Приложение цепных дробей к вычислению обобщенных гипергеометрических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 205 1972

ПРИЛОЖЕНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОБОБЩЕННЫХ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В. Е. КОРНИЛОВ

(Представлена кафедрой высшей математики Томского политехнического института)

В настоящей статье для обобщенных гипергеометрических функций (22) и (23) доказана теорема о том, что они могут быть представлены цепной дробью (2) с положительными членами звеньев. Если указанные функции вычислять с помощью подходящих дробей, то для этих приближений справедливы оценки остаточных членов по модулю согласно теореме п. 2.

1. Пусть дан степенной ряд

оо

/(г) = %спг»; |г|<1 или |2|«1. (1)

п=О

Соответствующая, этому ряду цепная дробь имеет положительные члены звеньев (ат , вт > 0, т = 1,2,...)

, — а-, г '1 + *

■ , —ал в., + ... 4

(2)

в„ + ...

В дальнейшем необходима также конечная цепная дробь

К {г) _ ^ - ап+хг

^ " ' + + (3)

вп + к

Знаменатели подходящих дробей для цепной дроби (2) следующие: <32л {%) = ... б2п + ... + а2а4... а2п (—

С}2п±1 (г) = в! ... в2п+1 + ... + {вхагаъ... а2л-и + ... (4)

... + ага4... а2пб2п+1) ( — г)л.

На основании (1),(2) и ([1], стр. 5,24) все корни многочлена С?гп(г) расположены в интервале (1, + ос)) если ряд (1) сходится для |г|<1 и в интервале (0, + со) для

2. Представим функцию (1) следующей суммой:

Р (г)

№ = + Ии1'2. - (5>

Теорема. Для модуля Rm(z) равенства (5) справедливы неравенства" \Rm(z)\<\SK\<\SK^\<...<\S1\i Rez^ О, (6)

где

(_ Ä Ргп^-Лг) _ Р^Лг) (7)

Qm^K~\(z) Qm(z) Для ряда (1), сходящегося в единичном круге, имеем:

' a-i ••■ am+i | г |тХ [ ß : г — 1 | 0<Я«<1,

I Qm(2) Qm + 1 (Z) I ( : Z — 1 I — 1)

I ß '. г — 1 I > 1; p = min ?2LL«Ji»±!l±if «=1,2,..., (8)

Qm + n (1) Q

m + л-f 1

(i)

Доказательство. Для доказательства неравенств (6) достаточно доказать неравенство

|SK|<|SK_i|, к = 2,3,... . (9)

На основании формул ([2], стр. 450, (3.4), (3.5)) вычислим разность между подходящими дробями SK

Qm(Z) Qm + 2K-\ (Z)

Неравенство (9) на основании равенства (10) преобразуется к следу ющему неравенству

|^(2)| = |Qm+2K-i(2)Q2mKiU^|>|Qm+2«-3(e)Q2mKt2 (2)1 = |L (2)1. (11)

Т. И. Стилтьес в своей монографии [1] подробно изучил многочлены неравенства (11), им установлено следующее:

1). Положительные корни многочленов Qffl+2*-3 (z) и QSc-4 (2) расположены соответственно между корнями многочленов Qm+2*— 1 (z) и Q£t\(z).

2). Все корни многочлена L (г) расположены между крайними корнями многочлена N (г).

Докажем неравенство (11) в случае т = 2п + 1. На основании первого равенства (4) и равенств (3) и (11) имеем

( л + 2«-2 [ 2\

\N(z)=C П 1--> «!<.■■ <a«+2Ä-2,

1 \ *е/ (12)

С = Ö! ... <?2Л + 2К02Л + 3 ••• #2/1 + 2к—2 i

п -]-2к -2 / ч

¿(г)-С П 1-т» Pi<-<Pn+2K-2. (13)

,=1 V рв/

Из равенств (12) и (13) видно, что свободные коэффициенты многочленов N(z) и L(z) одинаковы, а также ввиду первого равенства (4) имеем

... 0СЛ-Ь2/С-2 — ßl ••• ß" + 2/c-2 . (14)

Далее докажем, что корни многочлена N(z)L(z) ввиду неравенств (12), (13) и ([1], стр. 10-20) удовлетворяют неравенствам

ai<Pi<(a3,ß2)<(a3,ß3)<...

... < (ал + 2к-3 , ßn + 2/c—з) < Рл + 2ж-2 < <*п + 2к-2 , (15)

11. Заказ 2930. 161

где неравенство р, < (а2, В2) равнозначно ^ < а2 < рз или р! < Р2 < а и т. д. Предположим, что последовательность корней (15) нарушена и представляется в общем случае следующими неравенствами

ащ-1 <Р от—I ат ат + 1 Рот + 1 Рот + 2 <С ь2 )

/я = 2,.... л+ 2^ —4. (16)

Пусть ат принадлежит многочлену ф2л+2к(г) и является его к-м корнем (к^т), тогда корень может принадлежать только многочлену и он будет его я+ 1 — к-м корнем в порядке возрастания корней. Далее имеем: к корней многочлена (¿яп+ъЛг) разделяют к — 1 корней многочлена С12п+2к-2{г)'-, т — к + 1 корней многочлена Q22кЛЛ{z) должны следовать за т ~ к + 1 корнями многочлена так как они их тоже разделяют. Следовательно, всего имеем т корней р/, которые предшествуют корню ат+1, а согласно последовательности (16) мы имеем только //г — 1 корней , предшествующих корню ат + 1 . На основании этого противоречия приходим к заключению, что последовательность корней вида (16) не имеет места и корни многочлена N (г) ¿(г) расположены согласно неравенствам (15). Построим многочлен М (г), корни которого следуют через каждые два корня последовательности (15):

/ л+2/с-З

М г) = С

п

ал + 2/с-2 ;

1 -

7,

а1 < Т1 < а2 < Т2 < •••

(17)

11 < Тх < Ра < 7:

... < .

2:7, чтобы выпол-

Многочлен М (г) умножаем на такой двучлен 1 нялось равенство

Т1 ••• Тл + 2*-ЗТ = а1 ая + 2к-2 ; < 7 < Рл + 2к-2 .

Пусть числа ох и о2 такие, что [З^.чк~2 < 32 < ап-\2к-2 > а, тогда, перемножая следующие неравенства ([3], 18)

(18)

2 1 - 2 < г 8,2

1-- 1-- 1

11 1 771

1 — —-

0,2 ГТх

получим 2

Т1

7

7л+2к-я

г

<

о,В32

Тл + 2/с-З

<

1

7Т1Тл + 2к-1 -

, Яег < о

7" Т "1Т л + 2 л:—3

.(19)

(77)7 Пег < 0.

Заменяя три двучлена многочлена (1 — г:-[) М(г) правой частью неравенства (19), мы получим многочлен который ввиду

([3] ,(18)) удовлетворяет неравенствам

\L(z)\<\Mi(z)\<\N (20)

На основании неравенств (20) справедливы неравенства (11) и (9), что и требовалось доказать.

Для области 0 < Яег ^ 1 ввиду формул (8), (11)-(15) и ([3],(18) получим

ах... ат+\ | г \т (. , ат+2\г\Я?(1)С}т(\) ,

Яп (2) | <

<

<Эт (2)Ст+,(2)

а1 ... ат+11 г\т \ ^ _____

Сгт(г)Сгт + ,(г)|Й)|р:г-1|л

1 + 1

0.7 {г) |Ст+2(1) , 0 < Иег < 1.

На основании полученного неравенства соотношения (8) справедливы и в этом случае.

Аналогично теорема доказывается в случае, если в неравенстве (11) т = 2п, только при этом ввиду второго равенства (4) мы получим

<*1 ••• &п + 2к-2 < Р1 ... [*л+2*—2 • (21)

На основании равенства (14) неравенство (21) только усиливает неравенство (11), гак как корни многочленов N(2) и Ь (г) расположены в знаменателях вторых слагаемых двучленов.

3. Для обобщенных гипергеометрических функций ([4], стр. 199, 202):

{ оо

Р+\РР{а1,..., ар , 1; в1 ,..., вр\ г) = 2 =

л=0

_2|2|<М(1)а = 1, ¡ВЮп- («р)д

(а)л = а (а + 1)... (а + п — 1), аь > 0, / = 1,

!> , ... 1 вр >

со

£К , ... , а^, 1 :р1, ... , р9:г) =2 Алг" =

Ыл- {*р)п

(22)

Р\

п—0

г

г|»1, /?>?;

(23)

Ыл- (Рд)я аг>0, ¿ = 1 ,...,/?; р!>ах, ... , р9>аа;

справедлива следующая теорема.

Теорема. Соответствующие для рядов (22) и (23) цепные дроби (2) имеют положительные члены звеньев

ат, *т> 0, т = 1, 2, ...

Доказательство. Степенному ряду

00 /л\ 00 г , 1; в, -г) = ^ ^ ^ = ^I = 1.....(24)

п=0 (^(/л л = 0

соответствует цепная дробь (2) с положительными членами звеньев

(I5J.ctp.21, (1)).

На основании ([1], стр. 23) квадратичная форма

т-1

2 Ср^+кХ^к (25)

I, к=0

есть форма определенная и положительная. В силу равенств (22) — (25), ([6], задача 1220) и ([7], стр. 140,(11.5)) квадратичные формы

т— 1 т—1

^ йр+Ь+кХ^к, 2 Ьр + Н-кЩХк (26)

I, /с=0

I, к-0

есть формы определенные и положительные. Ввиду (26) и ([1],стр. 23) детерминанты

+ 1

(1р + т-1 ^р+2т~ 2

л,-

Ар Н 7П— 1

А

р-тШ'

■I 2

(27)

положительны. Так как члены звеньев цепной дроби (2) выражаются через определители (27) ([1], стр. 29, (7)), то они также положительны, что и требовалось доказать.

и*.

ЛИТЕРАТУРА

1. Т. И. Стилтьес. Исследования о непрерывных дробях. М,, ОНТИ, 1936.

2. С. С. Хлопонин. Некоторые преобразования цепных дробей. Ученые записки Марийского пединститута, т. XXVI, стр. 445—486, Йошкар-Ола, 1965.

3. В. Е. Корнилов. Вычисление эллиптических интегралов при помощи цепных дробей. Изв. ТПИ, т. 205. 1969.

4. Г. Бейт м е н и А. Э р д е й и. Высшие трансцендентные функции (гипс р reo метрическая функция, функции Лежандра). М., Физматгиз, 1965.

5. В. Е, Корнилов. Приложение цепных дробей к вычислению интегралов от биномных дифференциалов. Изв. ТПИ, т. 131, стр. 21—25, 1965.

6. И. В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. Гостехиздат, 1957.

7. А. Н. Хованский. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М., ГИТТЛ, 1956.