Применение эволюционного подхода для анализа функции предложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Друкер П. Задачи менеджмента в XXI веке: Пер. с англ. М.: Вильямс, 2000.

Макаров В.Л. Контуры экономики знаний // Экономист. 2003. № 3. С. 3-15.

Макарова П.А. Статистическая оценка инновационного развития // Вопросы статистики. 2008. № 2. С. 15-30.

Моисеев Н.Н. Алгоритмы развития. М.: Наука, 1987.

Путь инноваций: без оваций // Поиск. 2002. № 50 (708).

Трапезников В.А. Управление и научно-технический прогресс. М.: Наука, 1983.

Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам: Пер. с англ. 2-е изд., доп. М.: КомКнига, 2005.

Чупров С.В. Теория управления и устойчивость производственных систем. Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2007.

Янч Э. Прогнозирование научно-технического прогресса: Пер. с англ. 2-е изд., доп. М.: Прогресс, 1974.

Рукопись поступила в редакцию 04.12.2008 г.

ПРИМЕНЕНИЕ

ЭВОЛЮЦИОННОГО ПОДХОДА ДЛЯ АНАЛИЗА ФУНКЦИИ ПРЕДЛОЖЕНИЯ1

В.В. Лебедев, К.В. Лебедев

Рассматривается динамическая модель однопродуктовой фирмы, прибыль которой используется на инвестиции в производство и потребление. Показано, что устойчивость функции предложения как решения задачи о максимизации перспективного значения потребления существенно зависит от инвестиционной политики фирмы. В предлагаемой нелинейной динамической модели формализован подход, согласно которому предприятие является динамически развивающимся организмом. Статья написана на основе доклада, сделанного на 31-м заседании Международной научной школы-семинара «Системное моделирование социально-экономических процессов» им. академика С.С. Шаталина в октябре 2008 г., посвященном 90-летию Воронежского государственного университета.

Ключевые слова: однопродуктовая фирма, предложение, инвестиции, устойчивость.

I. До недавних пор основной подход к анализу и прогнозу динамических процессов экономики заключался в использовании метода сравнительной статики. В рамках этого (квазистационарного) подхода развитие экономической системы любой сложной рассматривается как смена одного равновесного состояния другим. Формально это выражается в сравнении нового состояния равновесия соответствующей динамической экономико-математической модели, возникшего в ре-

© Лебедев В.В., Лебедев К.В., 2009 г.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 07-06-00224).

зультате изменения параметров, со старым равновесным состоянием. В качестве примера можно привести функцию предложения, которую можно использовать для определения изменения выпуска продукции, соответствующего тому или иному изменению цены, хотя вывод этой функции опирается на анализ статической модели однопродуктовой фирмы (Маршал, 1993; Маленво, 1985).

В работе (Клейнер, 2008) подчеркивается, что подавляющее большинство теорий фирмы «.. .носит принципиально статический или, в лучшем случае, "кинетический" характер, т.е. отражает кинетические особенности изменения параметров предприятия, не раскрывая причин этих изменений», в результате чего «.сегодняшнее состояние теории фирмы не удовлетворяет ни исследователей, ни практиков» (с. 289). Поэтому сейчас, когда изменения в экономике происходят быстро, растет внимание к исследованию нестационарных экономических процессов на основе динамической парадигмы, которая привела к созданию нового направления экономической теории эволюционной экономики (Нельсон, Уинтер, 2002; Маевский, 1997; Макаров, 1997).

Термин «эволюционная экономика» используется обычно в широком смысле, и предметом ее изучения служат любые экономические процессы развития, в том числе резкие и быстрые переходы (кризисы, бурное развитие и т.д.), а не только медленные и плавные. Развитие этого направления связано с приложениями методов нелинейной динамики (Капица и др., 1997; Чернавский, 2001; Занг, 2000; Магницкий, Сидоров, 2004; Костюк, 2005).

Ниже рассматривается динамическая модель однопродуктовой фирмы, в которой используется эволюционный подход, согласно которому, в отличие от квазистационарного, предприятие является динамически развивающимся организмом (Клейнер, 2008; Катькало, 2006). Мы увидим, что даже при использовании предельного упрощения (модель однопродук-товой фирмы - куда уж проще!) эволюционный подход имеет существенное преимущество, что использование этого подхода в большей

степени соответствует требованиям, предъявляемым к экономико-математическому моделированию, которое можно кратко выразить так: «... математика в экономике служит для того, чтобы логика не искажалась, чтобы подтвердить, что из "если" вытекает "то", чего зачастую не происходит, если просто писать художественную прозу» (Cochrane, 2009).

II. Напомним, что традиционный квазистационарный подход, используемый в микроэкономике для построения функции предложения, заключается в решении задачи максимизации прибыли однопродуктовой фирмы на основе соответствующей статической модели (Маршал, 1993; Маленво, 1985). Выпишем основные допущения этой модели:

1) известна зависимость полных издержек фирмы от объема выпуска продукции (монотонно возрастающая функция одной переменной C(Q), график которой при достаточно больших значениях Q обращен выпуклостью вниз);

2) весь товар, произведенный фирмой, продается на рынке по заданной цене P;

3) прибыль фирмы п определяется как разность между выручкой от продажи и издержками производства:

п = P Q - C(Q);

4) объем производства фирма определяет из условия максимума прибыли.

Сделанные допущения позволяют получить уравнение функции, обратной функции предложения2:

P = C(Q). (1)

Это уравнение выражает условие оптимального функционирования фирмы в виде классического равенства цены предельным издержкам P = MC.

2 Принятое предположение о выпуклости функции полных издержек фирмы является принципиальным, так как необходимое условие экстремума функции прибыли (1) должно выполняться одновременно с условием максимума п" = -С"(2) < 0.

Возникает, однако, естественный вопрос: каким образом фирма может выйти на оптимальный уровень производства при заданном уровне цены товара, если в начальный момент условие оптимальности не выполняется, а имеющихся в наличии производственных мощностей не достаточно для обеспечения оптимального объема выпуска. Очевидно, что для повышения объема производства требуется увеличить производственный потенциал фирмы и, следовательно, необходимо привлечение инвестиций. Но какова должна быть инвестиционная политика фирмы? Попробуем ответить на этот вопрос, используя эволюционный подход к анализу развития фирмы.

III. Сформулируем основные гипотезы динамической модели фирмы (Лебедев В., Лебедев К., 2008).

1. Фирма производит один продукт в количестве Q. Функцией издержек фирмы является квадратный трехчлен с положительными коэффициентами a, b, c:

C = aQ2 + bQ + c. (2)

Здесь предполагается, что эта функция включает все издержки, в том числе оплату труда, затраты на материалы, на обслуживание оборудования, налоги и пр., за исключением затрат на приобретение нового оборудо-вания3.

2. Объем произведенной продукции Q пропорционален основным производствен-

3 Используемая функция полных издержек (2) отражает монотонный рост предельных издержек при увеличении выпуска продукции. При ее построении можно использовать, например, предположение о линейном росте трудоемкости при увеличении объема производства (Бергстром, 1970): если L/Q = а1 Q + Ь1, то для затрат на оплату труда, которые являются частью общих издержек, получаем Сш = wL = иа^2 + м>Ь^. Более адекватным было бы использование ^-образной кривой полных издержек, которая отражает падение предельных издержек при относительно малых значениях выпуска продукции. Однако такое уточнение модели не влияет на ее принципиальные свойства.

ным фондам К, которые определяют производственный потенциал фирмы:

Q = АК. (3)

3. Весь товар продается на рынке по постоянной цене р.

4. Полученная фирмой прибыль п(^) = р(О') - С(ОО) используется для инвестиций в производство п = I и для потребления Н (чистая прибыль):

Р = I + Н. (4)

5. Динамика основных производственных фондов определяется уравнением

йК/М = I - цК (5)

с начальным условием К0 = К(0).

6. Коэффициент выбытия фондов т считается постоянным.

7. Целью фирмы является максимизация перспективного значения потребления Н.

IV После соответствующих преобразований из уравнений (2)-(5) получим дифференциальное уравнение, которое задает динамику переменных построенной модели:

f -H-f

(6)

с начальным условием 0(0) = Q0, где Q0 = AK0.

Это уравнение имеет одну свободную переменную H (управление), и поэтому здесь может быть сформулирована и решена некоторая задача оптимального управления. Однако мы рассмотрим два частных случая, которые, как увидим ниже, позволяют обнаружить важное фундаментальное свойство функции предложения без привлечения достаточно сложного математического аппарата.

В первом случае уравнение (6) рассматривается при условии постоянства потребления: H = H0 = const. Тогда норма инвестиций s = I/n зависит от объема выпуска:

, = 1- H

п(0'

Во втором случае уравнение (6) рассматривается при условии постоянства нормы инвестиций: s = s0 = const. Тогда потребление равно части постоянной части прибыли:

H = (1 - so) n(Q).

В обоих случаях динамика переменных уравнения (6) определяется одним параметром (либо H0, либо s0) правая часть уравнения (6) представляет собой квадратный трехчлен:

?=

-A2Q + A3

(7)

с коэффициентами A1, A2, A3, часть из которых зависит либо от H0 (в первом случае), либо от s0 (во втором случае). Поэтому в зависимости от величины соответствующего параметра в обоих случаях возможны три варианта: дискриминант квадратного трехчлена D либо положителен, либо равен нулю, либо отрицателен.

Так как в обоих случаях A1 < 0, то дифференциальное уравнение (7) имеет при D > 0 два стационарных решения, одно из которых (большее) устойчиво, а второе неустойчиво. Уравнение (7) при D = 0 имеет одно (неустойчивое) стационарное решение, а при D < 0 стационарных решений нет. Несмотря на качественно одинаковое поведение интегральных кривых, рассматриваемые два частных случая имеют свои особенности.

Замечание. Свойства уравнения (7) хорошо известны (Арнольд, 1971). Это уравнение использовалось, например, в работах (Арнольд, 1971, 2004), где для иллюстрации влияния обратной связи на устойчивость равновесных решений динамической системы рассматривается пример динамики популяции рыб (задача о максимизации квоты отлова).

V Рассмотрим первый вариант модели. Здесь H = H0 = const, и после преобразований из уравнения (7) получаем уравнение

dQ = BQ-

dt ^

-AQ2-X(c + H 0),

(8)

где В = Х(Р - Ь) - ц, А = Ха, X, с - положительные константы; Н0 - параметр, максимальное значение которого требуется найти.

Уравнение (8) удобно переписать так:

f=4' (Q)-¥

(9)

Графиками функции прибыли у = п(О), где п(О) = р О - а О2 - Ь О - с, и функции инвестиций у = /(О), где 1(0) = п(О) - Н0, являются параболы, а графиком функции выбытия у = цО/Х служит прямая линия (рис. 1). Существенно, что знак правой части дифференциального уравнения (8) зависит от величины параметра Н0, при увеличении которого дискриминант D квадратного трехчлена ВО - АО2 - Х(с + Н0) уменьшается, принимая при относительно малых значениях Н0 положительные значения. Поэтому возможны три следующих случая.

Первый случай. Дискриминант квадратного трехчлена положителен, графики функций инвестиций и выбытия пересекаются (рис. 1). Будем считать, что О = О1 и О = О2 -абсциссы точек пересечения графиков этих функций (здесь 0 < О1 < О2). Это значит, что скорость изменения выпуска продукции при О е (О1; О2) положительна, а при О < Ох и О > О2 - отрицательна. Поэтому уровень про-

Рис. 1. Графики функций прибыли, инвестиций и выбытия в случае В > 0

изводства при Q < Q1 или Q > Q2 падает, а при Q е (Q1; Q2) - растет. В точках Q1 и Q2 скорость изменения выпуска продукции равна нулю: Q1 и Q2 - равновесные (стационарные) решения модели. Из сказанного следует, что Q = Q1 - неустойчивое, а Q = Q2 - устойчивое равновесное решение. На рис. 2 изображены интегральные кривые уравнения (9) при различных начальных значениях Q0 = Q(0), иллюстрирующие это свойство рассматриваемой модели при положительном дискриминанте О.

Так как требуется определить максимально возможное значение параметра Н0, отметим, что при увеличении значения параметра Н0 при выполнении условия О > 0, т.е. при условии

H < H =

B

4Х A

- с,

положительное значение дискриминанта уменьшается, вследствие чего точки Q1 и сближаются. При этом выполняются равенства

lim Qi = lim Q2 = Q*,

H0 ^ H*-0 H0 ^ H*-0

где Q* =

Qi + Q2

B

2 A"

Итак, при выполнении условия Н е [0; Н*) рассматриваемая динамическая система имеет два равновесных решения - Q1 и Q2.

Второй случай. Дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, потребление принимает значение Н0 = Н* (рис. 3, 4). Ситуация кардинальным образом отличается от случая О > 0: здесь графики функций инвестиций и выбытия касаются в точке Q = Q*. Поэтому правая часть уравнения (9) отрицательна при Q Ф Q* и равна нулю при Q = Q*. Это означает, что Q = Q* - неустойчивое равновесное решение, так как уровень производства падает как при Q(0) < Q*, так и при Q(0) > Q*.

В рассматриваемом случае при любом начальном значении Q(0) > Q* уровень производства Q(t) асимптотически стремится к стационарному значению Q = Q* при t ^ <х>. Если же начальное состояние системы Q(0) < Q*, то производство продукции сокращается до нуля за конечный период времени. Поэтому любое малое (случайное) уменьшение уровня Q ниже значения Q* приводит к полному сокращению производства за конечный период времени. Это означает, что при Н = Н* рассматриваемая система находится в критическом состоянии (в точке бифуркации). Рисунки 3 и 4 служат иллюстрацией сказанному.

Третий случай. Дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, потребление превышает свое критическое значение: Н0 > Н*. В

Рис. 2. Интегральные кривые уравнения (8) при Рис. 3. Графики функций прибыли,

различных начальных условиях в случае О > 0 инвестиций и выбытия в случае О = 0

О 5 10 15 20

Рис. 4. Интегральные кривые уравнения (8) при различных начальных условиях в случае В = 0

этом случае график функции инвестиций лежит ниже линии выбытия и правая часть уравнения (8) принимает только отрицательные значения. Поэтому при любом начальном значении О(0) = О0 за конечный период времени происходит полное сокращение производства. Этот случай иллюстрируется на рис. 5, 6.

Итак, стремясь максимизировать потребление, фирма не может превысить критический уровень Н*, при котором равновесный объем выпуска продукции достигает значения О*. Отметим, что этот уровень производства обеспечивается основными производственными фондами К* = О*/Х. Для поддержания фондов на этом уровне используются инвестиции /=р О* - С(О*) - Н* = цК*, которые полностью идут на компенсацию выбытия основных производственных фондов, вследствие чего рассматриваемая система находится в состоянии динамического равновесия (простое воспроизводство).

Поэтому решение задачи о максимизации потребления на основе решения уравнения (9) при различных последовательно увеличивающихся значениях параметра Н0 приводит к значению Н0 = Н*, которому соответствует неустойчивое (!) равновесное решение О = О*. Этому решению соответствует значение нормы инвестиций я* = 1 - Н*/п(О*).

Рис. 5. Графики функций прибыли, инвестиций и выбытия в случае В < 0

О 5 10 15 20

Рис. 6. Интегральные кривые уравнения (8) при различных начальных условиях в случае D < 0

Таким образом, максимизация потребления (параметра H0 = const) может привести к катастрофе: падению уровня производства до нуля за конечный период времени. Рисунок 7 служит иллюстрацией сказанному. Здесь приведена убывающая зависимость значения нормы инвестиций s = 1 - H0/n(Q) в стационарной точке Q = Q2 от величины параметра H = H0.

Завершая обсуждение этого варианта модели, отметим следующее. При любом значении H0 е [0, H*) и при Q(0) > Q* текущий уровень производства Q(t) асимптотически стремится к соответствующему стационарно-

Рис. 7. Увеличение параметра Н0 при условии Н0 е [0, Н,) приводит к снижению равновесного уровня нормы инвестиций до значения я = Увеличение Н0 при Н0 > Н* приводит к катастрофе

му значению Q = Q1 при t ^ да. При этом выполняются следующие равенства:

I(Q2) =

vQi х

nQ) = I (Q2)+H

о-

п(Ш = Рв2 - С(62)-

А это значит, что в равновесном случае имеет место равенство

Hо = pQ2 - C(Q2) -

MQ2

х

из которого в силу выпуклости вниз графика функции C(Q) можно получить условие максимума функции Н0^2). Действительно, в силу необходимого условия экстремума H0'(Q*) = 0 имеем:

Р - С '(б*) -А = 0, т.е. Р = С '(б*) + А.

Поэтому критическое решение Q = Q*, обеспечивающее максимум потребления Н0 = Н* при заданной цене товара Р, совпадает с решением следующей (стационарной!) задачи: найти объем производства, при котором достигается максимум прибыли фирмы, если цена товара равна Р, а функция полных издержек производства задана уравнением

CK = C (Q) + iQ.

(10)

Таким образом, по аналогии со статической моделью (п. II) уравнение

p = Ck (Q)

(11)

следует рассматривать как уравнение функции, обратной функции предложения.

Замечание. Уравнение (11) соответствует классическому результату анализа стационарной модели, в которой функция полных издержек должна включать все затраты, в том числе и амортизационные расходы. При построении динамической модели (6) мы сознательно «забыли» включить в функцию полных издержек затраты на приобретение оборудования, которые компенсируют выбытие основных производственных фондов цК (см. первое допущение модели). Уравнение (10) исправило нашу «забывчивость».

Итак, решения соответствующих экстремальных задач при квазистационарном и эволюционном подходах в рассматриваемом случае приводят к одному и тому же результату: объем производства определяется из условия «цена равна предельным издержкам». Отличительное свойство рассмотренного варианта динамической модели заключается в том, что стремление максимизировать потребление (параметр H0) может привести к катастрофе.

VI. Рассмотрим теперь второй вариант модели, в котором постоянна норма инвестиций: s = s0 = const. В этом случае потребление равно H = (1 - s0) п(0), и дифференциальное уравнение (6) принимает следующий вид:

dQ х

d "V0

^ n(Q) -^Q

(12)

Особенностью этого варианта модели является то, что здесь существует такое положительное значение нормы инвестиций я**, при котором дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в правой части первого уравнения (12), положителен при условии

я** < я0 < 1, равен нулю при я0 = я** и отрицателен при значениях я0 < я** (рис. 8). При этом выполнено условие я** < 8* < 1.

Обозначим решение уравнения я** п(О) = цО/Х так: О = О**. Из сказанного следует, что при я0 е (я**, 1] первое уравнение системы (12) имеет два равновесных решения - О = О1 и О = О2, первое из которых неустойчиво, а второе устойчиво. Обозначим Ое(я0) = О2. Можно показать, что при О0 > О) решение О(() асимптотически стремится к устойчивому равновесному решению: О(?) — Ое(я0) при ? — да. Этому решению соответствует потребление

Не = (1 - 80) п(ве ) = (1 - s0) п(ве (^)).

Как видим, равновесное значение потребления Не является функцией от я0. Можно показать, что эта зависимость Не(я0) на промежутке (я**, 1] имеет немонотонный характер: при уменьшении параметра я0 от 1 до я* значение Не увеличивается, а при дальнейшем уменьшении я0 от я* до я** - уменьшается (рис. 9). Поэтому решение задачи о максимизации потребления на основе решения уравнения (12) при различных последовательно уменьшающихся значениях я0, удовлетворяющих условию я0 е (я**, 1], приводит к сле-

дующему результату: 1) оптимальное стационарное решение д = О* = Ое(я*) достигается при 8 = я*; 2) это стационарное решение системы (11) устойчивое; 3) этому решению соответствует максимально возможное значение потребления Н* = (1 - я*) п(Ое(я*)).

Выводы

1. Оптимальное равновесное (стационарное) решение О = О* динамической задачи о максимизации перспективного потребления определяется из решения уравнения

Р = ск (б)

(13)

относительно неизвестной О при заданном значении Р, где

Ск = С(б) +

Уравнение (13) задает функцию, обратную функции предложения. Здесь, как и в случае классической стационарной модели одно-продуктовой фирмы, цена равна предельным общим издержкам, где общие издержки вычисляются с учетом затрат на приобретение оборудования, компенсирующего выбытие основных производственных фондов.

2. Решение О = О* уравнения (13) при заданном значении цены Р является неустойчивым стационарным решением дифферен-

Рис. 8. Графики функций прибыли (верхняя парабола), выбытия (прямая линия) и инвестиций при трех различных значениях нормы инвестиций

Рис. 9. Зависимость перспективного потребления Не от нормы инвестиций я0. Снижение я0 ниже уровня я,, приводит к катастрофе

циального уравнения динамической модели фирмы с постоянным потреблением:

= Цп(д)-Н *)-уф,

где Н* - максимальное значение функции стационарного потребления

Н (б) = п(0 -Уб -

3. Решение Q = Q* уравнения (13) при заданном значении цены Р является устойчивым стационарным решением дифференциального уравнения динамической модели фирмы с постоянной нормой инвестиций:

? -f

где я* = 1 - Н*/п^*).

4. Функцию предложения Q = 5(Р) можно трактовать как решение задачи о максимизации перспективного значения потребления (чистой прибыли фирмы), которое равно разности между прибылью фирмы и инвестициями в производство.

5. Использование эволюционного подхода и соответствующей нелинейной динамической модели однопродуктовой фирмы для анализа ее развития в случае нарушения условия «цена равна предельным общим издержкам» оказывается более содержательным по сравнению с традиционным классическим (квазистатическим) подходом. В работе показано, что устойчивость функции предложения как решения задачи о максимизации перспективного значения потребления существенно зависит от инвестиционной политики фирмы: экстремальное решение Q = S(P) в случае постоянного потребления неустойчиво, а в случае постоянной нормы инвестиций устойчиво. Поэтому максимизация потребления при необоснованной инвестиционной политике (пренебрежение вопросами инвестиций в производство, «проедание» прибыли) может привести к катастрофе: падению уровня производства до нуля за конечный период времени.

Литература

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.

Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели // Доклад на научно-практическом семинаре «Аналитика в государственных учреждениях». М.: МЦНМО, 2004.

Бергстром А. Построение и применение экономических моделей. М.: Прогресс, 1970.

Занг В.-Б. Синергетическая экономика. М.: Мир, 2000.

Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997.

Катькало В.С. Эволюция теории стратегического управления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006.

Клейнер Г.Б. Стратегия предприятия. М.: Дело, 2008.

Костюк В.Н. Нестационарные экономические процессы. М.: Эдиториал УРСС, 2005.

Лебедев В.В., Лебедев К.В. Об устойчивости функции предложения как решения задачи о максимизации прибыли / 31-е заседание Международной научной школы-семинара «Системное моделирование социально-экономических процессов» им. академика С.С. Шаталина, посвященное 90-летию Воронежского государственного университета. Воронеж. 1-5 октября, 2008.

Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: УРСС, 2004.

Маевский В.И. Введение в эволюционную макроэкономику. М.: Япония сегодня, 1997.

Макаров В.Л. О применении метода эволюционной экономики // Вопросы экономики. 1997. № 3.

Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. М.: Наука, 1985.

Маршалл А. Принципы экономической науки. М.: Прогресс, 1993.

Нельсон Р., Уинтер С. Эволюционная теория экономических изменений. М.: Дело, 2002.

Чернавский Д. С. Синергетика и информация. М.: Наука, 2001.

Cochrane J.H. How did Paul Krugman get it so Wrong? // Economics. 2009. September 11.

Рукопись поступила в редакцию 02.09.2009 г.