CC BY
21Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 4
educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947
Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7
ПРИМЕНЕНИЕ БЕТА И ГАММА ФУНКЦИЕЙ К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ВАЖНЫХ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ
Абдирасулов Х.,
Ачилов.И.А, Холбеков Ш.О.
учители КарИЭИ
АННОТАЦИЯ
В ходе данного исследования обсуждались такие логические операции, как практическое применение Бета- и Гамма-функций и непрерывного вывода, связь между Гамма- и Бета-функциями.
Ключевые слова: внутренние интегралы, гамма функция,обратные интегралы I-го типа, непрерывное, непрерывное произведение,бета функция, обратные интегралы II-го типа,связь между гамма- и-бета функциями и др.
ABSTRACT
In the course of this research, logical operations such as practical application of Beta and Gamma functions and continuous derivation, connection between gamma and beta functions were discussed.
Keywords: inner integrals,gamma function,type I-inverse integrals,connection , connection poduct,beta function,type II inverse integrals,connection between gamma and beta functions, etc.
ANNOTATSIYA
Mazkur tadqiqot jarayonida Beta va Gamma funksiyalarini amaliy qo'llash va uzluksiz hosilaga egaligi, gamma va beta funksiyalari orasidagi bog'lanish kabi mantiqiy amallarga to 'xtalib o 'tildi.
Kalit so'zlar: ichki integrallar, gamma funksiya, I turdagi teskari integrallar, uzluksiz, uzluksiz ko 'paytma, beta funksiya, II turdagi teskari integrallar, gamma va betafunksiyalar orasidagi bog'lanish va h.k.
ВВЕДЕНИЕ
I. Гамма функция. Гамма функцией (или интегралом Эйлера второго рода) называется интеграл вида ту
ад
Г(р ) = J е-'x'-'dx (1).
0
Интеграл (1) - функция параметра p - является несобственным, так как верхний предел равен бесконечности и, кроме того, потому что при x ^ 0 и
Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 4
educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947
Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7
p < 1 подынтегральная функция неограниченно возрастает. Интеграл (1) сходится при p > 0 и расходится p < 0 . Гамма функция является одной из важнейших функций для анализа и его приложений.
ОБСУЖДЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ
Основные свойства гамма функции:
10. Функция Г(p) непрерывна и имеет непрерывную производную Г'(р) для p > 0 .
20. Имеет место равенство r(p +1) = pr(p) (2).
30. После и-кратного применения формулы (2) получается соотношение
r(p + n) = (p + n - l)(p + n - 2)---(p + l)pr(p) (3).
40. Если в формуле (3) положит p = 1 и принять во внимание, что
ад
г(1) = |е хёх = 1 , то получается равенство Г(п +1) = п! (4), если п = 0 , то
о
0!= Г (1) = 1.
50. Из формулы (2) следует, что если р ^ о , то Г(р) = Г(р +1) ^+ад, т.е.
Р
Г(0) = +ад.
60. При р = —п из формулы (2) следует, что Г(-п) = (- 1)п -ад , т.е. Г(—п) = (— 1)п - ад (и=1,2,3,...).
70. Так как Г(р) = Г(р +1), то Г(р +1) имеет смысл при — 1 < р < о.
Р
Если, — п < р < —(п — 1), то из формулы (3) следует, что
Г(р) =_Г (Р + п)_
р(р + 1)(р + 2)—(р + п —1)
С помощью подстановки р + п = а, откуда р = — п + а, последняя формула
преобразуется к виду
Г(а — п) = <Г1)п Га , (5)
(1 — а)(2 — а)—(п — а) и для — п < р < —(п — 1) знак Г(р) определяется множителем (-1)и.
80. Используется формулу (2), можно получить значения Г(р) для полуцелого аргумента:
г(и+1)=(2^.Гт=м.ГГГ| (6).
2 2т \ 2) т!-2т \ 2) 90. Имеет место формула дополнения
956
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 4 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
ГСР)Г(1 - p )=
ж
sin рж
(0 < p < 1)
(7).
1
Если в этой формуле положить р = -, то
12 „
ж
sin
= ж, т.е. г| - I = л/ж ж 12 )
2
пользуясь основными свойствами, можно вычислить Г(р) для любого р .
II. Бета-функция. Бета функцией (или интегралом Эйлера первого рода)
называется интеграл
B(p, q )= J xp-1 (1 - x)q-1 dx
(8)
интеграл (8) есть функция двух параметров р и q, сходящейся при р > 0, q > 0.
Функция В является симметричной относительно параметров, т.е. В(р, q) = В(q, р).
Если сделать замену переменной интегрирования, пологая
ж
x = sin2t, dx = 2sintcos tdt, 0 < t < —, то формула (8) примет вид
2
B(p,q)= 2Jsin2p-11cos2q-1 dt или
J sin m x cosn xdx = 1B
1 ^ í m +1 n +1
, (m > 0, n > 0) (9)
2 ^ 2 2
К интегралом (8) и (9) приводится многие интегралы, встречающиеся в прикладных задачах.
Для вычисления значений бета функции пользуются следующей зависимостью между бета и гамма функцией:
(10).
в(р, q )=гйг(й
Г(р + q)
Если q = 1 - p , TO B(p,1 - p)= r(p)r(1- p) = (0 < p < 1)
Г(1) sin pж
0
ж
0
Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 4
educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947
Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7
используя бета функцию, легко найти значение Г^ 1 j, пусть p = q = 1, тогда
Г О Yf
Г1
V
2'' . Так как в[1,1| = в(1,1 - 1| = _^ = ж, а r(l) = 1, то rfl1 = Vi.
В( 1,1 .= .. ________. , .= = ,. , а г(1) = . , .о г.
12 2J r(l) I 2 2 J Ч 2 2 J . ^ w Ч 2
ЧУ W V / V ysin— Ч '
2
III. В этой части статье приводится некоторые применению Бета- и Гамма функцией, встречающиеся в прикладных задачах.
III. Связь между функциями бета и гамма.
00 1 1. Пусть г(х)= Jtx-1 e dt - гамма-функция, В(х, у) = Jtx-1 (l -1У"1 dt -бета функция.
0 0
Доказать, что Г (х )Г (у) = В(х, у) (1). Г(х + у)
ад ад
j x—
Доказательство имеем г(х)г(х) = Ц ^ V Ге ' ydtdт.
о о
Сделаем замену переменных t = и(1 — V), т = и - V якобиан данного
бразованные т) = и > о. Далее, t + т = и (о < и < ад), V = (о < у < 1).
Ди, у) t + т
ад 1 ад 1
По этому Г(х)Г(у) = 11их—1 (1 — у)—1 уу—1иу—1еииёпёу = |их+у—1е иёи| уу—1 (1 — у)х—1 ёу =
0 0 0 = Г(х + у)в(у, x) = Г (x + y)ß(x, y).
2. Доказать, что rfn +11 = 1'3'5---(2n—О ^
... Доказательство. Для гамма
функции мы установили соотношение r(x +1) = x • Г(х).
2i /
Применяя это равенство, получаем rf n +11 = rf n —1 +1| = f n —11 г
V
n—1 =
=fn—21n—31Гfn—2V ■=fn—2 fn—2.n—^)ГV2.
/ 1 \ ад 1 ад /
Далее Г11 = Jt~2e 'dt = (t = u2)= J2e~"2du = 2 • — = V^ .
V 2. 0 0 2
3. Найти площадь S фигуры, ограниченной кривой С:
I~J +1УJ =1 ^ > b > " > и осями координат.
Решение. Легко видеть, что x = а cos2" ф, y = b sin2" ф (о <ф< 2л) -есть параметрические уравнения кривой С.
0
Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 4
educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947
Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7
По этому S =1 J(.xdy - ydx), где Г- контур, состоящий из кривой с и отрезков
2 г
осей координат.
1 1 0 1a 1 Далее S = - — (.xdy — ydx) + - — (0, dy + y • 0)+ — — (x • 0 - 0 • dx) = - — (.xdy — ydx)
— yuxj +--I ^0, uy + y • 0f +--MX • 0 — 0 • UXJ = — ■ ■ —
2 С 2 b 2 d 2'
л
21 ^ . 2—— 2ab . 2—— V ab 2
m.Oin^ ^___ С in n n
— 2 L ab . 2—— 2ab . 2—— К ab 2, . 42—— ,
— II 2---cosn p• sinn pi---sinn cosn p dp =—I(cosp^sinp)n dy .
2 i I n n " J
у
n
nI
0
Сделаем замену переменного: sinp = z,dp = ^^ тогда
VI — z2
г21 —
S=—z2" (i—z2)——1 dz = (z2=t)=a* — г (1—tdt ab 1 n
n о 2n о 2n гf2 J
(см. задачи 1 и 2).
4. Определить площадь S фигуры ограниченной кривой r4 = sin3 в cos в. Решение. Кривая имеет две петли в одну и в три четверти; достаточно удвоить площадь одной из них. По формуле для площади в полярных координатах имеем:
л л г [5 YÍ3 J
с о!2Г-1Л \ма 2 • 2—— Т— ^ г 14 J 14 J — f — Vf 3 J V2
S = 2 • — sin2 ecos2 тв = sin2 pcos2 pdp =—4 > y = -Г| — 1Г| — I =—л. 2— — Р 2Г(2) 8 L 4 J L 4 J 3
Чтобы вычислить интеграл, так что, используя следующую формулу, будем иметь
л , N rfa 1г[ b
2 — „f a b J — [ 2 I [ 2
I sina — pcosb — pdp = — 5Í —
0 2 V2 2J 2 r(a+bj
5. а) Определить площадь S фигуры, ограниченной одним витком кривой
rm = am cos шв (m - натуральное число) и б) длину l этого витка.
Решение.
л л г | - + —
a 22г 2 _ a2 2 2 , a2 4ж I m 2 J л— 2
\ о ~ a г - _, _ a г - , a va v m 2 J жг
а) S = 2 •— I cosm mede = —I cosm (pd( =----v-^ =
2 J m J m 2 г( ^ + Л 44 (
б) По формуле для длины дуги в полярных координатах
г 2 J
I
m J
/ — J Л
г|
1 m у i
2
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 4 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
л
2m 1
, „ 2m ~11 „ 2a 2 a „
l = 2a I cos m mddd = —I cos m (d( = — • 2
^ m ^ m
0 m 0 '
л
\ 1. m
Г
2m
Г
m
6. Вычислить
интеграл J-^=
0
dd
— cos в
du
Решение. Положим cos 0 = 1 - 24л, тогда d0 = -_ __,
2VwS/1 -л/й
л/з-cos0 = yp2yjl + 4й , причем, 0 <м < 1. Тогда получим
л
л
de
1 1 -3 1
J u 4 (1 — u)—2 du
л/з—cose 2V2
1 J 11
u 4 (1 — u) 2 du = —= B\ - - 1 =
1 4 4 M 2 1 л/Л
V4„
242 f4'2. 2J2 j/3"
2V2 rf з Vf1V
4. V 4
Так как rf - Vf11 = rf 1 Vf 1 —11 = = 42л. Ответь
4. V 4
4
4. - Л
. sin — 4
44л
'if 1 ^2 V V4..
7. Показать, что rf 1 + n jrf 1 — n 1 = —л
cos пл
Решение. Пологая в формуле r(n)r(1 — n) =
л
sin пл
(0 < n < 1); n = а +1 ,
получим rl а + -jr
1 — \ ( + ■
л
sini л + (л
или rf1 + а jrf1 — а 1 = —л— V 2 . V 2 . cos ал
1
8. Вычислить интеграл J
dt
Решение.
Ц—Vt2'
Перепишем данный интеграл в виде J (1 — yit2)2 dt. Воспользуемся
2 5 5 3
подстановкой t5 = u, t = u2, dt = - u2du и, следовательно
2
1
J
dt
5
0 V1 — -ft2 2 0
, ^ r( - Irf 11
1 5 J5 1 1 5 V21 \21 15л
¡7 2
= — Ju2(1 — u) 1 du = 5Bf 5,
2 f 2' 2j 2 r(3)
16
9. Вычислить интеграл J xp 1 (1 — xm)q 1 dx (p, q, m > 0).
m
1
л
2
0
0
1
2
0
1 3
Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 4
educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947
Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7
Решение. С помощью подстановки хт = у, 0 < у < 1 , х = ^у, dx = — ут 1ёу
т
предложенный интеграл приводится к виду
Г
—Y"(— yГ 1 ymidy = 1j ym" (— — y Г dy =1 / m ^ J m m JQ m
ím H)
q
p J
m
г
m
V
+ P P J
X' 1 (l- xV ^
10. Вычислить интеграл \--f—f—г— dx (a, J3> 0, p, q > ü).
o (ax + Д1- x)+/)p+q
Решение. С помощью подстановки
, + =t или (^ХМ = 1-t, b + M + r* = dt
(ax + ^(l - x) + r)p+q ax + Д1 - x) + r (ax + ^(l - x)+r)2
Предложенный интеграл приводится к виду
7—-- i tp- (1 -1)q-1 dt = B(p;q) ч .
(a + r)p (B + y)q J V 7 (a + r)p (p + y)q
11. Вычислить интегралы
n n
2 2 а) J sina-1 (pdp = J cosa-1 (pdp (a > ü);
>1
0
л
2
.k
б) jtgkpdp (k < o.
0
Решение. а) Чтобы вычислить интеграл, так что, используя следующую формулу, будем иметь
л , ^ rf—XbJ
Jan" pcos»(,(== — ^§,2] = 2-7—+W (—,b >
л Ji г|—I
В частности, при b = —, получим отсюда j sin— — pdp
0 2 rf —
2 ^
С помощью формулы Лежандра этот результат может быть переписан в
л f rf—JJ2 .
2 ——oa—— V V2 JJ = 2——2в f —b
a) V 2 ,2.
виде: —sina — pdp = 2a — • V 2 JJ
o r(a)
1
0
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 4 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
12. Вычислить интеграл jtgkqdp (k| < l)
Решение. Наконец, пологая в J sina 1 < cosb 1 <pd< (a, b > 0),
0
= 1 + к и b = 1 -к, где kl< 1, найдем (используя формулу дополнения)
j tgk^d^ =1Г
1 + k V( 1-k
2
2
я
2cos
кя
т
13. Если в интеграле
1 1 B(a,a)=jxa (1-x)a~ dx = j
0
1 (1 Л
— x
V 2 у
2 Л
a-1
4
dx = 2j
1 (1 Л
— x
V 2 у
2
a-1
4
dx .
Сделать подстановку — - x = —4t, то получим
2
2
2
1 1 4a-1 . 1 J 1 ^
—, a V 2 у
B(a, a) = -2ГТ jt 2 (1-t)a-1 dx = -2^ В
2
Заменим в обоих случаях функцию В её выражением через Г:
1 |r(a)
r(a )r(a)_ 1 r(2a) " 22a"-1
Г
2
v 2 у
Г
a +
2
Сокращая на r(a) и подставляя вместо Г формуле Лежандра:
Í 1 л
V 2 у
его значения л! я придем к
r(a )г(
a + ■
2
2
2a-
1 r(2a).
14. Найти площадь фигуры, ограниченной линией: ?;
Решение. Положим ?, тогда
Плоская фигура ограничена двумя симметричными относительно оси ОУ петлями; х и у обращаются в нуль одновременно при ? и стремится к нулю при ?, искомая площадь равна удвоенной, площади фигуры, ограниченной одной из упомянутых петель:
0
0
0
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
О
R
VOLUME 2 | ISSUE 4 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
REFERENCES
1. Гнеденко Б.В. курс теории вероятностей. - М. Наука, 1988.
2. Боровков А.А. теория вероятностей. - М. Наука, 1976.
3. Sirojiddinov S.X., Mamatov M.M. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. - T.: O'qituvchi, 1985.
