Применение функций чувствительности в оценках допусков на реализацию программного управления в автоматических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Апробация по исходным данным перевозочного процесса в пределах ВосточноСибирской железной дороги показала его высокое качество и практическую значимость.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Фролов В.Ф., Начигин В.А. Центр оперативного управления дороги - основа укрепления горизонтальных связей и повышения уровня безопасности движения // Обеспечение безопасности движения поездов на современном этапе // материалы XIV Междунар. НТК. Москва, 2013. С. 124-127.

2. Черноруцкий И.Г. Методы принятия решений. Спб. : БХВ-Петербург, 2005. 416 с.

3. Петровский А.Б. Многокритериальное ранжирование объектов по противоречивым данным // Искусственный интеллект. 2006. № 2. С.215-220.

4. Домбровский И.А., Краковский Ю.М. Вероятностный анализ безубыточности грузовых перевозок на основе метода Монте-Карло // Изв. Трансиба. 2013. № 3. С. 125-130.

5. Каргапольцев С.К., В.А. Начигин, Д.А. Лукьянов Алгоритмическое обеспечение оценки целевых показателей перевозочного процесса перевозок // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 1. С. 144-149.

6. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М. : Радио и связь, 1993. 320 с.

УДК 62-501.12 Огородников Юрий Иннокентьевич,

к. т. н., Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. 89834011463, e-mail: [email protected]

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ В ОЦЕНКАХ ДОПУСКОВ НА РЕАЛИЗАЦИЮ ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Yu. I. Ogorodnikov

USING SENSITIVITY FUNCTIONS IN THE ASSESSMENT OF TOLERANCES FOR REALIZATION OF PROGRAMMABLE CONTROL IN THE AUTOMATIC SYSTEMS

Аннотация. В статье показано, что для управляемых систем в оценках допусков на реализацию программного управления можно использовать функции чувствительности. Задача определения допусков на реализацию программного управления, при которых гарантируется отклонение возмущенной фазовой траектории от номинальной в заданных пределах, возникает в связи с тем, что в реальной системе автоматического управления управляющее устройство реализует расчетное программное управление с некоторой погрешностью. В статье приведены полученные автором оценки допусков на бесконечную норму вектора вариаций управления для нелинейных систем и стационарных непрерывных систем, линейных по вектору состояния и вектору управления. Показано, что при вычислении этих оценок могут быть использованы функции чувствительности вектора состояния исходной системы по вектору управления. Функции чувствительности определяются из модели чувствительности, представляющей собой совокупность исходных уравнений движения и уравнений чувствительности. Уравнения чувствительности являются линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Для линейных управляемых систем полное совпадение значений полученных ранее оценок со значениями оценок, использующих функции чувствительности, достигается для монотонно меняющихся функций чувствительности. Рассмотрены вычислительные аспекты получения допусков на реализацию программного управления при использовании функций чувствительности вектора состояния исходных уравнений движения по вектору управления. Для управляемой системы второго порядка приведен пример вычисления допусков на вариацию управления от номинального, при котором гарантируется отклонение возмущенной фазовой траектории от номинальной в заданных пределах.

Ключевые слова: нелинейная управляемая система, программное управление, уравнение в вариациях второго порядка, матрица Коши уравнения в вариациях, функции чувствительности, метод сопряженных систем.

Abstract. The problem of determination of tolerances on programmable control implementation that guarantee deviation of disturbed phase trajectory from the nominal one in the specified boundaries was originated by the fact that a control device in the real automatic control system implements the designed programmable control with certain error. The paper presents assessments of tolerances obtained by the author on the control for variations vector infinite norm, for nonlinear controllable systems and time-invariant continuous systems that are linear by the vector of state and vector of control. It has been shown that these estimates can be computed using sensitivity functions of the state vector of the initial system by the control vector. Sensitivity functions are determined from the sensitivity model that represents an aggregation of initial motion equations and sensitivity equations. Sensitivity equations are common linear differential equations with variable coefficients. Complete coincidence of previously obtained estimates with estimates obtained using the sensitivity func-

ш

tion for the linear controllable systems is achieved for monotonous sensitivity functions. Consideration is given to computational aspects of obtaining the tolerances on programmable control realization when using the sensitivity functions of the state vector of initial motion equations by the control vector. An example of computing the tolerances on the control variation relative to the nominal one that guarantee deviation of a disturbed phase trajectory from the nominal one within the specified limits is given for the second order controllable system.

Keywords: non-linear controllable system, programmable control, equation in the second order variations, Cauchy matrix of equation in variations, sensitivity function, method of conjugated systems.

Введение

В реальной системе автоматического управления управляющее устройство реализует расчётное программное управление с некоторой погрешностью. Инженеру необходимо оценить степень соответствия между математической моделью и реальной системой заранее, уже на стадии синтеза. В связи с этим возникает задача нахождения допусков на реализацию управления, при которых гарантируется отклонение возмущённой фазовой траектории от номинальной в заданных пределах. Постановка задачи

Пусть движение управляемого объекта во времени описывается векторным дифференциальным уравнением

х(г) = /(х(г), и(г)), х(Го) = Х0,г е Т = [го, ] е Я1 ,(1)

где х(0 е Я п - п-мерный вектор состояния системы;

н(0 е Я т - т-мерный вектор управления; х(-) е В (Т), В (Т) - пространство абсолютно непрерывных на Тфункций;

и (•) е СЯ (Т), СЯ (Т) - пространство кусочно-непрерывных на Т функций с нормой

(2)

u(-

= max maxu

i=1,2,...m teT

(' í

А(х, и) - известная нелинейная п-мерная вектор-функция, непрерывная и непрерывно дифференцируемая по (х, и) дважды;

и(-), х(-) - символы функций, рассматриваемых как точки функциональных пространств.

Опыт решения содержательных задач оптимального управления показал, что их решения в подавляющем большинстве - сравнительно просто устроенные функции, имеющие разве лишь разрывы первого рода, а между точками разрывов - достаточно гладкие. Этим можно обосновать выбор в качестве основного функционального класса, из которого разрешается выбирать и (О, класс кусочно-непрерывных на Т функций.

Допустим, что все требования существования и единственности решения уравнения (1) при заданных начальных условиях выполнены [1].

Пусть известно некоторое номинальное управление и0(-), которому соответствует «невозмущённая» траектория системы х0(-). Предположим, что управление и0(-) возмущено малой функцией 5т()еСЯ(Т), следствием чего будет малое

возмущение фазовой траектории: х0(-) ^ х0(-) + 5x0).

Поставим задачу нахождения допусков на отклонение программного управления от номинального: найти у > 0, такое, что при заданном вещественном р > 0 и выполнении условия

МХ<у (3)

на конечном интервале времени Т = [¿0, t1] обеспечивается неравенство

шах|5хг(г)<р, I е[1,п]. (4)

В статье автора [3] для этой задачи получены следующие результаты.

Утверждение 1. Для того чтобы на интервале времени Т = t\] для нелинейных систем вида х() = /(х(г),и()), где х(0 е Я п - п-мерный

вектор состояния системы, и() е Я т - т-мерный вектор управления, А(х, и) - известная п-мерная вектор-функция, при возмущении управления Ьи() от номинального для возмущения фазовой траектории 5х(-) выполнялось соотношение

|5хг(г)<Р, tеT, /е[1, п], р - положительная

константа, достаточно, чтобы выполнялось условие

b OIL

<-

Г

-Н + 2&Р

где a = fj,r¡2 + 2vq + в,

Л '"

r = iZ

T J =1

y f

/i gik л

k=1 OUj

a

út, r = max r, M =

г=i,2,...,n

(5)

v =

n

=il

T J=

m

iz

T J =1 m

iz

T J=1

f

Z gik fk k=1 ^ l=1 rxirx

J

ÚT

Z/gk Z

k=1 ^ ы rx, ruJ y

n m Г2 f

ZZ л. я,.

k=1 ^ i=1 ru,ru

út, в =

J

út.

Здесь - gi,k (Ь,г) - элементы фундаментальной матрицы Коши уравнения в вариациях первого порядка; ¿и(-), ¿х(-) - символы функций, рассматриваемых как точки функциональных пространств.

Утверждение 2. Для того чтобы на интервале времени T=[t0, для систем вида х()= /(х(*), и(*)), линейных относительно x(t)

и и(), где хе R п - п-мерный вектор состояния системы, и(0 е R т - т-мерный вектор управления, /(х, и)- известная п-мерная вектор - функция, при возмущении управления ёи(■) от номинального для возмущения фазовой траектории Зх() выполнялось соотношение \ёх$)\< в, tеT, /е[1,н], ¡3 -положительная константа, достаточно, чтобы выполнялось условие

3

д ОН

<-

(6)

(7)

1. Найти решение матричного уравнения

(10)

ШХ=/ (,) X

Ш дх

при начальном условии Х(^) = Е, что эквивалентно п-кратному интегрированию векторно-матричного уравнения

Шх д/

Т, =% (' )х

ш дх

(11)

ЕЦЯ,(Н,*) (/(*)), *

.=1 Т к =1

В (6) gi,k (t1 ,t) - элементы фундаментальной матрицы Коши уравнения в вариациях первого порядка; /и (О - якобиан для дифференциальной системы, связывающей вектор состояния х(0 размерности п и вектор управления и(0 размерности т.

Вычислительные аспекты получения оценок

Связь между дх(0 и 5и(1) определяет известное уравнение в вариациях. В теории первого порядка оно имеет вид [2]

£х(О = 0, =

В (7) элементами на пересечении ^й строки и /-го столбца матриц /х(() и /и(() служат частные производные д//дх}- и д//ди/ соответственно, вычисленные в точке (и0, х0). Уравнение (4) является точным для систем вида (1), линейных относительно х и и. В общем случае дх{() отличается от точной разности между возмущённой и невозмущённой траекториями на величину более высокого порядка малости, чем норма от ди.

Решение уравнения в вариациях (7) имеет

вид

г

дх(*) = |О(*,т)/ (т)ды(тут, геТ = [*оЛ] , (8)

где О (*,т) - матрица Коши уравнения в вариациях (7);

/и (т) - якобиан для дифференциальной системы (1).

Используемая в оценках (5)-(6) матрица Коши О = связана с фундаментальной матрицей X системы (7) соотношением

О(*, т) = X (*)Х 1 (т) . (9)

Её вычисление сводится к следующим операциям.

с соответствующими начальными условиями х(^) = е^ , i = 1,2,..., п, где е^ - столбцы единичной матрицы Е.

2. По соотношению (9) найти О^,т). Матрица О(t,т) нужна для дальнейших вычислений, поэтому её следует «запомнить» в виде таблицы значений на временной сетке с N узлами. Это потребует в общем случае N п2 ячеек памяти (п -размерность х).

Использование в оценках функций чувствительности

Получение оценки (6) может быть упрощено, если использовать следующие наблюдения.

Выражение | Е & (*1, * Х/и(* представля-

Тк=1

ет собой значение функции чувствительности дх^/ди^ в момент времени t1.

Очевидно, что для знака равенства в соотношении

¡Ея& (и)(/и (0)„Л < 1(*1,*)(/и (

Т к =1 т к =1

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

ш

Е Як ми (*)). * 0 (< °) У*е т=М ] (12)

V. = 1,2,..., т.

Очевидно, что (12) всегда выполняется для монотонно меняющихся функций чувствительности. При выполнении (12) достаточные условия утверждения 2 принимают иной вид, а само утверждение 2 может быть переформулировано следующим образом.

Утверждение 3. В линейных системах управления, для которых справедливо

п

Е я, М(Л (0), *0 (< °)

к=1

V* еТ = [*0,*] V = 1,2,...,т. для того чтобы на этом интервале времени Т = [0А] выполнялось соотношение

тах|дх,.(*)<3, i е [1,п], где ¡3 - положительная

константа, достаточно, чтобы выполнялось условие

п

(13)

т Яг

I5' (-)1<р/: ^ со

где дх/ди/^)-значение в конечный момент времени t1 функции чувствительности ¡-ой координаты вектора х по ]'-ой координате вектора и.

Функции чувствительности определяются из модели чувствительности, представляющей собой совокупность исходных уравнений движения (1) и уравнений чувствительности:

м = /е, /

йг

= f S + f, S(t0 ) = 0 ,

где S (t ) =

^ 8x ^

8u

v j

8x 8u [1,n] , j e[l,m] .

(14)

i e

Ш

ванного значения t1. В этом случае гораздо целесообразнее воспользоваться методом сопряженных систем.

Системой, сопряженной к системе (11),

'Г1

называется система Y = —

дх

Y , где Y(t) - мат-

рица размерности пхп.

Известно, что матрица фундаментальной системы решений для сопряженной системы равна обратной матрице для транспонированной фундаментальной матрицы однородной системы (10). Этот факт позволяет представить уравнения чув-

ствительности в виде

S (ti Н Y T(ti, # (т>*

J ГГЦ

т)—[т)ат.

8u

Уравнения чувствительности (14) являются линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Для интегрирования уравнений чувствительности могут быть использованы различные методы: а) фундаментальных систем; б) сопряжённых систем; в) прямого численного интегрирования.

Ввиду того, что матрицы коэффициентов д/!дх и дАди в уравнениях чувствительности (14) в общем случае зависят от переменной t и от решения исходной системы х(0, при реализации различных методов интегрирования можно использовать два подхода:

1) предварительное однократное интегрирование основной системы (1) с сохранением решения х(0, tеT = [t0, в виде числового массива для дискретных значений t с некоторым шагом А^

2) параллельное интегрирование исходных уравнений и уравнений чувствительности.

Вычислительный алгоритм метода фундаментальных систем основан на представлении решений уравнений чувствительности в виде г

3(г)= X(г)[ X 1 (т)&(т)йт и включает в себя

• ди

г0

выполнение следующих операций:

1. Вычисление фундаментальной матрицы Х(т), rе[to, tl].

2. Вычисление обратной матрицы Х:(т).

3. Вычисление матрицы свободных членов д/(т)/ди(т).

4. Вычисление матрицы чувствительности по вышеприведенной формуле.

Метод фундаментальных систем целесообразно применять тогда, когда надо рассчитать матрицу чувствительности для различных значений t.

Использование оценки (13) предполагает расчет матрицы чувствительности для фиксиро-

где Y(t1. т) - фундаментальная матрица сопряженной системы.

Матрицу Y(t1. т) определяют интегрированием сопряженной системы при начальных условиях, заданных в момент t = t1 в виде единичной матрицы. При этом интегрирование ведется в инверсном времени от t = t1 до t = t0 .

Вычислительный алгоритм метода сопряженных систем включает в себя выполнение следующих операций:

1. Вычисление фундаментальной матрицы сопряженной системы Y(t1.T). Te[t0. t1].

2. Вычисление матрицы свободных членов 8Дт)/8и(т).

3. Вычисление матрицы чувствительности по вышеприведенной формуле.

В методе сопряженных систем в отличие от метода фундаментальных систем отсутствует операция нахождения обратной матрицы, этот метод целесообразно применять, когда матрицу чувствительности необходимо рассчитать для фиксированного значения t.

Пример вычисления оценок

Пусть x(t)eR2. u(t)eRl и дана управляемая система

i[ (7) = kxx2 (7) + к2х[2 (7)

х2 (7) = м(7)

с начальными условиями x1(0) = x2(0) = 0.

Найдем допуск у на вариацию управления Su(t) от номинального u*(t) = 0 такой, что при выполнении условия max|ju (t)|<у обеспечивается

неравенство max (t

Продемонстрируем работу алгоритмов получения оценок на этом примере в случае, когда ki = -1; k2 = -0.1; T = [0.1]; ft= 0.9.

Используем оценку (6). Уравнения в вариациях первого порядка для исходной системы на невозмущенном движении имеют вид (7) = -дх2 (7)

дх2 (7) = с>м(7).

Фундаментальная матрица этой системы имеет вид

(1 -г ^ X (* ) = | 1 *

V0 1 у

а матрица Коши

О (* ,т) = X (*) X 1 (т) =

(1 -* V 1 -тУ

0 1

0 1

(1 -* V 1 (1 т- * ^

01

01

01

Вычисляем оценку (6) для данного случая:

^ 3 -

а, + & ('„^

Шт

0,9

0,9

. 1

¡1 ■ 0 + (т-1))1 Шт ¡|т -1| Шт 1

0 0

Уравнения чувствительности по параметру и для исходной системы имеют вид

¿1 (7) = - 0,2х1*51

¿2=1 , 5! (0) = 52 (0) = 0,

дх

где ^ (* (*), '' = 1,2.

На невозмущённом движении ^(О = t; = = -t2/2. Функции чувствительности - монотонные, поэтому можно использовать оценку (13). Для данного случая она имеет вид

д (* )|<.0,9

тах

íе[°,1]l

1 (1)|

= 1,8.

Поскольку исходная система дифференциальных уравнений нелинейная по х, оценка у = 1,8 может быть уточнена. Для этого используем оценку и соотношения (5).

В данном случае

1

Г =/

ё11 + ё12 кт)7-

ди ди

1

dт = ¡|т-1 Шт =—;

Г =¡

ё21 + ё22 (гl,))д/2

ди

Шт = ¡10 ■ 0 +1)1 Шт =

= \Шт = 1; г = тахг = 1;

Л 1=1,2

/ ч( д2/1 д2/1

^¡ёп (*1,т) 71 1 71

0

+Я12 (*1,т)

vдx1 дх дх2 дх у

^д2/2 | д2/2 > vдx1 дх дх дх у

+Я11 (*1,т)

( д2 /1

удх дх2

д2/ Л

дх2 дх2 у

+Я12 (*1,т)

д2 /2 , д2/2

vдx1 дх дх дх у

Шт =

у=-

^ |1 ■ (—0.2 + 0) + (т-1))( 0 + 0) +1)( 0 + 0 ) +

0

1

+(т -1) ■ (0 + 0) Шт = 0^ Шт = 0.2;

0

у = 0; в = 0 ; а = /иг)2 + 2уп + в = 0,2;

Г + 2а/? _-0,5+ ^0,25 + 2■ 0,2■ 0,9

Г

а

+ 2 0,2

-0,5 =1

0,2

= 1,405.

Пример взят из монографии [4], где он решается предложенным автором монографии методом последовательного улучшения норм. Метод итерационный, очень трудоемкий и, по мнению автора статьи, не до конца алгоритмизирован (используются эмпирические соображения). Оценка у= 1,8 получена на первой итерации и занимает три страницы текста. Дальнейших итераций не проводится (за первой итерацией следуют слова «и т. д.»). Таким образом, подтверждается достоверность оценки у = 1,8 и преимущества в значительном уменьшении трудоемкости вычисления оценок в виде конечных соотношений.

Заключение

Для линейных и нелинейных управляемых систем в статье приведены полученные автором оценки на бесконечную норму вектора вариаций управления, при которых гарантируется отклонение возмущённой фазовой траектории от номинальной в заданных пределах. Рассмотрен пример вычисления оценок в нелинейной управляемой системе второго порядка, демонстрирующий преимущества в значительном уменьшении трудоемкости вычисления оценок в виде конечных соотношений по сравнению с известным итерационным методом улучшения норм. Показано, что при вычислении оценок могут быть использованы функции чувствительности вектора состояния исходной системы по вектору управления. Несо-

0

0

мненно, что исследования по применению функций чувствительности в оценках допусков на реализацию управления в автоматических системах могут оказаться перспективными благодаря развитому аппарату вычислений в теории чувствительности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979. 430 с.

ш

2. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. М. : Наука, 1987. 711 с.

3. Огородников Ю.И. Расчёт допусков на реализацию программного управления в стационарных непрерывных системах // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 4 (32). С. 102-107.

4. Константинов Г.Н. Нормирование воздействий на динамические системы. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1983. 188 с.

УДК 519.21.75 Сизых Виктор Николаевич,

профессор кафедры управления техническими системами, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 89148830351, email: [email protected]

Мензянов Алексей Олегович, аспирант кафедры управления техническими системами, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 89647543025, email: [email protected]

НЕЙРО-НЕЧЕТКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТИПОВЫМ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ МОДУЛЕМ НА ОСНОВЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА ИССЛЕДОВАНИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

V. N. Sizykh, A. O. Menzyanov

NEURAL-FUZZY CONTROL FOR TYPICAL TECHNOLOGICAL MODULE BASED ON LYAPUNOV'S DIRECT RESEARCH METHOD OF ABSOLUTE STABILITY

Аннотация. Рассматривается задача нейро-нечеткого управления физическим объектом с параметрической неопределенностью. Предлагается новая архитектура организации технологического процесса через параллельное взаимодействие технологических модулей (агентов) - однослойных нейронных сетей. На основе прямого метода Ляпунова и метода скоростного градиента в классе абсолютно устойчивых систем разработан нелинейный алгоритм оперативного обучения и управления. Разработанный алгоритм адаптации позволяет ускорить сходимость нейро-нечеткого управления через обучение нейронной сети в реальном времени, осуществить предварительное обучение и применить эффективные процедуры инициализации ее параметров. За счет дополнительной обратной связи по управлению и организации скользящих режимов в окрестностях особых точек нелинейного безынерционного преобразователя обеспечивается свойство нечувствительности системы к внешним и параметрическим возмущениям. В отличие от традиционного адаптивного подхода при организации нейропо-добных структур условие гурвицевости матрицы при векторе состояния линейной части замкнутой системы может не выполняться, а областью допустимых значений параметра регулятора является все множество действительных чисел.

Ключевые слова: технологический процесс, нейронная сеть, управление, адаптация.

Abstract. The problem of physical object neural-fuzzy control with parametric uncertain is considered. The architecture to organizations of the technological process through parallel interaction of technological modules (agents) similar one-layer neural-fuzzy control is offered. On base of the of Lyapunov's direct research method of absolute stability and speed gradient method both a nonlinear algorithm of the operative education and control is designed. The developed algorithm of adaptation allows accelerating a convergence neural-fuzzy control through the neural network training in real time, carrying out preliminary procedures training and to apply effective ways of its parameters initialization. Through the additional feedback on control and the sliding modes organization about artificial neuron special points both the invariance property to external andparametrical object noise is provided. At the organization similar neural network structures the Gurvitz's state matrixes condition for system linear part can't be carried out. Besides, area of admissible values of regulator 's parameter is all set of real numbers.

Keywords: technological process, neural network, control, adaptation.

1. Постановка задачи нейронного управления

Одной из ключевых проблем современного развития транспортной инфраструктуры России является проблема управления транспортными системами на всех этапах их жизненного цикла

(проектирование, производство, эксплуатация). Проблема управления транспортными системами, в свою очередь, сводится к решению задач управления техническими (организационно-техничес-