CC BY
51
УДК 669.017.3
ПРИМЕНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ И ФАЗОВЫХ РАВНОВЕСИЙ ОЦК-РАСТВОРОВ СИСТЕМЫ Fe-Cr
А.Л.Удовский***, Д.А.Васильев*
APPLICATION OF PHYSICAL MODELS FOR THE SIMULATION OF THERMODYNAMIC PROPERTIES AND PHASE EQUILIBRIA OF Fe-Cr BCC SOLUTIONS
A.L.Udovsky***, D.A.Vasilyev*
*Институт металлургии и материаловедения им. А.А.Байкова РАН, Москва, [email protected] **Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ, Москва
Предложена методика расчета границ ОЦК-фазы сплавов системы Fe-Cr на основе применения физических моделей, позволяющая рассчитывать и анализировать разные энергетические вклады в энергию смешения Гиббса. Ключевые слова: термодинамика, фазовые диаграммы, моделирование, физические модели, сплавы для атомной энергетики, ОЦК-растворы системы Fe-Cr
The methodology for calculating of BCC boundaries of Fe-Cr alloys based on physical models allowing calculating and analyzing energy contributions of Gibbs mixing energy has been proposed.
Keywords: thermodynamics, phase diagrams, simulations, physical models, materials of nuclear power, alloys of the Fe-Cr
1.Введение
Сплавы системы Fe-Cr являются базовыми для ферритных сталей, которые рассматриваются как наиболее перспективные для использования в качестве оболочек ТВЭЛов реакторов нового поколения. В частности, на основе системы Fe-Cr разрабатывается ферритно-мартенситная Европейская сталь типа: EUROFER (химический состав (вес %): Fe-8,77Cr-1,06W-0,45Mn-0,2V-0,11Ta-0,12C [1]) — для применения в атомных реакторах нового поколения [2]. В последнее десятилетие в России и во многих европейских странах, США и Японии ведутся интенсивные научные исследования по изучению свойств как бинарных сплавов системы Fe-Сг, так и многокомпонентных сплавов на ее основе. Одна из известных особенностей системы Fe-Cr — это наличие расслоения ОЦК-растворов при комнатной и более высоких температурах. Внутри области расслоения твердый раствор распадается на ОЦК-раствор, богатый хромом (а'-фаза), и ОЦК-раствор, богатый железом (а-фаза). Из-за наличия расслоения Fe-Cr сплавы демонстрируют охрупчи-вание после продолжительного отжига и уменьшение вязкости разрушения, что исторически называют как «475С охрупчивание» [3]. Причина охруп-чивания обусловлена образованием о-фазы при температуре 475°С [4]. Для нержавеющих дуплекс-сталей распад и последующее охрупчивание ферритной фазы является верхним пределом рабочей температуры. Для исследования механизма, контролирующего распад в нержавеющих дуплекс-сталях, необходимо надежное термодинамическое описание сплавов в первую очередь системы Fe-Cr,
которое до настоящего времени в полной мере не реализовано. Предложенная методика является попыткой согласованного описания энергетических вкладов в энергию смешения Гиббса ОЦК-сплавов посредством применения различных физических моделей.
2. Описание используемых моделей
В основе рассматриваемого подхода лежит гипотеза, предполагающая, что энергию Гиббса образования твердых ОЦК-растворов в рамках статистической физики можно моделировать как статистическую систему, состоящую из невзаимодействующих статистических подсистем. Эта гипотеза приводит к тому, что свободная энергия смешения (или энергия Гиббса) системы может быть представлена как сумма свободных энергий смешения различных статистических подсистем, а именно: AG(x,T) = AG (х,Т) + AG ,(х,Т) + AG (х,Т) +
4 5 7 хим4 5 7 колеб4 5 7 эл4 5 7
+АО (х,Т) + АО (х,Т) - TS Лх,Т). (1)
магн4 ' ' упр4 ' ' конф4 ' ' 4 '
Здесь А0хим(х,0) — энергия смешения химического взаимодействия атомов обоих компонентов, образующих идеальную ОЦК-кристаллическую решетку, при 0 К; АОколеб(х,Т) — свободная энергия смешения колебаний атомов в кристаллической решетке сплава; АОэл(х,Т) — свободная энергия смешения термически возбужденных электронов или другими словами, обусловленная вкладом электронной составляющей в теплоемкость; АОмаг(х,Т) — температурный член свободной энергии смешения, учитывающий магнитную подсистему; АОупр(х,Т) = Оупр(х,Т) — энергия упругих искаже-
ний кристаллической решетки, обусловленных статистическими смещениями остовов (или «cores») атомов; £конф(х,0) — конфигурационная энтропия полностью разупорядоченного твердого раствора.
2.1. Расчет вкладов в свободную энергию смешения
Энергия упругих искажений кристаллической решетки рассчитывали по формуле (2) на основе трехподрешеточной модели [5], учитывающей искажения парных межатомных связей в 1, 2 и 3-й координационных сферах:
1 2
Д^(х,Т) = 2 • Еш(х,Т)-si2ii(T) • N х
a (х,Т) 2
A ' A..C
NnzAyA + Nu zfyB + NuzAyC +
N2l4yA + N22 4УВ + N23ZByC +
N3,zCyA + N32 zCyB + N33zCyC
(2)
'31^3 ^ 1 1 33 3 •
где N.. — энергетические параметры модели, вычисляемых исходя из геометрии ОЦК-решетки и коэффициентов взаимосвязи между статическими смещениями атомов, расположенных в 1, 2 и 3-й координационных сферах; z1A, ^В, zc3 — распределение атомов 1-го компонента (Бе) по подрешеткам А, В и С соответственно; уА, уВ, уС — распределение атомов 2-го компонента (Сг) по подрешеткам А, В и С соответственно; еш — статические смещения атомов Fe, расположенных в 1-й координационной сфере относительно атома легирующего (2-го) компонента, рассматриваемого в качестве центра 1, 2 и 3-й координационных сфер,
аСг (Т) - аре (Т)
е"1(Т)=1оссТьОТгр. (2.1)
Еш(х,Т) — модуль упругости Юнга в кристаллографическом направлении <111>:
Е ц(х,Т) = Ей (х,0) -{1- 2 • су (х, Т) • Т • 1о (х)}, (2.2) ау(х,Т) — объемный коэффициент термического
расширения (КТР), который связан с линейным КТР формулой (2.3):
ау (х,Т ) = Зай„(х,Т) = (2.3)
Функция, описывающая вклад от энергии смешения химического взаимодействия атомов обоих компонентов, описывается как разность между значениями энергии смешения раствора, вычисленной с использованием квантово-механических расчетов при 0 К и энергии искажений статических смещения атомов, описываемой соотношениями (2)-(2.3), в зависимости от состава при 0 К
ДО (х,0) = ДН (х,0)-ДО (х,0). (3)
хим4 > ' кв.мех.4 ' ' упр4 > ' 4 '
Свободная энергия колебаний кристаллической решетки рассчитывается как сумма гармонического и ангармонического вкладов. Гармонический вклад описывали с помощью модели Дебая, в то время как ангармонический вклад представляли в рамках
квазигармонического приближения, учитывающего, что температура Дебая зависит от объема, который в свою очередь зависит от температуры (через коэффициенты термического расширения и параметр Грю-нейзена):
ДОколеб(х,Т)=3-Я-Т •А^0еЬПх,¥(х,Т)УТ}+9/8 Я-Д9(х), (4) где свободная энергия смешения колебаний атомов описывается через функцию Дебая с учетом ангармо-низма в рамках модели Ми-Грюнайзена
'в[х,У (х,Т)] ^
AF (^[xViXTi | = F
Ш Debl Т I Deb
Т
_l(1_xrJ1+xFnJ,
Т
Т
функция Дебая имеет вид согласно [6]:
F /9(х,Т)[1п(9(х,Т)) 1 _ 3 9(х,Т)
DebX Т / l Г~Т ) 3 8 Т
9(х,Т)
Т
40
9(х,Т)
Т
1
9(х,Т) ^ Т
6720 544320
. (4.2)
Температурная и концентрационные зависимости температуры Дебая рассчитываются по следующей формуле:
9[ хУ (Т)] = 9( х) • {1 - ау (х,Т) • Т • уО (х)}, (4.3) где уО (х) — параметр Грюнайзена.
Свободная энергия смешения термически возбужденных электронов учитывали с помощью формулы (5) без учета электронно-фононного взаимодействия:
12
ДGэл(x,T)__2 •Ду(х)•Т2,
(5)
где
Ду(х) = у(х)-[(1-х)• уре + х• уСг]. (5.1)
Температурная часть магнитного вклада в свободную энергию смешения системы моделировалась с использованием описания Индена—Хиллерта— Джарла [7].
ДОмагн (х, Т) = Я •Т • Ln[B0 (х) +1] • у[х(х)]. (6) Безразмерная функция от параметра т взята из термодинамической базы данных [8], где т(х) = Т/Тс(х), а ут описывается (6.1):
при т < 1: ут = 1 -{79/(140рт) + [474((1/р) - 1)/497]х
х(т3/6 + т9/135 + т15/600)}/£> (6.1) при т > 1: ут = -1{1/(10т5) + 1/(т15315) + 1/(т25)}/£> В0(х) = 2,22(1 - х) - 0,008х + х(1 - х)х
х{-0,4574(1 - х) - 1,0836х}. (6.2) Анализ различных вкладов, входящих в энергию Гиббса смешения (1), показывает, что они зависят от концентрационных зависимостей физических свойств сплавов: параметра решетки, модуля упругости, температурного коэффициента модуля упругости, параметра Грюнайзена, температуры Дебая, коэффициента термического расширения — как от входных данных.
+
+
2.2. Аппроксимация концентрационных зависимостей физических свойств ОЦК-растворов системы Ее-Сг
Температура Дебая (0Л), необходимая для расчета энергии колебаний (4), берется из экспериментальных данных. На рис. 1 представлены концентрационные зависимости 0д(х), полученной в приближении метода Линдемана, рассчитанной на основе температуры плавления сплавов для ОЦК-парамагнитных растворов системы Fe-Cr, а также температура Дебая для ферромагнитных сплавов, полученная из измерений эффекта Мёссбауэра [9]. В качестве входных данных для расчета вклада энергии смешения термически возбужденных электронов использовались экспериментальные данные коэффициентов электронной теплоемкости, полученные в работах [10,11] и представленные на рис.1.
Необходимо отметить, что Тс была аппроксимирована начиная от Тс = 1043 К для чистого железа и до Тс = 311 К для чистого хрома. Это допущение было сделано в силу необходимости связать температуры Кюри и Нееля в единую аппроксимацион-ную кривую, чтобы избежать разрывов первых производных по составу от магнитной составляющей свободной энергии и, как следствие, разрыва первой производной от полной свободной энергии смешения по составу, и обеспечить непрерывность химических потенциалов компонентов во всей концентрационной области для ОЦК-растворов.
Для расчетов энергетических вкладов энергий упругих искажений и колебаний атомов кристаллической решетки были использованы данные по температурным зависимостям параметров кристаллических решеток ОЦК Fe и Сг, представленные на рис.3.
Рис.1. Концентрационные зависимости: температура Дебая, 0D (♦); коэффициенты электронной теплоемкости (Gamma, Л)
Для расчета магнитного вклада использовали температуру Кюри (Tc) и величину среднего магнитного момента (B0) в зависимости от состава в качестве входных параметров модели, взятых из работ [12] (рис.2).
Рис.2. Температура Кюри (Tc) и средний магнитный момент (B0) ОЦК-сплавов системы Fe-Cr
Рис.3. Температурные зависимости параметров кристаллических решеток ОЦК Fe и Сг (размерный фактор в зависимости от Т)
2.3. Анализ энергетических вкладов
Для расчета свободной энергии Гиббса для ОЦК-фазы, были собраны экспериментальные данные для соответствующих физических свойств сплавов различных составов, которые использовали в физико-эмпирических моделях в качестве входных функций, зависящих от концентрации второго компонента как от параметра (см. табл.).
При попытке учесть вклад в свободную энергию, полученный из первопринципных расчетов без учета упругой составляющей свободной энергии смешения, был получен результат, отличающийся от экспериментальных данных. А именно, рассчитанная критическая точка кривой расслоений ОЦК-фазы достигала температуры плавления, что противоречит экспериментальной фазовой диаграмме системе Fe-Cr. Дальнейший анализ показал, что это несоответствие появляется из-за большой величины энтальпии смешения ферромагнитной ОЦК-фазы, полученной из квантовомеханических расчетов при Т = 0 К [13,18,19].
Расчетные и экспериментальные данные фазовых границ ОЦК сплавов системы Fe-Cr при Т = 500 и 700 К
Т = 500 К Т = 700 К Лит. источник
Ха Сг Ха' Сг Ха Сг ха' Сг Метод исследования
0,03а) 0,97а) 0,08б) 0,89б) Оценка по экспериментальным данным [13]
— — 0,10в) — Эксперимент (метод Мессбауэра) + расчет методом CALPHAD [14]
0,02д) 0,99д) 0,19б) 0,83б) Расчет методом САЬРНАБ [15]
0,08г) Расчет методом Монте-Карло [16]
0,097 0,905 0,12-0,13 0,87 Расчет по концентрацион-нозависимым межатомным потенциалам и учет колебательной энтропии [17]
Расчет с использованием
0,08 0,97 0,135д) 0,9д) квантово-механического моделирования и САЬРНАБ -метода [4]
0,105 0,976 0,113 0,891 Расчет с использованием физико-эмпирической модели Настоящая работа
Примечания: а) оценено согласно справочнику [13] при температуре 300 С (673 К);
б) при температуре нонвариантного равновесия о о а + а', равной 713 К;
в) рассчитано в [14] при 673 К на основе экспериментальных данных с применением метода Мессбауэра на сплаве дуплекс-стали состава (в вес.%: 19,9 Сг, 9,98 №, 2,42 Мо, 0,69 Мп, 1,2 Si, 0,018 С), отожженного при 673 К в течение 20000 ч;
г) кинетическим методом Монте-Карло с использованием межатомных потенциалов, параметры которых были привязаны к энтальпии смешения, рассчитанной методом функционала электронной плотности. Расчет проводился при 800 К для сплавов составов 12, 15 и18 ат.% Сг в системе Бе-Сг [16];
д) рассчитано в работе [4] посредством сочетания результатов квантово-механического моделирования и применения CALPHAD-метода.
А с1Н квант, мех. рас.
в хим
Рис.4. Первопринципные расчеты ДНкВмех.(х,0) согласно [19]; рассчитанные Д6хим(х,0) и Д6упруг(х,0), где Д6хим(х,0) =
= ДНкВ .мех. (х,0) - Д6УпрУг(х,0)
Поэтому была выдвинута гипотеза, что энтальпия смешения для 0 К состоит из суммы химической энергии образования сплава средней решетки при Т = 0 К и упругой энергии, которая описывает энергию статических смещений атомов из узлов средней
(идеальной) кристаллической решетки при Т = 0 К, см. рис.4.
Таким образом, энергию химического взаимодействия можно было отнести к значениям среднего параметра кристаллической решетки, подчиняющегося правилу Вегарда при образовании сплавов при 0 К, что может быть выражено в виде формулы (3). Важно отметить, что размерный фактор с ростом температуры уменьшается согласно рис.3 и формулы (2.1) и при температуре, близкой к 1050 К, достигает нулевого значения. Таким образом, вклад от размерного фактора в энергию статических смещений атомов (формула (2)) также падает до нулевого значения.
3. Результаты расчетов
Все составляющие свободной энергии Гиббса ферромагнитных ОЦК-растворов системы Бе-Сг (см. формулу (1)) были рассчитаны на основе выше упомянутых физико-эмпирических моделей, результаты расчетов энергетических вкладов для Т = 700 К представлены на рис.5. Для ясности магнитный вклад в свободную энергию смешения представлен не в виде магнитной энергии смешения, а в виде магнитной свободной энергии растворов.
Рис.5. Результаты расчетов термодинамических функций смешения и ее разных вкладов системы Fe-Cr для Т = 700 К
На рис.6 представлены результаты расчетов границ ОЦК-фазы и спинодалей. Сопоставление собранных и рассчитанных данных как в настоящей работе, так и в предыдущих исследованиях по фазовым границам для ОЦК-растворов системы, свидетельствует об удовлетворительном согласии полученных в данной работе результатов расчетов и экспериментальных данных.
Рис.6. Фрагмент рассчитанных ОЦК границ (■ alfa/alfa') и спинодалей для сплавов системы Fe-Cr c учетом экспериментальных данных по коэффициентам электронной теплоемкости y и с учетом энергии упругих искажений, рассчитанных с применением 3ПРМ, в сравнении с результатами расчетов различных авторов [13,15,4]
4. Выводы
С помощью разработанной методики (на основе 3-подрешетчатой модели) рассчитаны различные составляющие (химическая и упругая, конфигурационная, колебательная, электронная и магнитная) энергии смешения Гиббса ОЦК-фазы системы Fe-Cr в
интервале температур 0-1100 К. Проведенное сравнение рассчитанных фазовых границ ферромагнитных и парамагнитных ОЦК-растворов железо — хром с экспериментальными и расчетными данными, полученными исследователями в других работах, удовлетворительно согласуется с результатами расчетов в настоящей работе.
Настоящие исследования выполнены при поддержке грантами РФФИ №09-03-00983_а, РФФИ №13-03-00462_а и ОХНМ-02 (2012 год).
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Rodriguez C et al. Constraint dependence of the fracture toughness of reduced activation ferritic-martensitic Eurofer steel plates. Engng Fract Mech. 2012. URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.engfracmech.2012.05.003 Dudarev S.L. et al. The EU programme for modelling radiation effects in fusion reactor materials: An overview of recent advances and future goals // J. Nucl. Mater. 2009. V.386-388. P.1-7.
Becket F.M. On allotropy of stainless steels // Trans. Am. Inst. Min. Metall. Pet. Eng. 1938. V.131. P.15-36. Xiong W., Hedstrom P., Selleby M., Odqvist J., Thuvander M., Chen Q. An improved thermodynamic modeling of the Fe-Cr system down to zero Kelvin coupled with key experiments // CALPHAD. 2011. V.35. P.355-366. Удовский А.Л. Трехподрешеточная модель, учитывающая анизотропию спиновой плотности, ближний порядок и размерный фактор для двойных систем Fe-Cr (V, Mo) // Металлы. 2011. №5. C.121-143.
Дубинов А.Е., Дубинова А.А. Точные безынтегральные выражения для интегральных функций Дебая // Письма в ЖТФ. 2008. Т.34. Вып.23. С.9-14.
Hillert M., Jarl M. A model for alloying effects in ferromagnetic metals // CALPHAD. 1978. V.2. P.227-238. Dinsdale A.T. SGTE Data for Pure Elements // CALPHAD. 1991. V.15. №4. P.317-425.
Costa B.F.O., Cieslak J., Dubiel S.M. Anomalous behavior of the Debye temperature in Fe-rich Fe-Cr alloys // Cornell University Library. URL: http://arxiv.org/abs/0810.0123v1 (Submitted on 1 Oct 2008).
Cheng C.H., Wei C.T., Beck P.A. Low-Temperature Specific Heat of Body-Centered Cubic Alloys of 3d Transition Elements // Phys. Rev. 1960. V.120. №2. P.426-436. Schroeder K. Specific Heat of Cr-Fe Alloys from -140° to 350°C // Phys. Rev. 1962. V.125. №4. P.1209-1212. Andersson J.O., Sundman B. Thermodynamic. Properties of the Cr-Fe System // CALPHAD. 1987. V.11. P.83-92. Кубашевский О., Олкокк А. Металлургическая термохимия. М. Металлургия, 1982. C.392.
Kuwano H., Imamasu H. Determination of the chromium concentration of phase decomposition products in an aged duplex stainless steel // Hyperfine Interact. 2006. V.168. №13. P.1009-1015.
Miettinen J. Thermodynamic reassessment the iron-rich corner // CALPHAD. 1999. V.23. №2. P.231. Bonny G., Terentyev D., Malerba L., Van Neck D. Early stages of alpha-alpha-prim-phase separation in Fe-Cr alloys: An atomistic study // Phys. Rev. B. 2009. V.79. P.104207. Bonny G. et al. Numerical prediction of thermodynamic properties of iron-chromium alloys using semi-empirical cohesive models: The state of the art // J. Nucl. Mater. 2009. V.385. Issue 2. P.268-277.
Wallenius J., Olsson P., Lagerstedt C., Sanberg N., Chakarova R., Pontikis V. Modelling of Cr precipitation in Fe-Cr alloys // Phys. Rev. B. 2004. V.69. 094103. P.1-9. Мирзоев А.А., Ялалов М.М., Мирзаев Д.А. Расчет энергии смешения сплавов Fe-Cr первопринципными методами компьютерного моделирования // ФММ. 2003. T.97. C.336-343.
1
2.
3
4.
5
6.
7
8
9
Bibliography (Transliterated)
1. Rodriguez C et al. Constraint dependence of the fracture toughness of reduced activation ferritic-martensitic Eurofer steel plates. Engng Fract Mech. 2012. URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.engfracmech.2012.05.003
2. Dudarev S.L. et al. The EU programme for modelling radiation effects in fusion reactor materials: An overview of recent advances and future goals // J. Nucl. Mater. 2009. V.386-388. P.1-7.
3. Becket F.M. On allotropy of stainless steels // Trans. Am. Inst. Min. Metall. Pet. Eng. 1938. V.131. P.15-36.
4. Xiong W., Hedstrom P., Selleby M., Odqvist J., Thuvander M., Chen Q. An improved thermodynamic modeling of the Fe-Cr system down to zero Kelvin coupled with key experiments // CALPHAD. 2011. V.35. P.355-366.
5. Udovskii A.L. Trekhpodreshetochnaia model', uchityvaiu-shchaia anizotropiiu spinovoi plotnosti, blizhnii poriadok i razmernyi faktor dlia dvoinykh sistem Fe-Cr (V, Mo) // Metally. 2011. №5. C.121-143.
6. Dubinov A.E., Dubinova A.A. Tochnye bezyntegral'nye vyrazheniia dlia integral'nykh funktsii Debaia // Pis'ma v ZhTF. 2008. T.34. Vyp.23. S.9-14.
7. Hillert M., Jarl M. A model for alloying effects in ferromagnetic metals // CALPHAD. 1978. V.2. P.227-238.
8. Dinsdale A.T. SGTE Data for Pure Elements // CALPHAD. 1991. V.15. J№4. P.317-425.
9. Costa B.F.O., Cieslak J., Dubiel S.M. Anomalous behavior of the Debye temperature in Fe-rich Fe-Cr alloys // Cornell University Library. URL: http://arxiv.org/abs/0810.0123v1 (Submitted on 1 Oct 2008).
10. Cheng C.H., Wei C.T., Beck P.A. Low-Temperature Specific Heat of Body-Centered Cubic Alloys of 3d Transition Elements // Phys. Rev. 1960. V.120. №№2. P.426-436.
11. Schroeder K. Specific Heat of Cr-Fe Alloys from -140° to 350°C // Phys. Rev. 1962. V.125. №№4. P.1209-1212.
12. Andersson J.O., Sundman B. Thermodynamic. Properties of the Cr-Fe System // CALPHAD. 1987. V.11. P.83-92.
13. Kubashevskii O., Olkokk A. Metallurgicheskaia termokhi-miia. M. Metallurgiia, 1982. C.392.
14. Kuwano H., Imamasu H. Determination of the chromium concentration of phase decomposition products in an aged duplex stainless steel // Hyperfine Interact. 2006. V.168. №13. P.1009-1015.
15. Miettinen J. Thermodynamic reassessment the iron-rich corner // CALPHAD. 1999. V.23. №2. P.231.
16. Bonny G., Terentyev D., Malerba L., Van Neck D. Early stages of alpha-alpha-prim-phase separation in Fe-Cr alloys: An atomistic study // Phys. Rev. B. 2009. V.79. P. 104207.
17. Bonny G. et al. Numerical prediction of thermodynamic properties of iron-chromium alloys using semi-empirical cohesive models: The state of the art // J. Nucl. Mater. 2009. V.385. Issue 2. P.268-277.
18. Wallenius J., Olsson P., Lagerstedt C., Sanberg N., Chakarova R., Pontikis V. Modelling of Cr precipitation in Fe-Cr alloys // Phys. Rev. B. 2004. V.69. 094103. P. 1-9.
19. Mirzoev A.A., Ialalov M.M., Mirzaev D.A. Raschet ener-gii smesheniia splavov Fe-Cr pervoprintsipnymi meto-dami komp'iuternogo modelirovaniia // FMM. 2003. T.97. C.336-343.
