения о конфликте имеют экспоненциальное распределение с параметрами ц = 1 и ц2.

Двумерный процесс {к(/),/(/)} является двумерной цепью Маркова, поэтому ее распределение Рк (/,0 = Р{к^) = к,/(О = /} удовлетворяет дифференциальным уравнениям Колмогорова для / > 3

dPo(i, t) dt dP1(i, t) dt dP2 (i, t) dt

- -(P + Y)Po (i, t) + P (i, t) + |H2P2 (i, t),

= -(p + Y +1)P ^, t) + pPo(i, t) + YP0(i + 11) •

= -(p + H2 )P2 ^, t) + pP2 (i - 11) +

+pP1 (i - 2, t) + yP1 (i -1, t),

(1)

dPo(0, t) dt dPt(0, t) dt dPo(1, t) dt dP(1, t) dt

dPo(2, t) dt ВД t) dt

dP2 (2, t)

- -pPo(0,t) + P1(0,t) ,

= -(p + 1)P (o, t) + pPo (o, t) + YPo (1, t) ,

= -(p + Y)Po(1, t) + P(1, t),

- -(p + Y +1)P (1, t) + pPo (1, t) + yP, (2, t) , = -(p + Y)P0(2, t) + P1(2, t) + H 2 P2(2, t) ,

- -(p + y + 1)P (2, t) + pPo (2, t) + yP, (3, t):

dt

Обозначив

- -(p + H2)P2 (2, t) + pP, (0, t) + yP (1, t). (2)

Hk (u, t) - XeJuiPk (i, t) - P{k(t) - k}{{/k(t) - k},

из системы (1) и краевых уравнений (2) получим систему уравнений для функций Нк (и, ґ) в виде

а также краевым уравнениям Колмогорова для

i - 0, 1, 2

dH 0 (u, t) dt

— —(p + Y)H 0 (u, t) + H1 (u, t) +

+H 2 H 2 (u, t) + yP0(0, t) dH j (u, t)

dt

— —(p + Y + 1)H 1 (u, t) +

+ (p + Ye -* )H 0 (u, t) - Ye-'“P, (0, t) + yP (0, t),

dH gt“,t) -(” - 1)-H2 )H2(ut) +

+ (pe2ju +Yeju)h1(u,t)- Yej"P(0,t).

Обозначив векторы

H(u,t) - {H0(u,t),H1(u,t),H2(u,t)}, P(0, t) -{Po(0, t), P(0, t), P2(0, t)}

(3)

и матрицы

- (p + Y) p + Ye~

A( x, p) 1 - (p + Y +1) pe2 x +Yex

H2 0 І - -1 e( p(

Y - Ye~x 0 "

B(x) - 0 Y - Yex ,

0 0 0

(4)

систему уравнений (3) для функций Нк (и, ґ) перепишем в виде

dH (u, t) dt

- H(u, t)A( ju, p) + P(0, t)B(ju).

(5)

Отметим, что уравнение (5) будет иметь совершенно аналогичный вид для целого класса математических моделей сетей связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа, что позволяет исследовать их все одним методом, который будет рассмотрен ниже.

Известно, что для рассматриваемой математической модели сети связи существует такая величина £, что

i-0

X

0

при выполнении условия р < £ в системе массового обслуживания существует стационарный режим.

Определение. Величину £ будем называть пропускной способностью сети связи, т.е. пропускной способностью сети связи называется точная верхняя граница £ тех значений загрузки р, для которых в математической модели сети связи существует стационарный режим.

Для нахождения значения величины £, а также других вероятностно-временных характеристик сети связи уравнение (5) будем решать методом асимптотического анализа в условии большой загрузки р Т £ ; обозначив є = £ - р, будем полагать є ^ 0 .

В уравнении (5) выполним замены

p - S -є , te2 - т , u - ev,

H(u, t) - F(v, т, є), P(0, t) - eP(T);

(6)

получим

2 dF(v, т, є) дт

-F(v,т,є)A(jev,S-є) + eP(x)B(jev). (7)

Теорема 1. Если существует предел limF(v, т, s) =

s—>0

= F(v, т), то значение S пропускной способности является корнем уравнения

R(S)V(S)E - 0,

(8)

где вектор Я определяется системой (13) и условием нормировки ЯЕ = 1, а матрица V имеет вид (16). Характеристическая функция

Ф^, т) - lim F(v, т, є)E

(9)

является решением обыкновенного линейного дифференциального уравнения (26) первого порядка, а в стационарном режиме

Ф(у, т) = Ф(^) - -

к

к- jv

(10)

т.е. является характеристической функцией экспоненциального распределения с параметром к, значение которого определяется равенством (29).

Доказательство этой теоремы выполним в три этапа.

Этап 1. Обозначим

lim A( jsv, S - є) - A(0, S) - K(S).

s^0

тогда, выполнив в (7) указанный предельный переход, получим

F(v, т)К(S) - 0.

(11)

решение F(у, т) однородной системы (11) линейных алгебраических уравнений можно записать в виде

F(v, т) -Ф^, ^R(S),

(12)

где Я(£) - распределение вероятностей цепи Маркова к (т) с тремя состояниями к = 0, 1, 2, определяемое системой

R(S)К(S) - 0

(13)

и условием нормировки КЕ = 1, а скалярная функция Ф(у, т) будет определена ниже.

Отметим, что Ф(у, т) является характеристической функцией для предельного процесса последовательности єі(т / є).

Из (12) очевидно следует, что вектор Р(т) можно положить равным

Р(т) = у(т)К(£), (14)

где у(т) = Р(т)Е будет определена ниже.

Этап 2. Используя разложения матриц

A( jєv, S -є) - К (S) + j^vV (s) -єК '(S) + 0(є2). B( jєv) - B(0) + О(є),

где матрица V (S) имеет вид

(15)

V(S) -

cA( x, S)

dx

(16)

Из (21) очевидно следует, что К (£) является матрицей инфинитезимальных характеристик предельного процесса к(т) последовательности к(т/є2), поэтому

а также равенство (14), уравнение (7) запишем в виде

0(е2) = F (у, е, т){К (£) + jеvV(S)-еК '(£)}+

+еv(т)R(S)B(0). (17)

Решение F(у, т, е) этого уравнения найдем в виде разложения

F(у, т, е) = Ф(у, т)Я(5') + еf (у, т) + 0(е2), (18)

подставив которое в (17), получим 0(е2) =

= {Ф(у, т)Я(£) + еf (у, т)}К (£) + jеvV ($) -еК '(£)}+

+ еv(т)Я(S )В(0) + 0(е2) = Ф(у, т)Я(£ )К (£) +

+jеvФ(v, т) Я($ )V (£) -еФ(у, т)Я(£ )К '(£) +

+ е/ (у, т) К @) + еv(т)R(S )В(0) + 0(е2).

Так как, в силу (13), Я(£)К(£) = 0, то при е ^ 0 можно для / (у, т) записать равенство

x-0

/ (у, т) К $) + jvФ(v, т)R(S)V ^) --Ф(у, т) Я(5') К ) + v(т) R(S) В(0) = 0,

которое является неоднородной системой алгебраических уравнений, поэтому ее решение /(у, т) можно представить в виде

/(у, т) = Ф(у, х){/уИ + И^} + V (т)у , (19)

в котором векторы А, И и у являются решениями систем

здесь матрица ) имеет вид

НК (£) + К(£ )У (£) = 0, \К (£) - К(£ )К '(£) = 0, >К (£) + К(£ )В(0) = 0.

(20)

(21)

(22)

К(£)У(£)Е = 0 ,

(23)

А(/єу, £ - є) = К(£) + /єуУ(£) +

( Уєу) 2

£(£) -

-єК' (£) +—К" (£) + /є2уУ' (£) + о(є2) В(/єу) = В(0) + /єуВ"(0) + 0(є2),

Я(£) =

52 А( х, £)

дх2

Из вида (49) матриц А(х, S) и В(х) следует, что

К" (S) = 0 , К^)Е = 0 ,

К" ^ )Е = 0, В(0)Е = 0,

поэтому

А(/єу, £ - є)Е = /єуУ(£)Е + - /є2уУ" (£ )Е + 0(є3),

( /єу) 2

£(£) Е -

Очевидно, решение И системы (21) имеет вид И = -Я" (S).

Так как

В(0) = -уК" (S), что следует из равенств (21), то решение у системы (22) имеет вид

у = -уЯ" ^) .

Для того чтобы существовало решение И системы (20), будем полагать, что выполняется равенство

В(]'еу)Е = jеvB"(0)Е + 0(е2), следовательно, равенство (25) примет вид

2 дF(у, т, е)

дт

-Е =

= /єу^ (V, т, є)|У (£) Е + /^(£ )Е - єУ '(£) Е ¡> + + /є 2уу(т)К(£ )В'(0)Е + 0(є3).

совпадающее с (8), которое определяет значение величины пропускной способности S . Таким образом, для (19) получим

/(у, т) = Ф(у, т){уИ - Я"(S)}- v(т)yR'(S), поэтому разложение (8) для функции

F (у, т, е) = Ф(у, т)Я^) +

+ еФ(у, т){уИ - Я"^)}-еv(т)yR"^) + 0(е2). (24)

Этап 3. Для нахождения функции Ф(у, т) просуммируем по к все уравнения систем (7), принимая во внимание (14), получим

е2 ^(v, X, е) Е = F(у, т, е)А( jеv, S -е)Е + дт

+еv(т)R(S)В(jеv)E . (25)

Для матриц А и В запишем разложение

Подставив в него разложение (24) и учитывая, что, в силу (23) Я^V^)Е = 0 и Я"(S) = 0, при е ^ 0 получим уравнение

дФ(у, т) дт

= /уу(т) К(£ )В " (0)Е +

+ Ф(у,т)^(/V)2! НУ(£)Е +1 К(£)Б(£)Е |-

-МЯ(£ )У (£ )Е + К ' (£ )У (£ )Е) = = /уу(т)К(£ )В' (0)Е +

+ /УФ(у,т)^/у\ НУ(£)Е + -Я(£)Я(£)Е |-

-((£)У(£)Е) I.

Таким образом, характеристическая функция Ф(у, т) является решением уравнения

дФ(у, т) дт

= /уу(т) К(£ )В " (0)Е +

1

+ /уф(у,т)^ М НУ(£)Е + -К(£)Б(£)Е |-

-((£)У(£)е) I.

(26)

х=0

2

В стационарном режиме Ф(у, т) = Ф(у) , v(т) = v и уравнение (26) для функции Ф(у) имеет вид

vЯ( S) В" (0)Е +

+ Ф(v,т)^ jv| hV(S)E + -R(S)D(S)E |-

-(r(s )v (s )e U- 0

следовательно

Ф(v) -

vR(S )B' (0)E

(R(S)V(S)E) - jv(hV(S)E +1R(S)D(S)E)

Так как Ф(0) -1, то величина v принимает значе-

v - R(S)V(S)E)r(S)B '(0)E , а функция Ф(v) имеет вид

Ф(v) - К

к- jv

(28)

ние

характеристической функции экспоненциального распределения с параметром к.

п(у) = ке~ку ,

где параметр к определяется равенством

к = ^)Е //{^ (S )Е + 2 R(S )Б^)Е}. (29)

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. НазаровА.А., ТерпуговА.Ф. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. Томск: Изд-во НТЛ, 2004. 228 с.

2. Назаров А.А., Цой С.А. Общий подход к исследованию марковских моделей сетей передачи данных, управляемых статическими протокола-

ми случайного множественного доступа // Автоматика и вычислительная техника. 2004. № 4. С. 73-85.

3. Цой С.А. Применение общего подхода к сравнению функционирования двухканальных сетей случайного множественного доступа // Вестник

Томского государственного университета. Приложение. 2005. N° 14. С. 271-274.

4. Колоусов Д.В., Назаров А.А., Цой С.А. Исследование вероятностно-временных характеристик бистабильных сетей случайного доступа //

Автоматика и телемеханика. 2006. № 2. С. 90-105.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2006 г.