CC BY
150
ПРИЕМЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ СИСТЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Г.И.Ковалева, Волгоградский государственный педагогический университет, (8442) 947894, kovalev_kv68@mail.ru
Рассмотрены приемы конструирования систем математических задач — приемы ключевой задачи и целевой задачи, варьирования задачи, метод «снежного кома».
Ключевые слова: система задач, ключевая задача, целевая задача, неопределенная задача, переопределенная задача, вариативная задача, задача с несформированным требованием.
THE METHODS OF CONSTRUCTING THE COMPLEX OF MATHEMATICAL TASKS
Kovaleva G.I.
The article considers the methods of constructing complex of mathematical tasks: key task and objective task methods, task modification method, «snowball» method.
Key words: complex of tasks, key task, objective task, indeterminate task, redeterminate task, variable task, incomplete task.
Нелостное всестороннее развитие школьника, формирование его личности и профессиональное становление невозможно без существенной высокий уровень математической подготовки. Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления, является решение задач. Роль задач в процессе обучения математике общепризнана. Один только перечень основных функций математических задач (обучающая, развивающая, воспитывающая, контролирующая, организующая) убеждает, что они являются основным средством формирования знаний, умений и навыков, средством организации учебной деятельности, развития и воспитания школьников. Поэтому продуктивность учебно-воспитательного процесса во многом зависит от выбора и формы предъявления задач, от способов организации деятельности учащихся по их решению.
Педагогами, психологами и методистами доказано, что для эффективности достижения целей образования необходимо использовать в учебном процессе систему задач с научно обоснованной структурой, в которой место и порядок каждого элемента строго определены и отражают структуру функции этих задач. Эта система задач должна отвечать основным требованиям, среди которых адекватность содержанию образования; иерархичность; взаимодополняемость; учет сложности и трудности; целесообразное сочетание стандартных и нестандартных задач; рациональность их объема и количества.
Правильно сконструированная система задач дает учащимся полноту представлений, облегчает математическое обобщение, способствует гибкости, глубине и осознанности знаний. Организация обучения посредством решения систем учебных задач позволяет повторить, обобщить и систематизировать ранее изученный материал, увидеть взаимосвязи от-
дельных тем школьного курса математики, вооружить учащихся различными методами решения основных типов задач.
В методической литературе все чаще рассматриваются примеры взаимосвязи задач (Г.В. Дорофеев, П.М. Эрдни-ев, В.И. Мишин, И.Г. Шарыгин и др.). Г.В. Дорофеев подчеркивает, что каждая задача имеет определенную окрестность — по содержанию, по кругу используемых понятий, по методам рассуждения. Каждая из этих окрестностей может быть использована для построения блоков задач, связанных с данной.
Описание приемов конструирования систем задач в методическом отношении представляет собой сложную проблему, поэтому важным представляется систематизация разнообразных приемов.
Выделим следующие методы конструирования систем учебных задач:
• метод ключевой задачи;
• метод целевой задачи;
• метод «снежного кома»;
• метод варьирования задачи.
Опишем суть каждого метода.
Метод составления системы задач, построенной по принципу «каждая задача системы использует результат решения (утверждение или метод) ключевой задачи», будем называть методом ключевой задачи.
Например, задачу-факт, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, можно использовать при решении следующих задач:
• медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины;
• Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон пространственного четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;
• в выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AB и CD;
• в выпуклом пятиугольнике ABCDЕ с единичными сторонами середины P, Q сторон AB, CD и S, T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N — середины отрезков PQ и ST. Найдите длину отрезка MN.
Для выпуклого четырехугольника можно доказать, что площадь параллелограмма равна половине площади ис-
С
что: 1) биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны; 2) биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом; 3) биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник и т.д.
Решение такой системы предполагает организацию коллективной деятельности — от работы каждой группы зависит решение целевой задачи.
Решение вспомогательных задач перед целевой получило в методике название «метода целесообразно подобранных задач».
Решение данной системы задач даст учащимся ответ на вопрос: «Как, зная две стороны треугольника и угол между ними, найти третью сторону?» В нашем случае метод целесообразно подобранных задач приведет к открытию не только факта, но и одного из способов доказательства теоремы косинусов.
Метод «снежного кома» предполагает при решении каждой задачи системы использование результата решения предыдущей задачи.
Например, найдите в треугольнике ABC длины отрезков АН и НВ, высоты СН, если АВ = с, АС = b и АА = а
ходного четырехугольника. Этот факт используется в решении таких задач, как:
• в выпуклом четырехугольнике длины диагоналей 2 см и 4 см. Найдите площадь четырехугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны;
• найдите площадь трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны, длина одной из них равна 6 см, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 4,5 см.
Тематика представленных задач доказывает, что метод ключевой задачи позволяет повторить большой по объему теоретический материал, «увидеть в данном случае геометрию, как единое целое». Ключевая задача является и средством обучения решению задач.
Метод целевой задачи предполагает выделение достаточно сложной задачи, решение которой разбивается на ряд простых задач или предваряется ими.
Разбиение целевой задачи на элементарные осуществляется на основе анализа, что приводит к осознанию учащимися идеи доказательства.
Например, решение целевой задачи — доказать, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма в пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности смежных сторон параллелограмма — представляет собой решение системы элементарных задач. Доказать,
1. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около данного треугольника окружности.
2. Докажите, что площадь треугольника можно вы-
0 abc
числить по формуле S =-.
4 R
3. Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 16 см?
4. Найдите радиус описанной около трапеции окружности, если основания трапеции равны 10 см и 24 см, а высота 17 см.
Возможность индивидуальной траектории при решении такой системы задач, возрастание уровня сложности задач обеспечивают дифференциацию обучения.
Суть метода варьирования задачи состоит в том, что каждая задача системы получена из данной задачи путем варьирования ее содержания или формы. Под содержанием задачи будем понимать совокупность ее компонентов: условие, требование, базис и способ решения. Основные приемы варьирования — прием взаимообратных и противоположных задач, прием обобщения и конкретизации, прием аналогии.
На начальном этапе формирования умений и навыков следует варьировать только внешнюю форму задачи, оставляя постоянным ее содержание. Это
дает возможность учащимся сделать самостоятельное обобщение ряда решений других задач и осуществить подготовку качественного скачка достаточными количественными изменениями. На последующих этапах для обеспечения полноты системы задач недостаточно одного лишь варьирования их внешней формы. Необходимо стремиться к разнообразию задач системы, которое призвано поддерживать должную напряженность процесса решения.
Варьирование условия задачи не должно быть произвольным. Когда условие меняется калейдоскопически, учащимся трудно сосредоточить внимание на существенных связях между данными, понять роль варьирующего элемента. В методической литературе выделяют два взаимообратных приема варьирования некоторого элемента условия задачи.
Применение первого предполагает при переходе от одной задачи к другой инвариантность всех их звеньев кроме одного. Например, при изучении линейной функции учащимся предлагается построить графики функций у = 2 х - 3 , у = 2 х, у = 2 х + 7 , 3 у - 6 х = 2 . После выполнения задания учащиеся должны сделать вывод о параллельности прямых, имеющих одинаковый угловой коэффициент.
Во втором приеме — обратном первому — варьируется то звено внешней формы, уяснение роли которого является целью в данный момент. Например, у = -3 , у = 2х - 3, у = -2х - 3, у = 0,5х - 3 , у = -0,5х - 3 . Решение данной системы задач позволяет учащимся установить факт зависимости знака углового коэффициента от характера монотонности прямой.
быть длина третьей стороны? Неравенство треугольника подскажет ответ: 3<а<13.
Задачи с параметрами можно рассматривать как частные случаи неопределенных задач.
Неопределенные задачи требуют от ученика мобилизации практически всего набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель решения, находить данные к задаче «между строк» условия. Использование задач указанного типа поможет преодолению некоторых трудностей, возникающих в процессе поиска решения задачи, подготовки к «открытию» способа решения. С помощью неопределенных задач создается представление о вариативности решения или ответа к задаче, о путях выбора рационального способа решения.
Под вариативной будем понимать задачу, у которой формулировка не допускает точного установления взаимного расположения объектов условия или требования.
Отличие вариативной задачи от стандартной можно представить схематично.
Решить вариативную задачу — значит рассмотреть все возможные варианты расположения объектов. Например, в задаче: «Найдите сторону параллелограмма, если его другая сторона равна 5 см, а диагональ перпендикулярна стороне и равна 3 см». Задача предполагает два решения в зависимости от того, к какой стороне перпендикулярна диагональ. Такие задачи не выделены в особый класс, поэтому очень часто происходит потеря решений.
Получить вариативную задачу можно снятием части условий или их обобщением (в нашем случае вариативная задача получена из стандартной задачи снятием условия перпендикулярности диагонали неизвестной стороне).
Снятие условий в исходной задаче может привести к постановке неопределенной или вариативной задач.
Неопределенные задачи — задачи с неполным условием, в котором для получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или каких-то указаний на свойства объекта или его связи с другими объектами. Решить неопределенную задачу — значит указать множество значений искомой величины. Например, задача «В треугольнике одна сторона имеет длину 5 см, а другая 8 см. Найдите длину третьей стороны» не имеет решения, так как в ней не хватает данных. Какой может
Стандартные задачи могут быть получены из вариативных задач в обратном порядке — путем добавления характеристик (или объектов) в условие. Например, конкретизируя градусную меру угла а в вариативной задаче: «Найдите площадь сечения куба с ребром Ь плоскостью, проходящей через середины смежных ребер под углом а к плоскости, определяемой данными ребрами», получим пять различных задачных ситуаций, когда сечением куба плоскостью является треугольник, прямоугольник, трапеция, пятиугольник, шестиугольник.
Если добавлять условия в исходную задачу, то получим переопределенные задачи, в которых имеются лиш-
ние данные, не нужные для решения, а лишь маскирующие способ решения задачи. Данные в таких задачах могут быть противоречивыми и выявление этой противоречивости или непротиворечивости является обязательным элементом решения переопределенной задачи. Задачи этого типа требуют от ученика умения анализировать условие, находить в нем нужные данные и отбрасывать ненужные. Причем, «ненужными» у разных учеников могут быть разные величины. Например, в задаче «Найдите площадь прямоугольника по стороне, диагонали и углу между диагоналями» одни ученики будут искать ответ половиной произведения диагоналей на синус угла между ними (тем самым сторона становится лишним данным), другие получат ответ, произведением сторон, предварительно вычислив вторую сторону по теореме Пифагора (здесь угол становится лишним данным). Возможен и третий вариант, когда лишним данным станет диагональ. Переопределенные задачи данного типа позволяют учащимся высказать прогноз способа решения, в соответствии с ним выбрать необходимые данные и проверить правильность решения, сравнив ответы.
Рассмотрим пример варьирования требования задачи. Основанием треугольной призмы является правильный
Стандартная задача
будет продвигаться по этапам решения задачи. Прежде чем выдвигать требование, нужно проанализировать данные, связать их между собой, выяснить, какие величины в принципе можно найти при таком условии, а затем уже можно строить вопрос. Если ученик попытается сформулировать вопрос, не вникая в заданные условия, не составив математическую модель задачи, это может привести к постановке вопроса, разрешить который тяжело из-за громоздкости вычислений при решении, или вообще невозможно из-за нехватки данных.
Одно из требований, предъявляемых к формулируемым задачам, — обязательная зависимость ответа от всех исходных данных. Это затрудняет работу по составлению, но приводит к более подробному и скрупулезному изучению связей между элементами задачи. Второе требование — так подобрать вопрос, чтобы не всегда легко находились вычисляемые значения, чтобы вопрос не лежал на поверхности, был не слишком очевиден.
Если ученики затрудняются в выборе интересных вопросов, преподаватель может сам привести несколько вариантов требований, а ученику предложить выбрать и обосновать выбор. Затем уже целесообразно перейти к са-
Вариативная задача
треугольник со стороной а. Одна из вершин верхнего основания проецируется в центр нижнего. Боковое ребро призмы равно Ь. Найдите: а) высоту призмы; б) объем призмы; в) площадь боковой поверхности; г) площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной плоскостям оснований и проходящей через вершину верхнего основания; д) площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной плоскостям оснований и проходящей через сторону нижнего основания.
Решение каждой задачи системы, взятой в отдельности, достаточно трудоемко и требует больших временных затрат. При последовательном решении задач можно воспользоваться результатами, полученными в предыдущих задачах; акцентировать внимание не на вычисление элементов, а на определение их расположения относительно друг друга, на доказательство факта этого расположения.
Варьирование требования может идти по линии минимизации. Предельный случай — задачи, в которых имеются все данные, но нет требования. Так называемые задачи с несформированным требованием.
Если ученик научится подбирать и формулировать вопрос (требование) к задаче, в которой полностью обозначено начальное состояние предмета, он лучше
мостоятельному выдвижению вопросов учащимися, сравнению результатов их работы.
Для задачи с несформированным требованием можно сформулировать несколько вопросов, соподчи-ненность которых очевидна. Таким образом происходит конструирование системы задач, имеющих одинаковое условие.
Сформулированная преподавателем система задач имеет важный методический аспект. Она показывает, что должны знать и уметь школьники в результате изучения конкретной темы. Без этого невозможно проектировать методическую систему учителя по изучению данной темы.
Сформулированная учеником система задач является средством диагностики знаний, умений и навыков по изученной теме.
Варьирование базиса и, как следствие, способа решения приводит к решению одной задачи разными способами.
На одну задачу, решаемую разными способами, можно смотреть как на своеобразную систему, удовлетворяющую всем предъявляемым к ней требованиям. Такие системы задач в зависимости от типа или этапа урока, специфики рассматриваемых способов решения позволяют добиться различных целей. Среди них:
1) выявление межпредметных связей: алгебра — геометрия, тригонометрия — геометрия и др.;
2) обобщение и систематизация полученных знаний, установление взаимосвязей между различными теоретическими фактами;
3) выявление сущности определенных методов, их отличительных черт, достоинств и недостатков при применении к конкретным классам задач;
4) вооружение учащихся различными методами решения задач с целью обретения ими уверенности в своих силах, возможности в случае затруднения перейти к другому приему решения;
5) демонстрация рациональности, эффективности и изящества одних и нерациональности и порой ошибочности других способов;
6) показ одного из методов самоконтроля.
В соответствии с выделенными целями определяются целесообразность и место данных систем задач в учебном процессе, разрабатывается методика их применения и решения.
Обучение через решение систем задач является одним из основных средств повышения качества знаний учащихся,
поэтому системы задач должны стать главным инструментом учителя при организации образовательного процесса с целью его совершенствования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Геометрия: Задачник к школьному курсу. — М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр^, 1998.
2. Дорофеев Г.В. О составлении циклов взаимосвязанных задач // Математика в школе. — 1983. — № 6.
3. Зайкин М.И. О задачных конструкциях, используемых в обучении математике // Математическое образование: концепции, методики, технологии: Сборник трудов по материалам III международной научной конференции «Математика. Образование. Культура» (к 85-летию со дня рождения профессора В.И. Крупича), 17— 21 апреля 2007 г., Россия, г. Тольятти / под общ. Ред. Р.А. Утеевой. В 4-х ч. — Тольятти: ТГУ, 2007. — Ч. 3.
ИСТОРИЯ СТАНОВЛЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
И.В. Ульянова, кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподавания математики Мордовского государственного педагогического института имени М.Е. Евсевьева, (8342) 357495
Статья затрагивает проблему понимания методологии методики обучения математике. Автор исследует один из ее составных компонентов — деятельностный подход, способствующий вскрытию и осознанию закономерностей в формировании понятий, обучении решению задач и доказательству теорем и т.д. В статье автор анализирует роль и место деятельностного подхода в психологии, педагогике, методике преподавания математики и других научных областях, указывает различные варианты понимания сущности данного подхода в практике обучения, раскрывает особенности их использования в методике обучения математике.
Ключевые слова: теория и методика обучения математике, методология методики обучения математике, деятельностный подход.
THE HISTORY OF FOUNDATION AND DEVELOPMENT
of the activity approach in teaching
MATHEMATICS
Ul'yanova I.V.
The article touches upon the problem of understanding the methodology of methods of teaching mathematics. The author studies one of its compound components — the activity approach — that promotes to reveal and to realize the principles in formation of concepts, teaching to solve problems and to prove theorems and etc. The author of the article analyses the role and the place of the activity approach in psychology, pedagogy, methods of teaching mathematics and other scientific areas, points out the different variants of understanding the essence of the given approach in teaching practice, declares the particularities of their usage in methods of teaching mathematics.
Key words: theory and methods of teaching mathematics, methodology of methods of teaching mathematics, activity approach.
